1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.1.1
课时达标训练
1.有4部机床,需加工3个不同的零件,其不同的安排方法有 ( )
A.34种 B.43种 C.3×4种 D.44种
【解析】选B.事件为“加工3个零件”,每个零件都加工完这件事就算完成,应以“每个零件”为分步标准,共3步,而每个零件能在四部机床中的任一台上加工,所以有4种方法,于是安排方法有4×4×4=43.
2.现有3件不同款式的上衣和2条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数为 ( )21教育网
A.2 B.3 C.5 D.6
【解析】选D.要完成配套,分两步:
第一步,选上衣,从3件中任选一件,有3种不同的选法;
第二步,选长裤,从2条长裤中任选一条,有2种不同选法.故共有3×2=6种不同选法.
3.从集合{1,2,3}和集合{4,5,6,7}中各取1个元素作为点的坐标,则在直角坐标系中能确定不同点的个数为________.21cnjy.com
【解析】先在集合{1,2,3}中取出一个元素,共有3种取法,再在集合{4,5,6,7}中取出一个元素,共有4种取法.取出的两个数作为点的坐标有2种方法,由分步乘法计数原理知,不同点的个数为3×4×2=24(个).
答案:24
4.从1到10的正整数中,任意抽取两个相加,所得和为奇数的不同情形有__________种.
【解析】当且仅当偶数加上奇数后和为奇数,从而不同情形有5×5=25(种).
答案:25
5.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学必须报名且限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有________种.21世纪教育网版权所有
【解析】每人只有2个选择.
报名方法有2×2×2×2×2=32种.
答案:32
6.有不同的红球8个,不同的白球7个.
(1)从中任意取出一个球,有多少种不同的取法?
(2)从中任意取出两个不同颜色的球,有多少种不同的取法?
【解析】(1)由分类加法计数原理知
从中任取一个球共有8+7=15(种)不同取法.
(2)由分步乘法计数原理知
从中任取两个不同颜色的球共有8×7=56(种)不同取法.
1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.1.2
课时达标训练
1.已知x∈{2,3,7},y∈{-31,-24,4},则x·y可表示不同的值的个数是 ( )
A.1+1=2 B.1+1+1=3
C.2×3=6 D.3×3=9
【解析】选D.根据分步乘法计数原理.x有3种取法,y有3种取法,所以3×3=9(个).
2.已知函数y=ax2+bx+c为二次函数,其中a,b∈{0,1,2,3,4},则不同的二次函数个数为________.
【解析】若y=ax2+bx+c为二次函数,则a≠0,要完成该事件,需分步进行:
第一步,对系数a有4种选法;
第二步,对系数b有5种选法;
第三步,对系数c有5种选法.
所以共有4×5×5=100(个)不同的二次函数.
答案:100
3.在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有__________个.
【解析】组成四位数可分四步,第一步排千位有5种,第二步排百位有5种,第三步排十位有4种,第四步排个位有3种.由分步乘法计数原理得共有四位数5×5×4×3=300个.同理,个位数为0的四位数有60个,个位数为5的四位数有48个.所以不能被5整除的四位数共有300-48-60=192个.21世纪教育网版权所有
答案:192
4.5个人有5个座位,其中甲不能坐1号座位,则不同的坐法有________种.
【解析】第1步,安排1号座位,有4种方法.
第2步,安排2号座位,有4种方法.
第3步,安排3号座位,有3种方法.
第4步,安排4号座位,有2种方法.
第5步,安排5号座位,有1种方法.
共有:4×4×3×2×1=96(种).
答案:96
5.从1,2,3,4中选3个数字,组成无重复数字的整数,则满足下列条件的数有多少个?
(1)三位数.
(2)三位偶数.
【解析】(1)可分三个步骤完成:
第1步,排个位,从1,2,3,4中选1个数字,有4种方法;
第2步,排十位,从剩下的3个数中选1个数字,有3种方法;
第3步,排百位,从剩下的2个数中选1个数字,有2种方法.
根据分步乘法计数原理,共有4×3×2=24个满足要求的三位数.
(2)分三个步骤完成:
第1步,排个位,从2,4中选1个数字,有2种方法;
第2步,排十位,从剩下的3个数中选1个数字,有3种方法;
第3步,排百位,从剩下的2个数中选1个数字,有2种方法.
根据分步乘法计数原理,共有2×3×2=12个满足要求的三位偶数.
1.2 排列与组合 1.2.1.1
课时达标训练
1.下列问题属于排列问题的是 ( )
①从10名学生中抽2名学生开会;
②从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队;
③从数字5,6,7,8中任取两个不同的数做幂运算.
A.① B.②
C.③ D.②③
【解析】选C.①中无顺序.②中5人组成篮球队无顺序可言.③中幂分底数和指数,存在顺序.
2.从0,1,2这3个数字中选两个不同的数字组成两位数的个数为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】选B.用列举法列出所有的排列为:10,12,20,21.所以共组成4个两位数.
3.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为________.
【解析】从0,2中选一个数字0,则0只能排在十位,个位有3种,百位有2种,共有3×2=6.
从0,2中选一个数字2,2只能排在百位或十位,有2种方法,其余2位有3×2种方法,共有2×3×2=12种.
所以共有奇数6+12=18个.
答案:18
4.判断下列问题是不是排列问题.
(1)从1,2,3,5中任取两个不同的数相减(除),可得多少种不同的结果?
(2)从1,2,3,5中任取两个不同的数相加(乘),可得多少种不同的结果?
(3)有12个车站,共需准备多少种车票?
(4)平面上有5个点,其中任意3个点不共线,这5点最多可确定多少条直线?可确定多少条射线?
【解析】(1)(3)有顺序,所以(1)(3)是排列问题;(2)无顺序,不是排列问题;(4)射线有方向,直线无方向,确定射线是排列问题,确定直线不是排列问题.21世纪教育网版权所有
5.将A,B,C,D四名同学按一定顺序排成一行,要求自左向右,且A不排在第一,B不排在第二,C不排在第三,D不排在第四.试写出所有不同的排法.21教育网
【解析】BADC,BCDA,BDAC,CADB,CDAB,CDBA,DABC,DCBA,DCAB共9种.21cnjy.com
6.写出从4个元素a,b,c,d中取出所有元素的排列.
【解析】由题意作树形图,如图:
共有24个.
1.2 排列与组合 1.2.1.2
课时达标训练
1.的值为 ( )
A.3 B.30 C.24 D.12
【解析】选A.原式===3.
2.9×10×11×…×20可表示为 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.=20×19×18×…×(20-12+1)
=20×19×18×…×9.
3.=30,则n= ( )
A.7 B.6 C.5 D.4
【解析】选B.因为=30,所以n(n-1)=30,
又n为正整数,所以n=6.
4.与的大小关系是 ( )
A.> B.<
C.= D.大小关系不定
【解析】选D.当n≥3时,得-=(n+1)n-n(n-1)(n-2)=-n(n2-4n+1),当n=3时,-=6>0,得>;当n≥4时,-<0,得<,即与的关系不定.
5.解方程:-=10.
【解析】因为所以n≥2.
由-=10,得(n+1)n-n(n-1)=10,解得n=5.
1.2 排列与组合 1.2.1.3
课时达标训练
1.高三(一)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是 ( )21教育网
A.1 800 B.3 600 C.4 320 D.5 040
【解析】选B.不同排法的种数为=3600.
2.6个人排成一排,甲、乙两人中间至少有一个人的排法种数有 ( )
A.480 B.720 C.240 D.360
【解析】选A.甲、乙两人相邻时的排法总数有×=240,所以甲、乙两人中间至少有1个人的排法数为-240=480种.21世纪教育网版权所有
3.用0,1,2,3,4五个数可以组成________个无重复数字的五位数.
【解析】先排万位,从1,2,3,4中任选一个有4种,其余四个位置的四个数共有种,故共有4=96个满足条件的五位数.21·cn·jy·com
答案:96
4.8个人排成一排.
(1)共有多少种不同的排法?
(2)8个人排成两排,前后两排各4人共有多少种不同的排法?
(3)8个人排成两排,前排3人,后排5人,共有多少种不同的排法?
【解析】(1)由排列的定义知共有种不同的排法.
(2)8人排成前后两排,相当于排成一排,从中间分成两部分,其排列数等于8人排成一排的排列数.也可以分步进行,第一步:从8人中任选4人放在前排共有种排法,第二步:剩下的4人放在后排共有种排法,由分步乘法计数原理知共有×=种排法.21cnjy.com
(3)同(2)的分析可知,共有×=(种).
1.2 排列与组合 1.2.2.1
课时达标训练
1.下列问题是组合问题的有 ( )
①从5名同学中选4名组成代表团参加对外交流;
②一个小组有7名学生,现抽调5人参加劳动;
③从5名同学中选4名组成代表团去4个单位参加对外交流.
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
【解析】选A.①②是组合问题,③是排列问题.
2.下列计算结果为28的为 ( )
A.+ B. C. D.
【解析】选D.==28.
3.+的值为 ( )
A.20 B.24 C.28 D.49
【解析】选C.+===28.
4.若=则m=__________.
【解析】因为=,
所以m=m-3或15-m=m-3,
所以m=9.
答案:9
5.从3,5,7,11这四个数中任取两个数相乘,可以得到不相等的积的个数为________.
【解析】属于组合问题,从四个数中任取两个数的取法为=6.
答案:6
6.求+的值.
【解析】依题意
解得:7≤m≤8.
当m=7时,原式=+=10+1=11.
当m=8时,原式=+=1+10=11.
综上可知:+=11.
1.2 排列与组合 1.2.2.2
课时达标训练
1.(2017·烟台高二检测)把三张游园票分给10个人中的3人,分法有 ( )
A.种 B.种
C.·种 D.30种
【解析】选B.该题属于组合问题,所以分法有种.
2.凸十边形的对角线的条数为 ( )
A.10 B.35
C.45 D.90
【解析】选B.对角线的条数为-10=35.
3.若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有 ( )
A.60种 B.63种 C.65种 D.66种
【解析】选D.从1,2,3,…,9这9个数中取出4个不同的数,其和为偶数的情况包括:(1)取出的4个数都是偶数,取法有=1(种);(2)取出的4个数中有2个偶数,2个奇数,取法有=60(种);(3)取出的4个数都是奇数,取法有=5(种).根据分类加法计数原理,满足题意的取法共有1+60+5=66(种).
4.在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共有________种.
【解析】有4件次品的抽法为种;有3件次品的抽法有种;所以共有+=4186(种).
答案:4186
5.用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为________.
【解析】所有三位数个数为9×10×10=900.没有重复数字的三位数有=648,所以有重复数字的三位数的个数为900-648=252.21世纪教育网版权所有
答案:252
6.现有10件产品,其中有2件次品,任意抽出3件检查.
(1)正品A被抽到有多少种不同的抽法?
(2)恰有一件是次品的抽法有多少种?
(3)至少一件是次品的抽法有多少种?
【解析】(1)==36(种).
(2)从2件次品中任取1件有种方法,从8件正品中取2件有种方法,由分步乘法计数原理,不同的抽法共有×=2×=56(种).21教育网
(3)方法一:含一件次品的抽法有种,含两件次品的抽法有种,由分类加法计数原理,不同的抽法共有+=56+8=64(种).21cnjy.com
方法二:从10件产品中任取3件的抽法为种,不含次品的抽法有种,所以至少一件次品的抽法为-=64(种).21·cn·jy·com
1.3 二项式定理 1.3.1
课时达标训练
1.的展开式共有11项,则n等于( )
A.9 B.10 C.11 D.8
【解析】选B.的展开式共有n+1项,所以n+1=11,故n=10.
2.(y-2x)8展开式中的第6项的二项式系数为 ( )
A. B.(-2)5
C. D.(-2)6
【解析】选C.第6项的二项式系数为.
3.(x+2)6的展开式中x3的系数是 ( )
A.20 B.40 C.80 D.160
【解析】选D.设含x3的为第r+1,则Tr+1=x6-r·2r,
令6-r=3,得r=3,故展开式中x3的系数为·23=160.
4.若的展开式中x3的系数是-84,则a的值为________.
【解析】展开式的通项为Tr+1=x9-r(-a)r
=·(-a)rx9-2r(0≤r≤9,r∈N),
当9-2r=3时,解得r=3,代入得x3的系数,
根据题意得(-a)3=-84,解得a=1.
答案:1
5.(1+)7展开式中有理项的项数有________个.
【解析】通项Tk+1=()k=,当k=0,2,4,6时,均为有理项,故有理项的项数为4个.
答案:4
6.求的展开式中的常数项.
【解析】展开式的通项
Tr+1=(r=0,1,2,…,9)=··(-1)r··
由9-r=,得r=6,所以展开式的常数项为第7项.
T6+1==.
1.3 二项式定理 1.3.2
课时达标训练
1.已知的展开式的第三项与第二项的二项式系数的比为11∶2,则n是 ( )
A.10 B.11 C.12 D.13
【解析】选C.由=得n=12.
2.(1+x)2n+1的展开式中,二项式系数最大的项所在的项数是 ( )
A.n,n+1 B.n-1,n
C.n+1,n+2 D.n+2,n+3
【解析】选C.因为2n+1是奇数,所以中间两项,即第n+1,n+2项二项式系数最大.
3.(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a8= ( )
A.180 B.-180 C.45 D.-45
【解析】选A.a8=·22=180.
4.若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a1+a2+a3+a4+a5=________.21世纪教育网版权所有
【解析】令x=1得,a0+a1+a2+a3+a4+a5=(1-2)5=-1.
答案:-1
5.已知的展开式中,各项系数和M与二项式系数和N的差为240,求展开式中x的系数.
【解析】由题意M=4n,N=2n,M-N=240,
所以4n-2n=240.
解得2n=16,所以n=4,
Tr+1=·(5x)4-r=(-1)r54-r,
令4-r=1,解得r=2.
故展开式中x的系数为(-1)254-2=150.
