(共27张PPT)
1.3.1 圆的极坐标方程
1.会求圆心不同的圆的极坐标方程。
2.体会圆的极坐标方程的推出过程。
3.类比直角坐标系中求圆心不同的圆的方程，感受
极坐标系中求曲线方程的方法。
1.在平面直角坐标系中,曲线C和方程f(x,y)=0满足
(1)曲线C上点的坐标都是方程的解
(2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上
则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C是方程 f(x,y)=0 的曲线。
3.圆的一般式方程：
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
2.圆的标准方程：
(x-a)2 + (y-b)2 =r2
4.极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是 (x, y)，极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
5、正弦定理：
（其中：R为△ABC的外接圆半径）
6.余弦定理：
x
C(a,0)
O
A
极坐标方程：
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f( , )=0有如下关系
（１）曲线Ｃ上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）
符合方程f( , )=0;
（２）方程f( , )=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。
则称曲线Ｃ的方程是f( , )=0 。
二、求曲线的极坐标方程到底是求什么？
与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点Ｐ的坐标 与 之间的关系，然后列出方程f( , )=0 ，再化简并说明。
1.建极坐标系，设动点M ( , )；
2.找曲线上任一点满足的几何条件；
3.把上面的几何条件转化为 与 关系
4.化简，说明
三.求曲线极坐标方程步骤：
5.极坐标方程与直角坐标方程可以相互转化
某些时候，用极坐标方程解决比较方便，这是一个重要的解题技巧.在极坐标系中，当研究的问题用极坐标方程难以决时，可转化为直角坐标方程求解.
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程简单？
x
O
r
M
O
x
M
θ
r
ρ
ρ=r
O
x
M
θ
a
ρ
·
ρ=2asinθ
O
A
M
C（a,0）
ρ=2acosθ
ρ＝r
ρ＝2asin θ(0≤θ≤π)
ρ＝2acos θ
例2.求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程．
[思路点拨] 结合圆的定义求其极坐标方程．
O
x
M
θ
a
ρ
·
O
x
M
θ
a
ρ
·
ρ=2asin( )
=-2asin
ρ=2acos( )
=-2acos
1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是（ ）
C
2.求下列圆的极坐标方程
(１)中心在极点，半径为2；
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
(３)中心在(a, /2)，半径为a；
(４)中心在Ｃ( 0, ０)，半径为r。
＝2
＝2acos
＝2asin
2+ 0 2 -2 0 cos( - ０)= r2
你可以用极坐标方程直接来求吗？
A、双曲线 B、椭圆
C、抛物线 D、圆
D
法一：
法二：
C
O
N
M
C(4,0)
4.圆的极坐标方程有多种形式，极坐标方程
可认为是圆的一般式方程.
1.曲线的极坐标方程概念
2.怎样求曲线的极坐标方程
3.圆的极坐标方程
解：(1)因为ρ2cos 2θ＝1，所以ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1.
所以化为直角坐标方程为x2－y2＝1.(共24张PPT)
1.3.2 直线的极坐标方程
1.会在极坐标系中求出任意直线的方程。
2.理解直线的极坐标方程的推导过程。
3.感受课本在研究时的层层推进的思想。
在极坐标系中求曲线方程的基本步骤：
1、根据题意画出草图(包括极坐标建系)；
2、设P(ρ，θ) 为所求曲线上的任意一点；
3、连结OP，寻找OP满足的几何条件；
4、依照几何条件列出关于ρ，θ的方程并化简；
5、检验并确定所得方程即为所求。
思考1：如图，过极点作射线OM，若从极轴到射线OM的最小正角为450，则射线OM的极坐标方程是什么？过极点作射线OM的反向延长线ON，则射线ON的极坐标方程是什么？直线MN的极坐标方程是什么？
M
45°
x
O
N
射线OM： ；
射线ON： ；
和
思考2：若ρ＜0，则规定点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关于极点对称，则上述直线MN的极坐标方程是什么？
M
45°
x
O
N
或
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？
可以考虑允许极径可以取全体实数。
思考3：设点P的极坐标为A ，直线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。
解：如图，设点
为直线 上异于P的点.
连接OM，
﹚
o
M
x
p
在 中有
即
显然P点也满足上方程。
过点A(a，0)(a≠0)，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是什么？
当a＞0时，ρcosθ＝a；
M
ρ
θ
x
O
A
x
O
A
M
ρ
θ
当a＜0时，ρcosθ＝－a.
求直线的极坐标方程步骤
1、根据题意画出草图；
2、设点 是直线上任意一点；
3、连接 MO；
4、根据几何条件建立关于 的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求。
例1：求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。
o
M
x
﹚
分析：
如图，所求的射线上任一点的极角都是 ，其极径可以取任意的非负数。
故所求直线的极坐标方程为
1、求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。
2、求过极点，倾角为 的直线的极坐标方程。
例2.求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。
解：如图，设点 为直线L上除点A外的任意一点，连接OM.
o
x
﹚
A
M
在 中有
即
可以验证，点A的坐标也满足上式。
O
B
A
M(r，q )
x
1.与极轴垂直且与极轴距离为a的直线的极坐标方程：
2.与极轴反向延长线垂直且距离为a的直线的极坐标方程：
3.在极轴上方与极轴平行且到极轴距离为a的极坐标方程：
4.在极轴下方与极轴平行且到极轴距离为a的极坐标方程：
几种特殊的直线的极坐标方程：
例4：设点P的极坐标为 ，直线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。
o
x
M
P
﹚
﹚
解：如图，设点 为直线上除点P外的任意一点，
连接OM.
则 ,由点P的极坐标知
设直线L与极轴交于点A。则在
由正弦定理得
显然点P的坐标也是它的解。
1.两条直线 与 的位置关系是（ ）
B
A、平行 B、垂直
C、重合 D、平行或重合
2.在极坐标系中，与圆 相切的一条直线的方程是（ ）
B
A、两条相交的直线
B、两条射线
C、一条直线
D、一条射线
A
B
( )
B
O
X
A
B
1、过极点
2、过某个定点，且垂直于极轴
3、过某个定点，且与极轴成一定的角度
(1)当直线l过极点，从极轴到l的角是α，则l的方程为： ．
(2)当直线l过点M(a,0)且垂直于极轴时，l的方程为 .
(3)若直线经过点M(ρ0，θ0)，且从极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程为： ．
θ＝α(ρ∈R)
ρcos θ＝a
ρ sin (θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)
4.直线的极坐标方程(共23张PPT)
【课标要求】
1．了解平面直角坐标系的组成，领会坐标法的应用．
2．理解平面直角坐标系中的伸缩变换．
3．能够建立适当的直角坐标系，运用解析法解决数学问题．
第一节 平面直角坐标系
【核心扫描】
1．对平面直角坐标系的应用以及坐标法的考查是本节热点．
2．本节内容常与方程、平面几何图形结合命题．
1．平面直角坐标系
(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数
对)，曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合．
(2)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建
立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关
系．
(3)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步，建立适当坐
标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问
题转化成代数问题；第二步，通过代数运算，解决代数问
题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论．
自学导引
思考:声响定位问题
某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为340m/s，各相关点均在同一平面上） (2004年广东高考题)
y
x
B
A
C
P
o
以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，
设P（x,y）为巨响为生点，由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因A点比B点晚4s听到爆炸声，
y
x
B
A
C
P
o
则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020)
故|PA|－ |PB|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的
双曲线 上，
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心 处.
用y=－x代入上式，得 ，∵|PA|>|PB|,
[P3思考]
我们以信息中心为基点，用角和距离刻画了点P的位置．这种方法与用直角坐标刻画点P的位置有什么区别和联系？你认为哪种方法更方便？
答 直角坐标点的位置用有序数组来刻画．两者的联系是都通过数刻画点，体现了数形结合思想．在这里，应该使用角和距离刻画点P位置更方便．
解决此类应用题的关键：
1、建立平面直角坐标系
2、设点（点与坐标的对应）
3、列式（方程与坐标的对应）
4、化简
5、说明
坐 标 法
例1.已知△ABC的三边a,b,c满足
b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。
(A)
F
B
C
E
O
y
x
以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ，
边AB所在的直线x轴，建立直角
坐标系，由已知，点A、B、F的
坐标分别为
解：
A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( ,0 ).
因此，BE与CF互相垂直.
[P4探究]
你能建立与上述解答中不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，你认为建立直角坐标系时应注意些什么？
答 可以建立不同的直角坐标系(例如以点F为坐标原点，OB所在直线为x轴建立直角坐标系)解决问题的过程中，根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则．
如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；
使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．
建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
题型一 运用坐标法解决解析几何问题
【例1】
解 以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(－2，0)，O2(2，0)．
【反思感悟】 建立坐标系的几个基本原则：
①尽量把点和线段放在坐标轴上．
②对称中心一般放在原点．
③对称轴一般作为坐标轴．
已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
【变式1】
解
在 ABCD中，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．
[思维启迪] 解答本题可以运用坐标方法，先在 ABCD所在的平面内建立平面直角坐标系，设出点A、B、C、D的坐标，再由距离公式完成证明．也可以运用向量的线性运算以及数量积运算加以证明．
题型二 用坐标法解决平面几何问题
【例2】
解 法一 坐标法：以A为坐标原点O，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，
【反思感悟】 本例实际上为平行四边形的一个重要定理：平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和．法一是运用代数方法即解析法实现几何结论的证明的．这种“以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一．法二运用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感．
已知在△ABC中，点D在BC边上，且满足|BD|＝|CD|，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)．
【变式2】
证明 法一 以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0，0)，设B(a，0)，C(b，c)，
法二 延长AD到E，使DE＝AD，
连接BE，CE，
则四边形ABEC为平行四边形，
由平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和得|AE|2＋|BC|2＝2(|AB|2＋|AC|2)，即(2|AD|)2＋(2|BD|)2＝2(|AB|2＋|AC|2)，所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)．(共28张PPT)
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考：
（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x
x
O
2
y=sinx
y=sin2x
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的 ，就得到正弦曲线y=sin2x.
上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：
设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 ，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为：
x’= x
y’=y
1
通常把 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
1
坐标对应关系为：
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx 写出其坐标变换。
设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)
x’=x
y’=3y
2
通常把 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。
2
在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x 写出其坐标变换。
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的 ，在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.
设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)
x’= x
y’=3y
3
通常把 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。
3
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
4
注 （1）
（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；
（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
想一想 如何理解点的坐标的伸缩变换？
提示 在平面直角坐标系中，变换φ将点P(x，y)变换到P′(x′，y′)．当λ>1时，是横向拉伸变换，当0<λ<1时，是横向压缩变换；当μ>1时，是纵向拉伸变换，当0<μ<1时，是纵向压缩变换．
练习：
1.在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换
x’=2x
y’=3y
后的图形。
（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
2.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变为曲线x’2+y’2=1
3.在同一直角坐标系下，经过伸缩变
换 后，
曲线C变为x’2－9y’2 =1，求曲线C的方程并画出图形。
x’=3x
y’=y
思考：在伸缩 下，椭圆是否可以变成圆？抛物线，双曲线变成什么曲线？
4
[P8思考]
答 椭圆可以变成圆，抛物线变为抛物线，双曲线变为双曲线，圆可以变为椭圆．我们可以把圆作为椭圆的特例．
题型三 平面直角坐标系中的伸缩变换
【例3】
[思维启迪] 解答本题首先要根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用，明确原来的点与变换后的点的坐标，利用方程的思想求解．
【变式3】
求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x2＋9y2＝36变成曲线x′2＋y′2＝1.
[思维启迪] 求满足图形变换的伸缩变换，实际上是求出其变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数就可得了，椭圆伸缩变换之后可得圆或椭圆．
方法技巧——求图形伸缩变换的策略
【示例】
【反思感悟】 伸缩变换要分清新旧坐标，直接利用公式即可，变换后的新坐标用x′，y′表示．
1．平面直角坐标系中的伸缩变换
(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸
缩变换就可归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研
究几何变换．
本堂课知识总结
2．解析法解题步骤
第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题
中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论．
3．体会用坐标伸缩变换研究图形伸缩变换的思想方法
(1)平面几何图形的伸缩变换可以归结为坐标伸缩变
换，学习中可结合坐标间的对应关系进行理解．
(2)对于图形的伸缩变换问题，需要搞清新旧坐标，区
别x，y和x′，y′，点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变
换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原曲线的方
程，点(x′，y′)的坐标适合变换后的曲线方程．
课堂小结：
（1）体会坐标法的思想，应用坐标法解决几何问题；
（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。
作业： P8 1, 4, 5
预习： 极坐标系（书本P9-P11）(共8张PPT)
【思维导图】
《1.1平面直角坐标系》习题课件
[课后习题解答]
习题1.1 (第8页)
1．解 设两定点A、B，以线段AB的中点为原点，AB所
在直线为x轴建立直角坐标系，则A、B的坐标为(－3，
0)、(3，0)．
设动点为P(x，y)，由已知得到|PA|2＋|PB|2＝26，
即(x＋3)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝26，整理得x2＋y2＝4.
这就是点M的轨迹方程．这是以AB的中点为圆心，2
为半径的圆．
2．解 以直线l为x轴，过点A与l垂直的直线为y轴建立平
面直角坐标系．则点A的坐标为(0，3)．设△ABC的外
心为P(x，y)，因为P是线段BC的垂直平分线上的点，
所以B、C的坐标分别为(x－2，0)，(x＋2，0)．
因为P也在线段AB的垂直平分线上，
整理得x2－6y＋5＝0.
这就是所求的轨迹方程．
3.证明 法一 如图所示，AD，BE，
CO分别是三角形ABC的三条高，取边
AB所在的直线为x轴，边AB上的高CO
所在的直线为y轴建立直角坐标系．设
A，B，C的坐标依次为(－a，0)，(b，
0)，(0，c)，
由方程①与②，解得x＝0.
所以，AD，BE的交点H在y轴上．
因此，三角形的三条高线相交于一点．
所以(－b)(x＋a)＋cy＝0. ②
①－②得到(a＋b)x＝0.
因为a＋b≠0，所以x＝0.所以点H在AB边的高线上，即△ABC的三条高线交于一点．
5.(共24张PPT)
深圳市民办学校
高中数学教师欧阳文丰
从这向北
2000米。
请问：去
中学怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？
从这向北走2000米！
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。
这样就建立了一个极坐标系。
X
O
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
X
O
M
对于平面上任意一点M，用 表示线段OM的长度，用 表示从OX到OM 的角度， 叫做点M的极径， 叫做点M的极角，有序数对（ ， ）就叫做M的极坐标。
特别强调： 表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离； 表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
题组一：说出下图中各点的极坐标
①平面上一点的极坐标是否唯一？
②若不唯一，那有多少种表示方法？
③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
特别规定： 当M在极点时，它的极坐标 =0， 可以取任意值。
想一想？
思考:极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
1.一个点对应着无数个的极坐标
2一个极坐标可以画出几个点
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A
B
C
D
E
F
G
O
X
一个极坐标只能画出一个点
四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
[1]给定（ , ）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。
O
X
P
M
(ρ,θ)…
直角坐标系中的点与坐标之间有什么
对应关系
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π
那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.(共19张PPT)
深圳市民办学校
高中数学教师欧阳文丰
极坐标和直角坐标的互化
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
复 习
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？
无数，极角有无数个。
有。（ρ，2kπ+θ）
平面内的一个点的直角坐标是(1, )
这个点如何用极坐标表示
O
x
y
在直角坐标系中,
以原点作为极点,
x轴的正半轴作为极轴,
并且两种坐标系中取相
同的长度单位
点M的直角坐标为
θ
设点M的极坐标为(ρ,θ)
M ( 2, ∏ / 3)
极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标
化成直角坐标.
解:
所以, 点M的直角坐标为
已知下列点的极坐标，求它们的直
角坐标。
例2. 将点M的直角坐标
化成极坐标.
解:
因为点在第三象限, 所以
因此, 点M的极坐标为
练习: 已知点的直角坐标, 求它们
的极坐标.
极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
小结
作业：
P12 3、 4、 5(共15张PPT)
平面直角坐标系下图形的变换
求曲线的极坐标方程
极坐标与直角坐标的互化
转化与化归思想
章术归纳提升
第一讲坐标系
P
