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人教版八年级下册第18章《平行四边形》典型考题精讲精练教师版
一：知识精析：
1. 平行四边形的性质：
（1） 边：平行四边形的两组 分别相等，平行四边形的两组 分别平行
（2） 角：平行四边形的两组 分别相等，任意一组 互补
（3） 对角线：平行四边形的对角线互相 .
（4） 对称性：平行四边形是中心对称，对角线的交点是对称中心
（5） 面积：面积＝ .
2. 平行四边形的判定：
（1）定义法：两组对边分别 的四边形叫做平行四边形
（2）两组对边分别 的四边形是平行四边形
（3）一组对边 的四边形是平行四边形
（4）两组对角 的四边形是平行四边形
（5）两条对角线 的四边形是平行四边形．
3. 平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的 叫做这两条平行线间的距离．
4. 方法与技巧：常与三角形全等、勾股定理等综合考查平行四边形的判定与性质，或以面积、周长、角度等计算或线段位置及数量关系命制考题；或命制成开放性命题如补充条件、翻折、剪拚等动手操作探究性考题，涉及分类、转化、方程等数学思想方法的考查。
二：类题精讲：
类型一： 翻折、剪拚等操作中考查平行四边形判定与性质
典例1：.（2017·安徽）在三角形纸片ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AC=30cm，将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图1），减去△CDE后得到双层△BDE（如图2），再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为 cm．
【解答】解：∵∠A=90°，∠C=30°，AC=30cm，∴AB=10，∠ABC=60°，
∵△ADB≌△EDB，∴∠ABD=∠EBD=∠ABC=30°，BE=AB=10，∴DE=10，BD=20，
如图1，平行四边形的边是DF，BF，且BD= ，BE=，∴平行四边形的周长=，
如图2，平行四边形的边是DE，EG，且DF=BF=10，∴平行四边形的周长=40，
综上所述：平行四边形的周长为40或，故答案为：40或．
类型二： 平行四边形判定与性质与三角形全等综合运用
典例2：(2017·铜仁)如图，已知点E，F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上的两点，连接AE，CF，请你添加一个条件，使得△ABE≌△CDF，并证明．
【解答】解：答案不唯一，例如：可添加的条件是DE＝BF，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠EBA＝∠FDC，
∵DE＝BF，∴BE＝DF，
∵在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(SAS)．
类型三： 平行四边形判定与性质与勾股定理等综合运用
典例3：(2017·齐齐哈尔)如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC=10，BC=12，沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是 ．21教育网
【解答】解：如图：过点A作AD⊥BC于点D，∵△ABC边AB=AC=10cm，BC=12cm，∴BD=DC=6cm，∴AD=8cm21·cn·jy·com
如图①所示：可得四边形ACBD是矩形，则其对角线长为：10cm，
如图②所示：AD=8cm，连接BC，过点C作CE⊥BD于点E，则EC=8cm，BE=2BD=12cm则BC=4cm，【来源：21·世纪·教育·网】
如图③所示：BD=6cm，由题意可得：AE=6cm，EC=2BE=16cm，故AC==2cm，
故答案为：10cm，2cm，4cm．
三：自我精练
一、单选题（共10题，每题3分；共30分）
1. （2017·黔西南州）四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠A＝∠C B．AD∥BC C．∠A＝∠B D．对角线互相平分
2.(2017·眉山)如图，EF过 ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若 ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( )21·世纪*教育网
A．14 B．13 C．12 D．10
3（2017·河池）如图，在 ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5，DE=6，则AG的长是（ ）21*cnjy*com
A．6 B．8 C．10 D．12
4.（2017·孝感）如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，AB=DE，则下列结论成立的个数是（ ）www-2-1-cnjy-com
①AB∥DE；②EF∥AD∥BC；③AF=CD；④四边形ACDF是平行四边形；⑤六边形ABCDEF既是中心对称图形，又是轴对称图形．【来源：21cnj*y.co*m】
A．2 B．3 C．4 D．5
5. （2017·青岛）如图，的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，，AC=2，BD=4，则AE的长为（ ）【出处：21教育名师】
A． B． C． D．
6．（2017·辽阳）如图，在 ABCD中，∠BAD＝120°，连接BD，作AE∥BD交CD延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF＝1，则AB的长是（ ）
A．2 B．1 C． D．
7 （2017·贵阳）如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则 ABCD的周长为（ ）【版权所有：21教育】
A．6 B．12 C．18 D．24
8.（2017·黄石）如图，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE=∠ABE＋∠CBD，AC=1，则BD必定满足（ ）21*cnjy*com
A．BD＜2 B．BD=2 C．BD＞2 D．以上情况均有可能
9(2017·阜新，7，3分)如图，将□ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点A′处，若∠A＝55°，∠ABD＝45°，则∠A′BC的大小为（ ）2·1·c·n·j·y
A．30° B．35° C．40° D．45°
10.（2017·泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC=EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：
①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC=FB；④PF=PC，
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分共15分）
11.（2017·西宁）如图，将 ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A=60°，AD=4，AB=8，则AE的长为 ．
12.（2017·连云港）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠EAF＝56°，则∠B＝ ．
13.（2017·绵阳）如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是（6，0），点C的坐标是（1，4），则点B的坐标是 ．
14. (201·南充)如图，在 ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，S△BPG＝1，则S AEPH＝ ．
15.(2017·怀化)如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长是 cm．21cnjy.com
三：解答题（16，17题每题6分，18，19题每题7分，20，21题每题8分，22题10分，23题11分，24题12分，共75分）21教育名师原创作品
16.（2017·淮安）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：△ADE≌△CBF．
17．(2017·咸宁)如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DF，BE＝FC．
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
18. （2017·湘潭）如图，在□ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若AB＝2BC，∠F＝36°．求∠B的度数．
19.（2017·吉林）图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．21世纪教育网版权所有
（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；（所画图形不全等）
（2）在图③中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．
20. （2017·镇江）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A=∠F，∠1=∠2．2-1-c-n-j-y
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
21. （2017·凉山改编）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D、E分别是BC、AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于F．若AB=4，BD=,求四边形AFBD的面积．
22. （2017·大庆）如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE=BF．www.21-cn-jy.com
（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；
（2）当∠C=45°，BD=2时，求D，F两点间的距离．
23.（2017·泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．
（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；
（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；
（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．
24.（2017·潍坊）边长为6的等边△ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，DE∥AB，EC=2
（1）如图1，将△DEC沿射线方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N，当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由．
（2）如图2，将△DEC绕点C旋转∠α（0°＜α＜360°），得到△D′E′C，连接AD′、BE′．边D′E′的中点为P．
①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；
②连接AP，当AP最大时，求AD′的值．（结果保留根号）
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人教版八年级下册第18章《平行四边形》典型考题精讲精练教师版
一：知识精析：
1. 平行四边形的性质：
（1） 边：平行四边形的两组对边分别相等，平行四边形的两组对边分别平行
（2） 角：平行四边形的两组对角分别相等，任意一组邻角互补
（3） 对角线：平行四边形的对角线互相平分
（4） 对称性：平行四边形是中心对称，对角线的交点是对称中心
（5） 面积：面积＝底×高．
2. 平行四边形的判定：
（1）定义法：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（5）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．
3. 平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线间的距离．
4. 方法与技巧：常与三角形全等、勾股定理等综合考查平行四边形的判定与性质，或以面积、周长、角度等计算或线段位置及数量关系命制考题；或命制成开放性命题如补充条件、翻折、剪拚等动手操作探究性考题，涉及分类、转化、方程等数学思想方法的考查。
二：类题精讲：
类型一： 翻折、剪拚等操作中考查平行四边形判定与性质
典例1：.（2017·安徽）在三角形纸片ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AC=30cm，将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图1），减去△CDE后得到双层△BDE（如图2），再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为 cm．
【解答】解：∵∠A=90°，∠C=30°，AC=30cm，∴AB=10，∠ABC=60°，
∵△ADB≌△EDB，∴∠ABD=∠EBD=∠ABC=30°，BE=AB=10，∴DE=10，BD=20，
如图1，平行四边形的边是DF，BF，且BD= ，BE=，∴平行四边形的周长=，
如图2，平行四边形的边是DE，EG，且DF=BF=10，∴平行四边形的周长=40，
综上所述：平行四边形的周长为40或，故答案为：40或．
类型二： 平行四边形判定与性质与三角形全等综合运用
典例2：(2017·铜仁)如图，已知点E，F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上的两点，连接AE，CF，请你添加一个条件，使得△ABE≌△CDF，并证明．
【解答】解：答案不唯一，例如：可添加的条件是DE＝BF，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠EBA＝∠FDC，
∵DE＝BF，∴BE＝DF，
∵在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(SAS)．
类型三： 平行四边形判定与性质与勾股定理等综合运用
典例3：(2017·齐齐哈尔)如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC=10，BC=12，沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是 ．21教育网
【解答】解：如图：过点A作AD⊥BC于点D，∵△ABC边AB=AC=10cm，BC=12cm，∴BD=DC=6cm，∴AD=8cmwww.21-cn-jy.com
如图①所示：可得四边形ACBD是矩形，则其对角线长为：10cm，
如图②所示：AD=8cm，连接BC，过点C作CE⊥BD于点E，则EC=8cm，BE=2BD=12cm则BC=4cm，21·世纪*教育网
如图③所示：BD=6cm，由题意可得：AE=6cm，EC=2BE=16cm，故AC==2cm，
故答案为：10cm，2cm，4cm．
三：自我精练
一、单选题（共10题，每题3分；共30分）
1. （2017·黔西南州）四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠A＝∠C B．AD∥BC C．∠A＝∠B D．对角线互相平分
【解答】解：C.
2.(2017·眉山)如图，EF过 ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若 ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( )21·cn·jy·com
A．14 B．13 C．12 D．10
【解答】解：C．
3（2017·河池）如图，在 ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5，DE=6，则AG的长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【解答】解：B．
4.（2017·孝感）如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，AB=DE，则下列结论成立的个数是（ ）【出处：21教育名师】
①AB∥DE；②EF∥AD∥BC；③AF=CD；④四边形ACDF是平行四边形；⑤六边形ABCDEF既是中心对称图形，又是轴对称图形．
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：D．
5. （2017·青岛）如图，的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，，AC=2，BD=4，则AE的长为（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
【解答】解：D．
6．（2017·辽阳）如图，在 ABCD中，∠BAD＝120°，连接BD，作AE∥BD交CD延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF＝1，则AB的长是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【解答】解：B．
7 （2017·贵阳）如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则 ABCD的周长为（ ）21教育名师原创作品
A．6 B．12 C．18 D．24
【解答】解：B．
8.（2017·黄石）如图，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE=∠ABE＋∠CBD，AC=1，则BD必定满足（ ）
A．BD＜2 B．BD=2 C．BD＞2 D．以上情况均有可能
【解答】解：A．
9(2017·阜新，7，3分)如图，将□ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点A′处，若∠A＝55°，∠ABD＝45°，则∠A′BC的大小为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【解答】解：B．
10.（2017·泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC=EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：21cnjy.com
①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC=FB；④PF=PC，
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：D．
二、填空题（每小题3分共15分）
11.（2017·西宁）如图，将 ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A=60°，AD=4，AB=8，则AE的长为 ．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：
12.（2017·连云港）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠EAF＝56°，则∠B＝ ．2-1-c-n-j-y
【解答】解：56°．
13.（2017·绵阳）如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是（6，0），点C的坐标是（1，4），则点B的坐标是 ．
【解答】解：（7，4）．
14. (201·南充)如图，在 ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，S△BPG＝1，则S AEPH＝ ．21世纪教育网版权所有
【解答】解：4．
15.(2017·怀化)如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长是 cm．【版权所有：21教育】
【解答】解：10．
三：解答题（16，17题每题6分，18，19题每题7分，20，21题每题8分，22题10分，23题11分，24题12分，共75分）
16.（2017·淮安）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：△ADE≌△CBF．
【解答】解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，·∴∠AED＝∠CFB＝90°，在△ADE和△CBF中，，
∴△ADE≌△CBF（AAS）．
17．(2017·咸宁)如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DF，BE＝FC．
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
【解答】解：证明：(1)∵BE＝FC，∴BC＝EF，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE(SSS)；【来源：21·世纪·教育·网】
(2)解：连接AF、BD，如图所示：由(1)知△ABC≌△DFE，∴∠ABC＝∠DFE，∴AB∥DF，∵AB＝DF，∴四边形ABDF是平行四边形．
18. （2017·湘潭）如图，在□ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若AB＝2BC，∠F＝36°．求∠B的度数．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠D＝∠ECF，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）解：∵△ADE≌△FCE，∴AD＝FC，∵AD＝BC，AB＝2BC，∴AB＝FB，∴∠BAF＝∠F＝36°，∴∠B＝180°－2×36°＝108°．【来源：21cnj*y.co*m】
19.（2017·吉林）图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．
（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；（所画图形不全等）
（2）在图③中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．
【解答】解：（1）如图①、②所示，△ABC和△ABD即为所求；
（2）如图③所示，即为所求．
20. （2017·镇江）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A=∠F，∠1=∠2．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
【解答】解：（1）证明：∵∠A=∠F，∴DE∥BC，∵∠1=∠2，且∠1=∠DMF，∴∠DMF=∠2，
∴DB∥EC，则四边形BCED为平行四边形；
（2）解：∵BN平分∠DBC，∴∠DBN=∠CBN，∵EC∥DB，∴∠CNB=∠DBN，∴∠CNB=∠CBN，∴CN=BC=DE=2．
21. （2017·凉山改编）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D、E分别是BC、AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于F．若AB=4，BD=,求四边形AFBD的面积．
【解答】解：∵D是BC中点，∴BC=2BD=， ∵∠BAC=90°，AB=4，∴则由勾股定理得AC=6；∵AF∥BC，∴∠AFC=∠FCD，在△AEF与△DEC中，
∴△AEF≌△DEC（AAS）．∴AF=DC，∵BD=DC，∴AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∴S四边形AFBD=2S△ABD，又∵BD=DC，∴S△ABC=2S△ABD，∴S四边形AFBD=S△ABC，∵∠BAC=90°，AB=4，AC=6，∴S△ABC=AB AC=×4×6=12，∴S四边形AFBD=12．
22. （2017·大庆）如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE=BF．
（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；
（2）当∠C=45°，BD=2时，求D，F两点间的距离．
【解答】解：（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C，∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG=∠ABC=∠C，四边形CDEG是平行四边形，∴∠DEG=∠C，∵BE=BF，∴∠BFE=∠BEF=∠AEG=∠ABC，∴∠F=∠DEG，∴BF∥DE，∴四边形BDEF为平行四边形；21*cnjy*com
（2）解：∵∠C=45°，∴∠ABC=∠BFE=∠BEF=45°，∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，∴BF=BE=BD=，FM⊥BD于M，连接DF，如图所示：则△BFM是等腰直角三角形∴FM=BM=BF=1，∴DM=3，在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF==，即D，F两点间的距离为．
23.（2017·泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．
（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；
（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；
（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．
【解答】解：（1）证明：在 ABCD中，∵AD=AC，AD⊥AC，∴AC=BC，AC⊥BC，
连接CE，∵E是AB的中点，∴AE=EC，CE⊥AB，∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠ECF=∠EAD=135°，∵ED⊥EF，∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED，在△CEF和△AED中，，∴△CEF≌△AED，∴ED=EF；
（2）解：由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD，∵AD=AC，∴AC=CF，∵DP∥AB，∴FP=PB，∴CP=AB=AE，∴四边形ACPE为平行四边形；
（3）解：垂直，理由：过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，在△AME与△CNE中，，∴△AME≌△CNE，∴∠ADE=∠CFE，在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE，∴∠DEA=∠FEC，∵∠DEA+∠DEC=90°，∴∠CEF+∠DEC=90°，∴∠DEF=90°，∴ED⊥EF．
24.（2017·潍坊）边长为6的等边△ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，DE∥AB，EC=2
（1）如图1，将△DEC沿射线方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N，当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由．
（2）如图2，将△DEC绕点C旋转∠α（0°＜α＜360°），得到△D′E′C，连接AD′、BE′．边D′E′的中点为P．
①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；
②连接AP，当AP最大时，求AD′的值．（结果保留根号）
【解答】解：：（1）当CC'=时，四边形MCND'是菱形．理由：由平移的性质得，CD∥C'D'，DE∥D'E'，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，∴∠ACC'=180°﹣∠ACB=120°，∵CN是∠ACC'的角平分线，∴∠D'E'C'= ∠ACC'=60°=∠B，∴∠D'E'C'=∠NCC'，∴D'E'∥CN，∴四边形MCND'是平行四边形，∵∠ME'C'=∠MCE'=60°，∠NCC'=∠NC'C=60°，∴△MCE'和△NCC'是等边三角形，∴MC=CE'，NC=CC'，∵E'C'=2，∵四边形MCND'是菱形，∴CN=CM，∴CC'=E'C'=；2·1·c·n·j·y
（2）①AD'=BE'，理由：当α≠180°时，由旋转的性质得，∠ACD'=∠BCE'，由（1）知，AC=BC，CD'=CE'，∴△ACD'≌△BCE'，∴AD'=BE'，当α=180°时，AD'=AC+CD'，BE'=BC+CE'，即：AD'=BE'，综上可知：AD'=BE'．
②如图连接CP，在△ACP中，由三角形三边关系得，AP＜AC+CP，∴当点A，C，P三点共线时，AP最大，图1，在△D'CE'中，由P为D'E的中点，得AP⊥D'E'，PD'=，∴CP=3，∴AP=6+3=9，在Rt△APD'中，由勾股定理得，AD'==2．
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