【备战2018年中考数一轮微专题突破】
专题11 用一元一次不等式（组）解决生活中的实际问题
【专题综述】
一元一次不等式组是在习了一元一次不等式组的概念和解法之后，进一步探索现实世界数量关系的重要内容，是继习了一元一次方程和二元一次方程组之后，又一次数建模思想的习，也是后续习二元一次方程等内容的重要基础，有着承前启后的作用。用一元一次不等式（组）解决生活中的实际问题，其主要步骤为：1、审题，设未知数；2、抓关键词，找不等关系；3、构建不等式（组）4 、解不等式（组）；5、根据题意，写出合理答案。
【方法解读】
一、打折问题：
例1，一双运动鞋的进价是200元，标价400元，商场要获得不低于120元的利润，问：最低可以打几折？
【举一反三】
(湖南省娄底市)某种商品的进价为1000元，出售时的标价为1500元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则最多可打（ ）．
A、6折 B、7折 C、8折 D、9折
二、赛球问题：
例2，甲、乙两队进行足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，两队一共比赛了12场，甲队保持不败，总得分超过26分，问：甲队至少胜了多少场？
【举一反三】
(江西省崇仁一中)在崇仁一中中生篮球赛中，小方共打了10场球．他在第6，7，8，9场比赛中分别得了22，15，12和19分，他的前9场比赛的平均得分y比前5场比赛的平均得分x要高 ．如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分
（1）用含x的代数式表示y；
（2）小方在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少？
（3）小方在第10场比赛中，得分可达到的最小值是多少？
三、购买问题：
例3，某种肥皂零售价每块2元，凡购买2块以上（包括2块），商场推出两种优惠销售办法。第一种：一块肥皂按原价，其余按原价的七折销售；第二种：全部按原价的八折销售。在购买的情况下，要使第一种方法比第二种方法得到的优惠多，最少需要买几块肥皂？
【举一反三】
某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品一律按商品价格的9.5折优惠.
（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？
（2）请帮小敏算一算，她购买商品的价格为多少元时，两个方案所付金额相同？
（3）购买商品的价格______元时，采用方案一更合算．
四、分苹果问题：
例4，把44个苹果分给若干名生，若每人分苹果7个，则最后1名生分得的苹果不足3个，求生人数。
【举一反三】
（广西贵港卷）在校园文化建设中，某校原计划按每班5幅订购了“名人字画”共90幅．由于新期班数增加，决定从阅览室中取若干幅“名人字画”一起分发，如果每班分4幅，则剩下17幅；如果每班分5幅，则最后一班不足3幅，但不少于1幅．
（1）该校原有的班数是多少个？
（2）新期所增加的班数是多少个？
五、方案决策问题：
例5 某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本如下表：
户 型
A
B
成 本（万元/套）
25
28
问：该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？
【举一反三】(2017年安徽省安庆)市政公司为绿化建设路风景带，计划购买甲乙两种树苗600株，甲种树苗每株50元，乙种树苗每株70元．有关统计表明，甲乙两种树苗的成活率分别为80%和95%．（注：成活率=×100%）．
（1）若购买树苗的钱不超过40000元，应如何选购甲、乙两种树苗；
（2）若希望这批树苗的成活率不低于90%，且购买树苗的费用最低，应如何选购甲、乙两种树苗并求出最低费用是多少元．
【强化训练】
1. (内蒙古翁牛特旗乌丹第六中)小明用的练习本可以到甲、乙两家商店购买，已知两商店的标价都是每本1元，甲商店的优惠条件是购买10本以上，从第11本开始按标价的70％出售；乙商店的优惠条件是，从第一本起按标价的80％出售。
（1）若设小明要购买x(x＞10)本练习本，则当小明到甲商店购买时，须付
款 元，当到乙商店购买时，须付款 元；
（2）买多少本练习本时，两家商店付款相同？
（3）请你给出小明购买建议。
2. (2013-2014年浙江宁波宁)一群驴友自助登山，登山前组织者给每人都发了矿泉水：若每人发2瓶，则剩余5瓶，若每人发4瓶，则其中有一人有矿泉水但不足4瓶．请求出驴友人数和矿泉水瓶数．
3.（2014年中考数） 5月12日是母亲节，小明去花店买花送给母亲，挑中了象征温馨、母爱的康乃馨和象征高贵、尊敬的兰花两种花，已知康乃馨每支5元，兰花每支3元，小明只有30元，希望购买花的支数不少于7支，其中至少有一支是康乃馨．
（1）小明一共有多少种可能的购买方案？列出所有方案；
（2）如果小明先购买一张2元的祝福卡，再从（1）中任选一种方案购花，求他能实现购买愿望的概率．
4. (河南平顶山华英校)有一群猴子，一天结伴去偷桃子，在分桃子时，如果每个猴子分了3个，那么还剩55个；如果每一个猴子分5个，都能分得桃子，但剩下一个猴子分得的桃子不够4个，你能求出有几只猴子，几个桃子吗？
5.（辽宁省丹东市） 和谐商场销售甲，乙两种商品，甲钟商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元。
（1）若该商场同时购进甲，乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求能购进甲，乙两种商品各多少件？
（2）该商场为使甲，乙两种商品共100件的总利润（利润=售价—进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案。
6. （2014届北京市丰台区）某产品生产车间有工人10名．已知每名工人每天可生产甲种产品12个或乙种产品10个，且每生产一个甲种产品可获利润100元，每生产一个乙种产品可获利润180元．在这10名工人中，如果要使此车间每天所获利润不低于15600元，你认为至少要派多少名工人去生产乙种产品才合适．
7.（江西省崇仁一中） 在崇仁一中中生篮球赛中，小方共打了10场球．他在第6，7，8，9场比赛中分别得了22，15，12和19分，他的前9场比赛的平均得分y比前5场比赛的平均得分x要高 ．如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分
（1）用含x的代数式表示y；
（2）小方在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少？
（3）小方在第10场比赛中，得分可达到的最小值是多少？
【】2015届江西省崇仁一中九年级上期入考试数试卷（带解析）
8.（重庆市开县三合） 商场经营某品牌服装，去年11月份的销量为100件，为了扩大销量，12月商场对这种服装打9折销售，结果销量增加了50%，销售额增加了28000元．
（1）求该服装去年11月份的销售单价和销售额各是多少；
（2）若去年11月份销售这种服装获利20000元，今年1月份全月商场为迎新年进行促销，此服装在去年11月销售价的基础上一律打8折销售，若该服装成本不变，则销量至少为多少件，才能保证今年1月的利润比去年11月利润至少增加25%？
9. （浙江省宁波慈城中）某校为了奖励获奖的生，买了若干本课外读物，如果每人送3本，还余8本；如果前面每人送5本，则最后一人得到的课外读物有但不足4本。设该校买了m本课外读物，有x名生获奖，试解：
（1）用含x的代数式表示；
（2）获奖人数至少有多少人？并求出此时所买课外读物的本数。
10. （江苏省建湖县汇文实验初中）某商品的进价为800元，出售标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，要保证利润率不低于5％，该商品最多可打 （ ）
A．9折 B．8折 C．7折 D．6折
【专题综述】
一元一次不等式组是在习了一元一次不等式组的概念和解法之后，进一步探索现实世界数量关系的重要内容，是继习了一元一次方程和二元一次方程组之后，又一次数建模思想的习，也是后续习二元一次方程等内容的重要基础，有着承前启后的作用。用一元一次不等式（组）解决生活中的实际问题，其主要步骤为：1、审题，设未知数；2、抓关键词，找不等关系；3、构建不等式（组）4 、解不等式（组）；5、根据题意，写出合理答案。
【方法解读】
一、打折问题：
例1，一双运动鞋的进价是200元，标价400元，商场要获得不低于120元的利润，问：最低可以打几折？
解：利润 = 售价－进价。设可以打x折，则：400×0.1x－200≥120
解之得，x≥8*
答：最低可以打8折。
【解读】根据利润=售价－进价得出答案，售价=标价×折扣．
【举一反三】
(湖南省娄底市)某种商品的进价为1000元，出售时的标价为1500元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则最多可打（ ）．
A、6折 B、7折 C、8折 D、9折
二、赛球问题：
例2，甲、乙两队进行足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，两队一共比赛了12场，甲队保持不败，总得分超过26分，问：甲队至少胜了多少场？
解：甲队总得分 = 甲队胜场的得分＋甲队平场的得分。设甲队胜了x场，
则：3x＋1×（12－x）＞26 解之得，x＞7
∴x的最小整数值是8 。
答：甲队至少胜了8场。*
【解读】甲队总得分 = 甲队胜场的得分＋甲队平场的得分，甲队胜场的得分=胜场数×胜一场得分，甲队平场的得分=平场数×平一场得分.
【举一反三】
(江西省崇仁一中)在崇仁一中中生篮球赛中，小方共打了10场球．他在第6，7，8，9场比赛中分别得了22，15，12和19分，他的前9场比赛的平均得分y比前5场比赛的平均得分x要高 ．如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分
（1）用含x的代数式表示y；
（2）小方在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少？
（3）小方在第10场比赛中，得分可达到的最小值是多少？
三、购买问题：
例3，某种肥皂零售价每块2元，凡购买2块以上（包括2块），商场推出两种优惠销售办法。第一种：一块肥皂按原价，其余按原价的七折销售；第二种：全部按原价的八折销售。在购买的情况下，要使第一种方法比第二种方法得到的优惠多，最少需要买几块肥皂？
解：设需要买x块肥皂，第一种方法的购价为：2＋2×0.7×（x－1）元，
第二种方法的购价为：2×0.8 = 1.6元。则：2＋2×0.7×（x－1）＜1.6
解之得，x＞3
∴x的最小整数值是4 。
答：最少需要买4块肥皂。
【解读】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）根据两种方案所付金额相同列出关于x的一元一次方程；（3）根据方案一所付金额小于方案二所付金额列出关于y的一元一次不等式
【举一反三】
某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品一律按商品价格的9.5折优惠.
（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？
（2）请帮小敏算一算，她购买商品的价格为多少元时，两个方案所付金额相同？
（3）购买商品的价格______元时，采用方案一更合算．
四、分苹果问题：
例4，把44个苹果分给若干名生，若每人分苹果7个，则最后1名生分得的苹果不足3个，求生人数。
解：最后1名生分得的苹果数 = 苹果总数－7（生数－1），设生人数为x名，则：
44－（x－1）×7＞0 ①
44－（x－1）×7＜3 ②
解之得，＜x＜ ∵x是整数， ∴x=7*
答：生人数是7人。[
【解读】苹果的总量不变，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的不等关系列出不等式，再求解．
【举一反三】
（广西贵港卷）在校园文化建设中，某校原计划按每班5幅订购了“名人字画”共90幅．由于新期班数增加，决定从阅览室中取若干幅“名人字画”一起分发，如果每班分4幅，则剩下17幅；如果每班分5幅，则最后一班不足3幅，但不少于1幅．
（1）该校原有的班数是多少个？
（2）新期所增加的班数是多少个？
五、方案决策问题：
例5 某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本如下表：
户 型
A
B
成 本（万元/套）
25
28
问：该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？
解：建房成本 = A户型住房的成本＋B户型住房的成本。设建A户型住房x套，B户型住房（80－x）套，则：
25x＋28（80－x）≥2090 ①
25x＋28（80－x）≤2096 ②
解之得，48≤x≤50
∵x是整数，∴x=48或49或50。*
答：该公司对这两种户型住房共有三种建房方案：
方案一：建A户型住房48套，B户型住房32套；
方案二：建A户型住房49套，B户型住房31套；
方案三：建A户型住房50套，B户型住房30套。
【解读】此题考查了一元一次不等式的应用，以及列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的不等关系列出不等式，再求解．
【举一反三】(2017年安徽省安庆)市政公司为绿化建设路风景带，计划购买甲乙两种树苗600株，甲种树苗每株50元，乙种树苗每株70元．有关统计表明，甲乙两种树苗的成活率分别为80%和95%．（注：成活率=×100%）．
（1）若购买树苗的钱不超过40000元，应如何选购甲、乙两种树苗；
（2）若希望这批树苗的成活率不低于90%，且购买树苗的费用最低，应如何选购甲、乙两种树苗并求出最低费用是多少元．
【强化训练】
1. (内蒙古翁牛特旗乌丹第六中)小明用的练习本可以到甲、乙两家商店购买，已知两商店的标价都是每本1元，甲商店的优惠条件是购买10本以上，从第11本开始按标价的70％出售；乙商店的优惠条件是，从第一本起按标价的80％出售。
（1）若设小明要购买x(x＞10)本练习本，则当小明到甲商店购买时，须付
款 元，当到乙商店购买时，须付款 元；
（2）买多少本练习本时，两家商店付款相同？
（3）请你给出小明购买建议。
【答案】(1) (0.7x+3)，0.8x；(2)30;(3)见解析
2. (2013-2014年浙江宁波宁)一群驴友自助登山，登山前组织者给每人都发了矿泉水：若每人发2瓶，则剩余5瓶，若每人发4瓶，则其中有一人有矿泉水但不足4瓶．请求出驴友人数和矿泉水瓶数．
【答案】驴友人数可能是3人、矿泉水11瓶，或驴友4人矿泉水13瓶
【解析】
试题分析：设驴友为x人，则矿泉水有（2x+5）瓶，根据“若每人发4瓶，则其中有一人有矿泉水但不足4瓶”可知：0＜2×驴友人数+5-4×（驴友人数-1）＜4，根据这个关系可列不等式组求解．
试题解析：设驴友为x人，矿泉水瓶数为y，根据题意得： 0＜2x+5-4（x-1）＜4（或1≤2x+5-4（x-1）≤3?） 解得：＜x＜（或3≤x≤4?）， ∵x是整数， ∴x=3或4， 当x=3时，y=2x+5=11； 当x=4时，y=2x+5=13． ∴驴友人数可能是3人、矿泉水11瓶，或驴友4人矿泉水13瓶．
3.（2014年中考数） 5月12日是母亲节，小明去花店买花送给母亲，挑中了象征温馨、母爱的康乃馨和象征高贵、尊敬的兰花两种花，已知康乃馨每支5元，兰花每支3元，小明只有30元，希望购买花的支数不少于7支，其中至少有一支是康乃馨．
（1）小明一共有多少种可能的购买方案？列出所有方案；
（2）如果小明先购买一张2元的祝福卡，再从（1）中任选一种方案购花，求他能实现购买愿望的概率．
【答案】（1）共有8种购买方案，
方案1：购买康乃馨1支，购买兰花6支；
方案2：购买康乃馨1支，购买兰花7支；
方案3：购买康乃馨1支，购买兰花8支；
方案4：购买康乃馨2支，购买兰花5支；
方案5：购买康乃馨2支，购买兰花6支；
方案6：购买康乃馨3支，购买兰花4支；
方案7：购买康乃馨3支，购买兰花5支；
方案8：购买康乃馨4支，购买兰花3支；
（2）
当x=5时，y=1舍去，
当x=6时，y=0舍去．
共有8种购买方案，
方案1：购买康乃馨1支，购买兰花6支；
方案2：购买康乃馨1支，购买兰花7支；
方案3：购买康乃馨1支，购买兰花8支；
方案4：购买康乃馨2支，购买兰花5支；
方案5：购买康乃馨2支，购买兰花6支；
方案6：购买康乃馨3支，购买兰花4支；
方案7：购买康乃馨3支，购买兰花5支；
方案8：购买康乃馨4支，购买兰花3支；
4. (河南平顶山华英校)有一群猴子，一天结伴去偷桃子，在分桃子时，如果每个猴子分了3个，那么还剩55个；如果每一个猴子分5个，都能分得桃子，但剩下一个猴子分得的桃子不够4个，你能求出有几只猴子，几个桃子吗？
【答案】有30只猴子，149个桃子或有31只猴子，152个桃子．
【解析】试题分析：设有x只猴子，则有（3x+55）个桃子，根据桃子所剩的数量作为不等关系可列不等式：0＜（3x+55）-5（x-1）＜4，解之可得解集，取整数解即可．
试题解析：设有x只猴子，则有（3x+55）个桃子，根据题意得：
0＜（3x+55）-5（x-1）＜4，
解得28＜x＜30，
∵x为正整数，
∴x=29，
当x=29时，3x+55=142（个）．
答：有29只猴子，142个桃子．
5.（辽宁省丹东市） 和谐商场销售甲，乙两种商品，甲钟商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元。
（1）若该商场同时购进甲，乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求能购进甲，乙两种商品各多少件？
（2）该商场为使甲，乙两种商品共100件的总利润（利润=售价—进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案。
【答案】（1）商场购进甲种商品40件，乙种商品60件．（2）方案一：购进甲种商品48件，购进乙种商品52件．方案二：购进甲种商品49件，购进乙种商品51件．方案三：购进甲种商品50件，购进乙种商品50件．
（2）设该商场购进甲种商品a件，则购进乙种商品（100-a）件，根据题意得：
解得：48≤a≤50；（7分）
∵a是正整数，
∴a=48或a=49或a=50；
∴进货方案有三种：
方案一：购进甲种商品48件，购进乙种商品52件．
方案二：购进甲种商品49件，购进乙种商品51件．
方案三：购进甲种商品50件，购进乙种商品50件．
6. （2014届北京市丰台区）某产品生产车间有工人10名．已知每名工人每天可生产甲种产品12个或乙种产品10个，且每生产一个甲种产品可获利润100元，每生产一个乙种产品可获利润180元．在这10名工人中，如果要使此车间每天所获利润不低于15600元，你认为至少要派多少名工人去生产乙种产品才合适．
【答案】6名.
7.（江西省崇仁一中） 在崇仁一中中生篮球赛中，小方共打了10场球．他在第6，7，8，9场比赛中分别得了22，15，12和19分，他的前9场比赛的平均得分y比前5场比赛的平均得分x要高 ．如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分
（1）用含x的代数式表示y；
（2）小方在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少？
（3）小方在第10场比赛中，得分可达到的最小值是多少？
【】2015届江西省崇仁一中九年级上期入考试数试卷（带解析）
【答案】（1）；
（2）小方在前5场比赛中总分的最大值应为84分；
（3）小方在第10场比赛中得分的最小值应为29分 ．
【解析】
8.（重庆市开县三合） 商场经营某品牌服装，去年11月份的销量为100件，为了扩大销量，12月商场对这种服装打9折销售，结果销量增加了50%，销售额增加了28000元．
（1）求该服装去年11月份的销售单价和销售额各是多少；
（2）若去年11月份销售这种服装获利20000元，今年1月份全月商场为迎新年进行促销，此服装在去年11月销售价的基础上一律打8折销售，若该服装成本不变，则销量至少为多少件，才能保证今年1月的利润比去年11月利润至少增加25%？
【答案】（1）800，80000；（2）625．
【解析】
试题分析：
（1）设11月份的销售单价为x，表示出11月份及12月份的销售量，根据12月份比11月份销量增加50%可得出方程，解出即可；
（2）利用（1）中所求得出每件衣服的成本，再由今年1月的利润比去年11月的利润至少增长25%，可得出不等式，解出即可．
试题解析：（1）设该服装去年11月份的销售单价为每件x元，那么：
，解之得：，
∴该服装去年11月份的销售单价为每件元，
∴服装去年11月份的销售额是：元；
（2）设每件服装的成本为y元，则：，∴，
设今年1月份服装的销售数量为件，那么：
，∴，
∴销量至少为件，才能保证今年1月的利润比去年11月利润至少增加25%．
9. （浙江省宁波慈城中）某校为了奖励获奖的生，买了若干本课外读物，如果每人送3本，还余8本；如果前面每人送5本，则最后一人得到的课外读物有但不足4本。设该校买了m本课外读物，有x名生获奖，试解：
（1）用含x的代数式表示；
（2）获奖人数至少有多少人？并求出此时所买课外读物的本数。
【答案】（1）m=3x+8---2分（2）0＜3x+8-5（x-1）＜4 4.5＜x＜6.5 至少5人 此时m=23
10. （江苏省建湖县汇文实验初中）某商品的进价为800元，出售标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，要保证利润率不低于5％，该商品最多可打 （ ）
A．9折 B．8折 C．7折 D．6折
【答案】
【解析】C
试题分析：根据利润=售价－进价得出答案．根据题意得：1200x－800≥800×5% 解得：x≥0．7，即最多可以打7折．
