3.3 对称图形（平移、旋转与对称）
一、平移
1、定义:把一个图形整体沿________移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的________和________完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移.【版权所有：21教育】
注意：平移的两要素：平移的________和平移的________.
2、性质：
（1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动，平移前后的两个图形是________形；
（2）连接各组对应点的线段________（或在________）且________.
二、轴对称
1、定义：把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形________，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做________.
2、性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是________形.
（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的________.
（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在______上.
3、判定：如果两个图形的对应点连线被同一条直线________，那么这两个图形关于这条直线对称.
4、轴对称图形：把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相________，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.
三、旋转
1、定义：把一个图形绕某一点O转动一个________的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.
注意：旋转三要素：旋转________、旋转________、旋转________.
2、性质：（1）对应点到旋转中心的距离________.
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于________.
四、中心对称
1、定义：把一个图形绕着某一个点旋转________，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的________.
2、性质：（1）关于中心对称的两个图形是________.
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过________，并且被对称中心平分.
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段________（或在________）且________.
3、判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点________，那么这两个图形关于这一点对称.
4、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相________，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心.
考点一：图形的平移
如图将△ABE向右平移3 cm得到△DCF，已知△ABE的周长是16 cm．
（1）试判断AD与EF的关系，并证明．
（2）求四边形ABFD的周长．
【答案】（1）猜想： （2）四边形ABFD周长为22厘米
【解析】解：（1）由平移性质可知△ABE≌△DCF，
∴AD=BC,AD∥BC，
∴BE=CF,
∴BC=EF，
∴：
（2）∵△ABE向右平移3cm得到△DCF，
∴DF=AE，
∴四边形ABFD的周长=AB+BE+DF+AD+EF=AB+BE+AE+AD+EF=△ABE的周长+AD+EF，
∵平移距离为3cm，
∴AD=EF=3cm，
∵△ABE的周长是16cm，
∴四边形ABFD的周长=16+3+3=22cm.
【点评】（1）根据平移，可知△ABE≌△DCF，得AD=BC,AD∥BC，BE=CF,因此BC=EF,可得AD=EF,即可得结论.（2）根据平移的性质可得DF=AE，然后判断出四边形ABFD的周长=△ABE的周长+AD+EF，然后代入数据计算即可得解．【出处：21教育名师】
变式跟进1如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于 ．
考点二：识别轴对称图形和中心对称图形
下面四个图案依次是我国汉字中的“福禄寿喜”的艺术字图．这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ②③④
【答案】C
【解析】根据中心对称图形的概念可知第②和第④个图形为中心对称图形，故选C.
【点评】利用中心对称图形的定义进行判断.
变式跟进2下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的个数是（ ）．
A. B. C. D.
考点三：有关于轴对称、旋转（中心对称）的作图与计算
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC关于轴对称的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB2C2，点C2在AB上．
①旋转角为多少度？
②写出点B2的坐标．
【答案】（1）△ABC关于轴对称的△A1B1C1如图所示；（2）①由图可知，旋转角为90°；②点B2的坐标为（6，2）．21教育网
【解析】解：（1）△ABC关于轴对称的△A1B1C1如图所示；
（2）①由图可知，旋转角∠CAC2 =90°，即旋转了90°；
②∵A（3，2）、B（3，5）∴AB=5-2=3=AB2 ，B2 的横坐标是3+3=6，B2 的纵坐标是2，
∴B2的坐标为（6，2）．
【点评】（1）关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数，描点作图即可；（2）①AC2 与AC的夹角为90°，所以旋转角为90°；②观察旋转可知B2 的横坐标是：A的横坐标+AB的长，其纵坐标为A的纵坐标.21·cn·jy·com
变式跟进3方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．2-1-c-n-j-y
（1）试作出△ABC以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C；
（2）以原点O为对称中心，再画出与△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标 ．21*cnjy*com
考点四：轴对称性质的应用
小明是我校手工社团的一员,他在做折纸手工,如图所示在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是BC的中点,点F是边CD上的任意一点,△AEF的周长最小时,则DF的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】如图作点E关于直线CD的对称点E′,连接AE′与直线CD交于点F. 此时△AEF的周长最小.21世纪教育网版权所有
∵BE=EC=CE′=4,AB=CD=6,CF∥AB，
∴CF:AB=CE′:BE′=1:3，
∴CF=2，
∴DF=CD?CF=4.
故选D.
【点评】利用轴对称的性质，并结合三角形两边之和大于第三边即可找到△AEF的周长最小时点F的位置，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解.21*cnjy*com
变式跟进4如图,矩形ABCD的顶点AB在x轴上,点D的坐标为（3,4），点E在边BC上,△CDE沿DE翻折后点C恰好落在x轴上点F处,若△ODF为等腰三角形,点C的坐标为_______．
考点五：图形的折叠
如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为AB，再把以AB的中点O为顶点的平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】D
【解析】解：由第二个图形可知：∠AOB被平分成了三个角，每个角为60°，它将成为展开得到图形的中心角，
那么所剪出的平面图形是360°÷60°=6边形．
故选D．
【解析】本题主要考查轴对称知识，对于此类问题，只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
变式跟进5如图，在矩形ABCD（AB＜AD）中，将△ABE沿AE对折，使AB边落在对角线AC上，点B的对应点为F，同时将△CEG沿EG对折，使CE边落在EF所在直线上，点C的对应点为H．
（1）证明：AF∥HG（图（1））；
（2）如果点C的对应点H恰好落在边AD上（图（2））．判断四边形AECH的形状，并说明理由．
考点六：旋转性质的应用
如图，在中， ，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转转角的度数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵， ，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，
∴．
故选：C.
【点评】利用旋转的性质进行求解即可.
变式跟进6四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，如图所示，如果AF=4，AB=7，
（1）指出旋转中心和旋转角度；
（2）求DE的长度；
（3）BE与DF的位置关系如何？
考点七：最短路线问题
如图，边长为4的正方形ABCD，点P是对角线BD上一动点，点E在边CD上，EC=1，则PC+PE的最小值是 ．
【答案】5.
【解析】解：连接AC、AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于直线BD对称，
∴AE的长即为PC+PE的最小值，
∵CD=4，CE=1，
∴DE=3，
在Rt△ADE中，
∵AE==5，
∴PC+PE的最小值为5．
【点评】由正方形和轴对称的性质可得，A与C关于直线BD对称，连接AE，利用两点之间线段最短，即可求出PC+PE的最小值.
变式跟进7观察发现
如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：
作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．21·世纪*教育网
如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：
作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 ．
实践运用
如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，求BP+AP的最小值．
拓展延伸
如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使△PMN的周长最小，保留作图痕迹，不写作法．【来源：21·世纪·教育·网】
一、选择题
1、（2017?北京）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
2、（2017?黄石）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
3、（2017?河北）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是（?? ）
A、① B、② C、③ D、④
4、（2017?绍兴）一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是（??? ）www.21-cn-jy.com
A、 B、
C、 D、
5、（2017?河南）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（?? ）
A、 B、2 ﹣ C、2 ﹣ D、4 ﹣
6、（2017?营口）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（?? ） 2·1·c·n·j·y
A、4 B、5 C、6 D、7
7、（2017·嘉兴）一张矩形纸片 ，已知 ， ，小明按所给图步骤折叠纸片，则线段 长为（?? ）【来源：21cnj*y.co*m】
A、 B、 C、 D、
8、（2017·嘉兴）如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， ．若平移点 到点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（ ??）
A、向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B、向左平移 个单位，再向上平移1个单位
C、向右平移 个单位，再向上平移1个单位
D、向右平移1个单位，再向上平移1个单位
9、（2017·台州）如图，矩形EFGH四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF，将△AEH，△CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的 时，则 为（??? ）
A、 B、2 C、 D、4
10、（2017?河北）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作： 将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（?? ）
A、1.4 B、1.1 C、0.8 D、0.5
二、填空题
11、（2017?北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一中由△OCD得到△AOB的过程：________．
12、（2016?娄底）从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个圆形中任取一个，取到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是________．
13、（2011?绍兴）取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，把剪下的①这部分展开，平铺在桌面上．若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为________．
14、（2017?营口）在矩形纸片ABCD中，AD=8，AB=6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为________．
15、（2016?日照）如图，△ABC是一张直角三角形纸片，∠C=90°，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为EF，则tan∠CAE=________.
16、（2017?咸宁）如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点B恰好与点O重合．若BE=3，则折痕AE的长为________．
17、（2017?营口）如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB=2，AD=4，则阴影部分的面积为________．
三、解答题
18、（2017?宁波）在 的方格中，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形（画出一个即可）；
(2)将图2中的△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形．
19、（2017·金华）(本题10分) 如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF,HG折叠,折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形.类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩 形，这样的矩形称为叠合矩形.
(1)将□ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段________，________；S矩形AEFG:S□ABCD=________
(2)ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的长.
(3)如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC,AD20、（2017?黑龙江）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD． 旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）
若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．
一、选择题
1．（2017山东泰安期中）下列运动属于旋转的是（ ）.
A．滚动过程中的篮球的滚动 B．钟表的钟摆的摆动
C．气球升空的运动 D．一个图形沿某直线对折的过程
2．（2017北京校级模拟）下图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2017山东泰安期中）如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（ ）.
A．15° B．20° C．25° D．30°
4．（2017河北校级期末）下列运动属于平移的是（ ）
A．荡秋千 B．地球绕着太阳转
C．风筝在空中随风飘动 D．急刹车时，汽车在地面上的滑动
5．（2016哈尔滨南岗区期末）在如图所示的花坛的图案中，圆形的内部有菊花组成的内接等边三角形，则这个图案（ ）
A．是轴对称图形但不是中心对称图形 B．既是轴对称图形又是中心对称图形
C．是中心对称图形但不是轴对称图形 D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形
6．（2017天津西青区期末）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（ ）
A．34° B．36° C．38° D．40°
7．（2017贵州黔南州期中）如图，∠AOB内一点P，，分别是P关于OA、OB的对称点，交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则的长为（ ）.
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
8．（2017山西三县联考）如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A． B．6 C． D．3
二、填空题
9．（2017杭州校级月考）把一个正方形绕着其对称中点旋转一定的角度，要使旋转后的图形与原来的图形重合，那么旋转的角度至少是 ________．
10．（2017广东河源校级月考）如图，将三角形纸板ABC沿直线AB平移，使点A移到点B，若∠CAB=50°，若∠ABC=100°，则∠CBE的度数为________.
11．（2017鄂州梁子湖区联考）如图所示，在长为50米，宽为30米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路(图中阴影部分)，宽均为1米，其他部分均种植花草。则种植花草的面积是____________米2； www-2-1-cnjy-com
12．（2017江苏南通校级期中）如图将□ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B’处.若∠1=∠2=44°，则∠B为____°．21教育名师原创作品
13．（2017淄博张店区一模）如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC ，交DC与点E，将△BCE绕点C按顺时针旋转90°得到△DCF, 若CE=3cm，则BF=_______cm．
14．（2017江苏苏州校级二模）如图， 中， ， ， ， 绕点顺时针旋转得，当落在边上时，连接，取的中点，连接，则的长度是__________．
15．（2017江苏扬州校级二模）如图，在△ABC中，AB=6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为 ．
16．（2017重庆校万州模拟）如图，点是正方形内一点，连接、、，并延长与交于点， ， ，，将绕点旋转至，连接、，则线段的长为___________．
17．（2017广西南宁校级一模）如图，在Rt△OBC中，OB与x轴正半轴重合，∠OBC=90°，且OC=2，BC=，将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB1=OC，得到△OB1C1，将△OB1C1绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB2=OC，得到△OB2C2，…，如此继续下去，得到△OB2016C2016，则点C2016的坐标为__．
三、解答题
18．（2017辽宁营口校级四模）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)、B(-6，0)、C(-1，0)．
（1）请直接写出点A关于原点O对称的点的坐标；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，写出点B的对应点的坐标；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
19．（2017内蒙古赤峰宁城县期末）已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长度始终相等？并说明理由．
20．（2017南阳淅川县期末）如图，取一副三角板按图1拼接，固定三角板ADE（含30°），将三角板ABC（含45°）绕点A顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°），试问：
（1）当∠α=_____度时，能使图2中的AB∥DE；
（2）当旋转到AB与AE重叠时（如图3），则∠α=_____度；
（3）当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α的所有可能的度数；
（4）当0°＜α≤45°时，连接BD（如图4），探求∠DBC+∠CAE+∠BDE的值的大小变化情况，并说明理由．21cnjy.com
3.3 对称图形（平移、旋转与对称）
一、平移
1、定义:把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移.
注意：平移的两要素：平移的方向和平移的距离.
2、性质：（1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动，平移前后的两个图形是全等形；
（2）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等.
二、轴对称
1、定义：把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴.
2、性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形.
（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.
（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
3、判定：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
4、轴对称图形：把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.
三、旋转
1、定义：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.
注意：旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度.
2、性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等.
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
四、中心对称
1、定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
2、性质：（1）关于中心对称的两个图形是全等形.
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等.
3、判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.
4、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心.
考点一：图形的平移
如图将△ABE向右平移3 cm得到△DCF，已知△ABE的周长是16 cm．
（1）试判断AD与EF的关系，并证明．
（2）求四边形ABFD的周长．
【答案】（1）猜想： （2）四边形ABFD周长为22厘米
【解析】解：（1）由平移性质可知△ABE≌△DCF，
∴AD=BC,AD∥BC，
∴BE=CF,
∴BC=EF，
∴：
（2）∵△ABE向右平移3cm得到△DCF，
∴DF=AE，
∴四边形ABFD的周长=AB+BE+DF+AD+EF=AB+BE+AE+AD+EF=△ABE的周长+AD+EF，
∵平移距离为3cm，
∴AD=EF=3cm，
∵△ABE的周长是16cm，
∴四边形ABFD的周长=16+3+3=22cm.
【点评】（1）根据平移，可知△ABE≌△DCF，得AD=BC,AD∥BC，BE=CF,因此BC=EF,可得AD=EF,即可得结论.（2）根据平移的性质可得DF=AE，然后判断出四边形ABFD的周长=△ABE的周长+AD+EF，然后代入数据计算即可得解．www-2-1-cnjy-com
变式跟进1如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于 ．
【答案】4或8．
【解析】解：设AC交A′B′于H，
∵∠A=45°，∠D=90°,
∴△A′HA是等腰直角三角形．
设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=12﹣x,
∴x?（12﹣x）=32,
∴x=4或8，
即AA′=4或8．
故答案为：4或8．
【点评】考查了平移的性质及一元二次方程的解法等知识，解决本题关键是抓住平移后图形的特点，利用方程方法解题．根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=12﹣x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．2·1·c·n·j·y
考点二：识别轴对称图形和中心对称图形
下面四个图案依次是我国汉字中的“福禄寿喜”的艺术字图．这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ②③④
【答案】C
【解析】根据中心对称图形的概念可知第②和第④个图形为中心对称图形，故选C.
【点评】利用中心对称图形的定义进行判断.
变式跟进2下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的个数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A为中心对称图形，
B为中心对称、轴对称图形，
C为中心对称轴对称图形，
D为轴对称图形．
故选：B.
【点评】利用轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可.
考点三：有关于轴对称、旋转（中心对称）的作图与计算
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC关于轴对称的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB2C2，点C2在AB上．
①旋转角为多少度？
②写出点B2的坐标．
【答案】（1）△ABC关于轴对称的△A1B1C1如图所示；（2）①由图可知，旋转角为90°；②点B2的坐标为（6，2）．【来源：21·世纪·教育·网】
【解析】解：（1）△ABC关于轴对称的△A1B1C1如图所示；
（2）①由图可知，旋转角∠CAC2 =90°，即旋转了90°；
②∵A（3，2）、B（3，5）∴AB=5-2=3=AB2 ，B2 的横坐标是3+3=6，B2 的纵坐标是2，
∴B2的坐标为（6，2）．
【点评】（1）关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数，描点作图即可；（2）①AC2 与AC的夹角为90°，所以旋转角为90°；②观察旋转可知B2 的横坐标是：A的横坐标+AB的长，其纵坐标为A的纵坐标.
变式跟进3方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
（1）试作出△ABC以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C；
（2）以原点O为对称中心，再画出与△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标 ．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析，C2（﹣4，1）
【解析】解：根据旋转中心为点C，旋转方向为顺时针，旋转角度为90°，
所作图形如下：
．
（2）所作图形如下：
结合图形可得点C2坐标为（﹣4，1）．
【点评】（1）根据题意所述的旋转三要素，依此找到各点旋转后的对应点，顺次连接可得出△A1B1C；（2）根据中心对称点平分对应点连线，可找到各点的对应点，顺次连接可得△A2B2C2，结合直角坐标系可得出点C2的坐标．
考点四：轴对称性质的应用
小明是我校手工社团的一员,他在做折纸手工,如图所示在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是BC的中点,点F是边CD上的任意一点,△AEF的周长最小时,则DF的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】如图作点E关于直线CD的对称点E′,连接AE′与直线CD交于点F. 此时△AEF的周长最小.
∵BE=EC=CE′=4,AB=CD=6,CF∥AB，
∴CF:AB=CE′:BE′=1:3，
∴CF=2，
∴DF=CD?CF=4.
故选D.
【点评】利用轴对称的性质，并结合三角形两边之和大于第三边即可找到△AEF的周长最小时点F的位置，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解.
变式跟进4如图,矩形ABCD的顶点AB在x轴上,点D的坐标为（3,4），点E在边BC上,△CDE沿DE翻折后点C恰好落在x轴上点F处,若△ODF为等腰三角形,点C的坐标为_______．
【答案】（8，4）或（3+2，4）或（，4）．
【解析】解：有三种情况：
（1）当时,
在Rt△AOD中,
,
，
，
点C坐标.
（2）当时,
,，
,，
点C坐标.
（3）当时,设，
在Rt△ADF中,
，
，
，
点C坐标.
综上所述,满足条件的点C坐标或或.
【点评】本题可以从，，这三种情况进行讨论，并求解.
考点五：图形的折叠
如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为AB，再把以AB的中点O为顶点的平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】D
【解析】解：由第二个图形可知：∠AOB被平分成了三个角，每个角为60°，它将成为展开得到图形的中心角，
那么所剪出的平面图形是360°÷60°=6边形．
故选D．
【解析】本题主要考查轴对称知识，对于此类问题，只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
变式跟进5如图，在矩形ABCD（AB＜AD）中，将△ABE沿AE对折，使AB边落在对角线AC上，点B的对应点为F，同时将△CEG沿EG对折，使CE边落在EF所在直线上，点C的对应点为H．
（1）证明：AF∥HG（图（1））；
（2）如果点C的对应点H恰好落在边AD上（图（2））．判断四边形AECH的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）菱形
【解析】证明：（1）由对折（轴对称）性质可得：∠AFE=∠B=90°，∠H=∠BCD=90°
∴∠AFH=∠AFE=∠H
∴AF∥HG
（2）四边形 AECH是菱形．理由如下：
∵AD∥BC
∴∠AEB=∠DAE
∵∠AEB=∠AEH
∴∠DAE=∠AEH
∴AH=EH
∵EC=EH
∴AH=EC
∵AH∥EC，AC⊥EH
∴四边形 AECH是菱形.
【点评】（1）由轴对称性质可得∠AFE=∠B=90°，∠H=∠BCD=90°，问题得证；（2）根据平行线的性质可得∠AEB=∠DAE，再结合∠AEB=∠AEH可得∠DAE=∠AEH，即可证得AH=EH，由EC=EH可得AH=EC，再结合AH∥EC，AC⊥EH即可证得结论.
考点六：旋转性质的应用
如图，在中， ，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转转角的度数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵， ，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，
∴．
故选：C.
【点评】利用旋转的性质进行求解即可.
变式跟进6四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，如图所示，如果AF=4，AB=7，21*cnjy*com
（1）指出旋转中心和旋转角度；
（2）求DE的长度；
（3）BE与DF的位置关系如何？
【答案】（1）旋转角度为90°或270°；（2）DE= 3；（3）BE与DF是垂直关系．
【解析】解：（1）根据正方形的性质可知：△AFD≌△AEB，即AE=AF=4，∠EAF=90°，∠EBA=∠FDA；
可得旋转中心为点A；旋转角度为90°或270°；
（2）DE=AD﹣AE=7﹣4=3；
（3）∵∠EAF=90°，∠EBA=∠FDA，
∴延长BE与DF相交于点G，则∠GDE+∠DEG=90°，
∴BE⊥DF，
即BE与DF是垂直关系．
【点评】先根据正方形的性质得到：△AFD≌△AEB，从而得出等量关系AE=AF=4，∠EAF=90°，∠EBA=∠FDA，找到旋转中心和旋转角度．这些等量关系即可求出DE=AD﹣AE=7﹣4=3；BE⊥DF．
考点七：最短路线问题
如图，边长为4的正方形ABCD，点P是对角线BD上一动点，点E在边CD上，EC=1，则PC+PE的最小值是 ．
【答案】5.
【解析】解：连接AC、AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于直线BD对称，
∴AE的长即为PC+PE的最小值，
∵CD=4，CE=1，
∴DE=3，
在Rt△ADE中，
∵AE==5，
∴PC+PE的最小值为5．
【点评】由正方形和轴对称的性质可得，A与C关于直线BD对称，连接AE，利用两点之间线段最短，即可求出PC+PE的最小值.
变式跟进7观察发现
如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：
作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．21cnjy.com
如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：
作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 ．
实践运用
如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，求BP+AP的最小值．
拓展延伸
如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使△PMN的周长最小，保留作图痕迹，不写作法．21*cnjy*com
【答案】（1）；（2）；（3）作图见解析.
【解析】 解：（1）观察发现
如图（2），CE的长为BP+PE的最小值，
∵在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点
∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，
∴CE=BE=；
（2）实践运用
如图（3），过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，
∵BE⊥CD，
∴CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，
∵的度数为60°，点B是的中点，
∴∠BOC=30°，∠AOC=60°，
∴∠EOC=30°，
∴∠AOE=60°+30°=90°，
∵OA=OE=1，
∴AE=OA=，
∵AE的长就是BP+AP的最小值．
故答案为；
（3）拓展延伸:如图（4）．
【点睛】（1）观察发现：利用作法得到CE的长为BP+PE的最小值；由AB=2，点E是AB的中点，根据等边三角形的性质得到CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，再根据含30度的直角三角形三边的关系得CE=；（2）实践运用：过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，根据垂径定理得到CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，则AE的长就是BP+AP的最小值；由于的度数为60°，点B是的中点得到∠BOC=30°，∠AOC=60°，所以∠AOE=60°+30°=90°，于是可判断△OAE为等腰直角三角形，则AE=OA=；（3）拓展延伸：分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F，然后连结EF，EF交AB于M、交BC于N．
一、选择题
1、（2017?北京）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项正确； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选A．
【点评】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
2、（2017?黄石）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．
故选D．
【点评】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
3、（2017?河北）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是（?? ）
A、① B、② C、③ D、④
【答案】C
【解析】解：当正方形放在③的位置，即是中心对称图形． 故选：C．
【点评】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案．
4、（2017?绍兴）一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是（??? ）
A、 B、
C、 D、
【答案】B
【解析】解：绕MN翻折180°后，是下面的图形：
再逆时针旋转90°，可得
故选B.
【点评】绕MN翻折180°，本来排在第一行的横纸条排在了第5条，而且5根竖条，分别叠放在它的下、上、上、下、上面，通过这样的分析，确认五根横条的位置，再将其逆时针旋转90°可得答案.
5、（2017?河南）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（?? ）
A、 B、2 ﹣ C、2 ﹣ D、4 ﹣
【答案】C
【解析】解：连接OO′，BO′， ∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，
∴∠OAO′=60°，
∴△OAO′是等边三角形，
∴∠AOO′=60°，
∵∠AOB=120°，
∴∠O′OB=60°，
∴△OO′B是等边三角形，
∴∠AO′B=120°，
∵∠AO′B′=120°，
∴∠B′O′B=120°，
∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，
∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B﹣（S扇形O′OB﹣S△OO′B）= ×1×2 ﹣（ ﹣ ×2× ）=2 ﹣ ．【来源：21cnj*y.co*m】
故选C．
【点评】连接OO′，BO′，根据旋转的想知道的∠OAO′=60°，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′=60°，推出△OO′B是等边三角形，得到∠AO′B=120°，得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°，根据图形的面积公式即可得到结论．
6、（2017?营口）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（?? ）
A、4 B、5 C、6 D、7
【答案】B
【解析】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP． 此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．21·cn·jy·com
∵DC=1，BC=4，
∴BD=3，
连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，
∴∠CBC′=90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，
∴BC=BC′=4，
根据勾股定理可得DC′= = =5．
故选B．
【点评】过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP，此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．由DC=1，BC=4，得到BD=3，连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，于是得到∠CBC′=90°，然后根据勾股定理即可得到结论．
7、（2017·嘉兴）一张矩形纸片 ，已知 ， ，小明按所给图步骤折叠纸片，则线段 长为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】解：由折叠可得，A'D=AD=A'E=2,
则A'C'=A'C=1，
则GC'是△DEA'的中位线，
而DE=,
则GG=DE=。
故选A.
【点评】第一折叠可得A'D=AD=A'E=2,则可得A'C'=A'C=1，即可得GC'是△DEA'的中位线，则GG=DE，求出DE即可.
8、（2017·嘉兴）如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， ．若平移点 到点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（ ??）
A、向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B、向左平移 个单位，再向上平移1个单位
C、向右平移 个单位，再向上平移1个单位
D、向右平移1个单位，再向上平移1个单位
【答案】D
【解析】解：因为B（1,1）
由勾股定理可得OB=,
所以OA=OB，
而AB故以AB为对角线，OB//AC，
由O（0,0）移到点B（1,1）需要向右平移1个单位，再向上平移1个单位，
由平移的性质可得由A（,0）移到点C需要向右平移1个单位，再向上平移1个单位，
故选D.
【点评】根据平移的性质可得OB//AC，平移A到C，有两种平移的方法可使O，A，B，C四点构成的四边形是平行四边形；而OA=OB>AB，故当OA，OB为边时O，A，B，C四点构成的四边形是菱形，故点A平移到C的运动与点O平移到B的相同.
9、（2017·台州）如图，矩形EFGH四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF，将△AEH，△CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的 时，则 为（??? ）
A、 B、2 C、 D、4
【答案】A
【解析】解：依题可得阴影部分是菱形.
∴设S菱形ABCD=16,BE=x.
∴AB=4.
∴阴影部分边长为4-2x.
∴（4-2x）2=1.
∴4-2x=1或4-2x=-1.
∴x=或x=（舍去）.
∴==.
故答案为A.
【点评】依题可得阴影部分是菱形.设S菱形ABCD=16,BE=x.从而得出AB=4，阴影部分边长为4-2x.根据（4-2x）2=1求出x,从而得出答案.
10、（2017?河北）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作： 将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（?? ）
A、1.4 B、1.1 C、0.8 D、0.5
【答案】C
【解析】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线， 观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 小于等于1，
故选C．
【点评】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 小于等于1，由此即可判断．
二、填空题
11、（2017?北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一中由△OCD得到△AOB的过程：________．
【答案】△OCD绕C点旋转90°，并向左平移2个单位得到△AOB
【解析】解：△OCD绕C点旋转90°，并向左平移2个单位得到△AOB（答案不唯一）． 故答案为：△OCD绕C点旋转90°，并向左平移2个单位得到△AOB．
【点评】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△OCD得到△AOB的过程．
12、（2016?娄底）从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个圆形中任取一个，取到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是________．
【答案】
【解析】解：∵在线段、等边三角形、圆、矩形、正六边形这五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有线段、圆、矩形、正六边形，共4个，∴取到的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为 ，故答案为： ．
【点评】先找出既是轴对称图形又是中心对称图形的个数，再根据概率公式进行计算即可．此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
13、（2017?绍兴）取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，把剪下的①这部分展开，平铺在桌面上．若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为________．
【答案】：2
【解析】解：作OB⊥AD，根据已知可以画出图形，
∵根据折叠方式可得：
AB=AD，CD=CE，∠OAB=60°，AO等于正六边形的边长，
∴∠BOA=30°，
∴2AB=AO，
=tan60°= ，
∴BO：AM= ：2．
故答案为： ：2．
【点评】根据已知折叠方法，动手折叠得出平面几何图形，得出各个部分对应边的长度，即可得出答案．
14、（2017?营口）在矩形纸片ABCD中，AD=8，AB=6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为________．
【答案】3或6
【解析】解：∵AD=8，AB=6，四边形ABCD为矩形， ∴BC=AD=8，∠B=90°，
∴AC= =10．
△EFC为直角三角形分两种情况：①当∠EFC=90°时，如图1所示．
∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，
∴点F在对角线AC上，
∴AE平分∠BAC，
∴ = ，即 = ，
∴BE=3；②当∠FEC=90°时，如图2所示．
∵∠FEC=90°，
∴∠FEB=90°，
∴∠AEF=∠BEA=45°，
∴四边形ABEF为正方形，
∴BE=AB=6．
综上所述：BE的长为3或6．
故答案为：3或6．
【点评】由AD=8、AB=6结合矩形的性质可得出AC=10，△EFC为直角三角形分两种情况：①当∠EFC=90°时，可得出AE平分∠BAC，根据角平分线的性质即可得出 = ，解之即可得出BE的长度；②当∠FEC=90°时，可得出四边形ABEF为正方形，根据正方形的性质即可得出BE的长度．
15、（2016?日照）如图，△ABC是一张直角三角形纸片，∠C=90°，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为EF，则tan∠CAE=________.
【答案】
【解析】解：设CE=x，则BE=AE=8﹣x，
∵∠C=90°，AC=6，
∴62+x2=（8﹣x）2 ，
解得，x= ，
∴tan∠CAE= = = ，
故答案为： ．
【点评】根据题意可以求得CE的长，从而可以求得tan∠CAE的值．本题考查翻折变换、解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数值解答问题．21·世纪*教育网
16、（2017?咸宁）如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点B恰好与点O重合．若BE=3，则折痕AE的长为________．
【答案】6
【解析】解：由题意得：AB=AO=CO，即AC=2AB，
且OE垂直平分AC，
∴AE=CE，
设AB=AO=OC=x，
则有AC=2x，∠ACB=30°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC= x，
在Rt△OEC中，∠OCE=30°，
∴OE= EC，即BE= EC，
∵BE=3，
∴OE=3，EC=6，
则AE=6，
故答案为：6
【点评】由折叠的性质及矩形的性质得到OE垂直平分AC，得到AE=EC，根据AB为AC的一半确定出∠ACE=30°，进而得到OE等于EC的一半，求出EC的长，即为AE的长．
17、（2017?营口）如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB=2，AD=4，则阴影部分的面积为________．
【答案】π﹣2
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=4，CD=AB=2，∠BCD=∠ADC=90°，
∴CE=BC=4，
∴CE=2CD，
∴∠DEC=30°，
∴∠DCE=60°，
由勾股定理得：DE=2 ，
∴阴影部分的面积是S=S扇形CEB′﹣S△CDE= ﹣ ×2×2 = ，
故答案为： ．
【点评】先求出CE=2CD，求出∠DEC=30°，求出∠DCE=60°，DE=2 ，分别求出扇形CEB′和三角形CDE的面积，即可求出答案．
三、解答题
18、（2017?宁波）在 的方格中，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形（画出一个即可）；
(2)将图2中的△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形．
【答案】答案见解析
【解析】
（1）解：画出下列其中一个即可.
（2）解：
【点评】（1）根据轴对称图形的定义即可画出三角形.
（2）根据中心对称图形的定义即可画出旋转后的三角形.
19、（2017·金华）(本题10分) 如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF,HG折叠,折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形.类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩 形，这样的矩形称为叠合矩形.
(1)将□ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段________，________；S矩形AEFG:S□ABCD=________
(2)ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的长.
(3)如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC,AD【答案】答案见解析
【解析】解：（1）由图可以观察出叠合的矩形是由AE和GF折叠而成，所以△ABE≌△AHE;四边形AGFH≌四边形DGFC;所以S矩形AEFG:S□ABCD=1：2.
故答案为：AE；GF；1:2
（2）∵四边形EFGH是叠合矩形，∠FEH=90°,EF=5,EH=12;
∴FH===13;
由折叠的轴对称性可知：DH=NH,AH=HM,CF=FN;
易证△AEH≌△CGF;
∴CF=AH;
∴AD=DH+AH=HN+FN=FH=13.
（3）本题有以下两种基本折法，如图1，图2所示.
按图1的折法，则AD=1，BC=7.
按图2的折法，则AD=,BC=.
【点评】（1）由图2观察可得出答案为AE,GF,由折叠的轴对称性质可得出答案为1：2.
（2）由EF和EH的长度根据勾股定理可求出FH的长度，再由折叠的轴对称性质易证△AEH≌△CGF;再根据全等三角形的性质可得出AD的长度.
（3）由折叠的图可分别求出AD和BC的长度.
20、（2017?黑龙江）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD． 旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）
若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．
【答案】答案见解析
【解析】解：图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′， 理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，
∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，
∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，
∴AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，
在△AOC′与△BOD′中， ，
∴△AOC′≌△BOD′，
∴AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，
∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，
∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，
∴AC′⊥BD′；
图3结论：BD′= AC′，AC′⊥BD’
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABO=30°，
∴OB= OA，OD= OC，
∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，
∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，
∴OD′= OC′，∠AOC′=∠BOD′，
∴ = ，
∴△AOC′∽△BOD′，
∴ = = ，∠OAC′=∠OBD′，
∴BD′= AC′，
∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，
∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，
∴AC′⊥BD′．
【点评】图2：根据四边形ABCD是正方形，得到AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，等量代换得到AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，根据全等三角形的性质得到AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，于是得到结论； 图3：根据四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，求得OB= OA，OD= OC，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，求得OD′= OC′，∠AOC′=∠BOD′，根据相似三角形的性质得到BD′= AC′，于是得到结论．
一、选择题
1．（2017山东泰安期中）下列运动属于旋转的是（ ）.
A．滚动过程中的篮球的滚动 B．钟表的钟摆的摆动
C．气球升空的运动 D．一个图形沿某直线对折的过程
【答案】B．
【解析】A、滚动过程中的篮球属于滚动，不是绕着某一个固定的点转动，不属旋转；B、钟表的钟摆的摆动，符合旋转变换的定义，属于旋转；C、气球升空的运动是平移，不属于旋转；D、一个图形沿某直线对折的过程是轴对称，不属于旋转．www.21-cn-jy.com
故选：B．
【点评】根据旋转变换的概念，对选项进行分析，排除错误答案．
2．（2017北京校级模拟）下图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，故此选项正确；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．
【点评】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【出处：21教育名师】
3．（2017山东泰安期中）如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（ ）.
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】C．
【解析】解：因为∠AOF=90°+40°=130°，且OA=OF，
所以三角形OAF为等腰三角形
所以∠OFA=（180°-130°）÷2=25°．
故选：C．
【点评】先根据正方形的性质和旋转的性质得到∠AOF的度数再根据等腰三角形的性质即可求出∠OFA的度数.
4．（2017河北校级期末）下列运动属于平移的是（ ）
A．荡秋千 B．地球绕着太阳转
C．风筝在空中随风飘动 D．急刹车时，汽车在地面上的滑动
【答案】D
【解析】解：A、荡秋千不符合平移的性质，不属于平移，故本选项错误；
B、地球绕着太阳转不符合平移的性质，不属于平移，故本选项错误；
C、风筝在空中随风飘动，不符合平移的性质，故本选项错误；
D、急刹车时，汽车在地面上的滑动，符合平移的性质，故本选项正确．
故选D．
【点评】利用平移的概念进行判断.
5．（2016哈尔滨南岗区期末）在如图所示的花坛的图案中，圆形的内部有菊花组成的内接等边三角形，则这个图案（ ）
A．是轴对称图形但不是中心对称图形 B．既是轴对称图形又是中心对称图形
C．是中心对称图形但不是轴对称图形 D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形
【答案】A
【解析】所给图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．故选A．
【点评】利用中心对称图形和轴对称图形的定义进行判断．
6．（2017天津西青区期末）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（ ）
A．34° B．36° C．38° D．40°
【答案】C．
【解析】解：由题意得，∠AOD=31°，∠BOC=31°，又∠AOC=100°，
∴∠DOB=100°﹣31°﹣31°=38°．
故选C．
【点评】利用旋转的性质即可进行判断．
7．（2017贵州黔南州期中）如图，∠AOB内一点P，，分别是P关于OA、OB的对称点，交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则的长为（ ）.
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】C．
【解析】解：根据轴对称的性质可得PM=，PN=，
而△PMN的周长=PM+MN+PN=+MN+ =，
又∵△PMN的周长是5cm，
∴=5cm．
故选：C．
【点评】根据轴对称的性质，将P、M、N三点化为一线即可求解．
8．（2017山西三县联考）如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A． B．6 C． D．3
【答案】C
【解析】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴M′H=M′N′，
∴BH是点B到直线AC的最短距离，
∵AB=6，∠BAC=45°，
∴BH=AB?sin45°=6×=3．
∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=3．
故选C．
【点评】本题考查最短路径问题，作出BH⊥AC，即垂线段最短是解题的关键.
二、填空题
9．（2017杭州校级月考）把一个正方形绕着其对称中点旋转一定的角度，要使旋转后的图形与原来的图形重合，那么旋转的角度至少是 ________．
【答案】90°
【解析】解：正方形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点， 根据正方形的性质两对角线相互垂直， 所以正方形要绕它的中心至少旋转90°，才能与原来的图形重合．【版权所有：21教育】
故答案为：90°
【点评】此题主要考查正方形的性质，正方形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点．
10．（2017广东河源校级月考）如图，将三角形纸板ABC沿直线AB平移，使点A移到点B，若∠CAB=50°，若∠ABC=100°，则∠CBE的度数为________.21教育网
【答案】30°．
【解析】解：∵将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，
∴AC∥BE，
∴∠CAB=∠EBD=50°，
∵∠ABC=100°，
∴∠CBE的度数为：180°﹣50°﹣100°=30°．
故答案是30°．
【点评】利用平移的性质即可求解．
11．（2017鄂州梁子湖区联考）如图所示，在长为50米，宽为30米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路(图中阴影部分)，宽均为1米，其他部分均种植花草。则种植花草的面积是____________米2；
【答案】1421
【解析】根据题意，小路的面积相当于横向与纵向的两条小路，
种植花草的面积=(50?1)(30?1)=1421m2.
故答案为：1421m2.
【点评】利用平移的知识以左上角的空地为基础，将其他三块平移，即可将小路化为一纵一横两条小路，其面积相等.
12．（2017江苏南通校级期中）如图将□ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B’处.若∠1=∠2=44°，则∠B为____°．
【答案】114
【解析】解：因为AB∥CD，∠1＝∠B′AB=44°，由于折叠，∠BAC=∠B＇AC=22°，在△ABC中，∠B=180°－∠2－∠CAB=114°.
【点评】根据轴对称的性质即可求解.
13．（2017淄博张店区一模）如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC ，交DC与点E，将△BCE绕点C按顺时针旋转90°得到△DCF, 若CE=3cm，则BF=_______cm．
【答案】
【解析】解：如图所示，过点E作EM⊥BD于点M.
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC=45°,∠BCD=90°，
∴△DEM为等腰直角三角形。
∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，EC⊥BC，
∴EM=EC=3，
∴DE=EM=，
∴BC=CD=+3.
由旋转的性质可知：CF=CE=3，
∴BF=BC+CF=+3+3=6+.
故答案为：6+.
【点评】过点E作EM⊥BD于点M，则△DEM为等腰直角三角形，根据角平分线以及等腰直角三角形的性质即可得出DE的长度，再根据正方形以及旋转的性质，即可得出线段BF的长．
14．（2017江苏苏州校级二模）如图， 中， ， ， ， 绕点顺时针旋转得，当落在边上时，连接，取的中点，连接，则的长度是__________．
【答案】
【解析】解：， ， ，
， ， ，
，
是等边三角形， ，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴， ， ，
∵，
∴．
【点评】利用旋转的性质、等边三角形的性质及勾股定理即可求解.
15．（2017江苏扬州校级二模）如图，在△ABC中，AB=6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为 ．2-1-c-n-j-y
【答案】4cm2．
【解析】解：AC与BA′相交于D，如图，
∵△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，
∴∠ABA′=45°，BA′＝BA=4，△ABC≌△A′BC′，
∴S△ABC=S△A′BC′，
∵S四边形AA′C′B=S△ABC+S阴影部分=S△A′BC′+S△ABA′，
∴S阴影部分=S△ABA′，
∵∠BAC=45°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴∠ADB=90°，AD=AB=2，
∴S△ABA′=AD?BA′=×2×4=4（cm2），
∴S阴影部分=4cm2．
【点评】本题主要考查旋转的性质，解题的关键在于阴影部分的面积的转化．
16．（2017重庆校万州模拟）如图，点是正方形内一点，连接、、，并延长与交于点， ， ，，将绕点旋转至，连接、，则线段的长为___________．
【答案】
【解析】解：作BM⊥AF垂足为F， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90°， ∵△ADE绕点A顺时针旋转后得到△ABG，
∴∠EAG=∠DAB=90°，DE=BG=， ∵AE=AG=2， ∴EG=， ∵EG2+EB2=（2）2+（6）2=80， BG2=（）2=80， ∴BG2=EG2+EB2， ∴∠BEG=90°， ∵∠AEG=∠AGE=45°，∠BEM+∠AEG=90°， ∴∠BEM=45°， ∵EB＝6， ∴ME=MB=6
在RT△ABM中，AB= 在△ABM和△AFB中， ， ∴△ABM∽△AFB， ∴， ∴， AF=， 在RT△AFG中，FG=．
【点评】本题考查了旋转的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理是解题的关键．
17．（2017广西南宁校级一模）如图，在Rt△OBC中，OB与x轴正半轴重合，∠OBC=90°，且OC=2，BC=，将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB1=OC，得到△OB1C1，将△OB1C1绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB2=OC，得到△OB2C2，…，如此继续下去，得到△OB2016C2016，则点C2016的坐标为__．
【答案】（22016， ?22016）
【解析】因为每一次绕点O旋转60°，所以旋转6次是一个周期，而2016÷6=336，所以点在第一象限内，根据题意得：
， ， ， ， ， .
所以.
故答案为： .
【点评】先要理解所旋转的性质，然后根据旋转的性质理解每次旋转后图形目标点的坐标变化，从中找出变化的规律，再根据规律确定某种状态下的位置及坐标．找准循环中的周期及一个循环周期内图形变化的特点，然后用图形总数除以循环周期数，进而观察商和余数，再根据余数在周期内的位置得到结果.
三、解答题
18．（2017辽宁营口校级四模）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)、B(-6，0)、C(-1，0)．
（1）请直接写出点A关于原点O对称的点的坐标；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，写出点B的对应点的坐标；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
【答案】（1）（2，-3）；
（2）画图见解析，(0，－6)；
（3）（-7，3） （3，3） （-5，-3）
【解析】解：(1)点A关于y轴对称的点的坐标是(2，3)；
(2)图形如下,点B的对应点的坐标是(0，?6)；
(3)以A. B.?C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为(?7，3)或(?5，?3)或(3，3)
【点评】（1）关于y轴的轴对称问题，对称点的坐标特点是：横坐标互为相反数，纵坐标相等．（2）坐标系里旋转90°，充分运用两条坐标轴互相垂直的关系画图．（3）分别以AB，BC，AC为平行四边形的对角线，考虑第四个顶点D的坐标，有三种可能结果．
19．（2017内蒙古赤峰宁城县期末）已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长度始终相等？并说明理由．
【答案】BE=DG，理由见解析.
【解析】解：连接BE，则BE=DG．
理由如下：
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAD﹣∠BAG=∠EAG﹣∠BAG，即∠DAG=∠BAE，
则AB=AD，∠DAG=∠BAE，AE=AG，
∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴BE=DG．
【点评】观察DG的位置，找包含DG的三角形，要使两条线段相等，只要找到与之全等的三角形，即可找到与之相等的线段．21世纪教育网版权所有
20．（2017南阳淅川县期末）如图，取一副三角板按图1拼接，固定三角板ADE（含30°），将三角板ABC（含45°）绕点A顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°），试问：
（1）当∠α=_____度时，能使图2中的AB∥DE；
（2）当旋转到AB与AE重叠时（如图3），则∠α=_____度；
（3）当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α的所有可能的度数；
（4）当0°＜α≤45°时，连接BD（如图4），探求∠DBC+∠CAE+∠BDE的值的大小变化情况，并说明理由．21教育名师原创作品
【答案】（1）15°（2）45°(3) 15°，45°，105°，135°，150° (4) 保持不变；理由见解析
【解析】解：（1）如图2，当AB∥DE时，∠BAE=∠E=30°， ∵∠BAC=45°， ∴∠CAE=45°-30°=15°， 即∠α=15°， 故答案为：15； （2）当旋转到AB与AE重叠时，∠α=∠BAC=45°， 故答案为：45；
（3）当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，旋转角α的所有可能的度数是：15°，45°，105°，135°，150°；
(4）当0°＜α＜45°，∠BDE+∠CAE+∠DBC=105°，保持不变；理由如下：
设BD分别交AC、AE于点M、N，
在△AMN中，∠AMN+∠CAE+∠ANM=180，
∵∠ANM=∠E+∠BDE，∠AMN=∠C+∠DBC，
∴∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC=180°，
∵∠C=30°，∠E=45°，
∴∠BDE+∠CAE+∠DBC=105°.
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理以及旋转的性质的运用．解题时注意：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等，每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．
