3.4 尺规作图
一、尺规作图
1、定义：在数学中，我们常限定用________的直尺和________作图，这就是尺规作图.
2、尺规作图的基本步骤：
(1)已知：写出已知的线段和角，画出________；
(2)________：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化；
(3)作法：应用“五种基本作图”，叙述时不需重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的________；
(4)证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作出的图形________题设条件；
(5)讨论：研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形；在哪些情况下，问题有一个解、多个解或者没有解；【来源：21·世纪·教育·网】
(6)结论：对所作图形下________．
二、基本作图
1、作一条线段等于已知线段，以及线段的和与差；
2、作一个角等于已知角，以及角的和与差；
3、过一点作已知直线的垂线；
4、作角的平分线；
5、作线段的垂直平分线．
三、复杂作图
1、利用基本作图作三角形
(1)已知三边作三角形；
(2)已知两边及其夹角作三角形；
(3)已知两角及其夹边作三角形；
(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；
(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．
2、与圆有关的尺规作图
(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)；
(2)作三角形的内切圆；
(3)作圆的内接正方形和正六边形．
考点一：与三角形相关的作图
根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中，主要依据是（ ）
A．用尺规作一条线段等于已知线段
B．用尺规作一个角等于已知角
C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角
D．不能确定
【答案】C
【解析】解：已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中，主要依据是：用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角．21世纪教育网版权所有
故选C．
【点评】构成三角形的基本元素有边和角，故作三角形要用到：尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角．2-1-c-n-j-y
变式跟进1已知△ABC,求作△DEF，使△DEF≌△ABC(尺规作图，保留作图痕迹)。
作法：
考点二：利用角平分线、线段的垂直平分线作图
如图所示，甲车从A处沿公路a向右行驶，同时乙车从B处出发，乙车行驶的速度与甲车行驶的速度相同，乙车要在最短的时间在公路a的点C上截住甲车，请你用尺规作图找出点C（保留作图痕迹，不写作法），并说明乙车行驶的方向。
【答案】作图见解析
【解析】解：连接AB，作线段AB的垂直平分线，交直线a于点C，
根据线段垂直平分线的性质可知 CA=CB
乙两车行驶速度相同，行驶时间相同，因此行驶路程相同
所以乙车沿BC方向行驶在公路C处截住甲车。
【点评】利用基本作图——作线段的垂直平分线即可.
变式跟进2在图中作出点P，使得点P到C、D两点的距离相等，并且点P到OA、OB的距离也相等. （用尺规作图，保留作图痕迹,不写作法.）
考点三：与圆相关的作图
下图是一个残破的圆片示意图。请找出该残片所在圆的圆心O的位置（保留画图痕迹，不必写作法）；
【答案】作图见解析
【解析】解：分别作出圆上任意两条弦，再作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心．
所以，点O就是所求的圆心．
【点评】利用圆上任意两条弦，并作出这两条弦的垂直平分线，其交点即为圆心．
变式跟进3如图,已知在等腰△ABC中,∠A＝∠B＝30°.
尺规作图：（1）过点C作CD⊥AC交AB于点D；
（2）过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；
求证：.
一、选择题
1、（2017·衢州）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线。则对应作法错误的是（??? ）21教育网
A、① B、② C、③ D、④
2、（2017?随州）如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（?? ）
A、以点F为圆心，OE长为半径画弧 B、以点F为圆心，EF长为半径画弧
C、以点E为圆心，OE长为半径画弧 D、以点E为圆心，EF长为半径画弧
3、（2017?河池）如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5，DE=6，则AG的长是（?? ） 【来源：21cnj*y.co*m】
A、6 B、8 C、10 D、12
4、（2017?深圳）如图，已知线段 ，分别以 为圆心，大于 为半径作弧，连接弧的交点得到直线 ，在直线 上取一点 ，使得 ，延长 至 ，求 的度数为（?? ）【出处：21教育名师】
A、 B、 C、 D、
5、（2015?嘉兴）数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（?? ）21教育名师原创作品
A、 B、 C、 D、
6、（2016?宜昌）任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH，HF，FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（ ）
A、△EGH为等腰三角形 B、△EGF为等边三角形
C、四边形EGFH为菱形 D、△EHF为等腰三角形
7、（2016?曲靖）如图，C，E是直线l两侧的点，以C为圆心，CE长为半径画弧交l于A，B两点，又分别以A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CA，CB，CD，下列结论不一定正确的是（? ）
A、CD⊥l B、点A，B关于直线CD对称
C、点C，D关于直线l对称 D、CD平分∠ACB
8、（2016?漳州）下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（ ）
A、B、 C、 D、
9、（2015?衢州）数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（?? ）
A、勾股定理 B、直径所对的圆周角是直角
C、勾股定理的逆定理 D、90°的圆周角所对的弦是直径
10、（2016·莆田）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：
①连接AM．作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P；
②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线顺次连接起来，得到的曲线是（ ）
A．直线 B．抛物线 C．双曲线 D．双曲线的一支
二、填空题
11、（2017?河北）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=________°．
12、（2017?济宁）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点P（a，b），则a与b的数量关系是________.
13、（2017?绍兴）以Rt△ABC的锐角顶点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB，AC各相交于一点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点A作直线，与边BC交于点D.若∠ADB=60°，点D到AC的距离为2，则AB的长为________.
14、（2016?湖州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是________．
15、（2016?北京）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：
已知：直线l和l外一点P．（如图1）
求作：直线l的垂线，使它经过点P．
作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．
所以直线PQ就是所求的垂线．
请回答：该作图的依据是________.
三、解答题
16、（2017?南京）“直角”在初中几何学习中无处不在． 如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．
17、（2017?福建）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．求作∠ABC的平分线，分别交AD，AD于P，Q两点；并证明AP=AQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）21cnjy.com
18、（2015?南京）如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）
?
19．（2017内蒙古赤峰）已知平行四边形．
（1）尺规作图：作的平分线交直线于点，交延长线于点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：．
20、（2017?滨州）如图，在?ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于 BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形． （Ⅰ）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；
（Ⅱ）若菱形ABEF的周长为16，AE=4 ，求∠C的大小．
一、选择题
1．（2016长春九台区期末）图中的尺规作图是作（ ）
A．线段的垂直平分线 B．一条线段等于已知线段
C．一个角等于已知角 D．角的平分线
2．（2017江苏校级期末）观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（ ）
A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC
3．（2017东台校级月考）用尺规作图，不能作出唯一直角三角形的是（ ）.
A．已知两条直角边 B．已知两个锐角
C．已知一直角边和直角边所对的一锐角 D．已知斜边和一直角边
4．（2016玉林博白县一模）观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ ）
A．OE是∠AOB的平分线 B．OC=OD
C．点C、D到OE的距离不相等 D．∠AOE=∠BOE
5．（2017湖北宜昌校级模拟）任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH、HF、FG，GE，则下列结论，①△EGH为等腰三角形；②△EGF为等边三角形；③四边形EGFH为菱形；④△EHF为等腰三角形，其中正确的个数是（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
6．（2017石家庄校级模拟）已知∠BOP与OP上点C，点A（在点C的右边），李玲现进行如下操作：①以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB于点D，连接CD；②以点A为圆心，OC长为半径画弧MN，交OA于点M；③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交弧MN于点E，连接ME，操作结果如图所示，下列结论不能由上述操作结果得出的是（ ）
A．CD∥ME B．OB∥AE C．∠ODC=∠AEM D．∠ACD=∠EAP
7．（2016北京平谷区期末）小米在用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，作法如下：
①分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于F；
②作射线BF，交边AC于点H；
③以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；
④取一点K，使K和B在AC的两侧；
所以，BH就是所求作的高．
其中顺序正确的作图步骤是（ ）
A．①②③④ B．④③②① C．②④③① D．④③①②
二、填空题
8．（2017内蒙古牙克石市模拟）如图，在□ABCD中，AB=3，BC=5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为_____________．21·cn·jy·com
9．（2017河南郑州二模）如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，按以下步骤作图：分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN交CD于点E，交AB于点F．若AB=5，BC=3，则△ADE的周长为__________．
10．（2016温州校级调研）如图，边长为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A，B，C．
（1）请在图中作出该圆弧所在圆的圆心O；（保留作图痕迹）
（2）⊙O的半径= ．（结果保留根号）
11．（2017北京东城区一模）下面是“以已知线段为直径作圆”的尺规作图过程.
已知：线段AB.
求作：以AB为直径的⊙O.
作法：如图，
（1）分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径
作弧，两弧相交于点C，D；
（2）作直线CD交AB于点O；
（3）以O为圆心，OA长为半径作圆.
则⊙O即为所求作的.
请回答：该作图的依据是_______________________________________________．
12．（2017浙江湖州校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是 ．2·1·c·n·j·y
13．（2017北京石景山区期末）已知：线段， ， . 求作：矩形.
以下是甲、乙两同学的作业：
甲：① 以点为圆心， 长为半径作弧；
② 以点为圆心， 长为半径作弧；
③ 两弧在上方交于点，连接， .
四边形即为所求矩形.（如图）
乙：① 连接，作线段的垂直平分线，交于点；
② 连接并延长，在延长线上取一点，使，连接， .
四边形即为所求矩形.（如图）
老师说甲、乙同学的作图都正确.
则甲的作图依据是：__________________________________________________；
乙的作图依据是：__________________________________________________.
14．（2017福建泉港区模拟）如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为___________www.21-cn-jy.com
三、解答题
15．（2016江苏句容市期中）已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°
（1）作∠B的平分线BD，交AC于点D；作AB的中点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；21·世纪*教育网
（2）连接DE，则∠ADE= °．
16.（2016广东校级模拟）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，请你用尺规作图将△ABC分成两个全等的三角形，并说明这两个三角形全等的理由．（保留作图痕迹，不写作法）
17．（2017天津河东区模拟）如图，已知平行四边形ABCD四个顶点在格点上，每个方格单位为1．
（1）平行四边形ABCD的面积为 ；
（2）在网格上请画出一个正方形，使正方形的面积等于平行四边形ABCD的面积．（尺规作图，保留作图痕迹）并把主要画图步骤写出来．www-2-1-cnjy-com
18．（2017江苏盐城期中）如图，在△ABC中，
（1）在图中作出△ABC的内角平分线AD.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明过程）
（2）若∠BAC = 2∠C，在已作出的图形中，△ ∽△
（3）画出△ABC的高AE（使用三角板画出即可），若∠B=α，∠C=β，那么∠DAE= （请用含α、β的代数式表示）21*cnjy*com
19．（2017无锡滨湖区一模）已知：如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，AC＝6cm，BC＝8cm. 【版权所有：21教育】
(1)求⊙O的半径；
(2)请用尺规作图作出点P，使得点P在优弧CAB上时，△PBC的面积最大，请保留作图痕迹，并求出△PBC面积的最大值. 21*cnjy*com
20．（2017江苏吴江区校级模拟）问题背景:
如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求.
（1）实践运用：
如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为 ．
（2）知识拓展：
如图(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．
3.4 尺规作图
一、尺规作图
1、定义：在数学中，我们常限定用没有刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.
2、尺规作图的基本步骤：
(1)已知：写出已知的线段和角，画出图形；
(2)求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化；
(3)作法：应用“五种基本作图”，叙述时不需重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹；
(4)证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件；
(5)讨论：研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形；在哪些情况下，问题有一个解、多个解或者没有解；
(6)结论：对所作图形下结论．
二、基本作图
1、作一条线段等于已知线段，以及线段的和与差；
2、作一个角等于已知角，以及角的和与差；
3、过一点作已知直线的垂线；
4、作角的平分线；
5、作线段的垂直平分线．
三、复杂作图
1、利用基本作图作三角形
(1)已知三边作三角形；
(2)已知两边及其夹角作三角形；
(3)已知两角及其夹边作三角形；
(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；
(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．
2、与圆有关的尺规作图
(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)；
(2)作三角形的内切圆；
(3)作圆的内接正方形和正六边形．
考点一：与三角形相关的作图
根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中，主要依据是（ ）
A．用尺规作一条线段等于已知线段
B．用尺规作一个角等于已知角
C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角
D．不能确定
【答案】C
【解析】解：已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中，主要依据是：用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角．www-2-1-cnjy-com
故选C．
【点评】构成三角形的基本元素有边和角，故作三角形要用到：尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角．2-1-c-n-j-y
变式跟进1已知△ABC,求作△DEF，使△DEF≌△ABC(尺规作图，保留作图痕迹)。
作法：
【答案】作图见解析
【解析】作法：画线段EF=BC；
分别以E、F为圆心，线段AB，AC为半径画弧，两弧交于点D；
连结线段DE、DF。
∴△DEF就是所求作的三角形
【点评】作三角形包括：已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；已知三角形的三边，求作三角形这三种情况，本题可三种方法均可运用.
考点二：利用角平分线、线段的垂直平分线作图
如图所示，甲车从A处沿公路a向右行驶，同时乙车从B处出发，乙车行驶的速度与甲车行驶的速度相同，乙车要在最短的时间在公路a的点C上截住甲车，请你用尺规作图找出点C（保留作图痕迹，不写作法），并说明乙车行驶的方向。
【答案】作图见解析
【解析】解：连接AB，作线段AB的垂直平分线，交直线a于点C，
根据线段垂直平分线的性质可知 CA=CB
乙两车行驶速度相同，行驶时间相同，因此行驶路程相同
所以乙车沿BC方向行驶在公路C处截住甲车。
【点评】利用基本作图——作线段的垂直平分线即可.
变式跟进2在图中作出点P，使得点P到C、D两点的距离相等，并且点P到OA、OB的距离也相等. （用尺规作图，保留作图痕迹,不写作法.）【版权所有：21教育】
【答案】作图见解析
【解析】解：点P到C、D两点的距离相等即作CD的垂直平分线；
点P到OA、OB的距离也相等，即作角平分线，
故两线的交点就是点P的位置．
【点评】本题借助实际场景，考查了几何基本作图的能力，考查了线段垂直平分线和角平分线的性质及应用．
考点三：与圆相关的作图
下图是一个残破的圆片示意图。请找出该残片所在圆的圆心O的位置（保留画图痕迹，不必写作法）；
【答案】作图见解析
【解析】解：分别作出圆上任意两条弦，再作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心．
所以，点O就是所求的圆心．
【点评】利用圆上任意两条弦，并作出这两条弦的垂直平分线，其交点即为圆心．
变式跟进3如图,已知在等腰△ABC中,∠A＝∠B＝30°.
尺规作图：（1）过点C作CD⊥AC交AB于点D；
（2）过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；
求证：.
【答案】尺规作图见解析；证明见解析
【解析】尺规作图：解：（1）过点C作AB的垂直平分线，交AB于点D，
（2）作AC的垂直平分线，交AC于点O，
以点O为圆心，OA长为半径作圆.
证明：∵CD⊥AC,∴∠ACD＝90°.
∵∠A＝∠B＝30°,∴∠ACB＝120°
∴∠DCB＝∠A＝30°,
又∵∠B公共角, ∴△CDB∽△ACB,
∴BC2＝BD·AB
【点评】（1）根据图形的特征即可作出图形；（2）先证得△CDB∽△ACB，再根据对应边成比例即可得到结果。21*cnjy*com
一、选择题
1、（2017·衢州）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线。则对应作法错误的是（??? ）
A、① B、② C、③ D、④
【答案】C
【解析】解：作一条线段垂直平分线的方法：1.分别以线段的两个端点为圆心,以大于线段的二分之一长度为半径画弧线,得到两个交点(两交点交于线段的两侧).2.连接这两个交点即可.故选C
【点评】根据角的平分线，线段的在垂直平分线 ，过直线外一点P作已知直线的垂线按照这些作图要求去做图即可得出正确答案。
2、（2017?随州）如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（?? ）
A、以点F为圆心，OE长为半径画弧 B、以点F为圆心，EF长为半径画弧
C、以点E为圆心，OE长为半径画弧 D、以点E为圆心，EF长为半径画弧
【答案】D
【解析】解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F， 第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．
故选D．
【点评】根据作一个角等于一直角的作法即可得出结论．
3、（2017?河池）如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5，DE=6，则AG的长是（?? ）
A、6 B、8 C、10 D、12
【答案】B
【解析】解：连接EG， ∵由作图可知AD=AE，AG是∠BAD的平分线，
∴∠1=∠2，
∴AG⊥DE，OD= DE=3．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AD=DG．
∵AG⊥DE，
∴OA= AG．
在Rt△AOD中，OA= = =4，
∴AG=2AO=8．
故选B．
【点评】连接EG，由作图可知AD=AE，根据等腰三角形的性质可知AG是DE的垂直平分线，由平行四边形的性质可得出CD∥AB，故可得出∠2=∠3，据此可知AD=DG，由等腰三角形的性质可知OA= AG，利用勾股定理求出OA的长即可．
4、（2017?深圳）如图，已知线段 ，分别以 为圆心，大于 为半径作弧，连接弧的交点得到直线 ，在直线 上取一点 ，使得 ，延长 至 ，求 的度数为（?? ）【出处：21教育名师】
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】解：依题可得：l是AB的垂直平分线，
∴CA=CB,
∵∠CAB=25°,
∴∠CAB=∠CBA=25°
∴∠BCM=25°+25°=50°.
故答案为B.
【点评】依题可得l是AB的垂直平分线，再由垂直平分线上的点到两端点的距离相等，从而得到△CAB为等腰三角形，在根据三角形的外角即可得出答案.【来源：21cnj*y.co*m】
5、（2015?嘉兴）数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】 A
【解析】解：根据分析可知， 选项B、C、D都能够得到PQ⊥l于点Q；选项A不能够得到PQ⊥l于点Q．
故选：A．
【点评】A、根据作法无法判定PQ⊥l；
B、以P为圆心大于P到直线l的距离为半径画弧，交直线l，于两点，再以两点为圆心，大于它们的长为半径画弧，得出其交点，进而作出判断；
C、根据直径所对的圆周角等于90°作出判断；
D、根据全等三角形的判定和性质即可作出判断．
6、（2016?宜昌）任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH，HF，FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（ ）
A、△EGH为等腰三角形 B、△EGF为等边三角形
C、四边形EGFH为菱形 D、△EHF为等腰三角形
【答案】 B
【解析】解：A、正确．∵EG=EH， ∴△EGH是等边三角形．
B、错误．∵EG=GF，
∴△EFG是等腰三角形，
若△EFG是等边三角形，则EF=EG，显然不可能．
C、正确．∵EG=EH=HF=FG，
∴四边形EHFG是菱形．
D、正确．∵EH=FH，
∴△EFH是等边三角形．
故选B．
【点评】根据等腰三角形的定义、菱形的定义、等边三角形的定义一一判断即可．本题考查线段的垂直平分线的性质、作图﹣基本作图、等腰三角形的定义等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
7、（2016?曲靖）如图，C，E是直线l两侧的点，以C为圆心，CE长为半径画弧交l于A，B两点，又分别以A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CA，CB，CD，下列结论不一定正确的是（? ）
A、CD⊥l B、点A，B关于直线CD对称
C、点C，D关于直线l对称 D、CD平分∠ACB
【答案】 C
【解析】解：由作法得CD垂直平分AB，所以A、B选项正确；
因为CD垂直平分AB，
所以CA=CB，
所以CD平分∠ACB，所以D选项正确；
因为AD不一定等于AD，所以C选项错误．
故选C．
【点评】利用基本作图可对A进行判断；利用CD垂直平分AB可对B、D进行判断；利用AC与AD不一定相等可对C进行判断．本题考查了作图﹣基本作图：掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
8、（2016?漳州）下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（ ）
A、B、 C、 D、
【答案】 B
【解析】解：过点A作BC的垂线，垂足为D，
故选B．
【点评】过点A作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求．本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．
9、（2015?衢州）数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（?? ）
A、勾股定理 B、直径所对的圆周角是直角
C、勾股定理的逆定理 D、90°的圆周角所对的弦是直径
【答案】B
【解析】解：由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC=a为半径画弧与圆O交于一点C，故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角． 故选：B．
【点评】由作图痕迹可以看出AB是直径，∠ACB是直径所对的圆周角，即可作出判断．
10、（2016·莆田）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：
①连接AM．作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P；
②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线顺次连接起来，得到的曲线是（ ）
A．直线 B．抛物线 C．双曲线 D．双曲线的一支
【答案】B．
【解析】解：根据作图步骤作图，如图所示．
由此即可得出该曲线为抛物线．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、线段的垂直平分线的性质以及基本作图，解题的关键是按照给定的作图步骤完成作图，根据图形中曲线的特征即可得出该曲线为抛物线．
二、填空题
11、（2017?河北）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=________°．
【答案】56
【解析】解：∵四边形ABCD的矩形， ∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=68°．
∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，
∴∠EAF= ∠DAC=34°．
∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°﹣34°=56°，
∴∠α=56°．
故答案为：56．
【点评】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．
12、（2017?济宁）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点P（a，b），则a与b的数量关系是________.
【答案】a+b=0
【解析】解：根据作图方法可得，点P在第二象限角平分线上， ∴点P到x轴、y轴的距离相等，即|b|=|a|，
又∵点P（a，b）第二象限内，
∴b=﹣a，即a+b=0，
故答案为：a+b=0.
【点评】根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号，可得a与b的数量关系为互为相反数.
13、（2017?绍兴）以Rt△ABC的锐角顶点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB，AC各相交于一点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点A作直线，与边BC交于点D.若∠ADB=60°，点D到AC的距离为2，则AB的长为________.
【答案】2
【解析】解：根据题中的语句作图可得下面的图，过点D作DE⊥AC于E，
由尺规作图的方法可得AD为∠BAC的角平分线，
因为∠ADB=60°，
所以∠B=90°，
由角平分线的性质可得BD=DE=2，
在Rt△ABD中，AB=BD·tan∠ADB=2 .
故答案为2 .
【点评】由尺规作图-角平分线的作法可得AD为∠BAC的角平分线，由角平分线的性质可得BD=2，又已知∠ADB即可求出AB的值.21·cn·jy·com
14、（2016?湖州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是________．
【答案】 5
【解析】解：由题意EF是线段AB的垂直平分线，
∴AD=DB，
Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，
∴AB= = =10，
∵AD=DB，∠ACB=90°，
∴CD= AB=5．
故答案为5．
【点评】本题考查勾股定理．直角三角形斜边中线性质、基本作图等知识，解题的关键是知道线段的垂直平分线的作法，出现中点想到直角三角形斜边中线性质，属于中考常考题型．
15、（2016?北京）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：
已知：直线l和l外一点P．（如图1）
求作：直线l的垂线，使它经过点P．
作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．21世纪教育网版权所有
所以直线PQ就是所求的垂线．
请回答：该作图的依据是________.
【答案】 到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上）
【解析】解：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上），
理由：如图，∵PA=PQ，PB=PB，
∴点A、点B在线段PQ的垂直平分线上，
∴直线AB垂直平分线段PQ，
∴PQ⊥AB．
【点评】只要证明直线AB是线段PQ的垂直平分线即可．本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是理解到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，属于中考常考题型．
三、解答题
16、（2017?南京）“直角”在初中几何学习中无处不在． 如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．
【答案】答案见解析
【解析】解：⑴如图1
，
在OA，OB上分别，截取OC=4，OD=3，若CD的长为5，则∠AOB=90°
⑵如图2
，
在OA，OB上分别取点C，D，以CD为直径画圆，若点O在圆上，则∠AOB=90°
【点评】（1）根据勾股定理的逆定理，可得答案；（2）根据圆周角定理，可得答案．
17、（2017?福建）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．求作∠ABC的平分线，分别交AD，AD于P，Q两点；并证明AP=AQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】答案见解析
【解析】解：BQ就是所求的∠ABC的平分线，P、Q就是所求作的点．
证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BPD+∠PBD=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠AQP+∠ABQ=90°．
∵∠ABQ=∠PBD，
∴∠BPD=∠AQP．
∵∠BPD=∠APQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∴AP=AQ．
【点评】根据角平分线的性质作出BQ即可．先根据垂直的定义得出∠ADB=90°，故∠BPD+∠PBD=90°． 再根据余角的定义得出∠AQP+∠ABQ=90°，根据角平分线的性质得出∠ABQ=∠PBD，再由∠BPD=∠APQ可知∠APQ=∠AQP，据此可得出结论．
18、（2015?南京）如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）
?【答案】答案见解析
?【解析】解：满足条件的所有图形如图所示：
?
【点评】①以A为圆心，以3为半径作弧，交AD、AB两点，连接即可；
②连接AC，在AC上，以A为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交AD、AB两点，连接即可；
③以A为端点在AB上截取3个单位，以截取的点为圆心，以3个单位为半径画弧，交BC一个点，连接即可；
④连接AC，在AC上，以C为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交BC、DC两点，然后连接A与这两个点即可；21cnjy.com
⑤以A为端点在AB上截取3个单位，再作着个线段的垂直平分线交CD一点，连接即可．
19．（2017内蒙古赤峰）已知平行四边形．
（1）尺规作图：作的平分线交直线于点，交延长线于点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；2·1·c·n·j·y
（2）在（1）的条件下，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】解：（1）如图所示，AF即为所求；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵AF平分∠BAD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠4，∴CE=CF．
【点评】（1）作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F即可；
（2）先根据平行四边形的性质得出AB∥DC，AD∥BC，故∠1=∠2，∠3=∠4．再由AF平分∠BAD得出∠1=∠3，故可得出∠2=∠4，据此可得出结论．
20、（2017?滨州）如图，在?ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于 BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形． （Ⅰ）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；
（Ⅱ）若菱形ABEF的周长为16，AE=4 ，求∠C的大小．
【答案】答案见解析
【解析】解：（Ⅰ）在△AEB和△AEF中， ，
∴△AEB≌△AEF，
∴∠EAB=∠EAF，
∵AD∥BC，
∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，
∴BE=AB=AF．
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（Ⅱ）如图，连结BF，交AE于G．
∵菱形ABEF的周长为16，AE=4 ，
∴AB=BE=EF=AF=4，AG= AE=2 ，∠BAF=2∠BAE，AE⊥BF．
在直角△ABG中，∵∠AGB=90°，
∴cos∠BAG= = = ，
∴∠BAG=30°，
∴∠BAF=2∠BAE=60°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠BAF=60°．
【点评】（Ⅰ）先证明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可证明； （Ⅱ）连结BF，交AE于G．根据菱形的性质得出AB=4，AG= AE=2 ，∠BAF=2∠BAE，AE⊥BF．然后解直角△ABG，求出∠BAG=30°，那么∠BAF=2∠BAE=60°．再根据平行四边形的对角相等即可求出∠C=∠BAF=60°．21教育名师原创作品
一、选择题
1．（2016长春九台区期末）图中的尺规作图是作（ ）
A．线段的垂直平分线 B．一条线段等于已知线段
C．一个角等于已知角 D．角的平分线
【答案】A．
【解析】解：根据图象是一条线段，它是以线段的两端点为圆心，作弧，进而作出垂直平分线，故做的是：线段的垂直平分线，
故选A．
【点评】本题主要考查尺规作图中的基本作图——作线段的垂直平分线．
2．（2017江苏校级期末）观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（ ）
A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC
【答案】D．
【解析】解：根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE=∠B，故A选项正确，∴AE∥BC，故C选项正确，∴∠EAC=∠C，故B选项正确，∵AB＞AC，∴∠C＞∠B，∴∠CAE＞∠DAE，故D选项错误，故选D．
【点评】本题主要考查尺规作图中的基本作图——作一个角等于已知角．
3．（2017东台校级月考）用尺规作图，不能作出唯一直角三角形的是（ ）.
A．已知两条直角边 B．已知两个锐角
C．已知一直角边和直角边所对的一锐角 D．已知斜边和一直角边
【答案】B．
【解析】A、已知两条直角边和直角，可根据“SAS”作出唯一直角三角形，所以A选项错误；B、已知两个锐角，不能出唯一的直角三角形，所以B选项之前；C、已知一直角边和直角边所对的一锐角，可根据“AAS”或“ASA”作出唯一直角三角形，所以B选项错误；D、已知斜边和一直角边，可根据“HL”作出唯一直角三角形，所以D选项错误．
故选：B．
【点评】能不能作出唯一直角三角形要看所给条件是否满足全等三角形的判定条件，然后利用三角形全等的判定方法对各选项进行判定．
4．（2016玉林博白县一模）观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ ）
A．OE是∠AOB的平分线 B．OC=OD
C．点C、D到OE的距离不相等 D．∠AOE=∠BOE
【答案】C
【解析】解：A、OE是∠AOB的平分线，A正确；
B、OC=OD，B正确；
C、点C、D到OE的距离相等，C不正确；
D、∠AOE=∠BOE，D正确．
故选C．
【点评】根据图形的画法得出OE是∠AOB的角平分线，再根据尺规作图的画法结合角平分线的性质逐项分析四个选项即可.21*cnjy*com
5．（2017湖北宜昌校级模拟）任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH、HF、FG，GE，则下列结论，①△EGH为等腰三角形；②△EGF为等边三角形；③四边形EGFH为菱形；④△EHF为等腰三角形，其中正确的个数是（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】B．
【解析】根据线段垂直平分线的性质可得EG=EH=FH=GF，由此可得①正确，②错误，③正确，④正确．故答案选B．
【点评】根据等腰三角形的定义、菱形的定义、等边三角形的定义一一判断即可．
6．（2017石家庄校级模拟）已知∠BOP与OP上点C，点A（在点C的右边），李玲现进行如下操作：①以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB于点D，连接CD；②以点A为圆心，OC长为半径画弧MN，交OA于点M；③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交弧MN于点E，连接ME，操作结果如图所示，下列结论不能由上述操作结果得出的是（ ）
A．CD∥ME B．OB∥AE C．∠ODC=∠AEM D．∠ACD=∠EAP
【答案】D．
【解析】解：在△OCD和△AME中，
，
∴△OCD≌△AME（SSS），
∴∠DCO=∠EMA，∠O=∠OAE，∠ODC=∠AEM．
∴CD∥ME，OB∥AE．
故A、B、C都可得到．
∵△OCD≌△AME，
∴∠DCO=∠AME，则∠ACD=∠EAP不一定得出．
故选D．
【点评】结合尺规作图，可利用“SSS”证△OCD和△AME全等，再利用全等三角形的性质、平行线的判定即可得出答案.
7．（2016北京平谷区期末）小米在用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，作法如下：
①分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于F；
②作射线BF，交边AC于点H；
③以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；
④取一点K，使K和B在AC的两侧；
所以，BH就是所求作的高．
其中顺序正确的作图步骤是（ ）
A．①②③④ B．④③②① C．②④③① D．④③①②
【答案】D
【解析】解：用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，作法如下：
取一点K，使K和B在AC的两侧；
以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；
分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于F；
作射线BF，交边AC于点H；
所以，BH就是所求作的高．
故正确的作图步骤是④③①②．
故选：D．
【点评】根据直线外一点作已知直线的垂线的方法作BH⊥AC即可．
二、填空题
8．（2017内蒙古牙克石市模拟）如图，在□ABCD中，AB=3，BC=5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为_____________．
【答案】2
【解析】根据作图过程可得得AE平分∠ABC；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠AEB=∠CBE，证出AE=AB=3，即可得出DE的长．，
解：根据作图的方法得：AE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=5，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∴DE=AD﹣AE=5﹣3=2；
故答案为：2．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出AE=AB是解决问题的关键．
9．（2017河南郑州二模）如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，按以下步骤作图：分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN交CD于点E，交AB于点F．若AB=5，BC=3，则△ADE的周长为__________．
【答案】8
【解析】解：由做法可知MN是AC的垂直平分线，
∴AE=CE.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴CD=AB=5，AD=BC=3.
∴AD+DE+AE=AD+DE+CE=AD+CD=5+3=8，
∴△ADE的周长为8.
【点评】利用垂直平分线的性质即可求解.
10．（2016温州校级调研）如图，边长为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A，B，C．
（1）请在图中作出该圆弧所在圆的圆心O；（保留作图痕迹）
（2）⊙O的半径= ．（结果保留根号）
【答案】（1）图见解析；（2）．
【解析】解：（1）如图，
（2）根据勾股定理可得OB．
【点评】（1）根据图形作出AB和BC的垂直平分线相交于点O，点O即为该圆的圆心；（2）利用勾股定理求得即可．
11．（2017北京东城区一模）下面是“以已知线段为直径作圆”的尺规作图过程.
已知：线段AB.
求作：以AB为直径的⊙O.
作法：如图，
（1）分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径
作弧，两弧相交于点C，D；
（2）作直线CD交AB于点O；
（3）以O为圆心，OA长为半径作圆.
则⊙O即为所求作的.
请回答：该作图的依据是_______________________________________________．
【答案】垂直平分线的判定；垂直平分线的定义和圆的定义
【解析】解：垂直平分线的判定；垂直平分线的定义和圆的定义
【点评】本题主要考查垂直平分线的判定、性质有圆的定义，解题的关键在于正确理解垂直平分线的作法.
12．（2017浙江湖州校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是 ．
【答案】2.5
【解析】解： 由题意EF是线段AB的垂直平分线，
∴AD=DB，
Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
∴AB==5，
∵AD=DB，∠ACB=90°，
∴CD=AB=2.5
【点评】首先说明AD=DB，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可解决问题．
13．（2017北京石景山区期末）已知：线段， ， . 求作：矩形.
以下是甲、乙两同学的作业：
甲：① 以点为圆心， 长为半径作弧；
② 以点为圆心， 长为半径作弧；
③ 两弧在上方交于点，连接， .
四边形即为所求矩形.（如图）
乙：① 连接，作线段的垂直平分线，交于点；
② 连接并延长，在延长线上取一点，使，连接， .
四边形即为所求矩形.（如图）
老师说甲、乙同学的作图都正确.
则甲的作图依据是：__________________________________________________；
乙的作图依据是：__________________________________________________.
【答案】（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【解析】由甲的作图方法可知AB=CD，BC=AD，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判定四边形ABCD为平行四边形，又因∠ABC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形 即可判定平行四边形ABCD为矩形；由乙的作图方法可知AM=BM，BM=DM，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形ABCD为平行四边形，又因∠ABC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形 即可判定平行四边形ABCD为矩形.
【点评】本题主要考查利用尺规作图作出矩形，解题的关键在于要灵活运用尺规作图及矩形的判定定理.
14．（2017福建泉港区模拟）如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为___________
【答案】（?，0）
【解析】解：点A1坐标为（－3，0），知O A1=3，
把x=－3代入直线y=－x中，得y=" 4" ，即A1B1=4．
根据勾股定理，OB1===5，
∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；
把x=－5代入直线y=－x中，得y=，即A2B2=．
根据勾股定理，OB2====，
∴A3坐标为（－，0），O A3=；
把x=－代入直线y=－x中，得y=，即A3B3=．
根据勾股定理，OB3====，
∴A4坐标为（－，0），O A4=；
……
同理可得An坐标为（－，0），O An=；
∴A2016坐标为（－，0）
【点评】本题建立在尺规作图基础之上，解题的关键在于利用一次函数图像上点的坐标特征来寻找规律．
三、解答题
15．（2016江苏句容市期中）已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°
（1）作∠B的平分线BD，交AC于点D；作AB的中点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）连接DE，则∠ADE= °．
【答案】（1）见解析；（2）60
【解析】解：（1）如图，BD、点E为所作；
（2）∠ADE=60°．
故答案为60．
【点评】（1）利用基本作图（作已知角的平分线）作BD平分∠ABC，然后在AB上截取BE=BC，则点E为AB的中点；（2）由△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，则∠ACB=90°，则AB=2BC，所以BE=BC，于是可证明△BDE≌△BDC，所以∠BEC=∠C=90°，然后利用互余可计算出∠ADE的度数．21教育网
16.（2016广东校级模拟）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，请你用尺规作图将△ABC分成两个全等的三角形，并说明这两个三角形全等的理由．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】答案见解析
【解析】解：作出BC的垂直平分线，交BC于点D，
∵AB=AC，
∴AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
?【点评】作出底边BC的垂直平分线，交BC于点D，利用三线合一得到D为BC的中点，可得出三角形ADB与三角形ADC全等
17．（2017天津河东区模拟）如图，已知平行四边形ABCD四个顶点在格点上，每个方格单位为1．
（1）平行四边形ABCD的面积为 ；
（2）在网格上请画出一个正方形，使正方形的面积等于平行四边形ABCD的面积．（尺规作图，保留作图痕迹）并把主要画图步骤写出来．www.21-cn-jy.com
【答案】（1）6；（2）作图见解析.
【解析】解：（1）平行四边形ABCD的面积=3×2=6；
（2）①作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F；
②延长AD至G，使DG=DF；
③以AG为直径作半圆；
④延长FD交半圆于H，则DH即为所求的正方形边长；
⑤以DH为边长作正方形DHMN；如图所示
【点评】（1）用平行四边形面积公式求解；（2）用圆规作出正方形的边长即可，解题的关键在于用尺规构造一个斜边为2.5，一直角边为0.5的直角三角形.21·世纪*教育网
18．（2017江苏盐城期中）如图，在△ABC中，
（1）在图中作出△ABC的内角平分线AD.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明过程）
（2）若∠BAC = 2∠C，在已作出的图形中，△ ∽△
（3）画出△ABC的高AE（使用三角板画出即可），若∠B=α，∠C=β，那么∠DAE= （请用含α、β的代数式表示）【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】（1）作图见解析；（2）ABC，DBA；（3）画高见解析，
【解析】解：（1）如图，
以A为圆心，任意长为半径化弧，分别交AB，AC于E，F，
然后分别以E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于P，
作射线AP，
AD即为所求．
（2）△ABD∽△CBA理由如下：
∵AD平分∠BAC，∠BAC=2∠C，
∴∠BAD=∠BCA．
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA．
（3）画图如下：
∠DAE=
【点评】（1）考查了尺规作图能力；（2）在△ABD与△CBA中，易证∠BAD=∠BCA，又∠B公共，根据两个角对应相等的两个三角形相似，得出△BAD∽△BCA．（3）使用三角板画出即可.
19．（2017无锡滨湖区一模）已知：如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，AC＝6cm，BC＝8cm.
(1)求⊙O的半径；
(2)请用尺规作图作出点P，使得点P在优弧CAB上时，△PBC的面积最大，请保留作图痕迹，并求出△PBC面积的最大值.
【答案】（1）⊙O的半径为5cm；（2）S△PBC＝32．
【解析】解：（1）由直径所对的圆周角是直角可得出AB，然后求出AO，（2）由作图和题中已知条件计算即可．
(1)∵AB为⊙O的直径，AC＝6cm,BC＝8cm.
∴∠C为直角，AB＝10cm．
∴AO＝5cm．
(2)作图正确．
作BC的垂直平分线交优弧CAB于P，
S△PBC＝32．
【点评】本题考查了圆周角的定理推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，考查了作线段的垂直平分线，解题关键是要熟练运用定理．
20．（2017江苏吴江区校级模拟）问题背景:
如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求.
（1）实践运用：
如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为 ．
（2）知识拓展：
如图(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）如图作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，此时PA+PB最小，且等于A.作直径AC′，连接C′E，
根据垂径定理得弧BD=弧DE.
∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°.∴∠AOE=90°.
∴∠C′AE=45°.
又AC为圆的直径，∴∠AEC′=90°.
∴∠C′=∠C′AE=45°.∴C′E=AE=AC′=.
∴AP+BP的最小值是.
（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′.
∵AD平分∠BAC，∴点B与点B′关于直线AD对称.
过点B′作B′F⊥AB,垂足为F，交AD于E，连接BE.
则线段B′F的长即为所求 (点到直线的距离最短) .
在Rt△AFB/中，∵∠BAC=450, AB/="AB=" 10，
∴.
∴BE+EF的最小值为
【点评】（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值；（2）首先在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连接BE，则线段B′F的长即为所求.
