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新沪科版八下数学《第18章 勾股定理》
单元测试卷
本卷共八大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列说法中正确的是（ ）
A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2
D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c2
2．在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2等于（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
3．如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC的高是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，△ABC中AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC等于（ ）
A．6 B． C． D．4
5．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，3
6．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8m，树的顶端离树根6m，则这棵树在折断之前的高度是（ ）21·世纪*教育网
A．18m B．10m C．14m D．24m
7．如图，在△ABC中，∠A=∠B=45°，AB=4，以AC为边的阴影部分图形是一个正方形，则这个正方形的面积为（ ）【出处：21教育名师】
A．2 B．4 C．8 D．16
8．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）dm．
A．20 B．25 C．30 D．35
9．如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（ ）
A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8
10．如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（ ）
A．11cm B．2cm C．（8+2）cm D．（7+3）cm
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为 ．
12．直角三角形两直角边长分别为6和8，则它斜边上的高为 ．
13．如图，将一根长24厘米的筷子，置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米．
14．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有 （填序号）【版权所有：21教育】
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．如图所示，四边形ABCD中，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，∠B=90°，求该四边形的面积．21世纪教育网版权所有
16．一个长度为5米的梯子的底端距离墙脚2米，这个梯子的顶端能达到4.5米的墙头吗？
17．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B．已知AB=2.5km，CA=1.5km，DB=1.0km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？21教育网
18．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积．
19．在△ABC中，AB=13，BC=14．
（1）如图1，AD⊥BC于点D，且BD=5，则△ABC的面积为 ；
（2）在（1）的条件下，如图2，点H是线段AC上任意一点，分别过点A，C作直线BH的垂线，垂足为E，F，设BH=x，AE=m，CF=n，请用含x的代数式表示m+n，并求m+n的最大值和最小值．21cnjy.com
20．问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．
操作发现：小颖在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，她借助此图求出了△ABC的面积．www.21-cn-jy.com
（1）在图1中，小颖所画的△ABC的三边长分别是AB= ，BC= ，AC= ；△ABC的面积为 ．www-2-1-cnjy-com
解决问题：
（2）已知△ABC中，AB=，BC=2，AC=5，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出△ABC，并直接写出△ABC的面积．
21．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．21·cn·jy·com
（1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0必有实数根．
（2）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．2·1·c·n·j·y
22．在△ABC中，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE．
（1）如图①，已知∠BAC=90°，∠BAD=60°，求∠CDE的度数．
（2）如图①，已知∠BAC=90°，当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系；2-1-c-n-j-y
（3）如图②，若∠BAC≠90°，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
23．先阅读下列一段文字，再解答问题
已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离公式为P1P2=，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|
（1）已知点A（2，4），B（﹣3，﹣8），试求A，B两点间的距离；
（2）已知点A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A，B两点间的距离；【来源：21cnj*y.co*m】
（3）已知点A（0，6）B（﹣3，2），C（3，2），判断线段AB，BC，AC中哪两条是相等的？并说明理由．21*cnjy*com
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新沪科版八下数学《第18章 勾股定理》
单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列说法中正确的是（ ）
A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2
D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c2
解：在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角．
A、不确定c是斜边，故本命题错误，即A选项错误；
B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误；
C、∠C=90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确；
D、∠B=90°，所以斜边为b，所以a2+c2=b2，故本命题错误，即D选项错误；
故选 C．
2．在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2等于（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
解：根据勾股定理，得：
AC2+BC2=AB2=4，
故AB2+AC2+BC2=4+4=8，
故选C．
3．如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC的高是（ ）
A． B． C． D．
解：根据图形可得：
AB=AC==，
BC==，
∠BAC=90°，
设△ABC中BC的高是x，
则AC AB=BC x，
×= x，
x=．
故选A．
4．如图，△ABC中AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC等于（ ）
A．6 B． C． D．4
解：∵AD⊥BC
∴∠ADC=∠ADB=90°
∵AB=3，BD=2，
∴AD==
∵DC=1
∴AC==．
故选B．
5．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，3
解：A、1.52+22=2.52，即三角形是直角三角形，故本选项正确；
B、42+52≠62，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
C、22+32≠42，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
D、12+（）2≠32，即三角形不是直角三角形，故本选项错误；
故选A．
6．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8m，树的顶端离树根6m，则这棵树在折断之前的高度是（ ）www.21-cn-jy.com
A．18m B．10m C．14m D．24m
解：如图：
∵BC=8米，AC=6米，
∵∠C=90°，
∴AB2=AC2+BC2，
∴AB=10米，
∴这棵树在折断之前的高度是18米．
故选：A．
7．如图，在△ABC中，∠A=∠B=45°，AB=4，以AC为边的阴影部分图形是一个正方形，则这个正方形的面积为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．2 B．4 C．8 D．16
解：因为在△ABC中，∠A=∠B=45°，AB=4，
所以AC==2，
所以这个正方形的面积为=8，
故选C
8．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）dm．
A．20 B．25 C．30 D．35
解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，
解得：x=25（dm）．
故选B．
9．如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（ ）
A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8
解：∵AB=2.5米，AC=0.7米，
∴BC==2.4（米），
∵梯子的顶部下滑0.4米，
∴BE=0.4米，
∴EC=BC﹣0.4=2米，
∴DC==1.5米．
∴梯子的底部向外滑出AD=1.5﹣0.7=0.8（米）．
故选：D．
10．如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（ ）
A．11cm B．2cm C．（8+2）cm D．（7+3）cm
解：把长方体的侧表面展开得到一个长方形，高6cm，宽=2+3+2+3=10cm，AB为对角线．
AB==2cm．
故选B．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为 42或32 ．
解：此题应分两种情况说明：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，
BD===9，
在Rt△ACD中，
CD===5
∴BC=5+9=14
∴△ABC的周长为：15+13+14=42；
（2）当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，BD===9，
在Rt△ACD中，CD===5，
∴BC=9﹣5=4．
∴△ABC的周长为：15+13+4=32
故答案是：42或32．
12．直角三角形两直角边长分别为6和8，则它斜边上的高为 ．
解：设斜边长为c，高为h．
由勾股定理可得：c2=62+82，
则c=10，
直角三角形面积S=×6×8=×10×h，
可得：h=．
故答案为：．
13．如图，将一根长24厘米的筷子，置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 14 厘米．21教育网
解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，
∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即=10cm，
∴筷子露在杯子外面的长度至少为24﹣10=14cm，
故答案为14．
14．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有 ①②③ （填序号）21·cn·jy·com
解：①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，∠C=90°，则该三角形是直角三角形；2·1·c·n·j·y
②∠A：∠B：∠C=1：2：3，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=90°，则该三角形是直角三角形；21·世纪*教育网
③∠A=90°﹣∠B，则∠A+∠B=90°，∠C=90°．则该三角形是直角三角形；
④∠A=∠B=∠C，则该三角形是等边三角形．
故能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．如图所示，四边形ABCD中，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，∠B=90°，求该四边形的面积．2-1-c-n-j-y
解：连接AC，
∵∠B=90°，AB=4，BC=3，
∴AC==5，
∵AC2+CD2=25+144=169，AD2=169，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴四边形的面积=×AB×BC+×AC×CD=6+30=36．
16．一个长度为5米的梯子的底端距离墙脚2米，这个梯子的顶端能达到4.5米的墙头吗？
解：梯子顶端到地面的垂直距离为：=，
因为＞4.5，
所以这个梯子的顶端能达到4.5米的墙头．
17．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B．已知AB=2.5km，CA=1.5km，DB=1.0km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？21*cnjy*com
解：由题意可得：设AE=xkm，则EB=（2.5﹣x）km，
∵AC2+AE2=EC2，BE2+DB2=ED2，EC=DE，
∴AC2+AE2=BE2+DB2，
∴1.52+x2=（2.5﹣x）2+12，
解得：x=1．
答：图书室E应该建在距点A1km处，才能使它到两所学校的距离相等．
18．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．【出处：21教育名师】
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积．
解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，
∵CD=3，
∴DE=3；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
由勾股定理，得AB═10，
∴△ADB的面积为S=AB DE=×10×3=15．
19．在△ABC中，AB=13，BC=14．
（1）如图1，AD⊥BC于点D，且BD=5，则△ABC的面积为 84 ；
（2）在（1）的条件下，如图2，点H是线段AC上任意一点，分别过点A，C作直线BH的垂线，垂足为E，F，设BH=x，AE=m，CF=n，请用含x的代数式表示m+n，并求m+n的最大值和最小值．21教育名师原创作品
解：（1）在Rt△ABD中，AB=13，BD=5，
∴AD===12．
∵BC=14，
∴==84．
故答案为：84．
（2）∵SABC=SABH+S△BHC，
∴．
∴xm+xn=168．
∴m+n=
∵AD=12，DC=14﹣5=9，
∴AC==15．
∵m+n与x成反比，
∴当BH⊥AC时，m+n有最大值．
∴（m+n）BH=AC BH．
∴m+n=AC=15．
∵m+n与x成反比，
∴当BH值最大时，m+n有最小值．
∴当点H与点C重合时m+n有最小值．
∴m+n=，
∴m+n=12．
∴m+n的最大值为15，最小值为12．
20．问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．
操作发现：小颖在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，她借助此图求出了△ABC的面积．21cnjy.com
（1）在图1中，小颖所画的△ABC的三边长分别是AB= 5 ，BC= ，AC= ；△ABC的面积为 ．【来源：21cnj*y.co*m】
解决问题：
（2）已知△ABC中，AB=，BC=2，AC=5，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出△ABC，并直接写出△ABC的面积．
解：（1）AB==5，BC==，AC==，
△ABC的面积为：4×4﹣×3×4﹣×1×4﹣×3×1=，
故答案为：5；；；；
（2）△ABC的面积：6×5﹣×3×1﹣×5×5﹣×2×6=10．
21．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．【版权所有：21教育】
（1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0必有实数根．
（2）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．21*cnjy*com
（1）证明：由题意，得
△=（c）2﹣4ab=2c2﹣4ab，
∵a2+b2=c2，
∴2c2﹣4ab=2（a2+b2）﹣4ab=2（a﹣b）2≥0，
即△≥0，
∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0必有实数根
（2）解：当x=﹣1时，有a﹣c+b=0，即a+b=c，
∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6，
∴3c=6，
∴c=2，
∴a2+b2=c2=4，a+b=2，
∵（a+b）2=a2+2ab+b2，
22．在△ABC中，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE．
（1）如图①，已知∠BAC=90°，∠BAD=60°，求∠CDE的度数．
（2）如图①，已知∠BAC=90°，当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）如图②，若∠BAC≠90°，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠BAD=60°，
∴∠DAE=30°，
∵AD=AE，
∴∠AED=75°，
∴∠CDE=∠AED=∠C=30°；
（2）设∠BAD=x，
∴∠CAD=90°﹣x，
∵AE=AD，
∴∠AED=45°+，
∴∠CDE=x，
即；
（3）设∠BAD=x，∠C=y，
∵AB=AC，∠C=y，
∴∠BAC=180°﹣2y，
∵∠BAD=x，
∴∠AED=y+x，
∴．
即．
23．先阅读下列一段文字，再解答问题
已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离公式为P1P2=，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|
（1）已知点A（2，4），B（﹣3，﹣8），试求A，B两点间的距离；
（2）已知点A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A，B两点间的距离；21世纪教育网版权所有
（3）已知点A（0，6）B（﹣3，2），C（3，2），判断线段AB，BC，AC中哪两条是相等的？并说明理由．www-2-1-cnjy-com
解：（1）依据两点间的距离公式，可得AB==13；
（2）当点A，B在平行于y轴的直线上时，AB=|﹣1﹣5|=6；
（3）AB与AC相等．理由：
∵AB==5；
AC==5；
BC=|3﹣（﹣3）|=6．
∴AB=AC．
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