(共34张PPT)
2.5.1矩形的性质
数学湘教版 八年级下
导入新知
独木桥
当独木桥前后运动时，四边形ABCD是什么形状？
当独木桥最后停下时，四边形ABCD有什么特殊的变化？
当独木桥静止时，四边形ABCD是什么图形？
A
B
C
D
观察
图中的长方形是平行四边形吗？它有什么特点呢？
新知讲解
我发现这些长方形的对边平行且相等，因此，它们是平行四边形
我发现这些四边形的四个角都是直角
新知讲解
如图，这是一个活动框架，改变这个平行四边形的形状，你会发现什么
新知讲解
新知讲解
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形。
矩形的定义：
矩形是特殊的平行四边形。
平行四边形
有一个角
是直角
矩形
学以致用
想一想：
你能举出在人们的日常生活和生产实践中，有哪些东西是矩形的？
矩形的一般性质：
1.矩形的两组对边分别平行
2.矩形的两组对边分别相等
矩形是中心对称图形，对角线的交点就是它的对称中心。
新知讲解
3.矩形的两组对角分别相等
4.矩形的两条对角线互相平分
5.矩形的邻角互补
新知讲解
动脑筋
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
B
A
D
C
猜想1：矩形的四个角都是直角．
当平行四边形ABCD的一个∠ABC为直角时,观察其它角
新知讲解
已知：如图，四边形ABCD是矩形
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
A
B
C
D
证明： ∵四边形ABCD是矩形
∴ ∠A=90°
又 矩形ABCD是平行四边形
∴ ∠A=∠C ∠B = ∠D
∠A +∠B =180°
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
即矩形的四个角都是直角
矩形的特殊性质
矩形的四个角都是直角
数学语言
A
B
C
D
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=900
新知讲解
猜想2：矩形的对角线相等．
当平行四边形ABCD的一个∠ABC为直角时,观察其对角线AC、BD的长度有何变化？
B
A
D
C
新知讲解
已知：如图,四边形ABCD是矩形
求证：AC =BD
A
B
C
D
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC = ∠DCB = 90°
又∵AB = DC ， BC = CB
∴△ABC≌△DCB
∴AC = BD 即矩形的对角线相等
新知讲解
矩形的特殊性质
矩形的对角线相等
数学语言
∵四边形ABCD是矩形
∴AC = BD
A
B
C
D
新知讲解
矩形特殊的性质
矩形的四个角都是直角．
从角上看：
矩形的两条对角线相等，且互相平分。
从对角线上看：
新知讲解
新知讲解
例1 如图，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,
AC= 4cm ，∠AOB=60°。求BC的长。
B
O
D
C
A
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB= AC=2cm。
又∠AOB=60°
△AOB是等边三角形.
∵∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，
BC=(cm)
∴AB=OA=2cm
新知讲解
学以致用
矩形ABCD中,AC、BD相交于点O，AB=6，BC=8，则△ABO的周长为_____。
16
新知讲解
做一做
画出一个矩形ABCD，把它减下来，怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这个要求的折叠方法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？你的猜测正确吗？
新知讲解
矩形是轴对称图形,过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴.
猜测：矩形是轴对称图形，有两条对称轴。
试着去证明猜测吧！
解： ∵四边形ABCD是矩形
∴OA=
∵E是AB的中点
∴EF垂直平分AB
∴点A、B关于直线EF对称，同理：点C、D关于直线EF对称
∴矩形关于直线EF对称，同理：矩形关于直线MN对称
新知讲解
已知四边形ABCD是矩形
相等的线段：
AB=CD AD=BC AC=BD
OA=OC=OB=OD=
相等的角：
∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
∠AOB=∠DOC ∠AOD=∠BOC
∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD
∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB
新知讲解
等腰三角形有：
直角三角形有：
全等三角形有：
△OAB≌△OCD △OAD≌△OCB
Rt△ABC ≌ Rt△BCD ≌ Rt△CDA ≌ Rt△DAB
△OAB,△OBC,△OCD,△OAD
Rt△ABC,Rt△BCD,Rt△CDA,Rt△DAB
新知讲解
边 角 对角线 对称性
平行四 边形
矩形
对边平行
且相等
对角相等
邻角互补
对角线互
相平分
中心对称图形
对边平行
且相等
四个角
为直角
对角线互相
平分且相等
中心对称图形
轴对称图形
总结
新知讲解
这是矩形所特有的性质
巩固提升
1.如图，在矩形ABCD中，若AC=2AB，则∠AOB的大小是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
C
2.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC=4，则四边形CODE的周长是( )
A.4 B.6 C.8 D.10
巩固提升
C
巩固提升
3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB=6 cm，BC=8 cm，则△AEF的周长=__________cm.
9
4.如图，矩形ABCD中，点E,F分别是AB,CD的中点，连接DE和BF，分别取DE,BF的中点M,N，连接AM,CN,MN，若AB=2 ，BC=2 ，则图中阴影部分的面积为__________.
2
巩固提升
巩固提升
5、四个学生正在做投圈游戏，他们分别站在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处，这样的队形对每个人公平吗？为什么？
答：公平
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2OA=2OC， BD=20B=2OD.
AC=BD，
∴OA=OB=OC=OD.
巩固提升
拓展延伸
如图，四边形ABCD是矩形，试利用矩形的性质说明：在直角三角形ABC斜边AC上的中线BD等于斜边的一半.
解：∵四边形ABCD为矩形
∴OA=OB=OC=OD=
即直角三角形ABC斜边AC上的中线BO等于斜边的一半.
课堂小结
1.矩形定义：
有一个角是直角的平行四边形叫矩形.
矩形的对边平行且相等
矩形的四个角均为直角
2.矩形的性质
矩形的对角线互相平分且相等
谢谢
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2.5.1矩形的性质练习题
一、选择题
1. 下列命题中，错误的是（ ）．
A、平行四边形的对角线互相平分 B、菱形的对角线互相垂直平分
C、矩形的对角线相等且互相垂直平分 D、角平分线上的点到角两边的距离相等
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O ， 以下说法错误的是（ ）
A、∠ABC=90° B、AC=BD C、OA=AD D、OA=OB
3、如图所示，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC的三等分点，则△BEF的面积为( )
A.8 B.6 C.4 D.521教育网
4、如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=（ ）
A、5 B、4 C、3.5 D、3
5、如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）21·cn·jy·com
A．30° B．45° C．60° D．75°
6. 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）2·1·c·n·j·y
A．4.8 B．5 C．6 D．7.2
7. 如图，把一块含有30°角（∠A=30°）的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1=40°，那么∠AFE=（ ）
21·世纪*教育网
A、50° B、40° C、20° D、10°
二、填空题
8. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5．过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是 。2-1-c-n-j-y
9. 如图，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于O，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE=15°，则∠COE= °21*cnjy*com
10. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE= 度．www.21-cn-jy.com
11. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为 ．
三、解答题
12. 在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，O为对角线交点，且∠CAE=15°.
（1）△AOB为等边三角形，说明理由；
（2）求∠AOE的度数.
13. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE=15°，求∠COD与∠COE的度数．www-2-1-cnjy-com
14．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．【来源：21cnj*y.co*m】
15. 如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．21cnjy.com
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．
答案：
1、C.
2、C.
3、A. 因为E、F是AC的三等分点，根据同底等高面积相等可得△BEF的面积为△ABC的三分之一.
4、B.
5. C
分析：首先过点D作DE∥a，由∠1=60°，可求得∠3的度数，易得∠ADC=∠2+∠3，继而求得答案．【来源：21·世纪·教育·网】
解：过点D作DE∥a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，
∵a∥b，
∴DE∥a∥b，
∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，
∴∠2=90°﹣30°=60°．
故选C．
6. A
分析：首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得OA=OD=5，△AOD的面积，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA PE+OD PF求得答案．【出处：21教育名师】
解：连接OP，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，
∴S矩形ABCD=AB BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD=10，
∴OA=OD=5，
∴S△ACD=S矩形ABCD=24，
∴S△AOD=S△ACD=12，
∵S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA PE+OD PF=×5×PE+×5×PF=（PE+PF）=12，
解得：PE+PF=4.8．
故选：A．
7. D
8. 3.4
9. 4
解：因为在矩形ABCD中，所以AO=AC=BD=BO，
又因为∠AOB=60°，所以△AOB是等边三角形，所以AO=AB=2，
所以AC=2AO=4．
10.75
11. 3
12.
证明：（1）∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=45°，又∵∠CAE=15°，∴∠BAC=60°，
又∵AO=BO，∴△AOB为等边三角形.
（2）∵△AOB为等边三角形，∴BO=AB，又∵AB=BE，∴BO=BE，∴∠BOE=∠BEO,
又∵∠OBE=90°-60°=30°, ∴∠BOE=∠BEO=75°,
∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=135°.
13. 解：在矩形ABCD中，∵DE平分∠ADC,
∴∠ADE=∠CDE=45°, ∴∠ODC=∠CDE+∠BDE=45°+15°=60°,
又CD=CD，∴△COD为等边三角形，∴∠COD=60°，在Rt△ECD中，∠EDC=45°，
∴CE=CD=CO又∠OCE=90°-60°=30°，∴∠COE=(180°-∠OCE)=75°．
14. 证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∵EF⊥DF，
∴∠EFD=90°，
∴∠EFB+∠CFD=90°，
∵∠EFB+∠BEF=90°，
∴∠BEF=∠CFD，
在△BEF和△CFD中，
，
∴△BEF≌△CFD（ASA），
∴BF=CD．
15. 【答案】分析：（1）首先由矩形的性质和折叠的性质证得AB=CD，AD∥BC，∠ANF=90°，∠CME=90°，易得AN=CM，可得△ANF≌△CME（ASA），由平行四边形的判定定理可得结论；
（2）由AB=6，AC=10，可得BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt△CEM中，利用勾股定理可解得x，由平行四边形的面积公式可得结果．21世纪教育网版权所有
解：（1）证明：∵折叠，
∴AM=AB，CN=CD，∠FNC=∠D=90°，∠AME=∠B=90°，
∴∠ANF=90°，∠CME=90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴AM=CN，
∴AM﹣MN=CN﹣MN，
即AN=CM，
在△ANF和△CME中，
，
∴△ANF≌△CME（ASA），
∴AF=CE，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
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湘教版数学八年级下册2.5.1矩形的性质课时教学设计
课题 矩形的性质 单元 2 学科 数学 年级 八
学习目标 情感态度和价值观目标 培养严谨的推理能力，以及自主合作的精神，体会逻辑推理的思维价值
能力目标 经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；掌握几何思维方法。并渗透运动联系、从量变到质变的观点
知识目标 1.掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．2.会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．
重点 矩形的性质
难点 矩形的性质的灵活应用
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 当独木桥前后运动时，四边形ABCD是什么形状？当独木桥最后停下时，四边形ABCD有什么特殊的变化？当独木桥静止时，四边形ABCD是什么图形？ 学生：积极思考带着问题参与新课. 通过实际情境，让学生感受数学来源于生活，数学知识与生活实践密切相关，增加学生的学习、探索兴趣，便于学生以高昂情绪参与本课的探索过程
讲授新课 观察 图中的长方形是平行四边形吗？它有什么特点呢？ 如图，这是一个活动框架，改变这个平行四边形的形状，你会发现什么 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形。矩形是特殊的平行四边形。想一想：你能举出在人们的日常生活和生产实践中，有哪些东西是矩形的？ 矩形的一般性质：1.矩形的两组对边分别平行2.矩形的两组对边分别相等动脑筋矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？当平行四边形ABCD的一个∠ABC为直角时,观察其它角猜想1：矩形的四个角都是直角．已知：如图，四边形ABCD是矩形求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°证明： ∵四边形ABCD是矩形。∴ ∠A=90°又矩形ABCD是平行四边形∴ ∠A=∠C ∠B = ∠D ∠A +∠B =180°∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°即矩形的四个角都是直角矩形的特殊性质矩形的四个角都是直角数学语言∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°当平行四边形ABCD的一个∠ABC为直角时,观察其对角线AC、BD的长度有何变化？猜想2：矩形的对角线相等．已知：如图,四边形ABCD是矩形 求证：AC =BD证明：在矩形ABCD中∵∠ABC = ∠DCB = 90°又∵AB = DC ， BC = CB∴△ABC≌△DCB∴AC = BD 即矩形的对角线相等矩形的特殊性质矩形的对角线相等数学语言∵四边形ABCD是矩形 ∴AC = BD矩形特殊的性质从角上看：矩形的四个角都是直角．从对角线上看：矩形的两条对角线相等，且互相平分例1 如图，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O, AC= 4cm ，∠AOB=60°。求BC的长。练习：矩形ABCD中,AC、BD相交于点O，AB=6，BC=8，则△ABO的周长为_____。做一做画出一个矩形ABCD，把它减下来，怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这个要求的折叠方法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？你的猜测正确吗？猜测：矩形是轴对称图形，有两条对称轴。矩形是轴对称图形,过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴.试着去证明猜测吧！解： ∵四边形ABCD是矩形∴OA=∵E是AB的中点∴EF垂直平分AB∴点A、B关于直线EF对称，同理：点C、D关于直线EF对称∴矩形关于直线EF对称，同理：矩形关于直线MN对称已知四边形ABCD是矩形相等的线段：AB=CD AD=BC AC=BD OA=OC=OB=OD=相等的角：∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°∠AOB=∠DOC ∠AOD=∠BOC∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB全等三角形有： Rt△ABC ≌ Rt△BCD ≌ Rt△CDA ≌ Rt△DAB △OAB≌△OCD △OAD≌△OCB等腰三角形有：△OAB,△OBC,△OCD,△OAD直角三角形有： Rt△ABC,Rt△BCD,Rt△CDA,Rt△DAB总结 从学生的已有的知识出发，利用教具，激发学生的强烈的好奇心和求知欲。学生经历了将实际问题转化为数学问题的建模过程。学生举出生活中的例子并总结矩形的一般性质自主归纳并组织语言作答，交流与讨论，在教师的引导下探究矩形的性质的证明方法。启发学生分析，引导学生归纳探究，层层理清命题证明的思路，简化证明方法。 试着证明矩形的对角线相等。试着总结矩形的特殊性质教师引导学生审题，学生弄清题意后，师生共同分析思路，教师渗透综合分析法。学生口答，教师板书解题过程。学生动手操作，猜测矩形的对称轴并证明自己的猜测。学生观察图形，总结矩形ABCD中的相关知识 让学生动手动脑，自主发现和认识矩形定义。 并运用了类比和比较的方式，让学生加深对定义的理解让学生在特定的数学活动中经历矩形性质的形成过程，通过操作、观察、分析、推理、归纳总结出了一般性的结论。师生共同完成推理过程。引导学生多角度多方位思考问题培养学生独立思考，总结归纳的能力。学生审题是解题的关键，通过运用矩形的性质学会解决简单的实际问题，培养了学生的应用意识。培养学生动手，独立思考，总结归纳的能力。培养学生独立思考，观察并总结归纳的能力。
巩固提升 1.如图，在矩形ABCD中，若AC=2AB，则∠AOB的大小是( ) A.30°B.45°C.60°D.90°答案：C2.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC=4，则四边形CODE的周长是( ) A.4 B.6 C.8 D.10 答案：C3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB=6 cm，BC=8 cm，则△AEF的周长=__________cm. .答案：94. 如图，矩形ABCD中，点E,F分别是AB,CD的中点，连接DE和BF，分别取DE,BF的中点M,N，连接AM,CN,MN，若AB=2 ，BC=2 ，则图中阴影部分的面积为__________. 答案： 25、四个学生正在做投圈游戏，他们分别站在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处，这样的队形对每个人公平吗？为什么？答案：答：公平∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝2OA=2OC， BD=20B=2OD.AC=BD，∴OA=OB=OC=OD.拓展延伸 如图，四边形ABCD是矩形，试利用矩形的性质说明：在直角三角形ABC斜边AC上的中线BD等于斜边的一半.解：∵四边形ABCD为矩形∴OA=OB=OC=OD=直角三角形ABC斜边AC上的中线BO等于斜边的一半. 学生自主解答，教师讲解答案。 通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。
课堂小结 这节课你有哪些收获？你认为自己的表现如何？1.矩形定义： 有一个角是直角的平行四边形叫矩形.2.矩形的性质矩形的对边平行且相等矩形的四个角均为直角矩形的对角线互相平分且相等 学生归纳本节所学知识 回顾、总结、提高。学生自觉形成本节的课的知识网络
板书 矩形的性质矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形。矩形是特殊的平行四边形。
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