(共20张PPT)
17.1 勾股定理的逆定理课件
数学人教版 八年级下
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导入新课
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
说一说勾股定理的内容：
题设（条件）：
直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c ．
结论：
a2+b2=c2．
新课讲解
据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．
如果三角形的三边分别为3，4，5，这些数满足关系：32+42=52，围成的三角形是直角三角形．
相传，我国古代大禹治水测量工程时，也用类似的方法确定直角.
新课讲解
画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的 平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm）， 想一想：它们是直角三角形吗？
① 2.5，6，6.5； ② 4，7.5，8.5．
6
2.5
6.5
90°
7.5
4
8.5
猜想：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
新课讲解
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
题设
结论
结论
原命题
逆命题
勾股定理
？
互逆命题
两个命题的题设与结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.
新课讲解
已知：如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．
A'
B'
C'
a
b
A
B
C
a
b
c
证明：画一个Rt△A'B'C'，使B'C'＝a，
A'C'＝b，∠C'＝90°，由勾股定理得：
即△ABC是直角三角形
新课讲解
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
题设
结论
结论
原命题
逆命题
勾股定理
互逆命题
互逆定理
一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.
勾股定理的逆定理
新课讲解
例1：判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1） a＝15，b＝8，c＝17；
解:(1)∵152＋82 ＝225＋64＝289，
172 ＝289，
∴152＋82 ＝172.
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形．
像15，8，17
这样，能够成为
直角三角形三条
边长的三个正整
数，称为勾股数
新课讲解
解： (2)∵132＋142 ＝169＋196＝365，
152 ＝225，
∴132＋142 ≠152.
根据勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形．
例1：判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
（2） a＝13，b＝14，c＝15.
新课讲解
例2：某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile．
它们离开港口一个半小时后
分别位于点Q，R处，且相距
30 n mile ．如果知道“远航”
号沿东北方向航行，能知道
“海天”号沿哪个方向航行吗？
解：根据题意，
PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，
QR＝30.
∵242＋182＝302，
即PQ 2＋PR 2＝ QR2，
∴∠QPR＝ 90°
由“远航”号沿东北方向航行
可知,∠1＝45°,
∴∠2＝ 45°，
即“海天”号沿西北方向航行.
新课讲解
巩固提升
1.如果三角形的三边长分别为a，b，c，满足a2=c2－b2．这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？
解：是直角三角形.
理由如下：
∵ a2=c2－b2，
∴a2+b2=c2．
∴这个三角形是直角三角形．
巩固提升
2.说出下列命题的逆命题．这些逆命题是成立吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
逆命题：内错角相等，两直线平行．
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这两
个实数相等
（3）全等三角形的对应角相等；
逆命题：对应角相等的两个三角形全等．
（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分
线上．
逆命题：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
成立
不成立
不成立
成立
3.已知a，b，c分别是△ABC的三条边，则下列三角形是直角三角形的有_________．(填序号)
①a＝7，b＝24，c＝25；
②a＝6，b＝9，c＝12；
③a∶b∶c＝3∶4∶5；
④a＝1，b＝2，c＝ .
巩固提升
①③④
√
√
√
巩固提升
4. A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向上？
解：∵AB=12km, BC=5km, AC=13km,
又∵122＋52 ＝132.
∴AB2＋BC2 ＝AC2.
根据勾股定理的逆定理，
△ABC是直角三角形,
且 ∠C=90°．
∵A地在B地的正东方向，
∴C地在B地的正北方向上.
巩固提升
5.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，
CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．
解：∵AB=3，BC=4，∠B=90°，
∴AC=5．
∵CD=12，AD=13，
又∵52+122=132，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形．
∴四边形ABCD的面积为： .
A
B
C
D
课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.什么是互逆命题？什么是互逆定理？
2.勾股定理的逆定理的内容是什么？它有什么作用？
布置作业
教材P34页习题17.2第1、3题．
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课题：17.2 勾股定理的逆定理
教学目标：
理解互逆命题、互逆定理及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判别条件，熟记一些勾股数．
重点：
探究勾股定理的逆定理，理解并掌握互逆命题、原命题、逆命题
难点：
勾股定理的逆定理的应用.
教学流程：
一、导入新课
说一说勾股定理的内容及题设、结论：
答案：
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
题设（条件）：直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c ．
结论：a2+b2=c2．
二、新课讲解
介绍1：据说，古埃及人曾用下面的方法画直 ( http: / / www.21cnjy.com )角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．21教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
指出：如果三角形的三边分别为3，4，5，这些数满足关系：32+42=52，围成的三角形是直角三角形．21cnjy.com
介绍2：相传，我国古代大禹治水测量工程时，也用类似的方法确定直角.
画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的 平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm）， 想一想：它们是直角三角形吗？2·1·c·n·j·y
2.5，6，6.5；② 4，7.5，8.5．
答案：它们是直角三角形
猜想：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
互逆命题：两个命题的题设与结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.
已知：如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．
证明：画一个Rt△A'B'C'，使B'C'＝a，A'C'＝b，∠C'＝90°，由勾股定理得：
即△ABC是直角三角形.
互逆定理：一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.www.21-cn-jy.com
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
例1：判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1） a＝15，b＝8，c＝17；（2） a＝13，b＝14，c＝15.
解:(1)∵152＋82 ＝225＋64＝289，
172＝289，
∴152＋82 ＝172.
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形．
(2)∵132＋142 ＝169＋196＝365，
152＝225，
∴132＋142 ≠152.
根据勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形．
勾股数：像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数
例2：某港口P位于东西方向的海岸线上．“远 ( http: / / www.21cnjy.com )航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile ．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道21·cn·jy·com
“海天”号沿哪个方向航行吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
解：根据题意，
PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，
QR＝30.
∵242＋182＝302，
即PQ 2＋PR 2＝ QR2，
∴∠QPR＝ 90°
由“远航”号沿东北方向航行
可知,∠1＝45°,
∴∠2＝ 45°，
即“海天”号沿西北方向航行.
三、巩固提升
1.如果三角形的三边长分别为a，b，c，满足a2=c2－b2．这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？【来源：21·世纪·教育·网】
解：是直角三角形.
理由如下：
∵ a2=c2－b2，
∴a2+b2=c2．
∴这个三角形是直角三角形．
2.说出下列命题的逆命题．这些逆命题是成立吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
答案：逆命题：内错角相等，两直线平行．成立
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
答案：逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 不成立
（3）全等三角形的对应角相等；
答案：逆命题：对应角相等的两个三角形全等．不成立
（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
答案：逆命题：角平分线上的点到角的两边的距离相等. 成立
3.已知a，b，c分别是△ABC的三条边，则下列三角形是直角三角形的有_________．(填序号)
①a＝7，b＝24，c＝25；②a＝6，b＝9，c＝12；
③a∶b∶c＝3∶4∶5；④a＝1，b＝2，c＝.
答案：①③④
4. A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向上？
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解：∵AB=12km, BC=5km, AC=13km,
又∵122＋52 ＝132.
∴AB2＋BC2 ＝AC2.
根据勾股定理的逆定理，
△ABC是直角三角形,
且 ∠C=90°．
∵A地在B地的正东方向，
∴C地在B地的正北方向上.
5.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．21世纪教育网版权所有
解：∵AB=3，BC=4，∠B=90°，
∴AC=5．
∵CD=12，AD=13，
又∵52+122=132，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形．
∴四边形ABCD的面积为：.
四、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.什么是互逆命题？什么是互逆定理？
2.勾股定理的逆定理的内容是什么？它有什么作用？
五、布置作业
教材P34页习题17.2第1、3题．
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17.2 勾股定理的逆定理
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A. 1.5，2，3 B. 5，12，13 C. 7，24，25 D. 8，15，17
2．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A. ∠A+∠C=∠B B. a=，b=，c=
C.（b+a）（b-a）=c2 D. ∠A：∠B：∠C=5：3：2
3．有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）21cnjy.com
A. ( http: / / www.21cnjy.com ) B. ( http: / / www.21cnjy.com ) C. ( http: / / www.21cnjy.com ) D. ( http: / / www.21cnjy.com )
4．已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足(a－6)2＋＋＝0，那么下列说法中不正确的是（ ）21·cn·jy·com
A. 这个三角形是直角三角形 B. 这个三角形的最长边长是10
C. 这个三角形的面积是48 D. 这个三角形的最长边上的高是4.8
5．如图所示的一块地， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， ，求这块地的面积为（ ）m2．
( http: / / www.21cnjy.com )
A. 54 B. 108 C. 216 D. 270
二、填空题(每小题6分，共30分)
6．若三角形的三边长为a ( http: / / www.21cnjy.com )，b，c，且满足等式(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是___________三角形．(填“直角”“锐角”或“钝角”)www.21-cn-jy.com
7．把一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，则这个三角形是_______三角形．【来源：21·世纪·教育·网】
8．小华和小红都从同一点O出发，小华向北走了9米到A点，小红向东走了12米到了B点，则AB为________ 米．www-2-1-cnjy-com
9．如图，在四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的长分别为2，2，2，2，且AB⊥BC，则∠BAD的度数等于____．2-1-c-n-j-y
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10．如图，△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，BC边上的中线AD=4cm，则∠ADB的度数是________．
( http: / / www.21cnjy.com )
三、解答题(共40分)
11．一种机器零件的形状如图，规定这个 ( http: / / www.21cnjy.com )零件中的 ∠A和 ∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图（单位：mm），这个零件符合要求吗 【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com )
12．如图，在△ABC中，D为BC上的一点，若AC＝l7，AD＝8，CD=15，AB＝10，求 △ABC的周长和面积．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
参考答案
1．A
【解析】A、1.52+22≠32，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
B、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、72+242=252，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
D、82+152=172，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．
故选A．
2．B
【解析】∵∠A+∠C=∠B，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠B=90°，∴△ABC是直角三角形，故A选项能判定；21世纪教育网版权所有
∵b2+c2≠a2，∴△ABC不是直角三角形，故B选项不能判定；
∵(b+a)(b－a)=c2，∴b2－a2=c2，即a2+c2=b2，∴C选项能判定；
设∠A=5x°，∠B=3x°，∠C=2x°，∴5x+3x+2x=180，解得x=18，5x=90，∴D选项能判定.
故选B.
3．C
【解析】∵，，， ， ，
∴，， ， ， ，
∴A中只有一个直角三角形，B中只有一个直角三角形，C中两个都是直角三角形，D中两个都不是直角三角形.【来源：21cnj*y.co*m】
故选C.
4．C
【解析】∵（a-6）2≥0， +≥0，|c-10|≥0，（a-b）2++|c-10|=0，
∴a-6=0，b-8=0，c-10=0，
解：a=6，b=8，c=10，
∵62+82=36+64=100=102，
∴这个三角形是直角三角形，最长边为10，
∵6×8÷2=24，
∴这个三角形面积为24，
∵24×2÷10=4.8．
∴这个三角形最长边上的高为4.8．
故选C．
5．C
【解析】连接AC，根据CD和AD的长度 ( http: / / www.21cnjy.com )得出AC=15m，根据AC，BC和AB的长度可得△ABC为直角三角形，则S=15×36÷2－9×12÷2=270－54=216.21·世纪*教育网
考点：直角三角形的性质
6．直角
【解析】根据(a＋b)2－c2＝2ab，整理得： ，根据勾股定理的逆定理，得：此三角形是直角三角形．2·1·c·n·j·y
故答案：直角.
7．直角
【解析】设中间长的边长为x，较长边为x+1，较短边为x-7，
∵此三角形周长为30米，
∴x+x+1+x-7=30，
解得：x=12，
则x+1=13，x-7=5，
∵52+122=132，
∴这个三角形的形状为直角三角形．
故答案为：直角.
8．15
【解析】如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=9m，OB=12m，
根据勾股定理得AB==15m，
故答案为：15.
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9．135°
【解析】连接AC．
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∵AB⊥BC于B，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABC中，
∴AB2＋BC2＝AC2，
又∵AB＝CB＝2，
∴AC＝，∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵CD＝，DA＝2，
∴DA2＋AC2＝4＋8＝12，CD2＝12，
∴DA2＋AC2＝CD2，
由勾股定理的逆定理得：∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝45°＋90°＝135°．
故答案为135．
10．90°
【解析】∵AB=5cm，BC=6cm，AD=4cm，
又∵AD为BC边上的中线，
∴BD=6× EMBED Equation.DSMT4 =3，
∴AB2=AD2+BD2，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠ADB的度数是90°．
11．符合．
【解析】零件符合要求，由勾股定理逆定理可判定∠A=90°，∠DBC=90°.
解：∵92+122=152，∴AB2+AD2=BD2，∴∠A=90°，
∵82+152=172，∴BC2+BD2=CD2，∴∠DBC=90°，
∴零件符合要求.
12．周长为48，面积为84．
【解析】首先由勾股定理逆定理判断出△ADC为直角三角形，再根据勾股定理计算出BD的长度，从而求出△ABC的周长和面积.21教育网
解：∵CD2+AD2=AC2，
∴∠ADC=90°，
∴BD===6，
∴BC=21，
∴C△ABC=10+21+17=48；S△ABC=BC·AD=×21×8=84.
∴△ABC的周长为48，面积为84．
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