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17.1 勾股定理（3）课件
数学人教版 八年级下
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导入新课
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
1.说一说勾股定理的内容？
2.如果直角三角形的两长边分别为3和4，那么第三长的长是________.
①4为直角边：
②4为斜边：
新课讲解
思考1：在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．
学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
新课讲解
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′．
求证：△ABC≌△A′B′C′．
证明：在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中，
∠C=∠C′=90°，根据勾股定理，得
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．
∵AB=A′B′，AC=A′C′，
∴BC=B′C′．
新课讲解
思考2：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 的点吗？
新课讲解
类似地，利用 勾股定理可以在数轴上画出表示
的点.
新课讲解
“数学海螺”
新课讲解
练习：在数轴上作出表示 的点.
巩固提升
1．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则在网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数有( )
A．0条
B．1条
C．2条
D．3条
D
巩固提升
C
巩固提升
巩固提升
4.如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△BAC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE.依此类推，则第2018个等腰直角三角形的斜边长是_______．
21009
巩固提升
5.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°，D为AB边上一点．
求证：AD2 +DB2 =DE2．
证明：∵∠ACB =∠ECD，
∴∠ACD +∠BCD=∠ACD +∠ACE ，
∴∠BCD =∠ACE．
又∵ BC=AC， DC=EC，
∴△ACE≌△BCD．
∴∠B =∠CAE=45°，
∠DAE =∠CAE+∠BAC=90°
∴AD2 +AE2 =DE2．
∵AE=DB ，
∴AD2 +DB2 =DE2．
课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
你能说说勾股定理在今天学习中的应用吗？
布置作业
教材P28页习题17.1第6题．
谢 谢！
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课题：17.1 勾股定理（3）
教学目标：
利用勾股定理证明HL定理及在数轴上找到表示无理数的点．
重点：
在数轴上寻找表示，…这样的表示无理数的点．．
难点：
利用勾股定理来解决实际问题．
教学流程：
一、导入新课
1.说一说勾股定理的内容？
答案：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
2.如果直角三角形的两长边分别为3和4，那么第三长的长是________.
分析：有两种情况①4为直角边：
②4为斜边：
答案：
二、新课讲解
思考1：在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？21世纪教育网版权所有
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′．
求证：△ABC≌△A′B′C′．
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证明：在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中，
∠C=∠C′=90°，根据勾股定理，得
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．
∵AB=A′B′，AC=A′C′，
∴BC=B′C′．
思考2：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 的点吗？
解：
构造直角三角形即可得出.
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追问：类似地，利用 勾股定理可以在数轴上画出表示的点.
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欣赏： “数学海螺”
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练习：在数轴上作出表示的点.
答案：
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三、巩固提升
1．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则在网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数有( )21教育网
A．0条`` B．1条 C．2条 D．3条
答案：D
2.如图，长方形ABCD中，AB＝3，A ( http: / / www.21cnjy.com )D＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的实数为( )21cnjy.com
A．2 B.－1 C.－1 D.
答案：C
3.如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应 ( http: / / www.21cnjy.com )－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为____．
答案：
4.如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形，以Rt△BAC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE.依此类推，则第2018个等腰直角三角形的斜边长是_______．21·cn·jy·com
答案：21009
5.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°，D为AB边上一点．
求证：AD2 +DB2 =DE2．
( http: / / www.21cnjy.com )
证明：∵∠ACB =∠ECD，
∴∠ACD +∠BCD=∠ACD +∠ACE ，
∴∠BCD =∠ACE．
又∵ BC=AC， DC=EC，
∴△ACE≌△BCD．
∴∠B =∠CAE=45°，
∠DAE =∠CAE+∠BAC=90°
∴AD2 +AE2 =DE2．
∵AE=DB ，
∴AD2 +DB2 =DE2．
四、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
你能说说勾股定理在今天学习中的应用吗？
五、布置作业
教材P28页习题17.1第6题．
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17.1 勾股定理（3）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．如图,点P是平面坐标系中一点,则点P到原点的距离是( )
A. 3 B. 2 C. 7 D. 5
2．如图所示,在数轴上点A所表示的数为a,则a的值为( )
A. -1- B. 1- C. - D. -1+
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第1题图 第2题图 第4题图 第5题图
3．已知在△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则边BC的长为( )
A. 21 B. 15 C. 9 D. 9或21
4．如图，△ABC为等边三角形，过点B作BD ( http: / / www.21cnjy.com )⊥AC于点D，过D作DE∥BC，且DE＝CD，连接CE、BE，若AB＝8，则BE的长为 （ ）．21cnjy.com
A. 10 B. C. D. 12
5．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若，则AD的长为（ ）
A. B. 4 C. D.
二、填空题(每小题6分，共30分)
6．如图，长方形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB＝2，AD＝1，A，B在数轴上，以B为圆心，BD长为半径作弧交数轴负半轴于点E，则点E表示的实数为___________21世纪教育网版权所有
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第6题图 第7题图 第8题图
7．在所给的8×6网格图 ( http: / / www.21cnjy.com )中，横竖每相邻两点间的长度均为1，以这些点为顶点的三角形称为网格三角形，请找出点M，使以A，B，M为顶点的网格三角形是直角三角形，这样的点M有_______个．【来源：21·世纪·教育·网】
8．如图，点在以为圆心，以为半径的半圆上，正方形的边长是一个单位长度，则图中点所表示的数是__________，记数对应的点是，则线段的长是__________．
9．定义：如图，点M，N把线段AB分割成三条线段AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点. 若AM=1，MN=2，则BN的长为 ．www-2-1-cnjy-com
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第9题图 第10题图
10．如图，OP=1，过P作且，根据勾股定理，得；再过作且=1，得；又过作且，得OP3=2；…依此继续，得____， _________（n为自然数，且n＞0）．
三、解答题(共40分)
11．在如图所示的3 ×3 的正方形网格中画出一个△ABC，使AB=，BC=，AC=3，并求出△ABC 的面积．2-1-c-n-j-y
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12．如图，在△ABC中，AB=7，AC=，∠A=45°，AH⊥HC，垂足为H。
（1）求证：△AHC是等腰直角三角形；
（2）求BC的长.
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参考答案
1．A
【解析】解：OP= EMBED Equation.DSMT4 ．故选A．
2．A
【解析】解：如图，点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上．在直角△BOC中，∵OC=2，BC=1，根据勾股定理知：OB2= OC2+BC2 = 22+12 = 5 ，∴OA=OB=，∴a=．故选A．21·世纪*教育网
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3．D
【解析】①∠C为锐角时：
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∵Rt△ADC中，，AC＝10，AD＝8，∴CD2=AC2－AD2=36，∴CD=6；
∵Rt△ADB中，，AB＝17，AD＝8，∴BD2=AB2－AD2=225，∴BD=15；
∴BC=6+15=21.
②∠ACB为钝角时：
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∵Rt△ADC中，，AC＝10，AD＝8，∴CD2=AC2－AD2=36，∴CD=6；
∵Rt△ADB中，，AB＝17，AD＝8，∴BD2=AB2－AD2=225，∴BD=15；
∴BC=15－6=9.
综上：BC=9或21.
故选D.
4．B
【解析】∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠ACB=60°，
又∵DE=DC，
∴△CDE为等边三角形；
过点E作EH⊥BC于H，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∵BD⊥AC，
∴CD=AC=AB=4，
又∵△CDE为等边三角形，
∴CE=CD=4，
∵∠ECH=60°，
∴EH=EC sin60°=4×=，CH=EC cos60°=2，BH=10，
∴BE===.
故选：B.
5．A
【解析】解：在Rt△AOB中，AO2=AB2﹣BO2；Rt△DOC中：DO2=DC2﹣CO2；
∴AD2=AO2+DO2=AB2﹣BO2+DC2﹣CO2= AB2 +DC2﹣（BO2+CO2）=18，∴AD==．故选A．www.21-cn-jy.com
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6．1－
【解析】由题意可知，在长方形ABCD中，∠DAB=90°，AB=2，AD=1，
∴BD=，
∴BE=BD=，
又∵点B表示的数是1，点E在点B的左边，
∴点E表示的数为： .
故答案为： .
7．12
【解析】如图，在线段CD和线段EF上各有5个符合条件的点，图中的两个M点也符合要求，所以符合条件的点M共有12个.21教育网
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8．
【解析】连接OD，由勾股定理可得，
∴，
∴为， ，
故答案为： ， .
( http: / / www.21cnjy.com )
9．或
【解析】分两种情况：
①当MN为最大线段时，
∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，
②当BN为最大线段时，
∵点M、N是线段AB的勾股分割点，
综上所述：BN的长为或
故答案为： 或
10．
【解析】首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3， OP4，的长度找到规律进而求出OP2018， 的长．21·cn·jy·com
解：由题可知：OP1＝，
OP2＝，
OP3＝，
OP4＝，
……
所以 ，
＝.
故答案为： ， .
11．
【解析】根据勾股定理和正方形网格的特征，画出△ABC即可，利用三角形的面积公式计算即可.
解：如图所示：△ABC中，AB=，BC=，AC=3，
( http: / / www.21cnjy.com )
.
12．(1)见解析；（2）BC=5
【解析】（1）先证得∠AHC=90°， ( http: / / www.21cnjy.com )再由∠A=45°，即可证得△AHC是等腰直角三角形；（2）设AH=x，则CH=x，BH=7-x，在等腰直角三角形△AHC中，根据勾股定理求得CH=4，即可得BH=3，在Rt△BHC中，根据勾股定理求得BC=5.2·1·c·n·j·y
（1）证明：∵AH⊥HC，
∴∠AHC=∠BHC=90°，
∵∠A=45°，
∴∠ACH=45°，
∴△AHC是等腰直角三角形；
（2）设AH=x，则CH=x，BH=7-x，
在等腰直角三角形△AHC中，
，
解得x=4.
∴CH=3，BH=4，
在Rt△BHC中，
，
∴BC=5.
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