2.1 离散型随机变量及其分布列 2.1.1
课时达标训练
1.抛掷一枚质地均匀的硬币一次,随机变量为 ( )
A.掷硬币的次数
B.出现正面向上的次数
C.出现正面向上或反面向上的次数
D.出现正面向上与反面向上的次数之和
【解析】选B.出现正面向上的次数为0或1,是随机变量.
2.①某机场候机室中一天的旅客数量X;
②连续投掷一枚均匀硬币4次,正面向上的次数X;
③某篮球下降过程中离地面的距离X;
④某立交桥一天经过的车辆数X.
其中不是离散型随机变量的是 ( )
A.①中的X B.②中的X
C.③中的X D.④中的X
【解析】选C.①、②、④中的随机变量X可能取的值,我们都可以按一定次序一一列出,因此,它们都是离散型随机变量;③中的X可以取某一区间内的一切值,无法按一定次序一一列出,故③中的X不是离散型随机变量.21世纪教育网版权所有
3.6件产品有2件次品,从中任取一件,则下列是随机变量的为 ( )
A.取到产品的个数 B.取到正品的个数
C.取到正品的概率 D.取到次品的概率
【解析】选B.因为随机变量为试验的结果,排除C,D,而随机试验的结果应该是不确定的,因此选B.
4.下列随机变量中不是离散型随机变量的是________(填序号).
①广州白云机场候机室中一天的旅客数量X;
②广州某水文站观察到一天中珠江的水位X;
③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X;
④虎门大桥一天经过的车辆数X.
【解析】①③④中的随机变量X的所有取值,我们都可以按照一定的次序一一列出,因此它们是离散型随机变量;②中的随机变量X可以取某一区间内的一切值,但无法按一定的次序一一列出,故不是离散型随机变量,故填②.21教育网
答案:②
5.一木箱中装有8个同样大小的篮球,编号为1,2,3,4,5,6,7,8,现从中随机取出3个篮球,以ξ表示取出的篮球的最大号码,则ξ=8表示的试验结果有________种.21cnjy.com
【解析】从8个球中选出3个球,其中一个的号码为8,另两个球是从1,2,3,4,5,6,7中任取2个球.所以共有=21(种).21·cn·jy·com
答案:21
6.某地上网的费用为月租费10元,上网时每分钟0.04元,某学生在一个月内上网的时间(分)为随机变量X(不足1分钟的按1分钟计算),求该学生在一个月内上网的费用Y,则X与Y是否为离散型随机变量?
【解析】由于上网时间不足1分钟按1分钟计,因此X取值范围为1,2,3,…
所以X是一个离散型随机变量.
又Y=(0.04X+10)元,
所以Y也是一个离散型随机变量.
2.1 离散型随机变量及其分布列 2.1.2
课时达标训练
1.如果ξ是1个离散型随机变量,那么下列命题中是假命题的是 ( )
A.ξ取每个可能值的概率是非负数
B.ξ取所有可能值的概率和为1
C.ξ取某2个可能值的概率等于分别取其中这2个值的概率之和
D.ξ的取值只能是正整数
【解析】选D.依据离散型概率及概率分布列的性质可知A,B,C都正确,D错误.
2.下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是 ( )
【解析】选D.本题考查分布列的概念及性质,即ξ的取值应互不相同且P(ξi)≥0,i=1,2,…,n,P(ξi)=1,21教育网
A中,ξ的取值出现了重复;B中,P(ξ=0)=-<0,
C中,P(ξi)=++=>1.
3.随机变量X的分布列如下:
X
-1
0
1
P
a
b
c
其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.由题意得:a+b+c=1.
又a,b,c成等差数列,
所以2b=a+c.解得b=.
所以P(|X|=1)=P(X=1)+P(X=-1)=1-P(X=0)=1-=.
4.袋中有10个球,其中7个是红球,3个是白球,任意取出3个,这3个都是红球的概率是________.
【解析】P==.
答案:
5.随机变量ξ的分布列如下:
ξ
0
1
2
3
4
5
P
则ξ为奇数的概率为__________.
【解析】P(ξ=奇数)=P(ξ=1)+P(ξ=3)+P(ξ=5)=++=.
答案:
6.有5支不同标价的圆珠笔,分别标为10元、20元、30元、40元、50元.从中任取3支,若以ξ表示取到的圆珠笔中的最高标价,试求ξ的分布列.21cnjy.com
【解析】ξ的可能取值为30,40,50.
P(ξ=30)==,P(ξ=40)==,
P(ξ=50)==,所以ξ的分布列为
ξ
30
40
50
P
【补偿训练】某人有5把钥匙,其中只有一把能打开办公室的门.一次他醉酒后拿钥匙去开门,由于看不清是哪把钥匙,他只好逐一去试.若不能开门,则把钥匙扔到一边,记打开门时试开门的次数为ξ,试求ξ的分布列.21世纪教育网版权所有
【解析】ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5,
且P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,
P(ξ=5)==.
因此ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
2.2 二项分布及其应用 2.2.1
课时达标训练
1.某人忘记了一个电话号码的最后一个数字,只好任意去试拨,他第一次失败、第二次成功的概率是 ( )21世纪教育网版权所有
A. B. C. D.
【解析】选A.某人第一次失败,第二次成功的概率为P==.
2.一个口袋中装有2个白球和3个黑球,则先摸出一个白球后放回,再摸出一个白球的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.袋子中共计有5个球,2个白球,3个黑球,有放回地摸球,每次摸到白球的概率都是相等的,都等于=.21教育网
3.P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.2,则P(A|B)=________,P(B|A)=________.21cnjy.com
【解析】P(A|B)===.
P(B|A)===.
答案:
4.一批零件共100个,次品率为10%,接连两次从其中任取一件,第一次取出的次品零件不放回,则第二次才取得正品的概率为__________.21·cn·jy·com
【解析】记事件A={第一次取出的零件是次品},事件B={第二次才取出的零件是正品},则P(A)=,P(B|A)=,从而P(AB)=P(A)·P(B|A)=×=.www.21-cn-jy.com
答案:
5.由长期统计资料可知,某地区在4月份下雨(记为事件A)的概率为,刮五级以上风(记为事件B)的概率为,既刮五级以上风又下雨的概率为,则P(A|B)=________,P(B|A)=________.
【解析】P(A|B)===,
P(B|A)===.
答案:
6.已知男人中有5%患色盲,女人中有0.25%患色盲,从100个男人和100个女人中任选一人.
(1)求此人患色盲的概率.
(2)如果此人是色盲,求此人是男人的概率.
(以上各问结果写成最简分数形式)
【解析】设“任选一人是男人”为事件A,“任选一人是女人”为事件B,“任选一人是色盲”为事件C.
(1)此人患色盲的概率P=P(AC)+P(BC)
=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)
=×+×=.
(2)由(1)得P(AC)=,
又因为P(C)=,所以P(A|C)===.
2.2 二项分布及其应用 2.2.2
课时达标训练
1.已知事件A,B发生的概率都大于零,则 ( )
A.如果A,B是互斥事件,那么A与也是互斥事件
B.如果A,B不是相互独立事件,那么它们一定是互斥事件
C.如果A,B是相互独立事件,那么它们一定不是互斥事件
D.如果A+B是必然事件,那么它们一定是对立事件
【解析】选C.相互独立的两个事件彼此没有影响,可以同时发生,因而它们不可能为互斥事件.
2.国庆节放假,甲去北京旅游的概率为,乙、丙去北京旅游的概率分别为,.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为 ( )21·cn·jy·com
A. B. C. D.
【解析】选B.因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为,,,所以他们不去北京旅游的概率分别为,,.至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人去北京旅游.所以,至少有1人去北京旅游的概率为P=1-××=.21世纪教育网版权所有
3.已知P(A)=0.3,P(B)=0.5,当事件A,B相互独立时,P(A∪B)=________, P(A|B)=________.
【解析】因为A,B相互独立,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)·P(B)=0.3+0.5-0.3×0.5=0.65.
P(A|B)=P(A)=0.3.
答案:0.65 0.3
4.某路段上的A,B两处设有交通灯,这两盏灯在1min内开放绿灯的时间分别为25s,35s,且A,B两盏灯开放绿灯互不影响,某辆车在此路段行驶,则在A,B两处均不停车的概率是________.21教育网
【解析】记在A处、B处不停车分别为事件A,B,则A,B相互独立,且P(A)==,
P(B)==,则所求事件的概率
P=P(AB)=P(A)·P(B)=×=.
答案:
【补偿训练】打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击一目标,则他们都中靶的概率是 ( )21cnjy.com
A. B. C. D.
【解析】选A.由题意可得P=×=.
5.一道数学竞赛试题,甲生解出它的概率为,乙生解出它的概率为,丙生解出它的概率为.求甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率.www.21-cn-jy.com
【解析】甲生解出,而乙、丙不能解出为事件A1,
则P(A1)=××=,
乙生解出,而甲、丙不能解出为事件A2,
则P(A2)=××=,
丙生解出,而甲、乙不能解出为事件A3,
则P(A3)=××=.
甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为P(A1+A2+A3)=++=.
2.2 二项分布及其应用 2.2.3
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1.一头猪服用某药品后被治愈的概率是90%,则服用这种药的5头猪中恰有3头被治愈的概率为 ( )
A.0.93 B.1-(1-0.9)2
C.×0.93×0.12 D.×0.13×0.92
【解析】选C.P(X=3)=×0.93×0.12.
2.种植某种树苗,成活率为0.9.若种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率约为 ( )
A.0.33 B.0.66 C.0.5 D.0.45
【解析】选A.根据n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率公式得到种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率为0.94×0.1≈0.33.21世纪教育网版权所有
3.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是,质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是 ( )21教育网
A.()5 B.×()5
C.×()3 D.××()5
【解析】选B.如图,由题可知,质点P必须向右移动2次,向上移动3次才能位于点(2,3),问题相当于5次重复试验向右恰好发生2次的概率,所求概率为××=×.21cnjy.com
4.设随机变量X～B(2,p),Y～B(3,p),若P(X≥1)=,则P(Y≥1)=__________.21·cn·jy·com
【解析】=P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2?p=,
所以P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-(1-p)3=.
答案:
【补偿训练】设随机变量X服从二项分布X～B,则P(X≤3)等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.P(X≤3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=×+×+×+×=.www.21-cn-jy.com
5.下列说法正确的是________.
①某同学投篮命中率为0.6,他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量,且X～B(10,0.6);
②某福彩的中奖概率为P,某人一次买了8张,中奖张数X是一个随机变量,且X～B(8,P);
③从装有5红5白的袋中,有放回地摸球,直到摸出白球为止,则摸球次数X是随机变量,且X～B.
【解析】①②显然满足独立重复试验的条件,而③虽然是有放回地摸球,但随机变量X的定义是直到摸出白球为止,也就是说前面摸出的一定是红球,最后一次是白球,不符合二项分布的定义.
答案:①②
6.某篮球运动员在三分线投球的命中率是,他投球10次,求恰好投进3个球的概率.
【解析】本题可看成是10次独立重复试验,P=××=.
2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.1
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1.若X的分布列为
X
0
1
P
a
则E(X)= ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.由+a=1得a=,
所以E(X)=0×+1×=.
2.随机抛掷一个骰子,所得点数η的均值为 ( )
A. B. C. D.3.5
【解析】选D.依题意得:η的可能取值为:1,2,3,4,5,6,且它们的概率都等于,所以点数η的均值=1×+2×+3×+4×+5×+6×=3.5.21教育网
3.口袋中有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3只球,以X表示取出球的最大号码,则E(X)等于 ( )
A.4 B.5 C.4.5 D.4.75
【解析】选C.
X
3
4
5
P
E(X)=3×+4×+5×=4.5.
4.设随机变量X～B(40,p),若E(X)=16,则p=________.
【解析】因为随机变量X～B(40,p),所以E(X)=40p=16,解得:p=.
答案:
5.甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生面试,若甲、乙能通过面试的概率都是,则面试结束后通过的人数X的期望为________.21·cn·jy·com
【解析】依题意,X的取值为0,1,2.
且P(X=0)=×=,
P(X=1)=×+×=,
P(X=2)=×=.
故X的期望E(X)=0×+1×+2×==.
答案:
【补偿训练】今有两台独立工作在两地的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达台数为X,则E(X)=__________.21世纪教育网版权所有
【解析】由题意知X的可能取值有0,1,2.
且P(X=0)=(1-0.9)×(1-0.85)=0.015,
P(X=1)=0.9×(1-0.85)+0.85×(1-0.9)=0.22,
P(X=2)=0.9×0.85=0.765,
所以E(X)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.
答案:1.75
6.某人进行一项试验,若试验成功,则停止试验,若试验失败,再重新试验一次,若试验3次均失败,则放弃试验.若此人每次试验成功的概率为,求此人试验次数ξ的分布列与期望.21cnjy.com
【解析】试验次数ξ的可能取值为1,2,3,
则P(ξ=1)=,P(ξ=2)=×=,
P(ξ=3)=××=.
所以ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
所以E(ξ)=1×+2×+3×=.
2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.2
课时达标训练
1.已知随机变量X满足P(X=1)=0.3,P(X=2)=0.7,则E(X)和D(X)的值分别为
( )
A.0.6和0.7 B.1.7和0.09
C.0.3和0.7 D.1.7和0.21
【解析】选D.X的分布列为
X
1
2
P
0.3
0.7
所以E(X)=1×0.3+2×0.7=1.7,
D(X)=(1-1.7)2×0.3+(2-1.7)2×0.7=0.21.
2.随机变量X～B(100,0.2),那么D(4X+3)的值为 ( )
A.64 B.256 C.259 D.320
【解析】选B.由X～B(100,0.2)知随机变量X服从二项分布,且n=100,p=0.2,由公式得D(X)=np(1-p)=100×0.2×0.8=16,因此D(4X+3)=42D(X)=16×16=256.21世纪教育网版权所有
3.某射手击中目标的概率为p,则他射击n次,击中目标次数X的方差为________.
【解析】因为X～B(n,p),所以D(X)=np(1-p).
答案:np(1-p)
4.已知小明投10次篮,每次投篮的命中率均为0.7,记10次投篮中命中的次数为X,则D(X)=__________.
【解析】由题意得X～B(10,0.7),
所以D(X)=10×0.7×0.3=2.1.
答案:2.1
5.抛掷一枚质地均匀的骰子,用X表示掷出偶数点的次数.
(1)若抛掷一次,求E(X)和D(X).
(2)若抛掷10次,求E(X)和D(X).
【解析】(1)X服从两点分布,
X
0
1
P
所以E(X)=p=,D(X)=p(1-p)=×=.
(2)由题意知,X～B.所以E(X)=np=10×=5,D(X)=np(1-p)=10××=.
2.4 正态分布
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1.对于标准正态分布N(0,1)的概率密度函数φμ,σ(x)=,下列说法不正确的是 ( )
A.f(x)为偶函数
B.f(x)的最大值是
C.f(x)在x>0时是单调减函数,在x≤0时是单调增函数
D.f(x)关于x=1是对称的
【解析】选D.由正态曲线的特点知D不正确.
2.关于正态分布N(μ,σ2),下列说法正确的是 ( )
A.随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件
B.随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件
C.随机变量落在(-3σ,3σ)之外是一个小概率事件
D.随机变量落在(μ-3σ,μ+3σ)之外是一个小概率事件
【解析】选D.因为P(μ-3σ所以P(X>μ+3σ或X<μ-3σ)=1-P(μ-3σ所以随机变量落在(μ-3σ,μ+3σ)之外是一个小概率事件.
3.(2017·孝感高二检测)如果随机变量ξ～N(-1,σ2),且P(-3≤ξ≤-1)=0.4,则P(ξ≥1)等于 ( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
【解析】选A.因为随机变量ξ～N(-1,σ2),
所以正态曲线关于x=-1对称,
所以P(-3≤ξ≤-1)=P(-1≤ξ≤1)=0.4,
P(ξ≤-3)=P(ξ≥1),
P(ξ≤-3)+P(ξ≥1)=1-P(-3≤ξ≤-1)-P(-1≤ξ≤1)=1-2×0.4=0.2.21教育网
所以P(ξ≥1)=0.1.
4.已知一次考试共有60名学生参加,考生的成绩X～N(110,52),据此估计,大约应有57人的分数在下列哪个区间内? ( )21cnjy.com
A.(90,110] B.(95,125] C.(100,120] D.(105,115]
【解析】选C.因为X～N(110,52),所以μ=110,σ=5.因此考试成绩在区间(105,115],(100,120],(95,125]上的概率分别应是0.6827,0.9545,0.9973.21·cn·jy·com
由于一共有60人参加考试,故成绩位于上述三个区间的人数分别是60×0.6827≈41(人),60×0.9545≈57(人),60×0.9973≈60(人).www.21-cn-jy.com
5.从正态分布曲线f(x)=,x∈R的图象可以看到曲线在________上方,关于________对称,当________时,f(x)达到最大值,最大值是________.2·1·c·n·j·y
【解析】显然该函数的图象位于x轴的上方,
因为f(x)=,
所以μ=8,所以该函数曲线关于直线x=8对称,
当x=8时,取得最大值.
答案:x轴 直线x=8 x=8
6.已知X～N(2.5,0.12),求X落在区间(2.4,2.6]中的概率.
【解析】因为X～N(2.5,0.12),
所以μ=2.5,σ=0.1.
所以X落在区间(2.4,2.6]中的概率为
P(2.5-0.1
