课后提升训练 一 分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其简单应用
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·济南高二检测)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则不同的选法种数为 ( )
A.3 B.6 C.9 D.12
【解析】选C.分两步,第1步:甲从红、白、蓝3种颜色运动服中选1种,有3种选法.
第2步,乙从红、白、蓝3种运动服中选1种,也有3种选法,所以不同的选法种数为3×3=9(种).
2.从甲地到乙地,每天有直达汽车4班.从甲地到丙地,每天有5个班车,从丙地到乙地,每天有3个班车,则从甲地到乙地不同的乘车方法有 ( )
A.12种 B.19种 C.32种 D.60种
【解析】选B.从甲地到乙地乘车的方案可分为两类,
第1类,从甲地直达乙地有4种方法;
第2类,从甲地到丙地,再从丙地到乙地,共有5×3=15种方法,所以共有4+15=19种方法.
3.(2017·承德高二检测)某乒乓球队里有男队员6人,女队员5人,从中选取男、女队员各一人组成混合双打队,不同的组队总数有 ( )
A.11种 B.30种
C.56种 D.65种
【解析】选B.先选1男有6种方法,再选1女有5种方法,故共有6×5=30种不同的组队方法.
4.某班有男生26人,女生24人,从中选一位同学为数学课代表,则不同选法的种数为 ( )
A.50 B.26 C.24 D.616
【解析】选A.根据分类加法计数原理,不同的选法种数为N=26+24=50(种).
5.(2017·广东高二检测)正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱对角线的条数共有 ( )
A.20条 B.15条
C.12条 D.10条
【解析】选D.由题意正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线,因为不同在任何侧面内,故从一个顶点出发的对角线有2条.所以正五棱柱对角线的条数共有2×5=10条.
6.(2017·阜阳高二检测)若从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数,作为直线ax+by=0的系数,则该直线方程表示的不同直线的条数为 ( )
A.16 B.12
C.10 D.8
【解析】选C.第一步取a的值,有4种取法;
第二步取b的值,有3种取法.
其中当a=1,b=2时,与a=2,b=4时是相同的,当a=2,b=1时,与a=4,b=2时是相同的,故共有4×3-2=10(条)不同的直线.
【延伸探究】若将条件“{1,2,3,4}”变为“{0,1,2,3,4}”,该直线方程表示的不同直线的条数如何?
【解析】按a,b是否为0进行分类:
第一类:a或b中有一个为0时,方程表示不同的直线为x=0或y=0,共2条.
第二类:a,b中都不取0时,取a的值,有4种取法,取b的值,有3种取法,共有4×3=12条.但是,当a=1,b=2时,与a=2,b=4时是相同的,当a=2,b=1时,与a=4,b=2时是相同的.
综上所述,故共有2+4×3-2=12(条)不同的直线.
7.已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点,则这13个点可以确定不同的平面个数为 ( )
A.40 B.16 C.13 D.10
【解析】选C.分两类:第一类,直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面;第二类,直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面.由分类加法计数原理知,共可以确定8+5=13(个)不同的平面.
8.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是 ( )
A.56 B.65
C. D.6×5×4×3×2
【解析】选A.每位同学都有5种选择,共有5×5×5×5×5×5=56(种)选法.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·青岛高二检测)从-1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax2+bx+c的各项的系数,可组成不同的二次函数共有________个,其中不同的偶函数共有__________个.(用数字作答)
【解析】组成不同的二次函数分三步.
第1步:确定a的值,a可以从-1,1,2三个数中选一个,有3种选法.
第2步:确定b的值,b可以从a选中的剩余的三个数中选一个,有3种选法.
第3步:确定c的值,c从剩余的两个数中选一个,有2种选法.
所以共有:3×3×2=18(个).
f(x)若是偶函数则必须有a≠0,b=0
所以共有:3×2=6(个).
答案:18 6
10.同室四人各写一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺卡,则四张贺卡的不同的分配方式有________种.
【解析】设4人为甲、乙、丙、丁,分步进行:
第一步,让甲拿,有三种方法;
第二步,让甲拿到的卡片上写的人去拿,有三种方法,剩余两人只有一种拿法,所以共有3×3×1×1=9(种)不同的分配方式.
答案:9
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.有3个不同的负数、5个不同的正数,从中任取2个数,使它们的积为正数,问:有多少种不同的取法?
【解析】根据题意,知积为正数的情况分为两类.
第一类是2个数都是负数,分两步取数:
第一步,先从3个负数中任取1个负数,有3种不同的取法;
第二步,从剩下的2个负数中任取1个负数,有2种不同的取法,故有3×2=6(种)不同的取法.
第二类是2个数都是正数,也分两步取数;
第一步,先从5个正数中任取1个正数,有5种不同的取法;
第二步,从剩下的4个正数中任取1个正数,有4种不同的取法,故有5×4=20(种)不同的取法.
综上所述,不同取法的种数为6+20=26(种).
12.集合A={a,b,c,d},B={1,2,3,4,5}.
(1)从集合A到集合B可以建立多少个不同的映射?
(2)从集合A到集合B的映射中,若要求集合A中的不同元素在B中对应的元素不同,这样的映射有多少个?
【解析】(1)由映射的定义和分步乘法计数原理知,安排元素a的有5种方法,同理安排元素b,c,d各有5种方法,故共有5×5×5×5=54=625(个)不同的映射.
(2)由题意,第一步安排第一个元素有5种方法,第二步安排第二个元素有4种方法,以此类推,共有5×4×3×2=120(个)不同的映射.
【能力挑战题】
方程ay=b2x2+c中的a,b,c∈{-2,0,1,2,3},且a,b,c互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有多少条?
【解析】方程ay=b2x2+c变形得x2=y-,若表示抛物线,则a≠0,b≠0,所以,分b=-2,1,2,3四种情况:
(1)若b=-2,
即x2=y,x2=y-,x2=y-;
x2=y,x2=y-,x2=y-;
x2=y,x2=y-,x2=y-.
(2)若b=2,
即x2=-y,x2=-y-,x2=-y-;
x2=y+,x2=y,x2=y-;
x2=x+,x2=y,x2=y-;
以上两种情况下有4条重复,故共有9+5=14条;
同理,若b=1,共有9条;若b=3,共有9条.
综上,共有14+9+9=32条.
课后提升训练 七 组合的综合应用
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·青岛高二检测)从5人中选3人参加座谈会,其中甲必须参加,则不同的选法有 ( )
A.60种 B.36种 C.10种 D.6种
【解析】选D.不同的选法有=6.
2.(2017·济南高二检测)在200件产品中有3件次品,现从中任意抽取5件,其中至少有2件次品的抽法有 ( )
A.种 B.(-)种
C.种 D.(+)种
【解析】选D.根据题意,“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况,“有2件次品”的抽取方法有种,“有3件次品”的抽取方法有种,则共有+种不同的抽取方法.
3.(2017·哈尔滨高二检测)哈六中高一学习雷锋志愿小组共有16人,其中一班、二班、三班、四班各4人,现在从中任选3人,要求这三人不能是同一个班级的学生,且在三班至多选1人,不同的选法的种数为 ( )
A.484 B.472 C.252 D.232
【解析】选B.分两种情况,三班没人时,是-3×=208种,三班恰有1人时,有=264种,所以共有208+264=472(种),故选B.
4.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同分配方法共有( )
A.90种 B.180种 C.270种 D.540种
【解析】选D.不同的分配方法有:·=540(种).
5.有两条平行直线a和b,在直线a上取4个点,直线b上取5个点,以这些点为顶点作三角形,这样的三角形共有 ( )
A.70个 B.80个 C.82个 D.84个
【解析】选A.分两类:第一类,从a上任取一个点,从b上任取两个点,共有·个三角形;第二类,从a上任取两个点,从b上任取一个点,共有·个三角形.所以共有·+·=70(个)三角形.
6.(2017·湛江高二检测)甲、乙两人从4门课程中各选2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 ( )
A.6种 B.12种 C.30种 D.36种
【解析】选C.至少有1门不相同有两种情况:
①2门不同有=6(种);
②1门不同有=24(种).
由分类加法计数原理共有6+24=30(种).
7.12名同学合影,站成了前排4人后排8人.现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.从后排8人中选2人的方法有种.设此两人为A、B.安排A到前排有种方法,再安排B到前排有种方法,所以共有=种方法.
8.用黄、蓝、白三种颜色粉刷6间办公室,一种颜色粉刷3间,一种颜色粉刷2间,一种颜色粉刷1间,则粉刷这6间办公室,不同的安排方法有 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.选固定一种粉刷方法,如黄色粉刷3间,蓝色粉刷2间,白色粉刷1间.则有种,三种颜色互换有种方法,由分步乘法计数原理知,不同的方案有种.
【误区警示】本题容易错选B,原因在于对题中的事件分步有错,少了颜色可以互换的这一步,而题目中黄、蓝、白三种颜色粉刷办公室的间数不一定,任何一种颜色都可以粉刷3间或2间或1间,因此三种颜色要作排列,排列共有种方法.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·南昌高二检测)将4位大学生分配到A,B,C三个工厂参加实习活动,其中A工厂只能安排1位大学生,其余工厂至少安排1位大学生,且甲同学不能分配到C工厂,则不同的分配方案种数是________.
【解析】若甲同学分配到A工厂,则其余3人应安排到B,C两个工厂,一共有种分配方案.若甲同学分配到B工厂,则又分为两类:一是其余3人安排到A,C两个工厂,而A工厂只能安排1名同学,所以一共有种分配方案;二是从其余3人中选出1人安排到B工厂,其余2人安排到A,C工厂,所以一共有种分配方案.综上,共有++=15种不同的分配方案.
答案:15
10.8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组,每组各4人,分别进行单循环赛,每组决出前两名,再由每组的第一名与另外一组的第二名进行淘汰赛,获胜者角逐冠亚军,败者角逐第三,第四名,则该大师赛共有__________场比赛.
【解析】共有:++2+2=16(场).
答案:16
三、解答题
11.(10分)某医科大学的学生中,有男生12名女生8名在某市人民医院实习,现从中选派5名参加青年志愿者医疗队.
(1)某男生甲与某女生乙必须参加,共有多少种不同的选法?
(2)甲、乙均不能参加,有多少种选法?
(3)甲、乙二人至少有一人参加,有多少种选法?
【解析】(1)只需从其他18人中选3人即可,共有选法=816种.
(2)只需从其他18人中选5人即可,共有选法=8568种.
(3)分两类:甲、乙中只有一人参加,则有·种选法;甲、乙两人都参加,则有种选法.故共有选法+=6936种.
【能力挑战题】
在∠MON的边OM上有5个异于O点的点,ON上有4个异于O点的点,以这10个点(含O)为顶点,可以得到多少个三角形?
【解题指南】方法一:(直接法)分点O为顶点的三角形与点O不为顶点的三角形;
方法二:(间接法)把10个不同点中任取3点的组合数减去OM,ON上分别共线三点的组合数,即可求解.
【解析】方法一:(直接法)分三种情况考虑:点O为顶点的三角形中,必须另外两个顶点分别在OM,ON上,所以有个.
点O不为顶点的三角形中,两个顶点在OM上,一个顶点在ON上的有个;一个顶点在OM上,两个顶点在ON上的有个.因为这是分类问题,所以用分类加法计数原理,共有·+·+·=5×4+10×4+5×6=90(个).
方法二:(间接法)先不考虑共线点的问题,从10个不同元素中任取三点的组合数是,但其中OM上的6个点(含O)中任取三点不能得到三角形,ON上的5个点(含O)中任取3点也不能得到三角形,
所以共可以得到--=120-20-10=90(个)三角形.
课后提升训练 三 排列的概念及简单排列问题
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·西城高二检测)下列说法中:
(1)选2个小组分别去种树和种菜.
(2)选2个小组分别去种菜.
(3)选10人组成一个学习小组.
(4)从5个人中选取两个人担任正、副组长.
其中是排列问题的为 ( )
A.(1)(4) B.(1)(3) C.(2)(3) D.(2)(4)
【解析】选A.(1)种树和种菜是不同的,存在顺序问题,属于排列问题;(2)(3)不存在顺序问题,不属于排列问题;
(4)是.甲担任组长、乙担任副组长,与甲担任副组长、乙担任组长是不同选法.所以(1)(4)属于排列问题.
【补偿训练】给出下列问题:
(1)从2,3,5,7,11中任取两数相乘可得多少不同的积?
(2)20位同学互相握手一次,问共握手多少次?
(3)以圆上的10个点为端点,共可作多少条弦?
其中是排列问题的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选A.任取两数相乘其结果与顺序无关,所以(1)不是排列;(2)只是任意选两位同学握手,且互相握手一次,无顺序,不是排列问题;对于(3),圆上任意两点就可确定一条弦,与顺序无关,也不是排列问题.
2.世界华商大会的某分会场有A,B,C三个展台,将甲,乙,丙,丁4名“双语”志愿者分配到这三个展台,每个展台至少1人,其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为 ( )
A.12种 B.10种 C.8种 D.6种
【解析】选D.因为甲、乙两人被分配到同一展台,
所以甲与乙捆在一起,看成一个人,然后将3个人分到3个展台进行排列,即有3×2×1=6种,
所以甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为6种.
3.若直线Ax+By=0的系数A,B可以从2,3,5,7中取不同的数值,可以构成的不同直线的条数是 ( )
A.12条 B.9条 C.8条 D.4条
【解析】选A.画树形图如下
故共有12条.
4.由数字0、1、2、3、4、5组成无重复数字的四位数,其中是25的倍数的数共有 ( )
A.9个 B.12个 C.24个 D.21个
【解析】选D.分两类情况.第一类是后两位是25,共有3×3=9(个),第二类是后两位是50,共有4×3=12(个),所以是25倍数的数共有9+12=21(个).
5.(2017·杭州高二检测)若把英语单词“word”的字母顺序写错了,则可能出现的错误共有 ( )
A.24种 B.23种 C.12种 D.11种
【解析】选B.w,o,r,d的排列共有4×3×2×1=24(种),其中排列“word”是正确的,其余均错,故错误的有24-1=23(种).
6.(2017·菏泽高二检测)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从1,2,3,4,5这5个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有 ( )
A.80个 B.40个 C.20个 D.10个
【解析】选C.十位数只能是3、4、5.
当十位数为3时只有:132,231,共2个
当十位数是4时有:142,143,241,341,243,342,共6个
当十位数是5时有:152,153,154,251,253,254,351,352,354,451,452,453,共12个,故共有2+6+12=20个.
7.(2016·四川高考)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为 ( )
A.24 B.48 C.60 D.72
【解析】选D.第1步,排个位,从1,3,5中选一个放在个位上,有3种.
第2步,排十位,从剩下的4个数中选一个,有4种.
第3步,排百位,有3种.
第4步,排千位,有2种.
第5步,排万位,有1种.
所以共有:3×4×3×2×1=72个.
8.从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lga-lgb的不同值的个数是( )
A.9 B.10 C.18 D.20
【解析】选C.lga-lgb=lg.
从1,3,5,7,9中任取两个数的排列共有5×4=20(种),因为=,=.所以lga-lgb=lg的不同值的个数是20-2=18.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为________.(把序号填上)
①甲乙,乙甲,甲丙,丙甲;
②甲乙,丙乙,丙甲;
③甲乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙;
④甲乙,甲丙,乙丙.
【解析】这是一个排列问题,与顺序有关,任意两人对应的是两种站法,故③正确.
答案:③
10.在1,2,3,4的排列a1a2a3a4中,满足a1>a2,a3>a2,a3>a4的排列个数是__________.
【解题指南】a1只能从2,3,4开始,用树形图写出来,要注意a1,a2,a3,a4的大小关系.
【解析】首先注意a1位置的数比a2位置的数大,可以借助树形图进行筛选.
满足a1>a2的树形图是:
再按a3位置的数比a2,a4位置的数大,进行排除,从而得出排列:2143,3142,3241, 4132,4231,共5个.
答案:5
三、解答题
11.(10分)北京、上海、香港、台北四个民航站之间的直达航线,需要准备多少种不同的飞机票?将它们列出来.
【解析】先确定起点,有4种方法,再确定终点,有3种方法.由分步乘法计数原理知,共需要4×3=12(种)不同的机票.
列举如下:
【能力挑战题】
5人站一横排,其中甲、乙两人站两端共有多少种站法?
【解析】从左到右分别记作第1位置,…,第5位置.
完成这件事分为5步,
第1步,排第1位置,从甲、乙中选1人,有2种方法;
第2步,排第2位置,从除甲、乙外的3人中选1人,有3种方法;
第3步,排第3位置,有2种方法;
第4步,排第4位置,有1种方法;
第5步,排第5位置,有1种方法.
共有2×3×2×1×1=12种站法.
课后提升训练九“杨辉三角”与二项式系数的性质
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.已知(a+b)n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n等于 ( )
A.11 B.10 C.9 D.8
【解析】选D.由二项式系数最大性质得n=8.
2.在(a-b)n的二项展开式中,与第k项系数相等的项是 ( )
A.第n-k项 B.第n-k-1项
C.第n-k+1项 D.第n-k+2项
【解析】选D.第k项的二项式系数为,与其相等的只能是n-k+2.
3.(2017·全国卷I)(1+x)6展开式中x2的系数为 ( )
A.15 B.20 C.30 D.35
【解析】选C.(1+x)6展开式中含x2的项为1·x2+·x4=30x2,故x2的系数为30.
4.(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n的展开式中各项系数和为 ( )
A.2n+1 B.2n-1 C.2n+1-1 D.2n+1-2
【解析】选D.令x=1,则原式=2+22+…+2n==2n+1-2.
5.(2017·遵义高二检测)若二项式(3-x)n(n∈N*)中所有项的系数和为a,所有项的系数的绝对值和为b,则+的最小值为 ( )
A.2 B. C. D.
【解析】选B.令x=1,得a=2n,
令x=-1,得b=4n,
所以+=2n+,令t=2n,t≥2,
所以+=t+≥2+=.
6.(2017·秦皇岛高二检测)如果的展开式中只有第4项的二项式系数最大,那么展开式中的所有项的系数之和是 ( )
A.0 B.256 C.64 D.
【解析】选D.由已知得即5
因为n∈N*,所以n=6.
令x=1,则原式==.
7.(+)100的展开式中,无理项的个数是 ( )
A.83 B.84 C.85 D.86
【解析】选B.Tk+1=()100-k()k=··,若第k+1项为有理项,则50-,均为整数,故k为6的倍数时,第k+1项为有理项.
因为0≤k≤100,所以k=6×0,6×1,6×2,…,6×16时的项为有理项,从而无理项共有101-17=84项.
8.(2015·山东高考改编)观察下列各式:=40;+=41;++=42;++
+=43;……,照此规律,当n∈N*时,+++…+= ( )
A.4n-2 B.4n-1 C.4n D.4n+1
【解题指南】本题考查合情推理和组合数公式的计算.
【解析】选B.由类比推理可知第n个等式右端应该是4n-1.事实上,由=,=,…,=及+++…+=2n可知,+++…+=
(+++…+)=×22n-1,
即+++…+=22n-2=4n-1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·四平高二检测)设an(n≥2,n∈N*)是(3-)n的展开式中x的一次项系数,则++…+=________.
【解析】因为an(n≥2,n∈N*)是(3-)n的展开式中x的一次项系数,所以an=3n-2,
所以++…+
=++…+
=18=17.
答案:17
10.在的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项是________.
【解析】第5项的二项式系数为且,,……,中只有最大,故n=8.
所以Tk+1==·(-1)k×,令8-k=0,得k=6.
所以T7=(-1)6×=7.
答案:7
三、解答题
11.(10分)已知(1+2)n的展开式中,某一项的系数是它前一项系数的2倍,而等于它后一项系数的.求该展开式中二项式系数最大的项.
【解析】第r+1项系数为2r;
第r项系数为2r-1,
第r+2项系数为2r+1.
依题意得
整理得即
解得n=7,
故二项式系数最大的项是第4项和第5项.
其中T4=(2)3=280,T5=(2)4=560x2.
【能力挑战题】
若等差数列{an}的首项为a1=-(m∈N+),公差是展开式中的常数项,其中n为7777-15除以19的余数,求数列{an}的通项公式.
【解析】由题意:?≤m≤.
因为m∈N+,所以m=2.
所以a1=-=120-20=100.
而7777-15=(1+19×4)77-15
=+(19×4)+(19×4)2+…+(19×4)77-15
=(19×4)[+(19×4)+…+(19×4)76]+1-15
=(19×4)[+(19×4)+…+(19×4)76]-19+5.
所以7777-15除以19余5,即n=5.
所以Tk+1=·
=··(-1)k·.
令5k-15=0,得k=3,
得T4=··(-1)3=-4.
所以d=T4=-4.
所以an=a1+(n-1)d=100+(n-1)·(-4)=104-4n.
课后提升训练 二 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目,每个工程队承建1项,其中甲工程队不能承建1号子项目,则不同的承建方案共有 ( )
A.4种 B.96种 C.1种 D.24种
【解析】选B.完成承建任务可分五步,第一步安排1号子项目有4种,第二步安排2号子项目有4种,第三步安排3号子项目有3种,第四步安排4号子项目有2种,第五步安排5号子项目有1种,由分步乘法计数原理共有N=4×4×3×2×1=96.
2.(2017·烟台高二检测)用0,1,2,3组成没有重复数字的四位数,其中奇数有
( )
A.8个 B.10个 C.18个 D.24个
【解析】选A.先确定个位数字为奇数,有2种方法;再确定千位,有2种方法;十位和百位没有限制,把剩下的2个数字排在十位和百位上,有2种方法.根据分步乘法计数原理,满足条件的四位奇数有2×2×2=8个.
3.将1,2,3填入3×3的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,如图是一种填法,则不同的填写方法共有 ( )
A.6种 B.12种
C.24种 D.48种
【解析】选B.假设第一行为1,2,3,则第二行第一列可为2或3,此时,其他剩余的空格都只有一种填法,又第一行有3×2×1=6种填法.故不同填写方法共有6×2=12种.
4.(2017·日照高二检测)有4位教师在同一年级的4个班中各教1个班的数学,在数学检测时要求每位教师不能在本班监考,则监考的方法有 ( )
A.8种 B.9种 C.10种 D.11种
【解析】选B.设4位监考教师分别为A,B,C,D,4个班级分别为a,b,c,d,假设A监考b,则余下3人监考剩下的3个班,共有3种不同方法.同理A监考c或d时,也分别有3种不同方法.根据分类加法计数原理,监考的方法共有3+3+3=9(种).
5.现有4种不同花卉植入图中A,B,C,D中,要求相邻区域植入不同花卉,不同的植入方法有 ( )
A. 12种 B.24种 C.48种 D.72种
【解析】选D.先种C,有4种方法,种D有3种方法,种A有3种方法,种B有2种方法.
由分步乘法计数原理,共有4×3×3×2=72种方法.
6.(2017·长春高二检测)用0,1,2,3,4组成没有重复数字的全部五位数中,若按从小到大的顺序排列,则数字12340应是第________个数. ( )
A.6 B.9 C.10 D.8
【解析】选C.首位是1,第二位是0,则后三位可以用剩下的数字.有3×2×1=6种结果;前两位是12,第三位是0,后两位可以用余下的两个数字,共有2种结果;前三位是123,第四位是0,最后一位是4,只有1种结果,所以数字12340前面有6+2+1=9个数字,数字12340是第十个数字.
7.某电话局的电话号码为139××××××××,139后面的三位为固定的三个数字,若最后五位数字是由6或8组成的,则这样的电话号码一共有 ( )
A.20个 B.25个 C.32个 D.60个
【解析】选C.采用分步计数的方法,五位数字由6或8组成,可分五步完成,每一步有两种方法,根据分步乘法计数原理有25=32个.
8.某体育彩票规定:从01至36共36个号中抽出7个号为一注,每注2元,某人想从01至10中选3个连续的号,从11至20中选2个连续的号,从21至30中选1个号,从31至36中选1个号组成一注,则这个人把这种特殊要求的号买全,至少要 ( )
A.3 360元 B.6 720元 C.4 320元 D.8 640元
【解题指南】根据题意,依次计算“从01至10的三个连号的个数”“从11至20的两个连号的个数”“从21至30的单选号的个数”“从31至36的单选号的个数”,进而由分步乘法计数原理,计算可得答案.
【解析】选D.从01至10的三个连号的个数有8种;
从11至20的两个连号的个数有9种;
从21至30的单选号的个数有10种,
从31至36的单选号的个数有6种,
故总的选法有8×9×10×6=4320种,可得需要钱数为8640元.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·西宁高二检测)航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验,要求2艘攻击性核潜艇一前一后,2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右,同侧不能都是同种舰艇,则舰艇分配方案的方法数为________.(用数字作答)
【解析】攻击性核潜艇有前后两种排序,驱逐舰与护卫舰,需要先进行分组,可分为2组,共2种方法,两组分别在航母两侧,有2种分法,每组中的驱逐舰与护卫舰有先后顺序,共有4种排序法,所以共有2×2×2×4=32种分配方法.
答案:32
10.在2016年田径挑战赛上,8名男运动员参加100米决赛,其中甲、乙、丙3人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有__________种.
【解析】分两步安排这8名运动员,第一步,安排甲、乙、丙3名运动员,共有1,3,5,7四条跑道可安排,所以安排方式有4×3×2=24(种);第二步,安排另外5名运动员,可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排,所以安排方式有5×4×3×2×1=120(种).所以安排这8名运动员比赛的方式有24×120=2880(种).
答案:2880
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.用0,1,2,3,4五个数字,
(1)可以排出多少个三位数字的电话号码?
(2)可以排成多少个三位数?
(3)可以排成多少个能被3整除的无重复数字的三位数?
【解析】(1)中三位数字的电话号码,首位可以为0,数字可以重复,每个位置都有5种排法,共有N=5×5×5=125.
(2)中的三位数首位不能为0,但可以有重复的数字,首先考虑首位的排法,除0外共有4种方法.第二、三位可以排0,共有N=4×5×5=100.
(3)构成能被3整除的无重复数字的三位数,各个位上数字之和是3的倍数,按取0和不取0分类.
①取0,从1和4中取一个数,再取2进行排列.先填百位,再填其他位,故有2×2×2=8种;
②不取0,则只能取3,从1或4中再取一个,再取2,然后进行排列,故有2×3×2×1=12种.
所以共有8+12=20(种).
【补偿训练】由数字0,1,2,3,4,5,6这七个数字能组成多少个无重复数字的四位偶数?
【解析】①当首位取奇数数字(可取1、3、5中任一个)时,则末位数字可取0、2、4、6中任一个,而百位数字不能取与这两个数字重复的数字,十位则不能取与这三个数字重复的数字,故共有3×4×5×4=240种取法.②当首位取2、4、6中某个偶数数字,如2时,则末位只能取0、4、6中任一个,百位又不能取与上述重复的数字,十位不能取与这三个数字重复的数字,故共有3×3×5×4=180种取法.故能组成N=240+180=420个无重复数字的四位偶数.
12.(2017·黄冈高二检测)用一颗骰子连掷三次,投掷出的数字顺次排成一个三位数,此时:
(1)各位数字互不相同的三位数有多少个?
(2)可以排出多少个不同的数?
(3)恰好有两个相同数字的三位数共有多少个?
【解析】(1)得到一个三位数,分三步进行:先填百位,再填十位,最后填个位.百位上的数字填法有6种,十位上的数字填法有5种,个位上的数字填法有4种,根据分步乘法计数原理,各位数字互不相同的三位数有6×5×4=120个.
(2)分三步进行:先填百位,再填十位,最后填个位,每位都有6种方法,根据分步乘法计数原理,可以排出6×6×6=216个不同的数.
(3)两个数字相同有三种可能性,即第一、二位,第二、三位,第三、一位相同,而每种情况有6×5种,故有3×6×5=90(个).
【能力挑战题】
在一块10垄并排的田地中,选2垄分别种植A,B两种作物,每种作物种植一垄,为有利于作物生长,要求A,B两种作物的间隔不小于6垄,则不同的种植方法共有多少种?
【解析】如图,用并排一行的10个小矩形表示10垄并排的田地,小矩形内加“○”表示选中,具体画出来有6种选取方法.再对每种选取方式分别种植A,B两种作物,可分两步.第一步有2种方法,第二步有1种方法,共有2种种植方法.故共有6×2=12种种植方法.
课后提升训练 五 排列的综合应用
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·大连高二检测)6个停车位置,有3辆汽车需要停放,若要使3个空位连在一起,则停放的方法种数为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.3个空位看成一个整体与其他元素排列,所以停放的方法种数是.
2.有5本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,则送法共有 ( )
A.5种 B.3种
C.60种 D.15种
【解析】选C.从5本不同的书中选出3本送给3名同学的送法,对应于从5个元素中取出3个元素的一个排列,因此,共有送法=60(种).
3.(2017·秦皇岛高二检测)用1,2,3,4,5这5个数字组成没有重复数字的三位数,其中奇数有 ( )
A.36个 B.30个
C.40个 D.60个
【解析】选A.当个位数字分别为1,3,5中某一个时有种,百位、十位上数字共有种,因此共有·=36个奇数.
4.(2017·长沙高二检测)现有2个男生,3个女生和1个老师共六人站成一排照相,若两端站男生,3个女生中有且仅有两人相邻,则不同的站法种数是 ( )
A.12 B.24 C.36 D.48
【解析】选B.第一步,2个男生站两端,有种站法;第二步,3个女生站中间,有种站法;第三步,老师站中间女生的左边或右边,有种站法.据分步乘法计数原理,共有··=24种站法.
5.6名同学排成2排,每排3人,则不同的排法有 ( )
A.36种 B.120种
C.720种 D.1440种
【解析】选C.=·=720.
6.(2017·临沂高二检测)5个男生,2个女生排成一排,若女生不能排在两端,但必须相邻,则不同的排法种数为 ( )
A.480 B.720 C.960 D.1440
【解析】选C.两个女生必须相邻,捆绑=2,女生不能排两端,则从5个男生中任选两人排两端,=20,剩余3个男生与捆绑在一起的2个女生看成4个元素,排在其余位置,=24,所以不同的排法种数为:··=2×20×24=960.
7.字母a,b,c,d,e,f排成一列,其中a和b相邻且a在b的前面,则共有的排列方法种数为 ( )
A.120种 B.240种 C.360种 D.720种
【解题指南】相邻问题用捆绑法求解.
【解析】选A.把a,b看成一个整体,则5个元素全排列为=120种.
【延伸探究】把本题中“a和b相邻且a在b的前面”改为“a和b不相邻”,排列方法共有多少种?
【解析】插空法:把a,b插入c,d,e,f之间和两端的五个空隙中有种,又c,d,e,f的排法有种,共有=480(种)排法.
8.从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有 ( )
A.108种 B.186种
C.216种 D.270种
【解析】选B.从全部方案中减去只选派男生的方案数.合理的选派方案共有-=186种.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.6把椅子摆成一排,3人随机就坐,任何两人不相邻的坐法种数为________.
【解析】不相邻问题用插空法:先排三把空椅,产生四个间隔,再在四个间隔中安排3人,共有=24种坐法.
答案:24
10.(2017·南昌高二检测)我们把各位数字之和为7的四位数称为“北斗数”(如2014是“北斗数”),则“北斗数”中千位为3的共有________个.
【解析】后三位之和为4,有以下组合:0,0,4;0,1,3;0,2,2;1,1,2;各种组合对应的排列个数分别为3,=6,3,3,合计15种.
答案:15
【补偿训练】(2017·广州高二检测)数字“2015”中,各位数字相加和为8,称该数为“如意四位数”,则用数字0,1,2,3,4,5组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”有________个.
【解析】由数字0,1,2,5组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”首位数字必为2或5,有2-1=11个,由数字0,1,3,4组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”首位数字必为3或4,有2=12,故共有23个.
答案:23
三、解答题
11.(10分)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的:
(1)五位数.
(2)五位偶数.
(3)比240135大的六位数.
【解析】(1)方法一:直接法:
考虑特殊位置“首位”有种填法.其余四个位置,从剩下的5个数字中任选4个数字排列有种填法.故共有·=600种填法.故共有600个五位数.
方法二:间接法:
不考虑是否排0.共有种填法.
考虑0排首位的有种填法.
所以共有-=600个不同的五位数.
(2)间接法:
不考虑是否排0,第1步,从0,2,4三个数中任选一个填入个位,共有种.
第2步,填其余四位有种.
考虑排0且在首位,共有·种填法.
所以共形成·-·=312个偶数.
(3)间接法:
比240135小的六位数.有以下几种情况.
首位为1或前2位分别为20,21,23.
首位为1的有种.
前2位为20,21,23,各有种.
而六位数有种.
比240135大的有:-(+3)-1=407个.
【能力挑战题】
7名师生站成一排照相留念,其中老师1人,男学生4人,女学生2人,在下列情况下,各有多少种不同站法?
(1)老师甲必须站在中间或两端.
(2)两名女生必须相邻而站.
(3)4名男生互不相邻.
(4)若4名男生身高都不等,按从高到低的顺序站.
【解题指南】这是一个有限制条件的排列问题,每一问均应优先考虑限制条件,遵循特殊元素或位置优先安排的原则.
【解析】(1)先考虑甲有种站法,再考虑其余6人全排,故不同站法总数为:=2160(种).
(2)2名女生站在一起有站法种,视为一种元素与其余5人全排,有种排法,所以有不同站法·=1440(种).
(3)先站老师和女生,有站法种,再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生,每空一人,则插入方法种,所以共有不同站法·=144(种).
(4)7人全排列中,4名男生不考虑身高顺序的站法有种,而由高到低有从左到右和从右到左的不同,所以共有不同站法2·=420(种).
【延伸探究】本题条件不变问题改为“老师不站中间,女生不站两端”,结果如何?
【解析】中间和两端是特殊位置,可分类求解如下:
①老师站在两端之一,另一端由男生站,有··种站法;
②两端全由男生站,老师站除两端和正中的另外4个位置之一,有··种站法.所以共有不同站法··+··=960+1152=2112(种).
课后提升训练 八 二项式定理
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·大连高二检测)二项式的展开式中常数项是 ( )
A.第4项 B.24 C. D.2
【解析】选B.通项Tk+1=x6-k=2k,
由6-k=0?k=4,常数项是T5=24.
2.(2015·陕西高考)二项式(x+1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15,则n=
( )
A.5 B.6 C.8 D.10
【解析】选B.二项式(x+1)n(n∈N*)的展开式中的通项为Tk+1=·xn-k,令n-k=2,得k=n-2,
所以x2的系数为===15,解得n=6.
3.若x+x2+…+xn能被7整除,则x,n的值可能为 ( )
A.x=4,n=3 B.x=4,n=4
C.x=5,n=4 D.x=6,n=5
【解题指南】整除问题往往是利用二项式定理逆推,整除问题也是二项式定理重要的应用.利用二项式定理把x+x2+…+xn化成二项式的形式,然后对照处理.
【解析】选C.由二项式定理可得:x+x2+…+xn=(1+x)n-1,
观察选项可知:当x=5,n=4时,
(1+x)n-1=64-1=35×37能被7整除.
4.展开式中的中间两项为 ( )
A.-x12,x12 B.x9,-x10
C.-x13,x9 D.x17,-x13
【解析】选C.因为n=11,所以展开式中的中间两项为第6、7项,故选C.
5.(2015·湖南高考)已知的展开式中含的项的系数为30,则a=
( )
A. B.- C.6 D.-6
【解析】选D.通项为Tk+1=()5-k=(-a)k,由=,得k=1,
即-a=30,所以a=-6.
6.(2017·西安高二检测)设f(x)是展开式的中间项,若f(x)≤mx在区间[,]上恒成立,则实数m的取值范围是 ( )
A.(-∞,5) B.(-∞,5]
C.(5,+∞) D.[5,+∞)
【解析】选D.由题意知f(x)=x6·=x3≤mx,得m≥x2在上恒成立,所以m≥5.
7.若=(n∈N*),且(2-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则a0-a1+a2-…+(-1)nan等于( )
A.81 B.27 C.243 D.729
【解析】选A.由=可知n=4,令x=-1可知a0-a1+a2-…+(-1)nan=81.
8.的展开式中的常数项为a,则直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为 ( )
A. B.9 C. D.
【解析】选C.设的展开式的通项公式为Tr+1=x-(3-r)x2r=x3r-3,
令3r-3=0,得r=1,故展开式的常数项为a=3,
则直线y=ax即y=3x,
由求得直线y=ax与曲线y=x2围成交点坐标为(0,0),(3,9),故直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为(3x-x2)dx==.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2016·山东高考)若的展开式中x5的系数是-80,则实数a=________.
【解析】写出二项式的通项Tr+1==an-r,这里n=5,令10-r=5,则r=2,
所以a3=-80,所以a=-2.
答案:-2
10.(2017·浙江高考)已知多项式=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x1+a5,则a4=________,a5=________.
【解析】因为多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x1+a5,a4为x1项的系数,所以根据二项式定理得a4=×12×22+13××2=16,a5是常数项,所以a5=13×22=4.
答案:16 4
三、解答题
11.(10分)(2015·浙江高考)已知n为正整数,在(1+x)2n与(1+2x3)n展开式中x3项的系数相同,求n的值.
【解析】(1+x)2n中x3项的系数为,(1+2x3)n中x3项的系数为2n,
由=2n,得=2n,
即2n2-3n-2=0,
解得n=2.
【能力挑战题】
求的展开式中的常数项.
【解析】因为=,
所以展开式的通项为Tr+1=··(-1)r(r=0,1,2,…,5).
当r=5时,T6=·(-1)5=-1.
当0≤r<5时,的展开式的通项为T'k+1=·x5-r-k·=
·x5-r-2k(k=0,1,2,…,5-r).
欲求常数项,令5-r-2k=0,即r+2k=5.
因为0≤r<5,且k,r∈N*,
所以r只能取1或3,相应的k值分别为2或1,
即或
所以常数项为(-1)1+(-1)3+(-1)=-51.
课后提升训练 六 组合与组合数公式
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.的计算结果是 ( )
A.4950 B.4960 C.4980 D.4970
【解析】选A.====4950.
2.若=12,则n等于 ( )
A.8 B.5或6 C.3或4 D.4
【解析】选A.=n(n-1)(n-2),=n(n-1),
所以n(n-1)(n-2)=12×n(n-1),
解得n=8,
又n∈N*,且n≥3,所以n=8.
【延伸探究】若将条件“=12”变为“=6”,结果如何?
【解析】n(n-1)(n-2)=6·
解得n=7.
3.++++…+的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.原式=(+)+++…+
=(+)++…+
=(+)+…+==.
4.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会.若这4人中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有 ( )
A.140种 B.120种 C.35种 D.34种
【解析】选D.从反面考虑,7人任意选4人的方法数减去全选男生的方法数即为所求,故既有男生又有女生的不同的选法共有-=34.
5.从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动,每人一天,每天两人,则不同的选派方法共有 ( )
A.60种 B.48种 C.30种 D.10种
【解析】选C.从5人中选派2人参加星期六的公益活动有种方法,再从剩下的3人中选派2人参加周日的公益活动有种方法,故共有·=30种.
6.满足方程=的x值为 ( )
A.1,3,5,-7 B.1,3
C.1,3,5 D.3,5
【解题指南】利用组合数性质:=求解.
【解析】选B.依题意,有x2-x=5x-5或x2-x+5x-5=16.解得x=1或x=5或x=-7或x=3,经检验知,只有x=1或x=3符合题意.
【误区警示】本题易出现漏掉x2-x+5x-5=16的情况.
7.对所有满足1≤m≤n≤5的自然数m,n,方程x2+y2=1所表示的不同椭圆的个数为 ( )
A.15 B.7 C.6 D.0
【解析】选C.因为1≤m≤n≤5,所以共有,,,,,,,,,,其中=,=,=,=,所以x2+y2=1能表示不同的椭圆6个.
8.由+可得不相同的值的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.因为
所以7≤x≤9,
又x∈N*,所以x=7,8,9.
当x=7时,+=46;
当x=8时,+=20;
当x=9时,+=46.故有两个值.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有________________种不同的选法.(用数字作答)
【解析】由题意可知,只选1名女生的选法有···=480种,选2名女生的选法有··=180种,所以选法总数为480+180=660种.
答案:660
10.x∈N*,则+=________.
【解析】由题意可得:,
解得2≤x≤4,
因为x∈N*,
所以x=2或x=3或x=4.
当x=2时原式的值为4;
当x=3时原式的值为7;
当x=4时原式的值为11.
所以所求的值为4或7或11.
答案:4或7或11
【补偿训练】计算:+=________.
【解析】由组合数的意义可得,
解得≤n≤.
因为n∈N*,所以n=6,
所以原式=+=+=31.
答案:31
三、解答题
11.(10分)(1)解方程:3=5.
(2)解不等式:>.
【解题指南】利用组合数或排列数公式将方程或不等式化为一般的方程或不等式求解.
【解析】(1)由排列数和组合数公式,原方程可化为3·=5·,
则=,即为(x-3)(x-6)=40.
所以x2-9x-22=0,
解之可得x=11或x=-2.
经检验知x=11是原方程的根,
所以方程的根为x=11.
(2)由>得
??又n∈N*,
所以该不等式的解集为{6,7,8,9}.
【误区警示】1.解答(1)易忽略根的检验而产生增根,(2)易忽略n∈N*而导致错误.
2.与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式,以及组合数的性质,求解时,要注意由中的m∈N*,n∈N*,且n≥m确定m,n的范围,因此求解后要验证所得结果是否适合题意.
【能力挑战题】
证明:=.
【证明】=·==.
课后提升训练 十 离散型随机变量
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.下列变量中,不是离散型随机变量的是 ( )
A.抛掷两枚骰子,所得点数之和
B.某足球队在5次点球中射进的球数
C.任意抽取一瓶某种标有2 500 mL的饮料,其实际量与规定量之差
D.连续不断射击,首次命中目标所需要的射击次数
【解析】选C.离散型随机变量的取值能够一一列出,故A,B,D都是离散型随机变量,而C不是离散型随机变量.
2.将一颗骰子掷两次,不能作为随机变量的是 ( )
A.两次出现的点数之和
B.两次掷出的最大点数
C.第一次减去第二次点数的差
D.两次掷出的点数
【解析】选D.根据随机变量概念的特征进行分析.A,B,C中的每一次试验的结果虽然是不确定的,但是有多少可能是可以预知的,所以A,B,C中的每一次试验的结果可以作为一个随机变量;在D中,两次掷出的点数有两个数值,故不是随机变量.
3.设实数x∈R,记随机变量ξ=
则不等式≥1的解集所对应的ξ的值为 ( )
A.1 B.0 C.-1 D.1或0
【解析】选A.≥1,解得0因为(0,1]?(0,+∞),所以ξ=1.
4.(2017·临沂高二检测)袋中装有大小相同的红球6个,白球5个,从袋中每次任意取出一个球,且不放回,直到取出的球是白球为止时,所需要的取球次数为随机变量X,则X的可能取值为 ( )
A.1,2,…,6 B.1,2,…,7
C.1,2,…,11 D.1,2,3,…
【解析】选B.第一次取到白球,符合题意,中止取球;第一次取到红球,第二次取到白球,符合题意,中止取球;…;第六次取到红球,第七次取到白球,符合题意,中止取球.而袋中只有6个红球,最多取七次符合题意,中止取球.
5.(2017·太原高二检测)某人进行射击,共有5发子弹,击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数为ξ,则“ξ=5”表示的试验结果是 ( )
A.第5次击中目标 B.第5次未击中目标
C.前4次未击中目标 D.第4次击中目标
【解题指南】击中目标或子弹打完就停止射击,由于共5发子弹,所以ξ=5说明前4次都未击中目标.
【解析】选C.击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数为ξ=5,则说明前4次均未击中目标.
6.(2017·孝感高二检测)掷两颗骰子,所得点数之和为γ,那么γ=4表示的随机试验结果是 ( )
A.一颗是3点,一颗是1点
B.两颗都是2点
C.两颗都是4点
D.一颗是3点,一颗是1点或两颗都是2点
【解析】选D.γ=4表示的是所有取值为4的试验结果,而D项是γ=4代表的所有试验结果.
7.(2017·郑州高二检测)袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,任意抽取2个球,设2个球号码之和为y,则y所有可能值的个数是 ( )
A.25 B.10 C.7 D.6
【解析】选C.因为y表示取出的2个球的号码之和,又1+2=3,1+3=4,1+4=5,1+5=6, 2+3=5,2+4=6,2+5=7,3+4=7,3+5=8,4+5=9,故y的所有可能取值为3,4,5,6,7,8,9,共7个.
8.袋中装有10个红球、5个黑球,每次随机摸取1个球,若取得黑球则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止.若摸球的次数为ξ,则表示事件“放回5个红球”的是 ( )
A.ξ=4 B.ξ=5
C.ξ=6 D.ξ≤5
【解析】选C.“放回5个红球”表示前五次摸到黑球,第六次摸到红球,故ξ=6.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.一袋中装有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出2个球,以X表示取出的球的最大号码,则“X=6”表示的试验结果是__________.
【解析】随机变量可能取值为(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6).
答案:(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6)
【补偿训练】在100件产品中含有4件次品,从中任意抽取2件,ξ表示其中次品的件数,则ξ=0的含义是______________.
【解析】ξ=0,表示取出的2件产品中,次品数为0,也就是取出的2件产品都是正品.
答案:取出的2件产品都是正品
10.(2017·榆林高二检测)一用户在打电话时忘记了最后3个号码,只记得最后3个数两两不同,且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同),设他拨到正确号码所需次数为X,随机变量X的可能值有________个.
【解析】后3个数是6,7,8,9四个数中取3个组成的,共有=24(个).
答案:24
三、解答题
11.(10分)同时掷两枚质地均匀的硬币.
(1)用X表示掷出正面的个数,要表示试验的全部可能结果,X应取哪些值?
(2)X<2和X>0各表示什么?
【解析】(1)掷两枚硬币时,掷出正面的个数可能是0,1,2中的一个,但事先不能确定,结果是随机产生的.
用X表示掷出正面的个数,X的值应随机地取0,1,2中的某个.
(2)X<2表示事件“正面个数小于2”,即事件“正面个数为0或1”;X>0表示事件“正面个数大于0”,即事件“正面个数为1或2”.
【补偿训练】写出下列各随机变量可能的取值,并说明随机变量的值所表示的随机试验的结果.
(1)正方体的骰子,各面分别刻着1,2,3,4,5,6,随意掷两次,所得的点数之和为ξ.
(2)一个人要开房门,他共有10把钥匙,其中仅有一把是能开门的,他随机取钥匙去开门并且用后不放回,其中打开门所试的钥匙个数为ξ.
(3)电台在每个整点都报时,某人随机打开收音机对表,他所等待的时间ξ(min).
【解析】(1)ξ可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.用(x,y)表示第一次掷出点数为x,第二次掷出点数为y,则ξ的取值与对应的基本事件如表:
ξ
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
基
本
事
件
(1,1)
(1,2)
(2,1)
(1,3)
(2,2)
(3,1)
(1,4)
(2,3)
(3,2)
(4,1)
(1,5)
(2,4)
(3,3)
(4,2)
(5,1)
(1,6)
(2,5)
(3,4)
(4,3)
(5,2)
(6,1)
(2,6)
(3,5)
(4,4)
(5,3)
(6,2)
(3,6)
(4,5)
(5,4)
(6,3)
(4,6)
(5,5)
(6,4)
(5,6)
(6,5)
(6,6)
(2)ξ可能取值为1,2,3,…,10.ξ=n(n=1,2,…,10)表示第n次打开房门.
(3)ξ可能取值为区间[0,60]内任何一个值,每一个可能取的值表示他所等待的时间.
【能力挑战题】
在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x,y,记ξ=|x-2|+|y-x|.写出随机变量ξ可能的取值,并说明随机变量ξ所表示的随机试验的结果.
【解析】因为x,y可能取的值为1,2,3,
所以0≤|x-2|≤1,0≤|y-x|≤2,所以0≤ξ≤3,
所以ξ可能的取值为0,1,2,3.
用(x,y)表示第一次抽到卡片号码为x,第二次抽到号码为y,则随机变量ξ取各值的意义为:
ξ=0表示两次抽到卡片编号都是2,即(2,2).
ξ=1表示(1,1),(2,1),(2,3),(3,3).
ξ=2表示(1,2),(3,2).ξ=3表示(1,3),(3,1).
课后提升训练 十一 离散型随机变量的分布列
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.若离散型随机变量X的分布列如表,则a的值为( )
X
0
1
P
2a
3a
A. B. C. D.
【解析】选A.由离散型随机变量X的分布列知:2a+3a=1,解得a=.
2.(2017·兰州高二检测)设离散型随机变量X的分布列为:
X
-1
0
1
2
3
P
则下列各式成立的是 ( )
A.P(X=1.5)=0 B.P(X>-1)=1
C.P(X<3)=1 D.P(X<0)=0
【解析】选A.因为{X=1.5}事件不存在,故P(X=1.5)=0.
3.(2017·广州高二检测)随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=,k=1,2,3,其中c为常数,则P(ξ≥2)等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.根据分布列中所有的概率和为1,
得++=1,解得c=.
所以P(ξ=k)=·,
所以P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)
=×=.
【补偿训练】已知随机变量ξ所有可能取值是1,2,…,5,且取这些值的概率依次是k,2k,…,5k,求常数k的值.
【解析】根据离散型随机变量分布列的性质,得k+2k+…+5k=1,所以15k=1,即k=.
4.(2017·郑州检测)离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失,丢失数据以x,y(x,y∈N)代替,分布列如下:
X=i
1
2
3
4
5
6
P(X=i)
0.20
0.10
0.x5
0.10
0.1y
0.20
则P等于 ( )
A.0.25 B.0.35 C.0.45 D.0.55
【解析】选B.根据分布列的性质知,
0.20+0.10+0.x5+0.10+0.1y+0.20=1,
得x=2,y=5,
所以P=P(X=2)+P(X=3)
=0.10+0.25=0.35.
5.(2017·广州高二检测)一个袋中有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号为7,8,9,10.现从中任取4个球,有如下几种变量:
①X表示取出的球的最大号码;②Y表示取出的球的最小号码;③取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,ξ表示取出的4个球的总得分;④η表示取出的黑球个数.
这四种变量中服从超几何分布的是 ( )
A.①② B.③④ C.①②④ D.①②③④
【解析】选B.依据超几何分布的数学模型及计算公式,或用排除法.
6.一批产品共50件,其中5件次品,45件正品,从这批产品中任抽2件,则出现次品的概率为 ( )
A. B.
C. D.以上都不对
【解题指南】本题符合超几何分布,且可用对立事件求概率.
【解析】选C.P=1-=1-=.
7.一个盒子里装有大小相同的10个黑球,12个红球,4个白球,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则下列概率等于的是 ( )
A.P(0C.P(X=1) D.P(X=2)
【解析】选B.本题相当于最多取出1个白球的概率,也就是取到1个白球或没有取到白球.
8.(2017·武汉检测)若随机变量η的分布列为
η
-2
-1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(ηA.x≤2 B.1≤x≤2
C.1【解析】选C.根据随机变量η的分布列知,实数η的所有可能取值是-2,-1,0,1,2,3且P(η≥2)=P(η=2)+P(η=3)=0.1+0.1=0.2,
则有:P(η<2)=1-0.2=0.8,
又P(η≤1)=P(η=-2)+P(η=-1)+P(η=0)+P(η=1)=0.8,
则当P(η二、填空题(每小题5分,共10分)
9.从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有ξ个红球,则随机变量ξ的分布列为________.
【解析】P(ξ=0)==0.1,P(ξ=1)==0.6,
P(ξ=2)==0.3,故分布列为
ξ
0
1
2
P
0.1
0.6
0.3
答案:
ξ
0
1
2
P
0.1
0.6
0.3
10.设随机变量ξ的可能取值为5,6,7,…,16这12个值,且取每个值的概率均相同,则P(ξ>8)=________,P(6<ξ≤14)=________.
【解析】P(ξ>8)=×8=,P(6<ξ≤14)=×8=.
答案:
【补偿训练】一批产品分为四级,其中一级产品是二级产品的两倍,三级产品是二级产品的一半,四级产品与三级产品相等,从这批产品中随机抽取一个检验质量,其级别为随机变量ξ,则P(ξ>1)=________.
【解析】依题意,P(ξ=1)=2P(ξ=2),P(ξ=3)=P(ξ=2),P(ξ=3)=P(ξ=4),由分布列性质得1=P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4),4P(ξ=2)=1,
所以P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,P(ξ=4)=.
所以P(ξ>1)=P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=.
答案:
三、解答题
11.(10分)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.
(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率.
(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率.
(3)设随机变量X为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数,求X的分布列.
【解析】(1)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA,那么P(EA)==,即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是.
(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E,那么P(E)==,所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()=1-P(E)=.
(3)随机变量X可能取的值为1,2.事件{X=2}是指有两人同时参加A岗位服务,
则P(X=2)==.
所以P(X=1)=1-P(X=2)=,X的分布列是
X
1
2
P
【能力挑战题】
一个盒子中装有六张卡片,上面分别写着如下六个定义域为R的函数:f1(x)=x, f2(x)=x2,f3(x)=x3,f4(x)=sinx,f5(x)=cosx,f6(x)=2.
(1)现从盒子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到一个新的函数,求所得函数是奇函数的概率.
(2)现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数ξ的分布列.
【解析】(1)记事件A为“任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”,由题意知P(A)==.
(2)由题意ξ=1,2,3,4.
P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,
P(ξ=3)=··=,
P(ξ=4)=···=.
故ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
课后提升训练 十七 正态分布
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.下列函数是正态密度函数的是 ( )
A.f(x)=,μ,σ(σ>0)都是实数
B.f(x)=
C.f(x)=
D.f(x)=
【解析】选B.仔细对照正态分布密度函数f(x)=(x∈R).注意指数中σ和系数的分母上的σ要一致,以及指数部分的正负.A错在正确函数的系数中分母部分的二次根式是不包含σ的,而且指数部分的符号应当是负的.B是正态分布N(0,1)的密度分布函数.C对应f(x)=(x∈R),从系数看σ=2,可是从指数部分看σ=,所以不正确.D错在指数部分缺少一个负号.
2.(2017·揭阳高二检测)设随机变量ξ服从正态分布N(2,9),若P(ξ>c+1)=P
(ξA.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.因为随机变量ξ服从正态分布N(2,9),若P(ξ>c+1)=P(ξ3.(2017·潍坊高二检测)设随机变量X的概率密度为φμ,σ(x)=(x∈R),则X的概率密度最大值为 ( )
A.1 B. C. D.
【解析】选D.由解析式可知当x=-3时,有最大值.
【补偿训练】下列图形中不是正态分布曲线的为 ( )
【解析】选D.正态分布曲线关于直线x=μ对称,由于选项D的图形不是轴对称图形,故D不是正态分布曲线.
4.某厂生产的零件外直径X～N(8.0,0.152)(单位:mm),现从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为7.9mm和7.5mm,则可认为 ( )
A.上、下午生产情况均为正常
B.上、下午生产情况均为异常
C.上午生产情况正常,下午生产情况异常
D.上午生产情况异常,下午生产情况正常
【解析】选C.根据3σ原则,零件外直径在区间(8.0-3×0.15,8.0+3×0.15),即(7.55,8.45)之外时为生产异常.
5.(2017·兰州高二检测)正态总体N,数值落在(-∞,-2)∪(2,+∞)的概率为 ( )
A.0.46 B.0.997 3
C.0.03 D.0.002 7
【解题指南】由正态总体N可知:μ=0,σ=,2=μ+3σ.
【解析】选D.设ξ～N,则P(-2<ξ≤2)
=P
=P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973,
所以数值落在(-∞,-2)∪(2,+∞)的概率约为1-0.9973=0.0027.
6.工人制造的零件尺寸ξ在正常情况下服从正态分布N(μ,σ2),在一次正常的试验中,取1000个零件,不属于(μ-3σ,μ+3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为 ( )
A.7 B.10 C.3 D.6
【解析】选C.因为P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973,所以不属于区间(μ-3σ,μ+3σ)内的零件个数约为1000×(1-0.9973)=2.7≈3个.
【补偿训练】(2017·东莞高二检测)某班有50名学生,一次考试后数学成绩ξ～N(110,102),若P(100≤ξ≤110)=0.34,则估计该班学生数学成绩在120分及以上的人数为 ( )
A.10 B.9 C.8 D.7
【解析】选C.因为考试的成绩ξ服从正态分布N(110,102),所以考试成绩ξ的概率分布关于x=110对称,
因为P(100≤ξ≤110)=0.34,所以P(ξ≥120)=P(ξ≤100)=(1-0.34×2)=0.16,所以该班数学成绩在120分及以上的人数为0.16×50=8.
7.(2017·太原高二检测)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)等于 ( )
A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2
【解析】选C.因为随机变量ξ服从正态分布(2,σ2),μ=2,得对称轴是x=2.P(ξ<4)=0.8,
所以P(ξ≥4)=P(ξ<0)=0.2,
所以P(0<ξ<4)=0.6,所以P(0<ξ<2)=0.3.
8.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N的密度曲线)的点的个数的估计值为 ( )
A.2 386 B.2 718
C.3 414 D.4 772
附:若Χ～N,则
P≈0.6827,
P≈0.9545.
【解题指南】根据正态分布的性质,P(0【解析】选C.根据正态分布的性质,
P(010000×0.3414=3414.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.在某次数学考试中,考生的成绩X服从正态分布N(90,100),则考试成绩在110分以上的概率是________.
【解题指南】根据考生的成绩X～N(90,100),得到正态曲线关于x=90对称,根据3σ原则知P(70【解析】因为考生的成绩X～N(90,100),
所以正态曲线关于x=90对称,且标准差为10,
根据3σ原则知P(70所以考试成绩X位于区间(70,110)上的概率为0.9545,则考试成绩在110分以上的概率是(1-0.9545)≈0.0228.
答案:0.0228
10.若X～N(2,σ2),且P(2【解析】因为X～N(2,σ2),所以正态曲线关于直线x=2对称,
又P(2所以P(0答案:0.6
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.设ξ～N(1,22),试求:(1)P(-1<ξ≤3).
(2)P(3<ξ≤5).
(3)P(ξ≥5).
【解析】因为ξ～N(1,22),所以μ=1,σ=2,
(1)P(-1<ξ≤3)=P(1-2<ξ≤1+2)
=P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827.
(2)因为P(3<ξ≤5)=P(-3<ξ≤-1),
所以P(3<ξ≤5)=[P(-3<ξ≤5)-P(-1<ξ≤3)]
=[P(1-4<ξ≤1+4)-P(1-2<ξ≤1+2)]
=[P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)-P(μ-σ<ξ≤μ+σ)]
≈(0.9545-0.6827)=0.1359.
(3)P(ξ≥5)=P(ξ≤-3)=[1-P(-3<ξ≤5)]
=[1-P(1-4<ξ≤1+4)]
=[1-P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)]
≈(1-0.9545)≈0.0228.
12.在一次测试中,测量结果X服从正态分布N(2,σ2)(σ>0),若X在(0,2)内取值的概率为0.2,
求(1)X在(0,4)内取值的概率.
(2)P(X>4).
【解析】(1)由于X～N(2,σ2),所以对称轴为x=2.
因为P(0所以P(0=2×0.2=0.4.
(2)P(X>4)=×[1-P(0=×(1-0.4)=0.3.
【能力挑战题】
某市教育局为了了解高三学生体育达标情况,对全市高三学生进行了体能测试,经分析,全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80,σ2)(满分为100分),已知P(X<75)=0.3,P(X≥95)=0.1,现从该市高三学生中随机抽取三位同学.
(1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[80,85),[85,95),[95,100]内各有一位同学的概率.
(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ).
【解析】(1)P(80≤X<85)=-P(X<75)=0.2,P(85≤X<95)=P(X≥85)-P(X≥95)=P(X<75)-P(X≥95)=0.3-0.1=0.2,
所以所求概率P=×0.2×0.2×0.1=0.024.
(2)P(75≤X≤85)=1-2P(X<75)=0.4,
所以ξ服从二项分布B(3,0.4),P(ξ=0)=0.63=0.216,P(ξ=1)=3×0.4×0.62=0.432,P(ξ=2)=3×0.42×0.6=0.288,
P(ξ=3)=0.43=0.064,
所以随机变量ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
P
0.216
0.432
0.288
0.064
E(ξ)=3×0.4=1.2(人).
课后提升训练 十三 事件的相互独立性
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.设A与B是相互独立事件,则下列命题中正确的是 ( )
A.A与B是对立事件
B.A与B是互斥事件
C.A与是不相互独立事件
D.A与是相互独立事件
【解析】选D.独立事件与对立事件、互斥事件没有绝对关系,故A和B错误.若A和B是相互独立事件,则A与是相互独立事件.
2.坛子中放有3个白球,2个黑球,从中进行不放回地取球2次,每次取一球,用A1表示第一次取得白球,A2表示第二次取得白球,则A1和A2是 ( )
A.互斥的事件 B.相互独立的事件
C.对立的事件 D.不相互独立的事件
【解析】选D.因为P(A1)=.若A1发生了,P(A2)==;若A1不发生,P(A2)=,即A1发生的结果对A2发生的结果有影响,所以A1与A2是不相互独立事件.
3.(2017·聊城高二检测)从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,则等于 ( )
A.2个球不都是红球的概率
B.2个球都是红球的概率
C.至少有1个红球的概率
D.2个球中恰有1个红球的概率
【解析】选C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A,B,则P(A)=,P(B)=,由于A,B相互独立,所以1-P()P()=1-×=.根据互斥事件可知C正确.
【补偿训练】(2017·潍坊高二检测)已知A,B是两个相互独立事件,P(A),P(B)分别表示它们发生的概率,则1-P(A)P(B)是下列哪个事件的概率 ( )
A.事件A,B同时发生
B.事件A,B至少有一个发生
C.事件A,B至多有一个发生
D.事件A,B都不发生
【解析】选C. P(A)P(B)是指A,B同时发生的概率,1-P(A)·P(B)是A,B不同时发生的概率,即至多有一个发生的概率.
4.已知A,B是相互独立事件,若P(A)=0.2,P(AB+B+A)=0.44,则P(B)等于
( )
A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6
【解析】选A.因为A,B是相互独立事件,
所以,B和A,均相互独立.
因为P(A)=0.2,P(AB+B+A)=0.44,
所以P(A)P(B)+P()P(B)+P(A)P()=0.44,
所以0.2P(B)+0.8P(B)+0.2[1-P(B)]=0.44,
解得P(B)=0.3.
5.(2017·威海高二检测)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同,灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅从中任取一只并不放回,则他直到第三次才取到卡口灯泡的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.第一次取到螺口灯泡,其概率为,第二次还是取到螺口灯泡,由于第一次取出的灯泡没有放回,所以其概率为;第三次取到卡口灯泡,其概率为,所以第三次才取到卡口灯泡的概率为:××=.
6.(2017·南昌高二检测)公务员考试分笔试和面试,笔试的通过率为20%,最后的录取率为4%,已知某人已经通过笔试,则他最后被录取的概率为 ( )
A.20% B.24% C. 16% D.4%
【解析】选A.设他最后被录取的概率为P,则概据题意可得20%·P=4%
计算得出P=20%.
【补偿训练】从应届高中生中选拔飞行员,已知这批学生体型合格的概率为,视力合格的概率为,其他几项标准合格的概率为,从中任选一名学生,则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响) ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.该生三项均合格的概率为××=.
7.(2017·太原高二检测)某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯,汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是,,,则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A,B,C,
则P(A)=,P(B)=,P(C)=.
停车一次即为事件BC+AC+AB,
故概率为P=(1-)××+×(1-)×+××(1-)=.
8.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)= ( )
A. B. C. D.
【解题指南】利用题目中的A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同这一关系建立方程组求解.
【解析】选D.由题意,可得
所以
所以P(A)=P(B)=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·烟台高二检测)一件产品要经过两道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a,第二道工序的次品率为b,则产品的正品率为________.
【解析】设第一道工序加工为次品的事件为A,第二道工序加工为次品的事件为B.则产品为正品的事件为,所以P( )=P()P()=(1-P(A))(1-P(B)) =(1-a)(1-b).
答案:(1-a)(1-b)
10.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________.
【解析】设选手所需要答出的5道试题分别为A1,A2,A3,A4,A5,并记选手正确回答出某题为事件Ai,答错为.因为恰好回答了四个问题晋级下一轮,故第三、四个问题回答正确,第二个问题回答错误,第一个问题回答正确错误都可,则选手回答4个问题的可能为,,A3,A4或者A1,,A3,A4,选手晋级下一轮的概率为P=0.2×0.2×0.8×0.8+0.8×0.2×0.8×0.8=0.128.
答案:0.128
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.如图所示,用X,Y,Z三类不同的元件连接成系统N.当元件X,Y,Z都正常工作时,系统N正常工作.已知元件X,Y,Z正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90,求系统N正常工作的概率P.
—— X —— Y —— Z ——
【解析】若将元件X,Y,Z正常工作分别记为事件A,B,C,则系统N正常工作为事件ABC.根据题意,有P(A)=0.80,P(B)=0.90,P(C)=0.90.
因为事件A,B,C是相互独立的,所以系统N正常工作的概率P=P(ABC) =P(A)P(B)P(C)=0.80×0.90×0.90=0.648,即系统N正常工作的概率为P=0.648.
12.甲、乙、丙三台机床,在一小时内这三台机床需检修的概率依次为P1,P2,P3,求:
(1)在一小时内三台机床至少有一台需检修的概率;
(2)没有机床需检修的概率.
【解析】设在Ai(i=1,2,3)为“第i台机床需检修”.
(1)记“在一小时之内三台机床至少有一台需检修”为事件B,则为“一小时之内三台机床均不需检修”.
P(B)=1-P()
=1-(1-P1)×(1-P2)×(1-P3).
(2)没有机床需检修的概率为(1-P1)×(1-P2)×(1-P3).
【能力挑战题】
甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格.
(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率.
(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
【解析】(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A,B,
则P(A)===,
P(B)===.
(2)因为事件A,B相互独立,所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P=P(A·)+P(·B)+P(A·B)
=P(A)·P()+P()·P(B)+P(A)·P(B)
=×+×+×=.
答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.
课后提升训练 十九 独立性检验的基本思想及其初步应用
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.观察下列各图,其中两个分类变量x,y之间关系最强的是 ( )
【解析】选D.D图中两个深色条的高相差最明显,说明两个分类变量之间关系最强.
2.(2017·郑州高二检测)分类变量X和Y的列联表如下,则下列说法中正确的是
( )
y1
y2
总计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
A.ad-bc越小,说明X与Y的相关性越弱
B.ab-bc越大,说明X与Y的相关性越强
C.(ad-bc)2越大,说明X与Y的相关性越强
D.(ad-bc)2越接近于0,说明X与Y的相关性越强
【解析】选C.因为k=
当(ad-bc)2越大时,k越大,说明X与Y关系越强.
3.(2017·西安高二检测)在研究吸烟与患肺癌的关系中,通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论,并在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的,下列说法中正确的 ( )
A.100个吸烟者中至少有99个患有肺癌
B.1个人吸烟,那么这个人一定患有肺癌
C.在100个吸烟者中一定有患肺癌的人
D.在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有
【解析】选D.依据K2值的意义可知,选项D正确.
【补偿训练】经过对K2的统计量的研究,得到了若干个观测值,当K2<2.706时,我们 ( )
A.在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为A与B有关系
B.在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为A与B没有关系
C.没有充分理由说明A与B有关系
D.不能确定
【解析】选C.依据K2值的意义可知,没有充分理由说明A与B有关系.
4.(2017·武汉高二检测)某卫生机构抽取了366人进行健康体验,阳性家族史者糖尿病发病的有16人,不发病的有93人,阴性家族史者糖尿病发病的有17人,不发病的有240人,则认为糖尿病与遗传有关系出错的概率不超过 ( )
A.0.001 B.0.005 C.0.01 D.0.025
【解析】选D.可先作出如下列联表(单位:人):
糖尿病发病
糖尿病不发病
总计
阳性家族史者
16
93
109
阴性家族史者
17
240
257
总计
33
333
366
根据列联表中的数据,得到K2的观测值
k=≈6.067>5.024.故在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为糖尿病患者与遗传有关系.
5.(2017·漳州高二检测)某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录进行比较,提出假设H:“这种血清不能起到预防感冒的作用”,利用2×2列联表计算得k≈3.918,经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列表述中正确的是 ( )
A.在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防感冒的作用”
B.若有人未使用该血清,那么他一年中有95%的可能性得感冒
C.这种血清预防感冒的有效率为95%
D.这种血清预防感冒的有效率为5%
【解析】选A.由题意可知根据k≈3.918≥3.841,又P(K2≥3.841)≈0.05,因此说明了在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防感冒的作用”,B,C,D表达均有误.
6.为调查中学生近视情况,某校150名男生中有80名近视,140名女生中有70名近视,在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力
( )
A.平均数 B.方差
C.独立性检验 D.概率
【解析】选C.由于检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关,故用独立性检验的方法最有说服力.
7.(2017·潍坊高二检测)有4500人按有无吸烟史和是否患高血压分类得到列联表如下:
有高血压
无高血压
总计
有吸烟史
81
2 319
2 400
无吸烟史
26
2 074
2 100
总计
107
4 393
4 500
则认为吸烟与高血压 ( )
A.无关 B.有关
C.吸烟决定是否患高血压 D.以上都不对
【解析】选B.计算ad=167994,bc=60294,ad与bc的值相差很大.由K2公式知,K2的值也大,所以有关.
8.(2017·郑州高二检测)有两个分类变量X,Y,其一组的2×2列联表如下所示:
Y1
Y2
X1
a
20-a
X2
15-a
30+a
其中a,15-a均为大于5的整数,若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X,Y有关,则a的值为 ( )
A.8 B.9 C.8,9 D.6,8
【解题指南】计算K2的观测值k,建立k>3.841的不等式.解不等式组并根据a,15-a均为大于5的整数求解.
【解析】选C.根据公式,
得k==>3.841,
根据a>5且15-a>5,a∈Z,求得a=8,9满足题意.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.2016年9月15日,天宫二号成功发射,由此许多人认为中国进入了航天强国之列,也有许多人持反对意见,为此进行了调查.在参加调查的3648名男性公民与3432名女性公民中,持反对意见的男性有1843人,女性有1462人,在运用这些数据说明“天宫二号”成功发射是否与中国进入航天强国有关系时”,用下列__________最具说服力.
①回归直线方程;②平均数与方差;③独立性检验
【解析】由于参与调查的公民按性别分成了两组,而且每一组又被分成了两种情况:赞同与反对,资料取自完全随机统计,符合2×2列联表的要求,故用独立性检验最有说服力.
答案:③
10.(2017·济南高二检测)为研究某新药的疗效,给100名患者服用此药,跟踪调查后得到下表中的数据:
无效
有效
总计
男性患者
15
35
50
女性患者
6
44
50
总计
21
79
100
假设H0:服用此药的效果与患者的性别无关,则K2的观测值k≈__________(小数点后保留三位有效数字),从而得出结论:服用此药的效果与患者的性别有关,这种判断出错的可能性为__________.
【解析】由题意得k≈≈4.882>3.841,故在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“服用此药的效果与患者的性别有关”.
答案:4.882 5%
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2017·临沂高二检测)网络对现代人的生活影响较大,尤其是对青少年,为了解网络对中学生学习成绩的影响,某地区教育主管部门从辖区初中生中随机抽取了1000人调查,发现其中经常上网的有200人,这200人中有80人期末考试不及格,而另外800人中有120人不及格.利用图形判断学生经常上网与学习成绩有关吗?
【解析】根据题目所给的数据得到如下2×2列联表:
经常上网
不经常上网
总计
不及格
80
120
200
及格
120
680
800
总计
200
800
1 000
得出等高条形图如图所示:
比较图中阴影部分的高可以发现经常上网不及格的频率明显高于经常上网及格的频率,因此可以认为经常上网与学习成绩有关.
12.某小学对232名小学生调查中发现:180名男生中有98名有多动症,另外82名没有多动症,52名女生中有2名有多动症,另外50名没有多动症,用独立性检验方法判断多动症与性别是否有关系?
【解析】由题目数据列出如下列联表:
有多动症
无多动症
总计
男生
98
82
180
女生
2
50
52
总计
100
132
232
由表中数据可得到:
k=≈42.117>10.828.
所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为有多动症与性别有关系.
【能力挑战题】
微信是现代生活进行信息交流的重要工具,对某城市年龄在20岁至60岁的微信用户进行有关调查发现,有的用户平均每天使用微信时间不超过1小时,其他人都在1小时以上;若将这些微信用户按年龄分成青年人(20岁至40岁)和中年人(40岁至60岁)两个阶段,那么其中是青年人;若规定:平均每天使用微信时间在1小时以上为经常使用微信,经常使用微信的用户中有是青年人.
(1)现对该市微信用户进行“经常使用微信与年龄关系”的调查,采用随机抽样的方法选取容量为180的一个样本,假设该样本有关数据与调查结果完全相同,列出2×2列联表.
青年人
中年人
总计
经常使用微信
不经常使用微信
总计
(2)由列表中的数据,能否判断在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“经常使用微信与年龄有关”?
(3)从该城市微信用户中任取3人,其中经常使用微信的中年人人数为X,求出X的期望.
附:K2=.
P(K2≥k)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
【解析】(1)由已知可得下面的2×2列联表:
青年人
中年人
总计
经常使用微信
80
40
120
不经常使用微信
55
5
60
总计
135
45
180
(2)将列联表中数据代入公式可得:
K2=≈13.333>10.828,
在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为经常使用微信与年龄有关.
(3)从该市微信用户中任取一人,取到经常使用微信的中年人的概率为=,
依题意:X～B,所以E(X)=3×=.
课后提升训练十二 条件概率
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.条件概率P(B|A)表示 ( )
A.事件B与事件A的概率之差
B.事件B与事件A的概率之商
C.事件B与事件A的概率之积
D.在事件A发生的条件下,事件B的概率
【解析】选D.由条件概率定义可知D项正确.
2.(2017·长春高二检测)甲、乙、丙三人到三个景点旅游,每人只去一个景点,设事件A为“三个人去的景点不相同”,B为“甲独自去一个景点”,则概率P(A|B)等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由题意可知,
n(B)=22=12,n(AB)==6.
所以P(A|B)===.
3.袋中有5个小球(3白2黑),现从袋中每次取一个球,不放回地抽取两次,则在第一次取到白球的条件下,第二次取到白球的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.设A=“第一次取到白球”,B=“第二次取到白球”,则P(A)=,P(AB)=×=.
所以P(B|A)===.
4.(2017·汉中高二检测)某班学生的考试成绩中,数学不及格的占15%,语文不及格的占5%,两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格,则他语文也不及格的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.设A为事件“数学不及格”,B为事件“语文不及格”,P(B|A)===,所以数学不及格时,该学生语文也不及格的概率为.
5.(2017·青岛高二检测)—个盒子里有6支好晶体管,4支坏晶体管,任取两次,每次取1支,每次取后不放回,已知第一支是好晶体管,则第二支也是好晶体管的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.记“第i(i=1,2)支晶体管是好的”为事件Ai(其中i=1,2).
由题意可知,要求的概率为P(A2|A1),
因为P(A1)=,P(A1A2)==,
所以P(A2|A1)===.
【补偿训练】在10支铅笔中,有8支正品,2支次品,从中任取2支,则在第一次抽到次品的条件下,第二次抽到正品的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.利用缩小基本事件空间求解.第一次抽到一支次品,还剩9支,其中有8支正品,所以第二次抽到正品的概率是.
6.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)= ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.P(A)==,P(AB)=P(B)==.由条件概率计算公式,得P(B|A)===.
7.在区间(0,1)内随机投掷一个点M(其坐标为x),若A=, B=,则P(B|A)等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.P(A)==.
因为A∩B=,
所以P(AB)==,
所以P(B|A)===.
8.(2017·唐山高二检测)已知甲在上班途中要经过两个路口,在第一个路口遇到红灯的概率为0.5,两个路口连续遇到红灯的概率为0.4,则甲在第一个路口遇到红灯的条件下,第二个路口遇到红灯的概率为 ( )
A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9
【解析】选C.设第一个路口遇到红灯的事件为A,第二个路口遇到红灯的事件为B,
则P(A)=0.5,P(AB)=0.4,
则P(B|A)==0.8.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·汉口高二检测)抛掷甲、乙两枚骰子,若事件A:“甲骰子的点数小于3”;事件B:“甲、乙两骰子的点数之和等于6”,则P(B|A)=__________.
【解析】因为P(AB)==,P(A)==,
所以P(B|A)===.
答案:
10.高三毕业时,甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念,已知甲、乙二人相邻,则甲、丙相邻的概率是________.
【解析】设“甲、乙二人相邻”为事件A,“甲、丙二人相邻”为事件B,则所求概率为P(B|A),
由于P(B|A)=,而P(A)==,AB是表示事件“甲与乙、丙都相邻”,
故P(AB)==,于是P(B|A)==.
答案:
三、解答题
11.(10分)(2017·济宁高二检测)根据多年的气象记录,甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为15%和20%,两地同时下雨的比例为10%,求:
(1)甲地为雨天时,乙地也为雨天的概率.
(2)乙地为雨天时,甲地也为雨天的概率.
【解析】设事件A为“甲地为雨天”,事件B为“乙地为雨天”,则根据题意有P(A)=15%,P(B)=20%,P(AB)=10%,所以:
(1)甲地为雨天时,乙地也为雨天的概率为
P(B|A)====.
(2)乙地为雨天时,甲地也为雨天的概率是
P(A|B)===.
【能力挑战题】
如图,三行三列的方阵中有9个数aij(i=1,2,3,j=1,2,3),从中任取三个数,已知取到a22的条件下,求至少有两个数位于同行或同列的概率.
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
【解析】令事件A={任取的三个数中有a22}.
令事件B={三个数至少有两个数位于同行或同列}.
则={三个数互不同行且互不同列}.
依题意可知n(A)==28,n(A)=2,
故P(|A)===,
所以P(B|A)=1-P(|A)=1-=.
即已知取到a22的条件下,至少有两个数位于同行或同列的概率为.
课后提升训练 十五 离散型随机变量的均值
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.已知随机变量X的分布列为
X
-2
1
3
P
0.16
0.44
0.40
则X的均值为 ( )
A.1.96 B.1.32 C.0.24 D.0.56
【解析】选B.由随机变量X的分布列得:E(X)=-2×0.16+1×0.44+3×0.40=1.32.
2.(2017·郑州高二检测)已知随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
且η=2X+3,则E(η)等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.因为E(X)=0×+1×+2×=,
所以E(η)=E(2X+3)=2E(X)+3=.
3.(2017·烟台检测)已知ξ～B,η～B,且E(ξ)=15,则E(η)等于
( )
A.5 B.10 C.15 D.20
【解析】选B.因为ξ～B,所以E(ξ)=n·=15,解得n=30,又η～B,所以E(η)=n·=30×=10.
【补偿训练】(2017·长沙高二检测)设ξ～B(18,p),又E(ξ)=9,则p的值为
( )
A. B. C. D.
【解析】选A.因为ξ～B(18,p),E(ξ)=9,
所以18p=9,所以p=.
4.某人从家乘车到单位,途中有3个交通岗亭.假设在各交通岗亭遇到红灯的事件是相互独立的,且概率都是0.4,则此人上班途中遇到红灯的次数X的均值为
( )
A.0.4 B.1.2 C.0.43 D.0.6
【解析】选B.由题意知途中遇到红灯的次数X服从二项分布,即X～B(3,0.4),所以E(X)=3×0.4=1.2.
5.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的油漆面数为X,则X的均值E(X)=
( )
A. B. C. D.
【解析】选B.依题意知X=0,1,2,3,P(X=0)=,
P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
所以E(X)=0×+1×+2×+3×
==.
6.(2017·济南高二检测)设口袋中有黑球、白球共7个,从中任取2个球,已知取到白球个数的数学期望值为,则口袋中白球的个数为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.2
【解题指南】可设白球为x个,依据题设得出关于x的一个方程,解方程即可得到白球的个数.
【解析】选A.设白球x个,则黑球(7-x)个,取出的2个球中所含白球个数为X,则X取值为0,1,2,
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
所以0×+1×+2×=,所以x=3.
7.甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数X的均值E(X)为
( )
A. B. C. D.
【解析】选B.依题意,知X的所有可能取值为2,4,6.设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为+=,若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(X=2)=,P(X=4)=×=,P(X=6)==.
故E(X)=2×+4×+6×=.
【补偿训练】现有10张奖券,8张2元的、2张5元的,某人从中随机抽取3张,则此人得奖金额ξ的数学期望是 ( )
A.6 B.7.8 C.9 D.12
【解析】选B.因为P(ξ=6)=,P(ξ=9)=,P(ξ=12)=,所以E(ξ)=6×+9×+12×=7.8.
8.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)>1.75,则p的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.发球次数X的分布列如下表,
X
1
2
3
P
p
(1-p)p
(1-p)2
所以E(X)=p+2(1-p)p+3(1-p)2>1.75,
解得p>(舍去)或p<,
又p>0,所以p∈.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.设p为非负实数,随机变量X的分布列为:
X
0
1
2
P
-p
p
则E(X)的最大值为________.
【解析】由表可得从而得p∈,期望值E(X)=0×+1×p+2×=p+1,当且仅当p=时,E(X)最大值=.
答案:
【补偿训练】已知随机变量X和η,其中η=4X-2,且E(η)=7,若X的分布列如表,则n的值为________.
X
1
2
3
4
P
m
n
【解题指南】由分布列的性质可得m与n的一个方程,由期望的定义与性质可得m与n的另一个方程,两方程联立可解得m,n.
【解析】η=4X-2?E(η)=4E(X)-2?7=4·E(X)-2?E(X)=?=1×+2×m+3×n+4×,又+m+n+=1,联立求解可得n=.
答案:
10.(2017·洛阳高二检测)某人共有五发子弹,他射击一次命中目标的概率是,击中目标后射击停止,射击次数X为随机变量,则E(X)=________.
【解析】随机变量X的分布列:
X
1
2
3
4
5
P
可知E(X)=1×+2×+3×+4×+5×=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2017·保定高一检测)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.
(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖.记他们的累计得分为X,求X≤3的概率.
(2)若小明、小红两个人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大.
【解析】(1)由已知得,小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,且两人中奖与否互不影响.
记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A.
则事件A的对立事件为“X=5”,
因为P(X=5)=×=,
所以P(A)=1-P(X=5)=,
即这两人的累计得分X≤3的概率为.
(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2).
由已知可得,X1～B,X2～B,
所以E(X1)=2×=,E(X2)=2×=,
从而E(2X1)=2E(X1)=,
E(3X2)=3E(X2)=.
因为E(2X1)>E(3X2),
所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.
12.(2016·山东高考)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一个人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:
(1)“星队”至少猜对3个成语的概率.
(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X).
【解析】(1)由题意,“星队”至少猜对3个成语包含“甲对一乙对二”“甲对二乙对一”与“甲乙全对”,
所以P=××××+××××+×××
=++=.
(2)“星队”两轮得分之和X的可能值为:0,1,2,3,4,6.
P(X=0)=×=;
P(X=1)=(×××+×××)×2=;
P(X=2)=×××+×××+×××+×××=;
P(X=3)=××2==;
P(X=4)=×××2=;
P(X=6)=×=.
可得随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
6
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.
【能力挑战题】
(2017·北京高考)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“·”表示服药者,“+”表示未服药者.
(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率.
(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ).
(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)
【解析】(1)由图可知,在50名服药患者中,有15名患者指标y的值小于60,则从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率为即.
(2)由图,A,C两人指标x的值大于1.7,而B,D两人则小于1.7,可知在四人中随机选出两人,ξ的可能取值为0,1,2.
且P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,
分布列如下
ξ
0
1
2
P
E(ξ)=0×+1×+2×=1,即所求数学期望为1.
(3)由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大.
课后提升训练 十八 回归分析的基本思想及其初步应用
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2014·重庆高考)已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数=3,=3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是 ( )
A.=0.4x+2.3 B.=2x-2.4
C.=-2x+9.5 D.=-0.3x+4.4
【解析】选A.由变量x与y正相关,可知x的系数为正,排除C,D.而所得的回归直线必经过点(,),由此排除B,故选A.
2.(2017·临沂高二检测)关于回归分析,下列说法错误的是 ( )
A.回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法
B.散点图中,解释变量在x轴,预报变量在y轴
C.回归模型中一定存在随机误差
D.散点图能明确反映变量间的关系
【解析】选D.用散点图反映两个变量间的关系时,存在误差.
3.有下列说法:
①残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适;
②用R2来刻画回归的效果,R2值越大,说明模型的拟合效果越好;
③比较两个模型的拟合效果,可以比较残差平方和的大小,残差平方和越小的模型,拟合效果越好.
其中正确命题的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选D.对于①,正确,并且带状区域宽度越窄,说明拟合的精度越高,回归方程的预报精度越高.对于②③,R2越大,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好,故②③正确.
【误区警示】解答本题易出现以下三点错误
一是对残差概念不理解出现错误;二是对R2的概念理解不准确出现错误;三是对检验模型函数模拟效果理解不好造成失误.
4.(2017·宝鸡高二检测)已知回归直线的斜率的估计值是1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线的方程是 ( )
A.=1.23x+4 B.=1.23x-0.08
C.=1.23x+0.8 D.=1.23x+0.08
【解析】选D.设回归直线方程为=1.23x+a,
因为样本点的中心为(4,5),所以5=1.23×4+a,所以a=0.08,所以回归直线方程为=1.23x+0.08.
5.(2017·山东高考)为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为已知xi=225, yi=1600, =4.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为 ( )
A.160 B.163 C.166 D.170
【解析】选C.=22.5,=160,=160-4×22.5=70,则回归直线方程为=4x+70,所以估计该学生的身高为4×24+70=166.
6.变量x,y具有线性相关关系,当x的取值为8,12,14和16时,通过观测知y的值分别为5,8,9,11,若在实际问题中,y的预报值最大是10,则x的最大取值不能超过 ( )
A.16 B.15 C.17 D.12
【解析】选B.因为x=16时,y=11;当x=14时,y=9,所以当y的最大值为10时,x的最大值应介于区间(14,16)内.
7.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5对父子的身高数据如下:
父亲身高x(cm)
174
176
176
176
178
儿子身高y(cm)
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为 ( )
【解析】选C.设y对x的线性回归方程为由表中数据得=176,=176, =,=176-×176=88,所以y对x的线性回归方程为=x+88.
8.由变量x与y相对应的一组数据(1,y1),(5,y2),(7,y3),(13,y4),(19,y5)得到的线性回归方程为=2x+45,则= ( )
A.135 B.90 C.67 D.63
【解析】选D.因为=(1+5+7+13+19)=9,=2+45,所以=2×9+45=63.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.面对竞争日益激烈的消费市场,众多商家不断扩大自己的销售市场,以降低生产成本.某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量x(千箱)与单位成本y(元)的资料进行线性回归分析,结果如下:=,=71,=79, xiyi=1481, =≈-1.8182,=71-(-1.8182)×≈77.36,则销量每增加1000箱,单位成本下降________元.
【解析】由分析可得, =-1.8182x+77.36,销量每增加1000箱,则单位成本下降1.8182元.
答案:1.8182
10.(2017·烟台高二检测)如图是x和y的一组样本数据的散点图,去掉一组数据__________后,剩下的4组数据的相关指数最大.
【解析】因为A,B,C,E四点分布在一条直线附近且贴近某一直线,D点离得远,去掉D点剩下的4组数据的线性相关性最大.
答案:D(3,10)
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2015·福建高考)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销售y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程其中=-20,=-.
(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)
【解析】(1)=×(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5,=×(90+84+83+80+75+68)=80,从而=+20=80+20×8.5=250,故=-20x+250.
(2)由题意知,工厂获得利润z=(x-4)y=-20x2+330x-1000=-20(x-8.25)2+361.25,所以当x=8.25时,zmax=361.25.
即当该产品的单价定为8.25元时,工厂获得最大利润.
12.假设关于某设备的使用年限x和支出的维修费用y(万元),有如表的统计资料:
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料知y对x呈线性相关关系,试求:
(1)线性回归方程
(2)估计使用年限为10年时,维修费用是多少.
(3)计算残差平方和.
(4)求R2并说明模型的拟合效果.
【解析】(1)将已知条件制成下表:
i
1
2
3
4
5
合计
xi
2
3
4
5
6
20
yi
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
25
xiyi
4.4
11.4
22.0
32.5
42.0
112.3
4
9
16
25
36
90
于是有
=5-1.23×4=0.08,
回归直线方程是=1.23x+0.08.
(2)当x=10时,y=1.23×10+0.08=12.38(万元),即估计使用10年时维修费用是12.38万元.
(3)残差平方和:=2.46+0.08=2.54,=3.77,=5,=6.23,=7.46,
(yi-)2=0.651,
(4)R2=1-=1-≈0.9587,模型的拟合效果较好,使用年限解释了95.87%的维修费用支出.
【能力挑战题】
某商场经营一批进价是30元/台的小商品,在市场试验中发现,此商品的销售单价x(x取整数)元与日销售量y台之间有如下对应数据:
单价x/元
35
40
45
50
日销量y/台
56
41
28
11
(1)画出散点图并说明y与x是否具有线性相关关系?如果有,求出线性回归方程.(方程的斜率保留一个有效数字)
(2)设经营此商品的日销售利润为P元,根据(1)写出P关于x的函数关系式,并预测当销售单价x为多少元时,才能获得最大日销售利润?
【解析】(1)散点图如图所示:
从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近,因此两个变量具有线性相关关系.
设回归直线方程为由题意知=42.5,
=34,则求得=
=34-(-3)×42.5=161.5.
所以=-3x+161.5.
(2)依题意有P=(-3x+161.5)(x-30)
=-3x2+251.5x-4845
=-3+-4845.
所以当x=≈42时,P有最大值.
即预测销售单价约为42元时,能获得最大日销售利润.
课后提升训练 十六 离散型随机变量的方差
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
a
b
若E(X)=1,则D(X)= ( )
A. B.1 C. D.
【解析】选C.由题意得+a+b=1,①
0×+1×a+2b=1,②
由①②两式解得:a=b=.
所以D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=+=.
2.已知X的分布列为
X
1
2
3
4
P
则D(X)的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.E(X)=1×+2×+3×+4×=,
D(X)=×+×+×+×=.
3.设X的分布列为P(X=k)=(k=0,1,2,3,4,5),则D(3X)= ( )
A.10 B.30 C.15 D.5
【解析】选A.由X的分布列知X～B,
所以D(X)=5××=,
所以D(3X)=9D(X)=10.
4.(2017·宝鸡高二检测)同时抛两枚均匀硬币10次,设两枚硬币同时出现反面的次数为X,则D(X)等于 ( )
A. B. C. D.5
【解析】选A.由题意知X～B,
所以D(X)=10××=.
5.(2017·青岛高二检测)某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,…,x10,其均值和方差分别为和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为 ( )
A.,s2+1002 B.+100,s2+1002
C.,s2 D.+100,s2
【解析】选D.设下月起每位员工的月工资增加100元后的均值和方差分别为,s'2,则==+100.
方差s'2=×[(x1+100--100)2+(x2+100--100)2+…+(x10+100--100)2]=s2.
6.有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,若X表示取到次品的件数,则D(X)等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.X的所有可能取值是0,1,2.
而P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
于是E(X)=0×+1×+2×=,
所以D(X)=×+×+×=.
7.甲、乙两台自动车床各生产同种标准产品1000件,ξ表示甲车床生产1000件产品中的次品数,η表示乙车床生产1000件产品中的次品数,经过一段时间的考察,ξ,η的分布列分别如表一、表二所示.
表一
ξ
0
1
2
3
P
0.7
0
0.2
0.1
表二
η
0
1
2
3
P
0.6
0.2
0.1
0.1
据此判定 ( )
A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好
C.甲与乙质量相同 D.无法判定
【解题指南】分别计算随机变量ξ与η的均值与方差,一般来说均值越小,方差也小的质量好.
【解析】选B.由分布列可求甲的次品数均值为E(ξ)=0.7,
乙的次品数均值为E(η)=0.7,
进而得D(ξ)=(0-0.7)2×0.7+(1-0.7)2×0+
(2-0.7)2×0.2+(3-0.7)2×0.1=1.21,
D(η)=(0-0.7)2×0.6+(1-0.7)2×0.2+(2-0.7)2×0.1+(3-0.7)2×0.1=1.01,
故乙的质量要比甲好.
8.(2017·唐山高二检测)已知X的分布列为
X
-1
0
1
P
则①E(X)=-,②D(X)=,③P(X=0)=,其中正确的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.根据分布列知,P(X=0)=,
E(X)=(-1)×+1×=-,
所以D(X)=×+×+×=.只有①③正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.若随机变量X～B,则E(X)=________,D(X)=________.又Y=2X+1,则E(Y)=________,D(Y)=________.
【解析】易知E(X)=,D(X)=.
所以E(Y)=2E(X)+1=,
D(Y)=4D(X)=.
答案:
【补偿训练】(2017·东莞高二检测)如果随机变量ξ～B(n,p),且E(ξ)=7, D(ξ)=6,则p等于________.
【解析】因为随机变量ξ～B(n,p),且E(ξ)=7,D(ξ)=6,
所以
所以7(1-p)=6,1-p=,解得p=.
答案:
10.抛掷两枚骰子,当至少有一枚5点或一枚6点出现时,就说这次试验成功,则在30次试验中成功次数X的方差D(X)=________.
【解析】利用古典概型计算概率的公式计算1次试验成功的概率P==,在30次试验中成功次数X服从二项分布,即X～B,
所以D(X)=30××=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.有10张卡片,其编号分别为1,2,3,…,10,从中任意抽取3张,记号码为3的倍数的卡片张数为X,求X的均值、方差、标准差.
【解析】X的可能值为0,1,2,3,
所以P(X=0)==;
P(X=1)==;
P(X=2)==;
P(X=3)==.
故X的均值为E(X)=0×+1×+2×+3×=;
方差为D(X)=×+×+×+×=;
标准差为==.
12.甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ,η,已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求ξ,η的分布列.
(2)求ξ,η的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击技术.
【解析】(1)依据题意0.5+3a+a+0.1=1,
解得a=0.1,
因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,
所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.
所以ξ,η的分布列分别为
ξ
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
η
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2
(2)结合(1)中ξ,η的分布列可得
E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2(环),
E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7(环),
D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,
D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.
由于E(ξ)>E(η),说明甲平均射中的环数比乙高;
又D(ξ)【能力挑战题】
根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:
降水量X
X<300
300≤X<700
700≤X<900
X≥900
工期延误天数Y
0
2
6
10
历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求:
(1)工期延误天数Y的均值与方差.
(2)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.
【解析】(1)由已知条件和概率的加法公式有:
P(X<300)=0.3,
P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,
P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)
=0.9-0.7=0.2,
所以P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.
所以Y的分布列为:
Y
0
2
6
10
P
0.3
0.4
0.2
0.1
于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3;
D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.
故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.
(2)由概率的加法公式,
P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7,
又P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6.
由条件概率,得
P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)===,
故在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率是.
课后提升训练 十四 独立重复试验与二项分布
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.若X～B(5,0.1),则P(X≤2)等于 ( )
A.0.665 B.0.00856
C.0.91854 D.0.99144
【解析】选D.P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
=·0.10×(0.9)5+·0.1×(0.9)4+·(0.1)2×(0.9)3=0.99144
2.(2017·长沙高二检测)任意抛掷三枚均匀硬币,恰有2枚正面朝上的概率为
( )
A. B. C. D.
【解析】选B.抛一枚硬币,正面朝上的概率为,则抛三枚硬币,恰有2枚朝上的概率为p=×=.
3.(2017·太原检测)某电子管正品率为,次品率为,现对该批电子管进行测试,设第ξ次首次测到正品,则P(ξ=3)= ( )
A.× B.×
C.× D.×
【解析】选C.ξ=3说明第3次测到正品,前两次测到次品,故P(ξ=3)=××=×.
4.在一次反恐演习中,三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击(各发射一枚导弹),由于天气原因,三枚导弹命中目标的概率分别是0.9,0.9,0.8,若至少有两枚导弹击中目标方可将其摧毁,则目标被摧毁的概率是 ( )
A.0.998 B.0.046 C.0.936 D.0.954
【解析】选D.方法一:(直接求解)P=0.9×0.9×0.2+0.9×0.1×0.8+0.1×0.9×0.8+0.9×0.9×0.8=0.954.
方法二:(排除法)P=1-(0.9×0.1×0.2+0.1×0.9×0.2+0.1×0.1×0.8+0.1×0.1×0.2)=0.954.
5.(2017·福州高二检测)甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,甲队与乙队实力之比为3∶2,比赛时均能正常发挥技术水平,则在5局3胜制中,甲打完4局才胜的概率为 ( )
A.× B.×
C.× D.×
【解析】选A.由题可知一局中甲赢的概率为,在5局3胜中打完四局甲获胜可知甲在前3局中胜2局且在第4局甲获胜.
所以P=××=×.
【补偿训练】一袋中有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X次球,则P(X=12)等于 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选B.当X=12时,表示前11次中取到9次红球,第12次取到红球,所以P(X=12)=··.
6.箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球,从箱中一次摸出两个球,记下号码并放回,如果两球号码之积是4的倍数则获奖.现有4人参与摸奖,恰好有3人获奖的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解题指南】当摸的两个球中有标号为4的球时,此时两球的号码之积是4的倍数,有5种情况;当摸的两个球中标号均不是4的球时,此时要使两球的号码之积是4的倍数,只有1种情况.
【解析】选B.依题意得某人能够获奖的概率为=,因此所求概率等于··=.
7.(2017·济南高二检测)口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,每次有放回地摸取一个球,定义数列{an},an=如果Sn为数列{an}的前n项和,那么S7=3的概率为 ( )
A.×()2×()5 B.×()2×()5
C.×()2×()5 D.×()2×()5
【解析】选B 由S7=3知,在7次摸球中有2次摸取红球,5次摸取白球,而每次摸取红球的概率为,摸取白球的概率为,则S7=3的概率为××.
8.(2017·长春高二检测)一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他用两种方法来检测.方法一:在10箱中各任意抽查一枚;方法二:在5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p1和p2,则 ( )
A.p1=p2 B.p1C.p1>p2 D.以上三种情况都有可能
【解析】选B.p1=1-=1-=1-,p2=1-=1-,
则p1二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2017·西安高二检测)设随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,3,c为常数,则P(0.5【解析】1=c(++)?c=,P(0.5答案:
10.在等差数列{an}中,a4=2,a7=-4,现从数列{an}的前10项中随机取数,每次取出一个数,取后放回,连续抽取三次,假定每次取数互不影响,那么在这三次取数中,取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为__________.
【解析】由a4=2,a7=-4可得等差数列{an}的通项公式为an=10-2n(n=1,2,…,10).
由题意,三次取数相当于三次独立重复试验.在每次试验中取得正数的概率为,取得负数的概率为,在三次取数中,取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为()2()1=.
答案:
【补偿训练】一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9,则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答).
【解析】·0.93·0.1+(0.9)4=0.9477.
答案:0.9477
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.在每道单项选择题给出的4个备选答案中,只有一个是正确的.若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案,求这4道题中:
(1)恰有两道题答对的概率.
(2)至少答对一道题的概率.
【解析】视“选择每道题的答案”为一次试验,则这是4次独立重复试验,且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为.
由独立重复试验的概率计算公式得,
(1)恰有两道题答对的概率为
P4(2)==.
(2)至少有一道题答对的概率为1-P4(0)=1-=1-=.
12.9粒种子分种在3个坑内,每坑放3粒,每粒种子发芽的概率为0.5,若一个坑内至少有1粒种子发芽,则这个坑不需要补种,若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种,假定每个坑至多补种一次,求需要补种坑数的分布列.
【解析】因为单个坑内的3位种子都不发芽的概率为(1-0.5)3=,所以单个坑不需补种的概率为1-=.3个坑都不需补种的概率为×()0×()3=;恰有1个坑需要补种的概率为×()1×()2=;恰有2个坑需要补种的概率为×()2×()1=;3个坑都需要补种的概率为×()3×()0=.
所以需要补种坑数的分布列为
X
0
1
2
3
P
【能力挑战题】
实力相当的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛).
(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率;
(2)求按比赛规则甲获胜的概率.
【解析】(1)甲、乙两队实力相当,所以每局比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为.
记事件A=“甲打完3局才能取胜”,
记事件B=“甲打完4局才能取胜”,
记事件C=“甲打完5局才能取胜”.
①甲打完3局取胜,相当于进行3次独立重复试验,且每局比赛甲均取胜,所以甲打完3局取胜的概率为P(A)=×()3=.
②甲打完4局才能取胜,相当于进行4次独立重复试验,且甲第4局比赛取胜,前3局为2胜1负,所以甲打完4局才能取胜的概率为P(B)=×()2××=.
③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验,且甲第5局比赛取胜,前4局恰好2胜2负,所以甲打完5局才能取胜的概率为P(C)=×()2×()2×=.
(2)事件D=“按比赛规则甲获胜”,则D=A∪B∪C.
因为事件A,B,C彼此互斥,所以P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=++=.
故按比赛规则甲获胜的概率为.
课后提升训练 四 排列与排列数公式
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·太原高二检测)89×90×91×…×100可表示为 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.由排列数公式得89=100-m+1,所以m=12,n=100.即其表示为.
2.与·不等的是 ( )
A. B.81
C.10 D.
【解析】选B.由·=3 628 800,81=3265920,=3628800,10=3628800,
=3628800.
3.计算2+3!的值为 ( )
A.100 B.123
C.126 D.128
【解析】选C.原式=2×5×4×3+3×2×1=126.
4.若=2,则m的值为 ( )
A.5 B.3 C.6 D.7
【解析】选A.由=2得
m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)
=2×m×(m-1)(m-2),
故(m-3)(m-4)=2,
即m2-7m+10=0,
解得m=5或m=2(舍).
5.乘积m(m+1)(m+2)…(m+20)可表示为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.(m+20)-m+1=21,共有21项相乘,
所以乘积为.
6.给出下列四个关系式:
①n!=;②=n;
③=;④=.
其中正确的个数为 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选C.由=可知:=,故④不正确.
7.不等式+n≤10的解为 ( )
A.n=3 B.n=4
C.n=3或n=4 D.n=3或n=4或n=5
【解析】选C.原不等式化为(n-1)(n-2)+n≤10,
即n2-2n-8≤0,
解得-2≤n≤4,
又n-1≥2,且n∈N*,
所以3≤n≤4,
所以n=3或n=4.
8.若S=++++…+,则S的个位数字是 ( )
A.8 B.5 C.3 D.0
【解析】选C.由排列数公式知,,,…中均含有2和5的因子,故个位数均为0,所以S的个位数字应是+++的个位数字,而+++=1+2×1+3×2×1+4×3×2×1=33,故个位数字为3.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.不等式-n<7的解集为________.
【解析】由-n<7,得
(n-1)(n-2)-n<7,
整理,得n2-4n-5<0,
解得-1又n-1≥2且n∈N*,
即n≥3且n∈N*,
所以n=3或n=4.
答案:{3,4}
10.已知=12,则m=________.
【解析】由=12,
整理得=12·,
解得m=7或m=14,
又?m≤9,
所以m=7.
答案:7
三、解答题
11.(10分)解不等式<6.
【解析】原不等式可化为,<6×,
即1<6×,
化简得m2-15m+50<0,即(m-5)(m-10)<0,
解得5所以m=6.
【误区警示】忽视限定条件导致错解
(1)本题易忽视公式中条件“m≤n”,易得到“5(2)在解答排列数的方程或不等式时,要注意排列数,m,n∈N*且m≤n这些限定条件,要注意含排列数的方程和不等式未知数的取值范围.
【能力挑战题】
求证:+2+3+…+n=(n+1)!-1.
【证明】因为n=n·n!=(n+1)!-n!
所以+2+3+…+n=2!-1!+3!-2!+4!-3!+…+(n+1)!-n!=(n+1)!-1.
