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人教版八年级下册第18章《特殊平行四边形》典型考题精讲精练教师版
一：知识精析：
1. 矩形：
（1） 定义：有一个角是 的平行四边形叫矩形
（2） 性质：矩形的四个角都是 ；矩形的对角线 且互相平分；矩形既
是 图形，又是 对称图形；矩形具有平行四边形的性质
（3） 判定：有一个角是 的平行四边形是矩形；或者对角线 的平行四边形是矩形；或者有 角是直角的四边形是矩形2-1-c-n-j-y
2. 菱形：
（1） 定义：有一组 相等的平行四边形叫做菱形
（2） 性质：菱形的 条边都相等；菱形的对角线互相 ，并且每一条对角线 一组对角；菱形是 对称图形，也是 对称图形21*cnjy*com
（3） 判定：一组 相等的平行四边形是菱形；或者对角线 的平行四边形是菱形；或者 条边都相等的四边形是菱形
（4） 菱形的面积：菱形的面积等于两条对角线乘积的
3. 正方形：
(1) 定义：有一组 的平行四边形叫做正方形
（2）性质：两组对边分别平行，四条边都相等、相邻两边互相垂直；四个角都是直角；对角线互相垂直、对角线相等且互相平分；正方形即是轴对称图形，也是中心对称图形
（3）判定：一组邻边相等的 是正方形；或者有一个角是直角的 是正方形；或者对角线互相垂直平分且相等的 是正方形；或者四条边都相等且有一个角是直角
的 是正方形
4. 方法与技巧：关联中点、角平分线、线段垂直平分线、等腰三角形、直角三角形等核心知识点，常以面积、周长、角度等计算或线段位置及数量关系命制考题；或命制成开放性命题如补充条件、翻折、剪拚等动手操作探究性考题，涉及对称、等积法、配方法、分类、转化、数形结合、方程与函数等数学思想方法的考查。
二：类题精讲：
类型一：勾股模型相关的计算与分类思想
典例1：.（2017·哈尔滨）四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE＝，求CE的长．21教育名师原创作品
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝6，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，
∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝6，∴OB＝BD＝3，∴OC＝OA＝＝3，∴AC＝2OA＝6，∵点E在AC上，OE＝，∴CE＝OC＋或CE＝OC－，∴CE＝4或CE＝2；
类型二：面积与周长相关计算与等积转化思想
典例2：（2017·贵港改编）如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列四个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③AN2+CM2=MN2；④若AB=4，则S△OMN的最小值是2，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，∴∠BCN+∠DCN=90°，又∵CN⊥DM，
∴∠CDM+∠DCN=90°，∴∠BCN=∠CDM，又∵∠CBN=∠DCM=90°，
∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；
根据△CNB≌△DMC，可得CM=BN，又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，∴△OCM≌△OBN（SAS），∴OM=ON，∠COM=∠BON，∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即∠DOM=∠CON，
又∵DO=CO，∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；
∵AB=BC，CM=BN，∴BM=AN，又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，∴AN2+CM2=MN2，故③正确；21·cn·jy·com
∵△OCM≌△OBN，∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=4，即四边形BMON的面积是定值1，∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，设BN=x=CM，则BM=4﹣x，∴△MNB的面积=x（4﹣x）=_（x-2）2+2，∴当x=2时，△MNB的面积有最大值2，此时S△OMN的最小值是4﹣2=2，故④正确；综上所述，正确结论的个数是4个，
故选：D．
类型三：全等推理下的方程与函数转化与建模思想
典例3 （2017·南通）如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求证：四边形BPEQ是菱形；
（2）若AB＝6，F为AB的中点，OF＋OB＝9，求PQ的长．
【解答】（1）证明：∵PQ垂直平分BE，∴QB＝QE，OB＝OE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PEO＝∠QBO，在△BOQ与△EOP中，，∴△BOQ≌△EOP（ASA），∴PE＝QB，又∵AD∥BC，∴四边形BPEQ是平行四边形，又∵QB＝QE，∴四边形BPEQ是菱形；
（2）解：∵O，F分别为PQ，AB的中点，∴AE＋BE＝2OF＋2OB＝18，设AE＝x，则BE＝18－x，在Rt△ABE中，62＋x2＝（18－x）2，解得x＝8，BE＝18－x＝10，∴OB＝BE＝5，设PE＝y，则AP＝8－y，BP＝PE＝y，在Rt△ABP中，62＋（8－y）2＝y2，解得y＝，在Rt△BOP中，PO＝，∴PQ＝2PO＝．
三：自我精练（时限120分钟，满分120分）
一、单选题（共10题，每题3分；共30分）
1. (2017·上海)下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是( )
A．菱形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．等腰梯形
2. (2017河南)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定 ABCD是菱形的只有( )21教育网
A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2
3.（2017·毕节）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF=CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为（ ）
A．6 B．4 C．7 D．12
4.（2017·安徽）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．
5.（2017·西宁）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．5 B．4 C． D．
6．(2017·广安)下列说法：
①四边相等的四边形一定是菱形
②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形
③对角线相等的四边形一定是矩形
④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分
其中正确的有( )个．
A．4 B．3 C．2 D．1
7．(2017·江西)如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是( )21·世纪*教育网
A．当E，F，G，H是各边中点，且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形
B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形
8. （2017·益阳）下列性质中菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．既是轴对称图形又是中心对称图形
9.（2017·绵阳）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝2，∠AEO＝120°，则FC的长度为（ ）
A．1 B．2 C． D．
10. （2017·舟山）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（，0），B（1，1）．若平移点A到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向左平移个单位，再向上平移1个单位
C．向右平移个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
二、填空题（每题3分，共15分）
11.（2017·吉林）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3．矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'．若点B的对应点B'落在边CD上，则B'C的长为 ．
12.（2017·宜宾）如图，在矩形ABCD中BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是 ．www-2-1-cnjy-com
13.(2017·南充)已知菱形的周长为4，两条对角线的和为6，则菱形的面积为 ．
14. (2017·兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝ ．【出处：21教育名师】
15.(2017·黔东南)如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为 ．【版权所有：21教育】
三：解答题（16，17题每题6分，18，19题每题7分，20，21题每题8分，22题10分，23题11分，24题12分，共75分）21*cnjy*com
16. (2017·兰州)如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE＝2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，求CE′＋CG′的长
17.（2017·赤峰）如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF=2，求∠A的度数
18. （2017·泰州）如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DAF；
（2）若AF=1，四边形ABED的面积为6，求EF的长．
19. （2017·宁波）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点．若M，N分别是DG，CE的中点，求MN的长21世纪教育网版权所有
20 (2017·江西)已知点A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，连接AC，BC得到矩形AOBC，点D的边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应边为A'．若点A'到矩形较长两对边的距离之比为1：3，求点A'的坐标
21.(2017·天津)如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，求PG的长
22(2017·德州）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
23. （2017·娄底）如图，在 ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．
（1）求证：△ABG≌△CDE；
（2）猜一猜：四边形EFGH是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；
（3）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积．
24.(2017·阜新)在菱形ABCD中，点E为对角线BD上一点，点F，G在直线BC上，且BE＝EG，∠AEF＝∠BEG．www.21-cn-jy.com
（1）如图1，求证：△ABE≌△FGE；
（2）如图2，当∠ABC＝120°时，求证：AB＝BE＋BF；
（3）如图3，当∠ABC＝90°，点F在线段BC上时，线段AB，BE，BF的数量关系如何？(请直接写出你猜想的结论)2·1·c·n·j·y
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人教版八年级下册第18章《特殊平行四边形》典型考题精讲精练教师版
一：知识精析：
1. 矩形：
（1） 定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形
（2） 性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分；矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形；矩形具有平行四边形的性质2·1·c·n·j·y
（3） 判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；或者对角线相等的平行四边形是矩形；或者有三个角是直角的四边形是矩形21教育名师原创作品
2. 菱形：
（1） 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
（2） 性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，也是中心对称图形
（3） 判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形；或者四条边都相等的四边形是菱形
（4） 菱形的面积：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
3. 正方形：
(1) 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
（2）性质：两组对边分别平行，四条边都相等、相邻两边互相垂直；四个角都是直角；对角线互相垂直、对角线相等且互相平分；正方形即是轴对称图形，也是中心对称图形
（3）判定：一组邻边相等的矩形是正方形；或者有一个角是直角的菱形是正方形；或者对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；或者四条边都相等且有一个角是直角的四边形是正方形
4. 方法与技巧：关联中点、角平分线、线段垂直平分线、等腰三角形、直角三角形等核心知识点，常以面积、周长、角度等计算或线段位置及数量关系命制考题；或命制成开放性命题如补充条件、翻折、剪拚等动手操作探究性考题，涉及对称、等积法、配方法、分类、转化、数形结合、方程与函数等数学思想方法的考查。
二：类题精讲：
类型一：勾股模型相关的计算与分类思想
典例1：.（2017·哈尔滨）四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE＝，求CE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝6，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，
∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝6，∴OB＝BD＝3，∴OC＝OA＝＝3，∴AC＝2OA＝6，∵点E在AC上，OE＝，∴CE＝OC＋或CE＝OC－，∴CE＝4或CE＝2；
类型二：面积与周长相关计算与等积转化思想
典例2：（2017·贵港改编）如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列四个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③AN2+CM2=MN2；④若AB=4，则S△OMN的最小值是2，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，∴∠BCN+∠DCN=90°，又∵CN⊥DM，
∴∠CDM+∠DCN=90°，∴∠BCN=∠CDM，又∵∠CBN=∠DCM=90°，
∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；
根据△CNB≌△DMC，可得CM=BN，又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，∴△OCM≌△OBN（SAS），∴OM=ON，∠COM=∠BON，∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即∠DOM=∠CON，
又∵DO=CO，∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；
∵AB=BC，CM=BN，∴BM=AN，又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，∴AN2+CM2=MN2，故③正确；【版权所有：21教育】
∵△OCM≌△OBN，∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=4，即四边形BMON的面积是定值1，∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，设BN=x=CM，则BM=4﹣x，∴△MNB的面积=x（4﹣x）=_（x-2）2+2，∴当x=2时，△MNB的面积有最大值2，此时S△OMN的最小值是4﹣2=2，故④正确；综上所述，正确结论的个数是4个，
故选：D．
类型三：全等推理下的方程与函数转化与建模思想
典例3 （2017·南通）如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．21*cnjy*com
（1）求证：四边形BPEQ是菱形；
（2）若AB＝6，F为AB的中点，OF＋OB＝9，求PQ的长．
【解答】（1）证明：∵PQ垂直平分BE，∴QB＝QE，OB＝OE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PEO＝∠QBO，在△BOQ与△EOP中，，∴△BOQ≌△EOP（ASA），∴PE＝QB，又∵AD∥BC，∴四边形BPEQ是平行四边形，又∵QB＝QE，∴四边形BPEQ是菱形；www.21-cn-jy.com
（2）解：∵O，F分别为PQ，AB的中点，∴AE＋BE＝2OF＋2OB＝18，设AE＝x，则BE＝18－x，在Rt△ABE中，62＋x2＝（18－x）2，解得x＝8，BE＝18－x＝10，∴OB＝BE＝5，设PE＝y，则AP＝8－y，BP＝PE＝y，在Rt△ABP中，62＋（8－y）2＝y2，解得y＝，在Rt△BOP中，PO＝，∴PQ＝2PO＝．
三：自我精练（时限120分钟，满分120分）
一、单选题（共10题，每题3分；共30分）
1. (2017·上海)下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是( )
A．菱形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．等腰梯形
【解答】解：A．
2. (2017河南，7，3分)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定 ABCD是菱形的只有( )
A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2
【解答】解：C．
3.（2017·毕节）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF=CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为（ ）
A．6 B．4 C．7 D．12
【解答】解：A．
4.（2017·安徽）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解： D．
5.（2017·西宁）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ）
A．5 B．4 C． D．
【解答】解：D．
6．(2017·广安)下列说法：
①四边相等的四边形一定是菱形
②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形
③对角线相等的四边形一定是矩形
④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分
其中正确的有( )个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：D．
7．(2017·江西)如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是( )
A．当E，F，G，H是各边中点，且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形
B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形
【解答】解：D．
8. （2017·益阳）下列性质中菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．既是轴对称图形又是中心对称图形
【解答】解：C．
9.（2017·绵阳）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝2，∠AEO＝120°，则FC的长度为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：A．
10. （2017·舟山）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（，0），B（1，1）．若平移点A到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向左平移个单位，再向上平移1个单位
C．向右平移个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
【解答】解：D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11.（2017·吉林）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3．矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'．若点B的对应点B'落在边CD上，则B'C的长为 ．
【解答】解：1．
12.（2017·宜宾）如图，在矩形ABCD中BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是 ．21cnjy.com
【解答】解：5
13.(2017·南充)已知菱形的周长为4，两条对角线的和为6，则菱形的面积为 ．
【解答】解：4．
14. (2017·兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝ ．21·世纪*教育网
【解答】解：4．
15.(2017·黔东南)如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为 ．
【解答】解：60°．
三：解答题（16，17题每题6分，18，19题每题7分，20，21题每题8分，22题10分，23题11分，24题12分，共75分）
16. (2017·兰州)如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE＝2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，求CE′＋CG′的长
【解答】解：作G′I⊥CD于I，G′R⊥BC于R，E′H⊥BC交BC的延长线于H．连接RF′．则四边形RCIG′是正方形．∵∠DG′F′＝∠IGR＝90°，∴∠DG′I＝∠RG′F′，在△G′ID和△G′RF中，，∴△G′ID≌△G′RF，∴∠G′ID＝∠G′RF′＝90°，
∴点F在线段BC上，在Rt△E′F′H中，∵E′F′＝2，∠E′F′H＝30°，∴E′H＝E′F′＝1，F′H＝ ，易证△RG′F′≌△HF′E′，∴RF′＝E′H，RG′RC＝F′H，∴CH＝RF′＝E′H，∴CE′＝，
∵RG′＝HF′＝，∴CG′＝RG′＝，∴CE′＋CG′＝＋．
17.（2017·赤峰）如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF=2，求∠A的度数21教育网
【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵A沿EF折叠与O重合，∴EF⊥AC，EF平分AO，
∵AC⊥BD，∴EF∥BD，∴E、F分别为AB、AD的中点，∴EF为△ABD的中位线，
∴EF=BD，∴BD=2EF=4，∴BO=2，∴AO==2，∴AO=AB，
∴∠ABO=30°，∴∠BAO=60°，∴∠BAD=120°即∠A＝120°
18. （2017·泰州）如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DAF；
（2）若AF=1，四边形ABED的面积为6，求EF的长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵DF⊥AG，BE⊥AG，∴∠BAE+∠DAF=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠BAE=∠ADF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS）．
（2）设EF=x，则AE=DF=x+1，由题意2××（x+1）×1+×x×（x+1）=6，解得x=2或－5（舍弃），∴EF=2．
19. （2017·宁波）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点．若M，N分别是DG，CE的中点，求MN的长
【解答】解：连接FM、EM、CM，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，BC＝CD，∵EF∥BC，∴∠GFD＝∠BCD＝90°，EF＝BC，∴EF＝BC＝DC，∵∠BDC＝∠ADC＝45°，∴△GFD是等腰直角三角形，∵M是DG的中点，∴FM＝DM＝MG，FM⊥DG，∴∠GFM＝∠CDM＝45°，∴△EMF≌△CMD，∴EM＝CM，过M作MH⊥CD于H，由勾股定理得：BD＝＝6，EC＝＝2，∵∠EBG＝45°，∴△EBG是等腰直角三角形，∴EG＝BE＝4，∴BG＝4，∴DM＝∴MH＝DH＝1，∴CH＝6﹣1＝5，∴CM＝EM＝，∵CE2＝EM2＋CM2，∴∠EMC＝90°，∵N是EC的中点，∴MN＝EC＝；【来源：21cnj*y.co*m】
20 (2017·江西)已知点A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，连接AC，BC得到矩形AOBC，点D的边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应边为A'．若点A'到矩形较长两对边的距离之比为1：3，求点A'的坐标
【解答】解：∵点A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，∴BC＝OA＝4，OB＝AC＝7，
分两种情况：(1)当点A'在矩形AOBC的内部时，过A'作OB的垂线交OB于F，交AC于E如图1所示：①当A'E：A'F＝1：3时，∵A'E＋A'F＝BC＝4，∴A'E＝1，A'F＝3，由折叠的性质得：OA'＝OA＝4，在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF＝＝，∴A'(，3)；②当A'E：A'F＝3：1时，同理得：A'(，1)；2-1-c-n-j-y
(2)当点A'在矩形AOBC的外部时，此时点A'在第四象限，过A'作OB的垂线交OB于F，交AC于E，如图2所示：∵A'F：A'E＝1：3，则A'F：EF＝1：2，∴A'F＝EF＝BC＝2，由折叠的性质得：OA'＝OA＝4，在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF＝＝2，∴A'(2，﹣2)；【来源：21·世纪·教育·网】
综上所述A'的坐标：(，3)或(，1)或(2，﹣2)．
21.(2017·天津)如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，求PG的长
【解答】解：延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．则PH∥AB．∵P是AE的中点，
∴PH是△AOE的中位线，∴PH＝OA＝(3－1)＝1．∵直角△AOE中，∠OAE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，即OA＝OE＝2，同理△PHE中，HE＝PH＝1．∴HG＝HE＋EG＝1＋1＝2．∴在Rt△PHG中，PG＝＝＝．
22(2017·德州）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
【解答】（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，∴点B与点E关于PQ对称，∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，又∵EF∥AB，∴∠BPF=∠EFP，
∴∠EPF=∠EFP，∴EP=EF，∴BP=BF=EF=EP，∴四边形BFEP为菱形；
（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°，∵点B与点E关于PQ对称，∴CE=BC=5cm，在Rt△CDE中，DE= =4cm，
∴AE=AD﹣DE=5cm﹣4cm=1cm；在Rt△APE中，AE=1，AP=3﹣PB=3﹣PE，∴EP2=12+（3﹣EP）2，解得：EP=cm，∴菱形BFEP的边长为cm；
②当点Q与点C重合时，如图2：点E离点A最近，由①知，此时AE=1cm；当点P与点A重合时，如图3所示：点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm．
23. （2017·娄底）如图，在 ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．
（1）求证：△ABG≌△CDE；
（2）猜一猜：四边形EFGH是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；
（3）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积．
【解答】解：（1）∵GA平分∠BAD，EC平分∠BCD，∴∠BAG=∠BAD，∠DCE=∠DCB，
∵ ABCD中，∠BAD=∠DCB，AB=CD，∴∠BAG=∠DCE，同理可得，∠ABG=∠CDE，
∵在△ABG和△CDE中，，∴△ABG≌△CDE（ASA）；
（2）四边形EFGH是矩形．证明：∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，∴∠GAB=∠BAD，∠GBA=∠ABC，∵ ABCD中，∠DAB+∠ABC=180°，∴∠GAB+∠GBA=（∠DAB+∠ABC）=90°，即∠AGB=90°，同理可得，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，∴四边形EFGH是矩形；21世纪教育网版权所有
（3）依题意得，∠BAG=∠BAD=30°，∵AB=6，∴BG=AB=3，AG=3=CE，∵BC=4，∠BCF=∠BCD=30°，∴BF=BC=2，CF=2，∴EF=3－2=，GF=3－2=1，∴矩形EFGH的面积=EF×GF=．21·cn·jy·com
24.(2017·阜新)在菱形ABCD中，点E为对角线BD上一点，点F，G在直线BC上，且BE＝EG，∠AEF＝∠BEG．21*cnjy*com
（1）如图1，求证：△ABE≌△FGE；
（2）如图2，当∠ABC＝120°时，求证：AB＝BE＋BF；
（3）如图3，当∠ABC＝90°，点F在线段BC上时，线段AB，BE，BF的数量关系如何？(请直接写出你猜想的结论)【出处：21教育名师】
【解答】解：（1）∵BD是菱形ABCD的对角线，∴∠ABD＝∠CBD，∵BE＝EG，∴∠CBD＝∠BGE，∵∠AEF＝∠BEG，∴∠AEB＝∠FEG，在△ABE和△FGE中，，∴△ABE≌△FGE(ASA)；
（2）∵BD是菱形ABCD的对角线，∴∠CBD＝∠ABC＝60°，∵BE＝EG，∴△BEG是等边三角形，∴BE＝BG，由（1）知，△ABE≌△FGE，∴AB＝FG＝BF＋BG＝BF＋BE；
（3）结论：AB＋BF＝BE．理由：∵∠ABC＝90°，∴菱形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∵BE＝EG，∴∠G＝∠CBE＝45°＝∠ABD，∵∠AEF＝∠BEG，∴∠AEB＝∠FEG，在△ABE和△FGE中，∴△ABE≌△FGE(ASA)，∴AB＝FG，∵AB＝BC＝BF＋FC，FG＝CF＋CG，∴BF＝CG，∴BG＝BC＋CG＝AB＋BF，∵∠CBG＝∠G＝45°，∴∠BEG＝90°，∴BG＝BE，∴AB＋BF＝BE．www-2-1-cnjy-com
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