2.5 一元二次方程
一、一元二次方程的定义
1、一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有________未知数（一元），并且未知数的最高次数是________（二次）的________方程，叫做一元二次方程．
2、一元二次方程的一般形式为：________（其中x是未知数，a、b、c是已知数，a≠0），其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
注意：一元二次方程必须具备三个条件
(1)必须是________方程；
(2)必须只含有________个未知数；
(3)所含未知数的最高次数是________.
3、一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的________就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的________.【来源：21cnj*y.co*m】
二、一元二次方程的解法
1、解一元二次方程的基本思想：降次——转化思想，即把一元二次方程转化为________来求解.
1、________法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．可解形如的一元二次方程．即当时，，当b＜0时，方程没有实数根．
2、________法：
（1）先将已知方程化为一般形式；
（2）化二次项系数为1；
（3）常数项移到右边；
（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±；如果q＜0,方程________实根．
3、公式法：利用________公式解一元二次方程的解的方法，叫做公式法. 它是解一元二次方程的一般方法．
注意：一元二次方程的求根公式为x=________ （b2-4ac≥0）
4、________法：利用因式分解，求出一元二次方程的解，这种求解方法叫因式分解法. 这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法．
三、一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为：________
1、Δ＞0?方程有________的实数根；
2、Δ＝0?方程有________的实数根；
3、Δ＜0?方程________实数根．
四、一元二次方程的根与系数的关系
若是一元二次方程的两个根，那么：
________，________
注意：以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：
五、一元二次方程的实际应用
1、________题：分析题意，弄清哪些是已知的，哪些是未知的，它们之间的数量关系；
2、________未知数：根据题中的数量关系设出未知数；
3、根据已知条件找出________的关系
4、________出一元二次方程；
5、________方程；
6、________并写出________语．
注意：
1、平均增长率问题
①增长率＝×100%；
②设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b;
当m为平均下降率，则a(1-m)n=b.
2、利润问题:
①利润＝________-成本；
②利润率＝ ×100%；
注意：商品利润问题中，要注意折扣这一条件.
考点一： 一元二次方程的判断
下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. x2+=0 B. ax2+bx+c=0 C.（x+1）（x﹣2）=1 D. 3x2﹣2xy﹣5y2=0
【答案】C
【解析】A. 是分式方程，故此选项错误；
B. 当a≠0时，是一元二次方程，故此选项错误；
C. 是一元二次方程，故此选项正确；
D. 是二元二次方程，故此选项错误；
故选：C.
【点评】利用一元二次方程的定义进行辨别即可.
变式跟进1关于的方程是一元二次方程，则=__________.
考点二：一元二次方程的解法
一元二次方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：=25，
x=±5，
所以.
故选C.
【点评】利用直接开平方法或因式分解法进行求解.
变式跟进2在正数范围内有一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解是 （ ）
A. B. C. D.
方程2x2-3x+1=0化为(x+a)2=b的形式，正确的是（ ）
A. B. C. D. 以上都不对
【答案】C
【解析】解：移项得2x2-3x=-1，
把二次项系数化为1，x2-x=-，
配方得x2-x+=-+即，
故选C．
【点评】利用配方法进行恒等变形.
变式跟进3已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，则(m﹣1)2+(n﹣1)2的最小值是（ ）
A. 6 B. 3 C. ﹣3 D. 0
考点三： 根的判别式
关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 总有实数根
【答案】D
【解析】解：∵△=b2?4ac=(k?1)2?4×(?k)=(k+1)2?0，
∴方程总有两个实数根。
故选D.
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.解题关键是把判别式△转化成完全平方式与一个正数的和的形式，才能判断出它的正负性.总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△>0，?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0，?方程有两个相等的实数根；（3）△<0，?方程没有实数根.2·1·c·n·j·y
变式跟进4已知关于的方程无实数根
（1）求的取值范围；
（2）判断关于的方程是否有实数根。
考点四： 根的系数的关系
已知x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵一元二次方程3x2=6﹣2x中，a=3,b=2,c=-6,且x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，【来源：21·世纪·教育·网】
∴x1x2= ,x1+x2=
∴x1﹣x1x2+x2= .
故选D.
【点评】利用一元二次方程根与系数的关系即可求解.
变式跟进5已知一元二次方程x2+7x﹣1=0的两个实数根为α，β，则(α-1)(β-1)的值为____．
考点五： 一元二次方程的实际应用
有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有______人患有流感．21*cnjy*com
【答案】512
【解析】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，
1+x+x(x+1)=64
x=7或x=?9(舍去).
64+64×7=512(人).
经过第三轮后，共有512人患有流感。
故答案为：512.
【点评】利用平均增长率公式即可列出方程，并求解.
变式跟进6在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月分的5000元/m2下降到5月分的4050元/m2www.21-cn-jy.com
（1）问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？
（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月分该市的商品房成交均价是否会跌破3000元/m2？请说明理由．【版权所有：21教育】
一、选择题
1、（2017?河南）一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（?? ）
A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根
C、只有一个实数根 D、没有实数根
2、（2017?益阳）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，那么下列结论一定成立的是（?? ）
A、b2﹣4ac＞0 B、b2﹣4ac=0 C、b2﹣4ac＜0 D、b2﹣4ac≤0
3、（2017·嘉兴）用配方法解方程 时，配方结果正确的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
4、（2017?呼和浩特）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（?? ）
A、2 B、0 C、1 D、2或0
5、（2017?威海）若1﹣ 是方程x2﹣2x+c=0的一个根，则c的值为（?? ）
A、﹣2 B、4 ﹣2 C、3﹣ D、1+
6、（2017?温州）我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是（?? ）
A、x1=1，x2=3 B、x1=1，x2=﹣3 C、x1=﹣1，x2=3 D、x1=﹣1，x2=﹣3
7、（2017?杭州）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（?? ）
A、10.8（1+x）=16.8 B、16.8（1﹣x）=10.8
C、10.8（1+x）2=16.8 D、10.8[（1+x）+（1+x）2]=16.8
8、（2017?六盘水）三角形的两边a、b的夹角为60°且满足方程x2﹣3 x+4=0，则第三边的长是（?? ）21教育网
A、 B、2 C、2 D、3
9、（2017?荆州）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论： ①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程；
②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；
③若关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；
④若点（m，n）在反比例函数y= 的图象上，则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程．
上述结论中正确的有（?? ）
A、①② B、③④ C、②③ D、②④
二、填空题
10、（2015?丽水）解一元二次方程x2+2x﹣3=0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程________．21·世纪*教育网
11、（2017?营口）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
12、（2017?荆门）已知方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x1、x2 ， 则x12+x22=________．
13、（2017?岳阳）在中，，，且关于的方程有两个相等的实数根，则边上的中线长为 ．
14、（2016?随州）已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2﹣8x+15=0的根，则该等腰三角形的周长为________．
15、（2017?黑龙江）原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元，若每次降低的百分率相同，则降低的百分率为________．
三、解答题
16、（2017·丽水）解方程：（x-3）(x-1)=3.
17、（2017?菏泽）列方程解应用题： 某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？
18、（2017?深圳）一个矩形周长为56厘米.
(1)当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？
(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．
19、（2017?滨州）根据要求，解答下列问题：
(1)解答下列问题 ①方程x2﹣2x+1=0的解为________；
②方程x2﹣3x+2=0的解为________；
③方程x2﹣4x+3=0的解为________；
…
(2)根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： ①方程x2﹣9x+8=0的解为________；
②关于x的方程________的解为x1=1，x2=n．
(3)请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．
20、（2017?福建）自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车．某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：21*cnjy*com
使用次数
0
1
2
3
4
5（含5次以上）
累计车费
0
0.5
0.9
a
b
1.5
同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据：
使用次数
0
1
2
3
4
5
人数
5
15
10
30
25
15
（Ⅰ）写出a，b的值；
（Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利？说明理由．
一、选择题
1．（2017河南唐河期末）方程x2=2x的解是（ ）
A．x=0 B．x=2 C．x=0或x=2 D．x=±
2．（2017湖北安陆期末）下列方程中，两根是﹣2和﹣3的方程是（ ）
A．x2﹣5x+6=0 B．x2﹣5x﹣6=0 C．x2+5x﹣6=0 D．x2+5x+6=0
3．（2017河南郑州一模）解一元二次方程x2﹣8x﹣5=0，用配方法可变形为（ ）
A．（x+4）2=11 B．（x﹣4）2=11 C．（x+4）2=21 D．（x﹣4）2=21
4．（2017湖北鄂州鄂城区期末）关于x的方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）21世纪教育网版权所有
A．k≤ B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k＞﹣且k≠0
5．（2017江苏镇江丹徒区期中）已知命题“关于x的一元二次方程，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，b的值可以是( )21·cn·jy·com
A．b=-3 B． b=-2 C．b=-1 D. b=-4
6．（2016江西九江都昌县校级期中）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（ ）2-1-c-n-j-y
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
7．（2017哈尔滨松北区期末）松北某超市今年一月份的营业额为50万元．三月份的营业额为72万元．则二、三两个月平均每月营业额的增长率是（ ）【出处：21教育名师】
A．25% B．20% C．15% D．10%
8．（2017湖北孝感孝南联考）如图，某小区规划在一个长AD=40m，宽AB=26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的通道（图中阴影部分），使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种植花草，要使每一块种植花草的场地面积都是144m2．若设通道的宽度为x（m），则根据题意所列的方程是（ ）21教育名师原创作品
A．（40﹣x）（26﹣2x）=144×6 B．（40﹣2x）（26﹣x）=144×6
C．（40﹣2x）（26﹣x）=144÷6 D．（40﹣x）（26﹣2x）=144÷6
二、填空题
9．（2017淄博临淄区校期中）一元二次方程化为一般形式是____________________，它的一次项是_______，常数项是______．www-2-1-cnjy-com
10．（2017上海宝山区期中）方程的解是______．
11．（2017呼伦贝尔市阿荣旗期末）用配方法解一元二次方程﹣4x+2=0时，可配方得 ．
12．（2017襄阳樊城区模拟）若x=3是方程x2-9x+6m=0的一个根，则另一个根是________
13．（2017江西抚州校级期中）已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22= ______ ．
14．（2017浙江宁波校级联考）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是____________________
15．（2017重庆巫溪县月考）实数范围内定义运算“”，其法则为：，则方程（43）的解为 ．
16．（2016天水甘谷县期末）一个两位数，它的数值等于它的个位上的数字的平方的3倍，它的十位数字比个位数字大2．若设个位数字为x，列出求该两位数的方程式为 ．
三、解答题
17．（2017芜湖校级模拟）解方程：x2﹣5x+3=0
18．（2016哈尔滨南岗区模拟）已知一元二次方程x2－2x＋m＝0.
(1)若方程有两个实数根，求m的范围；
(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且x1＋3x2＝3，求m的值．
19．（2017北京市怀柔区期末）已知：?ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+=0的两个实数根．21cnjy.com
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么?ABCD的周长是多少？
20．（2017江苏盐城滨海调研）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了迎接“双11”节，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件。
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
2.5 一元二次方程
一、一元二次方程的定义
1、一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．
2、一元二次方程的一般形式为：（其中x是未知数，a、b、c是已知数，a≠0），其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
注意：一元二次方程必须具备三个条件
(1)必须是整式方程；
(2)必须只含有1个未知数；
(3)所含未知数的最高次数是2.
3、一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
二、一元二次方程的解法
1、解一元二次方程的基本思想：降次——转化思想，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.
1、直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．可解形如的一元二次方程．即当时，，当b＜0时，方程没有实数根．
2、配方法：
（1）先将已知方程化为一般形式；
（2）化二次项系数为1；
（3）常数项移到右边；
（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±；如果q＜0,方程无实根．
3、公式法：利用求根公式解一元二次方程的解的方法，叫做公式法. 它是解一元二次方程的一般方法．
注意：一元二次方程的求根公式为x= （b2-4ac≥0）
4、因式分解法：利用因式分解，求出一元二次方程的解，这种求解方法叫因式分解法. 这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法．21*cnjy*com
三、一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为：
1、Δ＞0?方程有两个不相等的实数根；
2、Δ＝0?方程有两个相等的实数根；
3、Δ＜0?方程没有实数根．
四、一元二次方程的根与系数的关系
若是一元二次方程的两个根，那么：
，
注意：以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：
五、一元二次方程的实际应用
1、审题：分析题意，弄清哪些是已知的，哪些是未知的，它们之间的数量关系；
2、设未知数：根据题中的数量关系设出未知数；
3、根据已知条件找出相等的关系
4、列出一元二次方程；
5、解方程；
6、检验并写出答语．
注意：
1、平均增长率问题
①增长率＝×100%；
②设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b;
当m为平均下降率，则a(1-m)n=b.
2、利润问题:
①利润＝售价-成本；
②利润率＝ ×100%；
注意：商品利润问题中，要注意折扣这一条件.
考点一： 一元二次方程的判断
下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. x2+=0 B. ax2+bx+c=0 C.（x+1）（x﹣2）=1 D. 3x2﹣2xy﹣5y2=0
【答案】C
【解析】A. 是分式方程，故此选项错误；
B. 当a≠0时，是一元二次方程，故此选项错误；
C. 是一元二次方程，故此选项正确；
D. 是二元二次方程，故此选项错误；
故选：C.
【点评】利用一元二次方程的定义进行辨别即可.
变式跟进1关于的方程是一元二次方程，则=__________.
【答案】3
【解析】根据题意得，|m?1|=2，且m+1≠0，
解得：m=3，
∴m的值为3.
【点评】利用一元二次方程的满足的三个条件：(1)必须是整式方程；(2)必须只含有1个未知数；(3)所含未知数的最高次数是2，即可列出条件组解答.【来源：21·世纪·教育·网】
考点二：一元二次方程的解法
一元二次方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：=25，
x=±5，
所以.
故选C.
【点评】利用直接开平方法或因式分解法进行求解.
变式跟进2在正数范围内有一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：根据规则，方程x※（x+1）=5变形为，∴，
∴，
∴， ．
故选C．
【点评】借助新运算，建立一元二次方程，并利用因式分解法求解.
方程2x2-3x+1=0化为(x+a)2=b的形式，正确的是（ ）
A. B. C. D. 以上都不对
【答案】C
【解析】解：移项得2x2-3x=-1，
把二次项系数化为1，x2-x=-，
配方得x2-x+=-+即，
故选C．
【点评】利用配方法进行恒等变形.
变式跟进3已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，则(m﹣1)2+(n﹣1)2的最小值是（ ）
A. 6 B. 3 C. ﹣3 D. 0
【答案】A
【解析】解：已知m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，可得m，n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根，根据根与系数的关系可得m+n=2a，mn=2，再由（m﹣1）2+（n﹣1）2=m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2=4a2﹣4﹣4a+2=4（a﹣ ）2﹣3，因a≥2，所以当a=2时，（m﹣1）2+（n﹣1）2有最小值，即（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值=4（a﹣）2-3=4（2﹣）2﹣3=6，故选A．【出处：21教育名师】
【点评】利用根与系数的关系，将所求式子用含a的式子表达出来，并利用配方法求出最值.
考点三： 根的判别式
关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 总有实数根
【答案】D
【解析】解：∵△=b2?4ac=(k?1)2?4×(?k)=(k+1)2?0，
∴方程总有两个实数根。
故选D.
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.解题关键是把判别式△转化成完全平方式与一个正数的和的形式，才能判断出它的正负性.总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△>0，?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0，?方程有两个相等的实数根；（3）△<0，?方程没有实数根.
变式跟进4已知关于的方程无实数根
（1）求的取值范围；
（2）判断关于的方程是否有实数根。
【答案】（1） ；（2）有两个不相等的实数根
【解析】解：根据题意得，
故；
故原方程有两个不相等的实数根
【点评】（1）根据判别式的意义得到△=（m+1）2-4?m2<0，然后解不等式即可；（2）先计算出判别式的值，然后根据m的范围判断判别式的符号，再利用判别式的意义判断方程根的情况．
考点四： 根的系数的关系
已知x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵一元二次方程3x2=6﹣2x中，a=3,b=2,c=-6,且x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，
∴x1x2= ,x1+x2=
∴x1﹣x1x2+x2= .
故选D.
【点评】利用一元二次方程根与系数的关系即可求解.
变式跟进5已知一元二次方程x2+7x﹣1=0的两个实数根为α，β，则(α-1)(β-1)的值为____．
【答案】7
【解析】解：∵一元二次方程x2+7x?1=0的两个实数根为α、β，
∴α+β=?7，α?β=?1，
∵(α?1)(β?1)=α?β?α?β+1=?1+7+1=7，
故答案为：7.
【点评】先利用根与系数的关系α+β与α?β的值，再将所求的代数式进行计算后代入求值即可.
考点五： 一元二次方程的实际应用
有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有______人患有流感．
【答案】512
【解析】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，
1+x+x(x+1)=64
x=7或x=?9(舍去).
64+64×7=512(人).
经过第三轮后，共有512人患有流感。
故答案为：512.
【点评】利用平均增长率公式即可列出方程，并求解.
变式跟进6在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月分的5000元/m2下降到5月分的4050元/m2www.21-cn-jy.com
（1）问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？
（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月分该市的商品房成交均价是否会跌破3000元/m2？请说明理由．
【答案】（1）10%；（2）会跌落10000元/m2.
【解析】解：（1）设4，5两月平均每月降价的百分率为x，根据题意，
得14000（1－x）2=11340
化简，得（1－x）2=0.81
解得x1=0.1，x2=1.9（不合题意，舍去）.
答:4、5两月平均每月降价的百分率为10%.
（2）估计7月份该市的商品房成交均价会跌落10000元/m2.理由如下：
如果按此降低的百分率继续回落，估计7月份的商品房成交均价为：
11340（1-x）2=11340×0.92=9185.4＜10000.
由此可知7月份该市的商品房成交均价会跌落10000元/m2.
【点评】（1）设4、5两月平均每月降价的百分率是x，那么4月份的房价为，5月份的房价为，然后根据5月份的11340元/m2即可列出方程解决问题；（2）根据（1）的结果可以计算出7月份商品房成交均价，然后和10000元/m2进行比较即可作出判断．
一、选择题
1、（2017?河南）一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（?? ）
A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根
C、只有一个实数根 D、没有实数根
【答案】B
【解析】解：∵△=（﹣5）2﹣4×2×（﹣2）=41＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【点评】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
2、（2017?益阳）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，那么下列结论一定成立的是（?? ）2·1·c·n·j·y
A、b2﹣4ac＞0 B、b2﹣4ac=0 C、b2﹣4ac＜0 D、b2﹣4ac≤0
【答案】A
【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1， ∴b2﹣4ac＞0，
故选A
【点评】由一元二次方程有两个不相等的实数根，确定出根的判别式的符号即可．
3、（2017·嘉兴）用配方法解方程 时，配方结果正确的是（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】解：方程两边都“+2”，得
x2+2x+1=2,
则（x+1）2=2.
故选B.
【点评】根据完全平方根式(a+b)2=a2+2ab+b2 ， 配上“b2”即可.
4、（2017?呼和浩特）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（?? ）21cnjy.com
A、2 B、0 C、1 D、2或0
【答案】B
【解析】解：设方程的两根为x1 ， x2 ， 根据题意得x1+x2=0，
所以a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，
当a=2时，方程化为x2+1=0，△=﹣4＜0，故a=2舍去，
所以a的值为0．
故选B．
【点评】设方程的两根为x1 ， x2 ， 根据根与系数的关系得a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，然后利用判别式的意义确定a的取值．
5、（2017?威海）若1﹣ 是方程x2﹣2x+c=0的一个根，则c的值为（?? ）
A、﹣2 B、4 ﹣2 C、3﹣ D、1+
【答案】A
【解析】解：∵关于x的方程x2﹣2x+c=0的一个根是1﹣ ， ∴（1﹣ ）2﹣2（1﹣ ）+c=0，
解得，c=﹣2．
故选：A．
【点评】把x=1﹣ 代入已知方程，可以列出关于c的新方程，通过解新方程即可求得c的值．
6、（2017?温州）我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是（?? ）
A、x1=1，x2=3 B、x1=1，x2=﹣3 C、x1=﹣1，x2=3 D、x1=﹣1，x2=﹣3
【答案】D
【解析】解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程， 所以2x+3=1或2x+3=﹣3，
所以x1=﹣1，x2=﹣3．
故选D．
【点评】先把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，利用题中的解得到2x+3=1或2x+3=﹣3，然后解两个一元一次方程即可．
7、（2017?杭州）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（?? ）
A、10.8（1+x）=16.8 B、16.8（1﹣x）=10.8
C、10.8（1+x）2=16.8 D、10.8[（1+x）+（1+x）2]=16.8
【答案】C
【解析】解：设参观人次的平均年增长率为x，由题意得：
10.8（1+x）2=16.8，
故选：C．
【点评】设参观人次的平均年增长率为x，根据题意可得等量关系：10.8万人次×（1+增长率）2=16.8万人次，根据等量关系列出方程即可．
8、（2017?六盘水）三角形的两边a、b的夹角为60°且满足方程x2﹣3 x+4=0，则第三边的长是（?? ）
A、 B、2 C、2 D、3
【答案】A
【解析】解：x2﹣3 x+4=0，
（x﹣2 ）（x﹣ ）=0，
所以x1=2 ，x2= ，
即a=2 ，b= ，
如图，△ABC中，a=2 ，b= ，∠C=60°，
作AH⊥BC于H，
在Rt△ACH中，∵∠C=60°，
∴CH= AC= ，AH= CH= ，
∴BH=2 ﹣ = ，
在Rt△ABH中，AB= = ，
即三角形的第三边的长是 ．
故选A．
【点评】先利用因式分解法解方程x2﹣3 x+4=0得到a=2 ，b= ，如图，△ABC中，a=2 ，b= ，∠C=60°，作AH⊥BC于H，再在Rt△ACH中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CH= ，AH= ，则BH= ，然后在Rt△ABH中利用勾股定理计算AB的长即可．
9、（2017?荆州）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论： ①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程；
②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；
③若关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；
④若点（m，n）在反比例函数y= 的图象上，则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程．
上述结论中正确的有（?? ）
A、①② B、③④ C、②③ D、②④
【答案】C
【解析】解：①由x2﹣2x﹣8=0，得 （x﹣4）（x+2）=0，
解得x1=4，x2=﹣2，
∵x1≠2x2 ， 或x2≠2x1 ，
∴方程x2﹣2x﹣8=0不是倍根方程．
故①错误；②关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，
∴设x2=2x1 ，
∴x1?x2=2x12=2，
∴x1=±1，
当x1=1时，x2=2，
当x1=﹣1时，x2=﹣2，
∴x1+x2=﹣a=±3，
∴a=±3，故②正确；③关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，
∴x2=2x1 ，
∵抛物线y=ax2﹣6ax+c的对称轴是直线x=3，
∴抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），
故③正确；④∵点（m，n）在反比例函数y= 的图象上，
∴mn=4，
解mx2+5x+n=0得x1=﹣ ，x2=﹣ ，
∴x2=4x1 ，
∴关于x的方程mx2+5x+n=0不是倍根方程；
故选C．
【点评】①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；②设x2=2x1 ， 得到x1?x2=2x12=2，得到当x1=1时，x2=2，当x1=﹣1时，x2=﹣2，于是得到结论；③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；④若点（m，n）在反比例函数y= 的图象上，得到mn=4，然后解方程mx2+5x+n=0即可得到正确的结论；2-1-c-n-j-y
二、填空题
10、（2015?丽水）解一元二次方程x2+2x﹣3=0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程________．
【答案】x﹣1=0或x+3=0
【解析】解：（x﹣1）（x+3）=0，
x﹣1=0或x+3=0．
故答案为x﹣1=0或x+3=0．
【点评】把方程左边分解，则原方程可化为x﹣1=0或x+3=0．
11、（2017?营口）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．21世纪教育网版权所有
【答案】k＞ 且k≠1
【解析】解：根据题意得k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0， 解得：k＞ 且k≠1．
故答案为：k＞ 且k≠1．
【点评】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
12、（2017?荆门）已知方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x1、x2 ， 则x12+x22=________．
【答案】23
【解析】解：∵方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x1、x2 ， ∴x1+x2=﹣5，x1?x2=1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1?x2=（﹣5）2﹣2×1=23．
故答案为：23．
【点评】由根与系数的关系可得x1+x2=﹣5、x1?x2=1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1?x2中，即可求出结论．
13、（2017?岳阳）在中，，，且关于的方程有两个相等的实数根，则边上的中线长为 ．
【答案】2.
【解析】解：∵关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，
∴△=16-4b=0，
∴AC=b=4，
∵BC=2，AB=2，
∴BC2+AB2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，
∴AC边上的中线长=AC=2
【点评】由根的判别式求出b值，再利用勾股定理的逆定理可证△ABC是直角三角形，最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出AC边上的中线长．
14、（2016?随州）已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2﹣8x+15=0的根，则该等腰三角形的周长为________．
【答案】 19或21或23
【解析】解：由方程x2﹣8x+15=0得：（x﹣3）（x﹣5）=0， ∴x﹣3=0或x﹣5=0，
解得：x=3或x=5，
当等腰三角形的三边长为9、9、3时，其周长为21；
当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；
当等腰三角形的三边长为9、3、3时，3+3＜9，不符合三角形三边关系定理，舍去；
当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19；
综上，该等腰三角形的周长为19或21或23，
故答案为：19或21或23．
【点评】求出方程的解，分为两种情况，看看是否符合三角形三边关系定理，求出即可．本题考查了解一元二次方程和等腰三角形性质，三角形的三边关系定理的应用，因式分解法求出方程的解是根本，根据等腰三角形的性质分类讨论是关键．21·cn·jy·com
15、（2017?黑龙江）原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元，若每次降低的百分率相同，则降低的百分率为________．
【答案】10%
【解析】解：设这两次的百分率是x，根据题意列方程得 100×（1﹣x）2=81，
解得x1=0.1=10%，x2=1.9（不符合题意，舍去）．
答：这两次的百分率是10%．
故答案为：10%．
【点评】先设平均每次降价的百分率为x，得出第一次降价后的售价是原来的（1﹣x），第二次降价后的售价是原来的（1﹣x）2 ， 再根据题意列出方程解答即可．
三、解答题
16、（2017·丽水）解方程：（x-3）(x-1)=3.
【答案】x1=0,x2=4.
【解析】解：（x-3）(x-1)=3
x2-4x+3=3，
x2-4x=0，
x(x-4)=0,
x1=0,x2=4.
【点评】方程右边不是0，∴要将方程左边化简，最终可因式分解得x(x-4)=0,即可解出答案.
17、（2017?菏泽）列方程解应用题： 某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？
【答案】460元
【解析】解：设销售单价为x元， 由题意，得：（x﹣360）[160+2（480﹣x）]=20000，
整理，得：x2﹣920x+211600=0，
解得：x1=x2=460，
答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000元
【点评】根据单件利润×销售量=总利润，列方程求解即可．
18、（2017?深圳）一个矩形周长为56厘米.
(1)当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？
(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．
【答案】（1）长为18厘米，宽为10厘米（2）不能
【解析】（1）解：设长为x厘米，则宽为28-x厘米；依题可列方程得：
x（28-x）=180.
化简得：x2-28x+180=0.
解得：x1=10（舍去）,x2=18.
答：长为18厘米，宽为10厘米.
（2）解：设长为y厘米，宽为28-y厘米，依题可列方程得：
y（28-y）=200.
化简得：y2-28y+200=0.
∵△=b2-4ac=282-4×200=-16＜0.
∴原方程无解.
∴不能围成面积为200平方厘米的矩形.
【点评】（1）设长为x厘米，则宽为28-x厘米；依题可列方程得：x（28-x）=180.求解即可得出答案.
（2）设长为y厘米，宽为28-y厘米，依题可列方程得：y（28-y）=200.由根的判别式可知此方程无解；故不能围成面积为200平方厘米的矩形
19、（2017?滨州）根据要求，解答下列问题：
(1)解答下列问题 ①方程x2﹣2x+1=0的解为________；
②方程x2﹣3x+2=0的解为________；
③方程x2﹣4x+3=0的解为________；
…
(2)根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： ①方程x2﹣9x+8=0的解为________；
②关于x的方程________的解为x1=1，x2=n．
(3)请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．
【答案】（1）x1=x2=1；x1=1，x2=2；x1=1，x2=3
（2）1、8；x2﹣（1+n）x+n=0
（3）x2-9x=-8 x2-9x+ =-8+
（x- ）2=
x- =
所以
所以猜想正确.
【解析】解：（1）①（x﹣1）2=0，解得x1=x2=1，即方程x2﹣2x+1=0的解为x1=x2=1，； ②（x﹣1）（x﹣2）=0，解得x1=1，x2=2，所以方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2，；
③（x﹣1）（x﹣3）=0，解得x1=1，x2=3，方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1，x2=3；
…
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2﹣9x+8=0的解为x1=1，x2=8；
②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0的解为x1=1，x2=n．
（3）x2-9x=-8 x2-9x+ =-8+
（x- ）2=
x- =
所以
所以猜想正确.
【点评】（1）利用因式分解法解各方程即可；（2）根据以上方程特征及其解的特征，可判定方程x2﹣9x+8=0的解为1和8；②关于x的方程的解为x1=1，x2=n，则此一元二次方程的二次项系数为1，则一次项系数为1和n的和的相反数，常数项为1和n的积.（3）利用配方法解方程x2﹣9x+8=0可判断猜想结论的正确．【来源：21cnj*y.co*m】
20、（2017?福建）自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车．某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：
使用次数
0
1
2
3
4
5（含5次以上）
累计车费
0
0.5
0.9
a
b
1.5
同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据：
使用次数
0
1
2
3
4
5
人数
5
15
10
30
25
15
（Ⅰ）写出a，b的值；
（Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利？说明理由．
【答案】（Ⅰ）a=1.2，b=1.4；（Ⅱ）不能获利
【解析】解：（Ⅰ）a=0.9+0.3=1.2，b=1.2+0.2=1.4；
（Ⅱ）根据用车意愿调查结果，抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费为：
×（0×5+0.5×15+0.9×10+1.2×30+1.4×25+1.5×15）=1.1（元），21·世纪*教育网
所以估计5000名师生一天使用共享单车的费用为：5000×1.1=5500（元），
因为5500＜5800，
故收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车不能获利．
【点评】（Ⅰ）根据收费调整情况列出算式计算即可求解；（Ⅱ）先根据平均数的计算公式求出抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费，再根据用样本估计总体求出5000名师生一天使用共享单车的费用，再与5800比较大小即可求解．
一、选择题
1．（2017河南唐河期末）方程x2=2x的解是（ ）
A．x=0 B．x=2 C．x=0或x=2 D．x=±
【答案】C
【解析】解：方程移项得：x2﹣2x=0，分解因式（提取公因式化为积的形式）得：x（x﹣2）=0，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解得：x1=0，x2=2．21教育名师原创作品
故选C
【点评】利用因式分解法求解.
2．（2017湖北安陆期末）下列方程中，两根是﹣2和﹣3的方程是（ ）
A．x2﹣5x+6=0 B．x2﹣5x﹣6=0 C．x2+5x﹣6=0 D．x2+5x+6=0
【答案】D．
【解析】解：设两根是﹣2和﹣3的方程为：x2+ax+b=0，根据根与系数的关系，可得（﹣2）+（﹣3）=﹣a=5，（﹣2）×（﹣3）=b=6，故方程为：x2+5x+6=0．故选D．
【点评】求出两根为-2和-3的一元二次方程即可找出正确答案.
3．（2017河南郑州一模）解一元二次方程x2﹣8x﹣5=0，用配方法可变形为（ ）
A．（x+4）2=11 B．（x﹣4）2=11 C．（x+4）2=21 D．（x﹣4）2=21
【答案】D．
【解析】解：移项得x2﹣8x=5，两边都加上一次项系数一半的平方可得x2﹣8x+16=5+16，即（x﹣4）2=21，故选D．
【点评】利用配方法的关键是在二次项系数化为1后，方程两都加上一次项系数一半的平方，方程左边才能形成完全平方式.
4．（2017湖北鄂州鄂城区期末）关于x的方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤ B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k＞﹣且k≠0
【答案】C．
【解析】解：当k=0时，方程为3x﹣1=0，有实数根，
当k≠0时，△=b2﹣4ac=32﹣4×k×（﹣1）=9+4k≥0，
解得k≥﹣．
综上可知，当k≥﹣时，方程有实数根；
故选C．
【点评】利用根的判别式即可进行判断．
5．（2017江苏镇江丹徒区期中）已知命题“关于x的一元二次方程，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，b的值可以是( )
A．b=-3 B． b=-2 C．b=-1 D. b=-4
【答案】C
【解析】解：根据根的判别式可得：－40，则根据题意可得：C为假命题.
【点评】利用根的判别式进行判断即可．
6．（2016江西九江都昌县校级期中）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
【答案】B
【解析】解：解方程x2﹣12x+35=0得：x=5或x=7．
当x=7时，3+4=7，不能组成三角形；
当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．
∴该三角形的周长为3+4+5=12，
【点评】先求出方程的解，再利用三角形三边间的关系判断即可.
7．（2017哈尔滨松北区期末）松北某超市今年一月份的营业额为50万元．三月份的营业额为72万元．则二、三两个月平均每月营业额的增长率是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．25% B．20% C．15% D．10%
【答案】B．
【解析】解：设增长率为x，根据题意得50（1+x）2=72，
解得x=﹣2.2（不合题意舍去），x=0.2，
所以每月的增长率应为20%，
故选：B．
【点评】利用平均增长率公式列出方程求解.
8．（2017湖北孝感孝南联考）如图，某小区规划在一个长AD=40m，宽AB=26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的通道（图中阴影部分），使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种植花草，要使每一块种植花草的场地面积都是144m2．若设通道的宽度为x（m），则根据题意所列的方程是（ ）
A．（40﹣x）（26﹣2x）=144×6 B．（40﹣2x）（26﹣x）=144×6
C．（40﹣2x）（26﹣x）=144÷6 D．（40﹣x）（26﹣2x）=144÷6
【答案】B．
【解析】解：设通道的宽度为x（m），
根据题意得（40﹣2x）（26﹣x）=144×6，
故选B．
【点评】根据图形抽象出数量关系列出方程是解题的关键.
二、填空题
9．（2017淄博临淄区校期中）一元二次方程化为一般形式是____________________，它的一次项是_______，常数项是______．
【答案】，，-2
【解析】解：根据一元二次方程的一般式（a≠0）可得方程的一般式为，它的一次项是3x，常数项为-2.
故答案为：，3x，-2.
【点评】先根据一元二次方程的一般式（a≠0）进行转化，再找出一次项与常数项.
10．（2017上海宝山区期中）方程的解是______．
【答案】
【解析】
解得x=1或0，
x=1不和题意，舍去，所以x=0.
【点评】先将根式方程转化为一元二次方程即要求解，注意要验根.
11．（2017呼伦贝尔市阿荣旗期末）用配方法解一元二次方程﹣4x+2=0时，可配方得 ．
【答案】.
【解析】解：方程移项得：﹣4x=﹣2，两边加上4配方得：﹣4x+4=2，即.
故答案为：．
【点评】熟练应用配方法是解题的关键．
12．（2017襄阳樊城区模拟）若x=3是方程x2-9x+6m=0的一个根，则另一个根是________
【答案】x=6
【解析】解：∵x=3是方程x2-9x+6m=0的一个根，设另一个根为α，
则3+α=9，解得：α=6；
故填：6.
【点评】利用根与系数的关系进行求解.
13．（2017江西抚州校级期中）已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22= ______ ．
【答案】﹣3
【解析】解：根据题意得x1+x2=3，x1?x2=﹣1，
所以x12x2+x1x22=x1?x2?（x1+x2）=﹣1×3=﹣3．
故答案为﹣3
【点评】熟练应用根与系数的关系是解题的关键．
14．（2017浙江宁波校级联考）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是____________________21*cnjy*com
【答案】m≤3且m≠2
【解析】解：∵一元二次方程有实数根
∴4-4（m-2）≥0且m-2≠0
解得：m≤3且m≠2.
【点评】利用根的判别式进行求解，要注意一元二次方程成立的条件.
15．（2017重庆巫溪县月考）实数范围内定义运算“”，其法则为：，则方程（43）的解为 ．
【答案】±5
【解析】解：43==7，则=24，解得：x=±5.
【点评】根据题意列出一元二次方程，再求解即可.
16．（2016天水甘谷县期末）一个两位数，它的数值等于它的个位上的数字的平方的3倍，它的十位数字比个位数字大2．若设个位数字为x，列出求该两位数的方程式为 ．【版权所有：21教育】
【答案】10（x+2）+x=3x2．
【解析】解：设个位数字为x，则这个数为3x2，十位数字为x+2，
由题意得，10（x+2）+x=3x2．
故答案为：10（x+2）+x=3x2．
【点评】设个位数字为x，则这个数为3x2，十位数字为x+2，根据题意表示出这个两位数，列出方程．
三、解答题
17．（2017芜湖校级模拟）解方程：x2﹣5x+3=0
【答案】x1=，x2=
【解析】解：a=1，b=-5，c=3 则=25-4×1×3=13
则x= 即
【点评】首先根据题意得出a、b、c的值，然后根据求根公式得出方程的解.
18．（2016哈尔滨南岗区模拟）已知一元二次方程x2－2x＋m＝0.
(1)若方程有两个实数根，求m的范围；
(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且x1＋3x2＝3，求m的值．
【答案】(1)m；(2)m=
【解析】解：(1)、根据题意可得：4-4m≥0 解得：m≤1
(2)、根据题意可得：=2 根据题意可得：+2=3 解得：=
将x=代入方程可得：-1+m=0 解得：m=
【点评】(1)根据根的判别式得出m的取值范围；(2)首先根据韦达定理求出的值，然后根据题意得出的值，从而将的值代入方程求出m的值.
19．（2017北京市怀柔区期末）已知：?ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+=0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么?ABCD的周长是多少？
【答案】（1）（2）5
【解析】解： （1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∴△=0，即m2﹣4（﹣）=0，
整理得：（m﹣1）2=0，
解得m=1，
当m=1时，原方程为x2﹣x+=0，
解得：x1=x2=0.5，
故当m=1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长是0.5；
（2）把AB=2代入原方程得，m=2.5，
把m=2.5代入原方程得x2﹣2.5x+1=0，解得x1=2，x2=0.5，
∴C?ABCD=2×（2+0.5）=5．
【点评】应用一元二次方程、菱形的性质是解题的关键所在.
20．（2017江苏盐城滨海调研）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了迎接“双11”节，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件。
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
【答案】（1）4800元；（2）60元.
【解析】解：（1）由题意，得60（360-280）=4800元．答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；21教育网
（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由题意，得（360-x-280）（5x+60）=7200，解得：x1=8，x2=60．
∵有利于减少库存，
∴x=60．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．
【点评】（1）先求出每件的利润．再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润；（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
