陕西省黄陵中学高新部2017-2018学年高一下学期开学考试数学试题

高新部高一开学考试数学试题
一、选择题(每小题5分，共60分)
1. 设f：x→x2是集合A到集合B的映射，若B＝{1，2}，则A∩B为
A.φ B.{1} C.φ或{2} D.φ或{1}
2. 函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
3. 下列各组函数中，表示同一函数的是
A.f(x)与g(x)= f (x +1) B. f (x)= x 2-2 x -1与g (t)= t 2-2 t -1
4. 函数y=的定义域是
A.[1,+∞] B. C. D.
5、已知分别是的边的中点，且，则
1） 2） 3） 4）
中正确的等式的个数为（ ）个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6、在边长为的菱形中，,为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
7、下列函数中，周期为，且在上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
8、已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
9、若点是所在平面内一点，且满足，则与
面积之比等于 （ ）
A． B． C． D．
10．函数部分图象如图所示，且，对不同的，若，有，则( )
A.在上是减函数
B.在上是增函数
C.在上是减函数
D. 在上增函数
11、已知是定义在上的函数，对任意两个不相等的正数，当时，
都有。记，，，
则（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数，则函数在区间内所有零点的和为（ ）
A．16 B．30 C．32 D．40
二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）
13.设平面向量，，则 .若与的夹角为钝角，则的取值范围是 ．
14.已知，，则 ．
15.函数的最大值是 ．
16.已知函数是定义在上且以3为周期的奇函数，当时，，则时， ，函数在区间上的零点个数为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）已知全集，集合，.
①求和；
②已知，若，求的取值范围.
18.某城市出租车的收费标准是：3千米以内(含3千米)，收起步价8元；3千米以上至8千米以内(含8千米)，超出3千米的部分按元/千米收取；8千米以上，超出8千米的部分按2元/千米收取.（本小题满分12分）
(1)计算某乘客搭乘出租车行驶7千米时应付的车费；
(2)试写出车费(元)与里程(千米)之间的函数解析式并画出图像；
(3)小陈周末外出，行程为10千米，他设计了两种方案：
方案1：分两段乘车，先乘一辆行驶5千米，下车换乘另一辆车再行5千米至目的地
方案2：只乘一辆车至目的地，试问：以上哪种方案更省钱，请说明理由.
19．（本小题满分12分）
函数（，）的图象与轴交于点，周期是．
（1）求函数解析式，并写出函数图象的对称轴方程和对称中心；
（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．
20．（本小题满分12分）
设函数（，）．
（1）当，时，解方程；
（2）当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）若为常数，且函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．
21．（本小题共12分）
已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，
（1）求圆C关于直线对称的圆的方程；
（2）问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得弦AB，且以AB为直径的圆经过点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
22．（本小题共12分）
已知且，函数.
（1）求的定义域及其零点；
（2）讨论并用函数单调性定义证明函数在定义域上的单调性；
（3）设，当时，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围.
1~12 DDBD CADD BBDC
，
14.
15.
16.
17.解：(1)，
，.
(2)若时，有
，即，此时有，
若时，要使成立有
综上所述，实数的取值范围为.
18.(1)元.
(2)
(3)方案一的费用为：22元.
方案二的费用为：元.
方案二更省钱.
19．【解】（1）由题意，周期是π，即． ………1分
由图象与y轴交于点（0，)，∴，可得，…2分
∵0≤φ≤，， ………4分
得函数解析式．
由，可得对称轴方程为，（k∈Z）
由，可得对称中心坐标为（，0），（k∈Z） ……7分
（2）点Q是PA的中点， A，∴P的坐标为，…9分
由，可得P的坐标为，
又∵点P是该函数图象上一点，
∴，
整理可得：， ………10分
∵x0∈，∴， ………11分
故或，
解得或． ………12分
20．【解】（1）当时，，所以方程即为：
解得：或（舍），所以； ………1分
（2）当时，若不等式在上恒成立；
当时，不等式恒成立，则；　　　　　 ………3分
当时，在上恒成立，即在上恒成立，
因为在上单调增， ，，则，
得；则实数的取值范围为；　　　　　　 ………6分
（3）函数在上存在零点，即方程在上有解；
设
当时，则，且在上单调增，
所以，，
则当时，原方程有解，
则； ………8分
当时，，
在上单调增，在上单调减，在上单调增；
当，即时，，
则当时，原方程有解，则；
当，即时，，
则当时，原方程有解，则；
当时，，
当，即则时，，
则当时，原方程有解，则；
当，即则时，，
则当时，原方程有解，则； ………10分
综上，当时，实数的取值范围为；
当时，实数的取值范围为；
当时，实数的取值范围为．　　　 ………12分
21．（1）（2）
【解析】试题分析：（1）关键求圆心关于直线的对称点，根据垂直平分条件列方程组，解方程组可得圆心坐标，即得圆方程（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋b，．以AB为直径的圆过， ，利用向量数量积以及直线方程可得，再联立直线方程与圆方程，利用韦达定理代入解得,即得直线l的方程
试题解析：（1）圆C的方程可化为　，
设圆心C关于m对称的点为，则解得
所以圆C关于直线对称的圆的方程为
（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x＋b，则
消元得2x2＋(2b＋2)x＋b2＋4b－4＝0.
由题知，Δ＝(2b＋2)2－8(b2＋4b－4)>0，
即b2＋6b－9<0 ①
设此方程两根为x1，x2，则A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝.
∵以AB为直径的圆过，
又
解得
经检验均满足①式
∴存在这样的直线为
22．(1) 定义域为,函数的零点为-1;(2)见解析;(3) .
【解析】试题分析：（1）由题意知求得函数 定义域为，再由，即可求解函数的零点；
（2）根据函数的单调性的定义，即可证明函数的单调性；
（3）由任意，存在，使得成立，得到
由（2）知当时， 在上单调递增，得到函数的最大值为，分三种情况讨论，即可求解实数的取值范围.
试题解析：
（1）由题意知， ， ，解得，
所以函数 定义域为.
令，得，解得，故函数的零点为-1；
（2）设， 是内的任意两个不相等的实数，且，则，
∵，∴，即
所以当时， ，故在上单调递减，
当时， ，故在上单调递增.
（3）若对于任意，存在，使得成立，
只需
由（2）知当时， 在上单调递增，则
①当时， ， 成立
②当时， 在上单调递增， ，由，解得，∴
③当时， 在上单调递减， ，由，解得，∴
综上，满足条件的的范围是.