3.3 轴对称和平移的坐标表示同步练习

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3.3 轴对称和平移的坐标表示同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
１．一般地,在平面直角坐标系中,点(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a,－b) ,关于y轴的对称点的坐标为(－a,b) ．关于原点对称点的坐标为(－a,-b)。
2．在平面直角坐标系中,将点(a,b)向右平移k个单位,其图像的坐标是(a＋k,b);向左平移k个单位,其图像的坐标是 (a－k,b);向上平移k个单位,其图像的坐标是(a,b＋k);向下平移k个单位,其图像的坐标是(a,b－k) ．
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1．平面直角坐标系内的点A(－1，2)与点B(－1，－2)关于( )
A. y轴对称 B. x轴对称 C. 原点对称 D. 直线y＝x对称
2．在直角坐标系中，已知P（a, b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后P点的对应点P1（a+3，b-1），则下列平移过程正确的是（ ）
A. 先向左平移3个单位，再向下平移1个单位
B. 先向右平移3个单位，再向下平移1个单位
C. 先向左平移3个单位，再向上平移1个单位
D. 先向右平移3个单位，再向上平移1个单位
3．在平面直角坐标系中,点A(﹣1，5)，将点A向右平移2个单位、再向下平移3个单位得到点A1；再将线段绕原点O顺时针旋转90°得到．则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
4．已知点A（2，a）、点B（b，-3）关于原点对称，则a+b的值为（　　）
A. 1 B. 5 C. ﹣1 D. ﹣5
5．线段MN在平面直角坐标系中的位置如图所示,若线段M1N1与MN关于y轴对称,则点M的对应点M1的坐标为( 　)
A. (4,2) B. (-4,2) C. (-4,-2) D. (4,-2)
6．在平面直角坐标系中，一个三角形的三个顶点的坐标，纵坐标保持不变，横坐标增加4个单位，则所得的图形与原来图形相比（ ）
A. 形状不变，大小扩大4倍 B. 形状不变，向右平移了4个单位
C. 形状不变，向上平移了4个单位 D. 三角形被横向拉伸为原来的4倍
7．已知点A（3，-2），将点A向左平移4个单位长度得到点B，则点B在（ ）
A. 第一象限； B. 第二象限； C. 第三象限； D. 第四象限．
8．如图，直线BC经过原点O，点A在x轴上，AD⊥BC于D，若B(m，2)，C(n，－3)，A(2，0)，则AD·BC的值为(　　)
A. 不能确定 B. 5 C. 10 D. 7
9．如图，在直角坐标系中，△OBC的顶点O（0，0），B（﹣6，0），且∠OCB=90°，OC=BC，则点C关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A. （3，3） B. （﹣3，3） C. （﹣3，﹣3） D. （3，3）
10．把△ABC经过平移后得到△A′B′C′，已知A(4，3)，B(3，1)，B′(1，－1)，C′(2，0)，则△ABC的面积为( )
A. B. C. 1 D. 2
二、填空题
11．平面直角坐标系中要画出一个图形关于x轴（或y轴）的轴对称图形，首先要描出关键点的对称点，关于x轴的对称，则________坐标不变，________坐标乘以________；关于y轴的对称，则________坐标不变，________坐标乘以________.
12．已知点A（2a–b,5+a）与点B（2b–1, –a+b）关于x轴对称，则a–b=_____.
13．把以 (－1，3)，(1，3)为端点的线段向下平移4个单位，此时线段两端点的坐标分别为____________，所得像上任意一点的坐标可表示为_____________．
14．如图所示，在直角坐标系中，点A（0,9），点P（4，6）将△AOP绕点O顺时针方向旋转，使OA边落在x轴上，则PP＇= ________ .
三、解答题
15．已知点P（a+1，2a-1）关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围．
16．已知△A′B′C′是△ABC平移后得到的，已知△ABC三顶点的坐标为A（-2，3），B（-4，-1），C（2，0），△ABC中任一点经平移后得到△A′B′C′中对应点P′（x0+5，y0+3），试求A′，B′，C′的坐标．
17．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（3）写出点B1的坐标；
（4）求△ABC的面积．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，4)，点B的坐标为(3，0)．三角形AOB中任意一点P(x0，y0)经平移后的对应点为P1(x0＋2，y0)，并且点A，O，B的对应点分别为点D，E，F.
(1)指出平移的方向和距离；
(2)画出平移后的三角形DEF；
(3)求线段OA在平移过程中扫过的面积．
19．在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C．
（1）若A点的坐标为（1，2），请你在给出的坐标系中画出△ABC．设AB与y轴的交点为D，则= ；
（2）若点A的坐标为（a，b）（ab≠0），则△ABC的形状为 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形边长为1，点A的坐标为(－2，3)、点B的坐标为(－3，1)、点C的坐标为(1，-2)
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′、B′、C′分别是A、B、C的对应点，不写画法）.
(2) 直接写出A′、B′、C三点的坐标.
(3)在x轴上求作一点P，使PA+PB的值最小.（简要写出作图步骤）
21．已知：，，．
（）如图，在平面直线坐标系中描出各点，并画出．
（）请判断的形状，并说明理由．
（）把平移，使点平移到点．作出平移后的，并直接写出中顶点的坐标为__________和平移的距离为__________．
22．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边BC∥x轴．如果A点坐标是（ 1，2），C点坐标是（3，－2）．
（1）求B点和D点的坐标；
（2）将这个长方形向下平移个单位长度，四个顶点的坐标变为多少？请你写出平移后四个顶点的坐标；
（3）如果Q点以每秒米的速度在长方形ABCD的边上从A出发到C点停止，沿着A→D→C的路径运动，那么当Q点的运动时间分别是1秒、4秒和6秒时，△BCQ的面积各是多少？请你分别求出来．
参考答案
1．B
【解析】试题解析：点A(－1，2)与点B(－1，－2)关于x轴对称.
故选B.
点睛：关于x轴对称点的坐标特点，横坐标不变，纵坐标互为相反数.
2．B
【解析】根据在平面直角坐标系中坐标与图形变化-平移的规律进行判断.
解：P（a，b）的对应点P1（a+3，b-1），表示点P向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到点P1.
故选B.
3．C
【解析】试题解析：如图所示，点A向右平移两个单位再向下平移3个单位得A1（1，2），再将线段OA1绕原点O顺时针旋转90°得到OA2，A2坐标（2，-1）．
故选C．
4．A
【解析】试题解析：由题意，得
a=3，b=-2，
a+b=-2+3=1，
故选A．
5．D
【解析】试题解析：由图形可得出：M（-4，-2），则点M的关于y轴对称的对应点M1的坐标为：（4，-2）．
故选D．
6．B
【解析】试题解析：在平面直角坐标系中，将一个三角形的三个顶点的横坐标分别加4，纵坐标保持不变，
即把原三角形向右平移了4个单位长度．
故选B.
点睛：平移不改变图形的大小和形状.
7．C
【解析】试题解析：∵点向左平移4个单位长度得到点，3-4=-1，
∴点的坐标为
∴点在第三象限．
故选C．
8．C
【解析】试题解析：∵AD⊥BC，
∴S△ABC=AD BC，
∵S△ABC=S△ABO+S△ACO=×2×2+×2×3=5，
∴AD BC=5，
∴AD BC=10．
9．A
【解析】试题解析：
已知
∴为等腰直角三角形，又因为顶点
过点C作于点D，则
所以C点坐标为，点C关于y轴对称的点的坐标是
故选A．
点睛：关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数.
10．B
【解析】∵把△ABC经过平移后得到△A′B′C′,B(3,1)的对应点是B′(1, 1)，
∴B点向左平移2个单位，再向下平移2个单位，
∵A(4,3)的对应点A′的坐标是(4 2,3 2),即A′(2,1)，
C′(2,0))的对应点C的坐标是(2+2,0+2),即(4,2)，
过B作BD⊥AC于D，
∵A(4,3),C(4,2)，
∴AC⊥X轴，
∴AC=3 2=1，BD=4 3=1，
∴△ABC的面积是 AC×BD= ×1×1=12.
故选：B.
11． 横 纵 -1 纵 横 -1
【解析】试题解析：根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标乘以．关于轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标乘以．
故答案为：(1). 横 (2). 纵 (3). (4). 纵 (5). 横 (6). .
点睛：关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数．
12．-3
【解析】试题解析：∵点关于轴对称，
解得
故答案为：
13． (－1，－1)，(1，－1) (x，－1)(－1≤x≤1)
【解析】试题解析：以( 1,3)，(1,3)为端点的线段向下平移4个单位时，纵坐标减少4，横坐标不变，则端点变成( 1,-1)，(1,-1)故所得的像上的坐标可表示为
故答案为：
点睛：根据点的坐标变化规律纵坐标，上移加，下移减可得像上的任意一点的横坐标不变，横坐标为从至．
14．
【解析】
如图，过点P作PG⊥OA，垂足为G.
∵点P的坐标为(4, 6)，
∴PG=4，OG=6，
∴在Rt△OGP中， ，
∵点A在y轴上，
又∵点A的对应点A'在x轴上，
∴旋转角为90°，
∵OP的对应线段为OP'，
∴∠POP'=90°，OP'=OP=，
∴在Rt△POP'中， .
故本题应填写： .
点睛：
本题考查了图形旋转的相关知识. 解决本题的关键在于利用旋转角的定义和图形旋转的性质判定△POP'是等腰直角三角形. 在图形旋转相关的题目中，旋转角的确定是一个重要的环节；由于旋转变换前后的图形是全等图形，所以关于对应线段和对应角的各种相等关系往往是解决问题的重要线索.
15．－1＜a＜
【解析】试题分析：根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数先判断出点p在第四象限，然后根据第四象限的点的横坐标与纵坐标都是正数列出不等式组求解即可．
试题解析：∵P(a+1,2a 1)关于x轴的对称点在第一象限，
∴点P在第四象限，
∴，
解不等式①得，a> 1，
解不等式②得，a<，
所以，不等式组的解集是－1＜a＜，
故a的取值范围为－1＜a＜.
16．见解析
【解析】试题分析：由中任意一点，经平移后对应点为 可得的平移规律为：向右平移5个单位，向上平移3个单位，即可得出对应点的坐标．
试题解析：根据题意三角形ABC的平移规律为：向右平移5个单位，向上平移3个单位，
则点A′的坐标为( 2+5,3+3)即(3,6)，
点B′的坐标为( 4+5, 1+3)即(1,2)，
点C′的坐标为(2+5,0+3)即(7,3).
17．（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）（2，1）；（4）4．
【解析】试题分析：（1）根据A点坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
（3）根据点B1在坐标系中的位置写出其坐标即可；
（4）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．
解：（1）根据题意可作出如图所示的坐标系；
（2）如图，△A1B1C1即为所求；
（3）由图可知，B1（2，1）；
（4）S△ABC=3×4﹣×2×4﹣×2×1﹣×2×3=12﹣4﹣1﹣3=4．
18．（1）把三角形AOB沿x轴正方向(即向右)平移2个单位长度；（2）图见解析； （3）所求面积为8.
【解析】试题分析：对于（1），根据点坐标向右平移时其纵坐标不变，横坐标加平移单位即可正确解答；
对于（2），由平移的规律找到点A，O，B的对应点D，E，F，顺序连接即可；
对于（3），由题意知，线段OA在平移过程中扫过的图形是平行四边形，由平行四边形的面积计算公式直接解答即可.
解：(1)把三角形AOB沿x轴正方向(即向右)平移2个单位长度．
(2)如图．
(3)连接AD，线段OA在平移过程中扫过的面积是平行四边形AOED的面积，∴所求面积为2×4＝8.
点睛：本题考查点坐标的平移、平移变换作图及面积计算，熟知点坐标的平移规律是解答本题的关键.
19．（1）；（2）直角三角形．
【解析】试题分析：对（1），由A点的坐标为（1，2），根据关于原点、坐标轴对称的点的坐标特征，求出B、C的坐标，继而得到点D的坐标，在坐标轴上描出A、B、C，顺次连接A、B、C三点可得到△ABC；
根据各点的坐标可得到AD、OD、AB、BC的长度，然后利用三角形面积公式即可得到答案；
对（2），点A的坐标为（a，b）（ab≠0），则B点坐标为（ a，b），C点坐标为（ a， b），则AB∥x轴，BC∥y轴，至此结合x轴与y轴的位置关系就不难判断出△ABC的形状.
解：（1）∵A点的坐标为（1，2），点A关于y轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C，∴B点坐标为（-1，2），C点坐标为（-1，-2），
连AB，BC，AC，AB交y轴于D点，如图，
D点坐标为（0，2），
∴S△ADO=OD AD=×2×1=1，S△ABC=BC AB=×4×2=4，
∴；
（2）点A的坐标为（a，b）（ab≠0），则B点坐标为（-a，b），C点坐标为（-a，-b），
AB∥x轴，BC∥y轴，AB=2|a|，BC=2|b|，
∴△ABC的形状为直角三角形．
点睛：本题考查了关于原点对称的坐标特点：点P(a，b)关于原点的对称点P′的坐标为(–a，–b)．也考查了关于x轴、y轴对称的坐标特点以及三角形的面积公式．
20．（1）作图见解析；（2）A′(2，3)、B′(3，1)、C′(－1，2)；（3）作图见解析.
【解析】试题分析：（1）（1）首先确定A、B、C三点关于y轴对称点位置，再连接即可；
（2）由平面直角坐标系即可确定三点坐标；
（3）作点B关于x轴对称点B"，连接AB"与x轴的交点即为所求的点P.
试题解析：（1），如图所示△A′B′C′；
(2) A′(2，3)、B′(3，1)、C′(－1，2)；
(3)如图所示P点即为所求.
找到点B关于x轴的对称点B′′,连接AB′′交x轴于点P,此时PA+PB的值最小.
21．
【解析】试题分析：（1）根据平面直角坐标系找出点A、B、C的位置，然后顺次连接即可；（2）根据勾股定理分别计算出AB、AC、BC的长，再利用勾股定理的逆定理判定△ABC的形状即可；（3））将C平移到点O，即由(3,5)变到(0,0)，是向左平移3个单位，再向下平移5个单位，其余各个点作相同的移动即可得到，A1点的坐标由图象可以直接写出，平移的距离由勾股定理算出即可．
试题解析：
（）如图．
（）为等腰直角三角形，
理由：由三点坐标，
可知，，，
∵，且，
∴为等腰直角三角形．
（）∵是将平移到点，即由变到，是向左平移个单位，再向下平移个单位，
∴平移后坐标，
平移距离．
22．(1)B（－1，－2），D（3,2）;(2)（－1, ），（－1，－3），（3，－3），（3， ）; (3)当t＝1时，S△BCQ＝8; 当t＝4时，S△BCQ＝8；当t＝6时，S△BCQ＝8－4.
【解析】试题分析：（1）根据点的坐标，可得关于轴对称，可得答案；
（2）根据图形向下平移减，可得答案；
（3）根据三角形的面积公式，可得答案．
试题解析：(1)根据题意可知，点A与点B关于x轴对称，点C与点D关于x轴对称，
所以点B的坐标是 点D的坐标是
(2)按要求平移长方形后四个顶点的坐标分别是
(3)运动时间1秒时,△BCQ的面积
运动时间4秒时,△BCQ的面积
运动时间6秒时,△BCQ的面积
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