【人教A版】2017-2018学年高中数学选修1-2课时跟踪检测试卷含答案（共20份）

复习课(一)　统计案例
回归分析
(1)变量间的相关关系是高考解答题命题的一个，主要考查变量间相关关系的判断，求解回归方程并进行预报估计，题型多为解答题，有时也有小题出现．
(2)掌握回归分析的步骤的是解答此类问题的关键，另外要掌握将两种非线性回归模型转化为线性回归分析求解问题．
1．一个重要方程
对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其线性回归直线方程为＝x＋．
其中＝，＝－．
2．重要参数
相关指数R2是用来刻画回归模型的回归效果的，其值越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好．
3．两种重要图形
(1)散点图：
散点图是进行线性回归分析的主要手段，其作用如下：
一是判断两个变量是否具有线性相关关系，如果样本点呈条状分布，则可以断定两个变量有较好的线性相关关系；
二是判断样本中是否存在异常．
(2)残差图：
残差图可以用来判断模型的拟合效果，其作用如下：
一是判断模型的精度，残差点所分布的带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．
二是确认样本点在采集中是否有人为的错误．
[典例]　(全国卷Ⅲ)如图是我国2008年到2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0．01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：i＝9．32，iyi＝40．17, ＝0．55，≈2．646．
参考公式：相关系数r＝，
回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝－．
[解]　(1)由折线图中数据和附注中参考数据得
＝4，(ti－)2＝28, ＝0．55，
(ti－)(yi－)＝iyi－i＝40．17－4×9．32＝2．89，
r≈≈0．99．
因为y与t的相关系数近似为0．99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
(2)由＝≈1．331及(1)得
＝＝≈0．103，
＝－≈1．331－0．103×4≈0．92．
所以y关于t的回归方程为＝0．92＋0．10t．
将2016年对应的t＝9代入回归方程得
＝0．92＋0．10×9＝1．82．
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1．82亿吨．
[类题通法]
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤是先画出散点图，并对样本点进行相关性检验，在此基础上选择适合的函数模型去拟合样本数据，从而建立较好的回归方程，并且用该方程对变量值进行分析；有时回归模型可能会有多种选择(如非线性回归模型)，此时可通过残差分析或利用相关指数R2来检查模型的拟合效果，从而得到最佳模型．
1．变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11．3,2)，(11．8,3)，(12．5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11．3,4)，(11．8,3)，(12．5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则(　　)
A．r2C．r2<0解析：选C　画散点图，由散点图可知X与Y是正相关，则相关系数r1>0，U与V是负相关，相关系数r2<0，故选C．
2．寒假中， 某同学为组织一次爱心捐款， 在网上给网友发了张帖子， 并号召网友转发，下表是发帖后一段时间收到帖子的人数统计：
天数x
1
2
3
4
5
6
7
人数y
7
11
21
24
66
115
325
(1)作出散点图，并猜测x与y之间的关系．
(2)建立x与y的关系， 预报回归模型．
(3)如果此人打算在帖子传播10天时进行募捐活动， 根据上述回归模型， 估计可去多少人．
解：(1)画出散点图如图所示．
从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系， 同时可发现样本点分布在某一个函数曲线y＝kemx的周围， 其中k, m是参数．
(2)对y＝kemx两边取对数，把指数关系变成线性关系． 令z＝ln y，则变换后的样本点分布在直线z＝bx＋a(a＝ln k, b＝m)的周围， 这样就可以利用线性回归模型来建立x与y之间的非线性回归方程了， 数据可以转化为：
天数x
1
2
3
4
5
6
7
人数的
对数z
1．946
2．398
3．045
3．178
4．190
4．745
5．784
求得回归直线方程为＝0．620x＋1．133，
所以＝e0．620x＋1．133．
(3)当x＝10, 此时＝e0．620×10＋1．133≈1 530(人)．
所以估计可去1 530人．
独立性检验
(1)近几年高考中对独立性检验的考查频率有所降低，题目多以解答题形式出现，一般为容易题，多与概率、统计等内容综合命题．
(2)独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法，要确认“两个分类变量有关系” 这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系” 成立，在该假设下构造的随机变量K2应该很小，如果由观测数据计算得到的K2的观测值k很大，则在一定程度上说明假设不合理，根据随机变量K2的含义，可以通过概率P(K2≥6．635)≈0．01来评价该假设不合理的程度，由实际计算出的k>6．635，说明该假设不合理的程度约为99%，即“两个分类变量有关系” 这一结论成立的可信程度约为99%．
在实际问题中常用的几个数值
(1)K2≥6．635表示认为“X与Y有关系”犯错误的概率不超过0．01．
(2)K2≥3．841表示认为“X与Y有关系”犯错误的概率不超过0．05．
(3)K2≥2．706表示认为“X与Y有关系”犯错误的概率不超过0．1．
[典例]　某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数，如图所示．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食为肉类为主．)
(1)根据茎叶图，帮助这位同学说明其亲属30人的饮食习惯．
(2)根据以上数据完成如表所示的2×2列联表．
主食蔬菜
主食肉类
总计
50岁以下
50岁以上
总计
(3)在犯错误的概率不超过0．01的前提下，是否能认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”？
[解]　(1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉类为主．
(2)2×2列联表如表所示：
主食蔬菜
主食肉类
总计
50岁以下
4
8
12
50岁以上
16
2
18
总计
20
10
30
(3)随机变量K2的观测值k＝＝＝10>6．635，
故在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”．
[类题通法]
独立性检验问题的求解策略
(1)等高条形图法：依据题目信息画出等高条形图，依据频率差异来粗略地判断两个变量的相关性．
(2)K2统计量法：通过公式
K2＝
先计算观测值k，再与临界值表作比较，最后得出结论．
1．下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：
得病
不得病
总计
干净水
52
466
518
不干净水
94
218
312
总计
146
684
830
(1)能否在犯错误概率不超过0．01的前提下认为这种传染病与饮用水的卫生程度有关，请说明理由．
(2)若饮用干净水得病的有5人，不得病的有50人，饮用不干净水得病的有9人，不得病的有22人．按此样本数据分析能否在犯错误概率不超过0．025的前提下认为这种疾病与饮用水有关．
解：(1)把表中的数据代入公式得
K2的观测值k＝≈54．21．
∵54．21＞6．635，
所以在犯错误的概率不超过0．01的前提下，认为该地区这种传染病与饮用水不干净有关．
(2)依题意得2×2列联表：
得病
不得病
总计
干净水
5
50
55
不干净水
9
22
31
总计
14
72
86
此时，K2的观测值k＝≈5．785．
因为5．785＞5．024，
所以能在犯错误概率不超过0．025的前提下认为该种疾病与饮用水不干净有关．
2．2016年第三十一届奥运会在巴西首都里约热内卢举行，为调查某高校学生是否愿意提供志愿者服务，用简单随机抽样方法从该校调查了60人，结果如下：
是否愿意提供志愿者服务性别
愿意
不愿意
男生
20
10
女生
10
20
(1)用分层抽样的方法在愿意提供志愿者服务的学生中抽取6人， 其中男生抽取多少人？
(2)在(1)中抽取的6人中任选2人， 求恰有一名女生的概率．
(3)你能否在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关？
下面的临界值表供参考：
P(K2≥k0)
0．15
0．10
0．05
0．025
0．010
0．005
0．001
k0
2．072
2．706
3．841
5．024
6．635
7．879
10．828
独立性检验统计量K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
解：(1)由题意，男生抽取6×＝4(人)，女生抽取6×＝2(人)．
(2)在(1)中抽取的6人中任选2人，恰有一名女生的概率P＝＝．
(3)K2＝≈6．667，由于6．667>6．635，所以能在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关．
1．在两个学习基础相当的班级实行某种教学措施的实验，测试结果见下表，则实验效果与教学措施(　　)
优、良、中
差
总计
实验班
48
2
50
对比班
38
12
50
总计
86
14
100
A．有关　　　　　　　　 　B．无关
C．关系不明确 D．以上都不正确
解析：选A　随机变量K2的观测值k＝≈8．306>6．635，则有99%的把握认为“实验效果与教学措施有关”．
2．下列说法中正确的有：(　　)
①若r>0，则x增大时，y也相应增大；
②若r<0，则x增大时，y也相应增大；
③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上．
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
解析：选C　若r>0，表示两个相关变量正相关，x增大时，y也相应增大，故①正确．r<0，表示两个变量负相关，x增大时，y相应减小，故②错误．|r|越接近1，表示两个变量相关性越高，|r|＝1表示两个变量有确定的关系(即函数关系)，故③正确．
3．有下列数据(　　)
x
1
2
3
y
3
5．99
12．01
下列四个函数中，模拟效果最好的为(　　)
A．y＝3×2x－1 B．y＝log2x
C．y＝3x D．y＝x2
解析：选A　分别把x＝1,2,3，代入求值，求最接近y的值．即为模拟效果最好，故选A．
4．若两个变量的残差平方和是325，(yi－)2＝923，则随机误差对预报变量的贡献率约为(　　)
A．64．8% B．60%
C．35．2% D．40%
解析：选C　由题意可知随机误差对预报变量的贡献率约为≈0．352．
5．已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y′＝b′x＋a′，则以下结论正确的是(　　)
A．>b′，>a′ B．>b′，C．< b′，>a′ D．解析：选C　过(1,0)和(2,2)的直线方程为y＝2x－2，画出六点的散点图，回归直线的大概位置如图所示，显然a′． 故选C．
6．收集一只棉铃虫的产卵数y与温度x的几组数据后发现两个变量有相关关系，并按不同的曲线来拟合y与x之间的回归方程，并算出了对应相关指数R2如下表：
拟合曲线
直线
指数曲线
抛物线
二次曲线
y与x回归方程
＝19．8x－
463．7
＝e0．27x－3．84
＝0．367x2－
202
＝
相关指数R2
0．746
0．996
0．902
0．002
则这组数据模型的回归方程的最好选择应是(　　)
A．＝19．8x－463．7 B．＝e0．27x－3．84
C．＝0．367x2－202 D．＝
解析：选B　用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越大，说明模型的拟合效果越好．
7．某学校对课程《人与自然》的选修情况进行了统计，得到如下数据：
选
未选
总计
男
405
45
450
女
230
220
450
总计
635
265
900
那么，认为选修《人与自然》与性别有关的把握是________．
解析：K2＝
＝163．794>10．828，即有99．9%的把握认为选修《人与自然》与性别有关．
答案：99．9%
8．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程＝0．67x＋54．9．
零件数x(个)
10
20
30
40
50
加工时间y(min)
62
75
81
89
现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为________．
解析：由表知＝30，设模糊不清的数据为m，则＝(62＋m＋75＋81＋89)＝，因为＝0．67＋54．9，
即＝0．67×30＋54．9，解得m＝68．
答案：68
9．变量U与V相对应的一组样本数据为(1,1．4)，(2,2．2)，(3,3)，(4,3．8)，由上述样本数据得到U与V的线性回归分析，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则R2＝______．
解析：在线性回归中，相关指数R2等于相关系数，由x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝4得：＝2．5，y1＝1．4，y2＝2．2，y3＝3，y4＝3．8得：＝2．6，
所以相关系数r＝
＝
＝＝＝1．
故R2＝1．
答案：1
10．高中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好”．下表是一次针对高三文科学生的调查所得的数据，试问：文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系吗？
总成绩情况
数学成绩情况
总成绩好
总成绩不好
总计
数学成绩好
478
12
490
数学成绩不好
399
24
423
总计
877
36
913
解：根据题意，计算随机变量的观测值：
K2＝≈6．233>5．024，
因此有97．5%的把握认为“文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系”．
11．某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如表所示：
积极参加
班级工作
不太主动
参加班级工作
总计
学习积极性高
18
学习积极性一般
19
总计
50
(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是，请完成上面的2×2列联表．
(2)在(1)的条件下，试运用独立性检验的思想方法分析：在犯错误概率不超过0．1%的情况下判断学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由．
P(K2≥k0)
0．010
0．005
0．001
k0
6．635
7．879
10．828
解：(1)如果随机抽查这个班的一名学生，抽到积极参加班级工作的学生的概率是，所以积极参加班级工作的学生有24人，由此可以算出学习积极性一般且积极参加班级工作的人数为6，不太主动参加班级工作的人数为26，学习积极性高但不太主动参加班级工作的人数为7，学习积极性高的人数为25，学习积极性一般的人数为25，得到：
积极参加
班级工作
不太主动
参加班级工作
总计
学习积极性高
18
7
25
学习积极性一般
6
19
25
总计
24
26
50
(2)K2＝≈11．538，
因为11．538>10．828，所以在犯错误的概率不超过0．001的前提下可以认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系．
12．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
总计
男
女
10
55
总计
(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性．若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．
附：K2＝．
P(K2≥k0)
0．05
0．01
k0
3．841
6．635
解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：
非体育迷
体育迷
总计
男
30
15
45
女
45
10
55
总计
75
25
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
K2＝
＝＝≈3．030．
因为3．030<3．841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．
(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为
Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}．
其中ai表示男性，i＝1,2,3．bj表示女性，j＝1,2．
Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则
A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，
事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝．
模块综合检测
(时间120分钟　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋i，则在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限　　　　　　　 B．第三象限
C．第二象限 D．第四象限
解析：选D　＝＝－，对应点在第四象限．
2．下面几种推理中是演绎推理的为(　　)
A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电
B．猜想数列，，，…的通项公式为an＝(n∈N＋)
C．半径为r的圆的面积S＝πr2，则单位圆的面积S＝π
D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2
解析：选C　由演绎推理的概念可知C正确．
3．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：选B　∵ab＝0，∴a＝0或b＝0.由复数a＋＝a－bi为纯虚数，得a＝0且b≠0.∴“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．
4．下列说法正确的有(　　)
①回归方程适用于一切样本和总体．
②回归方程一般都有时间性．
③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围．
④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值．
A．①② B．②③
C．③④ D．①③
解析：选B　回归方程只适用于所研究样本的总体，所以①不正确；而“回归方程一般都有时间性”正确，③也正确；而回归方程得到的预报值是预报变量的近似值，故选B.
5．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝(　　)
A．192 B．202
C．212 D．222
解析：选C　归纳得13＋23＋33＋43＋53＋63＝2＝212.
6．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为(　　)
A．3－i B．1＋3i
C．3＋i D．1－3i
解析：选A　由定义知＝zi＋z，得zi＋z＝4＋2i，即z＝＝3－i.
7．(重庆高考)执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C　第一次运行得s＝1＋(1－1)2＝1，k＝2；第二次运行得s＝1＋(2－1)2＝2，k＝3；第三次运行得s＝2＋(3－1)2＝6，k＝4；第四次运行得s＝6＋(4－1)2＝15，k＝5；第五次运行得s＝15＋(5－1)2＝31，满足条件，跳出循环，所以输出的k的值是5，故选C.
8．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程＝7.19x＋73.93，用此方程预测儿子10岁的身高，有关叙述正确的是(　　)
A．身高一定为145.83 cm
B．身高大于145.83 cm
C．身高小于145.83 cm
D．身高在145.83 cm左右
解析：选D　用线性回归方程预测的不是精确值，而估计值，当x＝10时，y＝145.83，故身高在145.83 cm左右．
9．执行如图所示的程序框图，若输出的i的值为2，则输入的x的最大值是(　　)
A．8 B．11
C．12 D．22
解析：选D　分析该程序框图可知 解得即810．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 017的末四位数字为(　　)
A．3 125 B．5 625
C．0 625 D．8 125
解析：选A　∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125,510＝9 765 625，…，
∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4.
记5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数为f(n)，则f(2 017)＝f(503×4＋5)＝f(5)，
∴52 017与55的末四位数相同，均为3 125.
11．某程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框内可填入的条件是(　　)
A．i<4? B．i>4?
C．i<5? D．i>5?
解析：选C　依题意知，初始值i＝1，T＝0，P＝15，第一次循环：i＝2，T＝1，P＝5；第二次循环：i＝3，T＝2，P＝1；第三次循环：i＝4，T＝3，P＝；第四次循环：i＝5，T＝4，P＝.因此循环次数应为4，故“i<5？”可以作为判断框内的条件，故选C.
12．学校小卖部为了研究气温对饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气温的对比表：
摄氏温度
－1
3
8
12
17
饮料瓶数
3
40
52
72
122
根据上表可得回归方程＝x＋中的为6，据此模型预测气温为30 ℃时销售饮料瓶数为(　　)
A．141 B．191
C．211 D．241
解析：选B　由题意，＝＝7.8，
＝＝57.8，
因为回归方程＝x＋中的为6，所以57.8＝6×7.8＋，
所以＝11，所以＝6x＋11，所以x＝30时，＝6×30＋11＝191，故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为______．
解析：z＝(2－i)2＝3－4i，所以|z|＝|3－4i|＝＝5.
答案：5
14．为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，调查结果如表
患慢性气管炎
未患慢性气管炎
总计
吸烟
43
162
205
不吸烟
13
121
134
总计
56
283
339
根据列联表数据，求得K2≈__________.
解析：由计算公式K2＝，
得K2≈7.469.
答案：7.469
15．(山东高考)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为________．
解析：第一次循环：S＝－1,1＜3，i＝2；
第二次循环：S＝－1,2＜3，i＝3；
第三次循环：S＝－1＝1,3≥3，输出S＝1.
答案：1
16．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 016个梯形数为a2 016，则a2 016＝________.
解析：5＝2＋3＝a1,9＝2＋3＋4＝a2,14＝2＋3＋4＋5＝a3，…，an＝2＋3＋…＋(n＋2)＝＝×(n＋1)(n＋4)，由此可得a2 016＝2＋3＋4＋…＋2 018＝×2 017×2 020＝2 017×1 010.
答案：2 017×1 010
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知a＞b＞c，求证：＋≥.
证明：已知a＞b＞c，因为＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
所以＋≥4，即＋≥.
18．(本小题满分12分)已知复数z1＝2－3i，z2＝.求：(1)z1z2；(2).
解：因为z2＝＝＝＝＝1－3i，所以
(1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.
(2)＝＝＝＝＋i.
19．(本小题满分12分)小流域综合治理可以有3个措施：工程措施、生物措施和农业技术措施．其中，工程措施包括打坝建库、平整土地、修基本农田和引水灌溉，其功能是贮水拦沙、改善生产条件和合理利用水土；生物措施包括栽种乔木、灌木和草木，其功能是蓄水保土和发展多种经营；农业技术措施包括深耕改土、科学施肥、选育良种、地膜覆盖和轮作套种，其功能是蓄水保土、提高肥力和充分利用光和热．试画出小流域综合治理开发模式的结构图．
解：根据题意，3个措施为结构图的第一层，每个措施中具体的实现方式为结构图的第二层，每个措施实施所要达到的治理功能为结构图的第三层，各类功能所体现的具体内容为结构图的第四层．小流域综合治理开发模式的结构图如图所示．
20．(本小题满分12分)某商品在销售过程中投入的销售时间x与销售额y的统计数据如下表：
销售时间x(月)
1
2
3
4
5
销售额y(万元)
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
用线性回归分析的方法预测该商品6月份的销售额．
(参考公式： ＝，＝－，其中，表示样本平均值)
解：由已知数据可得＝＝3，
＝＝0.5，
所以 (xi－)(yi－)＝(－2)×(－0.1)＋(－1)×0＋0×0.1＋1×0.1＋2×(－0.1)＝0.1，
(xi－)2＝(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＝10，于是b＝0.01，a＝－b＝0.47.故＝0.01x＋0.47令x＝6，得＝0.53.
即该商品6月份的销售额约为0.53万元．
21．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)：
(1)求证：tan＝；
(2)设x∈R，a为非零常数，且f(x＋a)＝，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论．
解：(1)根据两角和的正切公式得tan＝＝＝，
即tan＝，命题得证．
(2)猜想f(x)是以4a为周期的周期函数．
因为f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝＝＝－，
所以f(x＋4a)＝f[(x＋2a)＋2a]
＝－＝f(x)．
所以f(x)是以4a为周期的周期函数．
22．(本小题满分12分)某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在(29.94,30.06)上的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，得结果如下表：
甲厂：
乙厂：
(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；
(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？
甲厂
乙厂
总计
优质品
非优质品
总计
解：(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为＝72%.
乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为＝64%.
(2)
甲厂
乙厂
总计
优质品
360
320
680
非优质品
140
180
320
总计
500
500
1 000
K2的观测值k＝
≈7.35>6.635，
所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
　
预习课本P2～8，思考并完成以下问题
1．什么是回归分析？
2．什么是线性回归模型？
3．求线性回归方程的步骤是什么？
　　　　
1．回归分析
(1)回归分析
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
(2)回归方程的相关计算
对于两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)．设其回归直线方程为＝x＋，其中，是待定参数，由最小二乘法得
＝＝，
＝－．
(3)线性回归模型
线性回归模型，其中a，b为模型的未知参数，通常e为随机变量，称为随机误差．x称为解释变量，y称为预报变量．
[点睛]　对线性回归模型的三点说明
(1)非确定性关系：线性回归模型y＝bx＋a＋e与确定性函数y＝a＋bx相比，它表示y与x之间是统计相关关系(非确定性关系)，其中的随机误差e提供了选择模型的准则以及在模型合理的情况下探求最佳估计值a，b的工具．
(2)线性回归方程＝x＋中，的意义是：以为基数，x每增加1个单位，y相应地平均增加个单位．
2．线性回归分析
(1)残差：对于样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的随机误差的估计值 i＝yi－i称为相应于点(xi，yi)的残差，(yi－i)2称为残差平方和．
(2)残差图：利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差， 横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重的估计值等，这样作出的图形称为残差图．
(3)R2＝1－越接近1，表示回归的效果越好．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)残差平方和越小， 线性回归方程的拟合效果越好．(　　)
(2)在画两个变量的散点图时， 预报变量在x轴上，解释变量在y轴上．(　　)
(3)R2越小， 线性回归方程的拟合效果越好．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×
2．从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内， 两个变量的这种相关关系称为________．
答案：正相关
3．在残差分析中， 残差图的纵坐标为________．
答案：残差
4．如果发现散点图中所有的样本点都在一条直线上， 则残差平方和等于________， 解释变量和预报变量之间的相关系数等于________．
答案：0　1或－1
求线性回归方程
[典例]　某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 ＝x＋；
(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．
[解]　(1)散点图如图：
(2)iyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
＝＝9，＝＝4，
＝62＋82＋102＋122＝344．
＝＝＝0．7，＝－＝4－0．7×9＝－2．3，
故线性回归方程为＝0．7x－2．3．
(3)由(2)中线性回归方程知，当x＝9时，＝0．7×9－2．3＝4，故预测记忆力为9的同学的判断力约为4．
求线性回归方程的三个步骤
(1)画散点图：由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系．
(2)求回归系数：若存在线性相关关系，则求回归系数．
(3)写方程：写出线性回归方程，并利用线性回归方程进行预测说明．　　　　　　
[活学活用]
某工厂1～8月份某种产品的产量与成本的统计数据见下表：
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
产量(吨)
5．6
6．0
6．1
6．4
7．0
7．5
8．0
8．2
成本(万元)
130
136
143
149
157
172
183
188
以产量为x，成本为y．
(1)画出散点图；
(2)y与x是否具有线性相关关系？若有，求出其回归方程．
解：(1)由表画出散点图，如图所示．
(2)从上图可看出，这些点基本上散布在一条直线附近，可以认为x和y线性相关关系显著，下面求其回归方程，首先列出下表．
xi
yi
x
xiyi
1
5．6
130
31．36
728．0
2
6．0
136
36．00
816．0
3
6．1
143
37．21
872．3
4
6．4
149
40．96
953．6
5
7．0
157
49．00
1 099．0
6
7．5
172
56．25
1 290．0
7
8．0
183
64．00
1 464．0
8
8．2
188
67．24
1 541．6
∑
54．8
1 258
382．02
8 764．5
计算得＝6．85，＝157．25．
∴＝
＝≈22．17，
＝－＝157．25－22．17×6．85≈5．39，
故线性回归方程为＝22．17x＋5．39．
回归分析
题点一：线性回归分析
1．在一段时间内，某种商品的价格x元和需求量y件之间的一组数据为：
x
14
16
18
20
22
y
12
10
7
5
3
求出y对x的回归直线方程，并说明拟合效果的程度．
解：＝(14＋16＋18＋20＋22)＝18，
＝(12＋10＋7＋5＋3)＝7．4．
＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，
iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
可得回归系数＝＝＝－1．15．
所以＝7．4＋1．15×18＝28．1
所以回归直线方程：＝－1．15x＋28．1．
列出残差表：
yi－i
0
0．3
－0．4
－0．1
0．2
yi－
4．6
2．6
－0．4
－2．4
－4．4
则(yi－i)2＝0．3，(yi－)2＝53．2．
R2＝1－≈0．994．
所以回归模型的拟合效果很好．
题点二：非线性回归分析
2．为了研究某种细菌随时间x变化繁殖个数y的变化，收集数据如下
时间x/天
1
2
3
4
5
6
繁殖个数y
6
12
25
49
95
190
(1)用时间作解释变量，繁殖个数作预报变量作出这些数据的散点图；
(2)求y与x之间的回归方程．
解：(1)散点图如图所示：
(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y1＝c1ec2x的周围，于是令z＝ln y，则
x
1
2
3
4
5
6
z
1．79
2．48
3．22
3．89
4．55
5．25
由计算器算得，＝0．69x＋1．112，则有＝e0．69x＋1．112．
(1)当两个变量已明显呈线性相关关系时，则无需作散点图，就可直接求回归直线方程，否则要先判定相关性再求回归方程．判断拟合效果的好坏需要利用R2确定，R2越接近1，说明拟合效果越好．
(2)非线性回归方程的求法
①根据原始数据(x，y)作出散点图；
②根据散点图，选择恰当的拟合函数；
③作恰当的变换，将其转化成线性函数，求线性回归方程；
④在③的基础上通过相应的变换，即可得非线性回归方程．　　　　
层级一　学业水平达标
1．在对两个变量x，y进行线性回归分析时，有下列步骤：
①对所求出的回归直线方程作出解释；
②收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；
③求线性回归方程；
④求相关系数；
⑤根据所搜集的数据绘制散点图．
如果根据可行性要求能够作出变量x，y具有线性相关的结论，则在下列操作顺序中正确的是(　　)
A．①②⑤③④　　　　 　B．③②④⑤①
C．②④③①⑤ D．②⑤④③①
解析：选D　对两个变量进行回归分析时，首先收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；根据所搜集的数据绘制散点图．观察散点图的形状，判断线性相关关系的强弱，求相关系数，写出线性回归方程，最后依据所求出的回归直线方程作出解释；故正确顺序是②⑤④③①， 故选D．
2．有下列说法：
①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；
②R2来刻画回归的效果，R2值越大，说明模型的拟合效果越好；
③比较两个模型的拟合效果， 可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．
其中正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D　①选用的模型是否合适与残差点的分布有关； 对于②③， R2的值越大， 说明残差平方和越小， 随机误差越小，则模型的拟合效果越好．
3．下图是根据变量x，y的观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x，y具有相关关系的图是(　　)
A．①② B．①④
C．②③ D．③④
解析：选D　根据散点图中点的分布情况，可判断③④中的变量x，y具有相关的关系．
4．(重庆高考)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3．5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为(　　)
A．＝0．4x＋2．3 B．＝2x－2．4
C．＝－2x＋9．5 D．＝－0．3x＋4．4
解析：选A　依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C，D．且直线必过点(3,3．5)代入A，B得A正确．
5．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元)
8．2
8．6
10．0
11．3
11．9
支出y(万元)
6．2
7．5
8．0
8．5
9．8
根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0．76，＝－．据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(　　)
A．11．4万元 B．11．8万元
C．12．0万元 D．12．2万元
解析：选B　由题意知，＝＝10，
＝＝8，
∴＝8－0．76×10＝0．4，
∴当x＝15时，＝0．76×15＋0．4＝11．8(万元)．
6．以下是某地区的降雨量与年平均气温的一组数据：
年平均气温(℃)
12．51
12．84
12．84
13．69
13．33
12．74
13．05
年降雨量(mm)
542
507
813
574
701
432
464
根据这组数据可以推断，该地区的降雨量与年平均气温________相关关系．(填“具有”或“不具有”)
解析：画出散点图，观察可知，降雨量与年平均气温没有相关关系．
答案：不具有
7．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．
解析：根据样本相关系数的定义可知， 当所有样本点都在直线上时， 相关系数为1．
答案：1
8．下列说法正确的命题是________(填序号)．
①回归直线过样本点的中心(，)；
②线性回归方程对应的直线＝x＋至少经过其样本数据点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点；
③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越宽，其模型拟合的精度越高；
④在回归分析中，R2为0．98的模型比R2为0．80的模型拟合的效果好．
解析：由回归分析的概念知①④正确，②③错误．
答案：①④
9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
8
8．2
8．4
8．6
8．8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程＝x＋，其中＝－20，＝－；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
解：(1)＝(8＋8．2＋8．4＋8．6＋8．8＋9)＝8．5，＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，
从而＝＋20＝80＋20×8．5＝250,
故＝－20x＋250．
(2)由题意知， 工厂获得利润
z＝(x－4)y＝－20x2＋330x－1 000＝－202＋361．25，所以当x＝＝8．25时，zmax＝361．25(元)．
即当该产品的单价定为8．25元时，工厂获得最大利润．
10．关于x与y有以下数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
已知x与y线性相关，由最小二乘法得＝6．5，
(1)求y与x的线性回归方程；
(2)现有第二个线性模型：＝7x＋17，且R2＝0．82．
若与(1)的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由．
解：(1)依题意设y与x的线性回归方程为＝6．5x＋．
＝＝5，
＝＝50，
∵＝6．5x＋经过(，)，
∴50＝6．5×5＋，∴＝17．5，
∴y与x的线性回归方程为＝6．5x＋17．5．
(2)由(1)的线性模型得yi－i与yi－的关系如下表：
yi－i
－0．5
－3．5
10
－6．5
0．5
yi－
－20
－10
10
0
20
所以(yi－i)2＝(－0．5)2＋(－3．5)2＋102＋(－6．5)2＋0．52＝155．
(yi－)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000．
所以R＝1－＝1－＝0．845．
由于R＝0．845，R2＝0．82知R>R2，
所以(1)的线性模型拟合效果比较好．
层级二　应试能力达标
1．在建立两个变量y与x的回归模型中，分别选择4个不同模型，求出它们相对应的R2如表，则其中拟合效果最好的模型是(　　)
模型
1
2
3
4
R2
0．67
0．85
0．49
0．23
A．模型1　　　　　　 　B．模型2
C．模型3 D．模型4
解析：选B　线性回归分析中，相关系数为r，|r|越接近于1, 相关程度越大； |r|越小， 相关程度越小，故其拟合效果最好． 故选B．
2．如果某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0．8，a＝2，|e|≤0．5，如果今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过(　　)
A．10亿 B．9亿
C．10．5亿 D．9．5亿
解析：选C　∵x＝10时，y＝0．8×10＋2＋e＝10＋e，
又∵|e|≤0．5，∴y≤10．5．
3．某咖啡厅为了了解热饮的销售量y(个)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：
气温(℃)
18
13
10
－1
销售量(个)
24
34
38
64
由表中数据，得线性回归方程＝－2x＋a．当气温为－4 ℃时，预测销售量约为(　　)
A．68 B．66
C．72 D．70
解析：选A　∵＝(18＋13＋10－1)＝10，＝(24＋34＋38＋64)＝40，∴40＝－2×10＋a，∴a＝60，当x＝－4时，y＝－2×(－4)＋60＝68．
4．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和(yi－i)2如下表：
甲
乙
丙
丁
散点图
残差平方和
115
106
124
103
哪位同学的试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选D　根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小(对于已经获取的样本数据，R2的表达式中(yi－)2为确定的数，则残差平方和越小，R2越大)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些．故选D．
5．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a的周围，令＝ln y，求得回归直线方程为＝0．25x－2．58，则该模型的回归方程为________．
解析：因为＝0．25x－2．58，＝ln y，所以y＝e0．25x－2．58．
答案：y＝e0．25x－2．58
6．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0．254x＋0．321．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
解析：以x＋1代x，得＝0．254(x＋1)＋0．321，与＝0．254x＋0．321相减可得，年饮食支出平均增加0．254万元．
答案：0．254
7．下表是某年美国旧轿车价格的调查资料．
使用年数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
平均价格(美元)
2 651
1 943
1 494
1 087
765
538
484
290
226
204
观察表中的数据，试问平均价格与使用年数间存在什么样的关系？
解：设x表示轿车的使用年数，y表示相应的平均价格，作出散点图．
由散点图可以看出y与x具有指数关系，
令z＝ln y，变换得
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
z
7．883
7．572
7．309
6．991
6．640
6．288
6．182
5．670
5．421
5．318
作出散点图：
由图可知各点基本上处于一直线，由表中数据可求出线性回归方程：
＝8．166－0．298x．
因为旧车的平均价格与使用年数具有指数关系，其非线性回归方程为＝e8．166－0．298x．
8．某公司利润y(单位：千万元)与销售总额x(单位：千万元)之间有如下对应数据：
x
10
15
17
20
25
28
32
y
1
1．3
1．8
2
2．6
2．7
3．3
(1)画出散点图；
(2)求回归直线方程；
(3)估计销售总额为24千万元时的利润．
解：(1)散点图如图：
(2)列下表，并利用科学计算器进行有关计算．
i
1
2
3
4
5
6
7
xi
10
15
17
20
25
28
32
yi
1
1．3
1．8
2
2．6
2．7
3．3
＝21，＝2．1
＝3 447，iyi＝346．3
于是＝≈0．104．
＝2．1－0．104×21＝－0．084，
因此回归直线方程为＝0．104x－0．084．
(3)当x＝24时，y＝0．104×24－0．084＝2．412(千万元)．
　
预习课本P10～15，思考并完成以下问题
1．分类变量与列联表分别是如何定义的？
　
2．独立性检验的基本思想是怎样的？
　
　
3．独立性检验的常用方法有哪些？
　
　
　　　　
1．与列联表相关的概念
(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类型，像这样的变量称为分类变量．
(2)列联表：
①列出的两个分类变量的频数表， 称为列联表．
②一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
在2×2列联表中，如果两个分类变量没有关系，则应满足ad－bc≈0, 因此|ad－bc|越小， 关系越弱； |ad－bc|越大， 关系越强．
2．等高条形图
等高条形图与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响， 常用等高条形图展示列表数据的频率特征．
3．独立性检验的基本思想
(1)定义：利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．
(2)公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)分类变量中的变量与函数中的变量是同一概念．(　　)
(2)列联表频率分析法、等高条形图可初步分析两分类变量是否有关系， 而独立性检验中K2取值则可通过统计表从数据上说明两分类变量的相关性的大小．(　　)
(3)独立性检验的方法就是反证法．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×
2．与表格相比，能更直观地反映出相关数据总体状况的是(　　)
A．列联表　　　 　　　 　B．散点图
C．残差图 D．等高条形图
答案：D
3．如果有99%的把握认为“X与Y有关系”，那么具体算出的数据满足(　　)
附表：
P(K2≥k0)
0．05
0．025
0．010
0．005
0．001
k0
3．841
5．024
6．635
7．879
10．828
A．k＞6．635 B．k＞5．024
C．k＞7．879 D．k＞3．841
答案：A
4．下面是一个2×2列联表：
y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
2
25
27
总计
b
46
100
则表中a，b的值分别为________．
答案：52, 54
等高条形图的应用
[典例]　为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下：
组别
阳性数
阴性数
总计
铅中毒病人
29
7
36
对照组
9
28
37
总计
38
35
73
试画出列联表的等高条形图，分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系？
[解]　等高条形图如图所示：
其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率．
由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比，尿棕色素为阳性的频率差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性有关系．
在等高条形图中，可以估计满足条件X＝x1的个体中具有Y＝y1的个体所占的比例，也可以估计满足条件X＝x2的个体中具有Y＝y1的个体所占的比例．两个比例的值相差越大，X与Y有关系成立的可能性就越大．　　　　　　
[活学活用]
某学校对高三学生作了一项调查发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张，作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系．
解：作列联表如下：
性格内向
性格外向
总计
考前心情紧张
332
213
545
考前心情不紧张
94
381
475
总计
426
594
1 020
相应的等高条形图如图所示：
图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例，从图中可以看出考前紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高，可以认为考前紧张与性格类型有关．
两个变量的独立性检验
[典例]　为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．能否在犯错误的概率不超过0．1的前提下，认为“学生选报文、理科与对外语的兴趣有关”？
[解]　根据题目所给的数据得到如下列联表：
理科
文科
总计
有兴趣
138
73
211
无兴趣
98
52
150
总计
236
125
361
根据列联表中数据由公式计算得随机变量K2的观测值
k＝≈1．871×10－4．
因为1．871×10－4<2．706，
所以在犯错误的概率不超过0．1的前提下，不能认为“学生选报文、理科与对外语的兴趣有关”．
独立性检验的步骤
(1)确定分类变量，获取样本频数，得到列联表．
(2)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值k0．
(3)利用公式K2＝计算随机变量K2的观测值k0．
(4)作出判断．
如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α，否则就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y的关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”．　　　　　　
[活学活用]
在对人们的休闲方式的一次调查中， 共调查了124人， 其中女性70人， 男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视， 另外27人主要的休闲方式是运动； 男性中有21人主要的休闲方式是看电视， 另外33人主要的休闲方式是运动．
(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表； 并估计， 以运动为主的休闲方式的人的比例；
(2)能否在犯错误的概率不超过0．025的前提下， 认为性别与休闲方式有关系？
附表：
P(K2≥k0)
0．50
0．40
0．25
0．15
0．10
0．05
0．025
0．010
0．005
0．001
k0
0．455
0．708
1．323
2．072
2．706
3．841
5．024
6．635
7．879
10．828
K2＝．
解：(1)由所给的数据得到列联表
休闲方式
性别
看电视
运动
总计
女
43
27
70
男
21
33
54
总计
64
60
124
所以以运动为主要的休闲方式的人的比例为15∶31．
(2)根据列联表中的数据计算得随机变量K2的观测值，
k＝≈6．201，
因为k>5．024，
所以在犯错误的概率不超过0．025的前提下认为休闲方式与性别有关．
独立性检验的综合应用
[典例]　某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如图．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．
(1)在乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的两个均“成绩优秀”的概率；
(2)由以上统计数据作出列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0．1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．
[解]　(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从不低于86分的成绩中随机抽取两个包含的基本事件是：(86,93), (86,96), (86,97), (86,99), (86,99), (93,96)，(93,97), (93,99), (93,99), (96,97), (96,99), (96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有15种结果，
符合条件的事件数(93,96)，(93,97)，(93,99)，(93,99)，(96,97)，(96,99)，(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有10种结果，
根据等可能事件的概率得到P＝＝．
(2)由已知数据得
甲班
乙班
总计
成绩优秀
1
5
6
成绩不优秀
19
15
34
总计
20
20
40
根据列联表中的数据，计算得随机变量K2的观测值
k＝≈3．137，
由于3．137>2．706，所以在犯错误的概率不超过0．1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．
(1)独立性检验问题是常与统计、概率相结合，解题时一定要认真审题，找出各数据的联系．
(2)解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论．　　　　　　
[活学活用]
某市教育局邀请教育专家深入该市多所中小学，开展听课、访谈及随堂检测等活动，他们把收集到的180节课分为三类课堂教学模式，教师主讲的为A模式，少数学生参与的为B模式，多数学生参与的为C模式，A，B，C三类课的节数比例为3∶2∶1．
(1)为便于研究分析，教育专家将A模式称为传统课堂模式，B，C统称为新课堂模式，根据随堂检测结果，把课堂教学效率分为高效和非高效，根据检测结果统计得到如下2×2列联表(单位：节)
高效
非高效
总计
新课堂模式
60
30
90
传统课堂模式
40
50
90
总计
100
80
180
请根据统计数据回答：有没有99%的把握认为课堂教学效率与教学模式有关？并说明理由．
(2)教育专家采用分层抽样的方法从收集到的180节课中选出12节课作为样本进行研究，并从样本中的B模式和C模式课堂中随机抽取2节课，求至少有一节课为C模式课堂的概率．
参考临界值有：
P(K2≥k0)
0．10
0．05
0．025
0．010
0．005
0．001
k0
2．706
3．841
5．024
6．635
7．879
10．828
参考公式：K2＝，
其中n＝a＋b＋c＋d．
解：(1)由列联表中的统计数据计算随机变量K2的观测值为：
∵k＝＝9>6．635，
由临界值表P(K2≥6．635)≈0．010，
∴有99%的把握认为课堂效率与教学模式有关．
(2)样本中的B模式课堂和C模式课堂分别是4节和2节．
从中任取两节有C＝15种取法，其中至少有一节课为C模式课堂取法有C－C＝9种，
∴至少有一节课为C模式课堂的概率为＝．
层级一　学业水平达标
1．以下关于独立性检验的说法中， 错误的是(　　)
A．独立性检验依赖于小概率原理
B．独立性检验得到的结论一定准确
C．样本不同，独立性检验的结论可能有差异
D．独立性检验不是判断两事物是否相关的唯一方法
解析：选B　根据独立性检验的原理可知得到的结论是错误的情况是小概率事件，但并不一定是准确的．
2．观察下列各图，其中两个分类变量之间关系最强的是(　　)
解析：选D　在四幅图中，D图中两个阴影条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强，故选D．
3．在列联表中，下列哪两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大(　　)
A．与　　　　　　B．与
C．与 D．与
解析：选C　由等高条形图可知与的值相差越大，|ad－bc|就越大，相关性就越强．
4．对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是(　　)
A．k越大，“X与Y有关系”的可信程度越小
B．k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小
C．k越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小
D．k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大
解析：选B　K2的观测值k越大，“X与Y有关系”的可信程度越大．因此，A、C、D都不正确．
5．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到下表数据：

种子处理
种子未处理
总计
得病
32
101
133
不得病
61
213
274
总计
93
314
407
根据以上数据，可得出(　　)
A．种子是否经过处理跟是否生病有关
B．种子是否经过处理跟是否生病无关
C．种子是否经过处理决定是否生病
D．以上都是错误的
解析：选B　由K2＝≈0．164＜2．706，即没有把握认为是否经过处理跟是否生病有关．
6．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算K2的观测值k＝27．63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的．(填“有关”或“无关”)
解析：∵K2的观测值k＝27．63，∴k＞10．828，∴在犯错误的概率不超过0．001的前提下认为打鼾与患心脏病是有关的．
答案：有关
7．如果根据性别与是否爱好运动的列联表得到K2≈3．852＞3．841，则判断性别与是否爱好运动有关，那么这种判断犯错的可能性不超过________．
解析：∵P(K2≥3．841)≈0．05．
∴判断性别与是否爱好运动有关，出错的可能性不超过5%．
答案：5%
8．统计推断，当________时，在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为事件A与B有关；当________时，认为没有充分的证据显示事件A与B是有关的．
解析：当k>3．841时，就有在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为事件A与B有关，当k≤2．706时认为没有充分的证据显示事件A与B是有关的．
答案：k>3．841　k≤2．706
9．为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人．
(1)根据以上数据列出2×2列联表；
(2)在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系吗？为什么？
解：(1)由已知可列2×2列联表：
患胃病
未患胃病
总计
生活规律
20
200
220
生活不规律
60
260
320
总计
80
460
540
(2)根据列联表中的数据，由计算公式得K2的观测值
k＝≈9．638．
∵9．638＞6．635，
因此，在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关．
10．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
a
b＝5
女生
c＝10
d
合计
50
已知在全部50人中随机抽取1人抽到爱打篮球的学生的概率为．
(1)请将上面的列联表补充完整；
(2)是否有99．5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关；请说明理由．
附参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
P(K2≥k0)
0．15
0．10
0．05
0．025
0．010
0．005
0．001
k0
2．072
2．706
3．841
5．024
6．635
7．879
10．828
解：(1)列联表补充如下：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
合计
30
20
50
(2)∵K2＝≈8．333＞7．879，
∴有99．5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．
层级二　应试能力达标
1．在第29届北京奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2 548名男性中有1 560名持反对意见，2 452名女性中有1 200名持反对意见，在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时，用什么方法最有说服力(　　)
A．平均数与方差　　　 　B．回归直线方程
C．独立性检验 D．概率
解析：选C　由于参加调查的人按性别被分成了两组，而且每一组又被分成了两种情况，判断有关与无关，符合2×2列联表的要求，故用独立性检验最有说服力．
2．对于独立性检验，下列说法正确的是(　　)
A．K2＞3．841时，有95%的把握说事件A与B无关
B．K2＞6．635时，有99%的把握说事件A与B有关
C．K2≤3．841时，有95%的把握说事件A与B有关
D．K2＞6．635时，有99%的把握说事件A与B无关
解析：选B　由独立性检验的知识知：K2＞3．841时，有95%的把握认为“变量X与Y有关系”；K2＞6．635时，有99%的把握认为“变量X与Y有关系”．故选项B正确．
3．想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该检验(　　)
A．H0：男性喜欢参加体育活动
B．H0：女性不喜欢参加体育活动
C．H0：喜欢参加体育活动与性别有关
D．H0：喜欢参加体育活动与性别无关
解析：选D　独立性检验假设有反证法的意味，应假设两类变量(而非变量的属性)无关，这时的K2应该很小，如果K2很大，则可以否定假设，如果K2很小，则不能够肯定或者否定假设．
4．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”，得到如下的列联表：
做不到“光盘”
能做到“光盘”
男
45
10
女
30
15
由此表得到的正确结论是(　　)
A．在犯错误的概率不超过0．01的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0．01的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0．1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0．1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
解析：选C　由2×2列联表得到a＝45，b＝10，c＝30，d＝15．
则a＋b＝55，c＋d＝45，a＋c＝75，b＋d＝25，ad＝675，bc＝300，n＝100．
代入K2＝，得K2的观测值k＝≈3．030．因为2．706<3．030<3．841．
所以在犯错误的概率不超过0．1的前提下认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．
5．若两个分类变量X与Y的列联表为：
y1
y2
x1
10
15
x2
40
16
则“X与Y之间有关系”这个结论出错的可能性为________．
解析：由题意可得K2的观测值
k＝≈7．227，
∵P(K2≥6．635)≈1%, 所以“x与y之间有关系”出错的可能性为1%．
答案：1%
6．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：
又发作过心脏病
未发作过心脏病
合计
心脏搭桥手术
39
157
196
血管清障手术
29
167
196
合计
68
324
392
试根据上述数据计算K2≈________，能否作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论________(填“能”或“不能”)．
解析：根据列联表中的数据，可以求得K2的观测值k＝≈1．779．
K2＜2．072的概率为0．85．作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论．
答案：1．779　不能
7．甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸x(单位：cm)及个数y，如下表：
零件尺寸x
1．01
1．02
1．03
1．04
1．05
零件个数y
甲
3
7
8
9
3
乙
7
4
4
4
a
由表中数据得y关于x的线性回归方程为＝－91＋100x(1．01≤x≤1．05)，其中合格零件尺寸为1．03±0．01(cm)．完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关？
合格零件数
不合格零件数
总计
甲
乙
总计
解：＝1．03，＝，由＝－91＋100x知，＝－91＋100×1．03，所以a＝11，由于合格零件尺寸为1．03±0．01 cm，故甲、乙加工的合格与不合格零件的数据表为：
合格零件数
不合格零件数
总计
甲
24
6
30
乙
12
18
30
总计
36
24
60
所以K2＝
＝＝10，
因K2＝10>6．635，故有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关．
8．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
喜欢甜品
不喜欢甜品
总计
南方学生
60
20
80
北方学生
10
10
20
总计
70
30
100
(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品．现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．
P(K2≥k0)
0．100
0．050
0．010
k0
2．706
3．841
6．635
解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
K2＝＝≈4．762．
由于4．762>3．841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．
(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}．
(其中ai表示喜欢甜品的学生，i＝1,2．bj表示不喜欢甜品的学生，j＝1,2,3)Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则
A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}．
事件A是由7个基本事件组成，因而P(A)＝．
(时间120分钟　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程＝＋x中，回归系数(　　)
A．可以小于0　　　　 　B．大于0
C．能等于0 D．只能小于0
解析：选A　∵＝0时，则r＝0，这时不具有线性相关关系，但可以大于0也可以小于0．
2．每一吨铸铁成本y(元)与铸件废品率x%建立的回归方程＝56＋8x，下列说法正确的是(　　)
A．废品率每增加1%，成本每吨增加64元
B．废品率每增加1%，成本每吨增加8%
C．废品率每增加1%，成本每吨增加8元
D．如果废品率增加1%，则每吨成本为56元
解析：选C　根据回归方程知y是关于x的单调增函数，并且由系数知x每增加一个单位，y平均增加8个单位．
3．下表显示出样本中变量y随变量x变化的一组数据，由此判断它最可能是(　　)
x
4
5
6
7
8
9
10
y
14
18
19
20
23
25
28
A．线性函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
解析：选A　画出散点图(图略)可以得到这些样本点在某一条直线上或该直线附近，故最可能是线性函数模型．
4．试验测得四组(x，y)的值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y与x之间的回归直线方程为(　　)
A．＝x＋1 B． ＝x＋2
C．＝2x＋1 D．＝x－1
解析：选A　由题意发现，(x，y)的四组值均满足＝x＋1，故＝x＋1为回归直线方程．
5．下列关于等高条形图说法正确的是(　　)
A．等高条形图表示高度相对的条形图
B．等高条形图表示的是分类变量的频数
C．等高条形图表示的是分类变量的百分比
D．等高条形图表示的是分类变量的实际高度
解析：选C　由等高条形图的特点及性质进行判断．
6．根据一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的散点图分析存在线性相关关系，求得其回归方程＝0．85x－85．7，则在样本点(165,57)处的残差为(　　)
A．54．55 B．2．45
C．3．45 D．111．55
解析：选B　把x＝165代入＝0．85x－85．7，得y＝0．85×165－85．7＝54．55，由57－54．55＝2．45，故选B．
7．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
优秀
非优秀
总计
甲班
10
b
乙班
c
30
总计
105
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　)
A．列联表中c的值为30，b的值为35
B．列联表中c的值为15，b的值为50
C．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
D．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”
解析：选C　由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c＝20，b＝45，选项A、B错误．根据列联表中的数据，得到K2＝≈6．109>3．841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”，选项C正确．
8．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y与x具有相关关系，回归方程为＝0．66x＋1．562，若某城市居民人均消费水平为7．675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为(　　)
A．83% B．72%
C．67% D．66%
解析：选A　将y＝7．675代入回归方程，可计算得x≈9．262，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7．675÷9．262≈0．83≈83%，即约为83%．
9．为了研究男子的年龄与吸烟的关系，抽查了100个男子，按年龄超过和不超过40岁，吸烟量每天多于和不多于20支进行分组，如下表：
年龄
总计
不超过40岁
超过40岁
吸烟量不多于
20支/天
50
15
65
吸烟量多于
20支/天
10
25
35
总计
60
40
100
则在犯错误的概率不超过__________的前提下认为吸烟量与年龄有关(　　)
A．0．001 B．0．01
C．0．05 D．没有理由
解析：选A　K2＝≈22．16＞10．828，
所以我们在犯错误的概率不超过0．001的前提下认为吸烟量与年龄有关．
10．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线为l1和l2，已知在两人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t，那么下列说法正确的是(　　)
A．直线l1和直线l2有交点(s，t)
B．直线l1和直线l2相交，但交点未必是点(s，t)
C．直线l1和直线l2由于斜率相等，所以必定平行
D．直线l1和直线l2必定重合
解析：选A　l1与l2都过样本中心(，)．
11．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表如下：
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
对于以下数据，对同一样本能说明X与Y有关的可能性最大的一组为(　　)
A．a＝9，b＝8，c＝7，d＝6
B．a＝9，b＝7，c＝6，d＝8
C．a＝8，b＝6，c＝9，d＝7
D．a＝6，b＝7，c＝8，d＝9
解析：选B　对于同一样本|ad－bc|越小，说明X与Y之间的关系越弱，|ad－bc|越大， 故检验知选B．
12．两个分类变量X和Y, 值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}, 其样本频数分别是a＝10, b＝21, c＋d＝35． 若X与Y有关系的可信程度不小于97．5%, 则c等于(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选A　列2×2列联表如下：
x1
x2
总计
y1
10
21
31
y2
c
d
35
总计
10＋c
21＋d
66
故K2的观测值k＝≥5．024． 把选项A, B, C, D代入验证可知选A．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y(h)之间的线性回归方程为＝0．01x＋0．5，则加工600个零件大约需要________h．
解析：当x＝600时，＝0．01×600＋0．5＝6．5．
答案：6．5
14．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之间满足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1,2，…，n)，若ei恒为0，则R2为________．
解析：ei恒为0，说明随机误差总为0，于是yi＝，故R2＝1．
答案：1
15．下列是关于出生男婴与女婴调查的列联表
晚上
白天
总计
男婴
45
A
B
女婴
E
35
C
总计
98
D
180
那么A＝______，B＝______，C______，D＝________，E＝________．
解析：∵45＋E＝98，∴E＝53，
∵E＋35＝C，∴C＝88，∵98＋D＝180，∴D＝82，
∵A＋35＝D，∴A＝47，∵45＋A＝B，∴B＝92．
答案：47　92　88　82　53
16．已知x，y之间的一组数据如表，对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为l1：y＝x＋1与l2：y＝x＋，利用最小二乘法判断拟合程度更好的直线是________．
x
1
3
6
7
8
y
1
2
3
4
5
解析：用y＝x＋1作为拟合直线时，所得y的实际值与y的估计值的差的平方和为：S1＝2＋(2－2)2＋(3－3)2＋2＋2＝．用y＝x＋作为拟合直线时，所得y的实际值与y的估计值的差的平方和为：S2＝(1－1)2＋(2－2)2＋2＋(4－4)2＋2＝．
因为S2答案：y＝x＋
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)对某校小学生进行心理障碍测试得如下列联表：(其中焦虑、说谎、懒惰都是心理障碍)
焦虑
说谎
懒惰
总计
女生
5
10
15
30
男生
20
10
50
80
总计
25
20
65
110
试说明在这三种心理障碍中哪一种与性别关系最大？
解：对于上述三种心理障碍分别构造三个随机变量K，K，K，由表中数据可得
K＝≈0．863，
K＝≈6．366，
K＝≈1．410．
因为K的值最大，所以说谎与性别关系最大．
18．(本小题满分12分)有人统计一个省的6个城市某一年的人均国内生产总值(人均GDP)x和这一年各城市患白血病的儿童数量y，其数据如下表所示：
人均GDP x/万元
10
8
6
4
3
1
患白血病的儿童数量y/人
351
312
207
175
132
180
(1)画出散点图，并判断是否线性相关；
(2)求y与x之间的回归方程．
解：(1)作散点图(如下图所示)．
由散点图可知y与x具有线性相关关系．
(2)将数据代入公式，可得≈23．253，≈102．151．
故y与x之间的线性回归方程是＝23．253x＋102．151．
19．(本小题满分12分)某校在两个班进行教学方式对比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如下表所示(单位：人)：
80及80分以上
80分以下
总计
试验班
35
15
50
对照班
20
m
50
总计
55
45
n
(1)求m，n；
(2)能否在犯错误的概率不超过0．005的情况下认为教学方式与成绩有关系？
解：(1)m＝45－15＝30，n＝50＋50＝100．
(2)由表中的数据，得K2的观测值为
k＝≈9．091．
因为9．091>7．879，所以能在犯错误的概率不超过0．005的前提下认为教学方式与成绩有关系．
20．(本小题满分12分)某工厂用甲、乙两种不同工艺生产一大批同一种零件，零件尺寸均在[21．7,22．3](单位：cm)之间，把零件尺寸在[21．9,22．1)的记为一等品，尺寸在[21．8,21．9)∪[22．1,22．2)的记为二等品，尺寸在[21．7,21．8)∪[22．2,22．3]的记为三等品，现从甲、乙工艺生产的零件中各随机抽取100件产品，所得零件尺寸的频率分布直方图如图所示：
(1)根据上述数据完成下列2×2列联表，根据此数据你认为选择不同的工艺与生产出一等品是否有关？
甲工艺
乙工艺
总计
一等品
非一等品
总计
附：
P(K2≥k0)
0．10
0．05
0．01
k0
2．706
3．841
6．635
K2＝
(2)以上述各种产品的频率作为各种产品发生的概率，若一等品、二等品、三等品的单件利润分别为30元、20元、15元，你认为以后该工厂应该选择哪种工艺生产该种零件？请说明理由．
解：(1)2×2列联表如下
甲工艺
乙工艺
总计
一等品
50
60
110
非一等品
50
40
90
总计
100
100
200
K2＝≈2．02<2．706，所以没有理由认为选择不同的工艺与生产出一等品有关．
(2)由题知运用甲工艺生产单件产品的利润X的分布列为
X
30
20
15
P
0．5
0．3
0．2
X的数学期望为E(X)＝30×0．5＋20×0．3＋15×0．2＝24，X的方差为D(X)＝(30－24)2×0．5＋(20－24)2×0．3＋(15－24)2×0．2＝39．
乙工艺生产单件产品的利润Y的分布列为
Y
30
20
15
P
0．6
0．1
0．3
Y的数学期望为E(Y)＝30×0．6＋20×0．1＋15×0．3＝24．5，
Y的方差为D(Y)＝(30－24．5)2×0．6＋(20－24．5)2×0．1＋(15－24．5)2×0．3＝47．25．
由上述结果可以看出D(X)21．(本小题满分12分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
性别
是否需要志愿者
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
P(K2≥k0)
0．05
0．01
0．001
k0
3．841
6．635
10．828
附：K2的观测值k＝．
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
(2)在犯错误的概率不超过0．01的前提下是否可认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？请说明理由．
解：(1)调查的500位老人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为＝14%．
(2)随机变量K2的观测值
k＝≈9．967．
由于9．967>6．635，因此，在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．
(3)由(2)的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据中能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层，并且采用分层抽样方法比采用简单随机抽样的方法更好．
22．(本小题满分12分)某市为了对学生的数理(数学与物理)学习能力进行分析，从10 000名学生中随机抽出100位学生的数理综合学习能力等级分数(6分制)作为样本，分数频数分布如下表：
等级得分
(0,1]
(1,2]
(2,3]
(3,4]
(4,5]
(5,6]
人数
3
17
30
30
17
3
(1)如果以能力等级分数大于4分作为良好的标准，从样本中任意抽取2名学生，求恰有1名学生为良好的概率．
(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间(1,2]的中点值为1．5)作为代表：
①据此，计算这100名学生数理学习能力等级分数的期望μ及标准差σ(精确到0．1)；
②若总体服从正态分布，以样本估计总体，估计该市这10 000名学生中数理学习能力等级在(1．9,4．1)范围内的人数．
(3)从这10 000名学生中任意抽取5名同学，他们数学与物理单科学习能力等级分数如下表：
x(数学学习能力)
2
3
4
5
6
y(物理学习能力)
1．5
3
4．5
5
6
①请画出上表数据的散点图；
②请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋(附参考数据：≈11．4)．
解：(1)样本中学生为良好的人数为20人．故从样本中任意抽取2名学生，则仅有1名学生为良好的概率为＝．
(2)①总体数据的期望约为：μ＝0．5×0．03＋1．5×0．17＋2．5×0．30＋3．5×0．30＋4．5×0．17＋5．5×0．03＝3．0，
标准差σ＝[(0．5－3)2×0．03＋(1．5－3)2×0．17＋(2．5－3)2×0．3＋(3．5－3)2×0．3＋(4．5－3)2×0．17＋(5．5－3)2×0．03]＝≈1．1，
②由于μ＝3，σ＝1．1
当x∈(1．9,4．1)时，即x∈(μ－σ，μ＋σ)，
故数理学习能力等级分数在(1．9,4．1)范围中的概率为0．682 6．
数理习能力等级分数在(1．9,4．1)范围中的学生的人数约为10 000×0．682 6＝6 826人．
(3)①数据的散点图如图：
②设线性回归方程为＝x＋，则
＝＝1．1，＝－＝－0．4．
故回归直线方程为＝1．1x－0．4．
课时跟踪检测（一） 回归分析的基本思想及其初步应用
层级一　学业水平达标
1．在对两个变量x，y进行线性回归分析时，有下列步骤：
①对所求出的回归直线方程作出解释；
②收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；
③求线性回归方程；
④求相关系数；
⑤根据所搜集的数据绘制散点图．
如果根据可行性要求能够作出变量x，y具有线性相关的结论，则在下列操作顺序中正确的是(　　)
A．①②⑤③④　　　　 　B．③②④⑤①
C．②④③①⑤ D．②⑤④③①
解析：选D　对两个变量进行回归分析时，首先收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；根据所搜集的数据绘制散点图．观察散点图的形状，判断线性相关关系的强弱，求相关系数，写出线性回归方程，最后依据所求出的回归直线方程作出解释；故正确顺序是②⑤④③①， 故选D．
2．有下列说法：
①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；
②R2来刻画回归的效果，R2值越大，说明模型的拟合效果越好；
③比较两个模型的拟合效果， 可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．
其中正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D　①选用的模型是否合适与残差点的分布有关； 对于②③， R2的值越大， 说明残差平方和越小， 随机误差越小，则模型的拟合效果越好．
3．下图是根据变量x，y的观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x，y具有相关关系的图是(　　)
A．①② B．①④
C．②③ D．③④
解析：选D　根据散点图中点的分布情况，可判断③④中的变量x，y具有相关的关系．
4．(重庆高考)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3．5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为(　　)
A．＝0．4x＋2．3 B．＝2x－2．4
C．＝－2x＋9．5 D．＝－0．3x＋4．4
解析：选A　依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C，D．且直线必过点(3,3．5)代入A，B得A正确．
5．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元)
8．2
8．6
10．0
11．3
11．9
支出y(万元)
6．2
7．5
8．0
8．5
9．8
根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0．76，＝－．据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(　　)
A．11．4万元 B．11．8万元
C．12．0万元 D．12．2万元
解析：选B　由题意知，＝＝10，
＝＝8，
∴＝8－0．76×10＝0．4，
∴当x＝15时，＝0．76×15＋0．4＝11．8(万元)．
6．以下是某地区的降雨量与年平均气温的一组数据：
年平均气温(℃)
12．51
12．84
12．84
13．69
13．33
12．74
13．05
年降雨量(mm)
542
507
813
574
701
432
464
根据这组数据可以推断，该地区的降雨量与年平均气温________相关关系．(填“具有”或“不具有”)
解析：画出散点图，观察可知，降雨量与年平均气温没有相关关系．
答案：不具有
7．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．
解析：根据样本相关系数的定义可知， 当所有样本点都在直线上时， 相关系数为1．
答案：1
8．下列说法正确的命题是________(填序号)．
①回归直线过样本点的中心(，)；
②线性回归方程对应的直线＝x＋至少经过其样本数据点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点；
③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越宽，其模型拟合的精度越高；
④在回归分析中，R2为0．98的模型比R2为0．80的模型拟合的效果好．
解析：由回归分析的概念知①④正确，②③错误．
答案：①④
9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
8
8．2
8．4
8．6
8．8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程＝x＋，其中＝－20，＝－；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
解：(1)＝(8＋8．2＋8．4＋8．6＋8．8＋9)＝8．5， ＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，
从而＝＋20＝80＋20×8．5＝250,
故＝－20x＋250．
(2)由题意知， 工厂获得利润
z＝(x－4)y＝－20x2＋330x－1 000＝－202＋361．25，所以当x＝＝8．25时，zmax＝361．25(元)．
即当该产品的单价定为8．25元时，工厂获得最大利润．
10．关于x与y有以下数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
已知x与y线性相关，由最小二乘法得＝6．5，
(1)求y与x的线性回归方程；
(2)现有第二个线性模型：＝7x＋17，且R2＝0．82．
若与(1)的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由．
解：(1)依题意设y与x的线性回归方程为＝6．5x＋．
＝＝5，
＝＝50，
∵＝6．5x＋经过(，)，
∴50＝6．5×5＋，∴＝17．5，
∴y与x的线性回归方程为＝6．5x＋17．5．
(2)由(1)的线性模型得yi－i与yi－的关系如下表：
yi－i
－0．5
－3．5
10
－6．5
0．5
yi－
－20
－10
10
0
20
所以(yi－i)2＝(－0．5)2＋(－3．5)2＋102＋(－6．5)2＋0．52＝155．
(yi－)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000．
所以R＝1－＝1－＝0．845．
由于R＝0．845，R2＝0．82知R>R2，
所以(1)的线性模型拟合效果比较好．
层级二　应试能力达标
1．在建立两个变量y与x的回归模型中，分别选择4个不同模型，求出它们相对应的R2如表，则其中拟合效果最好的模型是(　　)
模型
1
2
3
4
R2
0．67
0．85
0．49
0．23
A．模型1　　　　　　 　B．模型2
C．模型3 D．模型4
解析：选B　线性回归分析中，相关系数为r，|r|越接近于1, 相关程度越大； |r|越小， 相关程度越小，故其拟合效果最好． 故选B．
2．如果某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0．8，a＝2，|e|≤0．5，如果今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过(　　)
A．10亿 B．9亿
C．10．5亿 D．9．5亿
解析：选C　∵x＝10时，y＝0．8×10＋2＋e＝10＋e，
又∵|e|≤0．5，∴y≤10．5．
3．某咖啡厅为了了解热饮的销售量y(个)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：
气温(℃)
18
13
10
－1
销售量(个)
24
34
38
64
由表中数据，得线性回归方程＝－2x＋a．当气温为－4 ℃时，预测销售量约为(　　)
A．68 B．66
C．72 D．70
解析：选A　∵＝(18＋13＋10－1)＝10，＝ (24＋34＋38＋64)＝40，∴40＝－2×10＋a，∴a＝60，当x＝－4时，y＝－2×(－4)＋60＝68．
4．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和(yi－i)2如下表：
甲
乙
丙
丁
散点图
残差平方和
115
106
124
103
哪位同学的试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选D　根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小(对于已经获取的样本数据，R2的表达式中(yi－)2为确定的数，则残差平方和越小，R2越大)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些．故选D．
5．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a的周围，令＝ln y，求得回归直线方程为＝0．25x－2．58，则该模型的回归方程为________．
解析：因为＝0．25x－2．58，＝ln y，所以y＝e0．25x－2．58．
答案：y＝e0．25x－2．58
6．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0．254x＋0．321．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
解析：以x＋1代x，得＝0．254(x＋1)＋0．321，与＝0．254x＋0．321相减可得，年饮食支出平均增加0．254万元．
答案：0．254
7．下表是某年美国旧轿车价格的调查资料．
使用年数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
平均价格(美元)
2 651
1 943
1 494
1 087
765
538
484
290
226
204
观察表中的数据，试问平均价格与使用年数间存在什么样的关系？
解：设x表示轿车的使用年数，y表示相应的平均价格，作出散点图．
由散点图可以看出y与x具有指数关系，
令z＝ln y，变换得
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
z
7．883
7．572
7．309
6．991
6．640
6．288
6．182
5．670
5．421
5．318
作出散点图：
由图可知各点基本上处于一直线，由表中数据可求出线性回归方程：
＝8．166－0．298x．
因为旧车的平均价格与使用年数具有指数关系，其非线性回归方程为＝e8．166－0．298x．
8．某公司利润y(单位：千万元)与销售总额x(单位：千万元)之间有如下对应数据：
x
10
15
17
20
25
28
32
y
1
1．3
1．8
2
2．6
2．7
3．3
(1)画出散点图；
(2)求回归直线方程；
(3)估计销售总额为24千万元时的利润．
解：(1)散点图如图：
(2)列下表，并利用科学计算器进行有关计算．
i
1
2
3
4
5
6
7
xi
10
15
17
20
25
28
32
yi
1
1．3
1．8
2
2．6
2．7
3．3
＝21，＝2．1
＝3 447，iyi＝346．3
于是＝≈0．104．
＝2．1－0．104×21＝－0．084，
因此回归直线方程为＝0．104x－0．084．
(3)当x＝24时，y＝0．104×24－0．084＝2．412(千万元)．
课时跟踪检测（七） 数系的扩充和复数的概念
层级一　学业水平达标
1．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是 (　　)
A．3－3i　　　　　　　　 ．3＋i
C．－＋i .＋i
解析：选A　3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A.
2．4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为(　　)
A．1 B．1或－4
C．－4 D．0或－4
解析：选C　由题意知解得a＝－4.
3．下列命题中：①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；③若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；④若实数a与ai对应，则实数集与复数集一一对应．正确的命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A　①取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故①错； ②③错；对于④，a＝0时，ai＝0，④错，故选A.
4．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是(　　)
A．|a|＝|b| B．a＜0且a＝－b
C．a＞0且a≠b D．a≤0
解析：选D　复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，故a≤0.
5．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为(　　)
A. B.或π
C．2kπ＋(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
解析：选D　由复数相等定义得
∴tan θ＝1，∴θ＝kπ＋(k∈Z)，故选D.
6．下列命题中：①若a∈R，则ai为纯虚数；②若a，b∈R，且a＞b，则a＋i＞b＋i；③两个虚数不能比较大小；④x＋yi的实部、虚部分别为x，y.其中正确命题的序号是________．
解析：①当a＝0时，0i＝0，故①不正确；②虚数不能比较大小，故②不正确；③正确；④x＋yi中未标注x，y∈R，故若x，y为复数，则x＋yi的实部、虚部未必是x，y.
答案：③
7．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1则实数m的值为______．
解析：由题意得解得m＝2.
答案：2
8．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________.
解析：由复数相等的充要条件有
?
答案：2　±2
9．设复数z＝log2(m2－3m－3)＋log2(3－m)i，m∈R，如果z是纯虚数，求m的值．
解：由题意得解得m＝－1.
10．求适合等式(2x－1)＋i＝y＋(y－3)i的x，y的值．其中x∈R，y是纯虚数．
解：设y＝bi(b∈R且b≠0)，代入等式得(2x－1)＋i＝bi＋(bi－3)i，
即(2x－1)＋i＝－b＋(b－3)i，
∴
解得
即x＝－，y＝4i.
层级二　应试能力达标
1．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则(　　)
A．a＝－1　　　　　　　 B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1 D．a≠2
解析：选C　若复数(a2－a－2)＋ (|a－1|－1)i不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.故应选C.
2．已知集合M＝{1，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{1,3}，M∩N＝{1,3}，则实数m的值为(　　)
A．4 B．－1
C．4或－1 D．1或6
解析：选B　由题意知∴m＝－1.
3．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于(　　)
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
解析：选B　由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即解得
∴z＝3－i，故应选B.
4．若复数z1＝sin 2θ＋icos θ，z2＝cos θ＋isin θ(θ∈R)，z1＝z2，则θ等于(　　)
A．kπ(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z) D．2kπ＋(k∈Z)
解析：选D　由复数相等的定义可知，
∴cos θ＝，sin θ＝.∴θ＝＋2kπ，k∈Z，故选D.
5．已知z1＝(－4a＋1)＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R.若z1＞z2，则a的取值集合为________．
解析：∵z1＞z2，∴
∴a＝0，故所求a的取值集合为{0}．
答案：{0}
6．若a－2i＝bi＋1(a，b∈R)，则b＋ai＝________.
解析：根据复数相等的充要条件，得
∴b＋ai＝－2＋i.
答案：－2＋i
7．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．
解：由定义运算＝ad－bc，
得＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，所以有
得
得x＝－1，y＝2.
8．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足M∩N?M，求实数a，b的值．
解：依题意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①
或8＝(a2－1)＋(b＋2)i.②
由①，得a＝－3，b＝±2，
由②，得a＝±3，b＝－2.
综上，a＝－3，b＝2，或a＝－3，b＝－2或a＝3，b＝－2.
课时跟踪检测（三） 合情推理
层级一　学业水平达标
1．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为(　　)
A.　　　　　　　　 B．△
C. D．○
解析：选A　观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．
2．下面几种推理是合情推理的是(　　)
①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n边形的内角和是(n－2)·180°(n∈N*，且n≥3)．
A．①② B．①③④
C．①②④ D．②④
解析：选C　①是类比推理；②④是归纳推理，∴①②④都是合情推理．
3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为(　　)
A．1∶2 B．1∶4
C．1∶8 D．1∶16
解析：选C　由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.
4．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是(　　)
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：选B　根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知，②③是正确的结论．
5．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为(　　)
A.＋＝2
B.＋＝2
C.＋＝2
D.＋＝2
解析：选A　观察发现：每个等式的右边均为2，左边是两个分数相加，分子之和等于8，分母中被减数与分子相同，减数都是4，因此只有A正确．
6．观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
照此规律，第n个等式为________．
解析：观察所给等式，等式左边第一个加数与行数相同，加数的个数为2n－1，故第n行等式左边的数依次是n，n＋1，n＋2，…，(3n－2)；每一个等式右边的数为等式左边加数个数的平方，从而第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
7．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是_______________________．
解析：平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．
答案：表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大
8．如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列{an}的通项公式为an＝__________.
解析：根据OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1和图(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a1＝OA1＝1，a2＝OA2＝＝＝，a3＝OA3＝＝＝，…，故可归纳推测出an＝.
答案：
9．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，由此猜想凸n边形有几条对角线？
解：因为凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，…，于是猜想凸n边形的对角线条数比凸(n－1)边形多(n－2)条对角线，由此凸n边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)，由等差数列求和公式可得n(n－3)(n≥4，n∈N*)．
所以凸n边形的对角线条数为n(n－3)(n≥4，n∈N*)．
10．已知f(x)＝，分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论．
解：f(x)＝，
所以f(0)＋f(1)＝＋＝，
f(－1)＋f(2)＝＋＝，
f(－2)＋f(3)＝＋＝.
归纳猜想一般性结论；f(－x)＋f(x＋1)＝.
证明如下：f(－x)＋f(x＋1)＝＋
＝＋＝＋
＝＝＝.
层级二　应试能力达标
1．由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
④“t≠0，mt＝xt?m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”；
⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑥“＝”类比得到“＝”．
其中类比结论正确的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选B　由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故应选B.
2．类比三角形中的性质：
(1)两边之和大于第三边；
(2)中位线长等于底边长的一半；
(3)三内角平分线交于一点．
可得四面体的对应性质：
(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；
(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的；
(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点．
其中类比推理方法正确的有(　　)
A．(1) B．(1)(2)
C．(1)(2)(3) D．都不对
解析：选C　以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．
3．观察下列式子：1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…，根据以上式子可以猜想：1＋＋＋…＋＜(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　观察可以发现，第n(n≥2)个不等式左端有n＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n＋1)2；右端分母为n＋1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n个不等式为1＋＋＋…＋＜，所以当n＝2 016时不等式为：1＋＋＋…＋＜.
4．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体P-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体P-ABC的体积为V，则r＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　将△ABC的三条边长a，b，c类比到四面体P-ABC的四个面面积S1，S2，S3，S4，将三角形面积公式中系数，类比到三棱锥体积公式中系数，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V，∴V＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r，∴r＝.
5．观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S与n的关系式为____________．
解析：每条边上有2个圆圈时共有S＝4个；每条边上有3个圆圈时，共有S＝8个；每条边上有4个圆圈时，共有S＝12个．可见每条边上增加一个点，则S增加4，∴S与n的关系为S＝4(n－1)(n≥2)．
答案：S＝4(n－1)(n≥2)
6．可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍．你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线的方程分别是＋＝1(a＞b＞0)与x2＋y2＝a2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为______________．
解析：由于椭圆与圆截y轴所得线段之比为，
即k＝，∴椭圆面积S＝πa2·＝πab.
答案：πab
7．观察下列两个等式：
①sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°＝①；
②sin26°＋cos236°＋sin 6°cos 36°＝②.
由上面两个等式的结构特征，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．
解：由①②知若两角差为30°，则它们的相关形式的函数运算式的值均为.
猜想：若β－α＝30°，则β＝30°＋α，sin2α＋cos2(α＋3 0°)＋sin αcos(α＋30°)＝.下面进行证明：
左边＝sin2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sin α]
＝sin2α＋
＝sin2α＋cos2α－sin2α＝＝右边．
所以，猜想是正确的．
故sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝.
8．已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于点D，有＝＋成立．那么在四面体A-BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．
解：猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体A-BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则＝＋＋.
下面证明上述猜想成立
如图所示，连接BE，并延长交CD于点F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，
AC∩AD=A，
∴AB⊥平面ACD.
而AF?平面ACD，∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴＝＋.
∴＝＋＋，故猜想正确．
课时跟踪检测（九） 复数代数形式的加减运算及其几何意义
层级一　学业水平达标
1．已知z＝11－20i，则1－2i－z等于(　　)
A．z－1　　　　　　　　 B．z＋1
C．－10＋18i D．10－18i
解析：选C　1－2i－z＝1－2i－(11－20i)＝－10＋18i.
2．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是(　　)
A．－2 B．4
C．3 D．－4
解析：选B　z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B.
3．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B　z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．
4．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．－1
解析：选D　z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0，∴a＝－1.
5．设向量，，对应的复数分别为z1，z2，z3，那么(　　)
A．z1＋z2＋z3＝0 B．z1－z2－z3＝0
C．z1－z2＋z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0
解析：选D　∵＋＝，∴z1＋z2＝z3，即z1＋z2－z3＝0.
6．已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝__________，y＝__________.
解析：x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i
∴解得
答案：6　11
7．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.
解析：|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝ ＝5.
答案：5
8．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，则a＋b＝________.
解析：∵z1－z2＝a＋(a＋1)i－[－3b＋(b＋2)i]＝＋(a－b－1)i＝4，
由复数相等的条件知
解得∴a＋b＝3.
答案：3
9．计算下列各式．
(1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)；
(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 015－2 016i)．
解：(1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i＝－5＋20i.
(2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 013－2 014＋2 015)＋(－2＋3－4＋5－…－2 014＋2 015－2 016)i＝1 008－1 009i.
10．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.
解：∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，
∴z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i＝5－6i，
∴解得
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
层级二　应试能力达标
1．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为(　　)
A．0　　　　　　　　　 B．1
C. D.
解析：选C　由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离即为.
2．复平面内两点Z1和Z2分别对应于复数3＋4i和5－2i，那么向量对应的复数为(　　)
A．3＋4i B．5－2i
C．－2＋6i D．2－6i
解析：选D　＝－，即终点的复数减去起点的复数，∴(5－2i)－ (3＋4i)＝2－6i.
3．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
解析：选A　由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C距离相等，∴P为△ABC的外心．
4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是(　　)
A．2＋4i B．－2＋4i
C．－4＋2i D．4－2i
解析：选D　依题意有＝＝－.而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，故对应的复数为4－2i，故选D.
5．设复数z满足z＋|z|＝2＋i，则z＝________.
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝ .
∴x＋yi＋＝2＋i.
∴解得∴z＝＋i.
答案：＋i
6．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么对应的复数为________．
解析：＝－＝－(＋)＝3＋2i－(－2＋i＋1＋5i)＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i＝4－4i.
答案：4－4i
7．在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
(1)求向量，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状．
(3)求△ABC的面积．
解：(1)对应的复数为2＋i－1＝1＋i，
对应的复数为－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，
对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i.
(2)∵||＝，||＝，||＝＝2，
∴||2＋||2＝||2，∴△ABC为直角三角形．
(3)S△ABC＝××2＝2.
8．设z＝a＋bi(a，b∈R)，且4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i，又ω＝sin θ－icos θ，求z的值和|z－ω|的取值范围．
解：∵4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i，∴6a＋2bi＝3＋i，
∴∴∴z＝＋i，
∴z－ω＝－(sin θ－icos θ)
＝＋i
∴|z－ω|＝
＝
＝ ＝ ，
∵－1≤sin≤1，
∴0≤2－2sin≤4，∴0≤|z－ω|≤2，
故所求得z＝＋i，|z－ω|的取值范围是[0,2]．
课时跟踪检测（二） 独立性检验的基本思想及其初步应用
层级一　学业水平达标
1．以下关于独立性检验的说法中， 错误的是(　　)
A．独立性检验依赖于小概率原理
B．独立性检验得到的结论一定准确
C．样本不同，独立性检验的结论可能有差异
D．独立性检验不是判断两事物是否相关的唯一方法
解析：选B　根据独立性检验的原理可知得到的结论是错误的情况是小概率事件，但并不一定是准确的．
2．观察下列各图，其中两个分类变量之间关系最强的是(　　)
解析：选D　在四幅图中，D图中两个阴影条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强，故选D．
3．在列联表中，下列哪两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大(　　)
A．与　　　　　　B．与
C．与 D． 与
解析：选C　由等高条形图可知与的值相差越大，|ad－bc|就越大，相关性就越强．
4．对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是(　　)
A．k越大，“X与Y有关系”的可信程度越小
B．k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小
C．k越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小
D．k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大
解析：选B　K2的观测值k越大，“X与Y有关系”的可信程度越大．因此，A、C、D都不正确．
5．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到下表数据：

种子处理
种子未处理
总计
得病
32
101
133
不得病
61
213
274
总计
93
314
407
根据以上数据，可得出(　　)
A．种子是否经过处理跟是否生病有关
B．种子是否经过处理跟是否生病无关
C．种子是否经过处理决定是否生病
D．以上都是错误的
解析：选B　由K2＝≈0．164＜2．706，即没有把握认为是否经过处理跟是否生病有关．
6．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算K2的观测值k＝27．63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的．(填“有关”或“无关”)
解析：∵K2的观测值k＝27．63，∴k＞10．828，∴在犯错误的概率不超过0．001的前提下认为打鼾与患心脏病是有关的．
答案：有关
7．如果根据性别与是否爱好运动的列联表得到K2≈3．852＞3．841，则判断性别与是否爱好运动有关，那么这种判断犯错的可能性不超过________．
解析：∵P(K2≥3．841)≈0．05．
∴判断性别与是否爱好运动有关，出错的可能性不超过5%．
答案：5%
8．统计推断，当________时，在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为事件A与B有关；当________时，认为没有充分的证据显示事件A与B是有关的．
解析：当k>3．841时，就有在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为事件A与B有关，当k≤2．706时认为没有充分的证据显示事件A与B是有关的．
答案：k>3．841　k≤2．706
9．为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人．
(1)根据以上数据列出2×2列联表；
(2)在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系吗？为什么？
解：(1)由已知可列2×2列联表：
患胃病
未患胃病
总计
生活规律
20
200
220
生活不规律
60
260
320
总计
80
460
540
(2)根据列联表中的数据，由计算公式得K2的观测值
k＝≈9．638．
∵9．638＞6．635，
因此，在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关．
10．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
a
b＝5
女生
c＝10
d
合计
50
已知在全部50人中随机抽取1人抽到爱打篮球的学生的概率为．
(1)请将上面的列联表补充完整；
(2)是否有99．5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关；请说明理由．
附参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
P(K2≥k0)
0．15
0．10
0．05
0．025
0．010
0．005
0．001
k0
2．072
2．706
3．841
5．024
6．635
7．879
10．828
解：(1)列联表补充如下：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
合计
30
20
50
(2)∵K2＝≈8．333＞7．879，
∴有99．5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．
层级二　应试能力达标
1．在第29届北京奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2 548名男性中有1 560名持反对意见，2 452名女性中有1 200名持反对意见，在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时，用什么方法最有说服力(　　)
A．平均数与方差　　　 　B．回归直线方程
C．独立性检验 D．概率
解析：选C　由于参加调查的人按性别被分成了两组，而且每一组又被分成了两种情况，判断有关与无关，符合2×2列联表的要求，故用独立性检验最有说服力．
2．对于独立性检验，下列说法正确的是(　　)
A．K2＞3．841时，有95%的把握说事件A与B无关
B．K2＞6．635时，有99%的把握说事件A与B有关
C．K2≤3．841时，有95%的把握说事件A与B有关
D．K2＞6．635时，有99%的把握说事件A与B无关
解析：选B　由独立性检验的知识知：K2＞3．841时，有95%的把握认为“变量X与Y有关系”；K2＞6． 635时，有99%的把握认为“变量X与Y有关系”．故选项B正确．
3．想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该检验(　　)
A．H0：男性喜欢参加体育活动
B．H0：女性不喜欢参加体育活动
C．H0：喜欢参加体育活动与性别有关
D．H0：喜欢参加体育活动与性别无关
解析：选D　独立性检验假设有反证法的意味，应假设两类变量(而非变量的属性)无关，这时的K2应该很小，如果K2很大，则可以否定假设，如果K2很小，则不能够肯定或者否定假设．
4．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”，得到如下的列联表：
做不到“光盘”
能做到“光盘”
男
45
10
女
30
15
由此表得到的正确结论是(　　)
A．在犯错误的概率不超过0．01的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0．01的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0．1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0．1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
解析：选C　由2×2列联表得到a＝45，b＝10，c＝30，d＝15．
则a＋b＝55，c＋d＝45，a＋c＝75，b＋d＝25，ad＝675，bc＝300，n＝100．
代入K2＝，得K2的观测值k＝≈3．030．因为2．706<3．030<3．841．
所以在犯错误的概率不超过0．1的前提下认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．
5．若两个分类变量X与Y的列联表为：
y1
y2
x1
10
15
x2
40
16
则“X与Y之间有关系”这个结论出错的可能性为________．
解析：由题意可得K2的观测值
k＝≈7．227，
∵P(K2≥6．635)≈1%, 所以“x与y之间有关系”出错的可能性为1%．
答案：1%
6．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：
又发作过心脏病
未发作过心脏病
合计
心脏搭桥手术
39
157
196
血管清障手术
29
167
196
合计
68
324
392
试根据上述数据计算K2≈________，能否作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论________(填“能”或“不能”)．
解析：根据列联表中的数据，可以求得K2的观测值k＝≈1．779．
K2＜2．072的概率为0．85．作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论．
答案：1．779　不能
7．甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸x(单位：cm)及个数y，如下表：
零件尺寸x
1．01
1．02
1．03
1．04
1．05
零件个数y
甲
3
7
8
9
3
乙
7
4
4
4
a
由表中数据得y关于x的线性回归方程为＝－91＋100x(1．01≤x≤1．05)，其中合格零件尺寸为1．03±0．01(cm)．完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关？
合格零件数
不合格零件数
总计
甲
乙
总计
解：＝1．03，＝，由＝－91＋100x知，＝－91＋100×1．03，所以a＝11，由于合格零件尺寸为1．03±0．01 cm，故甲、乙加工的合格与不合格零件的数据表为：
合格零件数
不合格零件数
总计
甲
24
6
30
乙
12
18
30
总计
36
24
60
所以K2＝
＝＝10，
因K2＝10>6．635，故有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关．
8．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
喜欢甜品
不喜欢甜品
总计
南方学生
60
20
80
北方学生
10
10
20
总计
70
30
100
(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品．现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．
P(K2≥k0)
0．100
0．050
0．010
k0
2．706
3．841
6．635
解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
K2＝＝≈4．762．
由于4．762>3．841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．
(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}．
(其中ai表示喜欢甜品的学生，i＝1,2．bj表示不喜欢甜品的学生，j＝1,2,3)Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．
用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则
A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}．
事件A是由7个基本事件组成，因而P(A)＝．
课时跟踪检测（五） 综合法和分析法
层级一　学业水平达标
1．要证明＋＜＋(a≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是(　　)
A．综合法　　　　　　 B．类比法
C．分析法 D．归纳法
解析：选C　直接证明很难入手，由分析法的特点知用分析法最合理．
2．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ ”，其过程应用了(　　)
A．分析法
B．综合法
C．综合法、分析法综合使用
D．间接证法
解析：选B　结合分析法及综合法的定义可知B正确．
3．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件(　　)
A．a2＜b2＋c2 B．a2＝b2＋c2
C．a2＞b2＋c2 D．a2≤b2＋c2
解析：选C　由cos A＝＜0，得b2＋c2＜a2.
4．若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b D．b＜a＜c
解析：选C　利用函数单调性．设f(x)＝，则f′(x)＝，∴0＜x＜e时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；x＞e时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．又a＝，∴b＞a＞c.
5．已知m＞1，a＝－，b＝－，则以下结论正确的是(　　)
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．a，b大小不定
解析：选B　∵a＝－＝，
b＝－＝ .
而＋＞＋＞0(m＞1)，
∴＜，即a6．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x取导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．
解析：该证明过程符合综合法的特点．
答案：综合法
7．如果a＋b＞a＋b，则正数a，b应满足的条件是________．
解析：∵a＋b－(a＋b)
＝a(－)＋b(－)＝(－)(a－b)
＝(－)2(＋)．
∴只要a≠b，就有a＋b＞a＋b.
答案：a≠b
8．若不等式(－1)na＜2＋对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：当n为偶数时，a＜2－，而2－≥2－＝，所以a＜，当n为奇数时，a＞－2－，而－2－＜－2，所以a≥－2.综上可得，－2≤a＜.
答案：
9．求证：2cos(α－β)－＝.
证明：要证原等式，只需证：2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，①
因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α]
＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α
＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α
＝sin β.
所以①成立，所以原等式成立．
10．已知数列{an}的首项a1＝5，Sn＋1＝2Sn＋n＋5，(n∈N*)．
(1)证明数列{an＋1}是等比数列．
(2)求an.
解：(1)证明：由条件得Sn＝2Sn－1＋(n－1)＋5(n≥2)①
又Sn＋1＝2Sn＋n＋5，②
②－①得an＋1＝2an＋1(n≥2)，
所以＝＝＝2.
又n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，且a1＝5，
所以a2＝11，
所以＝＝2，
所以数列{an＋1}是以2为公比的等比数列．
(2)因为a1＋1＝6，
所以an＋1＝6×2n－1＝3×2n，
所以an＝3×2n－1.
层级二　应试能力达标
1．使不等式＜成立的条件是(　　)
A．a＞b　　　　　　 B．a＜b
C．a＞b且ab＜0 D．a＞b且ab＞0
解析：选D　要使＜，须使－＜0，即＜0.
若a＞b，则b－a＜0，ab＞0；若a＜b，则b－a＞0，ab＜0.
2．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是(　　)
A．sin(α＋β)＞sin α＋sin β
B．sin(α＋β)＞cos α＋cos β
C． cos(α＋β)＞sin α＋sin β
D．cos(α＋β)＜cos α＋cos β
解析：选D　因为α，β为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cos α＞cos(α＋β)．又cos β＞0，所以cos α＋cos β＞cos(α＋β)．
3．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋＜m2－3m有解，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1,4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
C．(－4,1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
解析：选B　∵x＞0，y＞0，＋＝1，∴x＋＝＝2＋＋≥2＋2＝4，等号在y＝4x，即x＝2，y＝8时成立，∴x＋的最小值为4，要使不等式m2－3m＞x＋有解，应有m2－3m＞4，∴m＜－1或m＞4，故选B.
4．下列不等式不成立的是(　　)
A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca
B.＋＞(a＞0，b＞0)
C.－＜－(a≥3)
D.＋＞2
解析：选D　对A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；对B，∵(＋)2＝a＋b＋2，()2＝a＋b，∴＋＞；对C，要证 －＜－(a≥3)成立，只需证明＋＜＋，两边平方得2a－3＋2＜2a－3＋2，即＜，两边平方得a2－3a＜a2－3a＋2，即0＜2.因为0＜2显然成立，所以原不等式成立；对于D，(＋)2－(2)2＝12＋4－24＝4(－3)＜0，∴＋＜2，故D错误．
5．已知函数f(x)＝2x，a，b为正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系是________．
解析：∵≥(a，b为正实数)，≤，且f(x)＝2x是增函数，∴f≤f()≤f，即C≤B≤A.
答案：C≤B≤A
6．如图所示，四棱柱ABCD- A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．
解析：要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.
因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，
即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.
答案：AC⊥BD(答案不唯一)
7．在锐角三角形ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.
证明：在锐角三角形ABC中，∵A＋B＞，∴A＞－B.
∴0＜－B＜A＜，
又∵在内正弦函数y＝sin x是单调递增函数，
∴sin A＞sin＝cos B，
即sin A＞cos B．①
同理sin B＞cos C，②
sin C＞cos A．③
由①＋②＋③，得：
sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.
8．已知n∈N，且n＞1，求证：logn(n＋1)＞logn＋1(n＋2)．
证明：要证明logn(n＋1)＞logn＋1(n＋2)，
即证明logn(n＋1)－logn＋1(n＋2)＞0.(*)
∵logn(n＋1)－logn＋1(n＋2)＝－logn＋1(n＋2)
＝.
又∵当n＞1时，logn＋1n＞0，
且logn＋1(n＋2)＞0，logn＋1n≠logn＋1(n＋2)，
∴logn＋1n·logn＋1(n＋2)＜[logn＋1n＋logn＋1(n＋2)]2＝log[n(n＋2)]＝log(n2＋2n)＜log(n＋1)2＝1，
故1－logn＋1n·logn＋1(n＋2)＞0，
∴＞0.
这说明(*)式成立，∴logn(n＋1)＞logn＋1(n＋2)．
课时跟踪检测（八） 复数的几何意义
层级一　学业水平达标
1．与x轴同方向的单位向量e1与y轴同方向的单位向量e2，它们对应的复数分别是(　　)
A．e1对应实数1，e2对应虚数i
B．e1对应虚数i，e2对应虚数i
C．e1对应实数1，e2对应虚数－i
D．e1对应实数1或－1，e2对应虚数i或－i
解析：选A　e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．
2．当＜m＜1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于(　　)
A．第一象限　　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D　∵＜m＜1，∴3m－2＞0，m－1＜0，∴点(3m－2，m－1)在第四象限．
3．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是(　　)
A．(1，) B．(1，)
C．(1,3) D．(1,5)
解析：选B　|z|＝，∵0＜a＜2，∴ 1＜a2＋1＜5，∴|z|∈(1，)．
5．复数z＝1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为(　　)
A．2cos B．－2cos
C．2sin D．－2sin
解析：选B　|z|＝＝＝＝2|cos|.∵π＜α＜2π，∴＜＜π，cos＜0，于是|z|＝－2cos.
6．复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________．
解析：由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知a＝5.
答案：5
7．过原点和－i对应点的直线的倾斜角是________．
解析：∵－i在复平面上的对应点是(，－1)，
∴tan α＝＝－(0≤α＜π)，∴α＝.
答案：
9．设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，求复数z.
解：∵z为纯虚数，∴设z＝ai(a∈R且a≠0)，
又|－1＋i|＝，由|z－1|＝|－1＋i|，
得 ＝，解得a＝±1，∴z＝±i.
10．已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i(m∈R)．
(1)若z是实数，求m的值；
(2)若z是纯虚数，求m的值；
(3)若在复平面内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围．
解：(1)∵z为实数，∴m2＋2m－3＝0，
解得m＝－3或m＝1.
(2)∵z为纯虚数，
∴　解得m＝0.
(3)∵z所对应的点在第四象限，
∴　解得－3＜m＜0.
故m的取值范围为(－3,0)．
层级二　应试能力达标
1．已知复数z1＝2－ai(a∈R)对应的点在直线x－3y＋4＝0上，则复数z2＝a＋2i对应的点在(　　)
A．第一象限　　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B　复数z1＝2－ai对应的点为(2，－a)，它在直线x－3y＋4＝0上，故2＋3a＋4＝0，解得a＝－2，于是复数z2＝－2＋2i，它对应点的点在第二象限，故选B.
2．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则(　　)
A．a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1
C．a＝0 D．a＝2或a＝0
解析：选D　∵z在复平面内对应的点在虚轴上，
∴a2－2a＝0，解得a＝2或a＝0.
3．若x，y∈R，i为虚数单位，且x＋y＋(x－y)i＝3－i，则复数x＋yi在复平面内所对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A　∵x＋y＋(x－y)i＝3－i，∴
解得∴复数1＋2i所对应的点在第一象限．
4．在复平面内，复数z1， z2对应点分别为A，B.已知A(1,2)，|AB|＝2，|z2|＝，则z2＝(　　)
A．4＋5i B．5＋4i
C．3＋4i D．5＋4i或＋i
解析：选D　设z2＝x＋yi(x，y∈R)，由条件得，　∴　或
故选D.
5．若复数z＝(m2－9)＋(m2＋2m－3)i是纯虚数，其中m∈R，则|z|＝________.
解析：由条件知∴m＝3，∴z＝12i，∴|z|＝12.
答案：12
6．已知复数z＝x－2＋yi的模是2，则点(x，y)的轨迹方程是________．
解析：由模的计算公式得 ＝2，
∴(x－2)2＋y2＝8.
答案：(x－2)2＋y2＝8
7．已知复数z0＝a＋bi(a，b∈R)，z＝(a＋3)＋(b－2)i，若|z0|＝2，求复数z对应点的轨迹．
解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则复数z的对应点为P(x，y)，由题意知
∴　　①
∵z0＝a＋bi，|z0|＝2，∴a2＋b2＝4.
将①代入得(x－3)2＋(y＋2)2＝4.
∴点P的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆．
8．已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小；
(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？
解：(1)|z1|＝ ＝2，
|z2|＝ ＝1，∴|z1|＞|z2|.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|及(1)知1≤|z|≤2.
因为|z|的几何意义就是复数z对应的点到原点的距离，所以|z|≥1表示|z|＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z|≤2表示|z|＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．
课时跟踪检测（六） 反证法
层级一　学业水平达标
1．用反证法证明命题：“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：
①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．
则正确的序号顺序为(　　)
A．①②③　　　　　　　　 B．③①②
C．①③② D．②③①
解析：选B　根据反证法的三个基本步骤“反设—归谬—结论”可知顺序应为③①②.
2．用反证法证明命题“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　)
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除
D．a不能被5整除
解析：选B　“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”，故选B.
3．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是(　　)
A．三个内角中至少有一个钝角
B．三个内角中至少有两个钝角
C．三个内角都不是钝角
D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角
解析：选B　“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．
4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为(　　)
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
解析：选C　假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C.
5．已知a，b，c，d为实数，且c＞d，则“a＞b”是“a－c＞b－d”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B　∵c＞d，∴－c＜－d，a＞b，∴a－c与b－d的大小无法比较．可采用反证法，当a－c＞b－d成立时，假设a≤b，∵－c＜－d，∴a－c＜b－d，与题设矛盾，∴a＞b.综上可知，“a＞b”是“a－c＞b－d”的必要不充分条件．
6．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设是________．
答案：自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
7．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．
解析：“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以设为a≠1或b≠1.
答案：a≠1或b≠1
8．和两条异面直线AB，CD都相交的两条直线AC，BD的位置关系是____________．
解析：假设AC与BD共面于平面α，则A，C，B，D都在平面α内，∴AB?α，CD?α，这与AB，CD异面相矛盾，故AC与BD异面．
答案：异面
9．求证：1，，2不能为同一等差数列的三项．
证明：假设1，，2是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d，
则1＝－md,2＝＋nd，其中m，n为两个正整数，
由上面两式消去d，得n＋2m＝(n＋m)．
因为n＋2m为有理数，而(n＋m)为无理数，
所以n＋2m≠(n＋m)，矛盾，因此假设不成立，
即1，，2不能为同一等差数列的三项．
10．已知函数f(x)在R上是增函数，a，b∈R.
(1)求证：如果a＋b≥0，那么f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；
(2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论．
解：(1)证明：当a＋b≥0时，a≥－b且b≥－a.
∵f(x)在R上是增函数，
∴f(a)≥f(－b)， f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(2)(1)中命题的逆命题为“如果f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，那么a＋b≥0”，此命题成立．
用反证法证明如下：
假设a＋b＜0，则a＜－b，∴f(a)＜f(－b)．
同理可得f(b)＜f(－a)．
∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，这与f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，故假设不成立，
∴a＋b≥0成立，即(1)中命题的逆命题成立．
层级二　应试能力达标
1．用反证法证明命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)有且只有一个解”时，反设是关于x的方程ax＝b(a≠0)(　　)
A．无解　　　　　　　　　　 B．有两解
C．至少有两解 D．无解或至少有两解
解析：选D　“唯一”的否定是“至少两解或无解”．
2．下列四个命题中错误的是(　　)
A．在△ABC中，若∠A＝90°，则∠B一定是锐角
B.，，不可能成等差数列
C．在△ABC中，若a＞b＞c，则∠C＞60°
D．若n为整数且n2为偶数，则n是偶数
解析：选C　显然A、B、D命题均真，C项中若a＞b＞c，则∠A＞∠B＞∠C，若∠C＞60°，则∠A＞60°，∠B＞60°，∴∠A＋∠B＋∠C＞180°与∠A＋∠B＋∠C＝180°矛盾，故选C.
3．设a，b，c∈(－∞，0)，则a＋，b＋，c＋(　　)
A．都不大于－2
B．都不小于－2
C．至少有一个不大于－2
D．至少有一个不小于－2
解析：选C　假设都大于－2，则a＋＋b＋＋c＋＞－6，但＋＋＝＋＋≤－2＋(－2)＋(－2)＝－6，矛盾．
4．若△ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是(　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
解析：选B　分△ABC的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD(点D在BC上)，则∠ADB＋∠ADC＝π，若∠ADB为钝角，则∠ADC为锐角．而∠ADC＞∠BAD，∠ADC＞∠ABD，△ABD与△ACD不可能相似，与已知不符，只有当∠ADB＝∠ADC＝∠BAC＝时，才符合题意．
5．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数，且a＞b)，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．
解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意a＞b，n∈N*，则恒有an＞bn，从而an＋2＞bn＋1恒成立，所以不存在n使an＝bn.
答案：0
6．完成反证法证题的全过程．设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有
奇数＝________＝________＝0.
但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数．
解析：据题目要求及解题步骤，
∵a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，
∴(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)也为奇数．
即(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)为奇数．
又∵a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，
∴a1＋a2＋…＋a7＝1＋2＋…＋7，故上式为0，
所以奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0.
答案：(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)
7．已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于.
因为0＜a＜1,0＜b＜1,0＜c＜1，
所以1－a＞0.由基本不等式，
得≥＞＝.
同理，＞，＞.
将这三个不等式两边分别相加，得
＋＋＞＋＋，
即＞，这是不成立的，
故(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
8．已知数列{an}满足：a1＝，＝，anan＋1＜0(n≥1)；数列{bn}满足：bn＝a－a(n≥1)．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．
解：(1)由题意可知，1－a＝(1－a)．
令cn＝1－a，则cn＋1＝cn.
又c1＝1－a＝，则数列{cn}是首项为c1＝，公比为的等比数列，即cn＝·n－1，
故1－a＝·n－1?a＝1－·n－1.
又a1＝＞0，anan＋1＜0，
故an＝(－1)n－1 .
bn＝a－a＝－1－·n－1＝·n－1.
(2)用反证法证明．
假设数列{bn}存在三项br，bs，bt(r＜s＜t)按某种顺序成等差数列，由于数列{bn}是首项为，公比为的等比数列，于是有br＞bs＞bt，则只可能有2bs＝br＋bt成立．
∴2··s－1＝·r－1＋·t－1，
两边同乘以3t－121－r，化简得3t－r＋2t－r＝2·2s－r3t－s.
由于r＜s＜t，∴上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列．
课时跟踪检测（十一）流 程 图
层级一　学业水平达标
1．下列框图中，属于流程图的是(　　)
A.→→
B.→→
C.→→
D.→→→→
解析：选D　根据流程图的定义分析知，只有D项中的框图为流程图，故选D.
2．下面是求过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率的流程图，则空白处应填(　　)
A．x1＝x2？　　　　　　　 B．x1≠x2?
C．y1＝y2? D．y1≠y2?
解析：选A　根据过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率的定义知，当x1＝x2时，直线的斜率不存在．
3．下列表示旅客搭乘火车的流程正确的是(　　)
A．买票→候车→检票→上车
B．候车→买票→检票→上车
C．买票→候车→上车→检票
D．候车→买票→上车→检票
解析：选A　旅客搭乘火车的流程应为“买票→候车→检票→上车”．
4．在如图所示的工序流程图中，设备采购的下一道工序是(　　)
A．设备安装 B．土建设计
C．厂房土建 D．工程设计
解析：选A　由流程图可知，设备采购的下一道工序是设备安装．
5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B　程序框图表示的是比较2n和n2的大小关系．当n＝1时，2>1；当n＝2时，4＝4.所以输出n＝2.
6．如图，该程序框图的功能是判断正整数x是奇数还是偶数，则①处应填________．
解析：若r＝1，则x是奇数；若r≠1，则x是偶数，故填r＝1.
答案：r＝1
7．阅读如图所示的程序框图．若输入n＝5，则输出k的值为________．
解析：执行程序框图可得n＝5，k＝0；n＝16，k＝1；n＝49，k＝2；n＝148，k＝3；n＝148×3＋1＞150，循环结束，故输出的k值为3.
答案：3
8．在华罗庚先生的《统筹方法平话》文中，有一个“喝茶问题”：假设洗水壶需要2 min，烧开水需要15 min，洗茶壶、茶杯需要3 min，取、放茶叶需要2 min，沏茶需要1 min.为了能最快沏好茶，需要的最短时间为________分钟．
解析：“喝茶问题”中的这些工作，有些没有先后顺序，可以同时进行，有些有先后顺序，需要依次完成．最快能沏好茶的流程图如图所示．
上述流程图需要时间18分钟．
答案：18
9．某高校大一新生入学注册，分为以下几步：
①交录取通知书；②交费；③班级注册；④领书及宿舍钥匙；⑤办理伙食卡；⑥参加年级迎新大会．请用流程图表示新生入学注册的步骤．
解：流程图如图所示：
10．如图是某工厂加工笔记本电脑屏幕的流程图，
根据此流程图回答下列问题：
(1)一件屏幕成品可能经过几次加工和检验程序？
(2)哪些环节可能导致屏幕废品的产生，二次加工产品的来源是什么？
(3)该流程图的终点是什么？
解：(1)一件屏幕成品可能经过一次加工、二次加工两道加工程序和检验、最后检验两道检验程序，也可能经过一次加工、返修加工、二次加工三道加工程序和检验、返修检验、最后检验三道检验程序．
(2)返修加工和二次加工可能导致屏幕废品的产生，二次加工产品的来源是一次加工的合格品和返修加工的合格品．
(3)流程图的终点是“屏幕成品”和“屏幕废品”．
层级二　应试能力达标
1．淮南麻鸭资源的开发与利用的流程图如图所示，则羽绒加工的前一道工序是(　　)
A．孵化鸭雏
B．商品鸭饲养
C．商品鸭收购、育肥、加工
D．羽绒服加工生产体系
解析：选C　由工序流程图可知，羽绒加工的前一道工序是商品鸭收购、育肥、加工．
2.执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为(　　)
A．1
B． 2
C．3
D．4
解析：选B　开始a＝1，b＝1，k＝0；第一次循环a＝－，k＝1；第二次循环a＝－2，k＝2；第三次循环 a＝1，条件判断为“是”，跳出循环，此时k＝2.
3．下面是图书印刷成书的流程图，表示正确的是(　　)
A.→→→
B.→→→
C.→→→
D.→→→
解析：选B　出版一本图书，应首先编审，然后制版，制版后方能印刷，印刷后才能装订，故选B.
4.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为(　　)
A．26　　　　　　　　　　 B．24
C．20 D．19
解析：选D　路线D→C→B的最大信息量是3；
路线D→E→B的最大信息量为4；
路线G→F→B的最大信息量为6；
路线G→H→B的最大信息量为6.
故从A到B的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.
5．如图是一个程序框图，则输出的k的值是________．
解析：解一元二次不等式k2－5k＋4＞0，得k＜1或k＞4，依据k的初始值和增量，可知当k＝5时跳出循环．故输出的k值是5.
答案：5
6．某环形道路上顺时针排列着4所中学：A1，A2，A3，A4，它们依次有彩电15台、8台、5台、12台，相邻中学间可借调彩电，为使各校的彩电台数相同，调配出彩电的总台数最少为________．
解析：调配后每所学校彩电台数为10，最好的方案为
总数为5＋3＋2＝10.
答案：10
7．某公司业务销售的工作流程是：与客户接洽，商讨单价及数量，签订销售合同、销售订单，之后，发货并装货，开票据付款，凭交款单送货．试画出它的流程图．
解：流程图如图所示：
8．某市环境保护局信访工作流程如下：
(1)信访办受理来访，一般信访填单转办；重大信访报局长批示后转办．
(2)及时转送有关部门办理、督办，如特殊情况未能按期办理完毕，批准后可延办，办理完毕后反馈．
(3)信访办理情况反馈后，归档备查，定期通报．
据上画出该局信访工作流程图．
解：流程图如图所示．
课时跟踪检测（十二）结 构 图
层级一　学业水平达标
1．在结构图中，常在表示逻辑先后关系时出现的结构是(　　)
A．“树”形结构　　　　　　 B．“环”形结构
C．知识结构图 D．组织结构图
答案：B
2．如图所示的框图中“幂函数的定义”“幂函数的图象与性质”与“幂函数”的关系是(　　)
A．并列关系　　　　　　　　 B．从属关系
C．包含关系 D．交叉关系
答案：B
3．如图是一商场制订销售计划时的局部结构图，则“计划”受影响的主要要素有(　　)
A．经理
B．政府行为
C．政府行为、策划部、社会需求
D．社会需求
解析：选C　影响“计划”的主要要素应是三个“上位”要素，即“政府行为”“策划部”“社会需求”，故选C.
4．下列结构图中，各要素之间表示从属关系的是(　　)
解析：选D　A，B，C中的结构图表示的是逻辑关系，只有D中结构图表示的是从属关系．
5．在如图所示的知识结构图中，“求简单函数的导数”的“上位”要素有________个．
解析：基本导数公式、导数的运算法则、复合函数求导法则都是其“上位”要素．
答案：3
6．如图所示为《数学5》第三章“不等式”的知识结构图，填空：①________________________________________________________________________；
②________________________________________________________________________.
答案：二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题　基本不等式：≤
7．在工商管理学中，MRP(Material Requirement Planning)指的是物资需求计划，基本MRP的体系结构如图所示．
从图中可以看出，基本MRP直接受________、________和________的影响．
解析：从结构图中可以看出，影响“基本MRP”的主要要素应是其3个“上位”要素：主生产计划、产品结构、库存状态．
答案：主生产计划　产品结构　库存状态
8．我们学过圆的有关知识及应用，试画出有关圆的知识结构图．
解：知识结构图如图所示．
9．某公司局域网设置如下：由服务器联结经理室、市场部、销售部、客户服务部、系统管理员，与外部联结是通过服务器，试画出该公司局域网设置结构图．
解：结构图如下：
层级二　应试能力达标
1．下图所示的是“概率”知识的(　　)
A．流程图　　　　　　　 B．结构图
C．程序框图 D．直方图
解析：选B　这是关于“概率”知识的结构图．
2．下图是“集合”的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在(　　)
A．“集合的概念”的下位
B．“集合的表示”的下位
C．“基本关系”的下位
D．“基本运算”的下位
解析：选C　子集是集合与集合之间的基本关系，故应为“基本关系”的下位．
3．如图是人教A版教材选修1－2第二章“推理与证明”的知识结构图(部分)，如果要加入知识点“三段论”，那么应该放在图中(　　)
A．“①”处 B．“②”处
C．“③”处 D．“④”处
解析：选B　三段论是演绎推理的内容，因此应放在“②”处．
4．某自动化仪表公司组织结构图如图，其中采购部的直接领导是(　　)
A．副总经理(甲) B．副总经理(乙)
C．总经理 D．董事会
解析：选B　由组织结构图可知：采购部由副总经理(乙)直接领导．
5．下图是一种信息管理系统的结构图，则其构成有________部分．
解析：由框图的结构知共4个部分．
答案：4
6．某市质量技术监督局质量认证审查流程图如图所示，从图中可得在审查过程中可能不被审查通过的环节有________处．
解析：这是一个实际问题，观察流程图可知有3处判断框，即3处环节可能不被审查通过．
答案：3
7．试画出我们认识的“数”的知识结构图．
解：从大范围到小范围，逐步细化．知识结构图如图所示．
8．下面是中国移动关于发票的表述：我们在充分考虑您的个性化需求的基础上提供了以下几种话费发票方式：后付费话费发票、预付费话费发票、充值发票、全球通发票，其中全球通简单发票和单一发票是为满足全球通客户的个性化需要而制定的．您可以根据您的实际情况选择其中的话费发票方式．试写出关于发票的结构图．
解：
课时跟踪检测（十） 复数代数形式的乘除运算
层级一　学业水平达标
1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为(　　)
A．6－4i　　　　　　 B．－6－4i
C．6＋4i D．－6＋4i
解析：选D　(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.
2．(全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(　　)
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
解析：选C　z－1＝＝1－i，所以z＝2－i，故选C.
3．(广东高考)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝(　　)
A．2－3i B．2＋3i
C．3＋2i D．3－2i
解析：选A　∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴＝2－3i.
4．(1＋i)20－(1－i)20的值是(　　)
A．－1 024 B．1 024
C．0 D．512
解析：选C　(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.
5．(全国卷Ⅱ)若a为实数，且＝3＋i，则a＝(　　)
A．－4 B．－3
C．3 D．4
解析：选D　＝＝＋i＝3＋i，
所以解得a＝4，故选D.
6．(天津高考)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．
解析：因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，
又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1，
所以＝2.
答案：2
7．设复数z＝1＋i，则z2－2z＝________.
解析：∵z＝1＋i，
∴z2－2z＝z(z－2)＝(1＋i)(1＋i－2)＝(1＋i)(－1＋i)＝－3.
答案：－3
8．若＝1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________.
解析：∵a，b∈R，且＝1－bi，
则a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i，
∴
∴
∴|a＋bi|＝|2－i|＝＝.
答案：
9．计算：＋.
解：因为＝＝＝i－1，＝＝＝－i，
所以＋＝i－1＋(－i)＝－1.
10．已知为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝a－bi(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有
解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
层级二　应试能力达标
1．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是(　　)
A．A　　　　　　　　　 B．B
C．C D．D
解析：选B　设z＝a＋bi(a，b∈R)，且a＜0，b＞0，则z的共轭复数为a－bi，其中a＜0，－b＜0，故应为B点．
2．设a是实数，且∈R，则实数a＝(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．－2
解析：选B　因为∈R，所以不妨设＝x，x∈R，则1＋ai＝(1＋i)x＝x＋xi，所以有所以a＝1.
3．若a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝(　　)
A．2 B.
C. D．1
解析：选B　∵＝(a＋i)(－i)＝1－ai，∴＝|1－ai|＝＝2，解得a＝或a＝－(舍)．
4．计算＋的值是(　　)
A．0 B．1
C．i D．2i
解析：选D　原式＝＋＝＋＝＋i＝＋i＝＋i＝2i.
5．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
解析：＝＝＝
＝，
∵为纯虚数，
∴
∴a＝.
答案：
6．设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，
∴
解得或
∴|z|＝＝.
答案：
7．设复数z＝，若z2＋＜0，求纯虚数a.
解：由z2＋＜0可知z2＋是实数且为负数．
z＝＝＝＝1－i.
∵a为纯虚数，∴设a＝mi(m∈R且m≠0)，则
z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋
＝－＋i＜0，
∴
∴m＝4，∴a＝4i.
8．复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．
解：z＝(a＋bi)
＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi.
由|z|＝4，得a2＋b2＝4，①
∵复数0，z，对应的点构成正三角形，
∴|z－|＝|z|.
把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1.②
又∵z对应的点在第一象限，
∴a＜0，b＜0.
由①②得
故所求值为a＝－，b＝－1.
课时跟踪检测（四） 演绎推理
层级一　学业水平达标
1．下面说法：
①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；⑤运用三段论推理时，大前提和小前提都不可以省略．
其中正确的有(　　)
A．1个　　　　　　　　　　 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C　①③④都正确．
2．若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC中，AB＝AC，所以在△ABC中，∠B＝∠C，以上推理运用的规则是(　　)
A．三段论推理 B．假言推理
C．关系推理 D．完全归纳推理
解析：选A　∵三角形两边相等，则该两边所对的内角相等(大前提)，在△ABC中，AB＝AC，(小前提)，∴在△ABC中，∠B＝∠C(结论)，符合三段论推理规则，故选A.
3．推理过程“大前提：__________，小前提：四边形ABCD是矩形．结论：四边形ABCD的对角线相等．”应补充的大前提是(　　)
A．正方形的对角线相等
B．矩形的对角线相等
C．等腰梯形的对角线相等
D．矩形的对边平行且相等
解析：选B　由三段论的一般模式知应选B.
4．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在(　　)
A．大前提 B．小前提
C．推理过程 D．没有出错
解析：选A　要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和结论及推理形式是否都正确，若这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．因为任何实数的平方都大于0，又因为a是实数，所以a2＞0，其中大前提是：任何实数的平方都大于0，它是不正确的．
5．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是(　　)
A．①④ B．②④
C．①③ D．②③
解析：选A　根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．
6．求函数y＝ 的定义域时，第一步推理中大前提是有意义时，a≥0，小前提是 有意义，结论是____________．
解析：由三段论方法知应为log2x－2≥0.
答案：log2x－2≥0
7．某一三段论推理，其前提之一为肯定判断，结论为否定判断，由此可以推断，该三段论的另一前提必为________判断．
解析：根据三段论的特点，三段论的另一前提必为否定判断．
答案：否定
8．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提：_______________________________________________________________.
小前提：___________________________________________________________________.
结论：_____________________________________________________________.
解析：本题忽略了大前提和小前提．大前提为：一次函数的图象是一条直线．小前提为：函数y＝2x＋5为一次函数．结论为：函数y＝2x＋5的图象是一条直线．
答案：①一次函数的图象是一条直线　②y＝2x＋5是一次函数　③函数y＝2x＋5的图象是一条直线
9．将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)菱形的对角线互相平分．
(2)奇数不能被2整除，75是奇数，所以75不能被2整除．
解：(1)平行四边形的对角线互相平分(大前提)；
菱形是平行四边形(小前提)；
菱形的对角线互相平分(结论)．
(2)一切奇数都不能被2整除(大前提)；
75是奇数(小前提)；
75不能被2整除(结论)．
10．下面给出判断函数f(x)＝的奇偶性的解题过程：
解：由于x∈R，且＝·
＝＝＝－1.
∴f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数．
试用三段论加以分析．
解：判断奇偶性的大前提“若x∈R，且f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数；若x∈R，且f(－x)＝f(x)，则函数f(x)是偶函数”．在解题过程中往往不用写出来，上述证明过程就省略了大前提．解答过程就是验证小前提成立，即所给的具体函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)．层级二　应试能力达标
1．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是(　　)
A．类比推理　　　　　　 B．归纳推理
C．演绎推理 D．一次三段论
解析：选C　这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．
2．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为(　　)
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
解析：选C　用小前提“S是M”，判断得到结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则．
3．如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是点B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的(　　)
A．AC⊥β
B．AC⊥EF
C．AC与BD在β内的射影在同一条直线上
D．AC与α，β所成的角相等
解析：选D　只要能推出EF⊥AC即可说明BD⊥EF.当AC与α，β所成的角相等时，推不出EF⊥AC，故选D.
4．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)＜0.对任意正数a，b，若a＜b，则必有(　　)
A．bf(a)＜af(b) B．af(b)＜bf(a)
C．af(a)＜f(b) D．bf(b)＜f(a)
解析：选B　构造函数F(x)＝xf(x)，
则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)．
由题设条件知F(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减．
若a＜b，则F(a)＞F(b)，即af(a)＞bf(b)．
又f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，
所以bf(a)＞af(a)＞bf(b)＞af(b)．故选B.
5．已知函数f(x)＝a－，若f(x)为奇函数，则a＝________.
解析：因为奇函数f(x)在x＝0处有定义且f(0)＝0(大前提)，而奇函数f(x)＝a－的定义域为R(小前提)，所以f(0)＝a－＝0(结论)．解得a＝.
答案：
6．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且对任意m，n∈N*都有：
①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2；②f(m＋1,1)＝2f(m,1)给出以下三个结论：
(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26.
其中正确结论为________．
解析：由条件可知，
因为f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，且f(1,1)＝1，
所以f(1,5)＝f(1,4)＋2＝f(1,3)＋4＝f(1,2)＋6＝
f(1,1)＋8＝9.
又因为f(m＋1,1)＝2f(m,1)，
所以f(5,1)＝2f(4,1)＝22f(3,1)＝23f(2,1)
＝24f(1,1)＝16，
所以f(5,6)＝f(5,1)＋10＝24f(1,1)＋10＝26.
故(1)(2)(3)均正确．
答案：(1)(2)(3)
7．已知y＝f(x)在(0，＋∞)上有意义、单调递增且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x2)＝2f(x)；
(2)求f(1)的值；
(3)若f(x)＋f(x＋3)≤2，求x的取值范围．
解：(1)证明：∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，(大前提)
∴f(x2)＝f(x·x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)．(结论)
(2)∵f(1)＝f(12)＝2f(1)，(小前提)
∴f(1)＝0.(结论)
(3)∵f(x)＋f(x＋3)＝f(x(x＋3))≤2＝2f(2)
＝f(4)，(小前提)
函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，(大前提)
∴
解得0＜x≤1.(结论)
8．已知a，b，m均为正实数，b＜a，用三段论形式证明＜.
证明：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)
b＜a，m＞0，(小前提)
所以mb＜ma.(结论)
因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提)
mb＜ma，(小前提)
所以mb＋ab＜ma＋ab，即b(a＋m)＜a(b＋m)．(结论)
因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)
b(a＋m)＜a(b＋m)，a(a＋m)＞0，(小前提)
所以＜，即＜.(结论)
阶段质量检测（一） 统计案例
(时间120分钟　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程＝＋x中，回归系数(　　)
A．可以小于0　　　　 　B．大于0
C．能等于0 D．只能小于0
解析：选A　∵＝0时，则r＝0，这时不具有线性相关关系，但可以大于0也可以小于0．
2．每一吨铸铁成本y(元)与铸件废品率x%建立的回归方程＝56＋8x，下列说法正确的是(　　)
A．废品率每增加1%，成本每吨增加64元
B．废品率每增加1%，成本每吨增加8%
C．废品率每增加1%，成本每吨增加8元
D．如果废品率增加1%，则每吨成本为56元
解析：选C　根据回归方程知y是关于x的单调增函数，并且由系数知x每增加一个单位，y平均增加8个单位．
3．下表显示出样本中变量y随变量x变化的一组数据，由此判断它最可能是(　　)
x
4
5
6
7
8
9
10
y
14
18
19
20
23
25
28
A．线性函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
解析：选A　画出散点图(图略)可以得到这些样本点在某一条直线上或该直线附近，故最可能是线性函数模型．
4．试验测得四组(x，y)的值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y与x之间的回归直线方程为(　　)
A．＝x＋1 B． ＝x＋2
C．＝2x＋1 D．＝x－1
解析：选A　由题意发现，(x，y)的四组值均满足＝x＋1，故＝x＋1为回归直线方程．
5．下列关于等高条形图说法正确的是(　　)
A．等高条形图表示高度相对的条形图
B．等高条形图表示的是分类变量的频数
C．等高条形图表示的是分类变量的百分比
D．等高条形图表示的是分类变量的实际高度
解析：选C　由等高条形图的特点及性质进行判断．
6．根据一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的散点图分析存在线性相关关系，求得其回归方程＝0．85x－85．7，则在样本点(165,57)处的残差为(　　)
A．54．55 B．2．45
C．3．45 D．111．55
解析：选B　把x＝165代入＝0．85x－85．7，得y＝0．85×165－85．7＝54．55，由57－54．55＝2．45，故选B．
7．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
优秀
非优秀
总计
甲班
10
b
乙班
c
30
总计
105
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　)
A．列联表中c的值为30，b的值为35
B．列联表中c的值为15，b的值为50
C．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
D．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”
解析：选C　由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c＝20，b＝45，选项A、B错误．根据列联表中的数据，得到K2＝≈6．109>3．841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”，选项C正确．
8．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y与x具有相关关系，回归方程为＝0．66x＋1．562，若某城市居民人均消费水平为7．675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为(　　)
A．83% B．72%
C．67% D．66%
解析：选A　将y＝7．675代入回归方程，可计算得x≈9．262，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7．675÷9．262≈0．83≈83%，即约为83%．
9．为了研究男子的年龄与吸烟的关系，抽查了100个男子，按年龄超过和不超过40岁，吸烟量每天多于和不多于20支进行分组，如下表：
年龄
总计
不超过40岁
超过40岁
吸烟量不多于
20支/天
50
15
65
吸烟量多于
20支/天
10
25
35
总计
60
40
100
则在犯错误的概率不超过__________的前提下认为吸烟量与年龄有关(　　)
A．0．001 B．0．01
C．0．05 D．没有理由
解析：选A　K2＝≈22．16＞10．828，
所以我们在犯错误的概率不超过0．001的前提下认为吸烟量与年龄有关．
10．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线为l1和l2，已知在两人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t，那么下列说法正确的是(　　)
A．直线l1和直线l2有交点(s，t)
B．直线l1和直线l2相交，但交点未必是点(s，t)
C．直线l1和直线l2由于斜率相等，所以必定平行
D．直线l1和直线l2必定重合
解析：选A　l1与l2都过样本中心(，)．
11．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表如下：
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
对于以下数据，对同一样本能说明X与Y有关的可能性最大的一组为(　　)
A．a＝9，b＝8，c＝7，d＝6
B．a＝9，b＝7，c＝6，d＝8
C．a＝8，b＝6，c＝9，d＝7
D．a＝6，b＝7，c＝8，d＝9
解析：选B　对于同一样本|ad－bc|越小，说明X与Y之间的关系越弱，|ad－bc|越大， 故检验知选B．
12．两个分类变量X和Y, 值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}, 其样本频数分别是a＝10, b＝21, c＋d＝35． 若X与Y有关系的可信程度不小于97．5%, 则c等于(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选A　列2×2列联表如下：
x1
x2
总计
y1
10
21
31
y2
c
d
35
总计
10＋c
21＋d
66
故K2的观测值k＝≥5．024． 把选项A, B, C, D代入验证可知选A．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y(h)之间的线性回归方程为＝0．01x＋0．5，则加工600个零件大约需要________h．
解析：当x＝600时，＝0．01×600＋0．5＝6．5．
答案：6．5
14．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之间满足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1,2，…，n)，若ei恒为0，则R2为________．
解析：ei恒为0，说明随机误差总为0，于是yi＝，故R2＝1．
答案：1
15．下列是关于出生男婴与女婴调查的列联表
晚上
白天
总计
男婴
45
A
B
女婴
E
35
C
总计
98
D
180
那么A＝______，B＝______，C______，D＝________，E＝________．
解析：∵45＋E＝98，∴E＝53，
∵E＋35＝C，∴C＝88，∵98＋D＝180，∴D＝82，
∵A＋35＝D，∴A＝47，∵45＋A＝B，∴B＝92．
答案：47　92　88　82　53
16．已知x，y之间的一组数据如表，对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为l1：y＝x＋1与l2：y＝x＋，利用最小二乘法判断拟合程度更好的直线是________．
x
1
3
6
7
8
y
1
2
3
4
5
解析：用y＝x＋1作为拟合直线时，所得y的实际值与y的估计值的差的平方和为：S1＝2＋(2－2)2＋(3－3)2＋2＋2＝．用y＝x＋作为拟合直线时，所得y的实际值与y的估计值的差的平方和为：S2＝(1－1)2＋(2－2)2＋2＋(4－4)2＋2＝．
因为S2答案：y＝x＋
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)对某校小学生进行心理障碍测试得如下列联表：(其中焦虑、说谎、懒惰都是心理障碍)
焦虑
说谎
懒惰
总计
女生
5
10
15
30
男生
20
10
50
80
总计
25
20
65
110
试说明在这三种心理障碍中哪一种与性别关系最大？
解：对于上述三种心理障碍分别构造三个随机变量K，K，K，由表中数据可得
K＝≈0．863，
K＝≈6．366，
K＝≈1．410．
因为K的值最大，所以说谎与性别关系最大．
18．(本小题满分12分)有人统计一个省的6个城市某一年的人均国内生产总值(人均GDP)x和这一年各城市患白血病的儿童数量y，其数据如下表所示：
人均GDP x/万元
10
8
6
4
3
1
患白血病的儿童数量y/人
351
312
207
175
132
180
(1)画出散点图，并判断是否线性相关；
(2)求y与x之间的回归方程．
解：(1)作散点图(如下图所示)．
由散点图可知y与x具有线性相关关系．
(2)将数据代入公式，可得≈23．253，≈102．151．
故y与x之间的线性回归方程是＝23．253x＋102．151．
19．(本小题满分12分)某校在两个班进行教学方式对比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如下表所示(单位：人)：
80及80分以上
80分以下
总计
试验班
35
15
50
对照班
20
m
50
总计
55
45
n
(1)求m，n；
(2)能否在犯错误的概率不超过0．005的情况下认为教学方式与成绩有关系？
解：(1)m＝45－15＝30，n＝50＋50＝100．
(2)由表中的数据，得K2的观测值为
k＝≈9．091．
因为9．091>7．879，所以能在犯错误的概率不超过0．005的前提下认为教学方式与成绩有关系．
20．(本小题满分12分)某工厂用甲、乙两种不同工艺生产一大批同一种零件，零件尺寸均在[21．7,22．3](单位：cm)之间，把零件尺寸在[21．9,22．1)的记为一等品，尺寸在[21．8,21．9)∪[22．1,22．2)的记为二等品，尺寸在[21．7,21．8)∪[22．2,22．3]的记为三等品，现从甲、乙工艺生产的零件中各随机抽取100件产品，所得零件尺寸的频率分布直方图如图所示：
(1)根据上述数据完成下列2×2列联表，根据此数据你认为选择不同的工艺与生产出一等品是否有关？
甲工艺
乙工艺
总计
一等品
非一等品
总计
附：
P(K2≥k0)
0．10
0．05
0．01
k0
2．706
3．841
6．635
K2＝
(2)以上述各种产品的频率作为各种产品发生的概率，若一等品、二等品、三等品的单件利润分别为30元、20元、15元，你认为以后该工厂应该选择哪种工艺生产该种零件？请说明理由．
解：(1)2×2列联表如下
甲工艺
乙工艺
总计
一等品
50
60
110
非一等品
50
40
90
总计
100
100
200
K2＝≈2．02<2．706，所以没有理由认为选择不同的工艺与生产出一等品有关．
(2)由题知运用甲工艺生产单件产品的利润X的分布列为
X
30
20
15
P
0．5
0．3
0．2
X的数学期望为E(X)＝30×0．5＋20×0．3＋15×0．2＝24，X的方差为D(X)＝(30－24)2×0．5＋(20－24)2×0．3＋(15－24)2×0．2＝39．
乙工艺生产单件产品的利润Y的分布列为
Y
30
20
15
P
0．6
0．1
0．3
Y的数学期望为E(Y)＝30×0．6＋20×0．1＋15×0．3＝24．5，
Y的方差为D(Y)＝(30－24．5)2×0．6＋(20－24．5)2×0．1＋(15－24．5)2×0．3＝47．25．
由上述结果可以看出D(X)21．(本小题满分12分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
性别
是否需要志愿者
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
P(K2≥k0)
0．05
0．01
0．001
k0
3．841
6．635
10．828
附：K2的观测值k＝．
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
(2)在犯错误的概率不超过0．01的前提下是否可认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？请说明理由．
解：(1)调查的500位老人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为＝14%．
(2)随机变量K2的观测值
k＝≈9．967．
由于9．967>6．635，因此，在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．
(3)由(2)的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据中能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层，并且采用分层抽样方法比采用简单随机抽样的方法更好．
22．(本小题满分12分)某市为了对学生的数理(数学与物理)学习能力进行分析，从10 000名学生中随机抽出100位学生的数理综合学习能力等级分数(6分制)作为样本，分数频数分布如下表：
等级得分
(0,1]
(1,2]
(2, 3]
(3,4]
(4,5]
(5,6]
人数
3
17
30
30
17
3
(1)如果以能力等级分数大于4分作为良好的标准，从样本中任意抽取2名学生，求恰有1名学生为良好的概率．
(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间(1,2]的中点值为1．5)作为代表：
①据此，计算这100名学生数理学习能力等级分数的期望μ及标准差σ(精确到0．1)；
②若总体服从正态分布，以样本估计总体，估计该市这10 000名学生中数理学习能力等级在(1．9,4．1)范围内的人数．
(3)从这10 000名学生中任意抽取5名同学，他们数学与物理单科学习能力等级分数如下表：
x(数学学习能力)
2
3
4
5
6
y(物理学习能力)
1．5
3
4．5
5
6
①请画出上表数据的散点图；
②请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋(附参考数据：≈11．4)．
解：(1)样本中学生为良好的人数为20人．故从样本中任意抽取2名学生，则仅有1名学生为良好的概率为＝．
(2)①总体数据的期望约为：μ＝0．5×0．03＋1．5×0．17＋2．5×0．30＋3．5×0．30＋4．5×0．17＋5．5×0．03＝3．0，
标准差σ＝[(0．5－3)2×0．03＋(1．5－3)2×0．17＋(2．5－3)2×0．3＋(3．5－3)2×0．3＋(4．5－3)2×0．17＋(5．5－3)2×0．03]＝≈1．1，
②由于μ＝3，σ＝1．1
当x∈(1．9,4．1)时，即x∈(μ－σ，μ＋σ)，
故数理学习能力等级分数在(1．9,4．1)范围中的概率为0．682 6．
数理习能力等级分数在(1．9,4．1)范围中的学生的人数约为10 000×0．682 6＝6 826人．
(3)①数据的散点图如图：
②设线性回归方程为＝x＋，则
＝＝1．1，＝－＝－0．4．
故回归直线方程为＝1．1x－0．4．
阶段质量检测（三） 数系的扩充与复数的引入
(时间： 120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．i是虚数单位，复数＝(　　)
A．2＋i 　　　　　　　 B．2－i
C．－2＋i D．－2－i
解析：选B　＝＝＝2－i.
2．(全国卷Ⅱ)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选B　∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，
∴4a＋(a2－4)i＝－4i.
∴解得a＝0.故选B.
3．若复数z满足＝i，其中i是虚数单位，则z＝(　　)
A．1－i B．1＋i
C．－1－i D．－1＋i
解析：选A　＝(1－i)i＝－i2＋i＝1＋i，z＝1－i，故选A.
4．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于(　　)
A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B　＝＝＝－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.
5．已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝(　　)
A．1＋i　　　　　　　　　 B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：选D　由＝1＋i，得z＝＝＝＝－1－i，故选D.
6．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数是，则等于(　　)
A．－1－2i B．－2＋i
C．－1＋2i D．1＋2i
解析：选C　由题意可得＝
＝＝－1＋2i，故选C.
7．已知复数z＝－＋i，则＋|z|＝(　　)
A．－－i B．－＋i
C.＋i D.－i
解析：选D　因为z＝－＋i，所以＋|z|＝－－i＋ ＝－i.
8．已知复数z满足(1－i)z＝i2 016(其中i为虚数单位)，则的虚部为(　　)
A. B．－
C.i D．－i
解析：选B　∵2 016＝4×504，∴i2 016＝i4＝1.∴z＝＝＋i，∴＝－i，∴的虚部为－.故选B.
9．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：选B　根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形．
10．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论正确的是(　　)
A．z对应的点在第一象限
B．z一定不为纯虚数
C.对应的点在实轴的下方
D．z一定为实数
解析：选C　∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1＞0，∴z对应的点在实轴的上方．又∵z与对应的点关于实轴对称．
∴C项正确．
11．设z的共轭复数为，若z＋＝4，z·＝8，则等于(　　)
A．1 B．－i
C．±1 D．±i
解析：选D　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由条件可得解得因此或所以＝＝＝＝＝－i，或＝＝＝＝＝i，所以＝±i.
12．已知复数z＝(x－2)＋yi(x，y∈R)在复平面内对应的向量的模为，则的最大值是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　因为|(x-2)+yi|=，所以(x-2)2+y2=3，所以点(x，y)在以C(2,0)为圆心，以为半径的圆上，如图，由平面几何知识-≤≤.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．
解析：复数z＝(5＋2i)2＝21＋20i，其实部是21.
答案： 21
14．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
解析：由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数可得a＋2＝0,1－2a≠0，解得a＝－2.
答案：－2
15．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.
解析：∵|a＋bi|＝＝，
∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.
答案：3
16．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有实数根，则纯虚数m＝________.
解析：设m＝bi(b∈R且b≠0)，则x2＋(2－i)x＋(2bi－4)i＝0，化简得(x2＋2x－2b)＋(－x－4)i＝0，即解得∴m＝4i.
答案：4i
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，试求m取何值时？
(1)z是实数.
(2)z是纯虚数．
(3)z对应的点位于复平面的第一象限．
解：(1)由m2＋3m＋2＝0且m2－2m－2＞0，解得m＝－1或m＝－2，复数表示实数．
(2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数．
由lg(m2－2m－2)＝0，且m2＋3m＋2≠0，
求得m＝3，故当m＝3时，复数z为纯虚数．
(3)由lg(m2－2m－2)＞0，且m2＋3m＋2＞0，解得m＜－2或m＞3，故当m＜－2或m＞3时，复数z对应的点位于复平面的第一象限．
18．(本小题满分12分)已知(1＋2i)＝4＋3i，求z及.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
∴(1＋2i)(a－bi)＝4＋3i，
∴(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i.
由复数相等，解得
解得
∴z＝2＋i.
∴＝＝＝＝＋i.
19．(本小题满分12分)已知z＝1＋i，a，b为实数．
(1)若ω＝z2＋3－4，求|ω|；
(2)若＝1－i，求a，b的值．
解：(1)ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i，
所以|ω|＝.
(2)由条件，得＝1－i，
所以(a＋b)＋(a＋2)i＝1＋i，
所以解得
20．(本小题满分12分)虚数z满足|z|＝1，z2＋2z＋＜0，求z.
解：设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)，∴x2＋y2＝1.
则z2＋2z＋＝(x＋yi)2＋2(x＋yi)＋
＝(x2－y2＋3x)＋y(2x＋1)i.
∵y≠0，z2＋2z＋＜0，
∴
又x2＋y2＝1.　　　　③
由①②③得
∴z＝－±i.
21．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝1.
22．(本小题满分12分)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，
∴z1－2＝＝＝＝－i，
∴z1＝2－i.
设z2＝a＋2i(a∈R)，
则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
又∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.
阶段质量检测（二） 推理与证明
(时间： 120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是(　　)
A．归纳推理　　　　　　　 B．类比推理
C．演绎推理 D．非以上答案
解析：选C　根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.
2．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理(　　)
A．正确
B．推理形式不正确
C．两个“自然数”概念不一致
D．“两个整数”概念不一致
解析：选A　三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．
3．设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，－b四个数，有以下说法：
①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数．
则说法中正确的个数有(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B　可用反证法推出①，②不正确，因此③正确．
4．下列推理正确的是(　　)
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin y
C．把a(b＋c)与ax＋y类比，则有ax＋y＝ax＋ay
D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)
解析：选D　(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．
5．已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为(　　)
A．(3,9) B．(4,8)
C．(3,10) D．(4,9)
解析：选D　因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)，故选D.
6．求证：＋>.
证明：因为＋和都是正数，
所以为了证明＋>，
只需证明(＋)2>()2，展开得5＋2>5，
即2>0，此式显然成立，所以不等式＋>成立．
上述证明过程应用了(　　)
A．综合法 B．分析法
C．综合法、分析法配合使用 D．间接证法
解析：选B　证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．
7．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为(　　)
A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析：选D　由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知D成立．
8．若数列{an}是等比数列，则数列{an＋an＋1}(　　)
A．一定是等比数列
B．一定是等差数列
C．可能是等比数列也可能是等差数列
D．一定不是等比数列
解析：选C　设等比数列{an}的公比为q，则an＋an＋1＝an(1＋q)．∴当q≠－1时，{an＋an＋1}一定是等比数列；
当q＝－1时，an＋an＋1＝0，此时为等差数列．
9．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值(　　)
A．大于0 B．小于0
C．不小于0 D．不大于0
解析：选D　法一：∵a＋b＋c＝0，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，∴ab＋ac＋bc＝－≤0.
法二：令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ac＝0，否则a，b异号，∴ab＋bc＋ac＝ab<0，排除A、B、C，选D.
10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值为(　　)
A．a＝，b＝c＝ B．a＝b＝c＝
C．a＝0，b＝c＝ D．不存在这样的a，b，c
解析：选A　令n＝1,2,3，
得
所以a＝，b＝c＝.
11．已知数列{an}的前n项和Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，可归纳猜想出Sn的表达式为(　　)
A．Sn＝ B．Sn＝
C．Sn＝ D．Sn＝
解析：选A　由a1＝1，得a1＋a2＝22a2，∴a2＝，S2＝；又1＋＋a3＝32a3，∴a3＝，S3＝＝；
又1＋＋＋a4＝16a4，得a4＝，S4＝.
由S1＝，S2＝，S3＝，S4＝可以猜想Sn＝.
12．设函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 016＝(　　)
x
1
2
3
4
5
f(x)
4
1
3
5
2
A.1 B．2
C．4 D．5
解析：选D　x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，…，数列{xn}是周期为4的数列，所以x2 016＝x4＝5，故应选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知x，y∈R，且x＋y<2，则x，y中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．
解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x，y都大于1”．
答案：x，y都大于1
14．已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，则m，n的大小关系是________．
解析：ab>0?>0?a＋b＋2>a＋b?
(＋)2>()2?＋>?
>?lg>lg .
答案：m>n
15．已知 ＝2， ＝3， ＝
4，…， ＝6，a，b均为正实数，由以上规律可推测出a，b的值，则a＋b＝________.
解析：由题意归纳推理得 ＝6，b＝62－1
＝35，a＝6.∴a＋b＝6＋35＝41.
答案：41
16．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．
解析：解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：
(1)如果a，b>0，则lg ≥；
(2)6＋>2＋2.
证明：(1)当a，b>0时，有≥，
∴lg≥lg，
∴lg≥lg ab＝.
(2)要证 ＋>2＋2，
只要证(＋)2>(2＋2)2，
即2>2，这是显然成立的，
所以，原不等式成立．
18．(本小题满分12分)若a1>0，a1≠1，an＋1＝(n＝1,2，…)．
(1)求证：an＋1≠an；
(2)令a1＝，写出a2，a3，a4，a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an(不要求证明)．
解：(1)证明：若an＋1＝an，即＝an，
解得an＝0或1.
从而an＝an－1＝…＝a2＝a1＝0或1，
这与题设a1>0，a1≠1相矛盾，
所以an＋1＝an不成立．
故an＋1≠an成立．
(2)由题意得a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，由此猜想：an＝.
19．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处．
(1)求证：四边形的内角和等于360°.
证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.
(2)已知 和 都是无理数，试证：＋也是无理数．
证明：依题设和都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以＋必是无理数．
(3)已知实数m满足不等式(2m＋1)(m＋2)<0，用反证法证明：关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0无实根．
证明：假设方程x2＋2x＋5－m2＝0有实根．由已知实数m满足不等式(2m＋1)(m＋2)＜0，解得－2＜m＜－，而关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0的判别式Δ＝4(m2－4)，∵－2解：(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形．
(2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．
(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．
20．(本小题满分12分)等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N*)，
求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
解：(1)由已知得
∴d＝2.
故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0，
∵p，q，r∈N*，∴
∴2＝pr，(p－r)2＝0.
∴p＝r，与p≠r矛盾．
∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
21．(本小题满分12分)已知：sin2 30°＋sin2 90°＋sin2 150°＝，sin2 5°＋sin2 65°＋sin2 125°＝，通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度α都成立的一般性的命题，并给予证明．
解：一般形式为：
sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝.
证明：左边＝＋＋
＝－[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]
＝－(cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°)
＝－cos 2α－cos 2α－sin 2α－cos 2α＋sin 2α＝＝右边．
将一般形式写成sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝也正确
22．(本小题满分12分)根据要求证明下列各题：
(1)用分析法证明：已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：≤；
(2)用反证法证明：1，，3不可能是一个等差数列中的三项．
证明：(1)a⊥b?a·b＝0，要证≤.
只需证|a|＋|b|≤ |a＋b|，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，
只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，
上式显然成立，故原不等式得证．
(2)假设1，，3是某一个等差数列中的三项，且分别是第m，n，k项(m，n，k∈N*)，
则数列的公差d＝＝，即－1＝，
因为m，n，k∈N*，所以(n－m)∈Z，(k－m)∈Z，所以为有理数，
所以－1是有理数，这与－1是无理数相矛盾．
故假设不成立，所以1，，3不可能是一个等差数列的三项．
阶段质量检测（四）框 图
(时间： 120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．要描述一个工厂某种产品的生产步骤，应用(　　)
A．程序框图　　　　　　 B．工序流程图
C．知识结构图 D．组织结构图
解析：选B　工序流程图用来描述工业生产的流程．
2．下图是一个结构图，在框①中应填入(　　)
A．空集 B．补集
C．子集 D．全集
解析：选B　集合的运算包括交集、并集、补集．
3．把平面内两条直线的位置关系填入结构图中的M，N，E，F处，顺序较为恰当的是(　　)
①平行　②垂直　③相交　④斜交
A．①②③④　　　　　　 B．①④②③
C．①③②④ D．②①③④
解析：选C　平面内两直线位置关系有平行、相交，其中相交包含垂直与斜交，故选C.
4．在下面的图示中，是结构图的为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选B　选项A表示流程图；选项C表示频率分布直方图；选项D表示从B到A的路径图；选项B表示结构图．
5.执行如图所示的程序框图，输出的S值为(　　)
A．1 B.
C. D.
解析：选C　初始条件i＝0，S＝1，逐次计算结果是S＝，i＝1；S＝，i＝2，此时满足输出条件，故输出S＝，选C.
6．现在大学校园里风行“拿证热”，认为多拿证就可以拓宽就业渠道，计算机等级考试也是大家追逐的“权威”证书之一，其报考步骤为：①领准考证；②报名；③笔试、上机考试；④摄像．其中正确的流程为(　　)
A．②→①→③→④ B．②→④→①→③
C．②→①→④→③ D．②→④→③→①
解析：选B　根据经验可以知道首先要报名，摄像，再领准考试，最后笔试、上机考试．
∴正确的流程是②→④→①→③.
7．如图所示的流程图中，输出d的含义是(　　)
A．点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离
B．点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的平方
C．点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倒数
D．两条平行线间的距离
解析：选A　由流程图，得d＝表示点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离．
8．商家生产一种产品，需要先进行市场调研，计划对北京、上海、广州三地进行市场调研，待调研结束后决定生产的产品数量，下列四种方案中可取的是(　　)
解析：选D　到三个地方去调研没有严格顺序，但可同时进行，这样可以缩短调研周期，从而尽快决定产品数量．
9．某成品的组装工序流程图如图所示，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间(小时)，不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是(　　)
A．11小时 B．13小时
C．15小时 D．17小时
解析：选A　组装工序可以通过三个方案分别完成：A→B→E→F→G，需要2＋4＋4＋2＝12(小时)；A→E→F→G，需要5＋4＋2＝11(小时)；A→C→D→F→G，需要3＋4＋4＋2＝13(小时)．因此组装该产品所需要的最短时间是11小时．
10.某程序框图如图所示，现执行该程序，输入下列函数f(x)＝sinx，f(x)＝cosx，f(x)＝tanx，则可以输出的函数是(　　)
A．f(x)＝sinx
B．f(x)＝cosx
C．f(x)＝tanx
D．三个函数都无法输出
解析：选B　若输入函数f(x)＝cosx，则f(x)＋f＝cosx＋cos＝cosx＋cos＝cosx－cosx＝0，
f(x)＋f＝cosx＋cos＝cosx＋cos＝0.
故函数f(x)＝cosx可由题中程序框图输出．
易验证函数f(x)＝sinx和f(x)＝tanx均无法输出，故选B.
11．小强要在7：30之前赶去与同学集合一块去郊游，但由于太过兴奋晚上睡觉太晚，以致醒来时已经7点，小强每天早晨起床后必须做如下事情：收拾床铺用4分钟，洗漱用5分钟，听广播用15分钟，吃早饭用8分钟，为了不耽误郊游，小强需要用最短的时间完成这些事情，则小强花费的最短时间为(　　)
A．17分钟 B．19分钟
C．23分钟 D．27分钟
解析：选A　小强要想花费的时间最短，则应能同时干的事情同时干，他可在收拾床铺、洗漱和吃早饭的时候听广播，这样最短时间为4＋5＋8＝17(分钟)．
12．在如图所示的程序框图中，输入A＝192，B＝22，则输出的结果是(　　)
A．0 B．2
C．4 D．6
解析：选B　输入后依次得到：C＝16，A＝22，B＝16；C＝6，A＝16，B＝6；C＝4，A＝6，B＝4；C＝2，A＝4，B＝2；C＝0，A＝2，B＝0.故输出的结果为2，选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上)
13．执行如图所示的程序框图，若输入的N的值为6，则输出的p的值为________．
解析：由程序框图，可得k＝1，p＝1,1<6；k＝2，p＝2，2<6；k＝3，p＝6,3<6；k＝4，p＝24,4<6；k＝5，p＝120,5<6；k＝6，p＝720,6＝6，不满足条件．故输出的p的值为720.
答案：720
14．下图是向量运算的知识结构图，如果要加入“向量共线的充要条件”，则应该是在________的下位．
解析：向量共线的充要条件是其中一个向量能用另一个非零向量的数乘形式表示．
答案：数乘
15．在平面几何中，四边形的分类关系可用以下框图描述：
则在①中应填入________，在②中应填入____________．
解析：一组邻边相等的平行四边形是菱形，一条腰和底边垂直的梯形是直角梯形．
答案：菱形　直角梯形
16．某工程由A，B， C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若完成该工程共需9天，则完成工序C需要的时间最多为________天．
解析：由题意可画出工序流程图如下图所示．
∵总工期为9天，
∴2＋x≤5，∴x≤3.
∴完成工序C的最长时间为3天．
答案：3
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)汽车保养流程是：顶起车辆、更换机油、润滑部件、调换轮胎、放下车辆、清洁打蜡，试画出汽车保养的流程图．
解：流程图如图所示．
18．(本小题满分12分)某公司做人事调整：设总经理一名，配有经理助理一名；设副经理两人，直接对总经理负责，设有6个部门，其中副经理A管理生产部、安全部和质量部，副经理B管理销售部、财务部和保卫部；生产车间由生产部和安全部共同管理，公司配有质检中心和门岗．请根据以上信息设计并画出该公司的人事结构图．
解：人事结构图如图所示．
19．(本小题满分12分)某型号电脑由以下设备与主机相连：外存储器(磁盘驱动器和磁带机)、打印机、显示器、键盘、游戏杆，试画出该型号电脑的结构图．
解：
20．(本小题满分12分)画出“直线与方程”这一部分的知识结构图．
解：
21．(本小题满分12分)A，B，C，D四位同学分别拿着5,3,4,2个暖瓶去打开水，热水龙头只有一个．怎么安排他们打水的顺序，才能使他们打完水所花的总时间(含排队、打水的时间)最少？假如打满一瓶水需1分钟，那么打水的总时间是多少分钟？
解：由题意可知A，B，C，D四人把自己手中的暖瓶打满水分别需要5分钟、3分钟、4分钟、2分钟．A用时最长，D用时最短．
对于A和D来说，如果先安排A打水用去5分钟，这样A用了5分钟，而D除了等A灌满水5分钟外再加上自己打水用2分钟，共需要7分钟，那么两个人总共用了5＋5＋2＝12分钟．
反过来，如果将D安排在A前面，那么D打水用去2分钟，A等候2分钟，再加上自己打水用去5分钟，两人总共用了2＋2＋5＝9分钟．
相比较，第二种方案用时少于第一种，由此可以得出这样的结论：
把占时间少的人安排在前面可以使等候的总时间最短．按占用时间由少到多的顺序安排四个人为D，B，C，A.等候时间：
D打水时，需耗用A，B，C，D四人时间，即2×4＝8分钟；
B打水时，需耗用A，B，C三人时间，即3×3＝9分钟；
C打水时，需耗用A，C两人时间，即4×2＝8分钟；
A打水时，需耗用5分钟．
故总共用去8＋9＋8＋5＝30分钟．
综上，按D，B，C，A的顺序安排4人打水所花的总时间最少，最少为30分钟．
22．(本小题12分)某车队有4辆汽车，担负A，B，C，D，E，F六个分厂的运输任务(如图标出的数是各分厂所需装卸工人数)．若各分厂自派装卸工，则共需4＋6×2＋5×2＋7＝33(人)；若让一部分人跟车装卸，在需要装卸工人数较多的分厂再配备一个或几个装卸工，那么如何安排才能保证各分厂所需工人数，又使装卸人数最少？最少要安排多少人？
解：这类问题可采用逐步调整法，即设想各点(分厂)上先各有所需的人数；然后将各点分别减少一人而让每辆增加一人跟车，比较总人数是否减少；在车数少于点数时，如此调整可使总人数减少；重复以上调整，直至总人数不再减少时即得最佳方案，此时的人数即为最少的人数．
此法可概括成如下的简便解法．由逐步调整可得：
(1)将各点上的人数由大到小排列得7,6,6,5,5,4；
(2)车数为4，上列数中第四个数是5；
(3)跟车人数应为5，此时所需的搬运工总数为5×4＋2＋1＋1＝24(人)．
所以每辆车上安排5个跟车，各分厂安排的装卸工人数如图所示，这样所需人数最少，最少要安排24名装卸工人．