17.2勾股定理逆定理课件（两课时）
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课件26张PPT。第一课时 一、探究勾股定理的逆定理：1.提出问题：
据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你认为结论正确吗？ 这个问题意味着，如果三角形的三边分别为3，4，5，这些数满足关系：32+42=52，围成的三角形是直角三角形． 一、探究勾股定理的逆定理： 2.实验探究：
（1）画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），它们是直角三角形吗？ ① 2.5，6，6.5； ② 6，8，10．
（2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数．
（3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想． 一、探究勾股定理的逆定理： 3.作出猜想：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 一、探究勾股定理的逆定理： 4.验证猜想：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2.
求证：△ABC是直角三角形. 一、探究勾股定理的逆定理： 5.得出定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.练习1 在△ABC中，AC2-AB2=BC2，那么（ ）
A．∠A=90° B.∠B=90°
C.∠C=90° D.不能确定哪个角是直角 二、逆命题和逆定理的概念：1.逆命题和逆定理：
命题1：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
命题2：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
概念1：两个命题的题设与结论正好相反，像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．
2.逆定理：
如果一个定理得逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.练习2说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题是真命题吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
（2）对顶角相等；
（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．解：（1）逆命题：内错角相等，两直线平行．真命题．
（2）逆命题：相等的角是对顶角．假命题．
（3）逆命题：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．真命题．
【反思】任何一个命题都有逆命题；原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题． 三、勾股定理逆定理的运用问题1：
例1 判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1） a=15，b=17，c=8；
（2） a=13，b=15，c=14；
（3） a= ，b=4，c=5．解：（1）∵152+82=225+64=289,172=289，
∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形；
三、勾股定理逆定理的运用问题1：
例1 判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1） a=15，b=17，c=8；
（2） a=13，b=15，c=14；
（3） a= ，b=4，c=5．解：（2）∵132+142=169+196=365,152=225，
∴132+142≠152，
根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形； 三、勾股定理逆定理的运用问题1：
例1 判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1） a=15，b=17，c=8；
（2） a=13，b=15，c=14；
（3） a= ，b=4，c=5．【拓 展】像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.练习3同学们还知道哪些勾股数？请完成以下未完成的勾股数：
（1）3，4， ；（2）6，8， ；（3）7，24， ；
（4）7，40， ；（5）9，12， .
答案：5；10；25；41；15. 三、勾股定理逆定理的运用 例2 一般地，如果a、b、c是一组勾股数(c最大)， ak、bk、ck （k是正整数）也是一组勾股数吗？
解：∵a，b，c是一组勾股数，
∴a2+b2=c2.
∴a2k2+b2k2=c2k2，
即(ak)2+（bk）2=(ck)2.
又∵k为正整数 ，
∴ak，bk，ck也是正整数，
∴ak，bk，ck(k为正整数)也是一组勾股数.练习4请根据上题的结论，由3，4，5再写出几组勾股数。1.利用勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形的一般步骤：
①确定最大边长c；
②计算a2+b2和c2的值,
若a2+b2=c2，则此三角形是直角三角形；
若a2+b2若a2+b2>c2，则此三角形是锐角三角形.
2.互逆命题表明两个命题在形式上的关系，将一个命题的题设和结论互换即可得到它的逆命题，当原命题成立时，它的逆命题不一定成立，即互逆的两个命题不一定同真或同假.三、课堂小结：第二课时 一、复习回顾：1. 勾股定理和逆定理的内容是什么？它们之间有何联系和区别？
2.什么是勾股数？能否举出一些常见的勾股数。活动1
例1 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile,它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？二、勾股定理及其逆定理的实际应用： 解：根据题意：
PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，QR=30.
∵242+182=302，
即PQ2+PR2=QR2，
∴△PQR为直角三角形，即∠QPR=90°.
∵∠1=45°，
∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.活动2
例2 某中学有一块四边形的空地ABCD，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？二、勾股定理及其逆定理的实际应用：活动3
二、勾股定理及其逆定理的实际应用：练习1如图所示的是一块地，已知AD=4m，CD=3m,AD⊥DC，AB=3m，BC=12m，求这块地的面积.活动3
二、勾股定理及其逆定理的实际应用：练习2如图，如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？二、勾股定理及其逆定理的实际应用： 解：设MN交AC于E，则∠BEC=90°.
∵AB2+BC2=52+122=169，AC2=132=169，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，即∠ABC=90°.
∵MN⊥AC，即CE⊥MN，
∴走私艇C进入我领海的最近距离是CE.
∵S△ABC=
∴BE= .
在Rt△BCE中，由勾股定理得，
∴CE=
..∴最早进入时间≈0.85小时=51分钟.
9时50分+51分=10时41分.
答：走私艇最早在10时41分进入我国领海. 1.已知一三角形的三边的长度时，首先应对该三角形进行判断，判断最长边的平方是否等于其余两边的平方和，如何满足这一条件则此三角形为直角三角形；
2.勾股定理的逆定理为证明直角三角形提供了新的方法，由数量关系得到角为直角，是数形结合的很好体现.三、课堂小结：同学们再见
据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你认为结论正确吗？ 这个问题意味着，如果三角形的三边分别为3，4，5，这些数满足关系：32+42=52，围成的三角形是直角三角形． 一、探究勾股定理的逆定理： 2.实验探究：
（1）画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），它们是直角三角形吗？ ① 2.5，6，6.5； ② 6，8，10．
（2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数．
（3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想． 一、探究勾股定理的逆定理： 3.作出猜想：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 一、探究勾股定理的逆定理： 4.验证猜想：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2.
求证：△ABC是直角三角形. 一、探究勾股定理的逆定理： 5.得出定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.练习1 在△ABC中，AC2-AB2=BC2，那么（ ）
A．∠A=90° B.∠B=90°
C.∠C=90° D.不能确定哪个角是直角 二、逆命题和逆定理的概念：1.逆命题和逆定理：
命题1：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
命题2：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
概念1：两个命题的题设与结论正好相反，像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．
2.逆定理：
如果一个定理得逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.练习2说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题是真命题吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
（2）对顶角相等；
（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．解：（1）逆命题：内错角相等，两直线平行．真命题．
（2）逆命题：相等的角是对顶角．假命题．
（3）逆命题：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．真命题．
【反思】任何一个命题都有逆命题；原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题． 三、勾股定理逆定理的运用问题1：
例1 判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1） a=15，b=17，c=8；
（2） a=13，b=15，c=14；
（3） a= ，b=4，c=5．解：（1）∵152+82=225+64=289,172=289，
∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形；
三、勾股定理逆定理的运用问题1：
例1 判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1） a=15，b=17，c=8；
（2） a=13，b=15，c=14；
（3） a= ，b=4，c=5．解：（2）∵132+142=169+196=365,152=225，
∴132+142≠152，
根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形； 三、勾股定理逆定理的运用问题1：
例1 判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1） a=15，b=17，c=8；
（2） a=13，b=15，c=14；
（3） a= ，b=4，c=5．【拓 展】像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.练习3同学们还知道哪些勾股数？请完成以下未完成的勾股数：
（1）3，4， ；（2）6，8， ；（3）7，24， ；
（4）7，40， ；（5）9，12， .
答案：5；10；25；41；15. 三、勾股定理逆定理的运用 例2 一般地，如果a、b、c是一组勾股数(c最大)， ak、bk、ck （k是正整数）也是一组勾股数吗？
解：∵a，b，c是一组勾股数，
∴a2+b2=c2.
∴a2k2+b2k2=c2k2，
即(ak)2+（bk）2=(ck)2.
又∵k为正整数 ，
∴ak，bk，ck也是正整数，
∴ak，bk，ck(k为正整数)也是一组勾股数.练习4请根据上题的结论，由3，4，5再写出几组勾股数。1.利用勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形的一般步骤：
①确定最大边长c；
②计算a2+b2和c2的值,
若a2+b2=c2，则此三角形是直角三角形；
若a2+b2
2.互逆命题表明两个命题在形式上的关系，将一个命题的题设和结论互换即可得到它的逆命题，当原命题成立时，它的逆命题不一定成立，即互逆的两个命题不一定同真或同假.三、课堂小结：第二课时 一、复习回顾：1. 勾股定理和逆定理的内容是什么？它们之间有何联系和区别？
2.什么是勾股数？能否举出一些常见的勾股数。活动1
例1 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile,它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？二、勾股定理及其逆定理的实际应用： 解：根据题意：
PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，QR=30.
∵242+182=302，
即PQ2+PR2=QR2，
∴△PQR为直角三角形，即∠QPR=90°.
∵∠1=45°，
∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.活动2
例2 某中学有一块四边形的空地ABCD，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？二、勾股定理及其逆定理的实际应用：活动3
二、勾股定理及其逆定理的实际应用：练习1如图所示的是一块地，已知AD=4m，CD=3m,AD⊥DC，AB=3m，BC=12m，求这块地的面积.活动3
二、勾股定理及其逆定理的实际应用：练习2如图，如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？二、勾股定理及其逆定理的实际应用： 解：设MN交AC于E，则∠BEC=90°.
∵AB2+BC2=52+122=169，AC2=132=169，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，即∠ABC=90°.
∵MN⊥AC，即CE⊥MN，
∴走私艇C进入我领海的最近距离是CE.
∵S△ABC=
∴BE= .
在Rt△BCE中，由勾股定理得，
∴CE=
..∴最早进入时间≈0.85小时=51分钟.
9时50分+51分=10时41分.
答：走私艇最早在10时41分进入我国领海. 1.已知一三角形的三边的长度时，首先应对该三角形进行判断，判断最长边的平方是否等于其余两边的平方和，如何满足这一条件则此三角形为直角三角形；
2.勾股定理的逆定理为证明直角三角形提供了新的方法，由数量关系得到角为直角，是数形结合的很好体现.三、课堂小结：同学们再见