3.1图形的初步
一、直线、射线和线段相关知识
1、直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线.即：过两点有且只有________直线.
2、线段公理：所有连接两点的线中，线段最短.即：两点之间线段最________.
（1）连接两点的线段的长度，叫做这两点的________.
（2）线段的中点到线段两端点的距离________.
3、直线、射线、线段的区别与联系：射线、线段都是________的一部分，线段有________个端点不能向两方延伸，射线有________个端点只能向一方延伸，直线________端点且向两方延伸.
4、线段的垂直平分线：垂直于一条线段并且________这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.
（1）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离________.
（2）逆定理：怀一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________上.
二、角的有关概念及性质?
1、角的有关概念：角是由一条射线绕着它的________旋转而成的图形．射线端点叫做角的顶点，两条射线是角的两边．从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫做这个角的________．
2、角的单位与换算：1°＝________′，1′＝________″，1周角＝________平角＝________直角．?【版权所有：21教育】
3、余角与补角：如果两个角的和等于________，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于________，就说这两个角互为补角．同角(或等角)的余角________；同角(或等角)的补角________．?
4、对顶角与邻补角?
（1）邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边，它们的另一边互为________的两个角是邻补角.
（2）对顶角：两条直线相交所构成的四个角中，有________公共顶点，一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角.
（3）性质：邻补角________，对顶角________.
5、角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离________.
逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的________上.
三、垂线及其性质
1、概念：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是________时，就说这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
2、性质：
（1）过一点________一条直线与已知直线垂直.
（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段________.即：垂线段最短.
四、平行线的性质及判定
1、概念：在同一个平面内，________的两条直线叫做平行线.
注意：同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：________或________.
2、平行线公理：经过直线外一点，有且只有________直线与这条直线平行.
推论：如果两条直线都和第三条直线________，那么这两条直线也互相平行.
3、平行线的判定
（1）同位角相等，________.
（2）________，两直线平行.
（3）________，两直线平行.
4、平行线的性质：两直线平行，________相等，________相等，同旁内角________.
五、命题、定理、证明
1、命题的概念：________一件事情的语句，叫做命题.
2、命题的分类：按正确、错误与否分为：________命题和________命题
（1）真命题：如果题设成立，那么结论一定________的命题.
（2）假命题：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题.
3、公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的________，叫做公理.
4、定理：用________的方法判断为正确的命题叫做定理.
5、证明：判断一个命题的正确性的________过程叫做证明.
考点一：直线、射线、线段
如果点B在线段AC上，那么下列表达式中：①AB=AC，②AB=BC，③AC=2AB，④AB+BC=AC，能表示B是线段AC的中点的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】根据中点的性质可得：①、②和③能表示B是线段AC的中点.
【点评】利用中点的性质，并作图即可判断.
变式跟进1如果线段AB=5cm，BC=4cm，且A、B、C在同一条直线上，那么A、C两点间的距离是（ ）21教育网
A. 1cm B. 9cm C. 1cm或9cm D. 以上答案都不正确
考点二：相交线
如图，在下图中有对顶角的图形是（ ）
A. ① B. ①② C. ②④ D. ②③
【答案】C
【解析】解：根据图形，有对顶角的图形只有②④．
故选C．
【点评】按对顶角定义并结合图形进行判断.
变式跟进2如图，直线EF，CD相交于点0，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，
（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；
（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数；（用含α的代数式表示）
（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？
考点三：平行的判定与性质
如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（ ）
A. ∠1=∠3 B. ∠2=∠3 C. ∠4=∠5 D. ∠2+∠4=180°
【答案】B
【解析】当∠1=∠3时，a∥b；
当∠4=∠5时，a∥b；
当∠2+∠4=180°时，a∥b．
故选B．
【点评】利用平行线的判定定理进行判断. 即同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.【出处：21教育名师】
变式跟进3如图，已知∠AOB=40°，在∠AOB的两边OA、OB上分别存在点Q、点P，过点Q作直线QR∥OB，当OP=QP时，∠PQR的度数是（ ）.
A．60° B．80° C．100° D．120°
考点四：命题、定理、证明
如图，从①∠1=∠2 ②∠C=∠D ③∠A=∠F 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论一共有三种可能：①②为条件③为结论；①③为条件②为结论；②③为条件①为结论.
当①②为条件③为结论时，
∵∠1=∠2，∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴BD∥CE.
∴∠D=∠4.
∵∠C=∠D，
∴∠C=∠4，
∴AC∥DF，
∴∠A=∠F.
即①②可推出③.
当①③为条件②为结论时，
∵∠1=∠2，∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴BD∥CE.
∴∠D=∠4.
∵∠A=∠F，
∴AC∥DF，
∴∠4=∠C ，
∴∠C=∠D.
即①③可推出②.
当②③为条件②为结论时，
∵∠A=∠F，
∴AC∥DF.
∴∠4=∠C，
∵∠C=∠D，
∴∠4=∠D，
∴BD∥CE，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2.
即②③为条件①为结论.
故选D.
【点评】先利用分类讨论思想将本题分成三种情况，再利用平行线的判定与性质加以证明即可.
变式跟进4如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP＝∠1，∠PFB＝∠2，∠EPF＝∠3．
(1)若点P在图(1)位置时，求证：∠3＝∠1＋∠2；
(2)著点P在图(2)位置时，请写出∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由；
(3)若点P在图(3)位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系
一、选择题
1、（2017?北京）如图所示，点P到直线l的距离是（?? ）
A、线段PA的长度 B、线段PB的长度 C、线段PC的长度D、线段PD的长度
2、（2017·台州）如图，点P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA 的距离是（??? ）21世纪教育网版权所有
A、1 B、2 C、 D、4
3、（2015?贺州）如图，下列各组角中，是对顶角的一组是（ ）
A、∠1和∠2 B、∠3和∠5 C、∠3和∠4 D、∠1和∠5
4、（2017?河北）用量角器测得∠MON的度数，下列操作正确的是（?? ）
A、 B、
C、 D、
5、（2017?随州）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（?? ）
A、两点之间线段最短 B、两点确定一条直线
C、垂线段最短 D、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
6、（2016?柳州）如图，与∠1是同旁内角的是（?? ）
A、∠2 B、∠3 C、∠4 D、∠5
7、（2017?恩施州）如图，若∠A+∠ABC=180°，则下列结论正确的是（?? ）
A、∠1=∠2 B、∠2=∠3 C、∠1=∠3 D、∠2=∠4
8、如图，在直线l上有A，B，C三点，则图中线段共有（?? ）
A、1条 B、2条 C、3条 D、4条
9、（2015?西宁）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是（ ）21cnjy.com
A、74°12′ B、74°36′ C、75°12′ D、75°36′
10、（2017·金华）如图，为了监控一不规则多边形艺术走廊内的活动情况，现已在A,B两处各安装了一个监控探头（走廊内所用探头的观测区域为圆心角最大可取到180°的扇形），图中的阴影部分是A处监控探头观测到的区域.要使整个艺术走廊都能被监控到，还需再安装一个监控探头，则安装的位置是（?????? )21·cn·jy·com
A、E处 B、F处 C、G处 D、H处
二、填空题
11、（2017?德州）如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是________． www.21-cn-jy.com
12、（2016?雅安）1.45°=________．
13、（2017?苏州）如图，点D 在的平分线OC上，点E在OA上，ED//OB， ，则 的度数为________ ．【来源：21·世纪·教育·网】
14、（2015?台州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是________．21·世纪*教育网
15、（2017?益阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为________．
16、（2015?庆阳）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．
其中真命题的是?________．（填写所有真命题的序号）
三、解答题
17、（2017?重庆）如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC=72°，∠ACD=58°，点D在GH上，求∠BDC的度数．www-2-1-cnjy-com
18、（2016?淄博）如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．21*cnjy*com
19、（2016?安徽）如图，河的两岸l1与l2相互平行，A、B是l1上的两点，C、D是l2上的两点，某人在点A处测得∠CAB=90°，∠DAB=30°，再沿AB方向前进20米到达点E（点E在线段AB上），测得∠DEB=60°，求C、D两点间的距离．【来源：21cnj*y.co*m】
20、（2016?宜昌）杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下： 如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB=20米，请根据上述信息求标语CD的长度．
一、选择题
1．（2017天津南开区期中）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）.
A．在AC，BC两边高线的交点处 B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处 D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
2．（2017杭州萧山区临浦片期中）下列语句是命题的是（ ）
A.作直线AB的垂线 B.在线段AB上取点C
C.同旁内角互补 D.垂线段最短吗？
3．（2017山东聊城莘县一模）如图，直线l1∥l2，∠1=62°，则∠2的度数为（ ）
A．152° B．118° C．28° D．62°
4．（2017安徽当涂县五校联考）如图，l∥m，等边△ABC的顶点A、B分别在直线l、m上，∠1＝25°，则∠2＝（ ）2-1-c-n-j-y
A．35° B．45° C．55° D．75°
5．（2017厦门一中一模）两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（ ）
A．一定有一个锐角 B．一定有一个钝角 C．一定有一个直角 D．一定有一个不是钝角
6．（2016山东宁津县校级期中）下列说法正确的是（ ）
A、过点P画线段AB的垂线
B、P是直线AB外一点,Q是直线AB上一点,连接PQ,使PQ⊥AB
C、过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
D、过一点有且只有一条直线平行于已知直线
7．（2017绵阳一中期中）如图，∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（ ）.21教育名师原创作品
A．5 B．4 C．3 D．2
8．（2016成都校级模拟）如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，若∠B=52°，则∠E=（ ）
A．40° B．26° C．31° D．38°
二、填空题
9．（2017辽宁灯塔二中期中）一个角的补角等于这个角的2倍, 则这个角的度数是_________.
10．（2017丹阳二模）如图，AB∥CD，若∠ECD=54°，则∠EAB的度数为______．
11．（2017广东台山期末）如图， ， ，则的度数是_______
12．（2017河北卢龙县校级期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角∠A为110°，第二次拐角∠B为150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C＝___________度．
13．（2017山西农大附中期末）如图，已知C，D两点在线段AB上，AB= 10cm，CD=6cm，M，N分别是线段AC，BD的中点，则MN =__________cm.
14．（2017山东蒙阴县期末）如图所示，两块三角尺的直角顶点重叠在一起，且恰好平分，则的度数是________.
15．（2017杭州春蕾中学月考）如图，直线∥，∠3+∠4=35°，∠2=90°，则∠1=_______________。
16．（2017永州祁阳县五模）钟表在12时15分时刻的时针与分针所成的角是_______°．
三、解答题
17．（2016苏州工业园区期末）计算：77°53′26"＋33．3°
18．（2017盐城盐都区西片月考）已知：如图1，BE⊥DE，∠1=∠B，∠2=∠D，试确定AB与CD的位置关系，并说明理由．
19．（2017江苏东台市校级调研）已知：如图，线段AB＝10，C是AB的中点．
（1）求线段BC的长；
（2）若点D在直线AB上，DB＝2.5，求线段CD的长．
20．（2017江苏滨海县调研）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=112°.将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方.2·1·c·n·j·y
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；21*cnjy*com
（2）将图1中的三角板绕点O按每秒4°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为多少？??
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由.
3.1图形的初步
一、直线、射线和线段相关知识
1、直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线.即：过两点有且只有一条直线.
2、线段公理：所有连接两点的线中，线段最短.即：两点之间线段最短.
（1）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离.
（2）线段的中点到线段两端点的距离相等.
3、直线、射线、线段的区别与联系：射线、线段都是直线的一部分，线段有两个端点不能向两方延伸，射线有一个端点只能向一方延伸，直线没有端点且向两方延伸.
4、线段的垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.
（1）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
（2）逆定理：怀一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
二、角的有关概念及性质?
1、角的有关概念：角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．射线端点叫做角的顶点，两条射线是角的两边．从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫做这个角的平分线．
2、角的单位与换算：1°＝60′，1′＝60″，1周角＝2平角＝4直角．?
3、余角与补角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等．?
4、对顶角与邻补角?
（1）邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线的两个角是邻补角.
（2）对顶角：两条直线相交所构成的四个角中，有一个公共顶点，一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角.
（3）性质：邻补角互补，对顶角相等.
5、角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
三、垂线及其性质
1、概念：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
2、性质：
（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.即：垂线段最短.
四、平行线的性质及判定
1、概念：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
注意：同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行.
2、平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
3、平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行.
（2）内错角相等，两直线平行.
（3）同旁内角互补，两直线平行.
4、平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.
五、命题、定理、证明
1、命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题.
2、命题的分类：按正确、错误与否分为：真命题和假命题
（1）真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题.
（2）假命题：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题.
3、公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理.
4、定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.
5、证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明.
考点一：直线、射线、线段
如果点B在线段AC上，那么下列表达式中：①AB=AC，②AB=BC，③AC=2AB，④AB+BC=AC，能表示B是线段AC的中点的有（ ）21cnjy.com
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】根据中点的性质可得：①、②和③能表示B是线段AC的中点.
【点评】利用中点的性质，并作图即可判断.
变式跟进1如果线段AB=5cm，BC=4cm，且A、B、C在同一条直线上，那么A、C两点间的距离是（ ）
A. 1cm B. 9cm C. 1cm或9cm D. 以上答案都不正确
【答案】C
【解析】
解：如图所示，
当点C在AB之间时,AC=AB?BC=5?4=1(cm)；
当点C在点B的右侧时,AC=AB+BC=5+4=9(cm).
故选：C.
【点评】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，再根据正确画出的图形解题．当点C在AB之间时，AC=AB-BC；当点C在点B的右侧时，AC=AB+BC．
考点二：相交线
如图，在下图中有对顶角的图形是（ ）
A. ① B. ①② C. ②④ D. ②③
【答案】C
【解析】解：根据图形，有对顶角的图形只有②④．
故选C．
【点评】按对顶角定义并结合图形进行判断.
变式跟进2如图，直线EF，CD相交于点0，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，
（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；
（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数；（用含α的代数式表示）
（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？
【答案】（1）20°；（2）α；（3）∠AOE=2∠BOD．
【解析】解：（1）∵∠AOE+∠AOF=180°（互为补角），∠AOE=40°，
∴∠AOF=140°；
又∵OC平分∠AOF，
∴∠FOC=∠AOF=70°，
∴∠EOD=∠FOC=70°（对顶角相等）；
而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=50°，
∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=20°；
（2）∵∠AOE+∠AOF=180°（互为补角），∠AOE=α，
∴∠AOF=180°﹣α；
又∵OC平分∠AOF，
∴∠FOC=∠AOF=90°﹣α，
∴∠EOD=∠FOC=90°﹣α（对顶角相等）；
而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=90°﹣α，
∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=α；
（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE=2∠BOD．
【点评】（1）、（2）根据平角的性质求得∠AOF，又有角平分线的性质求得∠FOC；然后根据对顶角相等求得∠EOD=∠FOC；∠BOE=∠AOB﹣∠AOE，∠BOD=∠EOD﹣∠BOE；（3）由（1）、（2）的结果找出它们之间的倍数关系．
考点三：平行的判定与性质
如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（ ）
A. ∠1=∠3 B. ∠2=∠3 C. ∠4=∠5 D. ∠2+∠4=180°
【答案】B
【解析】当∠1=∠3时，a∥b；
当∠4=∠5时，a∥b；
当∠2+∠4=180°时，a∥b．
故选B．
【点评】利用平行线的判定定理进行判断. 即同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.
变式跟进3如图，已知∠AOB=40°，在∠AOB的两边OA、OB上分别存在点Q、点P，过点Q作直线QR∥OB，当OP=QP时，∠PQR的度数是（ ）.
A．60° B．80° C．100° D．120°
【答案】C.
【解析】解：∵QR∥OB，∠AOB=40°，
∴∠AQR=∠AOB=40°，
∵OP=QP，
∴∠PQO=∠AOB=40°，
∵∠AQR+∠PQO+∠PQR=180°，
∴∠PQR=180°﹣2∠AQR=100°．
故选C.
【点评】由QR∥OB，∠AOB=40°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠AQR的度数，又由∠AOB的两边OA，OB都为平面反光镜，根据平行线的性质，可得∠OQP=∠AQR=40°，然后根据三角形外角的性质，求得∠QPB的度数．
考点四：命题、定理、证明
如图，从①∠1=∠2 ②∠C=∠D ③∠A=∠F 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论一共有三种可能：①②为条件③为结论；①③为条件②为结论；②③为条件①为结论.
当①②为条件③为结论时，
∵∠1=∠2，∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴BD∥CE.
∴∠D=∠4.
∵∠C=∠D，
∴∠C=∠4，
∴AC∥DF，
∴∠A=∠F.
即①②可推出③.
当①③为条件②为结论时，
∵∠1=∠2，∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴BD∥CE.
∴∠D=∠4.
∵∠A=∠F，
∴AC∥DF，
∴∠4=∠C ，
∴∠C=∠D.
即①③可推出②.
当②③为条件②为结论时，
∵∠A=∠F，
∴AC∥DF.
∴∠4=∠C，
∵∠C=∠D，
∴∠4=∠D，
∴BD∥CE，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2.
即②③为条件①为结论.
故选D.
【点评】先利用分类讨论思想将本题分成三种情况，再利用平行线的判定与性质加以证明即可.
变式跟进4如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP＝∠1，∠PFB＝∠2，∠EPF＝∠3．
(1)若点P在图(1)位置时，求证：∠3＝∠1＋∠2；
(2)著点P在图(2)位置时，请写出∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由；
(3)若点P在图(3)位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系
【答案】（1）证明见解析；（2）∠2=∠3+∠1， 理由见解析；（3）∠1+∠2+∠3=360°
【解析】解：
（1）证明：过点P作PM∥l1
∵l1∥l2, PM∥l1
∴PM∥l2
∴∠2=∠FPM
∵PM∥l1
∴∠1=∠EPM
∴∠3=∠FPM+∠EPM=∠2+∠1
（2）解：∠2=∠3+∠1 理由如下
过点P作PN∥l1
∵l1∥l2, PN∥l1
∴PN∥l2
∴∠2=∠FPM
∵PM∥l1
∴∠1=∠EPM
∴∠2=∠FPM=∠3+∠EPM=∠3+∠1
（3）∠1+∠2+∠3=360°
【点评】此题三个小题的解题思路是一致的，过P作直线、 的平行线，利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，来得出∠1、∠2、∠3的数量关系．www.21-cn-jy.com
一、选择题
1、（2017?北京）如图所示，点P到直线l的距离是（?? ）
A、线段PA的长度 B、线段PB的长度 C、线段PC的长度D、线段PD的长度
【答案】B
【解析】解：由题意，得 点P到直线l的距离是线段PB的长度，
故选：B．
【点评】根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案．
2、（2017·台州）如图，点P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA 的距离是（??? ）2·1·c·n·j·y
A、1 B、2 C、 D、4
【答案】B
【解析】解：过P作PE⊥OA于点E，
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OB，
∴PE=PD,
∵PD=2,
∴PE=2,
即点P到OA的距离是2.
故答案为B.
【点评】过P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到PE=PD.从而得出答案.21·世纪*教育网
3、（2015?贺州）如图，下列各组角中，是对顶角的一组是（ ）
A、∠1和∠2 B、∠3和∠5 C、∠3和∠4 D、∠1和∠5
【答案】 B
【解析】解：由对顶角的定义可知：∠3和∠5是一对对顶角，
故选B．
【点评】根据对顶角的定义，首先判断是否由两条直线相交形成，其次再判断两个角是否有公共边，没有公共边有公共顶点的是对顶角．www-2-1-cnjy-com
4、（2017?河北）用量角器测得∠MON的度数，下列操作正确的是（?? ）
A、 B、
C、 D、
【答案】C
【解析】解：量角器的圆心一定要与O重合， 故选C．
【点评】根据量角器的使用方法进行选择即可．
5、（2017?随州）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（?? ）
A、两点之间线段最短 B、两点确定一条直线
C、垂线段最短 D、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】A
【解析】解：某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间线段最短． 故选：A．21*cnjy*com
【点评】根据两点之间，线段最短进行解答．
6、（2016?柳州）如图，与∠1是同旁内角的是（?? ）
A、∠2 B、∠3 C、∠4 D、∠5
【答案】 D
【解析】解：A、∠1和∠2是对顶角，不是同旁内角，故本选项错误； B、∠1和∠3是同位角，不是同旁内角，故本选项错误；【来源：21cnj*y.co*m】
C、∠1和∠4是内错角，不是同旁内角，故本选项错误；
D、∠1和∠5是同旁内角，故本选项正确；
故选D．
【点评】根据同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义逐个判断即可．
7、（2017?恩施州）如图，若∠A+∠ABC=180°，则下列结论正确的是（?? ）
A、∠1=∠2 B、∠2=∠3 C、∠1=∠3 D、∠2=∠4
【答案】D
【解析】解：∵∠A+∠ABC=180°， ∴AD∥BC，
∴∠2=∠4．
故选D．
【点评】先根据题意得出AD∥BC，再由平行线的性质即可得出结论．
8、如图，在直线l上有A，B，C三点，则图中线段共有（?? ）
A、1条 B、2条 C、3条 D、4条
【答案】C
【解析】解：图中线段有AB、AC、BC这3条， 故选：C．
【点评】根据线段的概念求解．
9、（2015?西宁）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是（ ）【版权所有：21教育】
A、74°12′ B、74°36′ C、75°12′ D、75°36′
【答案】 C
【解析】解：过点D作DF⊥AO交OB于点F．
∵入射角等于反射角，
∴∠1=∠3，
∵CD∥OB，
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）；
∴∠2=∠3（等量代换）；
在Rt△DOF中，∠ODF=90°，∠AOB=37°36′，
∴∠2=90°﹣37°36′=52°24′；
∴在△DEF中，∠DEB=180°﹣2∠2=75°12′．
故选C．
?【点评】过点D作DF⊥AO交OB于点F．根据题意知，DF是∠CDE的角平分线，故∠1=∠3；然后又由两直线CD∥OB推知内错角∠1=∠2；最后由三角形的内角和定理求得∠DEB的度数．21教育名师原创作品
10、（2017·金华）如图，为了监控一不规则多边形艺术走廊内的活动情况，现已在A,B两处各安装了一个监控探头（走廊内所用探头的观测区域为圆心角最大可取到180°的扇形），图中的阴影部分是A处监控探头观测到的区域.要使整个艺术走廊都能被监控到，还需再安装一个监控探头，则安装的位置是（?????? )21*cnjy*com
A、E处 B、F处 C、G处 D、H处
【答案】D
【解析】解：根据两点确定一条直线可以观察出答案，选D.
【点评】根据两点确定一条直线可以观察出答案.
二、填空题
11、（2017?德州）如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是________．
【答案】同位角相等，两直线平行
【解析】解：由图形得，有两个相等的同位角存在， 所以依据：同位角相等，两直线平行，即可得到所得的直线与已知直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点评】过直线外一点作已知直线的平行线，只有满足同位角相等，才能得到两直线平行．
12、（2016?雅安）1.45°=________．
【答案】87′
【解析】解：1.45°=60′+0.45×60′=87′．
故答案为：87′．
【点评】此题主要考查了度分秒的转化，正确掌握度分秒之间的关系是解题关键．直接利用度分秒的转化将0.45°转会为分即可．21教育网
13、（2017?苏州）如图，点D 在的平分线OC上，点E在OA上，ED//OB， ，则 的度数为________ ．
【答案】50
【解析】解：因为OC是∠AOB的平分线，
所以∠AOB=2∠1=50°
因为ED//OB,
所以∠AED=∠AOB=50°
故答案为50.
【点评】由角平分线的定义，不难得出∠AOB=2∠1=50°；而ED//OB，两直线平行，同位角相等，可得∠AED=∠AOB=50°.
14、（2015?台州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是________．
【答案】 3
【解析】解：作DE⊥AB于E，
∵AD是∠CAB的角平分线，∠C=90°，
∴DE=DC，
∵DC=3，
∴DE=3，
即点D到AB的距离DE=3．
故答案为：3．
【点评】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DC即可得解．
15、（2017?益阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为________．
【答案】2a+3b
【解析】解：∵AB=AC， BE=a，AE=b，
∴AC=AB=a+b，
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE=b，
∴∠ECA=∠BAC=36°，
∵∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∴∠BCE=∠ACB﹣∠ECA=36°，
∴∠BEC=180°﹣∠ABC﹣∠ECB=72°，
∴CE=BC=b，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=2a+3b
故答案为：2a+3b．
【点评】由题意可知：AC=AB=a+b，由于DE是线段AC的垂直平分线，∠BAC=36°，所以易证AE=CE=BC=b，从可知△ABC的周长；21世纪教育网版权所有
16、（2015?庆阳）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．
其中真命题的是?________．（填写所有真命题的序号）
【答案】①②④
【解析】解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c是真命题，故①正确；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c是真命题，故②正确；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命题，故③错误；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c是真命题，故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
三、解答题
17、（2017?重庆）如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC=72°，∠ACD=58°，点D在GH上，求∠BDC的度数．
【答案】50°
【解析】解：∵EF∥GH， ∴∠ABD+∠FAC=180°，
∴∠ABD=180°﹣72°=108°，
∵∠ABD=∠ACD+∠BDC，
∴∠BDC=∠ABD﹣∠ACD=108°﹣58°=50°．
【点评】由平行线的性质求出∠ABD=108°，由三角形的外角性质得出∠ABD=∠ACD+∠BDC，即可求出∠BDC的度数．
18、（2016?淄博）如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．
【答案】OA∥BC，OB∥AC，证明见解析
【解析】解：OA∥BC，OB∥AC．
∵∠1=50°，∠2=50°，
∴∠1=∠2，
∴OB∥AC，
∵∠2=50°，∠3=130°，
∴∠2+∠3=180°，
∴OA∥BC．
【点评】根据同位角相等，两直线平行证明OB∥AC，根据同旁内角互补，两直线平行证明OA∥BC．本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键.
19、（2016?安徽）如图，河的两岸l1与l2相互平行，A、B是l1上的两点，C、D是l2上的两点，某人在点A处测得∠CAB=90°，∠DAB=30°，再沿AB方向前进20米到达点E（点E在线段AB上），测得∠DEB=60°，求C、D两点间的距离．
【答案】30m
【解析】 解：过点D作l1的垂线，垂足为F，
∵∠DEB=60°，∠DAB=30°，
∴∠ADE=∠DEB﹣∠DAB=30°，
∴△ADE为等腰三角形，
∴DE=AE=20，
在Rt△DEF中，EF=DE?cos60°=20× =10，
∵DF⊥AF，
∴∠DFB=90°，
∴AC∥DF，
由已知l1∥l2 ，
∴CD∥AF，
∴四边形ACDF为矩形，CD=AF=AE+EF=30，
答：C、D两点间的距离为30m
【点评】此题主要考查了两点之间的距离以及等腰三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系，得出EF的长是解题关键．
20、（2016?宜昌）杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下： 如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB=20米，请根据上述信息求标语CD的长度．
【答案】20 m
【解析】解：∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO， ∵OD⊥CD，∴∠CDO=90°，
∴∠ABO=90°，即OB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴OD=OB，
在△ABO与△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴CD=AB=20（m）
【点评】由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABO=∠CDO，由垂直的定义可得∠CDO=90°，易得OB⊥AB，由相邻两平行线间的距离相等可得OD=OB，利用ASA定理可得 △ABO≌△CDO，由全等三角形的性质可得结果．本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键．【出处：21教育名师】
一、选择题
1．（2017天津南开区期中）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）.
A．在AC，BC两边高线的交点处 B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处 D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
【答案】C．
【解析】根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．则超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．
故选：C．
【点评】要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．
2．（2017杭州萧山区临浦片期中）下列语句是命题的是（ ）
A.作直线AB的垂线 B.在线段AB上取点C
C.同旁内角互补 D.垂线段最短吗？
【答案】C
【解析】判断一件事情的句子，是命题，由此可知选项C满足条件，故选C.
【点评】命题是指对某件事情做出正确或错误的判断.
3．（2017山东聊城莘县一模）如图，直线l1∥l2，∠1=62°，则∠2的度数为（ ）
A．152° B．118° C．28° D．62°
【答案】D.
【解析】解：如图，
∵l1∥l2，∠1=62°，
∴∠3=∠1=62°，
∴∠2=∠3=62°（对顶角相等），
故选D．
【点评】利用平行线的性质即可求解．
4．（2017安徽当涂县五校联考）如图，l∥m，等边△ABC的顶点A、B分别在直线l、m上，∠1＝25°，则∠2＝（ ）
A．35° B．45° C．55° D．75°
【答案】A
【解析】过点C作CD∥l，则∠1+∠2=∠C=60°，则∠2=60°-25°=35°.
【点评】利用平行线的性质进行求解.
5．（2017厦门一中一模）两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（ ）
A．一定有一个锐角 B．一定有一个钝角 C．一定有一个直角 D．一定有一个不是钝角
【答案】D．
【解析】解：因为两条直线相交，分为垂直相交和斜交，故分两种情况讨论：
①当两直线垂直相交时，四个角都是直角，故A、B错误；
②当两直线斜交时，有两个角是锐角，两个角是钝角，所以C错误；
综上所述，D正确．
故选D．
【点评】本题通过分类讨论即可得出正确答案.
6．（2016山东宁津县校级期中）下列说法正确的是（ ）
A、过点P画线段AB的垂线
B、P是直线AB外一点,Q是直线AB上一点,连接PQ,使PQ⊥AB
C、过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
D、过一点有且只有一条直线平行于已知直线
【答案】C
【解析】A应是过点P作直线AB的垂线；B连接PQ,不一定使PQ⊥AB；C选项正确；D过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。故选C
【点评】根据垂线、平行线的性质即可进行判断.
7．（2017绵阳一中期中）如图，∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（ ）.【来源：21·世纪·教育·网】
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B．
【解析】解：过D作DG⊥AC于G，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEG=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DG=4，又DE∥AB，所以∠BAD=∠ADE，所以AD是∠BAC的平分线，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，得DF=DG=4．
故选：B．
【点评】利用角平分线的性质、直角三角形斜边上的中线进行解题．
8．（2016成都校级模拟）如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，若∠B=52°，则∠E=（ ）
A．40° B．26° C．31° D．38°
【答案】B．
【解析】解：∵AD⊥BC，BD=DC，
∴AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠B=52°，
∴∠ACB=52°，
∵点C在AE的垂直平分线上，
∴AC=CE，
∴∠E=∠CAE，
∵∠E+∠CAE=∠ACB=52°，
∴∠E=26°，
【点评】根据线段垂直平分线性质得出AB=AC，AC=CE，推出∠B=∠ACB=52°，∠E=∠CAE，根据三角形外角性质得出即可．
二、填空题
9．（2017辽宁灯塔二中期中）一个角的补角等于这个角的2倍, 则这个角的度数是_________.
【答案】60度
【解析】解：设这个角为x°,则它的补角为(180?x) °.
依题意，有180?x=2x，
解得x=60.
故这个角的度数为60°.
故答案为：60°.
【点评】此题综合考查补角,属于基础题 中较难的题,解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数,再根据一个角的补角等于这个角的2倍列出方程求解.
10．（2017丹阳二模）如图，AB∥CD，若∠ECD=54°，则∠EAB的度数为______．
【答案】54°
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠ECD＝54°.
【点评】利用平行线的性质即可求解.
11．（2017广东台山期末）如图， ， ，则的度数是_______
【答案】
【解析】解：∵OC⊥OD,
∴∠COD=90°,
∴∠1+∠2=180°-90°=90°,
∴∠2=90°-∠1=90°-50°=40°.
【点评】本题主要考查垂直、平角的定义.
12．（2017河北卢龙县校级期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角∠A为110°，第二次拐角∠B为150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C＝___________度．
【答案】140
【解析】解：延长FC，AB，交于点E，如图所示，
∵AD∥CE，
∴∠A=∠E=110°，
∵∠ABC为△BCE的外角，
∴∠BCE=∠ABC-∠E=40°，
∴∠BCF=140°．
【点评】构造三角形，利用平行的性质、三角形外角的性质即可解答.
13．（2017山西农大附中期末）如图，已知C，D两点在线段AB上，AB= 10cm，CD=6cm，M，N分别是线段AC，BD的中点，则MN =__________cm.
【答案】8
【解析】解：∵AB= 10cm，CD=6cm，∴AC+BD=10-6=4cm.
∵M，N分别是线段AC，BD的中点，∴AM+BN=4÷2=2cm.
∴MN=AB-(AM+BN)=10-2=8cm.
【点评】利用线段的中点、和与差即可求解.
14．（2017山东蒙阴县期末）如图所示，两块三角尺的直角顶点重叠在一起，且恰好平分，则的度数是________.
【答案】135°
【解析】解：因为OB平分∠COD，∴∠COB=∠BOD=45°，
∵∠AOB=90°，∴∠AOC=45°，∴∠AOD=135°.
故答案为135°.
【点评】本题是有公共顶点的两个直角三角形问题，通过图形可知∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，同时∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC=180°，可以通过角平分线性质求解．
15．（2017杭州春蕾中学月考）如图，直线∥，∠3+∠4=35°，∠2=90°，则∠1=_______________。
【答案】125°
【解析】解：如图，
∵
∴∠5+∠6=180°
∵∠2=90°
∴∠5+∠3=90°
∴∠6-∠3=90°
即∠6=90°+∠3
∴∠1=∠4+∠6=∠4+∠3+90°=35°+90°=125°.
【点评】利用平行线的性质即可求解.
16．（2017永州祁阳县五模）钟表在12时15分时刻的时针与分针所成的角是_______°．
【答案】82．5
【解析】90°-30°÷4=82.5°.
【点评】利用钟表上时针与分针的关系来求其夹角即可.
三、解答题
17．（2016苏州工业园区期末）计算：77°53′26"＋33．3°
【答案】111°11′26″．
【解析】解：原式=77°53′26″+33°18′
=111°11′26″．
【点评】把33.3°换算成33°18′，再进一步相加即可．
18．（2017盐城盐都区西片月考）已知：如图1，BE⊥DE，∠1=∠B，∠2=∠D，试确定AB与CD的位置关系，并说明理由．21·cn·jy·com
【答案】AB∥CD；理由见解析.
【解析】解：AB∥CD．
理由如下：
∵BE⊥DE，
∴∠BED=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵∠1=∠B，∠2=∠D，
∴∠A+2∠1+∠C+2∠2=360°，
∴∠A+∠C=180°，
∴AB∥CD．
【点评】本题主要考查垂直、等腰三角形、平行线的判定等知识，解题的关键在于利用等腰三角形的性质得出∠A+∠C=180°这一结论.
19．（2017江苏东台市校级调研）已知：如图，线段AB＝10，C是AB的中点．
（1）求线段BC的长；
（2）若点D在直线AB上，DB＝2.5，求线段CD的长．
【答案】（1）BC =5；（2）线段CD的长为2.5或7.5．
【解析】解：（1）∵线段AB=10，C是AB的中点，∴BC=AB=5；
（2）如图1，∵BC=5，BD=2.5，∴CD=BC﹣CD=2.5；
如图2，∵BC=5，BD=2.5，∴CD=BC+CD=7.5，
综上所述：线段CD的长为2.5或7.5．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差，分类讨论是解题关键，以防遗漏．
20．（2017江苏滨海县调研）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=112°.将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方.2-1-c-n-j-y
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）将图1中的三角板绕点O按每秒4°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为多少？??
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）平分；（2）（2）t=59或14 （3）∠AOM－∠NOC=220
【解析】解：（1）平分 。理由：延长NO到D
∵∠MON=90° ∴∠MOD=90°
∴∠MOB＋∠NOB=90° ∠MOC＋∠COD=90°
∵∠MOB=∠MOC ∴∠NOB=∠COD
∵∠NOB=∠AOD
∴ ∠COD=∠AOD ∴直线NO平分∠AOC
（2）t=59或14
（3）∠AOM－∠NOC=220
理由：∵∠AOM=90°－∠AON ∠NOC=68°－∠AON
∴∠AOM－∠NOC=（90°－∠AON）－（68°－∠AON）=22°
【点评】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义，用含∠AON的式子表示出∠AOM和∠NOC的长是解题的关键．
