【备战2018年中考数一轮微专题突破】
专题11 不等式应用题赏析
【专题综述】
纵览全国各地市中考试题，以现实生活为背景，设计新颖的不等式应用题频频出现．当所给出的题目中出现“最多、最少、不低于、不超过、至多、至少”等关键词语时，常考虑借助不 等式（组）来解决．解决这类问题的突破口是对题目中所给的条件进行分析，把题中所给的条件转化为相应的不等 关 系，然后根据 题意， 恰当设出未知数，列出不等式或不等式组进行求解．现撷取几例，分类进行解析．用一元一次不等式（组）解决生活中的实际问题，其主要步骤为：1、审题，设未知数；2、抓关键词，找不等关系；3、构建不等式（组）4 、解不等式（组）；5、根据题意，写出合理答案。
【方法解读】
一、利用不等式解决问题：
例1 请你帮小健同解答以下问题：
【举一反三】
（安徽省年安庆市）在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛题共25道，每道题都给出4个答案，其中只有一个答案正确，选对得4分，不选或选错扣2分，得分不低于60分得奖，那么得奖至少应选对的题数是( )
A. 18 B. 19 C. 20 D. 21
二、利用不等式组解决问题：
例2，光明农场现有某 种植物1 0 000kg，打算全部用于生产高技药品和保健食品．若生产高技药品，1kg该植物可提炼出0.01kg的高技药品，将产生污染物0.1kg；若生产保健食品，1kg该植物可制成0.2kg的保健食品，同时产生污染物0.04kg．已知每生产1kg高技药品可获利润5 000元，每生产1kg保健食品可获利润100元．要使总 利润不低于410 000元，所产生的污染物总量不超过880kg，求 用于生产高技药品的该植物重量的范 围．
【举一反三】
（华师大版）某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫”，为某镇建中、小型两种图书室共30个．已知组建一个中型图书室需养殖类图书80本，种植类图书50本；组建一个小型图书室需养殖类图书30本，种植类图书60本．计划养殖类图书不超过2 000本，种植类图书不超过1 600本．
(1)符合题意的组建方案有几种？请写出具体的组建方案；
(2)若组建一个中型图书室的费用是2 000元，组建一个小型图书室的费用是1 500元，哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
三、利用不等式与方程解决问题：
例3 某“希望校”为加强信息技术课教，拟投资建一个初级计算机房和一个高级计算机房，每个机房只配置1台教师用机，若干台生用机．现有厂方提供的产品推介单一份，如下表．
现知：教师配置系列机型，生配置系列机型；所有机型均按八折优惠销售，两个机房购买计算机的钱数相等，并且每个机房购买计算机的钱数不少于20万元也不超过21万元．
请计算，拟建的两个机房各能配置多少台生用机？
类别
初级机房
高级机房
机型
型
型
型
型
生产
日期
2005年1月
2005年3月
单价
型
10000元
型
14375元
型
4375元
型
8750元
性能
多人交互
产品推介单
【举一反三】
（西南宁市）某校为了创建书香校园，今年又购进一批图书，经了解，普书的单价比文书的单价多4元，用1200元购进的普书与用800元购进的文书本数相等．
（1）今年购进的文书和普书的单价各是多少元？
（2）该校购买这两种书共180本，总费用不超过2000元，且购买文书的数量不多于42本，应选择哪种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？
【强化训练】
1. （辽宁锦州卷）某电子超市销售甲、乙两种型号的蓝牙音箱，每台进价分别为240元，140元，下表是近两周的销售情况：
（1）求甲、乙两种型号蓝牙音箱的销售单价；
（2）若超市准备用不多于6000元的资金再采购这两种型号的蓝牙音箱共30台，求甲种型号的蓝牙音箱最多能采购多少台．
2.（安徽省蚌埠市） 为了提倡低碳经济，某公司为了更好得节约能源，决定购买一批节省能源的10台新机器．现有甲、乙两种型号的设备，其中每台的价格如下表．经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元．
（1）求，的值；
（2）经预算：该公司购买的节能设备的资金不超过110万元，请列式解答有几种购买方案可供选择；
3.（山东省滨州市） 今年中考期间，我县部分乡镇校的九年级考生选择在一中、二中的生宿舍住宿，某校将若干间宿舍分配给该校九年级一班的女生住宿，已知该班女生少于25人，若每个房间住4人，则剩下3人没处住；若每个房间住6人，则空一间房，并且还有一间房有人住但住不满。问分配给该校九年级一班女生多少间宿舍，该班有多少名女生？
4．（江西省永新县）我国已于2016年发射天宫二号空间实验室，并发射神舟十一号载人飞船和天舟一号货运飞船，与天宫二号交会对接，为了增强生的航空航天知识，校举行航空航天知识竞赛，共30道题，规定答对一道题得4分，答错一道题扣1分，不答得0分。在这次竞赛中，小明有3道题未答，但他仍获得优秀（90分或90分以上），则小明至少答对了几道题？
5．（浙江省杭州市）杭州市成功申办2022年亚运会，这将推动杭州市体育事业发展，为了促进全民健身活动的发展，某社区为辖区内校购买一批篮球和足球，已知篮球和足球的单价分别为120元和90元.
（1）根据实际需要，社区决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于40个，社区可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10260元，请问有几种购买方案；
（2）若购买篮球个，校购买这批篮球和足球的总费用为元，在（1）的条件下，求哪种方案能使最小，并求出的最小值.
6．（2017年云南省）为了更好的保护美丽图画的邛海湿地，西昌市污水处理厂决定先购买A、B两型污水处理设备共20台，对邛海湿地周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨．
（1）求A、B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？
（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少？
7．（四川泸州卷）某中为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个校选择．
8．（重庆市江津）星光橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：
进价（元/台）
售价（元/台）
电饭煲
200
250
电压锅
160
200
（1）一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中购进电饭煲和电压锅各多少台？
（2）为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由；
（3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？
9. （北师大版） 某主题公园内一个活动项目的收费标准如下：个人票，每张10元；团体票，满20张八折优惠．当人数为________时(人数不到20人)，买20人的团体票反而合算．
10. （北师大）一次生活常识竞赛一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题扣2分，小明有2题没答，竞赛成绩要超过74分，则小明至多答错______道题．
【备战2018年中考数一轮微专题突破】
专题11 不等式应用题赏析
【专题综述】
纵览全国各地市中考试题，以现实生活为背景，设计新颖的不等式应用题频频出现．当所给出的题目中出现“最多、最少、不低于、不超过、至多、至少”等关键词语时，常考虑借助不 等式（组）来解决．解决这类问题的突破口是对题目中所给的条件进行分析，把题中所给的条件转化为相应的不等 关 系，然后根据 题意， 恰当设出未知数，列出不等式或不等式组进行求解．现撷取几例，分类进行解析．用一元一次不等式（组）解决生活中的实际问题，其主要步骤为：1、审题，设未知数；2、抓关键词，找不等关系；3、构建不等式（组）4 、解不等式（组）；5、根据题意，写出合理答案。
【方法解读】
一、利用不等式解决问题：
例1 请你帮小健同解答以下问题：
解：设买辞典套．根据题意，得65×20＋40≤2000．解这个不等式，得≤17．因为为整数，所以的最大整数值为17．故最多还能买辞典17本．
【解读】解决此 问题的关键是应理解“最多”的含义，即买辞典所花钱数（辞典单价×套数）＋买名著所花的钱数（名著单价×套数）≤总费用2 000元．而买名著的套数、 单价和辞典单价均已确定，只需再设出辞典的套数，便可列出不等式，从而使问题获解．
【举一反三】
（安徽省年安庆市）在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛题共25道，每道题都给出4个答案，其中只有一个答案正确，选对得4分，不选或选错扣2分，得分不低于60分得奖，那么得奖至少应选对的题数是( )
A. 18 B. 19 C. 20 D. 21
故选B.+-
二、利用不等式组解决问题：
例2，光明农场现有某 种植物1 0 000kg，打算全部用于生产高技药品和保健食品．若生产高技药品，1kg该植物可提炼出0.01kg的高技药品，将产生污染物0.1kg；若生产保健食品，1kg该植物可制成0.2kg的保健食品，同时产生污染物0.04kg．已知每生产1kg高技药品可获利润5 000元，每生产1kg保健食品可获利润100元．要使总 利润不低于410 000元，所产生的污染物总量不超过880kg，求 用于生产高技药品的该植物重量的范 围．
解：设用于生产高技药品的该植物重量为xkg，则用于生产保健食品的植物重量为kg.
根据题意，得
解得7000≤≤8000． [:.Com]
答：用于生产高技药品的该植物重量不低于7 000kg且不高于8 000kg．
【解读】此题中存在两个关键词“不低于”、“不超过”， 从而可得如下两个不等量关系：生产高技药品的所获利润＋生产保健食品所获利润≥410 000； 生产高技药品所产生的污染物量＋生产保健食品所产 生的污染物量≤880．故可设出未知数，构建不等式组进行求解．
【举一反三】
（华师大版）某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫”，为某镇建中、小型两种图书室共30个．已知组建一个中型图书室需养殖类图书80本，种植类图书50本；组建一个小型图书室需养殖类图书30本，种植类图书60本．计划养殖类图书不超过2 000本，种植类图书不超过1 600本．
(1)符合题意的组建方案有几种？请写出具体的组建方案；
(2)若组建一个中型图书室的费用是2 000元，组建一个小型图书室的费用是1 500元，哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
解：（1）设组建中型两类图书室x个、小型两类图书室（30﹣x）个．由题意得：
，化简得： ，解这个不等式组，得20≤x≤22．
由于x只能取整数，∴x的取值是20，21，22．
当x=20时，30﹣x=10；
当x=21时，30﹣x=9；
当x=22时，30﹣x=8．
故有三种组建方案：
（2）方案一的费用是：2000×20+1500×10=55000（元）；
方案二的费用是：2000×21+1500×9=55500（元）；
方案三的费用是：2000×22+1500×8=56000（元）；
故方案一费用最低，最低费用是55000元．~￥
三、利用不等式与方程解决问题：
例3 某“希望校”为加强信息技术课教，拟投资建一个初级计算机房和一个高级计算机房，每个机房只配置1台教师用机，若干台生用机．现有厂方提供的产品推介单一份，如下表．
现知：教师配置系列机型，生配置系列机型；所有机型均按八折优惠销售，两个机房购买计算机的钱数相等，并且每个机房购买计算机的钱数不少于20万元也不超过21万元．
请计算，拟建的两个机房各能配置多少台生用机？
类别
初级机房
高级机房
机型
型
型
型
型
生产
日期
2005年1月
2005年3月
单价
型
10000元
型
14375元
型
4375元
型
8750元
性能
多人交互
产品推介单
答：初、高级机房各能配置生用机55台、27台，或57台、28台．
【解读】由题意可得如下等量关系：购买初级机房生用机的钱数=购买高级机房生用机的钱数；不等量关系：20万元≤每个机房购买计算机的钱数≤21万元，设出恰当的未知数便可列出方程和不等式，通过求其整数解，便可确定拟建的两个机房所能配置的生用机台数．
【举一反三】
（西南宁市）某校为了创建书香校园，今年又购进一批图书，经了解，普书的单价比文书的单价多4元，用1200元购进的普书与用800元购进的文书本数相等．
（1）今年购进的文书和普书的单价各是多少元？
（2）该校购买这两种书共180本，总费用不超过2000元，且购买文书的数量不多于42本，应选择哪种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？
解：（1）设文书的单价为x元，根据题意得：
，
解得，x=8，
经检验，x=8是原分式方程的解，
∴x+4=12，
答：今年购进的文书和普书的单价各是8元、12元；
∴当a=42时，w取得最小值，此时w=1992，180﹣a=138，
答：当购买文书42本，普书138本时，可使总费用最低，最低费用是1992元．
【强化训练】
1. （辽宁锦州卷）某电子超市销售甲、乙两种型号的蓝牙音箱，每台进价分别为240元，140元，下表是近两周的销售情况：
（1）求甲、乙两种型号蓝牙音箱的销售单价；
（2）若超市准备用不多于6000元的资金再采购这两种型号的蓝牙音箱共30台，求甲种型号的蓝牙音箱最多能采购多少台．
【答案】（1）甲种型号蓝牙音箱的销售价为300元，乙种型号蓝牙音箱的销售单价为180元；（2）18．
【解析】试题分析：（1）设甲种型号蓝牙音箱的销售价为x元，乙种型号蓝牙音箱的销售单价为y元，由题意得等量关系：①3台甲的销售价+7台乙的销售价=2160元，②5台甲的销售价+14台乙的销售价=4020元，根据等量关系列出方程组，再解即可．
（2）设甲种型号的蓝牙音箱采购a台，由题意得不等关系：甲型的总进价+乙型的总进价≤6000元，根据不等关系，列出不等式，再解即可．
试题解析：解：（1）设甲种型号蓝牙音箱的销售价为x元，乙种型号蓝牙音箱的销售单价为y元，依题意有： ，解得： ．
故甲种型号蓝牙音箱的销售价为300元，乙种型号蓝牙音箱的销售单价为180元．
（2）设甲种型号的蓝牙音箱采购a台，依题意有：240a+140（30﹣a）≤6000，解得a≤18．
故甲种型号的蓝牙音箱最多能采购18台．*+-
2.（安徽省蚌埠市） 为了提倡低碳经济，某公司为了更好得节约能源，决定购买一批节省能源的10台新机器．现有甲、乙两种型号的设备，其中每台的价格如下表．经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元．
（1）求，的值；
（2）经预算：该公司购买的节能设备的资金不超过110万元，请列式解答有几种购买方案可供选择；
【答案】（1）；（2）有6种购买方案．
试题解析：解：（1）由题意得： ， ∴ ；
（2）设购买污水处理设备甲型设备x台，乙型设备（10﹣x）台，
则：12x+10（10﹣x）≤110， ∴x≤5，
∵x取非负整数∴x=0，1，2，3，4，5， ∴有6种购买方案．
3.（山东省滨州市） 今年中考期间，我县部分乡镇校的九年级考生选择在一中、二中的生宿舍住宿，某校将若干间宿舍分配给该校九年级一班的女生住宿，已知该班女生少于25人，若每个房间住4人，则剩下3人没处住；若每个房间住6人，则空一间房，并且还有一间房有人住但住不满。问分配给该校九年级一班女生多少间宿舍，该班有多少名女生？
【答案】分配给该校九年级一班女生5间宿舍，该班有23名女生
【解析】试题分析：设有x间宿舍，依题意列出不等式组，解不等式组，取最大整数即可．
试题解析：设有x间宿舍，根据题意得：
解得：＜x＜
∵宿舍数是整数，∴x取的值是5，
∴当x=5时，生数为4×5+3=23，
∴分配给该校九年级一班女生5间宿舍，该班有23名女生
4．（江西省永新县）我国已于2016年发射天宫二号空间实验室，并发射神舟十一号载人飞船和天舟一号货运飞船，与天宫二号交会对接，为了增强生的航空航天知识，校举行航空航天知识竞赛，共30道题，规定答对一道题得4分，答错一道题扣1分，不答得0分。在这次竞赛中，小明有3道题未答，但他仍获得优秀（90分或90分以上），则小明至少答对了几道题？
【答案】小明至少答对24道题
5．（浙江省杭州市）杭州市成功申办2022年亚运会，这将推动杭州市体育事业发展，为了促进全民健身活动的发展，某社区为辖区内校购买一批篮球和足球，已知篮球和足球的单价分别为120元和90元.
（1）根据实际需要，社区决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于40个，社区可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10260元，请问有几种购买方案；
（2）若购买篮球个，校购买这批篮球和足球的总费用为元，在（1）的条件下，求哪种方案能使最小，并求出的最小值.
【答案】（1）三种；（2）最小值为10200
【解析】试题分析：（1）设购买篮球x个，足球（100-x）个，根据“篮球购买的数量不少于40个，社区可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10260元”，列出不等式组，求出x的取值范围，由x为正整数，即可解答；
（2）表示出总费用y，利用一次函数的性质，即可确定x的取值，即可确定最小值．
（2）y=120x+90（100-x）=30x+9000．
当x=40时，y最小值为10200．//0.
6．（2017年云南省）为了更好的保护美丽图画的邛海湿地，西昌市污水处理厂决定先购买A、B两型污水处理设备共20台，对邛海湿地周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨．
（1）求A、B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？
（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少？
【答案】（1）A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨；（2）即购买A型污水处理设备13台，则购买B型污水处理设备7台时，所需购买资金最少，最少是226万元．
【解析】（1）根据1台A型污水处理设备+2台B型污水处理设备=每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备+3台B型污水处理设备=每周可以处理污水1080吨，关系式列出二元一次方程组，从而解答即可；
（2）根据题意可以列出相应的不等式组求出购买A型污水处理设备台数取值范围，从而可以得到购买方案，算出每种方案购买资金即可得解．
解：（1）设A型污水处理设备每周每台可以处理污水x吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水y吨，
由题意得，，解得，，
即A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨；
（2）设购买A型污水处理设备x台，则购买B型污水处理设备（20﹣x）台，
则，解得，12.5≤x≤15，
第一种方案：当x=13时，20﹣x=7，花费的费用为：13×12+7×10=226万元；
第二种方案：当x=14时，20﹣x=6，花费的费用为：14×12+6×10=228万元；
第三种方案；当x=15时，20﹣x=5，花费的费用为：15×12+5×10=230万元；
即购买A型污水处理设备13台，则购买B型污水处理设备7台时，所需购买资金最少，最少是226万元．
7．（四川泸州卷）某中为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个校选择．
【答案】（1）设甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．（2）校的购买方案有以下三种：方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个，方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个．
试题解析：（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，由题意得：
解之得：
答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元.
（2）设甲种书柜购买个，则乙种书柜购买（）个；由题意得：
解之得：
因为取整数，所以可以取的值为：8,9,10
即：校的购买方案有以下三种：
方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个，
方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个，
方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个.#&
8．（重庆市江津）星光橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：
进价（元/台）
售价（元/台）
电饭煲
200
250
电压锅
160
200
（1）一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中购进电饭煲和电压锅各多少台？
（2）为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由；
（3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？
【答案】（1）橱具店购进电饭煲20台，电压锅10台 ；（2）故有三种方案：①防购买电饭煲23台，则购买电压锅27台；②购买电饭煲24台，则购买电压锅26台；③购买电饭煲25台，则购买电压锅25台．（3）当a=25时，W最大，此时购进电饭煲、电压锅各25台．
（3）结合（2）中的数据进行计算．
试题解析：（1）设橱具店购进电饭煲x台，电压锅y台，依题意得
，
解得，
答：橱具店购进电饭煲20台，电压锅10台 ；
（2）设购买电饭煲a台，则购买电压锅（50﹣a）台，依题意得
，
解得 22≤a≤25．
又∵a为正整数，∴a可取23，24，25．
故有三种方案：①防购买电饭煲23台，则购买电压锅27台；
②购买电饭煲24台，则购买电压锅26台；
③购买电饭煲25台，则购买电压锅25台．
9. （北师大版） 某主题公园内一个活动项目的收费标准如下：个人票，每张10元；团体票，满20张八折优惠．当人数为________时(人数不到20人)，买20人的团体票反而合算．
【答案】17，18，19
【解析】解：设有x人时买20人的团体票才能比普通票便宜，根据题意得：
，解得：16＜x＜20，故至少17人买20人的团体票才能比普通票便宜．
10. （北师大）一次生活常识竞赛一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题扣2分，小明有2题没答，竞赛成绩要超过74分，则小明至多答错______道题．
【答案】3
【解析】设小明答错x题,则答对(25-2-x)题,根据题意,可得:4(25-2-x)-2x≥74,计算出:x≤3,所以小明至多答错3题,故答案为:3.#7
