课件58张PPT。第二章 随机变量及其分布
2.1 离散型随机变量及其分布列
2.1.1 离散型随机变量 主题1 随机变量
1.掷一枚硬币的随机试验中,它有几种不同的结果?
提示:可能出现正面向上、反面向上两种结果.2.如果用数字1和0分别表示正面向上和反面向上,试完成下表:提示:103.当对应关系确定了,每一个试验结果是一个确切数字吗?
提示:当对应关系确定后,每一个试验结果都是一个确切数字.结论:
随机变量
(1)定义:在随机试验中,确定了一个对应关系,使得每
一个试验结果都用一个___________表示.在这个对应关
系下,数字随着_________的变化而变化.像这种随着试
验结果变化而变化的变量称为随机变量.
(2)表示:随机变量常用字母__________…表示.确定的数字试验结果X,Y,ξ,η【微思考】
1.随机变量与函数都是映射,试写出两者分别是从什么到什么的映射?
提示:随机变量是试验的结果到实数的映射;函数是实数到实数的映射.2.在随机变量中,哪个量相当于函数的定义域,哪个量相当于函数的值域?
提示:在随机变量中,试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域.主题2 离散型随机变量
1.在含有10件次品的100件产品中,任意抽取4件,可能含有的次品数X的取值范围是多少?
提示:其取值范围是{0,1,2,3,4}.2.{X=0}表示什么事件?{X=4}表示什么事件?{X<3}表示什么事件?
提示:{X=0}表示“抽取0件次品”,{X=4}表示“抽取4件次品”,{X<3}表示“抽取3件以下的次品”.结论:
离散型随机变量
所有取值可以_________的随机变量称为离散型随机
变量.一一列出【微思考】
离散型随机变量应满足哪两个条件?
提示:一是能一一列举出来,二是只能取有限个.【预习自测】
1.下列变量中,不是随机变量的是 ( )
A.一射击手射击一次的环数
B.水在100℃时会沸腾
C.抛掷两枚骰子,所得点数之和
D.某电话总机在时间区间(0,T)内收到的呼叫次数【解析】选B.由随机变量定义可知,它是随机试验的结果,是不确定的,故选B.2.下列随机变量中是离散型随机变量的为 ( )
A.某人早晨在车站等出租车的时间X
B.以测量仪的最小单位计数,测量的舍入误差X
C.连续不断地射击,首次命中目标所需要的射击次数X
D.沿数轴随机运动的质点在数轴上的位置X【解析】选C.选项A,B,D中的随机变量X可以取某一区间内的一切值,无法按一定次序一一列出,故不是离散型随机变量.3.(2017·青岛检测)将一枚骰子抛掷两次,以下是随机变量的是 ( )
A.两次点数都小于7
B.第一次出现小于7的点,第二次出现大于7的点
C.两次出现的点数之和
D.两次都出现了小于1的点【解析】选C.A的结果是必然的,B中第2次与D的结果是不可能的,不能成为随机变量,而选项C整体反映两次投掷结果,可以预见两次出现的点数之和是2,3,4,5,6, 7,8,9,10,11,12这11种结果,但每掷一次之前都无法确定是哪一个,因此是随机变量.4.一批产品共有12件,其中次品3件,每次从中任取一件,在取得合格品之前取出的次品数ξ的所有可能取值是________.
【解析】因为次品总共有3件,所以ξ的最大值为3.即ξ的取值为0,1,2,3.
答案:0,1,2,35.“掷一枚骰子”这一随机试验中所得点数是一随机变量ξ,则随机变量ξ=2,对应随机事件是________.
【解析】随机变量ξ=2,表明掷一枚骰子,出现的点数为2.
答案:掷一枚骰子,出现2点类型一 随机变量的概念
【典例1】指出下列变量中,哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由.
(1)任意掷一枚均匀硬币5次,出现正面向上的次数.
(2)投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字).
(3)某个人的属相随年龄的变化.
(4)在标准状况下,水在-5℃时结冰.【解题指南】依据随机变量的定义判定.即要判定变量是否为随机变量,关键是看所给变量是否随试验结果的变化而变化.【解析】(1)任意掷一枚硬币1次,可能出现正面向上也
可能出现反面向上,因此投掷5次硬币,出现正面向上的
次数可能是0,1,2,3,4,5,而且出现哪种结果是随机的,
是随机变量.
(2)投一颗骰子出现的结果是1点,2点,3点,4点,5点,6
点中的一个且出现哪个结果是随机的,因此是随机变量.(3)属相是出生时便定的,不随年龄的变化而变化,不是随机变量.
(4)标准状况下,在-5℃时水结冰是必然事件,不是随机变量.【方法总结】随机变量的辨析方法
(1)随机试验的结果具有可变性,即每次试验对应的结果不尽相同.
(2)随机试验的结果的确定性,即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点,则该变量即为随机变量.
【巩固训练】某学生上学的路上有6处红绿灯.
(1)在每个红绿灯路口因红灯停留的时间之和是随机变量吗?
(2)在上学路上遇到的红灯的个数是随机变量吗?【解析】(1)是随机变量.在上学的路上因红灯停留的时间之和都与一个非负实数对应,因此在每个红绿灯路口因红灯停留的时间之和是一个随机变量.
(2)是随机变量.在上学路上遇到的红灯的个数都与0, 1,2,3,4,5,6这7个数字之一相对应,因此在上学路上遇到的红灯的个数是一个随机变量.类型二 离散型随机变量的判定
【典例2】(1)下列变量中,不是离散型随机变量的是
( )
A.从5张已编号的卡片(从1号到5号)中任取一张,被取
出的号数ξ
B.连续不断射击,首次命中目标所需要的射击次数ηC.某工厂加工的某种钢管内径与规定的内径尺寸之差ξ1
D.电话号码“110”每分钟被呼叫的次数η1
(2)指出下列随机变量是否是离散型随机变量,并说明理由.
①湖南矮寨大桥桥面一侧每隔30米有一路灯,将所有路灯进行编号,随机选某一路灯,其编号X;
②在一次数学竞赛中,设一、二、三等奖,小明同学参加竞赛获得的奖次X;
③一天内气温的变化值X.【解题指南】依据离散型随机变量的定义进行判定.
【解析】(1)选C.从5张已编号的卡片(从1号到5号)中
任取一张,被取出的号数ξ的可能取值为1,2,3,4,5,故
A是离散型随机变量;连续不断射击,首次命中目标所需
要的射击次数η的可能取值为1,2,3,4,5,…,故B是离
散型随机变量;某工厂加工的某种钢管内径与规定的内径尺寸之差ξ1,其取值不能够一一列出,故C不是离散型随机变量;电话号码“110”每分钟被呼叫的次数η1的可能取值为0,1,2,3,4,5,…,故D是离散型随机变量.
(2)①桥面上的路灯是可数的,编号X可以一一列出,是离散型随机变量;
②小明获奖等次X可以一一列出,是离散型随机变量;
③一天内的气温变化值X,可以在某区间内连续取值,不能一一列出,不是离散型随机变量.【方法总结】判断离散型随机变量的方法
判断一个随机变量是否是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有取值是否可以一一列出,具体方法如下:
(1)明确随机试验的所有可能结果.(2)将随机试验的结果数量化.
(3)确定试验结果所对应的实数′是否可以一一列出,如能一一列出,则该随机变量是离散型随机变量,否则不是.【拓展延伸】随机变量的分类【巩固训练】判断下列各个变量是否是随机变量,若是,是否是离散型随机变量?
(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张,被抽出卡片的号数.
(2)某林场的树木最高达30m,在此林场中任取一棵树木的高度.
(3)体积为27cm3的正方体的棱长.【解析】(1)抽出卡片的号码是不确定的,是随机变量,只要取出一张,便有一个号码,因此被取出的卡片号数可以一一列出,符合离散型随机变量的定义.
(2)林场树木的高度是一个随机变量,它可以取(0,30]内的一切值,无法一一列举,不是离散型随机变量.(3)体积为27cm3的正方体棱长为3cm为定值,不是随机变量.
【补偿训练】如果X是一个离散型随机变量,那么下
列命题中为假命题的是 ( )
A.X取所有可能值的概率是非负实数
B.X取所有可能值的概率之和为1
C.X取某两个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D.X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
【解析】选D.由分布列性质可知A,B均正确,由选的取值不同所对应的随机事件互斥可知C正确,故选D.类型三 用随机变量表示随机试验的结果
【典例3】(1)在一次比赛中,需回答三个问题,比赛规则规定:每题回答正确得2分,回答不正确倒扣1分,记选手甲回答这三个问题的总得分为ξ,则ξ的所有可能取值构成的集合是________.(2)写出下列随机变量可能的取值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
①一袋中装有5只同样大小的白球,编号为1,2,3,4,5,现从该袋内随机取出3只球,被取出的球的最大号码数ξ;
②某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η.【解题指南】(1)回答这三个问题可能有4个不同的结果,答对0个、1个、2个、3个.(2)①可从题设要求以及球的编号,确定被取球的最大号码数,进而写出试验结果;②呼叫的次数是有限的,也是离散的.【解析】(1)三个问题回答完,其回答可能结果有:三个全对,两对一错,两错一对,三个全错,故得分可能情况是6分,3分,0分,-3分,所以ξ的所有可能取值构成的集合为{6,3,0,-3}.
答案:{6,3,0,-3}(2)①ξ可取3,4,5.
ξ=3,表示取出的3个球的编号为1,2,3;
ξ=4,表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4;
ξ=5,表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.②η可取0,1,…,n,…η=i,表示被呼叫i次,其中i=0, 1,2,…
【延伸探究】
1.典例(2)①中的“被取出的球的最大号码数ξ”改为“被取出的球的最小号码数ξ”,结果如何?【解析】ξ可取1,2,3.
ξ=1,表示取出的3个球的编号为1,2,3或1,2,4或1,2,5或1,3,4或1,3,5或1,4,5;
ξ=2,表示取出的3个球的编号为2,3,4或2,3,5或2,4,5;
ξ=3,表示取出的3个球的编号为3,4,5.2.若将典例(2)①中的条件“取出3只球”改为“取出2只球”,被取出的球的最大号码ξ,结果如何?【解析】ξ可取2,3,4,5.
ξ=2,表示取出的2个球的编号为1,2;
ξ=3,表示取出的2个球的编号为1,3或2,3;
ξ=4,表示取出的2个球的编号为1,4或2,4或3,4;
ξ=5,表示取出的2个球的编号为1,5或2,5或3,5或4,5.【方法总结】确定离散型随机变量结果的步骤
(1)确定随机变量的所有可能取值.
(2)依据随机变量各个取值确定对应试验结果.【补偿训练】同时抛掷5枚硬币,得到硬币反面向上的
个数为ξ,则ξ的所有可能取值的集合为________.
【解析】掷5枚硬币,硬币反面向上最少有0个,最多有5个.因此ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.
答案:{0,1,2,3,4,5}【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
随机变量的判断方法
(1)每一个试验的结果是随机的.
(2)随机变量是随机试验结果到实数的映射.
(3)可预先知道随机试验的所有结果,但在一次试验中不能确定究竟出现哪一个结果,变量会取哪一个值.课件72张PPT。2.1.2
离散型随机变量的分布列主题1 离散型随机变量的分布列
1.在抛掷一枚质地均匀的骰子的随机试验中,用X表示骰子向上一面的点数,试写出X的所有可能取值的结果以及相应的概率.提示:X的所有可能取值的结果为1,2,3,4,5,6.
P(1)= ,P(2)= ,P(3)= ,P(4)= ,P(5)= ,
P(6)= .2.试将X的每一个取值及相应的概率以表格的形式表示出来.
提示:3.根据问题2,想一想对一般的离散型随机变量的分布
列有哪些性质?
提示:由概率的意义和事件的关系,可知:①pi≥0,i=1,
2,…,n;② pi=1.结论:
离散型随机变量的分布列
(1)定义:若离散型随机变量X可能取的不同值为x1, x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,以表格的形式表示如下:此表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的
_______.
(2)性质:①pi≥0,i=1,2,3,…,n;② pi=__.分布列1【微思考】
1.概率分布列
表格中的x1,x2,…,xn及p1,p2,…,pn分别表示什么含义?提示:表格中x1,x2,…,xn表示离散型随机变量X可能取的不同值,p1,p2,…,pn表示X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi.2.X取值为x1,x2,…,xn时所对应的事件是否互斥?
提示:由随机变量的概念知随机变量X取值x1,x2,…,xn是不能同时发生的,故随机变量X取值为x1,x2,…,xn时所对应事件是互斥的.主题2 两类特殊的分布
1.如果一个随机试验中,X只有两种可能的结果1与0,设结果为1的事件发生的概率为p,试写X的概率分布列.
提示:根据分布列的性质,另一个事件的概率为1-p,所以,随机变量X的分布列为:2.在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,试写出P(X=k)和随机变量X的分布列.
提示:P(X=k)= ,k=0,1,2,…,m.
随机变量X的分布列为:其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.结论:
两类特殊分布列
(1)两点分布列
若随机变量X的分布列为则称该分布列为_____分布列.
若随机变量X的分布列为_____分布列,就称X服从_____
分布,称p=P(X=1)为_____概率.两点两点两点成功(2)超几何分布列
一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰
有K件次品,则事件{X=k}发生的概率为P(X=k)= , k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈
N*,则称分布列为超几何分布列,随机变量X服从超几何分布.【微思考】
1.两点分布中随机变量X的取值有几个,分别是什么?其概率是多少?
提示:随机变量X的取值有2个,分别是0,1,它们的概率是1-p与p.2.在超几何分布的模型中,“任取n件”应如何理解?
提示:应理解为不放回地一次取一件,连续取n次.
【预习自测】
1.设随机变量X的分布列为
则p等于 ( )
A.0 B. C. D.不确定【解析】选B.由分布列的性质可知 + +p=1,解得
p= . 2.已知随机变量X的分布列为:P(X=k)= (k=1,2,…),
则P(2
【解析】选C.P(2 3.下列事件:
①抽取的彩券是否中奖;
②买回的一件产品是否为正品;
③投篮是否命中.
可以用两点分布列来研究的是________.【解析】抽取的彩券只有中奖与不中奖两种结果,所以可用两点分布来研究;买回的一件产品只有正品与次品两种不同的结果,所以可用两点分布来研究;投篮只有命中与没有命中两种结果,所以可用两点分布来研究.
答案:①②③4.将一枚硬币扔三次,设X为正面向上的次数,则P(0< X<3)=__________.
【解析】P(0答案:0.755.袋内有5个白球,6个红球,从中摸出两球,记X=
则P(X=0)=______,P(X=1)=______.【解析】显然,P(X=0)=
所以P(X=1)=
答案: 6.从某医院的3名医生,2名护士中随机选派2人参加雅安抗震救灾,设其中医生的人数为X,写出随机变量X的分布列.【解析】依题意可知,随机变量X服从超几何分布,所以
P(X=k)= (k=0,1,2).
P(X=0)= =0.1,
P(X=1)= =0.6,
P(X=2)= =0.3.(或P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)
=1-0.1-0.6=0.3).
故随机变量X的分布列为类型一 求离散型随机变量的分布列
【典例1】同时掷两枚质地均匀的骰子,观察朝上一面出现的点数,求两枚骰子中出现的最大点数X的分布列.
【解题指南】根据所掷两枚骰子朝上一面出现的点数确定X所有可能的取值,再利用古典概型知识求出X取每一个值的概率,进而写出分布列.【解析】易知掷两枚质地均匀的骰子朝上一面出现的点数有36种等可能的情况,X的可能取值为1,2,3,4,5,6,如下表:由古典概型可知X的分布列为【方法总结】求离散型随机变量的分布列的步骤
(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i=1,2,3,…,n)以及X取每个值的意义.
(2)求出取各值的概率P(X=xi)=pi.
(3)列成表格得到分布列.【巩固训练】一袋中装有6个同样大小的小球,编号分别为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球,以X表示取出球的最大号码,求X的分布列.【解析】随机变量X的可能取值为3,4,5,6.
从袋中随机取出3个球,包含的基本事件总数为 ,事
件“X=3”包含的基本事件总数为 ;
事件“X=4”包含的基本事件总数为 ;
事件“X=5”包含的基本事件总数为 ;事件“X=6”包含的基本事件总数为 .
从而有P(X=3)=
P(X=4)= P(X=5)= P(X=6)=
所以随机变量X的分布列如表:【补偿训练】从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中,
等可能地取出一个,记所取出的非空子集的元素个数为ξ,求ξ的分布列.【解析】依题意,ξ的所有可能值为1,2,3,4,5.
又P(ξ=1)= P(ξ=2)=
P(ξ=3)= P(ξ=4)= P(ξ=5)=
故ξ的分布列为:类型二 分布列的性质及应用
【典例2】(1)(2017·沈阳高二检测)设随机变量ξ的
分布为P(ξ=k)=m· ,k=1,2,3,则m的值为 ( )
(2)(2016·衡水高二检测)设随机变量ξ等可能取值1,2,3,…,n,如果P(3<ξ≤5)=0.2,那么 ( )
A.n=4 B.n=8 C.n=10 D.n=20【解题指南】(1)利用各个概率之和等于1的性质可求m
的值.
(2)注意P(3<ξ≤5)=P(ξ=4)+P(ξ=5),又ξ是等可能
取值,所以P(ξ=k)= (k=1,2,…,n).【解析】(1)选B.因为m·
所以
(2)选C.因为ξ是等可能取值,所以P(ξ=k)= (k=1,
2,…,n),所以P(3<ξ≤5)=P(ξ=4)+P(ξ=5)= =0.2,
所以n=10.【延伸探究】
1.典例(2)中条件“P(3<ξ≤5)=0.2”改为“P(ξ<5) =0.2”,结果如何?【解析】因为ξ是等可能取值,所以P(ξ=k)= (k=1, 2,…,n),所以P(ξ<5)=P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)= =0.2,
所以n=20.
2.典例(2)条件不变,试写出其概率分布列.
【解析】因为ξ是等可能取值,所以P(ξ=k)= (k=1, 2,…,n),所以P(3<ξ≤5)=P(ξ=4)+P(ξ=5)= =0.2,
所以n=10.所以P(ξ=k)= .分布列为【方法总结】分布列的基本性质
若随机变量X的取值为x1,x2,…,xn,取这些值的概率为P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n,则①pi≥0,i=1,2,…,n.②p1 +p2+…+pn=1.此外,利用分布列的性质检验所求分布列的正误,是非常重要的思想方法.③一般地,离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.【补偿训练】设随机变量X的分布列P =ak(k=1, 2,3,4,5).
(1)求常数a的值.
(2)求P 的值.【解析】由题意得X的分布列为:(1)由a+2a+3a+4a+5a=1,得a= .
(2)
或 类型三 两类特殊的分布及应用
【典例3】在一次购物抽奖活动中,假设10张奖券中有一等奖奖券1张,可获价值50元的奖品,有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖品.(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数X的分布列.
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张,设顾客乙获得的奖品总价值Y元,求Y的分布列.【解题指南】(1)抽奖一次,只有中奖和不中奖两种情况,符合两点分布.
(2)结合超几何分布的概率分布特点和题意即可写出Y的分布列.【解析】(1)抽奖一次,只有中奖和不中奖两种情况,
故X的取值只有0和1两种情况.
P(X=1)= 则
P(X=0)=1-P(X=1)=1- 因此X的分布列为(2)Y的所有可能取值为0,10,20,50,60,且
P(Y=0)= P(Y=10)=
P(Y=20)= P(Y=50)=
P(Y=60)= 因此随机变量Y的分布列为【方法总结】求解超几何分布问题的注意事项
(1)在产品抽样检验中,如果采用的是不放回抽样,则抽到的次品数服从超几何分布.(2)在超几何分布公式中,P(X=k)= ,k=0,1,2,…,
m,其中,m=min{M,n}.这里的N是产品总数,M是产品中的
次品数,n是抽样的样品数,且0≤n≤N,0≤k≤n,0≤k≤
M,0≤n-k≤N-M.(3)如果随机变量X服从超几何分布,只要代入公式即可求得相应概率,关键是明确随机变量X的所有取值.
(4)当超几何分布用表格表示较繁杂时,可用解析式法表示.【拓展延伸】P(X=k)= 的推导
从N件产品中任取n件产品的基本事件有 个;事件
{X=k}表示“在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其
中恰有k件次品,则必有(n-k)件正品,因此事件{X=k}
中含有 个基本事件,由古典概型概率计算公式
可知P(X=k)= 【巩固训练】(2017·唐山高二检测)在掷骰子试验中,有6种可能结果,如果我们只关心出现的点数是否小于4,问如何定义随机变量η,才能使η满足两点分布,并求其分布列.【解析】随机变量η可以定义为:
显然η只取0,1两个值.
且P(η=1)= 故η的分布列为【补偿训练】在一次英语口语考试中,有备选的10道
试题,已知某考生能答对其中的8道,规定每次考试都从备选题中任选3题进行测试,至少答对两题才算合格,求该考生答对试题数X的分布列.【解析】由题意,X的可能取值为1,2,3.
所以X的分布列为【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
离散型随机变量分布列的三种形式
(1)表格法:能直观地得到随机变量取各个不同值的概率.
(2)解析式法:能精确表示X取各个不同值的概率,便于用数学方法进行研究.
(3)图象法:直观表示X取各个不同值的概率.课件62张PPT。2.2 二项分布及其应用
2.2.1 条件概率 主题1 条件概率的概念
1.三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小.提示:若抽到中奖奖券用“Y”表示,没有抽到用“ ”
表示,那么三名同学的抽奖结果共有三种可能:
用B表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”,
则B仅包含一个基本事件 .由古典概型计算概率
的公式可知,最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 .2.如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券,那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少?提示:因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券,所以可
能出现的基本事件只有 而“最后一名同学
抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是 .由古典概
型计算概率的公式可知,最后一名同学抽到中奖奖券的
概率为 .3.设A表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”,AB表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券,而最后一名同学抽到中奖奖券”,B|A表示事件“已知第一名同学没有抽到中奖奖券的条件下,最后一名同学抽到中奖奖券”,试求P(A),P(AB),P(B|A)三者间的关系?提示:P(A)= ,P(AB)= ,P(B|A)= ,
所以P(B|A)= .结论:
条件概率的概念
设A,B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)= 为在事
件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.
P(B|A)读作__发生的条件下__发生的概率.AB【微思考】
1.若事件A,B互斥,则P(B|A)是多少?
提示:A与B互斥,即A,B不同时发生,
所以P(AB)=0,所以P(B|A)=0.
2.若P(A)≠0,则P(AB)=P(B|A)·P(A),这种说法正确吗?
提示:正确,由P(B|A)= 得P(AB)=P(B|A)·P(A).主题2 条件概率的性质
1.依据条件概率的定义以及概率的范围,试写出条件概
率的范围?
提示:因为P(B|A)= (P(A)>0),且每个事件的概率
都大于或等于0且小于或等于1.所以0≤P(B|A)≤1.2.如果B和C是两个互斥事件,试写出求P(B∪C|A)的公式?
提示:由于B与C是互斥事件,所以P(B∪C|A)=P(B|A)+ P(C|A).结论:
条件概率的性质
(1)P(B|A)∈______.
(2)如果B与C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=______________.[0,1]P(B|A)+P(C|A)【微思考】
对任意的两两不相容的事件Ai(i=1,2,…),如何求
P( Ai|B)的概率.
提示:P( Ai|B)= P(Ai|B).【预习自测】
1.下列式子成立的是 ( )
A.P(A|B)=P(B|A) B.0C.P(AB)=P(B|A)·P(A) D.P(AB|A)=P(B)【解析】选C.由P(B|A)= 得P(AB)=P(B|A)P(A),
而P(A|B)= 知A不正确,C正确;当P(B)为零时知
P(B|A)=0,所以B也不正确;D选项应是P(AB|A)=P(B|A),
故D不正确.2.已知 则P(AB)= ( )
【解析】选C.由P(B|A)= 得P(AB)=P(B|A)P(A)=
3.把一枚硬币任意抛掷三次,事件A=“至少一次出现正
面”,事件B=“恰有一次出现正面”,则P(B|A)=( )
【解析】选A.由题意,
所以P(B|A)= 4.抛掷红、白两枚骰子,事件A=“红骰子出现3点”,事
件B=“白骰子出现的点数是奇数”,则P(A|B)=_______.【解析】利用条件概率的定义求解.P(A|B)=
答案: 5.将一颗骰子先后抛掷两次,在朝上的一面数字之和为
6的条件下,两次都为偶数的概率是__________.
【解析】朝上的一面数字之和为6的情况有5种,两次都
是偶数且数字之和为6的情况有2种,所求概率为 .
答案: 6.高二(1)班和高二(2)班两班共有学生120名,其中女同学50名,若(1)班有70名同学,而女生30名,问在碰到(1)班同学时,正好碰到一名女同学的概率.(仿照教材P53例1的解析过程)【解析】在碰到(1)班同学时,正好碰到一名女同学的
概率即为A发生的条件下,B发生的概率,由题意可知n(A)
=70,n(AB)=30.由条件概率公式求得 类型一 条件概率的计算
【典例1】现有6个节目准备参加比赛,其中4个舞蹈节目,2个语言类节目,如果不放回地依次抽取2个节目,求:
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率.
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率.(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率.
【解题指南】先设第1次抽到舞蹈节目为事件A,第2次抽到舞蹈节目为事件B,再求P(A),P(AB),再由条件概率的计算公式求P(B|A).【解析】设第1次抽到舞蹈节目为事件A,第2次抽到舞蹈节目为事件B,则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个事件数为n(Ω)=
=30.
根据分步乘法计数原理n(A)= =20,
得P(A)=
(2)因为n(AB)= =12,
所以P(AB)= (3)方法一:由(1)(2),得在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率为
P(B|A)=
方法二:因为n(AB)=12,n(A)=20,
所以P(B|A)= 【方法总结】利用缩小基本事件范围计算条件概率的
方法
将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A,
原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件,
每个基本事件发生的概率相等,从而可以在缩小的事件
空间上利用古典概型公式计算条件概率,即P(B|A)= ,这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件
范围的.
【巩固训练】设某种动物能活到20岁的概率为0.8,能活到25岁的概率为0.4,现有一只20岁的这种动物,问它能活到25岁的概率是多少?【解析】设事件A为“能活到20岁”,事件B为“能活到25岁”,
则P(A)=0.8,P(B)=0.4,
而所求概率为P(B|A),
由于B?A,故AB=B,于是P(B|A)= =0.5,
所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.
【补偿训练】从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张,将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞,求两张都是假钞的概率.【解析】若A表示“抽到的两张中至少有一张为假钞”,B表示“抽到的两张都是假钞”,则所求概率为P(B|A).
因为P(AB)=P(B)= ,P(A)= ,
所以P(B|A)= 类型二 条件概率性质及应用
【典例2】(1)若B,C是互斥事件且P(B|A)= ,P(C|A) = 则P(B∪C|A)= ( )
(2)一袋中有6个黑球,4个白球.依次取出3个球,不放回,已知第一次取出的是白球,求第三次取出黑球的概率.
【解题指南】(1)可直接利用条件概率的性质P(B∪C|A) =P(B|A)+P(C|A)求解.(2)第三次取出黑球是在第一次取得白球的条件下发生的,符合条件概率,因此可用条件概率公式求解.【解析】(1)选D.因为B,C是互斥事件,所以P(B∪C|A) =P(B|A)+P(C|A)=
(2)设A={第一次取出白球},C={第三次取出白球},则
【延伸探究】
1.典例(2)中条件“不放回”改为“放回”,则结论如
何?
【解析】有放回,则第三次取球不受第一次取球影响,
记第三次取到黑球为事件D,则P(D)= 2.典例(2)中条件不变,改为求第三次取出白球的概率.
【解析】由例题知P(C|A)=
【方法总结】复杂条件概率问题的处理策略
对于比较复杂的事件,可以先分解为两个(或若干个)较简单的互斥事件的并,求出这些简单事件的概率,再利用加法公式P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)即得所求的复杂事件的概率.【补偿训练】1.在某次考试中,要从20道题中随机地抽出6道题,若考生至少能答对其中的4道题即可通过;若至少能答对其中5道题就获得优秀,已知某考生能答对20道题中的10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率.【解析】设事件A为“该考生6道题全答对”,事件B为“该考生答对了其中5道题,另一道答错”,事件C为“该考生答对了其中4道题,而另2道题答错”,事件D为“该考生在这次考试中通过”,事件E为“该考生考试中获得优秀”,则A,B,C两两互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B.由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)= ,
P(AD)=P(A),P(BD)=P(B),P(E|D)=P(A∪B|D)=P(A|D)+
P(B|D)
故所求的概率为 .2.甲袋中有2个白球和4个红球,乙袋中有1个白球和2个红球,现在随机地从甲袋中取出一球放入乙袋,然后从乙袋中随机地取出一球,问从乙袋中取出的是白球的概率是多少?【解析】设A表示事件“从甲袋中移入乙袋中的球是白
球”,B表示事件“最后从乙袋中取出的是白球”.所以
P(B)=P(A)P(B|A)+ 【误区警示】解答本题易出现如下两点错误:
一是不能分清事件A、事件B、事件AB以及事件B|A与事
件B| ;二是将P(B)=P(A)P(B|A)+ 误认为
P(B)=P(A)P(B|A).类型三 几何概型中的条件概率
【典例3】(1)如图所示的正方形被平均分成
9个部分,向大正方形区域随机地投掷一个点
(每次都能投中),设投中最左侧3个小正方形区域的事件为A,投中最上面3个小正方形或中间1个小正方形区域的事件记为B,则P(A|B)=________.(2)(2017·福州高二检测)如图,EFGH是以O为圆心,半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则P(B|A)=____.【解题指南】(1)借助图形,分清A,B,AB,A|B各个事件是什么,然后求其概率.(2)此题是几何概型问题,用面积法求出事件A的概率P(A),同理求出P(AB),再依据条件概率公式求出P(B|A).【解析】(1)依题意知:
P(A|B)=
答案: (2)依题意得:
所以P(B|A)=
答案: 【方法总结】几何概型中的条件概率
P(B|A)=
【巩固训练】(2017·驻马店高二检测)如图,△ABC和△DEF都是圆内接正三角形,且BC∥EF,将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在△ABC内”,B表示事件“豆子落在△DEF内”,则P(B|A)= ( )【解析】选D.如图所示,作三条辅助线,根据已知条件
这些小三角形全等,所以 【补偿训练】如图所示的大正方形被平均
分成9个部分,向大正方形区域随机地投掷
一点(每次都能投中),记“投中最左侧3个
小正方形区域”为事件A,“投中最上面3个小正方形区域”为事件B.则P(B|A)=__________.【解析】根据几何概型,得P(AB)= ,P(A)= ,
所以P(B|A)=
答案: 【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
计算条件概率的两种方法
(1)定义法:P(B|A)= (P(A)>0).
(2)缩减基本事件空间法:P(B|A)= .课件70张PPT。 2.2.2
事件的相互独立性 主题1 事件的相互独立性
三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”,事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券”,据此回答下列问题.(1)试求P(B|A)与P(B)的大小关系?
提示:显然,有放回地抽取奖券时,最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张,因此P(B|A)=P(B).
(2)试求P(AB)与P(B),P(A)的大小关系?
提示:因为P(B|A)= 且P(B|A)=P(B),
所以P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).(3)事件A的发生会不会影响事件B发生的概率?
提示:不会影响.结论:
独立事件的定义:设A,B为两个事件,若_____________
_____,则称事件A与事件B相互独立.P(AB)=P(A)·P(B)【微思考】
1.两个事件相互独立时,满足何种概率关系?
提示:P(AB)=P(A)P(B).
2.在什么条件下,P(B|A)=P(B)成立?
提示:若事件A,B是相互独立的,则有P(B|A)=P(B).3.两事件相互独立是否说明这两个事件没有任何关系?
提示:两事件A,B相互独立是指事件A是否发生与事件B是否发生没有关系,并不是事件A,B间没有关系.相反,若事件A,B相互独立,则常有事件AB≠?,即事件A,B不互斥.主题2 两独立事件的性质
1.如果事件A与B相互独立,试说明A与 也相互独立?
提示:P(A )=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)
=P(A)(1-P(B))=P(A)P( ),所以A与 也相互独立.2.如果事件A与B相互独立,试说明 与B也相互独立?
提示:P(B )=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)P(B)
=P(B)(1-P(A))=P( )P(B),所以 与B也相互独立.3.如果事件A与B相互独立,试说明 与 也相互独立?
提示:P( )=P( )-P( B)= P( )-P( )P(B)
=P( )(1-P(B))=P( )P( ),所以 与 也相互独立.结论:
两事件独立的性质:A与B是相互独立事件,则
也相互独立.【微思考】
1.P(A )=P(A)P( )是否成立?
提示:因为A与 不是相互独立事件,是对立事件,所以
P(A )=P(A)P( )一定不成立.2.若A与 是相互独立事件,则A与B是否相互独立?
提示:因为B与 是互斥事件,
所以P(B)=1-P( ),
又P(A )=P(A)-P(AB)=P(A)·P( ),
所以P(AB)=P(A)·P(B),
所以A与B相互独立.【预习自测】
1.若事件A与B相互独立,则下列不相互独立的事件为
( )
【解析】选C.依题意可知:当A与B相互独立时,
是相互独立的,而B与 不一定相互独立.2.若事件A,B相互独立,且P(A)=P(B)= ,则P(AB)=
( )
【解析】选C.因为事件A,B相互独立,故
P(AB)= 3.抛掷一颗骰子一次,记A表示事件:“出现偶数点”,
B表示事件:“出现3点或6点”,则事件A与B的关系
是 ( )
A.互斥事件
B.相互独立事件
C.既互斥又相互独立事件
D.既不互斥又不相互独立事件【解析】选B. A={2,4,6},B={3,6},AB={6},
所以P(A)= ,P(B)= ,P(AB)= = × ,
所以A与B是相互独立事件.4.盒子里有a个黑球,b个白球,每次取一个有放回地取两次,设A={第一次摸得黑球},B={第二次摸得黑球},则事件A发生________影响事件B发生.【解析】显然A与B两个事件是相互独立的,所以事件A发生不会影响事件B的发生.
答案:不会5.两人射击命中目标的概率分别为 现两人同时射
击目标,则目标被命中的概率为__________.
【解析】目标没有被击中的概率为
故目标被击中的概率为1-
答案: 6.已知A,B是相互独立事件,且P(A)= ,P(B)= ,
则P(A )=__________.
【解析】P(A )=P(A)P( )=P(A)(1-P(B))= ×(1-
)= .
答案: .7.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是P1,乙解决这个问题的概率是P2,求恰好有1人解决这个问题的概率.(仿照教材P54例3的解析过程)【解析】(1)甲解决这个问题,乙未解决这个问题的概率是P1(1-P2);(2)甲未解决这个问题,乙解决这个问题的概率是P2(1-P1).所以恰好有1人解决这个问题的概率是P1(1-P2)+P2(1-P1).类型一 相互独立事件的判断
【典例1】从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张,设A=“抽到K”,B=“抽到红牌”,C=“抽到J”,那么下列每对事件是否相互独立?是否互斥?是否对立?为什么?
(1)A与B.
(2)C与A.【解题指南】可以依据相互独立事件、互斥事件、对立事件的概念进行定性分析,也可运用相关概率公式进行定量计算,作出判断.【解析】(1)由于事件A为“抽到K”,事件B为“抽到红
牌”,故抽得红牌中有可能抽到红桃K或方块K,即有可
能抽到K,故事件A,B有可能同时发生,显然它们不是互
斥事件,更不是对立事件,以下考虑它们是否为相互独
立事件:抽到K的概率P(A)= 抽到红牌的概率
P(B)= 故P(A)P(B)= 事件AB即为“既抽到K又抽到红牌”,亦即“抽到红桃K或方块K”.故
P(AB)= 从而有P(A)P(B)=P(AB).因此A与B为相
互独立事件.
(2)从一副牌(52张)中任取一张,抽到K就不可能抽到J,抽到J就不可能抽到K,故事件C与A不可能同时发生,A与C互斥,不是相互独立事件.又抽不到K不一定抽到J,故A与C并非对立事件.【方法总结】事件A,B相互独立的充要条件
事件A,B相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)·P(B).
(1)充分性:由定义知P(AB)=P(A)·P(B)时,
事件A,B相互独立.
(2)必要性:由A,B相互独立得P(B|A)=P(B),
所以P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).【巩固训练】容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球.
(1)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩余的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”这两个事件是否相互独立?为什么?(2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器,再从容器中任意取出1个,取出的是黄球”这两个事件是否相互独立?为什么?
【解析】(1)“从8个球中任意取出1个,取出的是白
球”的概率是 ,若这一事件发生了,则“从剩余的7
个球中任意取出1个,取出的还是白球”的概率为 ;
若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为 .可
见,前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,
所以二者不是相互独立事件.(2)由于把取出的白球放回容器,故对“再从容器中任意取出1个,取出的是黄球”的概率没有影响,所以二者是相互独立事件.【补偿训练】甲、乙两名射手同时向一目标射击,设事
件A:“甲击中目标”,事件B:“乙击中目标”,则事件A
与事件B ( )
A.相互独立但不互斥 B.互斥但不相互独立
C.相互独立且互斥 D.既不相互独立也不互斥【解析】选A.对同一目标射击.甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的,所以事件A与B相互独立;对同一目标射击,甲、乙两射手可能同时击中目标,也就是说事件A与B可能同时发生,所以事件A与B不是互斥事件.类型二 相互独立事件同时发生的概率
【典例2】(1)种植两株不同的花卉,若它们的成活率分别为p和q,则恰有一株成活的概率为 ( )
A.p+q-2pq B.p+q-pq
C.p+q D.pq(2)(2017·贵阳高二检测)甲、乙两人破译一密码,他
们能破译的概率分别为 和 .求:
①两人都能破译的概率;
②两人都不能破译的概率.【解题指南】(1)两种花卉成活与否是相互独立的,因
此可以利用相互独立事件的概率公式求解.(2)如果A,B
是相互独立事件,那么 均相互独立,所
以可以利用相互独立事件的概率公式来解题.【解析】(1)选A.恰有一株成活的概率为p(1-q)+(1-
p)q=p+q-2pq.
(2)设“甲能破译”为事件A,“乙能破译”为事件B,则
A,B相互独立,从而 相互独立,
①“两人都能破译”为事件AB,
则P(AB)=P(A)P(B)= ②“两人都不能破译”的事件为 则
=[1-P(A)][1-P(B)]
【延伸探究】
1.典例(2)中条件不变,求恰有一人能破译的概率.
【解析】“恰有一人能破译”的事件为
又 互斥,则
2.典例(2)中条件不变,试求至多有一人能破译的概率.【解析】“至多有一人能破译”的事件为
互斥,故
3.若典例(2)中的条件“他们能破译的概率分别为
”换为“他们不能破译的概率分别为 ”,
其他条件不变.试求两人都能破译的概率.【解析】设“甲能破译”为事件A,“乙能破译”为事
件B,
则由题意知
故 因此两人都能
破译的概率为P(AB)=P(A)·P(B)= 【方法总结】求相互独立事件概率的步骤
(1)确定各事件之间是相互独立的.
(2)确定这些事件可以同时发生.
(3)求出每个事件发生的概率,再根据相互独立事件的概率计算公式求解.【拓展延伸】已知两个事件A,B相互独立,它们的概率分别为P(A),P(B),则有【补偿训练】三支球队中,甲队胜乙队的概率为0.4,乙队胜丙队的概率为0.5.丙队胜甲队的概率为0.6,比赛顺序是:第一局是甲队对乙队,第二局是第一局的胜者对丙队,第三局是第二局的胜者对第一局的败者,第四局是第三局的胜者对第二局的败者,求乙队连胜四局的概率.【解析】设乙队连胜四局为事件A,有下列情况:
第一局中乙胜甲(A1),其概率为1-0.4=0.6;第二局中乙胜丙(A2),其概率为0.5;第三局中乙胜甲(A3),其概率为1-0.4=0.6;第四局中乙胜丙(A4),其概率为0.5,因各局比赛中的事件相互独立,故乙队连胜四局的概率为
P(A)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=0.62·0.52=0.09.类型三 相互独立事件概率的综合应用
【典例3】设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的.求:(1)进入商场的1位顾客,甲、乙两种商品都购买的概率.
(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率.
(3)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率.【解题指南】解答本题先应明确购买甲、乙两种商品及顾客之间购买商品都是相互独立的,用字母表示相应的随机事件,再利用独立事件的概念进行求解.【解析】记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”,则P(A)=0.5;
记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”,则P(B)=0.6;
记C表示事件“进入商场的1位顾客,甲、乙两种商品都购买”;记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”;
记E表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”.
(1)易知C=AB,则P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.
(2)易知D=(A )∪( B),则P(D)=P(A )+P( B)= P(A)P( )+P( )P(B)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5.
(3)易知 = ,则P( )=P( )=P( )P( )=0.5×
0.4=0.2,故P(E)=1-P( )=0.8.【方法总结】
1.求解概率综合应用问题的思路
(1)“大化小”,即将问题划分为若干个彼此互斥或相互独立的事件.
(2)运用概率的加法公式和乘法公式来求解,在运用乘法公式时一定要注意是否满足彼此独立,只有彼此独立才能运用乘法公式.(3)正难则反,间接处理.在求事件的概率时,有时遇到求“至少…”或“至多…”等概率问题,如果从正面考虑这些问题,它们是诸多事件的和或积,求解过程烦琐,但对立事件却往往很简单,其概率也易求出.此时,可逆向思考,先求其对立事件的概率,再利用对立事件的概率和为1来求原来事件的概率.2.求解概率综合应用问题的流程
(1)确定基本事件并用字母表示.
(2)判断各事件的关系(互斥、对立、独立).
(3)将各事件用基本事件的和或积表示.
(4)选择恰当的概率公式计算.【巩固训练】甲、乙、丙三台机器是否维修相互之间没有影响,在一小时之内甲、乙、丙三台机器需要维修的概率分别是0.1,0.2,0.4,则一小时之内恰有一台机器需要维修的概率为( )
A.0.444 B.0.008 C.0.7 D.0.233【解析】选A.恰有一台机器需要维修的概率为:
0.1×(1-0.2)×(1-0.4)+(1-0.1)×0.2×(1-0.4)+(1-0.1)×(1-0.2)×0.4=0.444.【补偿训练】某学生语、数、英三科考试成绩,在一次考试中排名全班第一的概率:语文为0.9,数学为0.8,英语为0.85,问这一次考试中:
(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少?
(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少?【解析】分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A,B,C,则A,B,C两两相互独立且P(A)=0.9, P(B)=0.8,P(C)=0.85.(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用: 表示
=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]
=(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85)=0.003
所以三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用
表示.
由于事件; 两两互斥,
根据概率加法公式和相互独立事件的意义,所求的概率
为
=[1-P(A)]P(B)P(C)+P(A)[1-P(B)]P(C)+P(A)·P(B)[1 -P(C)]=(1-0.9)×0.8×0.85+0.9×(1-0.8)×0.85 +0.9×0.8×(1-0.85)=0.329,
所以恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.
【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
两个事件是否相互独立的判断方法
(1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.(2)定义法:如果事件A,B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积,则事件A,B为相互独立事件.
(3)条件概率法:当P(A)>0时,可用P(B|A)=P(B)判断.
课件51张PPT。2.2.3
独立重复试验与二项分布主题1 独立重复试验
1.抛掷一枚质地均匀的硬币n次,每一次的试验结果受其他试验结果的影响吗?
提示:不会受其他结果的影响.2.抛掷一枚质地均匀的骰子n次,每一次的试验结果受其他试验结果的影响吗?每次试验间有什么关系吗?
提示:不会受其他结果的影响,每次试验都是独立的,相互间没有关系.3.以上两种试验为何每一次的试验结果都不会受其他试验结果的影响?
提示:因为每个试验都是在“相同的条件下”进行的.
结论:
n次独立重复试验:
在_____条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.相同【微思考】
1.在n次独立重复试验中,每次的试验的前提是什么?
提示:在同样的条件下进行.
2.在n次独立重复试验中,每一次试验中的事件是否是相互独立的?
提示:各次试验中的事件是相互独立的.3.在n次独立重复试验中,每一次的试验中某事件发生的概率是否相同?
提示:每次试验中某事件发生的概率是相同的.主题2 二项分布
连续掷一枚图钉3次,用Ai(i=1,2,3)表示事件“第i次掷得针尖向上”,且每次针尖向上的概率为p,Bk(k=0, 1,2,3)表示出现k次针尖向上,回答下列问题:
(1)事件A1,A2,A3是否是相互独立事件?
提示:是相互独立事件.(2)试写出事件B0,B1,B2,B3的概率.
提示:P(B0)=P( )=(1-p)3,P(B1)=P(A1 ) +P( A2 )+P( A3)=3(1-p)2p,
P(B2)=P(A1A2 )+P(A1 A3)+P( A2A3)
=3(1-p)p2,P(B3)=P(A1A2A3)=p3.(3)能否将上面四个概率写成一个通式?
提示:能.P(Bk)= pk(1-p)3-k,k=0,1,2,3.结论:
二项分布
在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次
试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验
中,事件A恰好发生k次的概率为___________________,
k=0,1,2,…,n.此时称随机变量X服从二项分布,记作
__________,并称p为_________.P(X=k)= pk(1-p)n-kX～B(n,p)成功概率【微思考】
1.二项分布是一个离散型随机变量分布列吗?
提示:二项分布实际上试验结果只有发生、不发生两个,可用数字表示,所以是一个离散型随机变量概率分布列.2.二项分布中就两个概率值对吗?
提示:不对,二项分布不同于两点分布,二项分布中有n+1个概率值,两点分布只有两个概率值.
【预习自测】
1.独立重复试验满足的条件是 ( )
①每次试验之间是相互独立的;②每次试验只有发生与不发生两种情况;③每次试验中发生的机会是均等的;④每次试验发生的事件是互斥的.
A.①② B.②③ C.①②③ D.①②④【解析】选C.由独立重复试验的定义可知①②③正确,而④是错误的.2.每次试验的成功率为p(0其中前7次都未成功后3次都成功的概率为 ( )
A. p3(1-p)7 B. p3(1-p)3
C.p3(1-p)7 D.p7(1-p)3【解析】选C.成功率为p,则不成功的概率为(1-p),前7次都未成功概率为(1-p)7,后3次成功概率为p3,故C正确.3.已知随机变量X服从二项分布,X～B(6, ),则P(X=2)
等于 ( )
【解析】选D.已知X～B(6, ),P(X=k)= pk(1-p)n-k
当X=2,n=6,p= 时,
有P(X=2)= 4.①随机变量X表示重复投掷一枚硬币n次正面向上的次数;②有一批产品共有N件,其中M件是次品,采取有放回抽取的方法,则X表示n次抽取中出现次品的件数;
③随机变量X为n次射击命中目标的次数.上述三个随机变量X服从二项分布的是________.【解析】由二项分布的定义可知:①②③中的随机变量X均服从二项分布.
答案:①②③5.某射手每次射击击中目标的概率是 ,且各次射击
的结果互不影响.假设这名射手射击5次,则恰有2次击
中目标的概率为__________.【解析】设X为射手在5次射击中击中目标的次数,因为
每次射击击中目标的概率是 ,所以X～B(5, ),所以
在5次射击中,恰有2次击中目标的概率P(X=2)=
答案: 6.某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都
是 ,求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概
率是多少?(结果保留两位有效数字)(仿照教材P57例3
的解析过程)【解析】记事件A=“1小时内,1台机床需要人照管”,
1小时内5台机床需要照管相当于5次独立重复试验.
1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率P5(0)=
1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的
概率P5(1)= 所以1小时内5台机床中至少2
台需要工人照管的概率为P=1-[P5(0)+P5(1)]≈0.37.类型一 独立重复试验
【典例1】(1)将一枚硬币连掷5次,如果出现k次正面的概率等于出现k+1次正面的概率,那么k的值为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3(2)(2017·贵阳高二检测)位于直角坐标原点的一个质
点P按下列规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方
向向左或向右,并且向左移动的概率为 ,向右移动的
概率为 ,则质点P移动五次后位于点(1,0)的概率是
( )
【解题指南】(1)先分析该试验是否符合独立重复试验的条件,然后再套用公式求解.
(2)质点P移动5次,可理解为5次独立重复试验.【解析】(1)选C.由
得 即k+(k+1)=5,所以k=2.
(2)选D.依题意得,质点P移动五次后位于点(1,0),则这
五次移动中必有某两次向左移动,另三次向右移动,因
此所求的概率等于 【延伸探究】
1.若典例(2)中的条件不变,求移动五次后质点P位于点
(-1,0)的概率.
【解析】依题意得,质点P移动五次后位于点(-1,0),
则这五次移动中必有某两次向右移动,另三次向左移动,
因此所求的概率等于 2.若典例(2)中的条件不变,问该质点能否位于(0,0)处?
【解析】不能.质点P按下列规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向向左或向右;在这五次移动中,该质点向左或向右移动的次数不同且其起点为(0,0),所以,移动五次后,该质点不可能位于(0,0)处.【方法总结】独立重复试验求概率的三个关注点
(1)关注判断问题中所涉及的试验是否为独立重复试验,
即条件相同,要么A发生,要么A不发生.
(2)关注概率公式:P(X=k)= pk(1-p)n-k就是[(1-p)
+p]n展开式中的第k+1项.(3)关注“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰
有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”
等词语的意义.
【补偿训练】将一枚硬币抛掷6次,则正面出现的次数
比反面出现的次数多的概率为________.【解析】由题意知,正面可以出现6次,5次,4次,所求概
率
答案: 类型二 二项分布及其应用
【典例2】从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,
假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且
概率都是 ,设X为途中遇到红灯的次数,求随机变量X
的分布列.【解题指南】根据二项分布的概率公式及相互独立事件的概率公式分别求随机变量X=0,1,2,3的概率即可.【解析】依题意X～B(3, ),则
所以X的分布列为【方法总结】二项分布的解题步骤
(1)判断随机变量X是否服从二项分布.
看两点:①是否为n次独立重复试验;②随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数.(2)建立二项分布模型.
(3)确定X的取值并求出相应的概率.
(4)写出分布列.
【拓展延伸】二项分布、超几何分布的区别与联系
二项分布是由n次独立重复试验所得,超几何分布是由古典概型所得,这两种分布的关系是:在产品抽样中如果采用有放回抽样,则次品数服从二项分布,若采用不放回抽样,则次品数服从超几何分布. 超几何分布与二项分布的区别就在于是不放回抽样,还是有放回抽样.若产品总数N很大时,那么不放回抽样可以近似地看成有放回抽样.
因此,当N→+∞时,超几何分布的极限分布就是二项分布,即当产品总数N很大时可用二项分布估计超几何分布.【巩固训练】
100件产品中有3件不合格品,每次取一件,有放回地抽取3次,求取得不合格品的件数X的分布列.【解析】X可能取的值为0,1,2,3.由于是有放回地每次
取一件,连续取三次,所以这相当于做3次独立重复试验,
一次抽取到不合格品的概率p=0.03.
因此P(X=0)= 0.030·(1-0.03)3=0.912673,
P(X=1)= 0.031·(1-0.03)2=0.084681,
P(X=2)= 0.032·(1-0.03)1=0.002619,P(X=3)= 0.033·(1-0.03)0=0.000027.
分布列为:【补偿训练】如果袋中有6个红球,4个白球,从中任取1球,记住颜色后放回,连续抽取4次,设X为取得红球的次数.求X的概率分布列.【解析】采用有放回地取球,每次取得红球的概率都相
等,均为 ,取得的红球次数X可能的取值为0,1,2,3,4.
由以上分析,知随机变量X服从二项分布,
P(X=k)= (k=0,1,2,3,4).随机变量X的分布列为【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
识别二项分布的方法课件71张PPT。2.3 离散型随机变量的均值与方差
2.3.1 离散型随机变量的均值 主题1 离散型随机变量的均值
1.某商场要将单价为18元/kg,24元/kg,36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售,该商品的价格定为多少元才合理?提示:平均1 kg的混合糖果中,3种糖果的质量分别是
kg, kg, kg,因此混合糖果的合理价格应该为:
18× +24× +36× =23(元/kg).2.在上述问题中,若每一颗糖的质量相等,将原单价看
成离散型随机变量X,写出其分布列.
提示:由于在混合糖果中,任取一颗糖果,这颗糖果为第
一、二、三种糖果的概率分别为 所以其概率分
布列为:3.观测1中商品的合理价格与2中分布列的关系,你能得出什么结论?
提示:合理价格=18× +24× +36×
=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36).
即均值=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36).结论:
离散型随机变量的均值或数学期望:
一般地,若离散型随机变量X的分布列为(1)数学期望E(X)=_______________________.
(2)数学期望的意义:反映了离散型随机变量取值的
_________.x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn平均水平【微思考】
1.离散型随机变量的分布列反映了随机变量各个取值的概率,离散型随机变量的期望反映了随机变量的哪些内容?
提示:离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平.2.离散型随机变量的取值与离散型随机变量均值取值的单位是否相同?
提示:由定义可知离散型随机变量均值的单位与离散型随机变量的取值单位相同.主题2 随机变量均值的性质
1.设离散型随机变量X,试问η=aX+b(a,b是常数)也是随机变量吗?
提示:a,b作为具体的常数,不会改变随机变量X的属性, 所以是随机变量.2.设η=aX+b,试用E(X)表示E(η).
提示:E(η)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axi+b)pi+…
+(axn+b)pn=a(x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pi+…+pn)=aE(X)+b.3.若X～B(n,p),则E(X)等于什么?
提示:E(X)= k pkqn-k= np pk-1qn-1-(k-1)
=np pkqn-1-k=np.结论:
均值的性质:
若Y=aX+b,其中a,b为常数,X是随机变量,则
(1)Y也是随机变量.
(2)E(aX+b)=________.
特别地,若X～B(n,p),则E(X)=np.aE(X)+b【微思考】
1.如何理解E(aX)=aE(X)?
提示:当离散型随机变量X的取值都扩大到原来的a(a>1)倍时,它的均值也扩大到原来的a倍;当离散型随机变量X的值缩小到原来的a(0提示:当离散型随机变量X的取值都增加b(b>0),它的均值也相应地增加b;当随机变量X的取值都减少|b|(b<0),它的均值也相应地减少|b|.3.两点分布的随机变量的均值是多少?
提示:由两点分布
得E(X)=1×p+0×(1-p)=p.【预习自测】
1.已知离散型随机变量X的分布列为
则X的数学期望E(X)= ( )【解析】选A.依题意得:E(X)= 2.若随机变量X服从二项分布 则E(X)的值
为( )
【解析】选A.由均值的性质得E(X)= 3.设E(X)=6,则E(2X+3)等于 ( )
A.10 B.15 C.9 D.39
【解析】选B.依随机变量期望的性质得:
E(2X+3)=2E(X)+3=2×6+3=15.4.随机变量X的分布列如表,且E(X)= ,
则a-b=________.【解析】由表格可知:a+b=1,又E(X)= ,可得a+2b= ,
解得b= ,a= ,所以a-b= .
答案:5.甲、乙两人对同一目标各射击一次,甲命中的概率为 ,乙命中的概率为 ,若命中目标的人数为X,则E(X)=________.【解析】由
可知E(X)=
答案:6.已知离散型随机变量ξ的概率分布如下:
若随机变量η=2ξ+1,求η的数学期望.【解析】由0.3+3k+4k=1得k=0.1,所以E(ξ)=0×0.3
+1×0.3+2×0.4=1.1,所以E(η)=E(2ξ+1)=2E(ξ)+1
=2×1.1+1=3.2.类型一 求离散型随机变量的均值
【典例1】某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜
猜”,规则如下:在这一环节中嘉宾需要猜三道题目,若
三道题目中猜对一道题目可得1分,若猜对两道题目可
得3分,若三道题目完全猜对可得6分,若三道题目全部猜错,则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别
为 且三道题目之间相互独立.求某嘉宾在该“猜
题”环节中所得分数的分布列与均值.
【解题指南】先确定X(该嘉宾所得分数)的所有可能取
值,然后求出每个值的概率,进而确定分布列与均值.【解析】根据题意,设X表示“该嘉宾所得分数”,则X的可能取值为-4,1,3,6.
所以P(X=-4)= 所以X的分布列为
所以E(X)= 【方法总结】求离散型随机变量均值的步骤
(1)写出X可能取得的全部取值.
(2)求X取每个值的概率.
(3)写出X的分布列.
(4)由均值的定义求出E(X).【巩固训练】在10件产品中,有3件一等品、4件二等品、3件三等品.从这10件产品中任取3件,求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望.【解析】根据题目信息可得X的可能取值为0,1,2,3.则随机变量X的分布列为
所以E(X)= 【补偿训练】(2016·四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是________.【解析】同时抛掷两枚质地均匀的硬币,在一次试验中,
至少有一枚硬币正面向上的概率为P= 每次试
验事件发生的概率均相同,所以在2次试验中成功次数满
足二项分布X～B 则E(X)=
答案:类型二 两点分布、二项分布的均值
【典例2】(1)某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的均值为 ( )
A.100 B.200 C.300 D.400(2)某运动员投篮命中率为P=0.6.
①求投篮1次时命中次数X的数学期望;
②求重复5次投篮时,命中次数Y的数学期望.【解题指南】(1)不发芽的种子数服从二项分布,而补种的种子数等于不发芽种子数的2倍.
(2)①X服从两点分布,根据两点分布的均值公式计算;②Y服从二项分布,根据二项分布的均值公式计算.【解析】(1)选B.记“不发芽的种子数为Y”,则Y～B(1000,0.1),所以E(Y)=1000×0.1=100,而X=2Y,故E(X)=E(2Y)=2E(Y)=200.(2)①投篮1次,命中次数X的分布列如表:
则E(X)=0.6.
②由题意得,重复5次投篮,命中的次数Y服从二项分布,
即Y～B(5,0.6),则E(Y)=5×0.6=3.【延伸探究】
1.本例(2)中改为求重复10次投篮时,命中次数ξ的数学期望.
【解析】E(ξ)=10×0.6=6.2.本例(2)中改为重复5次投篮时,命中次数为Y,随机变量η=5Y+2,求E(η).
【解析】E(η)=E(5Y+2)=5E(Y)+2=5×3+2=17.【方法总结】
1.两点分布与二项分布的特点
(1)两点分布是指一次试验有两个结果的概率分布,试验次数为1且不能重复.
(2)二项分布是指n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率分布列,需要做n次试验且每次试验的结果只有两个结果.2.两点分布与二项分布的均值求法步骤
首先依据两点分布与二项分布的特点判断随机变量的分布属于哪一类分布,其次依据两点分布与二项分布的均值公式计算对应分布的均值.【补偿训练】某广场上有4盏装饰灯,晚上每盏灯都随
机地闪烁红灯或绿灯,每盏灯出现红灯的概率都是 ,
出现绿灯的概率都是 .记这4盏灯中出现红灯的数量
为ξ,当这4盏装饰灯闪烁一次时:
(1)求ξ=2时的概率.(2)求ξ的均值.【解析】(1)依题意知:ξ=2表示4盏装饰灯闪烁一次时,
恰好有2盏灯出现红灯,而每盏灯出现红灯的概率都是 ,
故ξ=2时的概率P= (2)方法一:ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,
依题意知:P(ξ=k)=
所以ξ的概率分布列为
所以E(ξ)= 方法二:因为ξ服从二项分布,即ξ～B
所以E(ξ)= 类型三:离散型随机变量均值的应用
【典例3】受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年.现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆,统计数据如下:将频率视为概率,解答下列问题:
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率.
(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1;生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1,X2的分布列.(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的轿车?说明理由.【解题指南】(1)根据保修期为2年,可知甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的轿车数量为2+3,由此可求其概率.(2)求出概率,可得X1,X2的分布列.(3)由(2)求出X1,X2的均值,比较它们的大小可得结论.【解析】(1)设“甲品牌轿车首次出现故障在保修期内”
为事件A,则P(A)= (2)依题意得,X1,X2的分布列分别如下.(3)由(2)得E(X1)= =2.86(万元),
E(X2)= =2.79(万元),
因为E(X1)>E(X2),所以应生产甲品牌的轿车.【方法总结】模型化解题最佳方案选择
首先应把实际问题概率模型化,然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小,并列出分布列,最后利用公式求出相应的均值,随机变量的均值反映的是离散型随机变量取值的平均水平.在实际问题的决策中,往往把均值最大的方案作为最佳方案进行选择.【巩固训练】(2016·全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率.
(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率.
(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.【解析】(1)设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A,
P(A)=1-P( )=1-(0.30+0.15)=0.55.
(2)设续保人保费比基本保费高出60%为事件B,(3)设本年度所交保费为随机变量X.平均保费
E(X)=0.85a×0.30+0.15a+1.25a×0.20+1.5a×0.20+
1.75a×0.10+2a×0.05
=0.255a+0.15a+0.25a+0.3a+0.175a+0.1a=1.23a,
所以平均保费与基本保费比值为1.23.【补偿训练】某商场经销某商品,根据以往资料统计, 顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元,η表示经销一件该商品的利润.
(1)求事件A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A).
(2)求η的分布列及期望E(η).【解析】(1)由题意可知每一位顾客不采用1期付款的
概率为0.6,记A的对立事件“购买该商品的3位顾客中,
都不采用1期付款”为 ,则P( )=0.63=0.216,
所以P(A)=1-P( )=0.784.(2)由题意可知η可以取200,250,300,分布列如下
所以E(η)=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
离散型随机变量均值的求法
(1)定义法:直接运用均值的定义式求均值.
(2)性质法:若一个随机变量可用另一个随机变量线性表示,则可在一个均值已知的前提下求另一个均值.课件63张PPT。2.3.2
离散型随机变量的方差主题1 离散型随机变量的方差与标准差
1.如何刻画随机变量取值的稳定性?
提示:由于E(X)反映随机变量取值的平均水平,所以可
用(xi-E(X))2再结合其他量来描述.2.仿照样本方差的定义以及离散型随机变量均值的概念,试想一想,如何描述随机变量X与其相应的均值E(X)的平均偏离程度?
提示:可用(xi-E(X))2(i=1,2,…,n)的加权平均数来描述.结论:
离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义:设离散型随机变量X的分布列为则__________描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值E(X)
的偏离程度,而D(X)=____________为这些偏离程度的加
权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程
度.称D(X)为随机变量X的方差，其_______________
为随机变量X的标准差. (xi-E(X))2算术平方根(2)意义:随机变量的方差和标准差都反映了随机变量
取值偏离于_____的平均程度.方差或标准差越小,则随
机变量偏离于均值的_____________.均值平均程度越小【微思考】
1.随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差与标准差反映了什么?
提示:随机变量的方差与标准差都反映了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.2.试说明方差与标准差的大小与随机变量与其平均值的偏离程度的关系.
提示:离散型随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值与均值偏离的平均程度,方差和标准差越小,则随机变量与均值偏离的平均程度越小;反之亦然.3.随机变量的方差与标准差的单位各是什么?
提示:根据随机变量方差的定义可知:方差的单位是随机变量单位的平方;而标准差的单位与随机变量的单位相同.主题2 离散型随机变量方差的性质
1.设X为随机变量,Y=X+b,其中b为常数,试用D(X)表示
D(Y).
提示:因为Y=X+b,所以E(Y)= E(X)+b,
所以D(Y)= (yi-E(Y))2pi= (xi+b-E(Y))2pi
= (xi+b-E(X)-b)2pi= (xi-E(X))2pi=D(X).2.设X为随机变量,Y=aX+b,其中a,b为常数,试用D(X)表示D(Y).
提示:因为Y=aX+b,所以E(Y)=aE(X)+b,
所以D(Y)= (yi-E(Y))2pi= (axi+b-E(Y))2pi
= (axi+b-aE(X)-b)2pi= a2(xi-E(X))2pi
=a2 (xi-E(X))2pi= a2D(X).结论:
离散型随机变量方差的性质
设X为随机变量,Y=aX+b,其中a,b为常数,则有D(aX+b)
=______.a2D(X)【微思考】
1.两点分布的随机变量的方差是多少?
提示:X的分布列如表,则E(X)=p,则由随机变量X的分布列得D(X)=(1-p)2p+(0-p)2(1-p)
=(1-p)p[(1-p)+p]=p(1-p).2.类比两点分布的方差,可猜想二项分布的方差是什么.
提示:若X～B(n,p),则D(X)=np(1-p).【预习自测】
1.下列说法中,正确的是 ( )
A.离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的概率平均值
B.离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的平均水平C.离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的平均水平
D.离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的概率平均值
【解析】选C.由离散型随机变量的均值与方差的定义可知C正确.2.若X～B(n,p),且E(X)=1.6,D(X)=1.28,则 ( )
A.n=8,p=0.2 B.n=4,p=0.4
C.n=5,p=0.32 D.n=7,p=0.45
【解析】选A.因为X～B(n,p)且E(X)=1.6,D(X)=1.28,
所以np=1.6,①
np(1-p)=1.28,②
由①②解得n=8,p=0.2.3.设随机变量X的方差D(X)=1,则D(2X+1)的值
为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选C.由D(aX+b)=a2D(X)得:D(2X+1)=4D(X)=4×1=4.4.牧场的10头牛因误食疯牛病毒污染的饲料被感染,已知该病的发病率为0.02,设发病牛的头数为X,则D(X)等于________.
【解析】由题意知X～B(10,0.02),所以D(X)=10×0.02×(1-0.02)=0.196.
答案:0.1965.有两台自动包装机甲与乙,包装重量分别为随机变量ξ1,ξ2,已知E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2),则自动包装机________的质量较好.【解析】因为E(ξ1)=E(ξ2),所以甲、乙两机包装的重量的平均水平一样.
D(ξ1)>D(ξ2)说明甲机包装重量的差别大,不稳定.
所以乙机质量好.
答案:乙6.若随机变量X的分布列如表:
其中x,y,z成等差数列,若E(X)= ,求D(X).(仿照教材P66例4的解析过程)【解析】E(X)=0×x+1×y+2×z=y+2z= ,
又x+y+z=1,且2y=x+z,
所以x= ,y= ,z=0,
所以D(X)= 类型一 随机变量方差的性质及计算
【典例1】(2017·开封高二检测)已知随机变量ξ和η,其中η=10ξ+2,且E(η)=22,若ξ的分布列如下表,
求D(ξ)及D(η).【解题指南】由条件及分布列的性质列出m,n的方程组求出m,n的值.再代入方差公式即可求出D(ξ),进而再利用方差性质计算D(η).【解析】因为E(η)=E(10ξ+2)=10E(ξ)+2=22,
所以E(ξ)=2,
即:1× +2m+3n+4× =2,
所以2m+3n= ①,
又m+n= ②,
由①②得, 故D(ξ)=(1-2)2× +(2-2)2× +(3-2)2× +(4-2)2
× = ,
D(η)=D(10ξ+2)=100D(ξ)=100× = .【延伸探究】1.本例条件不变,试求随机变量ξ及η的标准差.
【解析】因为D(ξ)= ,D(η)= ,
所以ξ与η的标准差分别为
2.若本例的条件换为“η=10ξ+2,E(η)= ,ξ的分布
列为 ”,其余条件不变,试求D(ξ),D(η).【解析】因为η=10ξ+2,所以E(η)=10E(ξ)+2,
故E(ξ)= ,
所以
又因为
所以
故D(ξ)=
D(η)=D(10ξ+2)=100D(ξ)= 【方法总结】
1.求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤
(1)理解ξ的意义,写出ξ可能取的全部值.
(2)求ξ取各个值的概率,写出分布列.
(3)根据分布列,由数学期望的定义求出E(ξ).(4)根据方差、标准差的定义求出D(ξ), .
若ξ～B(n,p),则不必写出分布列,直接用公式计算即可.2.离散型随机变量方差的性质应用及运算的注意点
(1)简化运算:当求随机变量ξ的期望与方差时,可首先分析ξ是否服从二项分布,如果服从,则用公式求解,可大大减少运算量.
(2)性质应用:注意利用E(aξ+b)=aE(ξ)+b及D(aξ+b)=a2D(ξ)求期望与方差.【补偿训练】随机变量ξ的取值为0,1,2,
若P(ξ=0)= ,E(ξ)=1,则D(ξ)=__________.
【解题指南】根据离散型随机变量的均值与方差的相关知识计算.【解析】设ξ=1时的概率为p,
则E(ξ)=0× +1×p+2× =1,
解得p= ,
故D(ξ)=(0-1)2× +(1-1)2× +(2-1)2× = .
答案:类型二 两点分布与二项分布的方差
【典例2】为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,
种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳.各株
沙柳的成活与否是相互独立的,成活率为p,设ξ为成活
沙柳的株数,数学期望E(ξ)为3,标准差 为 .(1)求n和p的值,并写出ξ的分布列.
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种.求需要补种沙柳的概率.【解题指南】(1)显然随机变量ξ服从二项分布,利用数学期望值与方差值列出方程,解方程即可得出n和p的值.
(2)本题可看作n次独立重复试验,利用独立重复试验求概率即可.【解析】由题意知,ξ服从二项分布B(n,p),
P(ξ=k)= pk(1-p)n-k,k=0,1,…,n.
(1)由E(ξ)=np=3,D(ξ)=np(1-p)= ,
得1-p= ,从而n=6,p= .
ξ的分布列为(2)记“需要补种沙柳”为事件A,则P(A)=P(ξ≤3),
得P(A)=
或P(A)=1-P(ξ>3)=1-
所以需要补种沙柳的概率为 .【方法总结】常见分布列方差的求法
(1)定类型:二项分布与独立重复试验紧密相关,在问题分析时应恰当地将试验化归为独立重复试验,将问题转化为二项分布求解.
(2)用公式:如果明确随机变量X服从两点分布或二项分布时,可不用列出分布列,直接由公式求出.【巩固训练】设一次试验的成功率为p,进行100次独立重复试验,问当p为何值时,成功次数的标准差的值最大?并求其最大值.【解析】设成功次数为随机变量X.
由题意知:X～B(100,p),
则
因为D(X)=100p(1-p)=100p-100p2,把上式看作一个以p
为自变量的二次函数,易知当p= 时,D(X)有最大值25,
所以 的最大值为5,即当p= 时,成功次数的标准
差的值最大,最大值为5.【补偿训练】设一随机试验的结果只有A和 且P(A)=m,
令随机变量 则X的方差D(X)等于( )
A.m B.2m(1-m)
C.m(m-1) D.m(1-m)
【解析】选D.依题意X服从两点分布,
则D(X)=m(1-m).类型三 均值与方差的综合应用
【典例3】A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2,根据市场分析,X1和X2的分布列分别如下表:(1)在A,B两个投资项目上各投资100万元,Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(Y1),D(Y2).
(2)将x(0≤x≤100)万元投资项目A,(100-x)万元投资项目B,f(x)表示投资项目A所得利润的方差与投资项目B所得利润的方差的和.求f(x)的最小值,并指出x为何值时,f(x)取得最小值.【解题指南】(1)Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润,根据两个投资项目的利润率X1和X2的分布列,可以得到Y1和Y2的分布列,再分别求出变量的方差.
(2)根据题意知f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.写出用x表示的方差的解析式,结合二次函数的最值问题,得到结果.【解析】(1)根据题意,知Y1和Y2的分布列分别如下表:从而E(Y1)=5×0.8+10×0.2=6,
D(Y1)=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4,
E(Y2)=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,
D(Y2)=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12.(2)f(x)=
当x= 时,f(x)=3为最小值.【方法总结】解均值与方差的综合问题时的注意事项
(1)离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体,一般在试题中综合在一起考查,其解题的关键是求出分布列.
(2)在求分布列时,要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算概率,并注意结合分布列的性质,简化概率计算.(3)在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一些复杂的计算.若随机变量X服从两点分布、二项分布可直接利用对应公式求解.【巩固训练】袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号.
(1)求ξ的分布列、均值和方差.
(2)若η=aξ+b,E(η)=1,D(η)=11,试求a,b的值.【解析】(1)ξ的分布列为
则E(ξ)=
D(ξ)=(0-1.5)2× +(1-1.5)2× +(2-1.5)2×
+(3-1.5)2× +(4-1.5)2× =2.75.(2)由D(η)=a2D(ξ),得a2×2.75=11,得a=±2.
又E(η)=aE(ξ)+b,所以
当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2;
当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4.
所以 即为所求.【补偿训练】甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致相等,而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为:
甲保护区:乙保护区:
试评定这两个保护区的管理水平.【解析】甲保护区的违规次数ξ1的均值和方差为:
E(ξ1)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3;
D(ξ1)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2
×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21;乙保护区的违规次数ξ2的均值和方差为:
E(ξ2)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3.
D(ξ2)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2
×0.4=0.41.因为E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2),所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的,但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定,而甲保护区的违规事件次数相对分散和波动.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
离散型随机变量方差的求法
(1)定义法:直接借助均值,利用定义式求解.
(2)公式法:若X服从两点分布或二项分布可用公式直接求解.课件57张PPT。2.4
正态分布主题 正态分布
1.由函数φμ,σ(x)= ,x∈(-∞,+∞)的解析式,观测其图象φμ,σ(x)的值,你能说出该函数曲线在平面直角坐标系中的大体位置吗?
提示:因为 >0, >0,所以φμ,σ(x)>0,即该函数曲线位于x轴上方,与x轴不相交.2.由函数φμ,σ(x)= ,x∈(-∞,+∞)的解析
式,观测其幂指数解析式,你能说出该函数曲线的对称
性以及最大值吗?
提示:由于e的幂指数t=- 可看作一个关于x的二
次函数,显然其开口向下,对称轴方程为x=μ,因此该函
数曲线关于直线x=μ对称,在x=μ时达到最大值 .3.结合频率分布直方图以及正态曲线的定义,试说明曲线与x轴之间的面积是多少?
提示:因为频率分布直方图中,各个小矩形的面积之和为1,再结合正态曲线的定义可知:正态曲线与x轴之间的面积为1.结论:
正态分布的相关概念
1.正态曲线:函数φμ,σ(x)=________,x∈(-∞,+∞),其中实数μ,σ(σ>0)为参数,我们称φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.2.正态曲线性质:
(1)曲线位于x轴_____,与x轴不相交.
(2)曲线是单峰的,它关于直线_____对称.
(3)曲线在x=μ处达到峰值_____.
(4)曲线与x轴之间的面积为__.上方x=μ1(5)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着___的
变化而沿x轴平移.μ(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越
“_____”,表示总体的分布越_____;σ越大,曲线越
“_____”,表示总体的分布越_____.如图所示.瘦高集中矮胖分散3.正态分布及正态变量在三个特殊区间内取值的概率:
(1)正态分布:
①如果对于任何实数a,b(a≤b)=_________,则称随机变量X服从正态分布.
②记为:X～N(______).μ,σ2(2)正态变量在三个特殊区间内取值的概率:
①P(μ-σ②P(μ-2σ③P(μ-3σ1.正态分布是离散型随机变量的分布吗?
提示:不是,它是一种连续型随机变量分布.
2.由正态曲线,过点(a,0)和(b,0)与x轴垂直的两条直线及x轴所围成的平面图形的面积表示什么?
提示:表示随机变量落在区间[a,b]的概率的近似值.3.在正态分布φμ,σ(x)= ,x∈(-∞,+∞)中,参
数μ和σ(σ>0)分别表示随机变量的哪一个数字特征?
提示:μ表示正态分布的均值,σ表示正态分布的标准差.4.在正态分布曲线中,曲线的“胖瘦”是由哪个量决定的?曲线的左右位置是由哪个量决定的?
提示:曲线的“胖瘦”是由参数σ决定的;曲线的左右位置是由参数μ决定的.【预习自测】
1.正态分布N(0,1)在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率为P1,P2,则二者大小关系为 ( )
A.P1=P2 B.P1P2 D.不确定
【解析】选A.根据正态分布曲线的特点,图象关于x=0对称,可得在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率P1,P2相等.2.设随机变量X～N(μ,σ2),则随着σ的增大,概率P(|X-μ|<3σ)将会 ( )
A.单调增加 B.单调减少
C.保持不变 D.增减不定
【解析】选C.服从正态分布的随机变量X,不论μ,σ怎么变化,P(|X-μ|<3σ)总等于0.9973.3.若f(x)= (x∈R),则下列判断正确的
是 ( )
A.有最大值,也有最小值
B.有最大值,无最小值
C.无最大值,有最小值
D.无最大值,也无最小值【解析】选B.f(x)是μ=1,σ=1的正态分布密度函数,
所以在x=1时取得最大值,无最小值.4.设随机变量X～N(μ,σ2),且P(X≤c)=P(X>c),则c等于________.
【解析】由正态曲线性质可知图象关于x=μ对称,而本题关于x=c对称.
答案:μ5.设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数f(x)的图
象,且f(x)= 则这个正态总体的均值与标准
差分别是________.
【解析】由正态曲线 知,
即μ=10,σ=2.
答案:10,26.已知某工厂生产的某种型号的卡车轮胎的使用寿命(单位:km)服从正态分布N(36203,48272).一汽车公司一次性从该厂买了500个轮胎,利用正态分布估计使用寿命在36203-2×4827～36203+2×4827范围内的轮胎个数是多少.【解析】因为卡车轮胎的使用寿命服从正态分布N(36203,
48272),所以P(36203-2×4827～36203+2×4827)≈
0.9545.因为汽车公司一次性从该厂买了500个轮胎,所以
使用寿命在36203-2×4827～36203+2×4827范围内的轮
胎个数约是500×0.9545≈477(个).类型一 正态分布的概念与性质
【典例1】(1)把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动
2个单位,得到一条新的曲线C2,下列说法中不正确的
是 ( )
A.曲线C2仍然是正态曲线
B.曲线C1和曲线C2的最高点的纵坐标相等C.以曲线C2为概率密度曲线的总体的均值比以曲线C1为概率密度曲线的总体的均值大2
D.以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2(2)如图所示是一个正态曲线,其解析式为f(x)=
试根据该图象写出其正态分布参数μ,
σ2的值.【解题指南】(1)正态曲线沿着横轴方向水平移动只改变对称轴位置,曲线的形状没有改变,所得的曲线依然是正态曲线.
(2)给出了一个正态曲线,就给出了该曲线的对称轴和最大值,从而就能求出总体随机变量的均值、方差.【解析】(1)选D.在正态曲线沿着横轴方向水平移动的
过程中,σ始终保持不变,所以曲线的最高点的纵坐标
即正态分布曲线的最大值 不变,方差σ2也没有变
化.设曲线C1的对称轴为x=μ,那么曲线C2的对称轴则为
x=μ+2,说明均值从μ变到了μ+2,增大了2.(2)从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直线x=20
对称,最大值是 ,所以μ=20.
由 得σ= .所以σ2=2.
故μ=20,σ2=2.【方法总结】利用正态曲线的性质求参数μ,σ的方法
(1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此性质结合图象求μ.
(2)正态曲线在x=μ处达到峰值 由此性质结合图象可求σ.【拓展】
1.若随机变量X～N(μ,σ2),则Y=aX+b～N(aμ+b,a2σ2).
其理由如下:因为E(aX+b)=aE(X)+b=aμ+b,
D(aX+b)=a2D(X)=a2σ2,
因此,Y=aX+b～N(aμ+b,a2σ2).2.正态分布的性质表示的含义
性质1说明函数的值域为正实数的子集,且以x轴为渐近线;
性质2是曲线的对称性,关于直线x=μ对称;
性质3说明函数在x=μ时取得最大值;
性质4说明随机变量在(-∞,+∞)内的概率等于1;性质5说明当标准差一定时,μ变化时曲线的位置变化情况;
性质6说明当均值一定时,σ变化时总体分布的集中、离散程度.【巩固训练】设两个正态分布N(μ1, )(σ1>0)和
N(μ2, )(σ2>0)的密度函数图象如图所示,则有( )
A.μ1<μ2,σ1<σ2
B.μ1<μ2,σ1>σ2
C.μ1>μ2,σ1<σ2
D.μ1>μ2,σ1>σ2【解析】选A.正态分布N(μ1, )(σ1>0)的对称轴x=μ1,
且在x=μ1处取得峰值 由密度函数图象可知,μ1<
μ2,峰值 故σ1<σ2.【补偿训练】正态分布密度函数f(x)=
下列结论错误的是 ( )
A.P(ξ<1)=P(ξ>1)
B.P(-1≤ξ≤1)=P(-1<ξ<1)
C.f(x)的渐近线是x=0
D.η=ξ-1～N(0,1)【解析】选C.由正态分布密度函数f(x)=
可知:其对称轴为x=1,标准差σ=1.所以P(ξ<1)=P(ξ>1)
正确;由正态曲线的性质可知:P(-1≤ξ≤1)=P(-1<ξ<1),
所以选项B正确;由正态曲线的性质可知:f(x)的渐近线是
y=0,所以选项C错误;又由正态分布密度函数f(x)=
可知:ξ～N(1,1),所以η=ξ-1～N(0,1)正确.类型二 正态分布下的概率问题
【典例2】(1)设随机变量X～N(3,1),若P(X>4)=p,则P(2A. +p B.1-p C.1-2p D. -p
(2)设X～N(5,1),求P(6应用对称性.
(2)由X～N(5,1)知μ=5,σ=1,故P(4P(3由此可求P(6所以P(3故P(2P(3所以P(3由对称性得P(3所以P(61.若题(1)中的条件“P(X>4)=p”改为“P(X<4)=p”,则结果如何?
【解析】由X～N(3,1)得μ=3,
所以P(3所以P(2【解析】由X～N(3,1)得μ=3,
所以P(X<2)= P(X>4)=p.【方法总结】正态分布概率求解的注意事项
(1)注意对称:解答此类问题的关键在于充分利用正态曲线的对称性,把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化,在此过程中注意数形结合思想的运用.(2)注意面积:正态曲线与x轴所围成的面积值为1;X落在区间(a,b]的概率与由正态曲线、过点(a,0)和(b,0)的两条x轴的垂线及x轴所围成的图形的面积相等.类型三 正态分布的实际应用
【典例3】设在一次数学考试中,某班学生的分数X～N(110,202),且知试卷满分150分,这个班的学生共54人,求这个班在这次数学考试中及格(即90分及以上)的人数和130分及以上的人数.【解题指南】由题意将所求的问题向(μ-σ,μ+σ],
(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]这三个区间进行转化,然后利用上述区间的概率求出相应概率.【解析】因为X～N(110,202)
所以μ=110,σ=20,
P(110-20所以X≥130的概率为 (1-0.6827)=0.15865,
所以X≥90的概率为0.6827+0.15865=0.84135,
所以及格的人数为54×0.84135≈45(人),
130分及以上的人数为54×0.15865≈9(人).【方法总结】
1.生活中常见的正态分布
(1)在生产中,各种产品的质量指标一般都服从正态分布.
(2)在测量中,测量结果、测量的随机误差都服从正态分布.(3)在生物学中,同一群体的某种特征都服从正态分布.
(4)在气象中,某地每年某月份的平均气温、平均湿度、降雨量等都服从正态分布.2.利用3σ原则求某区间内取值概率的基本方法
(1)根据题目给出的条件确定μ与σ的值.
(2)将待求问题向(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],
(μ-3σ,μ+3σ]这三个区间转化.
(3)利用上述区间求出相应的概率.【巩固训练】已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服
从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在
区间(3,6)内的概率为 ( )
(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<
ξ≤μ+σ)≈68.27%,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈95.45%)
A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%【解析】选B.已知误差服从正态分布N(0,32),
P(0-3<ξ<0+3)≈68.27%,
P(0-6<ξ<0+6)≈95.45%,
P(3<ξ<6)≈ (95.45%-68.27%)=13.59%.【补偿训练】在某次大型考试中,某班同学的成绩服从正态分布N(80,52),现在已知该班同学中成绩在80～85分的有17人,该班成绩在90分以上的同学有多少人?【解析】因为成绩服从正态分布N(80,52),
所以μ=80,σ=5,则μ-σ=75,μ+σ=85.
所以成绩在(75,85]内的同学占全班同学的68.27%,
成绩在(80,85]内的同学占全班同学的34.14%.
设该班有x名同学,则x×34.14%=17,解得x≈50.因为μ-2σ=80-10=70,μ+2σ=80+10=90,
所以成绩在(70,90]内的同学占全班同学的95.45%,成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%.
即有50×2.28%≈1(人),
即成绩在90分以上的约有1人.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
求正态分布中随机变量概率的方法
(1)对称性法:利用正态曲线的对称性求正态总体在某
个区间内取值的概率.
(2)3σ原则法:利用P(μ-σ2σ0.9973求正态分布的概率.课件2张PPT。阶段复习课
第二章 随机变量及其分布