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人教版八年级下册第18章《正方形》典型考题精讲精练教师版
一：知识精析：
1. 正方形：
（1） 定义：有一组 的平行四边形叫做正方形
（2）性质：两组对边分别平行，四条边都相等、相邻两边互相垂直；四个角都是直角；对角线互相垂直、对角线相等且互相平分；正方形即是轴对称图形，也是中心对称图形
（3）判定：一组邻边相等的 是正方形；或者有一个角是直角的 是正方形；或者对角线互相垂直平分且相等的 是正方形；或者四条边都相等且有一个角是直角
的 是正方形
2. 方法与技巧：常考查对称、等积法、配方法、分类、转化、数形结合、方程与函数等数学思想方法和角含半角等模型相关的几何图形构造。【来源：21cnj*y.co*m】
二：类题精讲：
典例1：（2017·石景山一模）在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的动点（与点A，C不重合），连接BE． 【出处：21教育名师】
（1）将射线BE绕点B顺时针旋转45°，交直线AC于点F．
①依题意补全图1；
②小研通过观察、实验，发现线段AE，FC，EF存在以下数量关系：AE与FC的平方和等于EF的平方．小研把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法：
想法1：将线段BF绕点B逆时针旋转90°，得到线段BM，要证AE，FC，EF的关系，只需证AE，AM，EM的关系．21教育名师原创作品
想法2：将△ABE沿BE翻折，得到△NBE，要证AE，FC，EF的关系，只需证EN，FN，EF的关系．
…
请你参考上面的想法，用等式表示线段AE，FC，EF的数量关系并证明；（一种方法即可）
（2）如图2，若将直线BE绕点B顺时针旋转135°，交直线AC于点F．小研完成作图后，发现直线AC上存在三条线段（不添加辅助线）满足：其中两条线段的平方和等于第三条线段的平方，请直接用等式表示这三条线段的数量关系．
【解答】解：（1）①补全图形，如图1所示：
②AE2+FC2=EF2；理由如下：过B作MB⊥BF，使BM=BF，连接AM、EM，如图2所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∠1=∠2=45°，AB=BC，∵∠3=45°，∴∠MBE=∠3=45°，在△MBE和△FBE中，，∴△MBE≌△FBE（SAS），∴EM=EF，∵∠4=90°﹣∠ABF，∠5=90°﹣∠ABF，∴∠4=∠5，在△AMB和△CFB中，，∴△AMB≌△CFB（SAS），∴AM=FC，∠6=∠2=45°，∴∠MAE=∠6+∠1=90°，在Rt△MAE中，AE2+AM2=EM2 ， ∴AE2+FC2=EF2；21世纪教育网版权所有
（2）解：AF2+EC2=EF2；理由如下：过B作MB⊥BF，使BM=BF，连接ME、MF、AM，如图3所示：同（1）得：△MBF≌△EBF，∴MF=EF，同（1）得：△AMB≌△CBE（SAS），∴AM=EC，∠BAM=∠BCE=45°，∴∠MAE=∠BAM+∠BAC=90°，∴∠MAF=90°，在Rt△MAF中，AF2+AM2=MF2 ， ∴AF2+EC2=EF2 ．
典例2：（2015·辽阳）菱形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，∠MON+∠BCD=180°，∠MON绕点O旋转，射线OM交边BC于点E，射线ON交边DC于点F，连接EF．
（1）如图1，当∠ABC=90°时，△OEF的形状是________；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，请判断△OEF的形状，并说明理由；
（3）在（1）的条件下，将∠MON的顶点移到AO的中点O′处，∠MO′N绕点O′旋转，仍满足∠MO′N+∠BCD=180°，射线O′M交直线BC于点E，射线O′N交直线CD于点F，当BC=4，且时，直接写出线段CE的长． 21*cnjy*com
【解答】解： （1）△OEF是等腰直角三角形；
证明：如图1，∵菱形ABCD中，∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形，∴OB=OC，∠BOC=90°，∠BCD=90°，∠EBO=∠FCO=45°，∴∠BOE+∠COE=90°，∵∠MON+∠BCD=180°，∴∠MON=90°，∴∠COF+∠COE=90°，∴∠BOE=∠COF，在△BOE与△COF中，，∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE=OF，∴△OEF是等腰直角三角形；
（2）△OEF是等边三角形；证明：如图2，过O点作OG⊥BC于G，作OH⊥CD于H，
∴∠OGE=∠OGC=∠OHC=90°，∵四边形ABCD是菱形，∴CA平分∠BCD，∠ABC+BCD=180°，∴OG=OH，∠BCD=180°﹣60°=120°，∵∠GOH+∠OGC+∠BCD+∠OHC=360°，∴∠GOH+∠BCD=180°，∴∠MON+∠BCD=180°，∴∠GOH=∠EOF=60°，
∵∠GOH=∠GOF+∠FOH，∠EOF=∠GOF+∠EOG，∴∠EOG=∠FOH，在△EOG与△FOH中，，∴△EOG≌△FOH（ASA），∴OE=OF，∴△OEF是等边三角形
（3）证明：如图3，∵菱形ABCD中，∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形，∴，过O点作O′G⊥BC于G，作O′H⊥CD于H，∴∠O′GC=∠O′HC=∠BCD=90°，∴四边形O′GCH是矩形，∴O′G∥AB，O′H∥AD，∴，www.21-cn-jy.com
∵AB=BC=CD=AD=4，∴O′G=O′H=3，∴四边形O′GCH是正方形，∴GC=O′G=3，∠GO′H=90°，∵∠MO′N+∠BCD=180°，∴∠EO′F=90°，∴∠EO′F=∠GO′H=90°，∵∠GO′H=∠GO′F+∠FO′H，∠EO′F=∠GO′F+∠EO′G，∴∠EO′G=∠FO′H，在△EO′G与△FO′H中，，∴△EO′G≌△FO′H（ASA），∴O′E=O′F，∴△O′EF是等腰直角三角形；∵S正方形ABCD=4×4=16，，∴S△O′EF=18，∵S△O′EF= O′E2 ， ∴O′E=6，在RT△O′EG中，EG=，∴CE=CG+EG=3+．根据对称性可知，当∠M′ON′旋转到如图所示位置时，CE′=E′G﹣CG=﹣3．综上可得，线段CE的长为3+或﹣3．21·世纪*教育网
典例3：. 已知：已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N。 （1）当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），求证：BM+DN=MN；（2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），则线段BM，DN和MN之间数量关系是______；（3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的的数量关系呢？并对你的猜想加以说明。
【解答】解：（1）证明：如图，延长CB ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )至E使得BE=DN，易证△ABE ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )≌△ADN ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，∴∠BAE ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )=∠DAN ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，AE=AN，∴∠EAN ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )=∠BAE ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )+∠BAN ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )=∠DAN ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )+∠BAN ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )=90°；∵∠MAN=45°，∴∠EAM=∠MAN，∵AM是公共边，∴△ABE ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )≌△AND，∴ME ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )=MN，即BM+BE=MN，∴BM+DN=MN
（2）BM+DN=MN；
（3）DN-BM=MN
如图，在DC ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )上截取DE=BM，易证△ADE ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )≌△ABM，∴∠DAE=∠BAM，AE=AM，∴∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90°，∵∠MAN=45°，∴∠EAN=∠MAN；∵AN是公共边，∴△MAN≌△EAN，∴EN=MN，即DN-DE=MN，∴DN-BM=MN21教育网
三：自我精练（时限120分钟，满分120分）
一、单选题（共10题，每题3分；共30分）
1 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A四边都相等 B对角线互相垂直平分 C对角线相等 D 每一条对角线平分一组对角
2 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A 对角线相等 B 对角线互相垂直 C 对角线互相平分 D 对角线平分一组对角
3 在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°,若添加一个条件即可判定此四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）www-2-1-cnjy-com
A ∠D=90° B AB=CD C AD=BC D BC=CD
4 下列说法不正确的是（ ）
A 四边都相等的四边形是正方形 B 对角线互相垂直的矩形是正方形
C 有一个角是直角的菱形是正方形 D 两条对角线相等的菱形是正方形
5 对角线相等且互相垂直平分的四边形是（ ）
A 平行四边形 B 矩形 C 正方形 D 菱形
6已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（ ）
A 当AB=BC时，它是菱形 B 当AC=BD时，它是正方形
C 当AC⊥BD时，它是正方形 D 当∠ABC=90°时，它是矩形
7 顺次连接菱形各边中点所得到的四边形一定是（ ）
A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 正方形
8 在四边形ABCD中，AC,BD相交于O,下列条件中，能判定ABCD是正方形的是（ ）
A AO=CO,BO=DO,AB=BC B AC=BD, AB=CD, AB∥CD
C AD∥ BC,∠A= ∠C D AC⊥BD, AO=BO=CO=DO【来源：21·世纪·教育·网】
9已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( )21*cnjy*com
A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB
10 （2017·宜宾）如图，在矩形ABCD中BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（ ）【版权所有：21教育】
A．3 B． C．5 D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11.(2017·绍兴）如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为 m．
13．(2017陕西)如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，则四边形ABCD的面积为 ．
14 （2017·抚顺）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD＝3时，线段BC的长为 ．
15 （2017·黔西南）如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是 cm．
三：解答题（16，17题每题6分，18，19题每题7分，20，21题每题8分，22题10分，23题11分，24题12分，共75分）
16 如图，E,F,G,H是正方形ABCD边AB，BC,CD,DA上一点，且AE=BF＝CG=DH，求证：EFGH为正方形
17 如图，正方形ABCD中，E,F分别为AB,AD上的点，AF=BE，且CE，BF交于H，O为AC的中点，
（1）求∠OHF的度数
（2）探究线段OH,CH,BH之间的数量关系
18 如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD边上，且∠EAF=45°，
（1）求证：BE+DF=EF
(2)若BE=3,DF=2,求AB的长
19 在平面直角坐标系中，A（a，b）在第一象限内，且a,b符合与互为相反数，AB⊥y轴于B，AC⊥x轴于C．
（1）求△AOC的面积；
（2）如图，E为线段OB上一点，连AE，过A作AF⊥AE交x轴于F，连EF，ED平分∠OEF交OA于D，过D作DG⊥EF于G，求DG+EF的值；
（3）在(2)的条件下，求AD:EF的值
20（2008·武汉） 正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F。如图1，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF．
⑴如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E。
①求证：DF＝EF；
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；
⑵若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E。请完成图3并判断⑴中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）2·1·c·n·j·y
21（2013·济宁）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．
（1）求证：AF=BE；
（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．
22 (2014·牡丹江)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
23（2014 威海）猜想与证明：
如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．21·cn·jy·com
拓展与延伸：
（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为 ．2-1-c-n-j-y
（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．
24（2013·济宁）如图，直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．21cnjy.com
（1）求点P运动的速度是多少？
（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？
（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．
F
P(O)
D
C
B
A
图1
图2
O
D
C
B
A
E
F
P
O
D
C
B
A
图3
P
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人教版八年级下册第18章《正方形》典型考题精讲精练教师版
一：知识精析：
1. 正方形：
(1) 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
（2）性质：两组对边分别平行，四条边都相等、相邻两边互相垂直；四个角都是直角；对角线互相垂直、对角线相等且互相平分；正方形即是轴对称图形，也是中心对称图形
（3）判定：一组邻边相等的矩形是正方形；或者有一个角是直角的菱形是正方形；或者对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；或者四条边都相等且有一个角是直角的四边形是正方形2-1-c-n-j-y
2. 方法与技巧：常考查对称、等积法、配方法、分类、转化、数形结合、方程与函数等数学思想方法和角含半角等模型相关的几何图形构造。【版权所有：21教育】
二：类题精讲：
典例1：（2017·石景山一模）在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的动点（与点A，C不重合），连接BE．
（1）将射线BE绕点B顺时针旋转45°，交直线AC于点F．
①依题意补全图1；
②小研通过观察、实验，发现线段AE，FC，EF存在以下数量关系：AE与FC的平方和等于EF的平方．小研把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法：
想法1：将线段BF绕点B逆时针旋转90°，得到线段BM，要证AE，FC，EF的关系，只需证AE，AM，EM的关系．
想法2：将△ABE沿BE翻折，得到△NBE，要证AE，FC，EF的关系，只需证EN，FN，EF的关系．
…
请你参考上面的想法，用等式表示线段AE，FC，EF的数量关系并证明；（一种方法即可）
（2）如图2，若将直线BE绕点B顺时针旋转135°，交直线AC于点F．小研完成作图后，发现直线AC上存在三条线段（不添加辅助线）满足：其中两条线段的平方和等于第三条线段的平方，请直接用等式表示这三条线段的数量关系．
【解答】解：（1）①补全图形，如图1所示：
②AE2+FC2=EF2；理由如下：过B作MB⊥BF，使BM=BF，连接AM、EM，如图2所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∠1=∠2=45°，AB=BC，∵∠3=45°，∴∠MBE=∠3=45°，在△MBE和△FBE中，，∴△MBE≌△FBE（SAS），∴EM=EF，∵∠4=90°﹣∠ABF，∠5=90°﹣∠ABF，∴∠4=∠5，在△AMB和△CFB中，，∴△AMB≌△CFB（SAS），∴AM=FC，∠6=∠2=45°，∴∠MAE=∠6+∠1=90°，在Rt△MAE中，AE2+AM2=EM2 ， ∴AE2+FC2=EF2；
（2）解：AF2+EC2=EF2；理由如下：过B作MB⊥BF，使BM=BF，连接ME、MF、AM，如图3所示：同（1）得：△MBF≌△EBF，∴MF=EF，同（1）得：△AMB≌△CBE（SAS），∴AM=EC，∠BAM=∠BCE=45°，∴∠MAE=∠BAM+∠BAC=90°，∴∠MAF=90°，在Rt△MAF中，AF2+AM2=MF2 ， ∴AF2+EC2=EF2 ．
典例2：（2015·辽阳）菱形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，∠MON+∠BCD=180°，∠MON绕点O旋转，射线OM交边BC于点E，射线ON交边DC于点F，连接EF．
（1）如图1，当∠ABC=90°时，△OEF的形状是________；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，请判断△OEF的形状，并说明理由；
（3）在（1）的条件下，将∠MON的顶点移到AO的中点O′处，∠MO′N绕点O′旋转，仍满足∠MO′N+∠BCD=180°，射线O′M交直线BC于点E，射线O′N交直线CD于点F，当BC=4，且时，直接写出线段CE的长．
【解答】解： （1）△OEF是等腰直角三角形；
证明：如图1，∵菱形ABCD中，∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形，∴OB=OC，∠BOC=90°，∠BCD=90°，∠EBO=∠FCO=45°，∴∠BOE+∠COE=90°，∵∠MON+∠BCD=180°，∴∠MON=90°，∴∠COF+∠COE=90°，∴∠BOE=∠COF，在△BOE与△COF中，，∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE=OF，∴△OEF是等腰直角三角形；
（2）△OEF是等边三角形；证明：如图2，过O点作OG⊥BC于G，作OH⊥CD于H，
∴∠OGE=∠OGC=∠OHC=90°，∵四边形ABCD是菱形，∴CA平分∠BCD，∠ABC+BCD=180°，∴OG=OH，∠BCD=180°﹣60°=120°，∵∠GOH+∠OGC+∠BCD+∠OHC=360°，∴∠GOH+∠BCD=180°，∴∠MON+∠BCD=180°，∴∠GOH=∠EOF=60°，
∵∠GOH=∠GOF+∠FOH，∠EOF=∠GOF+∠EOG，∴∠EOG=∠FOH，在△EOG与△FOH中，，∴△EOG≌△FOH（ASA），∴OE=OF，∴△OEF是等边三角形
（3）证明：如图3，∵菱形ABCD中，∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形，∴，过O点作O′G⊥BC于G，作O′H⊥CD于H，∴∠O′GC=∠O′HC=∠BCD=90°，∴四边形O′GCH是矩形，∴O′G∥AB，O′H∥AD，∴，
∵AB=BC=CD=AD=4，∴O′G=O′H=3，∴四边形O′GCH是正方形，∴GC=O′G=3，∠GO′H=90°，∵∠MO′N+∠BCD=180°，∴∠EO′F=90°，∴∠EO′F=∠GO′H=90°，∵∠GO′H=∠GO′F+∠FO′H，∠EO′F=∠GO′F+∠EO′G，∴∠EO′G=∠FO′H，在△EO′G与△FO′H中，，∴△EO′G≌△FO′H（ASA），∴O′E=O′F，∴△O′EF是等腰直角三角形；∵S正方形ABCD=4×4=16，，∴S△O′EF=18，∵S△O′EF= O′E2 ， ∴O′E=6，在RT△O′EG中，EG=，∴CE=CG+EG=3+．根据对称性可知，当∠M′ON′旋转到如图所示位置时，CE′=E′G﹣CG=﹣3．综上可得，线段CE的长为3+或﹣3．
典例3：. 已知：已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N。 （1）当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），求证：BM+DN=MN；（2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），则线段BM，DN和MN之间数量关系是______；（3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的的数量关系呢？并对你的猜想加以说明。
【解答】解：（1）证明：如图，延长CB ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )至E使得BE=DN，易证△ABE ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )≌△ADN ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，∴∠BAE ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )=∠DAN ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，AE=AN，∴∠EAN ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )=∠BAE ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )+∠BAN ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )=∠DAN ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )+∠BAN ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )=90°；∵∠MAN=45°，∴∠EAM=∠MAN，∵AM是公共边，∴△ABE ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )≌△AND，∴ME ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )=MN，即BM+BE=MN，∴BM+DN=MN21·世纪*教育网
（2）BM+DN=MN；
（3）DN-BM=MN
如图，在DC ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )上截取DE=BM，易证△ADE ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )≌△ABM，∴∠DAE=∠BAM，AE=AM，∴∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90°，∵∠MAN=45°，∴∠EAN=∠MAN；∵AN是公共边，∴△MAN≌△EAN，∴EN=MN，即DN-DE=MN，∴DN-BM=MN
三：自我精练（时限120分钟，满分120分）
一、单选题（共10题，每题3分；共30分）
1 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A四边都相等 B对角线互相垂直平分 C对角线相等 D 每一条对角线平分一组对角
【解答】解：C
2 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A 对角线相等 B 对角线互相垂直 C 对角线互相平分 D 对角线平分一组对角
【解答】解：C
3 在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°,若添加一个条件即可判定此四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A ∠D=90° B AB=CD C AD=BC D BC=CD
【解答】解：D
4 下列说法不正确的是（ ）
A 四边都相等的四边形是正方形 B 对角线互相垂直的矩形是正方形
C 有一个角是直角的菱形是正方形 D 两条对角线相等的菱形是正方形
【解答】解：A
5 对角线相等且互相垂直平分的四边形是（ ）
A 平行四边形 B 矩形 C 正方形 D 菱形
【解答】解：C
6已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（ ）
A 当AB=BC时，它是菱形 B 当AC=BD时，它是正方形
C 当AC⊥BD时，它是正方形 D 当∠ABC=90°时，它是矩形
【解答】解：B
7 顺次连接菱形各边中点所得到的四边形一定是（ ）
A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 正方形
【解答】解：B
8 在四边形ABCD中，AC,BD相交于O,下列条件中，能判定ABCD是正方形的是（ ）
A AO=CO,BO=DO,AB=BC B AC=BD, AB=CD, AB∥CD
C AD∥ BC,∠A= ∠C D AC⊥BD, AO=BO=CO=DO21教育网
【解答】解：A
9已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( )2·1·c·n·j·y
A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB
【解答】解：C
10 （2017·宜宾）如图，在矩形ABCD中BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（ ）【出处：21教育名师】
A．3 B． C．5 D．
【解答】解：C
二、填空题（每题3分，共15分）
11．(2017·绍兴）如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为 m．
【解答】解：4600（提示：连接CG，由正方形的对称性，易知AG＝CG，由正方形的对角线互相平分一组对角，GE⊥DC，易得DE＝GE．在矩形GECF中，EF＝CG．△AGD≌△GDC，AG＝CG；在矩形GECF中，EF＝CG，∴EF＝AG．BA＋AD＋DE＋EF－BA－AG－GE＝AD＝1500m．小敏共走了3100m，则小聪行走的路程为3100＋1500＝4600 m）
12（2017·菏泽）菱形ABCD中，∠A=60°，其周长为24cm，则菱形的面积为 cm2．．
【解答】解：18
13．(2017陕西)如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，则四边形ABCD的面积为 ．
【解答】解：18（提示：作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N；证明△ABM≌△ADN，得到AM=AN，△ABM与△ADN的面积相等；求出正方形AMCN的面积即可解决问题）
14 （2017·抚顺）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD＝3时，线段BC的长为 ．
【解答】解：3
15 （2017·黔西南）如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是 cm．
【解答】解：（ 设EF＝FD＝x，在RT△AEF中利用勾股定理得：32+（6－x）2＝x2，解得x＝，则AF＝6－＝）www-2-1-cnjy-com
三：解答题（16，17题每题6分，18，19题每题7分，20，21题每题8分，22题10分，23题11分，24题12分，共75分）【来源：21cnj*y.co*m】
16 如图，E,F,G,H是正方形ABCD边AB，BC,CD,DA上一点，且AE=BF＝CG=DH，求证：EFGH为正方形
【解答】解:由三角形全等可先证得EFGH为菱形，再证∠EFG=90°
17 如图，正方形ABCD中，E,F分别为AB,AD上的点，AF=BE，且CE，BF交于H，O为AC的中点，
（1）求∠OHF的度数
（2）探究线段OH,CH,BH之间的数量关系
【解答】解：（1）易证△ABF≌△BCE，可得CE⊥BF；连OB作OM⊥BF于M，作ON⊥CE于N,，可证得△OMB≌△ONC，得OM=ON，则有OH平分∠CHF，所以∠CHF=45°
(2)在CH上截取CG=BH,可证△OGC≌△OHB，得△OHG为等腰直角三角形，则有CH-BH=OH
18 如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD边上，且∠EAF=45°，
（1）求证：BE+DF=EF
(2)若BE=3,DF=2,求AB的长
【解答】解：（1）延长CB到M，使BM=DF,连AM，可证得△AEF与△AEM全等即可
（2）设AB=x,则CE=x-3,CF=x-2,在△CEF中，由勾股定理得方程，
解得x=6,则有AB=6
19 在平面直角坐标系中，A（a，b）在第一象限内，且a,b符合与互为相反数，AB⊥y轴于B，AC⊥x轴于C．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求△AOC的面积；
（2）如图，E为线段OB上一点，连AE，过A作AF⊥AE交x轴于F，连EF，ED平分∠OEF交OA于D，过D作DG⊥EF于G，求DG+EF的值；21*cnjy*com
（3）在(2)的条件下，求AD:EF的值
【解答】解：（1）由题意，得-（a-6）2≥0，∴（a-6）2≤0．∵（a-2）2≥0，∴a-6=0，
∴a=6．∵与互为相反数∴b-a=0，∴b=6，∴A（6，6）．∴AC=OC=6．∴S△AOC=×6×6=18．∴△AOCD的面积为18；21*cnjy*com
（2）∵AB⊥y轴于B，AC⊥x轴于C，∴∠ABO=∠ACO=90°．∵∠BOC=90°，∴四边形ABOC是正方形，∴AB=AC=BO=CO=6，OA平分∠BOC，∠BAC=90°．∵AF⊥AE，∴∠EAF=90°，∴∠BAC=∠EAF，∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，即∠BAE=∠CAF．在△ABE和△ACF中，由∠BAE＝∠CAF, AB＝AC, ∠ABE＝∠ACF可得△ABE≌△ACF（ASA），∴AE=AF，BE=CF．设BE=CF=t，OE=6-t，OF=26+t．∵ED平分∠OEF，∴点D是△OEF的内心．作DM⊥OB于M，作DH⊥OF于H，且DG⊥EF于G，∴DG=DM=DH，∴四边形MOHD是正方形，∴MO=HO=DM=DG．设DG=MO=x，∴x=，∴x=，∴EF=12-2x，．∴DG+EF=x+6-x=6．
（3）由（2）易证得AE=AD,则有AD:EF=
20（2008·武汉） 正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F。如图1，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF．
⑴如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E。
①求证：DF＝EF；
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；
⑵若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E。请完成图3并判断⑴中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）
【解答】解：（1）如图2，延长FP交AB于点Q，①∵AC是正方形ABCD对角线，∴∠QAP=∠APQ=45°，∴AQ=PQ，∵AB=QF，∴BQ=PF，∵PE⊥PB，∴∠QPB+∠FPE=90°，
∵∠QBP+∠QPB=90°，∴∠QBP=∠FPE，∵∠BQP=∠PFE=90°，∴△BQP≌△PFE，∴QP=EF，∵AQ=DF，∴DF=EF；
②如图2，过点P作PG⊥AD．∵PF⊥CD，∠PCF=∠PAG=45°，∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形，∵四边形DFPG为矩形，∴PA=PG，PC=CF，∵PG=DF，DF=EF，∴PA=EF，∴PC=CF=（CE+EF）=CE+EF=CE+PA，即PC、PA、CE满足关系为：PC=CE+PA；
（2）结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是PA-PC=
CE． 如图3：①∵PB⊥PE，BC⊥CE，∴B、P、C、E四点共圆，∴∠PEC=∠PBC，在△PBC和△PDC中有：BC=DC（已知），∠PCB=∠PCD=45°（已证），PC边公共边，∴△PBC≌△PDC（SAS），∴∠PBC=∠PDC，∴∠PEC=∠PDC，∵PF⊥DE，∴DF=EF；
②同理：PA=PG=DF=EF，PC=CF，∴PA=EF=（CE+CF）=CE+CF=CE+PC,即PC、PA、CE满足关系为：PA-PC=CE．
21（2013·济宁）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．
（1）求证：AF=BE；
（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．21教育名师原创作品
【解答】解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠ABE=∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴AF=BE；
（2）MP与NQ相等．理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，则与（1）的情况完全相同．
22 (2014·牡丹江)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
【解答】解：（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=CE，
∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=BD，
∴四边形BECD是菱形；
（3）当∠A=45°时，四边形B°ECD是正方形，理由是：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵四边形BECD是菱形，∴四边形BECD是正方形，即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．21世纪教育网版权所有
23（2014 威海）猜想与证明：
如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．21cnjy.com
拓展与延伸：
（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为 ．
（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．
【解答】解：猜想：DM=ME证明：如图1，延长EM交AD于点H，
∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，在RT△HDE中，HM=EM，∴DM=HM=ME，∴DM=ME．
（1）如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，在△FME和△AMH中，∴△FME≌△AMH（ASA）∴HM=EM，在RT△HDE中，HM=EM，∴DM=HM=ME，∴DM=ME，故答案为：DM=ME．
（2）如图2，连接AE，∵四边形ABCD和ECGF是正方形，∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，∴AE和EC在同一条直线上，在RT△ADF中，AM=MF，∴DM=AM=MF，在RT△AEF中，AM=MF，∴AM=MF=ME，∴DM=ME．
24（2013·济宁）如图，直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．
（1）求点P运动的速度是多少？
（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？
（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．
【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B，∴x=0时，y=4，y=0时，x=8，∴==，当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t，∵EP∥BO，∴==，∴AP=2t，∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，∴点P运动的速度是每秒2个单位长度；
（2）如图1，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，则∵OQ=FQ=t，PA=2t，∴QP=8﹣t﹣2t=8﹣3t，∴8﹣3t=t，解得：t=2，
如图2，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，∵OQ=t，PA=2t，∴OP=8﹣2t，∴QP=t﹣（8﹣2t）=3t﹣8，∴t=3t﹣8，解得：t=4；21·cn·jy·com
（3）如图1，当Q在P点的左边时，∵OQ=t，PA=2t，∴QP=8﹣t﹣2t=8﹣3t，∴S矩形PEFQ=QP QF=（8﹣3t） t=8t﹣3t2，当t=﹣=时，S矩形PEFQ的最大值为：=4，
如图2，当Q在P点的右边时，∵OQ=t，PA=2t，∴QP=t﹣（8﹣2t）=3t﹣8，
∴S矩形PEFQ=QP QE=（3t﹣8） t=3t2﹣8t，∵当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，∴0≤t≤4，当t=﹣=时，S矩形PEFQ的最小，∴t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：3×42﹣8×4=16，综上所述，当t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：16．www.21-cn-jy.com
F
P(O)
D
C
B
A
图1
图2
O
D
C
B
A
E
F
P
O
D
C
B
A
图3
P
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