3. 综合应用动力学和能量守恒知识分析多过程问题
典型例题
[例1] (2017·高考全国卷Ⅰ)如图,一轻弹簧原长为2R,其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处,另一端位于直轨道上B处,弹簧处于自然状态.直轨道与一半径为R的光滑圆弧轨道相切于C点,AC=7R,A、B、C、D均在同一竖直平面内.质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑,最低到达E点(未画出),随后P沿轨道被弹回,最高到达F点,AF=4R.已知P与直轨道间的动摩擦因数μ=,重力加速度大小为g.(取sin 37°=,cos 37°=)
(1)求P第一次运动到B点时速度的大小.
(2)求P运动到E点时弹簧的弹性势能.
(3)改变物块P的质量,将P推至E点,从静止开始释放.已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后,恰好通过G点.G点在C点左下方,与C点水平相距R、竖直相距R.求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量.
解析 (1)根据题意知,B、C之间的距离l为
l=7R-2R=5R ①
设P到达B点时的速度为vB,由动能定理得
mglsin θ-μmglcos θ=mv ②
式中θ=37°.联立①②式并由题给条件得
vB=2 ③
(2)设BE=x.P到达E点时速度为零,此时弹簧的弹性势能为EP.P由B点运动到E点的过程中,由动能定理有
mgxsin θ-μmgxcos θ-Ep=0-mv ④
E、F之间的距离l1为
l1=4R-2R+x ⑤
P到达E点后反弹,从E点运动到F点的过程中,由动能定理有
Ep-mgl1sin θ-μmgl1cos θ=0 ⑥
联立③④⑤⑥式并由题给条件得
x=R ⑦
Ep=mgR ⑧
(3)设改变后P的质量为m1.D点与G点的水平距离x1和竖直距离y1分别为
x1=R-Rsin θ ⑨
y1=R+R+Rcos θ ⑩
式中,已应用了过C点的圆轨道半径与竖直方向夹角仍为θ的事实.
设P在D点的速度为vD,由D点运动到G点的时间为t.由平抛运动公式有
y1=gt2 ?
x1=vDt ?
联立⑨⑩式得
vD= ?
设P在C点速度的大小为vC.在P由C运动到D的过程中机械能守恒,有
m1v=m1v+m1g ?
P由E点运动到C点的过程中,同理,由动能定理有
Ep-m1g(x+5R)sin θ-μm1g(x+5R)cos θ=m1v ?
联立⑦⑧???式得
m1=m ?
答案 (1)2 (2)mgR (3) m
[例2].如图所示,倾角θ=37°的光滑且足够长的斜面固定在水平面上,在斜面顶端固定一个半径和质量不计的光滑定滑轮D,质量均为m=1 kg的物体A和B用一劲度系数k=240 N/m的轻弹簧连接,物体B被位于斜面底端且垂直于斜面的挡板P挡住.用一不可伸长的轻绳跨过定滑轮使物体A与质量为M的小环C连接,小环C穿过竖直固定的光滑均匀细杆,当整个系统静止时,环C位于Q处,绳与细杆的夹角α=53°,且物体B对挡板P的压力恰好为零.图中SD水平且长度为d=0.2 m,位置R与位置Q关于位置S对称,轻弹簧和定滑轮右侧的绳均与斜面平行.现让环C从位置R由静止释放,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2.求:
(1)小环C的质量M;
(2)小环C通过位置S时的动能Ek及环从位置R运动到位置S的过程中轻绳对环做的功WT;
(3)小环C运动到位置Q的速率v.
解析:(1)先以AB组成的整体为研究对象,AB系统受到重力、支持力和绳子的拉力处于平衡状态,则绳子的拉力为:
T=2mgsin θ=2×10×sin 37° N=12 N
以C为研究对象,则C受到重力、绳子的拉力和杆的弹力处于平衡状态,如图1所示,则:
T·cos 53°=Mg
代入数据得:M=0.72 kg
(2)由题意,开始时B恰好对挡板没有压力,所以B受到重力、支持力和弹簧的拉力,弹簧处于伸长状态;产生B沿斜面方向的受力:F1=mgsin θ=1×10×sin 37°=6 N
弹簧的伸长量:Δx1=mgsin θ/k=0.025 m
当小环C通过位置S时A下降的距离为
xA=-d=0.05 m
此时弹簧的压缩量Δx2=xA-Δx1=0.025 m
由速度分解可知此时A的速度为零,所以小环C从R运动到S的过程中,初末态的弹性势能相等,对于小环C、弹簧和A组成的系统机械能守恒有:Mgdcot α+mgxAsin θ=Ek
解得:Ek=1.38 J
环从位置R运动到位置S的过程中,由动能定理可知:
WT+Mgdcot α=Ek
解得:WT=0.3 J
(3)环从位置R运动到位置Q的过程中,对于小环C、弹簧和A组成的系统机械能守恒
Mg(2dcot α)=Mv2+mv
对环在Q点的速度进行分解如图2所示,则:
vA=vcos α
两式联立可得:v=2 m/s
答案:(1)小环C的质量是0.72 kg;
(2)小环C通过位置S时的动能Ek是1.38 J,环从位置R运动到位置S的过程中轻绳对环做的功是0.3 J;
(3)小环C运动到位置Q的速率是2 m/s.
方法总结
涉及做功与能量转化问题的解题方法
1.分清是什么力做功,并且分析该力做正功还是做负功;根据功能之间的对应关系,判定能的转化形式,确定能量之间的转化情况.
2.当涉及摩擦力做功时,机械能不守恒,一般应用能的转化和守恒定律,特别注意摩擦产生的内能Q=Ffx相对,x相对为相对滑动的两物体间相对滑动路径的总长度.
3.解题时,首先确定初、末状态,然后分清有多少种形式的能在转化,再分析状态变化过程中哪种形式的能量减少,哪种形式的能量增加,求出减少的能量总和ΔE减和增加的能量总和ΔE增,最后由ΔE减=ΔE增列式求解.