2018中考数学专题专练（含答案）
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文档简介
专题专练一 规律探究型问题
命题解读 题型认知
对于规律探究题型常常会有一定的通式或循环规律，解题时一般先列出前几项，找出规律或通式求解.1.常考类型：①数字规律探究；②数式规律探究；③图形规律探究；④坐标系中图形规律探究；⑤与函数图象相关的规律探究.2.考查形式与题型：一般都是给出一列数字或者图形，求其第n个数字、第n个式子或第n个图形或求末位数值；题型为选择、 填空.
类型一 数字规律探究
例1 观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，…，那么：71＋72＋73＋…＋72016的末位数字是( )
A. 9 B. 7 C. 6 D. 0
【解析】根据题意，7的幂次方最终结果的末位数字是7，9，3，1这样的循环，其和的末位数字是0，因为2016＝504×4，所以71＋72＋73＋…＋72016的末位数字是0.
【答案】D
针对训练
1.按一定规律排列的一列数：，1，1，，，，，…，请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为________．
2.观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，….试猜想，32016的个位数字是________．
类型二 数式规律探究
例2 “数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”．比如在化学中，甲烷的化学式是CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n(n为正整数)，则它们的化学式都可用下列哪个式子来表示( )
A. CnH2n＋2 B. CnH2n C. CnH2n－2 D. CnHn＋3
【解析】由H的下标可得第1个是4，第二个为6，第三个为8，所以第n个为2n＋2，由C的下标可得第1个是1，第二个是2，…，所以碳原子的数目为n时，化学式为CnH2n＋2.
【答案】A
针对训练
3.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角形数，它有一定的规律性．若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为x2，…，第n个三角形数记为xn，则xn＋xn＋1＝________．
4.观察下列等式：
第1个等式： a1＝＝－1，第2个等式：a2＝＝－，
第3个等式：a3＝＝2－，第4个等式：a4＝＝－2，
按上述规律，回答以下问题：
(1)请写出第n个等式：an＝________；
(2)a1＋a2＋a3＋…＋an＝________．
5.观察下列等式：
1＋2＋3＋4＋…＋n＝n(n＋1)；
1＋3＋6＋10＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)
1＋4＋10＋20＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3);
则有：1＋5＋15＋35＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝________．
类型三 图形规律探究
例3 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，依次类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是( )
A. 2015π B. 3019.5π C. 3018π D. 3024π
【解析】本题考查旋转规律探究和弧长公式．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，由勾股定理得：AC＝＝5，画出经过旋转六次后点A经过的路线，由题图可知经过第①次旋转，点A运动过的路程是以B为圆心，AB长为半径，圆心角为90°的；经过第②次旋转，点A运动过的路程是以AC长为半径，圆心角为90°的；经过第③次旋转，点A运动过的路程是以AD长为半径，圆心角为90°的；第④次旋转，点A在直线上不变化；经过第⑤次旋转，点A运动过的路程与第①次旋转运动过的路程一致. 故点A每经过四次旋转后，重复前四次旋转的路程．∵2015÷4＝503……3，∴点A经过的路程正好是503个前四次运动的路程和再加上一个前三次运动的路程和，即一共是504个前三次运动的路程和．由弧长公式得的长为πAB＝2π，的长为πAC＝π；的长为πAD＝π，∴经过2015次旋转后，点A经过的路程为504×(2π＋π＋π)＝3024π.
【答案】D
针对训练
6.如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为( )
A. ()6 B. ()7 C. ()6 D. ()7
7.将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n＝________．
8.如图，△ABC的面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2016，最少经过________次操作．
9.如图，∠MON＝60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点Bn到ON的距离是________．
类型四 坐标中的图形规律探究
例4 如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为( )
A. (1，－1) B. (－1，－1) C. (，0) D. (0，－)
【解析】∵菱形OABC的顶点O(0，0)，点B的坐标是(2，2)，∴BO与x轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D 是线段OB的中点，∴点D 的坐标是(1，1)，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时菱形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．
【答案】B
针对训练
10.如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列．如：P1(0，0)，P2(0，1)，P3(1，1)，P4(1，－1)，P5(－1，－1)，P6(－1，2)…，根据这个规律，点P2016的坐标为________．
11.如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，依次类推…，则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是________．
12.如图，点A1的坐标为(1，0)，A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O＝30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6，…，按此规律进行下去，则点A2016的纵坐标为____________．
13.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2，OC＝1.在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，依此规律，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为________．
14.如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9，…，都是等边三角形，且点A1，A3，A5，A7，A9的坐标分别为A1(3，0)，A3(1，0)，A5(4，0)，A7(0，0)，A9(5，0)，依据图形所反映的规律，则A100的坐标为________．
类型五 与函数图象相关的规律探究
例5 如图，在坐标轴上取点A1(2，0)，作x轴的垂线与直线y＝2x交于点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线与直线y＝2x交于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到An(n为正整数)点时，则An的坐标是________．
【解析】∵A1(2，0)＝(2×30，0)，且A1B1⊥x轴，与直线y＝2x交于点B1，∴B1(2，4)，∵作等腰直角三角形△A1B1A2是等腰直角三角形，∴A2(6，0)＝(2×31，0)，∵A2B2⊥x轴，且与直线y＝2x交于点B2，∴B2(6，12)，∴A3(18，0)＝(2×32，0)，如此反复作等腰直角三角形，An(2×3n－1，0)．
【答案】 (2×3n－1，0)
针对训练
15.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线y＝x上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝x上，依次进行下去…. 若点A的坐标是(0，1)，点B的坐标是(，1)，则点A8的横坐标是________．
参考答案
1. 1 【解析】将原来的一列数变形为，，，□，，，，…通过观察可以得出分子依次为从小到大排列的连续奇数，分母是依次从小到大排列的质数，故方框内填，故答案为1.
2. 1 【解析】从前几个3的幂次方结果来看，它的个位数字依次是3，9，7，1，第5个数跟第一个数的个位数字相同，于是3的整数次幂是每四个数一个循环，2016÷4＝504，于是32016的个位数字与34的个位数字相同，即为1.
3. (n＋1)2或n2＋2n＋1 【解析】∵x1＋x2＝1＋3＝4＝22，x2＋x3＝3＋6＝9＝32，x3＋x4＝6＋10＝16＝42，x4＋x5＝10＋15＝25＝52，x5＋x6＝15＋21＝36＝62，∴xn＋xn＋1＝(n＋1)2＝n2＋2n＋1.
4. ＝－；－1 【解析】a1＝＝－1，a2＝＝－，a3＝＝－，…，an＝＝－，将上面n个式子左右相加得：a1＋a2＋a3＋…＋an＝－1.
5. n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4) 【解析】观察所给等式可以发现，第一个等式的右边系数为＝1×，因式为n(n＋1)；第二个等式的右边系数为＝×，因式为n(n＋1)(n＋2)；第三个等式的右边系数为＝×，因式为n(n＋1)(n＋2)(n＋3)，所以第四个等式的右边系数为×＝，因式为n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)，结果为n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)．
6. A 【解析】由题意得：S1＝22＝()－2，S2＝()2＝()－1，S3＝(1)2＝()0，S4＝()2＝()1，…，S9＝()9－3＝()6.故选A.
7. 16 【解析】根据题意得：第1个图形中小圆的个数为5，第2个图形中小圆的个数为7，第3个图形中小圆的个数为11，得出第n个图形中小圆的个数为n(n－1)＋5.据此可以求出“龟图”中有245个“○”时n的值．方法①：第1个图形有：5个○，第2个图形有：2×(2－1)＋5＝7个○，第3个图形有：3×(3－1)＋5＝11个○，第4个图形有：4×(4－1)＋5＝17个○，…，据此得出：第n个图形有：n(n－1)＋5个○，则可得方程n(n－1)＋5＝245，解得n1＝16，n2＝－15(不合题意，舍去)．故答案为：16.方法②：设y＝an2＋bn＋c，根据题意得，解得，∴y＝n2－n＋5.当y＝245时，可得：n2－n＋5＝245.
8. 四 【解析】△ABC与△A1BB1的底相等(AB＝A1B)，高为1∶2(BB1＝2BC)，故面积比为1∶2，∵S△ABC＝1，∴S△A1BB1＝2.同理可得，S△C1B1C＝2，S△AA1C1＝2，∴S△A1B1C1＝S△C1B1C＋S△AA1C1＋S△A1B1B＋S△ABC＝2＋2＋2＋1＝7，同理可证：S△A2B2C2＝7S△A1B1C1＝49，第三次操作后的面积为7×49＝343，第四次操作后的面积为7×343＝2401.故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2016，最少经过四次操作．
9. 3n－1 【解析】由题可知，∠MON＝60°，不妨设Bn到ON的距离为hn，∵正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，则A1B1＝1，易知△A1OF1为等边三角形，∴A1B1＝OA1＝1，∴OB1＝2，则h1＝2×＝，又OA2＝A2F2＝A2B2＝3，∴OB2＝6，则h2＝6×＝3，同理可求：OB3＝18，则h3＝18×＝9，…，依此可求：OBn＝2×3n－1，则hn＝2×3n－1×＝3n－1，∴Bn到ON的距离hn＝3n－1.
10. (504，－504) 【解析】由图象可知，P1，P4，P8，P12，…，在同一条直线y＝－x(x≥0)上，可观察到当n为4的倍数时，Pn的坐标为(，－)，∴点P2016的坐标为(，－)，即(504，－504)．
11. (21008，0) 【解析】点B的位置依次落在第一象限、y轴正半轴、第二象限、x轴负半轴、第三象限、y轴负半轴、第四象限、x轴正半轴，…，每8次一循环.2016÷8＝252，所以点B2016落在x轴正半轴，故B2016的纵坐标是0；OBn是正方形的对角线，OB1＝，OB2＝2＝()2，OB3＝2＝()3，…，所以OB2016＝()2016＝21008，所以点B2016的坐标为(21008，0)．
12. －31007 【解析】∵A1(1，0)，∠A1A2O＝30°，∴A2(0，)，∵A3A2⊥A1A2 ，∴∠A3A2O＝60°，∴∠A2A3O＝30°， ∴A3(－3，0)，同理：A4(0，－3)，A5(9，0)，A6(0，9)，A7(－27，0)，A8(0，－27)，…，即：A2(0，)，A4(0，－3)，A6(0，9)，A8(0，－27)，列表如下：
A2
×(－3)0
…
(2－2)÷2＝0
A4
×(－3)1
…
(4－2)÷2＝1
A6
×(－3)2
…
(6－2)÷2＝2
A8
×(－3)3
…
(8－2)÷2＝3
A2016
×(－3)n
…
(2016－2)÷2＝n
∴n＝1007，∴A2016的纵坐标是－31007.
13. (－，) 【解析】在矩形OABC中，OA＝2，OC＝1，∴A(－2，0)，C(0，1)，∴对角线的交点为(－1，)，将矩形OABC以原点O为位似中心，放大为原来的倍，∴矩形A1OC1B1对角线的交点为(－，)，即(－，×)，继续放大为原来的倍，∴矩形A2OC2B2对角线的交点为(－，)，即(－，×)，…，依次类推，∴矩形AnOCnBn对角线的交点为(－，)．
14. (，－) 【解析】继续排列图形如下，观察发现，A1、A5、A9、…、A4n－3在点(2，0)的右侧，A3、A7、A11、…、A4n－1在点(2，0)的左侧，A2、A6、A10、…、A4n－2在第一象限，A4、A8、A12、…、A4n在第四象限，∴A100在第四象限，进一步观察发现：①A4、A8、A12、A4n的横坐标都为，②A4n所在等边三角形边长为2n＋1，可求得A100所在等边三角形边长为2×25＋1＝51，进一步可求点A100的纵坐标为－(×51)＝－，从而解得A100的坐标为(，－)．
15. 6＋6 【解析】由A点的坐标得OA＝1，由B点的坐标得OB＝2，则AB＝，由图象得直线OB与x轴的正方向的夹角为30°，于是A1的横坐标为：OA1·cos30°＝(2＋)×；A2的横坐标为：OO2·cos30°＝(2＋＋1)×；A3的横坐标为：OA3·cos30°＝(2＋＋1＋2＋)×；A4的横坐标为：(2＋＋1＋2＋＋1)×；…，于是A8的横坐标为：(2＋＋1＋2＋＋1＋2＋＋1＋2＋＋1)×＝6＋6.
专题专练二 新定义及阅读理解型问题
命题解读 题型认知
考查题型：①新定义计算型；②阅读理解型；③新定义与阅读理解结合题. 2.考查内容：①新定义下的实数运算；②涉及“新定义”的阅读理解及材料分析；③与函数、多边形、圆结合，通过材料或定义进行相关证明或计算.3.在做此类题型时，首先要理解新定义的运算方式，提升从材料阅读中提取信息的能力，结合已知条件中的推理方法，学以致用，便可得以解决．
例1 设a，b是实数，定义关于@的一种运算如下：a@b＝(a＋b)2－(a－b)2，则下列结论：( )
①若a@b＝0，则a＝0或b＝0；
②a@(b＋c)＝a@b＋a@c；
③不存在实数a，b，满足a@b＝a2＋5b2;
④设a，b是矩形的长和宽，若该矩形的周长固定，则当a＝b时，a@b的值最大．
其中正确的是( )
A. ②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③
【解析】∵a@b＝(a＋b)2－(a－b)2，若a@b＝0，则(a＋b)2－(a－b)2＝0，∴(a＋b)2＝(a－b)2, ∴a＋b＝±(a－b)，∴a＝0或b＝0，∴①正确；∵a@b＝(a＋b)2－(a－b)2，∴a@(b＋c)＝[a＋(b＋c)]2－[a－(b＋c)]2＝[a＋(b＋c)＋a－(b＋c)][a＋(b＋c)－(a－b－c)]＝4ab＋4ac，∵a@b＋a@c＝(a＋b)2－(a－b)2＋(a＋c)2－(a－c)2＝a2＋2ab＋b2－a2＋2ab－b2＋a2＋2ac＋c2－ a2＋2ac－c2＝4ab＋4ac，∴a@(b＋c)＝a@b＋a@c，∴②正确；∵a@b＝(a＋b)2－(a－b)2＝ a2＋2ab＋b2－a2＋2ab－b2＝4ab，当a＝b＝0时，满足a@b＝a2＋5b2，∴③错误；若矩形的周长固定，设为2c，则2c＝2a＋2b，b＝c－a，a@b＝(a＋b)2－(a－b)2＝4ab＝4a(c－a)＝－4(a－c)2＋c2，∴当a＝c时，4ab有最大值是c2，即a＝b时，a@b的值最大，∴④正确．综上，正确结论有①②④.
【答案】C
例2 对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝，例如：因为4>2，所以4*2＝42－4×2＝8，则(－3)*(－2)＝________．
【解析】根据新定义，当a【答案】－1
针对训练
1. 对于实数a，b，定义一种新运算“?”为：a?b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1?3＝＝－，则方程x?(－2)＝－1的解是( )
A. x＝4 B. x＝5 C. x＝6 D. x＝7
2. 对于实数a,b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b；如max{4，－2}＝4，max{3，3}＝3.若关于x的函数为y＝max{x＋3，－x＋1}，则该函数的最小值是( )
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
3. 我们根据指数运算，得出了一种新的运算，下表是两种运算对应关系的一组实例：
指数
运算
21＝2
22＝4
23＝8
…
31＝3
32＝9
33＝27
…
新运算
log22＝1
log24＝2
log28＝3
…
log33＝1
log39＝2
log327＝3
…
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216＝4，②log525＝5，③log2＝－1.其中正确的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
4.规定：logab(a>0，a≠1，b>0)表示a，b之间的一种运算．
现有如下的运算法则：logaan＝n，logNM＝(a>0，a≠1，N>0，N≠1，M>0)，
例如：log223＝3，log25＝，则log1001000＝________．
5.实数a，n，m，b满足a6.我们规定：若m?＝(a，b)，n?＝(c，d)，则m?·n?＝ac＋bd.如m?＝(1，2)，n?＝(3，5)，则m?·n?＝1×3＋2×5＝13.
(1)已知m?＝(2，4)，n?＝(2，－3)，求m?·n?；
(2)已知m?＝(x－a，1)，n?＝(x－a，x＋1)，求y＝m?·n?，问y＝m?·n?的函数图象与一次函数y＝x－1的图象是否相交，请说明理由．
7.请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德(Archimedes，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al－Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al－Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图①，AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB＋BD.下面是运用“截长法”证明CD＝AB＋BD的部分证明过程．
证明：如图②，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG.
∵M是的中点，
∴MA＝MC.
…
图① 图②
任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)填空：如图③，已知等边△ABC内接于⊙O，AB＝2，D为上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是________．
图③
8.如果三角形三边的长a、b、c满足＝b，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．
(1)如图①，已知两条线段的长分别为a、c(a(2)如图②，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AB延长线于点E，交AC于点F.若＝，判断△AEF是否为“匀称三角形”？请说明理由．
9.我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q(p，q是正整数，且p≤q)，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F(n)＝.例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1>6－2>4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝.
(1)如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝1；
(2)如果一个两位正整数t，t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，x，y是自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”．求所有“吉祥数”中F(t)的最大值．
10.已知点P(x0，y0)和直线y＝kx＋b，则点P到直线y＝kx＋b的距离d可用公式d＝计算．
例如：求点P(－1，2)到直线y＝3x＋7的距离．
解：因为直线y＝3x＋7，其中k＝3，b＝7，
所以点P(－1，2)到直线y＝3x＋7的距离为d＝＝＝＝.
根据以上材料，解答下列问题：
(1)求点P(1，－1)到直线y＝x－1的距离；
(2)已知⊙Q的圆心Q坐标为(0，5)，半径r为2，判断⊙Q与直线y＝x＋9的位置关系并说明理由；
(3)已知直线y＝－2x＋4与y＝－2x－6平行，求这两条直线之间的距离．
参考答案
1. B 【解析】根据题意a?b＝，则 x?(－2)＝＝，又∵x?(－2)＝－1，∴＝－1，解得x＝5，经检验x＝5是原方程的根，∴原方程x?(－2)＝－1的解是x＝5.
2. B 【解析】当x＋3≥－x＋1时，max{x＋3，－x＋1}＝x＋3，此时x≥－1，∴y≥2；当x＋3＜－x＋1时，max{x＋3，－x＋1}＝－x＋1，此时x＜－1，∴y＞2.综上y的最小值为2.
3. B 【解析】①∵24＝16，∴log216＝4，故①正确；②∵52＝25，∴log525＝2，故②不正确；③∵2－1＝，∴log2＝－1，故③正确．
4. 【解析】根据新运算法则，得log1001000＝＝＝.
5. 2－4 【解析】设AN＝y，MN＝x，由题意可知：AM2＝BM·AB，∴(x＋y)2＝2(2－x－y)，解得x＋y＝－1(取正)，又BN2＝AN·AB，∴(2－y)2＝2y，解得y＝3－(y＜2)，∴m－n＝MN＝x＝－1－(3－)＝2－4，故填2－4.
6. 解：(1)m?·n?＝2×2＋4×(－3)＝－8. (2)不相交．理由如下：m?·n? ＝(x－a)2＋(x＋1)＝x2－(2a－1)x＋a2＋1，∴y＝x2－(2a－1)x＋a2＋1，联立方程：x2－(2a－1)x＋a2＋1＝x－1，化简得：x2－2ax＋a2＋2＝0，∵b2－4ac＝(－2a)2－4(a2＋2)＝－8<0，∴方程无实数解，两函数图象无交点．
7. 解：(1)∵∠A＝∠C，CG＝AB.∴△MBA≌△MGC(SAS)，∴MB＝MG.又∵MD⊥BC，∴BD＝GD，∴CD＝CG＋GD＝AB＋BD. (2)2＋2.【解法提示】折线BDC为⊙O的一条折弦，由题意知A为中点，由材料中折弦定理易得BE＝DE＋CD，在Rt△ABE中可得BE＝，所以△BCD周长为BC＋CD＋DE＋BE＝2＋2.
8. 解：(1)作图如解图①.
图①
【作法提示】如解图所示，作线段AB＝c，延长AB至点C，使BC＝a，作线段AC的中垂线交AC于点E，根据定义可知b＝，则b＝，所以b＝AE，以B为圆心，AE长为半径画弧，以A为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD、BD，则△ABD即为所作“匀称三角形”. (2)△AEF是“匀称三角形”．理由如下：如解图②，
图②
连接AD,OD，∵AB是⊙O直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴D是BC中点，∵O是AB中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC.∵DF切⊙O于D点，∴OD⊥DF，∴EF⊥AF，过点B作BG⊥EF于点G，易证Rt△BDG≌Rt△CDF(AAS)，∴BG＝CF，∵＝，∴＝，∵BG∥AF(或Rt△BEG∽Rt△AEF)，
∴＝＝.在Rt△AEF中，设AE＝5k，则AF＝3k，由勾股定理得，EF＝4k，∴＝＝4k＝EF，∴△AEF是“匀称三角形”．
9. (1)证明：∵m是一个完全平方数，∴m＝p×q，当p＝q时，p×q就是m的最佳分解，∴F(m)＝＝＝1. (2)解：由题意得，(10y＋x)－(10x＋y)＝18，得y＝x＋2(y≤9)，∴t＝10x＋y＝10x＋x＋2＝11x＋2(1≤x≤7)，
则所有的“吉祥数”为：13，24，35，46，57，68，79共7个，∵13＝1×13，24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，35＝1×35＝5×7，46＝1×46＝2×23，57＝1×57，68＝1×68＝2×34＝4×17，79＝1×79，∴F(13)＝，F(24)＝＝，F(35)＝，F(46)＝，F(57)＝，F(68)＝，F(79)＝，∴“吉祥数”中F(t)的最大值为：F(35)＝.
10. 解：(1)∵直线y＝x－1，其中k＝1，b＝－1，∴点P(1，－1)到直线y＝x－1的距离为：d＝＝＝＝. (2)相切．理由如下：∵直线y＝x＋9，其中k＝，b＝9，∴圆心Q(0，5)到直线y＝x＋9的距离为d＝＝＝＝2，又∵⊙Q的半径r为2，∴⊙Q与直线y＝x＋9的位置关系为相切． (3)在直线y＝－2x＋4上任意取一点P，当x＝0时，y＝4，∴P(0，4)，∵直线y＝－2x－6，其中k＝－2，b＝－6，∴点P(0，4)到直线y＝－2x－6的距离为d＝＝＝＝2，∴这两条直线之间的距离为2.
专题专练三 二次函数综合题
命题解读 题型认知
命题类型：①二次函数与线段和差问题；②二次函数与图形面积问题；③二次函数与特殊三角形判定问题；④二次函数与特殊四边形判定问题；⑤二次函数与三角形相似、全等问题；
命题内容：①中考查多与找点关于直线的对称点，再根据两点之间线段最短确定所求点有关；②中考查多与割补法求面积有关；③中考查多与特殊三角形的性质有关，直角三角形通常用到勾股定理计算，直角三角形与等腰三角形在判定时均应考虑分类讨论，以免漏解；④中考查多与特殊四边形的判定及性质有关，同样做题时要考虑各种情况，命题时常与分类讨论思想结合；⑤中考查多与三角形相似或全等的判定及性质有关.
类型一 二次函数与线段和差问题
例1 如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(10，8)，沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC 上的E处，E点坐标为(6，8)，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O，A，E三点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求AD的长；
(3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，B(10，8)，
∴A(10，0)，∵E(6，8)，O(0，0)，
抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(10，0),E(6，8)和O(0，0)，
∴，解得，
∴抛物线的解析式y＝－x2＋x.
(2)由题意可知：AD＝ED，BE＝|10－6|＝4，AB＝8，
设AD为x，则ED＝x，BD＝AB－AD＝8－x，
在Rt△BDE中，
ED2＝EB2＋BD2，
即x2＝42＋(8－x)2，
解得x＝5，
即AD＝5.
(3)由(2)可知，D点的坐标是(10，5)，
∴△PAD的周长l＝PA＋PD＋AD＝PA＋PD＋5，
∵抛物线的对称轴是线段OA的垂直平分线，点P是抛物线对称轴上的一动点，
∴PO＝PA，
因此，l＝PA＋PD＋5＝PO＋PD＋5，
∴当PO＋PD最小时l最小，
∴当点P移动到直线OD与抛物线对称轴的交点处时PO＋PD最小，
设直线OD的解析式为y＝kx，将D点的坐标(10，5)代入得：
5＝10 k，求得k＝，
∴直线OD的解析式为y＝x，
当x＝5时，y＝，
∴P点的坐标是(5，)．
针对训练
1.如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象交x轴于另一点B.
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；
(3)若点H为二次函数y＝ax2＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．
温馨提示：在直角坐标系中，若点P，Q的坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，当PQ平行x轴时，线段PQ的长度可由公式PQ＝|x1－x2|求出；当PQ平行y轴时，线段PQ的长度可由公式PQ＝|y1－y2|求出．
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称．
(1)填空，点B的坐标是________；
(2)过点B的直线y＝kx＋b(其中k＜0)与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB＝PC.求线段PB的长(用含k的式子表示)，并判断点P是否在抛物线上，说明理由；
(3)在(2)的条件下，若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标．
类型二 二次函数与图形面积问题
例2 如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．
(1)求a，b的值；
(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．
∴解得
(2)如解图①，过点A作x轴的垂线，垂足为点D(2，0)，连接CD，过点C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为点E，点F，设点C(x，－x2＋3x)，则
S△OAD＝OD·AD＝×2×4＝4，
S△ACD＝AD·CE＝×4×(x－2)＝2x－4，
S△BCD＝BD·CF＝×4×(－x2＋3x)＝－x2＋6x，
则S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋(2x－4)＋(－x2＋6x)＝－x2＋8x.
∴S关于x的函数表达式为S＝－x2＋8x(2∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，
∴当x＝4时，四边形OACB的面积S取最大值，最大值为16.
针对训练
3.已知抛物线y＝ax2＋bx－3经过(－1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．
(1)写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；
(2)当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；
(3)是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x与二次函数y＝x2＋bx的图象相交于O、A两点，点A(3，3)，点M为抛物线的顶点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)长度为2的线段PQ在线段OA(不包括端点)上滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1，求四边形PQQ1P1面积的最大值；
(3)直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足S△AOF＝S△AOM？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
类型三 二次函数与特殊三角形判定问题
例3 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.
(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；
(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；
(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
解：(1)依题意，得解得
∴抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3.
∵对称轴为x＝－1，抛物线经过A(1，0)，∴B(－3，0)．
把B(－3，0)，C(0，3)分别代入y＝mx＋n得，
解得∴直线BC的解析式为y＝x＋3.
(2)如解图，设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，连接AM，∵MA＝MB，
∴MA＋MC＝MB＋MC＝BC.∴使MA＋MC最小的点M应为直线BC与对称轴x＝－1的交点．
把x＝－1代入直线y＝x＋3，得y＝2.∴点M(－1，2)．
(3)设P(－1，t)，结合B(－3，0)，C(0，3)，得BC2＝18，
PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.
①若B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，
即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；
②若C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，
即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；
③若P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，
即4＋t2＋t2－6t＋10＝18.解得t1＝，t2＝.
综上所述，满足条件的点P共有四个，分别为：P1(－1，－2)，P2(－1，4)，P3(－1，)，P4(－1，)．
针对训练
5.如图，抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)的顶点为E，该抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，且BO＝OC＝3AO，直线y＝－x＋1与y轴交于点D.
(1)求抛物线的解析式；
(2)证明：△DBO∽△EBC；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
6.如图，抛物线L：y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B(3，0)两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C(0，3)，已知对称轴x＝1.
(1)求抛物线L的解析式；
(2)将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内(包括△OBC的边界)，求h的取值范围；
(3)设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x＝－3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．
图(1) 图(2)
类型四 二次函数与特殊四边形判定问题
例4 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD.
(1)求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
(2)点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．
解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两点，
图①
∴解得
∴经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)如解图①，连接PC，PE.
对称轴x＝－＝－＝1，
当x＝1时，y＝－1＋2＋3＝4，∴点D的坐标为(1，4)，
设直线BD的解析式为：y＝mx＋n，
将B(3，0),D(1，4)分别代入表达式，解得则直线BD的解析式为y＝－2x＋6，设P的坐标为(x0，－2x0＋6)，
∴由勾股定理可得PC2＝x＋[3－(－2x0＋6)]2，
PE2＝(x0－1)2＋(－2x0＋6)2，
∵PC＝PE，
∴x＋(3＋2x0－6)2＝(x0－1)2＋(－2x0＋6)2，
解得x0＝2，y0＝－2×2＋6＝2，
∴P的坐标为(2，2)．
(3)依题意可设M的坐标为(a，0)，则G坐标为(a，－a2＋2a＋3)．
图②
如图②，以F,M,N,G为顶点的四边形是正方形时，必有FM＝MG，
∴|2－a|＝|－a2＋2a＋3|，① 2－a＝－(－a2＋2a＋3)，解得a＝，
② 2－a＝－a2＋2a＋3，解得a＝，
∴M点的坐标为(，0)，(，0)，(，0)，(，0)．
针对训练
7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(－1，0)、B(0，－)、C(2，0)，其对称轴与x轴交于点D.
(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；
(2)若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB＋PD的最小值为________；
(3)M(s，t)为抛物线对称轴上的一个动点．
①若平面内存在点N，使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有________个；
②连接MA,MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．
8.如图，抛物线与x轴交于点A(－5，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C(0，5)．有一宽度为1，长度足够的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N，交x轴于点E和F.
(1)求抛物线解析式．
(2)当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF＝，求点Q的坐标．
(3)在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．
类型五 二次函数与三角形相似、全等问题
例5 如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y＝x－2交于B，C两点．
(1) 求抛物线的解析式及点C的坐标；
(2) 求证：△ABC是直角三角形；
(3) 若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】 (1)已知抛物线的顶点坐标，利用顶点式代入抛物线上的点O，求出抛物线解析式，再与直线解析式联立得方程组，即可求得点C的坐标． (2)要证明△ABC是直角三角形，分别计算三角形各边的长度，利用勾股定理的逆定理即可判断．(3)要求是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，由题知，N点在x轴上，M点在抛物线上，可设出N点坐标，得到由未知数x表示的M点坐标，由(2)知△ABC的边长，利用三角形相似，列出比例关系式求得N点坐标．由于N点的位置不定，需进行分类讨论．
解： (1)由题可知，抛物线的顶点为A(1，1)，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋1(a≠0)，
∵抛物线经过原点O(0，0)，∴将O(0，0)代入，得0＝a(0－1)2＋1，解得a＝－1，
∴抛物线解析式为y＝－(x－1)2＋1＝－x2＋2x.
∵直线y＝x－2与抛物线交于B、C两点，
联立得，
解得或，
∴B(2，0)，C(－1，－3).
(2)证明：由(1)知，A(1，1)，B(2，0)，C(－1，－3)，
图①
如图①，由两点距离公式，则AF＝2，CF＝4，CD＝3，BD＝3，BE＝1，AE＝1，
在Rt△ABE中，AB＝＝，
在Rt△BCD中，BC＝＝3，
在Rt△ACF中，AC＝＝2，
在△ABC中，AB2＋BC2＝()2＋(3)2＝20，
AC2＝(2)2＝20，
∴AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC为直角三角形.
(3)解：存在．
设N(x，0)，则M(x，－x2＋2x)，
由(2)知，AB＝，BC＝3，
分两种情况讨论：
①若点N在点B右侧，即x＞2，x与－x2＋2x异号，如图②，△ONM与△ABC相似，则＝ 或＝，即＝ 或＝，
解两方程可得x的值为x1＝，x2＝5，x3＝0(舍去)．∴N的坐标为(，0)或(5，0)；
图② 图③
②若点N在点B左侧，即x＜2，x与－x2＋2x同号，如解图③，△ONM与△ABC相似，则＝ 或 ＝，即＝ 或 ＝，
解两方程可得x的值为x1＝，x2＝－1，x3＝0(舍去)，∴N的坐标为(，0)或(－1，0)．
综上所述，存在满足条件的点N的坐标为(，0)或(5，0)或(，0)或(－1，0)．
【点拨】本题第(3)问难点在于确定N点的位置，需进行分类讨论：①点N在点B右侧；②点N在点B左侧；且相似边不确定，需根据三角形相似列出比例关系式，联系第(2)问所求得边的关系即可求得点N的坐标．
针对训练
9.如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过△ABC的三个顶点，其中点A(0，1)，点B(－9，10)，AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标； 若不存在，请说明理由．
10.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．
(1)求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
(2)试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m)，直线PB与直线l交于点Q.试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．
参考答案
1. 解：(1)∵直线y＝5x＋5与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴A(－1，0)，C(0，5)．∵抛物线y＝ax2＋4x＋c过点A(－1，0)，C(0，5)，则解得c＝5，a＝－1，∴二次函数的表达式为y＝－x2＋4x＋5.
图① 图②
(2)如图①，∵抛物线y＝－x2＋4x＋5与x轴交于A，B两点，∴解－x2＋4x＋5＝0的两根为x1＝－1，x2＝5.∵点B在x轴正半轴，∴B(5，0)．设过B(5，0), C(0，5)的直线BC解析式为y＝kx＋b，则
解得k＝－1，b＝5，∴直线BC表达式为y＝－x＋5.∵DN⊥x轴，∴DN∥y轴．∵点N在BC上，点D在抛物线上，设N(x，y1)，D(x，y2)，∴N(x，－x＋5)，D(x，－x2＋4x＋5)．∴DN＝－x2＋4x＋5－(－x＋5)＝－x2＋5x＝－(x－)2＋.当x＝时，DN有最大值； (3)如图②，作点H关于y轴的对称点H′，点M关于x轴的对称点M′，连接H′M′，分别交x轴，y轴于点F,E，则四边形HEFM的最小周长为HM＋HE＋EF＋FM＝HM＋H′M′.∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，∴H(2，9)，∴H′(－2，9)，当x＝4时，y＝5，∴M(4，5)，∴M′(4，－5)．设直线H′M′的解析式为y＝k′x＋b′，则解得,∴直线H′M′的解析式为y＝－x＋.当y＝0时，x＝，∴F(，0)；当x＝0时，y＝，∴E(0，)．
2. 解：(1)由y＝x2＋得：A(0，)∵B,O关于A对称，∴B(0，)(2)如图①，∵直线BC过点B(0，)，
图① 图②
∴直线BC解析式为y＝kx＋.∴C(－，0)，又∵P是直线l上一点，∴可设P(－，a)．过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接PB，则在Rt△PNB中，由勾股定理得：PB2＝PN2＋NB2，∵PB＝PC＝a，∴a2＝(－)2＋(a－)2，解得a＝＋，∴P点坐标为(－，＋)，当x＝－时，y＝＋，∴点P在抛物线上．
(3)如图②，由C′在y轴上，可知∠CBP＝∠C′BP，∵PB＝PC，∴∠CBP＝∠PCB，∵PC∥C′B，∴∠PCB＝∠ABC，∴∠C′BP＝∠CBP＝∠ABC＝60°，∴△PBC为等边三角形，∵OB＝，∴BC＝1，OC＝，∴PC＝1，∴P(，1)．
3. 解：(1)令x＝0，得y＝ax2＋bx－3＝－3，∴C(0，－3)，把(－1，0)和(3，0)代入y＝ax2＋bx－3中，得
解得,∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3. (2)联立方程组，解得，，∵O是AB的中点，∴x1＋x2＝0，即＋＝0，解得k＝－2，∴， ，∴A(－，2)，B(，－2)． (3)不存在实数k使得△ABC的面积为.理由如下：假设存在实数k使得△ABC的面积为，联立方程组，解得，，则A(，)，B(，)，∴S△ABC＝OC(xB－xA)＝，∴3×＝3，∴k2＋4k＋16＝10，即k2＋4k＋6＝0，∵b2－4ac＝16－24<0，∴此方程无解，故不存在实数k使得△ABC的面积为.
4. 解：(1)由题意知，A(3，3)在二次函数y＝x2＋bx图象上，将x＝3，y＝3代入得9＋3b＝3，解得b＝－2，
∴二次函数表达式为y＝x2－2x. (2)如图①所示，过点P作PB⊥QQ1于点B，
图①
∵PQ＝2，且在直线y＝x上，∴PB＝QB＝2 ，设P(a，a)，则Q(a＋2，a＋2)，则P1(a，a2－2a)，Q1(a＋2，(a＋2)2－2(a＋2))，即Q1(a＋2，a2＋2a)，所以四边形PQQ1P1的面积为：S＝2×＝－2a2＋2a＋2＝－2(a－)2＋，当Q运动到点A时，OP＝OQ－PQ＝，a＝1.∴a的取值范围为0＜a＜1.∴当a＝时，四边形PQQ1P1的面积最大，最大值为. (3)存在，点E的坐标为E1(，)，E2(，)，如图②所示，连接OM，∵点M为抛物线顶点，∴M(1，－1)，又∵OA所在直线为y＝x，∴OM⊥OA，即∠AOM＝90°，在△AOF和△AOM中，以OA为底，当面积相等时，则两三角形OA边上的高相等，又∵OM⊥OA，且OM＝，∴可作两条与OA互相平行且距离为的直线，
如图②所示，在直线HD、MC上的点F均满足S△AOF＝S△AOM，∴只需满足E点的对称点F在这两条直线上即可，如图②，过点A作AC⊥MC于点C，易求四边形OACM为矩形，AM为该矩形的一条对角线，取AM中点O′，过O′作AM垂线，交OA于点E1，交MC于点F1，OA＝3，∴AM＝＝2，
∴AO′＝，则△AO′E1∽△AOM，∴＝＝，∴＝，
图②
解得OE1＝，∵点E1在y＝x上，∴E1(，)，同理可得HF2＝GE2＝，又∵OG＝2OA＝6，∴OE2＝6－＝，∴ E2(，)．综上所述，符合条件的E点的坐标为：E1(，)、 E2(，)．(
5. (1)解：当x＝0时，y＝ax2＋bx－3＝－3，∴C(0，－3)，即OC＝3，∵OB＝OC＝3OA，∴OB＝3，OA＝1，∴A(－1，0)，B(3，0)，将点A(－1，0)，点B(3，0)代入y＝ax2＋bx－3得解得，b=-2,∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3. (2)证明：由y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4可得E(1，－4)，当x＝0时，由直线y＝－x＋1得y＝1，∴D(0，1)，即OD＝1，∴BD＝＝，∴CE＝，BE＝2，BC＝3，∴在△ODB和△CEB中，有＝＝＝，∴△DBO∽△EBC. (3)解：存在点P，使得△PBC是等腰三角形，点P的坐标分别为：P1(1，－1)，P2(1，－3＋)，P3(1，－3－)，P4(1，)，P5(1，－)．
6. 解：(1)把C(0，3)代入y＝ax2＋bx＋c，得c＝3，把B(3，0)代入y＝ax2＋bx＋3，得9a＋3b＋3＝0，又∵－＝1，∴a＝－1，b＝2，∴抛物线L的解析式是y＝－x2＋2x＋3. (2)
图①
由y＝－(x－1)2＋4得抛物线的顶点D(1，4)，如解图①，过点D作y轴的平行线分别交CB，OB于点E,F，
则＝，∴EF＝2，∴4－2≤h≤4，即2≤h≤4. (3)能，设P(x，－x2＋2x＋3)，如解图②，过点P分别作x轴、直线l的垂线，
图②
垂足分别是点M，N，∵∠PMB＝∠PNQ＝90°，∵∠QPB＝90°，∠BPM＝∠QPN，PB＝PQ，∴△PMB≌△PNQ(AAS)，∴PM＝PN.①当点P在x轴上方时，－x2＋2x＋3＝x＋3，即x2－x＝0，解得x1＝0，x2＝1，∴P1(0，3)，P2(1，4)；②当点P在x轴下方时，－x2＋2x＋3＝－(x＋3)，即x2－3x－6＝0，解得x＝＝，∴P3(，－)，P4(，－)，∴满足条件的点P有四个点，分别是P1(0，3)，P2(1，4)，P3(，－)，P4(，－)．
7. 解：(1)设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－2)，将B(0，－)代入，得a＝，∴二次函数的表达式为y＝(x＋1)(x－2)＝(x－)2－，∴顶点的坐标为(，－)． (2)；【解法提示】连接AB，过点P作PH⊥AB，垂足为H，如图①，
图①
∵OA＝1，OB＝，∴AB＝＝2，∴∠ABO＝30°，∴PH＝PB，∴PB＋PD＝PH＋PD的值，∴要使PB＋PD的值最小，只要使PH＋PD的值最小，此时H,P,D在同一条直线上，且DH⊥AB，在Rt△ADH中，∠ADH＝90°－∠OAB＝30°，AD＝1＋＝，∴DH＝ADcos30°＝，∴PB＋PD的最小值为，
(3)①5；【解法提示】以点B为圆心，AB的长为半径画圆，与对称轴有两个交点，以点A为圆心，AB的长为半径画圆，与对称轴有两个交点，作AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，共有5个点使M,N,A,B构成的四边形为菱形． ②连接AB，作AB的垂线，垂足为点A，交y轴于点E，如图②，
图②
以BE的长为直径画圆，与对称轴交于点M1，点M2，与x轴交于点A，F，∵BE为直径，AF⊥BE，∴AB＝FB，∴∠BFA＝∠BAF＝60°，∴的度数为120°，∴∠AM1B＝∠AM2B＝×120°＝60°.在Rt△AOE中，∠EAO＝30°，OE＝AO·tan30°＝，∴BE＝OE＋OB＝＋＝，∴圆心N(0，－)，∴半径NE＝，∴NM1＝NM2＝，设M(，t)，NM2＝()2＋(t＋)2＝()2，t1＝－，t2＝－－，
M1(，－)，M2(，－－)．故当－－≤t≤－时，∠AMB的度数不小于60°.
8. 解：(1)根据题意得，A(－5，0)，B(3，0)在x轴上，设抛物线的解析式为y＝a(x＋5)(x－3)．∵抛物线过点(0，5)，∴a＝－.∴抛物线的解析式为y＝－(x＋5)(x－3)＝－x2－x＋5. (2)如图，过点F作FD⊥AC于点D，∵OA＝5，OC＝5，∴∠CAO＝45°.设AF的长为m，则DF＝m，ME＝AE＝m＋1.∴sin∠AMF＝，∴MF＝＝＝m.在Rt△MEF中，FM2＝ME2＋EF2，∴(m)2＝(m＋1)2＋12，
解得m1＝1，m2＝－(不符合题意，舍去)．∴AF＝1，∴点Q的横坐标为－4.又∵点Q在抛物线y＝－x2－x＋5上，∴Q(－4，)． (3)设直线AC的解析式为y＝kx＋n(k≠0)，由题意得，解得，∴直线AC的解析式为y＝x＋5.由题知，点Q，N，F及点P，M，E的横坐标分别相同．设F(t，0)，E(t＋1，0)，点M，N均在直线y＝x＋5上，∴N(t，t＋5)，M(t＋1，t＋6)，∵点P，Q在抛物线y＝－x2－x＋5上，∴Q(t，－t2－t＋5)，P(t＋1，－t2－t＋4)，在矩形平移过程中，以P、Q、N、M为顶点的平行四边形有两种情况：①点Q、P在直线AC的同侧时，QN＝PM.∴(－t2－t＋5)－(t＋5)＝(－t2－t＋4)－(t＋6)，解得t＝－3.∴M(－2，3)．②点Q，P在直线AC的异侧时，QN＝MP.∴(－t2－t＋5)－(t＋5)＝(t＋6)－(－t2－t＋4)，解得t1＝－3＋，t2＝－3－，∴M(－2＋，3＋)或(－2－，3－)．∴符合条件的点M是(－2，3)，(－2＋，3＋)或(－2－，3－)．
9. 解：(1)把点A(0，1)，B(－9，10)代入y＝x2＋bx＋c，得解得,c=1，
∴抛物线的解析式是y＝x2＋2x＋1. (2)∵AC∥x轴，A(0，1)，由x2＋2x＋1＝1，解得x1＝－6，x2＝0，∴C(－6，1)，∴AC＝6，设直线AB的解析式是y＝kx＋b(k≠0)，代入A(0，1)，B(－9，10)，则，
解得，∴直线AB的解析式是y＝－x＋1.设点P的坐标为(m，m2＋2m＋1)，则点E的坐标为(m，－m＋1)，则EP＝－m＋1－(m2＋2m＋1)＝－m2－3m，∵AC⊥EP，AC＝6，∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC·EF＋AC·PF＝AC·(EF＋PF)＝AC·EP＝×6×(－m2－3m)＝－m2－9m＝－(m＋)2＋.又∵点P是直线AC下方抛物线上的点，即－6(3)存在．由y＝x2＋2x＋1＝(x＋3)2－2，得顶点P的坐标是(－3，－2)，此时PF＝yF－yP＝3，CF＝xF－xC＝3，则在Rt△CFP中，PF＝CF，∴∠PCF＝45°，同理可求∠EAF＝45°，∴∠PCF＝∠EAF，∴在直线AC上存在满足条件的点Q，如解图，△CPQ1∽△ABC或△CQ2P∽△ABC.∵A(0，1)，B(－9，10)，C(－6，1)，PF＝CF＝3，∴AB＝9，AC＝6，CP＝3，①当△CPQ1∽△ABC时，设Q1(t1，1)，由＝得＝，解得t1＝－4.即Q1(－4，1); ②当△CQ2P∽△ABC时，设Q2(t2，1)，由＝,得＝，解得t2＝3，即Q2(3，1)．综上所述，满足条件的点Q有两个，坐标分别是Q1(－4，1)或Q2(3，1)．
10. 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－8经过点A(－2，0)，D(6，－8)，将A,D两点的坐标代入，得解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2－3x－8.∵y＝x2－3x－8＝(x－3)2－，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，又∵抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为(－2，0)，∴点B的坐标为(8，0)，设直线l的函数表达式为y＝kx，∵点D(6，－8)在直线l上，代入得6k＝－8，解得k＝－，∴直线l的函数表达式为y＝－x.∵点E为直线l和抛物线对称轴的交点，∴点E的横坐标为3，纵坐标为－×3＝－4，即点E的坐标为(3，－4)． (2)抛物线上存在点F，使△FOE≌△FCE.点F的坐标为(3－，－4)，(3＋，－4)． (3)需分两种情况进行讨论：①当OP＝OQ时，△OPQ是等腰三角形，
图①
∵点E的坐标为(3，－4)，∴OE＝＝5，如图①，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H，则＝，∴OM＝OE＝5，∴点M的坐标为(0，－5)，设直线ME的函数表达式为y＝k1x－5，将点E(3，－4)代入得3k1－5＝－4，解得k1＝，∴直线ME的函数表达式为y＝x－5，令y＝0，得x－5＝0，解得x＝15，∴点H的坐标为(15，0)．又＝，∴＝，∴m＝－；
图②
②当QO＝QP时，△OPQ是等腰三角形，延长CE，交x轴于点N，如图②，当x＝0时，y＝x2－3x－8＝－8，∴点C的坐标为(0，－8)，∴CE＝＝5，又∵OE＝＝5，∴OE＝CE，∴∠1＝∠2，∵QO＝QP，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CE∥PB，∴＝，设直线CE的解析式为y＝k2x－8，代入点(3，－4)，得3k2－8＝－4，∴k2＝，∴直线CE的解析式为y＝x－8.令y＝0，则x－8＝0，解得x＝6，∴点N的坐标为(6，0)，又＝，∴＝，解得m＝－.综上所述，当m的值为－或－时，△OPQ是等腰三角形．
专题专练四 实际应用型问题
命题解读 题型认知
实际应用与方案设计型总结以下常考类型：1.购买分配类问题；2.工程、生产、行程问题；3.增长率(面积)问题；4.一次函数的实际应用；5.二次函数的实际应用．购买问题常考模型有：①A、B总数量已知，单价和总花费已知，求A、B数量(列方程组求解，如第4题)；②已知A、B的单价与总花费及A、B价格变化后的总花费或已知A、B的进价、售价、总进价与总获利，求A、B数量(列方程组求解，如第2题)；③已知A、B单价和，A与B单价之间的关系，求A、B单价(如第3题)．工程、生产、行程问题常考模型有设单位1，求解和通过公式求解(常列分式方程，所用公式有v＝，数量＝，工作效率＝)．增长率(面积)问题，常列一元二次方程求解，这里一般是由矩形面积求边长．一次函数的实际应用常考形式有图象型、表格型、阶梯费用(分段函数)、最值问题．二次函数的实际应用常考形式有抛物线型、涉及几何图形面积(矩形)、最值问题．
类型一 购买、分配类问题
例1 某商场销售A,B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如下表所示：
A
B
进价(万元/套)
1.5
1.2
售价(万元/套)
1.65
1.4
该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．(毛利润＝(售价－进价)×销售量)
(1)该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
(2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？
解：(1)设该商场计划购进A种设备x套，B种设备y套，
由已知得
解得
答：该商场计划购进A种设备20套，B种设备30套．
(2)设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加1.5a套，由已知得
1．5(20－a)＋1.2(30＋1.5a)≤69，
解得a≤10.
答：A种设备购进数量至多减少10套．
针对训练
1.为加强中小学生安全和禁毒教育，某校组织了“防溺水、交通安全、禁毒”知识竞赛．为奖励在竞赛中表现优异的班级，学校准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同)，购买1个足球和1个篮球共需159元；足球单价是篮球单价的2倍少9元．
(1)求足球和篮球的单价各是多少元？
(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共20个，但要求购买足球和篮球的总费用不超过1550元，学校最多可以购买多少个足球？
2.为提高饮水质量，越来越多的居民开始选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A,B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元．
(1)求A,B两种型号家用净水器各购进了多少台；
(2)为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元(注：毛利润＝售价－进价)．
类型二 工程、生产、行程问题
例2 “汉十”高速铁路襄阳段正在建设中，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．
(1)若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？
(2)若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？
解：(1)由题意知，甲队单独施工完成该项工程所需时间为30÷＝90(天)．
设乙队单独施工需要x天完成该项工程，则
＋＝1.
去分母，得x＋30＝2x，解得x＝30.经检验x＝30是原方程的解．
答：乙队单独施工需要30天才能完成该项工程．
(2)设乙队施工y天完成该项工程，则
1－≤.解得y≥18.
答：乙队至少施工18天才能完成该项工程．
针对训练
3.甲车从A地驶往B地，同时乙车从B地驶往A地，两车相向而行，匀速行驶．甲车距B地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示，乙车的速度是60 km/h.
(1)求甲车的速度；
(2)当甲乙两车相遇后，乙车速度变为a(km/h)，并保持匀速行驶，甲车速度保持不变，结果乙车比甲车晚38分钟到达终点，求a的值．
4.某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地燃油行驶纯燃油费用76元，从A地到B地用电行驶纯电费用26元．已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元．
(1)求每行驶1千米纯用电的费用；
(2)若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少用电行驶多少千米？
5.某工厂通过科技创新，生产效率不断提高，已知去年月平均生产量为120台机器，今年一月份的生产量比去年月平均生产量增长了m%，二月份的生产量又比一月份生产量多50台机器，而且二月份生产60台机器所需时间与一月份生产45台机器所需时间相同，三月份的生产量恰好是去年月平均生产量的2倍．
问：今年第一季度生产总量是多少台机器？m的值是多少？
类型三 增长率(面积)问题
例3 青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车.
(1)请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
(2)请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率.
解：(1)设每个站点的造价为x万元，公共自行车的单价为y万元．
根据题意可得解得.
答：每个站点的造价为1万元，公共自行车的单价为0.1万元．
(2)设2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a.根据题意可得：
7202＝2205，
解得a1＝＝75%，a2＝－(不符合题意，舍去)．
答：2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%.
针对训练
6.在直角墙角AOB(OA⊥OB，且OA、OB长度不限)中，要砌20 m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96 m2.
(1)求这个地面矩形的长；
(2)有规格为0.80×0.80和1.00×1.00(单位：m)的地板砖单价分别为55元/块和80元/块．若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，用哪一种规格的地板砖费用较少？
类型四 一次函数的实际应用
例4 甲、乙两车分别从A,B两地同时出发．甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地．设甲、乙两车距A地的路程为y(千米)，甲车行驶的时间为x(时)，y与x之间的函数图象如图所示．
(1)求甲车从A地到达B地的行驶时间；
(2)求甲车返回时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)求乙车到达A地时甲车距A地的路程．
解：(1)如图，设直线OA的解析式为y＝k1x(k1≠0)．
把点(1.5，180)代入，得：
1．5k1＝180，
∴k1＝120，
∴直线OA的解析式为y＝120x.
当y＝300时，则120x＝300，解得x＝2.5.
∴甲车从A地到达B地的行驶时间为2.5小时．
(2)设直线AB的解析式为y＝k2x＋b1(k2≠0)．
把点(2.5，300)，(5.5，0)分别代入得：
解得
∴甲车返回时y与x之间的函数关系式为y＝－100x＋550(2.5≤x≤5.5)．
(3)设直线CD的解析式为y＝k3x＋b2(k3≠0)．
把点(0，300)，(1.5，180)分别代入得
解得
∴直线CD的解析式为y＝－80x＋300.
令y＝0，则－80x＋300＝0，x＝3.75.
把x＝3.75代入y＝－100x＋550得
y＝－375＋550＝175(千米)，
∴乙车到达A地时甲车距A地的路程为175 千米．
针对训练
7.由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少．已知原有蓄水量y1(万 m3)与干旱持续时间x(天)的关系如图中线段l1所示．针对这种干旱情况，从第20天开始向水库注水，注水量y2(万m3)与时间x(天)的关系如图中线段l2所示(不考虑其他因素)．
(1)求原有蓄水量y1(万 m3)与时间x(天)的函数关系式，并求当x＝20时的水库总蓄水量；
(2)求当0≤x≤60时，水库的总蓄水量y(万 m3)与时间x(天)的函数关系式(注明x的范围)，若总蓄水量不多于900万 m3为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x的范围．
8.“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的A型车2015年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份A型车销售总额增加25%.
(1)求今年A型车每辆售价多少元？(用列方程的方法解答)
(2)该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：
A型车
B型车
进货价格(元/辆)
1100
1400
销售价格(元/辆)
今年的销售价格
2400
9.某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨(含14吨)，则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．
(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？
(2)设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式；
(3)小明家5月份用水26吨 ，则他家应交水费多少元？
10.A城有某种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台．从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．
(1)设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；
(3)现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元(a≤200)作为优惠，其他费用不变．如何调运，使总费用最少？
类型五 二次函数的实际应用
例5 课本中有一个例题：
有一个窗户形状如图①，上部是一个半圆，下部是一个矩形．如果制作窗框的材料总长为6 m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径为0.35 m时，透光面积的最大值约为1.05 m2.
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图②，材料总长仍为6 m．利用图③，解答下列问题：
(1)若AB为1 m，求此时窗户的透光面积；
(2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．
解：(1)由已知条件得，AD＝＝(m)，此时窗户的透光面积S＝AB·AD＝1×＝(m2)．
(2)设AB＝x m，则AD＝(3－x)m，
∵x＞0，3－x＞0，∴0＜x＜.
设窗户透光面积为S，由已知得，
S＝AB·AD＝x(3－x)＝－x2＋3x＝－(x－)2＋，
当x＝时，且x＝在0＜x＜的范围内，S最大值＝.
∵ m2＞1.05 m2，
∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大．
针对训练
11.襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数解析式为：y＝.
(1)若企业销售该产品获得的年利润为W(万元)，请直接写出年利润W(万元)关于售价x(元/件)的函数解析式；
(2)当该产品的售价x(元/件)为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？
(3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x(元/件)的取值范围．
参考答案
1. 解：(1)设购买足球与篮球的单价分别为x元、y元，依题意得解得.答：足球的单价是103元，篮球的单价是56元． (2)设学校购买足球z个，则购买篮球(20－z)个，于是有：103z＋56(20－z)≤1550，解得z≤9.答：学校最多可以购买9个足球．
2. 解：(1)设A型号家用净水器购进了x台，B型号家用净水器购进了y台，由题意得：
解得.所以A型号家用净水器购进了100台，B型号家用净水器购进了60台． (2)设每台A型号家用净水器的毛利润为z元，则每台B型号家用净水器的毛利润为2z元．由题意得：100z＋60×2z≥11000.解得z≥50，又∵售价＝毛利润＋进价，∴A型号家用净水器的售价≥150＋50＝200元，∴每台A型号家用净水器的售价至少为200元．
3. 解：(1)v甲＝＝80(km/h)．∴甲车的速度为80 km/h.(2)相遇时间为＝2(h)．依题意得＋＝.解得a＝75.经检验，a＝75是原分式方程的解．∴a的值为75.
4. 解：(1)设每行驶1千米纯用电的费用为x元，则每行驶1千米纯燃油的费用为(x＋0.5)元．根据题意得：＝，解得x＝0.26(元)，经检验x＝0.26是原方程的根．答：纯用电每行驶1千米所需要的费用为0.26元． (2)由(1)得纯燃油每行驶1千米所需的费用为0.5＋0.26＝0.76(元)，从A到B的距离为26÷0.26＝100(千米)．设用电行驶y千米，则用燃油行驶(100－y)千米．根据题意得0.26y＋0.76(100－y)≤39，解得y≥74.答：至少用电行驶74千米．
5. 解：设去年月平均生产效率为1，则今年一月份的生产效率为(1＋m%)，二月份的生产效率为(1＋m%＋)，根据题意得：＝，解得m%＝，经检验可知m%＝是原方程的解，∴m＝25.∴第一季度生产总量为120×1.25＋120×1.25＋50＋120×2＝590(台)．答：今年第一季度生产总量是590台机器，m的值是25.
6. 解：(1)设矩形的长为x m，则宽为(20－x) m.根据题意得：x(20－x)＝96，即x2－20x＋96＝0.解得x1＝8，x2＝12，当x＝8时，20－8＝12，∵8＜12，不合题意，舍去，∴这个地面矩形的长为12 m． (2)用第一种规格的地板砖所需费用为：96÷(0.80×0.80)×55＝8250(元)；用第二种规格的地板砖所需费用为96÷(1×1)×80＝7680(元)．∵8250＞7680，∴用第二种规格(即1.00×1.00)的地板砖费用较少．
7. 解：(1)设y1与x的函数关系式为y1＝kx＋b(k≠0)，∵函数y1＝kx＋b的图象经过点(0，1200)和(60，0)，
∴解得，∴y1与x的函数关系式为：y1＝－20x＋1200，当x＝20时，y1＝－400＋1200＝800(万m3)． (2)设y2与x的函数关系式为y2＝mx＋n(m≠0)．∵函数y2＝mx＋n的图象经过点(20，0)，(60，1000)，∴解得∴y2与x的函数关系式为y2＝25x－500，∴总蓄水量y与x的函数关系为：①当0≤x≤20时，y＝y1＝－20x＋1200; ②当208. 解：(1)设去年A型车每辆x元，则今年A型车每辆(x＋400)元，根据题意得，＝，解得x＝1600，经检验，x＝1600是方程的根，且符合题意．1600＋400＝2000(元)．答：今年A型车每辆售价为2000元． (2)设今年7月份进A型车m辆，那么进B型车(50－m)辆，获得的总利润为y元，根据题意，得50－m≤2m，解得m≥16，y＝(2000－1100)m＋(2400－1400)(50－m)，即y＝－100m＋50000，∵k＝－100<0，∴y随m的增大而减少，但m只能取正整数，∴当m取17时，可以获得最大利润．答：进A型车17辆，B型车33辆时能使这批车获利最多．
9. 解：(1)由每吨水的政府补贴优惠价为m元，市场价为n元．根据题意列方程组得，
解得答：每吨水的政府补贴优惠价为2元，市场价为3.5元． (2)当0≤x≤14时，y＝2x；当x＞14时，y＝14×2＋(x－14)×3.5＝3.5x－21.故所求函数关系式为：y＝. (3)∵26＞14，∴小明家5月份水费为3.5×26－21＝70(元)．答：小明家5月份应交水费70元．
10. 解：(1)依题意知，从A城至D乡运(30－x)台，从B城至C乡运(34－x)台，从B城至D乡运(x＋6)台，
∴W＝250x＋200(30－x)＋150(34－x)＋240(x＋6)＝140x＋12540(0≤x≤30)． (2)∵W≥16460，∴140x＋12540≥16460，解得x≥28，∴28≤x≤30，∴x可取28，29，30，∴有三种不同的调运方案：当x＝28时，从A城至C乡运28台，从A城至D乡运2台，从B城至C乡运6台，从B城至D乡运34台；当x＝29时，从A城至C乡运29台，从A城至D乡运1台，从B城至C乡运5台，从B城至D乡运35台；当x＝30时，从A城至C乡运30台，从A城至D乡运0台，从B城至C乡运4台，从B城至D乡运36台．
(3)依题意得W＝140x＋12540－ax＝(140－a)x＋12540，当00，x取0时，W最小，此时，从A城至C乡运0台，从A城至D乡运30台，从B城至C乡运34台，从B城至D乡运6台；当a＝140时，W＝12540.各种方案费用一样多；当14011. 解：(1)W＝【解法提示】根据题意知当年销量为y＝－2x＋140时，年利润为W＝(－2x＋140)x－(－2x＋140)×30，化简得，W＝－2x2＋200x－4200(40≤x＜60)，当年销量为y＝－x＋80时，年利润W＝(－x＋80)x－(－x＋80)×30化简得W＝－x2＋110x－2400(60≤x≤70)，∴W＝. (2)由(1)知，当40≤x＜60时，W＝－2(x－50)2＋800，∵－2＜0，∴当x＝50时，W有最大值为800；当60≤x≤70时，W＝－(x－55)2＋625，∵－1＜0，∴当60≤x≤70时，W随x的增大而减小，∴当x＝60时，W有最大值为600.∵800＞600，∴当该产品的售价定为50元/件时，销售该产品的年利润最大，最大利润为800万元． (3)当40≤x＜60时，令W＝750，得：－2(x－50)2＋800＝750，解得x1＝45，x2＝55，由函数W＝－2(x－50)2＋800的性质可知，当45≤x≤55时，W≥750；当60≤x≤70时，W最大值为600＜750，∴要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的销售价x(元/件)的取值范围为45≤x≤55.
专题专练五 圆的相关证明与计算
命题解读 题型认知
命题类型：①圆的基本性质证明与计算；②圆与全等、相似知识综合题；③圆与三角函数等其他知识综合题.
命题内容：①考查多与圆周角定理、垂径定理及切线定理有关；②多与三角形全等、相似的判定与性质有关；③多与三角函数等有关.
在做此题型时，要观察题中已知条件并结合题的设问，联系全等、相似三角形的判定及切线的性质等解题．
类型一 圆的基本性质证明计算题
例1 如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM.
(1)求证：BM＝CM；
(2)当⊙O的半径为2时，求的长．
【解析】(1)要证BM＝CM，可通过等弧对等边的性质先证明＝，由M为的中点和圆内接正方形ABCD的性质即可证得＋＝＋，通过等量代换即可得证；(2)连接OM，OB，OC.由(1)得＝，即可得到∠BOM＝∠COM，由于∠BOC所对应的是圆内接正方形的一条边，由圆内接四边形的性质即可得到∠BOC的度数，即可得到所对的圆心角∠BOM的度数，知道圆心角和半径长即可得到的长度．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴＝，∵M为中点，∴＝，
∴＋＝＋，∴＝，∴BM＝CM.
(2)解：如解图，连接OM，OB，OC，∵＝，
∴∠BOM＝∠COM，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠BOC＝＝90°，
∴∠BOM＝(360°－90°)＝135°，
由弧长公式得，的长l＝＝π.
针对训练
1.如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)若∠PAC＝90°，AB＝2，求PD的长．
类型二 圆与全等、相似知识综合题
例2 已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED.若ED＝EC.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若AB＝4，BC＝2，求CD的长．
【解析】(1)先根据ED＝EC得出∠C＝∠CDE，再由圆内接四边形的性质得出∠B＝∠CDE，故有∠B＝∠C，由此可得出结论；(2)连接AE，根据等腰三角形的性质可得CE＝BC，由题意易证△ABC∽△EDC，可得对应线段成比例，即可求出线段CD的长．
(1)证明：∵ED＝EC，∴∠CDE＝∠C，又∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠EDA＝180°，
∵∠EDA＋∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠B，
∵∠CDE＝∠C，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.
(2)解：如解图，连接AE，则AE⊥BC，
由(1)知，AB＝AC，∴BE＝EC＝BC，
在△ABC与△EDC中，
∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B，
∴△ABC∽△EDC.∴＝，即DC＝＝＝，
由AB＝4，BC＝2，得DC＝＝.
针对训练
2.如图，OA，OD是⊙O半径，过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B.
(1)求证：直线CD是⊙O的切线；
(2)如果D点是BC的中点，⊙O的半径为3 cm，求的长度．(结果保留π)
3.如图，点D是等边三角形ABC的外接圆上一点，M是BD上一点，且满足DM＝DC，点E是AC与BD的交点．
(1)求证：CM∥AD；
(2)如果AD＝1，CM＝2.求线段BD的长及△BCE的面积．
4.如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线交于点E，且∠A＝∠EBC.
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG·BA＝48，FG＝，DF＝2BF；求AH的值．
5.如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA延长线上一点，点E在圆上且满足PE2＝PA·PC，连接CE，AE，OE，OE交CA于点D.
(1)求证：△PAE∽△PEC；
(2)求证：PE为⊙O的切线；
(3)若∠B＝30°，AP＝AC，求证：DO＝DP.
类型三 圆与三角函数等其他知识综合题
例3 如图，AB是⊙O的直径，D,E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE,DE,DF.
(1)证明：∠E＝∠C；
(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数；
(3)设DE交AB于点G，若DF＝4，cosB＝，E是的中点，求EG·ED的值．
【解析】(1)欲证∠E＝∠C，利用同弧所对的圆周角相等转化为证∠B＝∠C；连接AD，则AD⊥BC，利用“AD是BC的中垂线”得AB＝AC，从而∠B＝∠C得证．(2)因为所求∠BDF是△CDF的外角，所以问题转化为求∠C＋∠CFD；由(1)知∠C＝∠E＝55°，由圆内接四边形AEDF性质得，∠AFD＋∠E＝∠AFD＋∠CFD＝180°，得到∠CFD的度数进而求解．(3)连接OE.在Rt△ABD中，根据余弦公式求出AB＝6；通过判定△AEG∽△DEA，利用其性质可求EG·ED的值．
(1)证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C.
又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C.
(2)解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD＝180°－∠E.
又∵∠CFD＝180°－∠AFD，∴∠CFD＝∠E＝55°，
又∵∠E＝∠C＝55°，∴∠BDF＝∠C＋∠CFD＝110°.
(3)解：连接OE，∵∠CFD＝∠E＝∠C，∴FD＝CD＝BD＝4，
在Rt△ABD中，cosB＝，BD＝4，∴AB＝6，
∵E是的中点，AB是⊙O的直径，∴∠AOE＝90°，
∵AO＝OE＝AB＝3，∴AE＝＝3，
∵E是的中点，∴∠ADE＝∠EAB，∴△AEG∽△DEA，∴＝，
即EG·ED＝AE2＝18.
针对训练
6.如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD,AC分别交于点E,F，且∠ACB＝∠DCE.
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若tan∠ACB＝，BC＝2，求⊙O的半径．
7.如图①，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥AC.
(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如图②，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C＝75°，CD＝2－，求⊙O的半径和BF的长．
8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.
(1)求∠CDE的度数；
(2)求证：DF是⊙O的切线；
(3)若AC＝2DE，求tan∠ABD的值．
9.如图，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB＝∠DCO＝90°，O为AB的中点．
(1)求证：∠B＝∠ACD；
(2)已知点E在AB上，且BC2＝AB·BE.
(i)若tan∠ACD＝，BC＝10，求CE的长；
(ii)试判定CD与以A为圆心，AE为半径的⊙A的位置关系，并说明理由．
参考答案
1. (1)证明：由题意可得：∠BPC＝∠BAC，∠APC＝∠ABC，∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形． (2)解：∵∠PAC＝90°，∴PC是圆的直径，∴∠PBC＝90°，∴∠PBD＝90°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝2，∵∠CPB＝60°，∴PB＝＝2，∵∠APC＝60°，∴∠DPB＝180°－60°－60°＝60°，∴PD＝2PB＝4.
2. (1)证明：∵CA切⊙O于点A，∴∠CAO＝90°.∵OC平分∠AOD，∴∠AOC＝∠DOC，在△AOC和△DOC中，，∴△AOC≌△DOC(SAS)，∴∠CDO＝∠CAO＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．(2)解：由(1)知：OD⊥BC，又∵D是BC的中点，∴OD是BC的垂直平分线，∴OC＝OB，∴∠BOD＝∠DOC＝∠COA＝×180°＝60°，∴∠DOE＝60°，∴的长度为π×3＝π.
3. (1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠BDC＝∠BAC＝60°，∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠ADC＝120°，∵DM＝DC，∴△DMC是等边三角形，∴∠MCD＝60°，∴∠MCD＋∠ADC＝180°，∴CM∥AD. (2)解：∵BC＝AC，∠ADC＝∠BMC＝120°，∠CBM＝∠CAD，∴△ADC≌△BMC，∴AD＝MB＝1，∴BD＝BM＋MD＝AD＋CM＝1＋2＝3，∵CM∥AD，∴∠CAD＝∠ACM，∠ADE＝∠EMC，∴△ADE∽△CME，∴＝＝＝，∴S△ADE＝S△EMC，∵S△CMD＝××2＝，∴S△EMC＝S△CMD＝，S△EDC＝S△CDM＝，∴S△ADE＝S△EMC＝，∴S△ADC＝S△ADE＋S△DCE＝＋＝，∴S△BCE＝S△BMC＋S△MCE＝S△ADC＋S△CME＝＋＝.
4. 解：(1)连接DC，∵DB是⊙O的直径，∴∠DCB＝90°，∴∠D＋∠DBC＝90°，∵∠D＝∠A，∠EBC＝∠A.∴∠D＝∠EBC，∴∠EBC＋∠DBC＝90°，即∠DBE＝90°，∴BE是⊙O的切线． (2)∵CG∥EB，∴∠BCG＝∠EBC，∴∠A＝∠BCG，又∵∠CBG＝∠ABC，∴△ABC∽△CBG，∴＝，即BC2＝BG·AB＝48，∴BC＝4，∵CG∥EB，∴CF⊥BD，∴∠CFB＝∠DCB＝90°，又∵∠CBF＝∠DBC，∴Rt△BFC∽Rt△BCD，∴＝，∴BC2＝BF·BD＝48，又∵DF＝2BF，BD＝DF＋BF＝3BF，∴BF＝4，在Rt△BCF中，CF＝＝4，∴CG＝CF＋FG＝5，在Rt△BFG中，BG＝＝3，∵BA＝＝8，∴AG＝5，∴CG＝AG，∴∠A＝∠ACG＝∠BCG，∠CFH＝∠CFB＝90°，∴∠CHF＝∠CBF，∴CH＝CB＝4，∵∠ABC＝∠CBG，∠BCG＝∠A，∴△ABC∽△CBG，∴＝，∴AC＝＝4×＝，∴AH＝AC－CH＝－4＝.
5. (1)解：∵PE2＝PA·PC，∴＝，∵∠P＝∠P，∴△PAE∽△PEC. (2)证明：∵△PAE∽△PEC，∴∠PEA＝∠PCE，∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠OAE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OAE＋∠ECA＝90°，∴∠PEO＝∠PEA＋∠OEA＝∠PCE＋∠OAE＝90°，∵OE为⊙O半径，∴PE是⊙O的切线． (3)证明：过点O作OH⊥CP于点H，∵AB是⊙O的直径，∠B＝30°，∴BC＝＝＝AC，∵O是AB的中点，∴OH＝BC＝AC，∵PE2＝PA·PC，AP＝AC，∴PE2＝AC·(AC＋AC)＝AC·AC＝AC2，
∴PE＝AC，∴OH＝PE，∵∠OHA＝∠PED＝90°，∠HDO＝∠EDP，∴△HDO≌△EDP，∴DO＝DP.
6. 解：(1)直线CE与⊙O相切．证明如下：连接OE，∴∠OAE＝∠AEO，∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∠ACB＝∠DAC, 又∵∠ACB＝∠DCE，∴∠DAC＝∠AEO＝∠DCE，∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEO＋∠DEC＝90°，∴∠OEC＝90°，∵OE是⊙O的半径，∴直线CE与⊙O相切． (2)∵tan∠ACB＝＝，BC＝2，∴AB＝BC·tan∠ACB＝，∴AC＝＝，又∵∠ACB＝∠DCE，∴tan∠DCE＝，∴DE＝DC·tan∠DCE＝AB·tan∠DCE＝×＝1，在Rt△CDE中，CE＝＝，设⊙O的半径为r，在Rt△COE中，CO2＝OE2＋CE2，即(－r)2＝r2＋3，解得r＝.∴⊙O的半径为.
7. 解：(1)△ABC为等腰三角形，理由如下：如解图①，连接OE，在⊙O中，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠B，
图①
∵DE是⊙O的切线，∴∠OED＝90°，∵ED⊥AC，∴∠ADE＝90°＝∠OED，∴OE∥AC且BE＝CE＝BC，∴∠OEB＝∠C，∴∠B＝∠C，∴AC＝AB，∴△ABC为等腰三角形． (2)如图②，过点B作BH⊥DF，∵AC⊥DF，∴BH∥AC，∠EBH＝∠C，由(1)知∠CDE＝∠BHE＝90°，BE＝CE，∴△CDE≌△BHE(AAS)，∴CD＝BH＝2－，∵∠HBF＝180°－∠OBE－∠EBH＝180°－75°－75°＝30°，
图②
∴∠F＝90°－30°＝60°，在Rt△BFH中，∴BF＝＝，设OE＝x，在Rt△OEF中，sin60°＝＝，解得x＝2，故⊙O的半径为2，BF的长为.
8. (1)解：∵对角线AC为⊙O直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CDE＝90°. (2)证明：连接OD，∵AC为⊙O的直径，CE⊥AC，∴∠ADC＝∠CDE＝90°，∠ACF＝90°，又∵在Rt△CDE中，点F为斜边CE的中点，∴DF＝FC，∠CDF＝∠DCF，又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ODF＝∠ODC＋∠CDF＝∠OCD＋∠DCF＝∠ACE＝90°，∵OD为⊙O半径，∴DF是⊙O的切线． (3)解：由圆周角定理可得，∠ABD＝∠ACD，由题意知，∠ADC＝∠CDE＝90°，∠CAD＝∠ECD，∴△ADC∽△CDE，∴＝，∴CD2＝AD·DE，∵AC＝2DE，设DE＝a，AD＝b，∴AC＝2a，CD＝，在Rt△ACD中，由勾股定理可得：
AD2＋CD2＝AC2，即b2＋()2＝(2a)2，上式两边同时除以a2，整理后得到：()2＋－20＝0，解得＝4或＝－5(舍去)．∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝＝＝2.
9. (1)证明：∵点O为直角三角形斜边AB上的中点，∴OC＝OB，∴∠B＝∠BCO，∵∠ACB＝∠DCO＝90°，即∠ACO＋∠BCO＝∠ACO＋∠ACD＝90°，∴∠BCO＝∠ACD∴∠B＝∠ACD. (2)解：(i)∵BC2＝AB·BE，即＝，又∵∠B＝∠B，∴△BCA∽△BEC，∴∠BEC＝∠BCA＝90°，∵tan∠ACD＝，又由(1)知∠B＝∠ACD，∴tan∠B＝，即＝，设CE＝3x，EB＝4x，∵在Rt△BCE中，CE2＋EB2＝BC2，∴(3x)2＋(4x)2＝102，∴x＝2，∴CE＝3x＝6. (ii)CD与⊙A相切，理由如下：过A作AF⊥DC，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠BCE＝90°，∵∠BEC＝90°，∴∠B＋∠BCE＝90°，∴∠B＝∠ACE，又∵∠B＝∠ACD，∴∠ACE＝∠ACD.又∵AF⊥DC，AE⊥EC，∴AE＝AF，又∵AE为⊙O半径，F为CD上一点，∴CD与⊙A相切．
专题专练六 几何探究型问题
命题解读 题型认知
命题类型：①动点探究题；②平移、旋转、折叠探究题；③图形形状变化探究题.
命题考查内容：①多与特殊四边形的性质、三角形全等、相似的判定和性质有关；②涉及平移、旋转或折叠的相关性质；③多与二次函数的性质有关.
在做此类题型时，要观察题中已知条件，并结合题设，联系相关的知识解题，对结果猜想题根据前面问题大胆猜想，往往是解题的突破口．
类型一 动点探究题
例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN.
(1)若BM＝BN，求t的值；
(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；
(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．
解：(1)根据题意BM＝2t，BN＝BC－t，而BC＝5×tan60°＝5.
∴当BM＝BN时，2t＝5－t，解得t＝10－15.
(2)分类讨论：①当∠BMN＝∠ACB＝90°时，如图①，
△NBM∽△ABC，cosB＝cos30°＝，∴＝，解得t＝.
②当∠BNM＝∠ACB＝90°时，如图②，
△MBN∽△ABC，cosB＝cos30°＝，∴＝，解得t＝.
因此当运动时间是秒或秒时，△MBN与△ABC相似．
(3)由于△ABC面积是定值，∴当四边形ACNM面积最小时，△MBN面积最大，
而△MBN的面积是S＝BM×BN×sinB＝×2t×(5－t)×＝－t2＋t，
由于a＝－＜0，∴当t＝－＝时，△MBN面积最大，最大值是－×()2＋×＝，因此四边形ACNM面积最小值是×5×5－＝.
针对训练
1.已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连接CM.
(1)如图①，若点M在线段AB上，求证：AP⊥BN；AM＝AN.
(2)①如图②，在点P运动过程中，满足△PBC∽△PAM的点M在AB的延长线上时，AP⊥BN和AM＝AN是否成立(不需说明理由)?
②是否存在满足条件的点P，使得PC＝？请说明理由．
2.已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm.对角线AC，BD交于点O，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1 cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1 cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F.设运动时间为t(s)(0(1)当t为何值时，△AOP是等腰三角形？
(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2)，试确定S与t的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形OECQF∶S△ACD＝9∶16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
3.某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.
(1)观察猜想
如图①，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：____________．
②BC，CD，CF之间的数量关系为：____________(将结论直接写在横线上)．
(2)数学思考
如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
(3)拓展延伸
如图③，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE.若已知AB＝2，CD＝BC，请求出GE的长．
类型二 平移、旋转、折叠探究题
例2 如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，四边形ADEF是正方形，点B,C分别在边AD,AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．
(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时，如图②，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图③，延长DB交CF于点H.
①求证：BD⊥CF；
②当AB＝2，AD＝3时，求线段DH的长．
图① 图② 图③
(1)解：BD＝CF成立．理由如下：∵AC＝AB，∠CAF＝∠BAD＝θ，AF＝AD，
∴△ACF≌△ABD，∴CF＝BD.
(2)①证明：由(1)得，△ACF≌△ABD，∴∠HFN＝∠ADN，
在△HFN与△ADN中，
∵∠HFN＝∠ADN，∠HNF＝∠AND，∴∠NHF＝∠NAD＝90°，
∴HD⊥HF，即BD⊥CF.
②解：连接DF，延长AB，与DF交于点M，在△MAD中，
∵∠MAD＝∠MDA＝45°，∴∠BMD＝90°.在Rt△BMD与Rt△FHD中，
∵∠MDB＝∠HDF，∴△BMD∽△FHD.
∵AB＝2，AD＝3，四边形ADEF是正方形，∴MA＝MD＝＝3，
∴MB＝MA－AB＝3－2＝1，BD＝＝＝，
又∵＝，即＝，∴DH＝.
针对训练
4.(1)阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD)．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角
命题解读 题型认知
对于规律探究题型常常会有一定的通式或循环规律，解题时一般先列出前几项，找出规律或通式求解.1.常考类型：①数字规律探究；②数式规律探究；③图形规律探究；④坐标系中图形规律探究；⑤与函数图象相关的规律探究.2.考查形式与题型：一般都是给出一列数字或者图形，求其第n个数字、第n个式子或第n个图形或求末位数值；题型为选择、 填空.
类型一 数字规律探究
例1 观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，…，那么：71＋72＋73＋…＋72016的末位数字是( )
A. 9 B. 7 C. 6 D. 0
【解析】根据题意，7的幂次方最终结果的末位数字是7，9，3，1这样的循环，其和的末位数字是0，因为2016＝504×4，所以71＋72＋73＋…＋72016的末位数字是0.
【答案】D
针对训练
1.按一定规律排列的一列数：，1，1，，，，，…，请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为________．
2.观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，….试猜想，32016的个位数字是________．
类型二 数式规律探究
例2 “数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”．比如在化学中，甲烷的化学式是CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n(n为正整数)，则它们的化学式都可用下列哪个式子来表示( )
A. CnH2n＋2 B. CnH2n C. CnH2n－2 D. CnHn＋3
【解析】由H的下标可得第1个是4，第二个为6，第三个为8，所以第n个为2n＋2，由C的下标可得第1个是1，第二个是2，…，所以碳原子的数目为n时，化学式为CnH2n＋2.
【答案】A
针对训练
3.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角形数，它有一定的规律性．若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为x2，…，第n个三角形数记为xn，则xn＋xn＋1＝________．
4.观察下列等式：
第1个等式： a1＝＝－1，第2个等式：a2＝＝－，
第3个等式：a3＝＝2－，第4个等式：a4＝＝－2，
按上述规律，回答以下问题：
(1)请写出第n个等式：an＝________；
(2)a1＋a2＋a3＋…＋an＝________．
5.观察下列等式：
1＋2＋3＋4＋…＋n＝n(n＋1)；
1＋3＋6＋10＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)
1＋4＋10＋20＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3);
则有：1＋5＋15＋35＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝________．
类型三 图形规律探究
例3 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，依次类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是( )
A. 2015π B. 3019.5π C. 3018π D. 3024π
【解析】本题考查旋转规律探究和弧长公式．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，由勾股定理得：AC＝＝5，画出经过旋转六次后点A经过的路线，由题图可知经过第①次旋转，点A运动过的路程是以B为圆心，AB长为半径，圆心角为90°的；经过第②次旋转，点A运动过的路程是以AC长为半径，圆心角为90°的；经过第③次旋转，点A运动过的路程是以AD长为半径，圆心角为90°的；第④次旋转，点A在直线上不变化；经过第⑤次旋转，点A运动过的路程与第①次旋转运动过的路程一致. 故点A每经过四次旋转后，重复前四次旋转的路程．∵2015÷4＝503……3，∴点A经过的路程正好是503个前四次运动的路程和再加上一个前三次运动的路程和，即一共是504个前三次运动的路程和．由弧长公式得的长为πAB＝2π，的长为πAC＝π；的长为πAD＝π，∴经过2015次旋转后，点A经过的路程为504×(2π＋π＋π)＝3024π.
【答案】D
针对训练
6.如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为( )
A. ()6 B. ()7 C. ()6 D. ()7
7.将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n＝________．
8.如图，△ABC的面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2016，最少经过________次操作．
9.如图，∠MON＝60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点Bn到ON的距离是________．
类型四 坐标中的图形规律探究
例4 如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为( )
A. (1，－1) B. (－1，－1) C. (，0) D. (0，－)
【解析】∵菱形OABC的顶点O(0，0)，点B的坐标是(2，2)，∴BO与x轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D 是线段OB的中点，∴点D 的坐标是(1，1)，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时菱形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．
【答案】B
针对训练
10.如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列．如：P1(0，0)，P2(0，1)，P3(1，1)，P4(1，－1)，P5(－1，－1)，P6(－1，2)…，根据这个规律，点P2016的坐标为________．
11.如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，依次类推…，则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是________．
12.如图，点A1的坐标为(1，0)，A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O＝30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6，…，按此规律进行下去，则点A2016的纵坐标为____________．
13.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2，OC＝1.在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，依此规律，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为________．
14.如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9，…，都是等边三角形，且点A1，A3，A5，A7，A9的坐标分别为A1(3，0)，A3(1，0)，A5(4，0)，A7(0，0)，A9(5，0)，依据图形所反映的规律，则A100的坐标为________．
类型五 与函数图象相关的规律探究
例5 如图，在坐标轴上取点A1(2，0)，作x轴的垂线与直线y＝2x交于点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线与直线y＝2x交于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到An(n为正整数)点时，则An的坐标是________．
【解析】∵A1(2，0)＝(2×30，0)，且A1B1⊥x轴，与直线y＝2x交于点B1，∴B1(2，4)，∵作等腰直角三角形△A1B1A2是等腰直角三角形，∴A2(6，0)＝(2×31，0)，∵A2B2⊥x轴，且与直线y＝2x交于点B2，∴B2(6，12)，∴A3(18，0)＝(2×32，0)，如此反复作等腰直角三角形，An(2×3n－1，0)．
【答案】 (2×3n－1，0)
针对训练
15.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线y＝x上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝x上，依次进行下去…. 若点A的坐标是(0，1)，点B的坐标是(，1)，则点A8的横坐标是________．
参考答案
1. 1 【解析】将原来的一列数变形为，，，□，，，，…通过观察可以得出分子依次为从小到大排列的连续奇数，分母是依次从小到大排列的质数，故方框内填，故答案为1.
2. 1 【解析】从前几个3的幂次方结果来看，它的个位数字依次是3，9，7，1，第5个数跟第一个数的个位数字相同，于是3的整数次幂是每四个数一个循环，2016÷4＝504，于是32016的个位数字与34的个位数字相同，即为1.
3. (n＋1)2或n2＋2n＋1 【解析】∵x1＋x2＝1＋3＝4＝22，x2＋x3＝3＋6＝9＝32，x3＋x4＝6＋10＝16＝42，x4＋x5＝10＋15＝25＝52，x5＋x6＝15＋21＝36＝62，∴xn＋xn＋1＝(n＋1)2＝n2＋2n＋1.
4. ＝－；－1 【解析】a1＝＝－1，a2＝＝－，a3＝＝－，…，an＝＝－，将上面n个式子左右相加得：a1＋a2＋a3＋…＋an＝－1.
5. n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4) 【解析】观察所给等式可以发现，第一个等式的右边系数为＝1×，因式为n(n＋1)；第二个等式的右边系数为＝×，因式为n(n＋1)(n＋2)；第三个等式的右边系数为＝×，因式为n(n＋1)(n＋2)(n＋3)，所以第四个等式的右边系数为×＝，因式为n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)，结果为n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)．
6. A 【解析】由题意得：S1＝22＝()－2，S2＝()2＝()－1，S3＝(1)2＝()0，S4＝()2＝()1，…，S9＝()9－3＝()6.故选A.
7. 16 【解析】根据题意得：第1个图形中小圆的个数为5，第2个图形中小圆的个数为7，第3个图形中小圆的个数为11，得出第n个图形中小圆的个数为n(n－1)＋5.据此可以求出“龟图”中有245个“○”时n的值．方法①：第1个图形有：5个○，第2个图形有：2×(2－1)＋5＝7个○，第3个图形有：3×(3－1)＋5＝11个○，第4个图形有：4×(4－1)＋5＝17个○，…，据此得出：第n个图形有：n(n－1)＋5个○，则可得方程n(n－1)＋5＝245，解得n1＝16，n2＝－15(不合题意，舍去)．故答案为：16.方法②：设y＝an2＋bn＋c，根据题意得，解得，∴y＝n2－n＋5.当y＝245时，可得：n2－n＋5＝245.
8. 四 【解析】△ABC与△A1BB1的底相等(AB＝A1B)，高为1∶2(BB1＝2BC)，故面积比为1∶2，∵S△ABC＝1，∴S△A1BB1＝2.同理可得，S△C1B1C＝2，S△AA1C1＝2，∴S△A1B1C1＝S△C1B1C＋S△AA1C1＋S△A1B1B＋S△ABC＝2＋2＋2＋1＝7，同理可证：S△A2B2C2＝7S△A1B1C1＝49，第三次操作后的面积为7×49＝343，第四次操作后的面积为7×343＝2401.故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2016，最少经过四次操作．
9. 3n－1 【解析】由题可知，∠MON＝60°，不妨设Bn到ON的距离为hn，∵正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，则A1B1＝1，易知△A1OF1为等边三角形，∴A1B1＝OA1＝1，∴OB1＝2，则h1＝2×＝，又OA2＝A2F2＝A2B2＝3，∴OB2＝6，则h2＝6×＝3，同理可求：OB3＝18，则h3＝18×＝9，…，依此可求：OBn＝2×3n－1，则hn＝2×3n－1×＝3n－1，∴Bn到ON的距离hn＝3n－1.
10. (504，－504) 【解析】由图象可知，P1，P4，P8，P12，…，在同一条直线y＝－x(x≥0)上，可观察到当n为4的倍数时，Pn的坐标为(，－)，∴点P2016的坐标为(，－)，即(504，－504)．
11. (21008，0) 【解析】点B的位置依次落在第一象限、y轴正半轴、第二象限、x轴负半轴、第三象限、y轴负半轴、第四象限、x轴正半轴，…，每8次一循环.2016÷8＝252，所以点B2016落在x轴正半轴，故B2016的纵坐标是0；OBn是正方形的对角线，OB1＝，OB2＝2＝()2，OB3＝2＝()3，…，所以OB2016＝()2016＝21008，所以点B2016的坐标为(21008，0)．
12. －31007 【解析】∵A1(1，0)，∠A1A2O＝30°，∴A2(0，)，∵A3A2⊥A1A2 ，∴∠A3A2O＝60°，∴∠A2A3O＝30°， ∴A3(－3，0)，同理：A4(0，－3)，A5(9，0)，A6(0，9)，A7(－27，0)，A8(0，－27)，…，即：A2(0，)，A4(0，－3)，A6(0，9)，A8(0，－27)，列表如下：
A2
×(－3)0
…
(2－2)÷2＝0
A4
×(－3)1
…
(4－2)÷2＝1
A6
×(－3)2
…
(6－2)÷2＝2
A8
×(－3)3
…
(8－2)÷2＝3
A2016
×(－3)n
…
(2016－2)÷2＝n
∴n＝1007，∴A2016的纵坐标是－31007.
13. (－，) 【解析】在矩形OABC中，OA＝2，OC＝1，∴A(－2，0)，C(0，1)，∴对角线的交点为(－1，)，将矩形OABC以原点O为位似中心，放大为原来的倍，∴矩形A1OC1B1对角线的交点为(－，)，即(－，×)，继续放大为原来的倍，∴矩形A2OC2B2对角线的交点为(－，)，即(－，×)，…，依次类推，∴矩形AnOCnBn对角线的交点为(－，)．
14. (，－) 【解析】继续排列图形如下，观察发现，A1、A5、A9、…、A4n－3在点(2，0)的右侧，A3、A7、A11、…、A4n－1在点(2，0)的左侧，A2、A6、A10、…、A4n－2在第一象限，A4、A8、A12、…、A4n在第四象限，∴A100在第四象限，进一步观察发现：①A4、A8、A12、A4n的横坐标都为，②A4n所在等边三角形边长为2n＋1，可求得A100所在等边三角形边长为2×25＋1＝51，进一步可求点A100的纵坐标为－(×51)＝－，从而解得A100的坐标为(，－)．
15. 6＋6 【解析】由A点的坐标得OA＝1，由B点的坐标得OB＝2，则AB＝，由图象得直线OB与x轴的正方向的夹角为30°，于是A1的横坐标为：OA1·cos30°＝(2＋)×；A2的横坐标为：OO2·cos30°＝(2＋＋1)×；A3的横坐标为：OA3·cos30°＝(2＋＋1＋2＋)×；A4的横坐标为：(2＋＋1＋2＋＋1)×；…，于是A8的横坐标为：(2＋＋1＋2＋＋1＋2＋＋1＋2＋＋1)×＝6＋6.
专题专练二 新定义及阅读理解型问题
命题解读 题型认知
考查题型：①新定义计算型；②阅读理解型；③新定义与阅读理解结合题. 2.考查内容：①新定义下的实数运算；②涉及“新定义”的阅读理解及材料分析；③与函数、多边形、圆结合，通过材料或定义进行相关证明或计算.3.在做此类题型时，首先要理解新定义的运算方式，提升从材料阅读中提取信息的能力，结合已知条件中的推理方法，学以致用，便可得以解决．
例1 设a，b是实数，定义关于@的一种运算如下：a@b＝(a＋b)2－(a－b)2，则下列结论：( )
①若a@b＝0，则a＝0或b＝0；
②a@(b＋c)＝a@b＋a@c；
③不存在实数a，b，满足a@b＝a2＋5b2;
④设a，b是矩形的长和宽，若该矩形的周长固定，则当a＝b时，a@b的值最大．
其中正确的是( )
A. ②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③
【解析】∵a@b＝(a＋b)2－(a－b)2，若a@b＝0，则(a＋b)2－(a－b)2＝0，∴(a＋b)2＝(a－b)2, ∴a＋b＝±(a－b)，∴a＝0或b＝0，∴①正确；∵a@b＝(a＋b)2－(a－b)2，∴a@(b＋c)＝[a＋(b＋c)]2－[a－(b＋c)]2＝[a＋(b＋c)＋a－(b＋c)][a＋(b＋c)－(a－b－c)]＝4ab＋4ac，∵a@b＋a@c＝(a＋b)2－(a－b)2＋(a＋c)2－(a－c)2＝a2＋2ab＋b2－a2＋2ab－b2＋a2＋2ac＋c2－ a2＋2ac－c2＝4ab＋4ac，∴a@(b＋c)＝a@b＋a@c，∴②正确；∵a@b＝(a＋b)2－(a－b)2＝ a2＋2ab＋b2－a2＋2ab－b2＝4ab，当a＝b＝0时，满足a@b＝a2＋5b2，∴③错误；若矩形的周长固定，设为2c，则2c＝2a＋2b，b＝c－a，a@b＝(a＋b)2－(a－b)2＝4ab＝4a(c－a)＝－4(a－c)2＋c2，∴当a＝c时，4ab有最大值是c2，即a＝b时，a@b的值最大，∴④正确．综上，正确结论有①②④.
【答案】C
例2 对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝，例如：因为4>2，所以4*2＝42－4×2＝8，则(－3)*(－2)＝________．
【解析】根据新定义，当a
针对训练
1. 对于实数a，b，定义一种新运算“?”为：a?b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1?3＝＝－，则方程x?(－2)＝－1的解是( )
A. x＝4 B. x＝5 C. x＝6 D. x＝7
2. 对于实数a,b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b；如max{4，－2}＝4，max{3，3}＝3.若关于x的函数为y＝max{x＋3，－x＋1}，则该函数的最小值是( )
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
3. 我们根据指数运算，得出了一种新的运算，下表是两种运算对应关系的一组实例：
指数
运算
21＝2
22＝4
23＝8
…
31＝3
32＝9
33＝27
…
新运算
log22＝1
log24＝2
log28＝3
…
log33＝1
log39＝2
log327＝3
…
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216＝4，②log525＝5，③log2＝－1.其中正确的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
4.规定：logab(a>0，a≠1，b>0)表示a，b之间的一种运算．
现有如下的运算法则：logaan＝n，logNM＝(a>0，a≠1，N>0，N≠1，M>0)，
例如：log223＝3，log25＝，则log1001000＝________．
5.实数a，n，m，b满足a
(1)已知m?＝(2，4)，n?＝(2，－3)，求m?·n?；
(2)已知m?＝(x－a，1)，n?＝(x－a，x＋1)，求y＝m?·n?，问y＝m?·n?的函数图象与一次函数y＝x－1的图象是否相交，请说明理由．
7.请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德(Archimedes，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al－Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al－Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图①，AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB＋BD.下面是运用“截长法”证明CD＝AB＋BD的部分证明过程．
证明：如图②，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG.
∵M是的中点，
∴MA＝MC.
…
图① 图②
任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)填空：如图③，已知等边△ABC内接于⊙O，AB＝2，D为上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是________．
图③
8.如果三角形三边的长a、b、c满足＝b，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．
(1)如图①，已知两条线段的长分别为a、c(a
9.我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q(p，q是正整数，且p≤q)，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F(n)＝.例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1>6－2>4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝.
(1)如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝1；
(2)如果一个两位正整数t，t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，x，y是自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”．求所有“吉祥数”中F(t)的最大值．
10.已知点P(x0，y0)和直线y＝kx＋b，则点P到直线y＝kx＋b的距离d可用公式d＝计算．
例如：求点P(－1，2)到直线y＝3x＋7的距离．
解：因为直线y＝3x＋7，其中k＝3，b＝7，
所以点P(－1，2)到直线y＝3x＋7的距离为d＝＝＝＝.
根据以上材料，解答下列问题：
(1)求点P(1，－1)到直线y＝x－1的距离；
(2)已知⊙Q的圆心Q坐标为(0，5)，半径r为2，判断⊙Q与直线y＝x＋9的位置关系并说明理由；
(3)已知直线y＝－2x＋4与y＝－2x－6平行，求这两条直线之间的距离．
参考答案
1. B 【解析】根据题意a?b＝，则 x?(－2)＝＝，又∵x?(－2)＝－1，∴＝－1，解得x＝5，经检验x＝5是原方程的根，∴原方程x?(－2)＝－1的解是x＝5.
2. B 【解析】当x＋3≥－x＋1时，max{x＋3，－x＋1}＝x＋3，此时x≥－1，∴y≥2；当x＋3＜－x＋1时，max{x＋3，－x＋1}＝－x＋1，此时x＜－1，∴y＞2.综上y的最小值为2.
3. B 【解析】①∵24＝16，∴log216＝4，故①正确；②∵52＝25，∴log525＝2，故②不正确；③∵2－1＝，∴log2＝－1，故③正确．
4. 【解析】根据新运算法则，得log1001000＝＝＝.
5. 2－4 【解析】设AN＝y，MN＝x，由题意可知：AM2＝BM·AB，∴(x＋y)2＝2(2－x－y)，解得x＋y＝－1(取正)，又BN2＝AN·AB，∴(2－y)2＝2y，解得y＝3－(y＜2)，∴m－n＝MN＝x＝－1－(3－)＝2－4，故填2－4.
6. 解：(1)m?·n?＝2×2＋4×(－3)＝－8. (2)不相交．理由如下：m?·n? ＝(x－a)2＋(x＋1)＝x2－(2a－1)x＋a2＋1，∴y＝x2－(2a－1)x＋a2＋1，联立方程：x2－(2a－1)x＋a2＋1＝x－1，化简得：x2－2ax＋a2＋2＝0，∵b2－4ac＝(－2a)2－4(a2＋2)＝－8<0，∴方程无实数解，两函数图象无交点．
7. 解：(1)∵∠A＝∠C，CG＝AB.∴△MBA≌△MGC(SAS)，∴MB＝MG.又∵MD⊥BC，∴BD＝GD，∴CD＝CG＋GD＝AB＋BD. (2)2＋2.【解法提示】折线BDC为⊙O的一条折弦，由题意知A为中点，由材料中折弦定理易得BE＝DE＋CD，在Rt△ABE中可得BE＝，所以△BCD周长为BC＋CD＋DE＋BE＝2＋2.
8. 解：(1)作图如解图①.
图①
【作法提示】如解图所示，作线段AB＝c，延长AB至点C，使BC＝a，作线段AC的中垂线交AC于点E，根据定义可知b＝，则b＝，所以b＝AE，以B为圆心，AE长为半径画弧，以A为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD、BD，则△ABD即为所作“匀称三角形”. (2)△AEF是“匀称三角形”．理由如下：如解图②，
图②
连接AD,OD，∵AB是⊙O直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴D是BC中点，∵O是AB中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC.∵DF切⊙O于D点，∴OD⊥DF，∴EF⊥AF，过点B作BG⊥EF于点G，易证Rt△BDG≌Rt△CDF(AAS)，∴BG＝CF，∵＝，∴＝，∵BG∥AF(或Rt△BEG∽Rt△AEF)，
∴＝＝.在Rt△AEF中，设AE＝5k，则AF＝3k，由勾股定理得，EF＝4k，∴＝＝4k＝EF，∴△AEF是“匀称三角形”．
9. (1)证明：∵m是一个完全平方数，∴m＝p×q，当p＝q时，p×q就是m的最佳分解，∴F(m)＝＝＝1. (2)解：由题意得，(10y＋x)－(10x＋y)＝18，得y＝x＋2(y≤9)，∴t＝10x＋y＝10x＋x＋2＝11x＋2(1≤x≤7)，
则所有的“吉祥数”为：13，24，35，46，57，68，79共7个，∵13＝1×13，24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，35＝1×35＝5×7，46＝1×46＝2×23，57＝1×57，68＝1×68＝2×34＝4×17，79＝1×79，∴F(13)＝，F(24)＝＝，F(35)＝，F(46)＝，F(57)＝，F(68)＝，F(79)＝，∴“吉祥数”中F(t)的最大值为：F(35)＝.
10. 解：(1)∵直线y＝x－1，其中k＝1，b＝－1，∴点P(1，－1)到直线y＝x－1的距离为：d＝＝＝＝. (2)相切．理由如下：∵直线y＝x＋9，其中k＝，b＝9，∴圆心Q(0，5)到直线y＝x＋9的距离为d＝＝＝＝2，又∵⊙Q的半径r为2，∴⊙Q与直线y＝x＋9的位置关系为相切． (3)在直线y＝－2x＋4上任意取一点P，当x＝0时，y＝4，∴P(0，4)，∵直线y＝－2x－6，其中k＝－2，b＝－6，∴点P(0，4)到直线y＝－2x－6的距离为d＝＝＝＝2，∴这两条直线之间的距离为2.
专题专练三 二次函数综合题
命题解读 题型认知
命题类型：①二次函数与线段和差问题；②二次函数与图形面积问题；③二次函数与特殊三角形判定问题；④二次函数与特殊四边形判定问题；⑤二次函数与三角形相似、全等问题；
命题内容：①中考查多与找点关于直线的对称点，再根据两点之间线段最短确定所求点有关；②中考查多与割补法求面积有关；③中考查多与特殊三角形的性质有关，直角三角形通常用到勾股定理计算，直角三角形与等腰三角形在判定时均应考虑分类讨论，以免漏解；④中考查多与特殊四边形的判定及性质有关，同样做题时要考虑各种情况，命题时常与分类讨论思想结合；⑤中考查多与三角形相似或全等的判定及性质有关.
类型一 二次函数与线段和差问题
例1 如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(10，8)，沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC 上的E处，E点坐标为(6，8)，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O，A，E三点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求AD的长；
(3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，B(10，8)，
∴A(10，0)，∵E(6，8)，O(0，0)，
抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(10，0),E(6，8)和O(0，0)，
∴，解得，
∴抛物线的解析式y＝－x2＋x.
(2)由题意可知：AD＝ED，BE＝|10－6|＝4，AB＝8，
设AD为x，则ED＝x，BD＝AB－AD＝8－x，
在Rt△BDE中，
ED2＝EB2＋BD2，
即x2＝42＋(8－x)2，
解得x＝5，
即AD＝5.
(3)由(2)可知，D点的坐标是(10，5)，
∴△PAD的周长l＝PA＋PD＋AD＝PA＋PD＋5，
∵抛物线的对称轴是线段OA的垂直平分线，点P是抛物线对称轴上的一动点，
∴PO＝PA，
因此，l＝PA＋PD＋5＝PO＋PD＋5，
∴当PO＋PD最小时l最小，
∴当点P移动到直线OD与抛物线对称轴的交点处时PO＋PD最小，
设直线OD的解析式为y＝kx，将D点的坐标(10，5)代入得：
5＝10 k，求得k＝，
∴直线OD的解析式为y＝x，
当x＝5时，y＝，
∴P点的坐标是(5，)．
针对训练
1.如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象交x轴于另一点B.
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；
(3)若点H为二次函数y＝ax2＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．
温馨提示：在直角坐标系中，若点P，Q的坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，当PQ平行x轴时，线段PQ的长度可由公式PQ＝|x1－x2|求出；当PQ平行y轴时，线段PQ的长度可由公式PQ＝|y1－y2|求出．
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称．
(1)填空，点B的坐标是________；
(2)过点B的直线y＝kx＋b(其中k＜0)与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB＝PC.求线段PB的长(用含k的式子表示)，并判断点P是否在抛物线上，说明理由；
(3)在(2)的条件下，若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标．
类型二 二次函数与图形面积问题
例2 如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．
(1)求a，b的值；
(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2
∴解得
(2)如解图①，过点A作x轴的垂线，垂足为点D(2，0)，连接CD，过点C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为点E，点F，设点C(x，－x2＋3x)，则
S△OAD＝OD·AD＝×2×4＝4，
S△ACD＝AD·CE＝×4×(x－2)＝2x－4，
S△BCD＝BD·CF＝×4×(－x2＋3x)＝－x2＋6x，
则S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋(2x－4)＋(－x2＋6x)＝－x2＋8x.
∴S关于x的函数表达式为S＝－x2＋8x(2
∴当x＝4时，四边形OACB的面积S取最大值，最大值为16.
针对训练
3.已知抛物线y＝ax2＋bx－3经过(－1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．
(1)写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；
(2)当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；
(3)是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x与二次函数y＝x2＋bx的图象相交于O、A两点，点A(3，3)，点M为抛物线的顶点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)长度为2的线段PQ在线段OA(不包括端点)上滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1，求四边形PQQ1P1面积的最大值；
(3)直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足S△AOF＝S△AOM？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
类型三 二次函数与特殊三角形判定问题
例3 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.
(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；
(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；
(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
解：(1)依题意，得解得
∴抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3.
∵对称轴为x＝－1，抛物线经过A(1，0)，∴B(－3，0)．
把B(－3，0)，C(0，3)分别代入y＝mx＋n得，
解得∴直线BC的解析式为y＝x＋3.
(2)如解图，设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，连接AM，∵MA＝MB，
∴MA＋MC＝MB＋MC＝BC.∴使MA＋MC最小的点M应为直线BC与对称轴x＝－1的交点．
把x＝－1代入直线y＝x＋3，得y＝2.∴点M(－1，2)．
(3)设P(－1，t)，结合B(－3，0)，C(0，3)，得BC2＝18，
PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.
①若B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，
即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；
②若C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，
即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；
③若P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，
即4＋t2＋t2－6t＋10＝18.解得t1＝，t2＝.
综上所述，满足条件的点P共有四个，分别为：P1(－1，－2)，P2(－1，4)，P3(－1，)，P4(－1，)．
针对训练
5.如图，抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)的顶点为E，该抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，且BO＝OC＝3AO，直线y＝－x＋1与y轴交于点D.
(1)求抛物线的解析式；
(2)证明：△DBO∽△EBC；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
6.如图，抛物线L：y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B(3，0)两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C(0，3)，已知对称轴x＝1.
(1)求抛物线L的解析式；
(2)将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内(包括△OBC的边界)，求h的取值范围；
(3)设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x＝－3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．
图(1) 图(2)
类型四 二次函数与特殊四边形判定问题
例4 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD.
(1)求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
(2)点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．
解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两点，
图①
∴解得
∴经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)如解图①，连接PC，PE.
对称轴x＝－＝－＝1，
当x＝1时，y＝－1＋2＋3＝4，∴点D的坐标为(1，4)，
设直线BD的解析式为：y＝mx＋n，
将B(3，0),D(1，4)分别代入表达式，解得则直线BD的解析式为y＝－2x＋6，设P的坐标为(x0，－2x0＋6)，
∴由勾股定理可得PC2＝x＋[3－(－2x0＋6)]2，
PE2＝(x0－1)2＋(－2x0＋6)2，
∵PC＝PE，
∴x＋(3＋2x0－6)2＝(x0－1)2＋(－2x0＋6)2，
解得x0＝2，y0＝－2×2＋6＝2，
∴P的坐标为(2，2)．
(3)依题意可设M的坐标为(a，0)，则G坐标为(a，－a2＋2a＋3)．
图②
如图②，以F,M,N,G为顶点的四边形是正方形时，必有FM＝MG，
∴|2－a|＝|－a2＋2a＋3|，① 2－a＝－(－a2＋2a＋3)，解得a＝，
② 2－a＝－a2＋2a＋3，解得a＝，
∴M点的坐标为(，0)，(，0)，(，0)，(，0)．
针对训练
7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(－1，0)、B(0，－)、C(2，0)，其对称轴与x轴交于点D.
(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；
(2)若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB＋PD的最小值为________；
(3)M(s，t)为抛物线对称轴上的一个动点．
①若平面内存在点N，使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有________个；
②连接MA,MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．
8.如图，抛物线与x轴交于点A(－5，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C(0，5)．有一宽度为1，长度足够的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N，交x轴于点E和F.
(1)求抛物线解析式．
(2)当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF＝，求点Q的坐标．
(3)在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．
类型五 二次函数与三角形相似、全等问题
例5 如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y＝x－2交于B，C两点．
(1) 求抛物线的解析式及点C的坐标；
(2) 求证：△ABC是直角三角形；
(3) 若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】 (1)已知抛物线的顶点坐标，利用顶点式代入抛物线上的点O，求出抛物线解析式，再与直线解析式联立得方程组，即可求得点C的坐标． (2)要证明△ABC是直角三角形，分别计算三角形各边的长度，利用勾股定理的逆定理即可判断．(3)要求是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，由题知，N点在x轴上，M点在抛物线上，可设出N点坐标，得到由未知数x表示的M点坐标，由(2)知△ABC的边长，利用三角形相似，列出比例关系式求得N点坐标．由于N点的位置不定，需进行分类讨论．
解： (1)由题可知，抛物线的顶点为A(1，1)，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋1(a≠0)，
∵抛物线经过原点O(0，0)，∴将O(0，0)代入，得0＝a(0－1)2＋1，解得a＝－1，
∴抛物线解析式为y＝－(x－1)2＋1＝－x2＋2x.
∵直线y＝x－2与抛物线交于B、C两点，
联立得，
解得或，
∴B(2，0)，C(－1，－3).
(2)证明：由(1)知，A(1，1)，B(2，0)，C(－1，－3)，
图①
如图①，由两点距离公式，则AF＝2，CF＝4，CD＝3，BD＝3，BE＝1，AE＝1，
在Rt△ABE中，AB＝＝，
在Rt△BCD中，BC＝＝3，
在Rt△ACF中，AC＝＝2，
在△ABC中，AB2＋BC2＝()2＋(3)2＝20，
AC2＝(2)2＝20，
∴AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC为直角三角形.
(3)解：存在．
设N(x，0)，则M(x，－x2＋2x)，
由(2)知，AB＝，BC＝3，
分两种情况讨论：
①若点N在点B右侧，即x＞2，x与－x2＋2x异号，如图②，△ONM与△ABC相似，则＝ 或＝，即＝ 或＝，
解两方程可得x的值为x1＝，x2＝5，x3＝0(舍去)．∴N的坐标为(，0)或(5，0)；
图② 图③
②若点N在点B左侧，即x＜2，x与－x2＋2x同号，如解图③，△ONM与△ABC相似，则＝ 或 ＝，即＝ 或 ＝，
解两方程可得x的值为x1＝，x2＝－1，x3＝0(舍去)，∴N的坐标为(，0)或(－1，0)．
综上所述，存在满足条件的点N的坐标为(，0)或(5，0)或(，0)或(－1，0)．
【点拨】本题第(3)问难点在于确定N点的位置，需进行分类讨论：①点N在点B右侧；②点N在点B左侧；且相似边不确定，需根据三角形相似列出比例关系式，联系第(2)问所求得边的关系即可求得点N的坐标．
针对训练
9.如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过△ABC的三个顶点，其中点A(0，1)，点B(－9，10)，AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标； 若不存在，请说明理由．
10.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．
(1)求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
(2)试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m)，直线PB与直线l交于点Q.试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．
参考答案
1. 解：(1)∵直线y＝5x＋5与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴A(－1，0)，C(0，5)．∵抛物线y＝ax2＋4x＋c过点A(－1，0)，C(0，5)，则解得c＝5，a＝－1，∴二次函数的表达式为y＝－x2＋4x＋5.
图① 图②
(2)如图①，∵抛物线y＝－x2＋4x＋5与x轴交于A，B两点，∴解－x2＋4x＋5＝0的两根为x1＝－1，x2＝5.∵点B在x轴正半轴，∴B(5，0)．设过B(5，0), C(0，5)的直线BC解析式为y＝kx＋b，则
解得k＝－1，b＝5，∴直线BC表达式为y＝－x＋5.∵DN⊥x轴，∴DN∥y轴．∵点N在BC上，点D在抛物线上，设N(x，y1)，D(x，y2)，∴N(x，－x＋5)，D(x，－x2＋4x＋5)．∴DN＝－x2＋4x＋5－(－x＋5)＝－x2＋5x＝－(x－)2＋.当x＝时，DN有最大值； (3)如图②，作点H关于y轴的对称点H′，点M关于x轴的对称点M′，连接H′M′，分别交x轴，y轴于点F,E，则四边形HEFM的最小周长为HM＋HE＋EF＋FM＝HM＋H′M′.∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，∴H(2，9)，∴H′(－2，9)，当x＝4时，y＝5，∴M(4，5)，∴M′(4，－5)．设直线H′M′的解析式为y＝k′x＋b′，则解得,∴直线H′M′的解析式为y＝－x＋.当y＝0时，x＝，∴F(，0)；当x＝0时，y＝，∴E(0，)．
2. 解：(1)由y＝x2＋得：A(0，)∵B,O关于A对称，∴B(0，)(2)如图①，∵直线BC过点B(0，)，
图① 图②
∴直线BC解析式为y＝kx＋.∴C(－，0)，又∵P是直线l上一点，∴可设P(－，a)．过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接PB，则在Rt△PNB中，由勾股定理得：PB2＝PN2＋NB2，∵PB＝PC＝a，∴a2＝(－)2＋(a－)2，解得a＝＋，∴P点坐标为(－，＋)，当x＝－时，y＝＋，∴点P在抛物线上．
(3)如图②，由C′在y轴上，可知∠CBP＝∠C′BP，∵PB＝PC，∴∠CBP＝∠PCB，∵PC∥C′B，∴∠PCB＝∠ABC，∴∠C′BP＝∠CBP＝∠ABC＝60°，∴△PBC为等边三角形，∵OB＝，∴BC＝1，OC＝，∴PC＝1，∴P(，1)．
3. 解：(1)令x＝0，得y＝ax2＋bx－3＝－3，∴C(0，－3)，把(－1，0)和(3，0)代入y＝ax2＋bx－3中，得
解得,∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3. (2)联立方程组，解得，，∵O是AB的中点，∴x1＋x2＝0，即＋＝0，解得k＝－2，∴， ，∴A(－，2)，B(，－2)． (3)不存在实数k使得△ABC的面积为.理由如下：假设存在实数k使得△ABC的面积为，联立方程组，解得，，则A(，)，B(，)，∴S△ABC＝OC(xB－xA)＝，∴3×＝3，∴k2＋4k＋16＝10，即k2＋4k＋6＝0，∵b2－4ac＝16－24<0，∴此方程无解，故不存在实数k使得△ABC的面积为.
4. 解：(1)由题意知，A(3，3)在二次函数y＝x2＋bx图象上，将x＝3，y＝3代入得9＋3b＝3，解得b＝－2，
∴二次函数表达式为y＝x2－2x. (2)如图①所示，过点P作PB⊥QQ1于点B，
图①
∵PQ＝2，且在直线y＝x上，∴PB＝QB＝2 ，设P(a，a)，则Q(a＋2，a＋2)，则P1(a，a2－2a)，Q1(a＋2，(a＋2)2－2(a＋2))，即Q1(a＋2，a2＋2a)，所以四边形PQQ1P1的面积为：S＝2×＝－2a2＋2a＋2＝－2(a－)2＋，当Q运动到点A时，OP＝OQ－PQ＝，a＝1.∴a的取值范围为0＜a＜1.∴当a＝时，四边形PQQ1P1的面积最大，最大值为. (3)存在，点E的坐标为E1(，)，E2(，)，如图②所示，连接OM，∵点M为抛物线顶点，∴M(1，－1)，又∵OA所在直线为y＝x，∴OM⊥OA，即∠AOM＝90°，在△AOF和△AOM中，以OA为底，当面积相等时，则两三角形OA边上的高相等，又∵OM⊥OA，且OM＝，∴可作两条与OA互相平行且距离为的直线，
如图②所示，在直线HD、MC上的点F均满足S△AOF＝S△AOM，∴只需满足E点的对称点F在这两条直线上即可，如图②，过点A作AC⊥MC于点C，易求四边形OACM为矩形，AM为该矩形的一条对角线，取AM中点O′，过O′作AM垂线，交OA于点E1，交MC于点F1，OA＝3，∴AM＝＝2，
∴AO′＝，则△AO′E1∽△AOM，∴＝＝，∴＝，
图②
解得OE1＝，∵点E1在y＝x上，∴E1(，)，同理可得HF2＝GE2＝，又∵OG＝2OA＝6，∴OE2＝6－＝，∴ E2(，)．综上所述，符合条件的E点的坐标为：E1(，)、 E2(，)．(
5. (1)解：当x＝0时，y＝ax2＋bx－3＝－3，∴C(0，－3)，即OC＝3，∵OB＝OC＝3OA，∴OB＝3，OA＝1，∴A(－1，0)，B(3，0)，将点A(－1，0)，点B(3，0)代入y＝ax2＋bx－3得解得，b=-2,∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3. (2)证明：由y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4可得E(1，－4)，当x＝0时，由直线y＝－x＋1得y＝1，∴D(0，1)，即OD＝1，∴BD＝＝，∴CE＝，BE＝2，BC＝3，∴在△ODB和△CEB中，有＝＝＝，∴△DBO∽△EBC. (3)解：存在点P，使得△PBC是等腰三角形，点P的坐标分别为：P1(1，－1)，P2(1，－3＋)，P3(1，－3－)，P4(1，)，P5(1，－)．
6. 解：(1)把C(0，3)代入y＝ax2＋bx＋c，得c＝3，把B(3，0)代入y＝ax2＋bx＋3，得9a＋3b＋3＝0，又∵－＝1，∴a＝－1，b＝2，∴抛物线L的解析式是y＝－x2＋2x＋3. (2)
图①
由y＝－(x－1)2＋4得抛物线的顶点D(1，4)，如解图①，过点D作y轴的平行线分别交CB，OB于点E,F，
则＝，∴EF＝2，∴4－2≤h≤4，即2≤h≤4. (3)能，设P(x，－x2＋2x＋3)，如解图②，过点P分别作x轴、直线l的垂线，
图②
垂足分别是点M，N，∵∠PMB＝∠PNQ＝90°，∵∠QPB＝90°，∠BPM＝∠QPN，PB＝PQ，∴△PMB≌△PNQ(AAS)，∴PM＝PN.①当点P在x轴上方时，－x2＋2x＋3＝x＋3，即x2－x＝0，解得x1＝0，x2＝1，∴P1(0，3)，P2(1，4)；②当点P在x轴下方时，－x2＋2x＋3＝－(x＋3)，即x2－3x－6＝0，解得x＝＝，∴P3(，－)，P4(，－)，∴满足条件的点P有四个点，分别是P1(0，3)，P2(1，4)，P3(，－)，P4(，－)．
7. 解：(1)设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－2)，将B(0，－)代入，得a＝，∴二次函数的表达式为y＝(x＋1)(x－2)＝(x－)2－，∴顶点的坐标为(，－)． (2)；【解法提示】连接AB，过点P作PH⊥AB，垂足为H，如图①，
图①
∵OA＝1，OB＝，∴AB＝＝2，∴∠ABO＝30°，∴PH＝PB，∴PB＋PD＝PH＋PD的值，∴要使PB＋PD的值最小，只要使PH＋PD的值最小，此时H,P,D在同一条直线上，且DH⊥AB，在Rt△ADH中，∠ADH＝90°－∠OAB＝30°，AD＝1＋＝，∴DH＝ADcos30°＝，∴PB＋PD的最小值为，
(3)①5；【解法提示】以点B为圆心，AB的长为半径画圆，与对称轴有两个交点，以点A为圆心，AB的长为半径画圆，与对称轴有两个交点，作AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，共有5个点使M,N,A,B构成的四边形为菱形． ②连接AB，作AB的垂线，垂足为点A，交y轴于点E，如图②，
图②
以BE的长为直径画圆，与对称轴交于点M1，点M2，与x轴交于点A，F，∵BE为直径，AF⊥BE，∴AB＝FB，∴∠BFA＝∠BAF＝60°，∴的度数为120°，∴∠AM1B＝∠AM2B＝×120°＝60°.在Rt△AOE中，∠EAO＝30°，OE＝AO·tan30°＝，∴BE＝OE＋OB＝＋＝，∴圆心N(0，－)，∴半径NE＝，∴NM1＝NM2＝，设M(，t)，NM2＝()2＋(t＋)2＝()2，t1＝－，t2＝－－，
M1(，－)，M2(，－－)．故当－－≤t≤－时，∠AMB的度数不小于60°.
8. 解：(1)根据题意得，A(－5，0)，B(3，0)在x轴上，设抛物线的解析式为y＝a(x＋5)(x－3)．∵抛物线过点(0，5)，∴a＝－.∴抛物线的解析式为y＝－(x＋5)(x－3)＝－x2－x＋5. (2)如图，过点F作FD⊥AC于点D，∵OA＝5，OC＝5，∴∠CAO＝45°.设AF的长为m，则DF＝m，ME＝AE＝m＋1.∴sin∠AMF＝，∴MF＝＝＝m.在Rt△MEF中，FM2＝ME2＋EF2，∴(m)2＝(m＋1)2＋12，
解得m1＝1，m2＝－(不符合题意，舍去)．∴AF＝1，∴点Q的横坐标为－4.又∵点Q在抛物线y＝－x2－x＋5上，∴Q(－4，)． (3)设直线AC的解析式为y＝kx＋n(k≠0)，由题意得，解得，∴直线AC的解析式为y＝x＋5.由题知，点Q，N，F及点P，M，E的横坐标分别相同．设F(t，0)，E(t＋1，0)，点M，N均在直线y＝x＋5上，∴N(t，t＋5)，M(t＋1，t＋6)，∵点P，Q在抛物线y＝－x2－x＋5上，∴Q(t，－t2－t＋5)，P(t＋1，－t2－t＋4)，在矩形平移过程中，以P、Q、N、M为顶点的平行四边形有两种情况：①点Q、P在直线AC的同侧时，QN＝PM.∴(－t2－t＋5)－(t＋5)＝(－t2－t＋4)－(t＋6)，解得t＝－3.∴M(－2，3)．②点Q，P在直线AC的异侧时，QN＝MP.∴(－t2－t＋5)－(t＋5)＝(t＋6)－(－t2－t＋4)，解得t1＝－3＋，t2＝－3－，∴M(－2＋，3＋)或(－2－，3－)．∴符合条件的点M是(－2，3)，(－2＋，3＋)或(－2－，3－)．
9. 解：(1)把点A(0，1)，B(－9，10)代入y＝x2＋bx＋c，得解得,c=1，
∴抛物线的解析式是y＝x2＋2x＋1. (2)∵AC∥x轴，A(0，1)，由x2＋2x＋1＝1，解得x1＝－6，x2＝0，∴C(－6，1)，∴AC＝6，设直线AB的解析式是y＝kx＋b(k≠0)，代入A(0，1)，B(－9，10)，则，
解得，∴直线AB的解析式是y＝－x＋1.设点P的坐标为(m，m2＋2m＋1)，则点E的坐标为(m，－m＋1)，则EP＝－m＋1－(m2＋2m＋1)＝－m2－3m，∵AC⊥EP，AC＝6，∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC·EF＋AC·PF＝AC·(EF＋PF)＝AC·EP＝×6×(－m2－3m)＝－m2－9m＝－(m＋)2＋.又∵点P是直线AC下方抛物线上的点，即－6
10. 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－8经过点A(－2，0)，D(6，－8)，将A,D两点的坐标代入，得解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2－3x－8.∵y＝x2－3x－8＝(x－3)2－，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，又∵抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为(－2，0)，∴点B的坐标为(8，0)，设直线l的函数表达式为y＝kx，∵点D(6，－8)在直线l上，代入得6k＝－8，解得k＝－，∴直线l的函数表达式为y＝－x.∵点E为直线l和抛物线对称轴的交点，∴点E的横坐标为3，纵坐标为－×3＝－4，即点E的坐标为(3，－4)． (2)抛物线上存在点F，使△FOE≌△FCE.点F的坐标为(3－，－4)，(3＋，－4)． (3)需分两种情况进行讨论：①当OP＝OQ时，△OPQ是等腰三角形，
图①
∵点E的坐标为(3，－4)，∴OE＝＝5，如图①，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H，则＝，∴OM＝OE＝5，∴点M的坐标为(0，－5)，设直线ME的函数表达式为y＝k1x－5，将点E(3，－4)代入得3k1－5＝－4，解得k1＝，∴直线ME的函数表达式为y＝x－5，令y＝0，得x－5＝0，解得x＝15，∴点H的坐标为(15，0)．又＝，∴＝，∴m＝－；
图②
②当QO＝QP时，△OPQ是等腰三角形，延长CE，交x轴于点N，如图②，当x＝0时，y＝x2－3x－8＝－8，∴点C的坐标为(0，－8)，∴CE＝＝5，又∵OE＝＝5，∴OE＝CE，∴∠1＝∠2，∵QO＝QP，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CE∥PB，∴＝，设直线CE的解析式为y＝k2x－8，代入点(3，－4)，得3k2－8＝－4，∴k2＝，∴直线CE的解析式为y＝x－8.令y＝0，则x－8＝0，解得x＝6，∴点N的坐标为(6，0)，又＝，∴＝，解得m＝－.综上所述，当m的值为－或－时，△OPQ是等腰三角形．
专题专练四 实际应用型问题
命题解读 题型认知
实际应用与方案设计型总结以下常考类型：1.购买分配类问题；2.工程、生产、行程问题；3.增长率(面积)问题；4.一次函数的实际应用；5.二次函数的实际应用．购买问题常考模型有：①A、B总数量已知，单价和总花费已知，求A、B数量(列方程组求解，如第4题)；②已知A、B的单价与总花费及A、B价格变化后的总花费或已知A、B的进价、售价、总进价与总获利，求A、B数量(列方程组求解，如第2题)；③已知A、B单价和，A与B单价之间的关系，求A、B单价(如第3题)．工程、生产、行程问题常考模型有设单位1，求解和通过公式求解(常列分式方程，所用公式有v＝，数量＝，工作效率＝)．增长率(面积)问题，常列一元二次方程求解，这里一般是由矩形面积求边长．一次函数的实际应用常考形式有图象型、表格型、阶梯费用(分段函数)、最值问题．二次函数的实际应用常考形式有抛物线型、涉及几何图形面积(矩形)、最值问题．
类型一 购买、分配类问题
例1 某商场销售A,B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如下表所示：
A
B
进价(万元/套)
1.5
1.2
售价(万元/套)
1.65
1.4
该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．(毛利润＝(售价－进价)×销售量)
(1)该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
(2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？
解：(1)设该商场计划购进A种设备x套，B种设备y套，
由已知得
解得
答：该商场计划购进A种设备20套，B种设备30套．
(2)设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加1.5a套，由已知得
1．5(20－a)＋1.2(30＋1.5a)≤69，
解得a≤10.
答：A种设备购进数量至多减少10套．
针对训练
1.为加强中小学生安全和禁毒教育，某校组织了“防溺水、交通安全、禁毒”知识竞赛．为奖励在竞赛中表现优异的班级，学校准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同)，购买1个足球和1个篮球共需159元；足球单价是篮球单价的2倍少9元．
(1)求足球和篮球的单价各是多少元？
(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共20个，但要求购买足球和篮球的总费用不超过1550元，学校最多可以购买多少个足球？
2.为提高饮水质量，越来越多的居民开始选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A,B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元．
(1)求A,B两种型号家用净水器各购进了多少台；
(2)为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元(注：毛利润＝售价－进价)．
类型二 工程、生产、行程问题
例2 “汉十”高速铁路襄阳段正在建设中，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．
(1)若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？
(2)若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？
解：(1)由题意知，甲队单独施工完成该项工程所需时间为30÷＝90(天)．
设乙队单独施工需要x天完成该项工程，则
＋＝1.
去分母，得x＋30＝2x，解得x＝30.经检验x＝30是原方程的解．
答：乙队单独施工需要30天才能完成该项工程．
(2)设乙队施工y天完成该项工程，则
1－≤.解得y≥18.
答：乙队至少施工18天才能完成该项工程．
针对训练
3.甲车从A地驶往B地，同时乙车从B地驶往A地，两车相向而行，匀速行驶．甲车距B地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示，乙车的速度是60 km/h.
(1)求甲车的速度；
(2)当甲乙两车相遇后，乙车速度变为a(km/h)，并保持匀速行驶，甲车速度保持不变，结果乙车比甲车晚38分钟到达终点，求a的值．
4.某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地燃油行驶纯燃油费用76元，从A地到B地用电行驶纯电费用26元．已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元．
(1)求每行驶1千米纯用电的费用；
(2)若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少用电行驶多少千米？
5.某工厂通过科技创新，生产效率不断提高，已知去年月平均生产量为120台机器，今年一月份的生产量比去年月平均生产量增长了m%，二月份的生产量又比一月份生产量多50台机器，而且二月份生产60台机器所需时间与一月份生产45台机器所需时间相同，三月份的生产量恰好是去年月平均生产量的2倍．
问：今年第一季度生产总量是多少台机器？m的值是多少？
类型三 增长率(面积)问题
例3 青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车.
(1)请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
(2)请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率.
解：(1)设每个站点的造价为x万元，公共自行车的单价为y万元．
根据题意可得解得.
答：每个站点的造价为1万元，公共自行车的单价为0.1万元．
(2)设2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a.根据题意可得：
7202＝2205，
解得a1＝＝75%，a2＝－(不符合题意，舍去)．
答：2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%.
针对训练
6.在直角墙角AOB(OA⊥OB，且OA、OB长度不限)中，要砌20 m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96 m2.
(1)求这个地面矩形的长；
(2)有规格为0.80×0.80和1.00×1.00(单位：m)的地板砖单价分别为55元/块和80元/块．若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，用哪一种规格的地板砖费用较少？
类型四 一次函数的实际应用
例4 甲、乙两车分别从A,B两地同时出发．甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地．设甲、乙两车距A地的路程为y(千米)，甲车行驶的时间为x(时)，y与x之间的函数图象如图所示．
(1)求甲车从A地到达B地的行驶时间；
(2)求甲车返回时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)求乙车到达A地时甲车距A地的路程．
解：(1)如图，设直线OA的解析式为y＝k1x(k1≠0)．
把点(1.5，180)代入，得：
1．5k1＝180，
∴k1＝120，
∴直线OA的解析式为y＝120x.
当y＝300时，则120x＝300，解得x＝2.5.
∴甲车从A地到达B地的行驶时间为2.5小时．
(2)设直线AB的解析式为y＝k2x＋b1(k2≠0)．
把点(2.5，300)，(5.5，0)分别代入得：
解得
∴甲车返回时y与x之间的函数关系式为y＝－100x＋550(2.5≤x≤5.5)．
(3)设直线CD的解析式为y＝k3x＋b2(k3≠0)．
把点(0，300)，(1.5，180)分别代入得
解得
∴直线CD的解析式为y＝－80x＋300.
令y＝0，则－80x＋300＝0，x＝3.75.
把x＝3.75代入y＝－100x＋550得
y＝－375＋550＝175(千米)，
∴乙车到达A地时甲车距A地的路程为175 千米．
针对训练
7.由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少．已知原有蓄水量y1(万 m3)与干旱持续时间x(天)的关系如图中线段l1所示．针对这种干旱情况，从第20天开始向水库注水，注水量y2(万m3)与时间x(天)的关系如图中线段l2所示(不考虑其他因素)．
(1)求原有蓄水量y1(万 m3)与时间x(天)的函数关系式，并求当x＝20时的水库总蓄水量；
(2)求当0≤x≤60时，水库的总蓄水量y(万 m3)与时间x(天)的函数关系式(注明x的范围)，若总蓄水量不多于900万 m3为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x的范围．
8.“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的A型车2015年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份A型车销售总额增加25%.
(1)求今年A型车每辆售价多少元？(用列方程的方法解答)
(2)该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：
A型车
B型车
进货价格(元/辆)
1100
1400
销售价格(元/辆)
今年的销售价格
2400
9.某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨(含14吨)，则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．
(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？
(2)设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式；
(3)小明家5月份用水26吨 ，则他家应交水费多少元？
10.A城有某种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台．从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．
(1)设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；
(3)现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元(a≤200)作为优惠，其他费用不变．如何调运，使总费用最少？
类型五 二次函数的实际应用
例5 课本中有一个例题：
有一个窗户形状如图①，上部是一个半圆，下部是一个矩形．如果制作窗框的材料总长为6 m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径为0.35 m时，透光面积的最大值约为1.05 m2.
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图②，材料总长仍为6 m．利用图③，解答下列问题：
(1)若AB为1 m，求此时窗户的透光面积；
(2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．
解：(1)由已知条件得，AD＝＝(m)，此时窗户的透光面积S＝AB·AD＝1×＝(m2)．
(2)设AB＝x m，则AD＝(3－x)m，
∵x＞0，3－x＞0，∴0＜x＜.
设窗户透光面积为S，由已知得，
S＝AB·AD＝x(3－x)＝－x2＋3x＝－(x－)2＋，
当x＝时，且x＝在0＜x＜的范围内，S最大值＝.
∵ m2＞1.05 m2，
∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大．
针对训练
11.襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数解析式为：y＝.
(1)若企业销售该产品获得的年利润为W(万元)，请直接写出年利润W(万元)关于售价x(元/件)的函数解析式；
(2)当该产品的售价x(元/件)为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？
(3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x(元/件)的取值范围．
参考答案
1. 解：(1)设购买足球与篮球的单价分别为x元、y元，依题意得解得.答：足球的单价是103元，篮球的单价是56元． (2)设学校购买足球z个，则购买篮球(20－z)个，于是有：103z＋56(20－z)≤1550，解得z≤9.答：学校最多可以购买9个足球．
2. 解：(1)设A型号家用净水器购进了x台，B型号家用净水器购进了y台，由题意得：
解得.所以A型号家用净水器购进了100台，B型号家用净水器购进了60台． (2)设每台A型号家用净水器的毛利润为z元，则每台B型号家用净水器的毛利润为2z元．由题意得：100z＋60×2z≥11000.解得z≥50，又∵售价＝毛利润＋进价，∴A型号家用净水器的售价≥150＋50＝200元，∴每台A型号家用净水器的售价至少为200元．
3. 解：(1)v甲＝＝80(km/h)．∴甲车的速度为80 km/h.(2)相遇时间为＝2(h)．依题意得＋＝.解得a＝75.经检验，a＝75是原分式方程的解．∴a的值为75.
4. 解：(1)设每行驶1千米纯用电的费用为x元，则每行驶1千米纯燃油的费用为(x＋0.5)元．根据题意得：＝，解得x＝0.26(元)，经检验x＝0.26是原方程的根．答：纯用电每行驶1千米所需要的费用为0.26元． (2)由(1)得纯燃油每行驶1千米所需的费用为0.5＋0.26＝0.76(元)，从A到B的距离为26÷0.26＝100(千米)．设用电行驶y千米，则用燃油行驶(100－y)千米．根据题意得0.26y＋0.76(100－y)≤39，解得y≥74.答：至少用电行驶74千米．
5. 解：设去年月平均生产效率为1，则今年一月份的生产效率为(1＋m%)，二月份的生产效率为(1＋m%＋)，根据题意得：＝，解得m%＝，经检验可知m%＝是原方程的解，∴m＝25.∴第一季度生产总量为120×1.25＋120×1.25＋50＋120×2＝590(台)．答：今年第一季度生产总量是590台机器，m的值是25.
6. 解：(1)设矩形的长为x m，则宽为(20－x) m.根据题意得：x(20－x)＝96，即x2－20x＋96＝0.解得x1＝8，x2＝12，当x＝8时，20－8＝12，∵8＜12，不合题意，舍去，∴这个地面矩形的长为12 m． (2)用第一种规格的地板砖所需费用为：96÷(0.80×0.80)×55＝8250(元)；用第二种规格的地板砖所需费用为96÷(1×1)×80＝7680(元)．∵8250＞7680，∴用第二种规格(即1.00×1.00)的地板砖费用较少．
7. 解：(1)设y1与x的函数关系式为y1＝kx＋b(k≠0)，∵函数y1＝kx＋b的图象经过点(0，1200)和(60，0)，
∴解得，∴y1与x的函数关系式为：y1＝－20x＋1200，当x＝20时，y1＝－400＋1200＝800(万m3)． (2)设y2与x的函数关系式为y2＝mx＋n(m≠0)．∵函数y2＝mx＋n的图象经过点(20，0)，(60，1000)，∴解得∴y2与x的函数关系式为y2＝25x－500，∴总蓄水量y与x的函数关系为：①当0≤x≤20时，y＝y1＝－20x＋1200; ②当20
9. 解：(1)由每吨水的政府补贴优惠价为m元，市场价为n元．根据题意列方程组得，
解得答：每吨水的政府补贴优惠价为2元，市场价为3.5元． (2)当0≤x≤14时，y＝2x；当x＞14时，y＝14×2＋(x－14)×3.5＝3.5x－21.故所求函数关系式为：y＝. (3)∵26＞14，∴小明家5月份水费为3.5×26－21＝70(元)．答：小明家5月份应交水费70元．
10. 解：(1)依题意知，从A城至D乡运(30－x)台，从B城至C乡运(34－x)台，从B城至D乡运(x＋6)台，
∴W＝250x＋200(30－x)＋150(34－x)＋240(x＋6)＝140x＋12540(0≤x≤30)． (2)∵W≥16460，∴140x＋12540≥16460，解得x≥28，∴28≤x≤30，∴x可取28，29，30，∴有三种不同的调运方案：当x＝28时，从A城至C乡运28台，从A城至D乡运2台，从B城至C乡运6台，从B城至D乡运34台；当x＝29时，从A城至C乡运29台，从A城至D乡运1台，从B城至C乡运5台，从B城至D乡运35台；当x＝30时，从A城至C乡运30台，从A城至D乡运0台，从B城至C乡运4台，从B城至D乡运36台．
(3)依题意得W＝140x＋12540－ax＝(140－a)x＋12540，当0
专题专练五 圆的相关证明与计算
命题解读 题型认知
命题类型：①圆的基本性质证明与计算；②圆与全等、相似知识综合题；③圆与三角函数等其他知识综合题.
命题内容：①考查多与圆周角定理、垂径定理及切线定理有关；②多与三角形全等、相似的判定与性质有关；③多与三角函数等有关.
在做此题型时，要观察题中已知条件并结合题的设问，联系全等、相似三角形的判定及切线的性质等解题．
类型一 圆的基本性质证明计算题
例1 如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM.
(1)求证：BM＝CM；
(2)当⊙O的半径为2时，求的长．
【解析】(1)要证BM＝CM，可通过等弧对等边的性质先证明＝，由M为的中点和圆内接正方形ABCD的性质即可证得＋＝＋，通过等量代换即可得证；(2)连接OM，OB，OC.由(1)得＝，即可得到∠BOM＝∠COM，由于∠BOC所对应的是圆内接正方形的一条边，由圆内接四边形的性质即可得到∠BOC的度数，即可得到所对的圆心角∠BOM的度数，知道圆心角和半径长即可得到的长度．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴＝，∵M为中点，∴＝，
∴＋＝＋，∴＝，∴BM＝CM.
(2)解：如解图，连接OM，OB，OC，∵＝，
∴∠BOM＝∠COM，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠BOC＝＝90°，
∴∠BOM＝(360°－90°)＝135°，
由弧长公式得，的长l＝＝π.
针对训练
1.如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)若∠PAC＝90°，AB＝2，求PD的长．
类型二 圆与全等、相似知识综合题
例2 已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED.若ED＝EC.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若AB＝4，BC＝2，求CD的长．
【解析】(1)先根据ED＝EC得出∠C＝∠CDE，再由圆内接四边形的性质得出∠B＝∠CDE，故有∠B＝∠C，由此可得出结论；(2)连接AE，根据等腰三角形的性质可得CE＝BC，由题意易证△ABC∽△EDC，可得对应线段成比例，即可求出线段CD的长．
(1)证明：∵ED＝EC，∴∠CDE＝∠C，又∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠EDA＝180°，
∵∠EDA＋∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠B，
∵∠CDE＝∠C，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.
(2)解：如解图，连接AE，则AE⊥BC，
由(1)知，AB＝AC，∴BE＝EC＝BC，
在△ABC与△EDC中，
∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B，
∴△ABC∽△EDC.∴＝，即DC＝＝＝，
由AB＝4，BC＝2，得DC＝＝.
针对训练
2.如图，OA，OD是⊙O半径，过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B.
(1)求证：直线CD是⊙O的切线；
(2)如果D点是BC的中点，⊙O的半径为3 cm，求的长度．(结果保留π)
3.如图，点D是等边三角形ABC的外接圆上一点，M是BD上一点，且满足DM＝DC，点E是AC与BD的交点．
(1)求证：CM∥AD；
(2)如果AD＝1，CM＝2.求线段BD的长及△BCE的面积．
4.如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线交于点E，且∠A＝∠EBC.
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG·BA＝48，FG＝，DF＝2BF；求AH的值．
5.如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA延长线上一点，点E在圆上且满足PE2＝PA·PC，连接CE，AE，OE，OE交CA于点D.
(1)求证：△PAE∽△PEC；
(2)求证：PE为⊙O的切线；
(3)若∠B＝30°，AP＝AC，求证：DO＝DP.
类型三 圆与三角函数等其他知识综合题
例3 如图，AB是⊙O的直径，D,E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE,DE,DF.
(1)证明：∠E＝∠C；
(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数；
(3)设DE交AB于点G，若DF＝4，cosB＝，E是的中点，求EG·ED的值．
【解析】(1)欲证∠E＝∠C，利用同弧所对的圆周角相等转化为证∠B＝∠C；连接AD，则AD⊥BC，利用“AD是BC的中垂线”得AB＝AC，从而∠B＝∠C得证．(2)因为所求∠BDF是△CDF的外角，所以问题转化为求∠C＋∠CFD；由(1)知∠C＝∠E＝55°，由圆内接四边形AEDF性质得，∠AFD＋∠E＝∠AFD＋∠CFD＝180°，得到∠CFD的度数进而求解．(3)连接OE.在Rt△ABD中，根据余弦公式求出AB＝6；通过判定△AEG∽△DEA，利用其性质可求EG·ED的值．
(1)证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C.
又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C.
(2)解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD＝180°－∠E.
又∵∠CFD＝180°－∠AFD，∴∠CFD＝∠E＝55°，
又∵∠E＝∠C＝55°，∴∠BDF＝∠C＋∠CFD＝110°.
(3)解：连接OE，∵∠CFD＝∠E＝∠C，∴FD＝CD＝BD＝4，
在Rt△ABD中，cosB＝，BD＝4，∴AB＝6，
∵E是的中点，AB是⊙O的直径，∴∠AOE＝90°，
∵AO＝OE＝AB＝3，∴AE＝＝3，
∵E是的中点，∴∠ADE＝∠EAB，∴△AEG∽△DEA，∴＝，
即EG·ED＝AE2＝18.
针对训练
6.如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD,AC分别交于点E,F，且∠ACB＝∠DCE.
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若tan∠ACB＝，BC＝2，求⊙O的半径．
7.如图①，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥AC.
(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如图②，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C＝75°，CD＝2－，求⊙O的半径和BF的长．
8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.
(1)求∠CDE的度数；
(2)求证：DF是⊙O的切线；
(3)若AC＝2DE，求tan∠ABD的值．
9.如图，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB＝∠DCO＝90°，O为AB的中点．
(1)求证：∠B＝∠ACD；
(2)已知点E在AB上，且BC2＝AB·BE.
(i)若tan∠ACD＝，BC＝10，求CE的长；
(ii)试判定CD与以A为圆心，AE为半径的⊙A的位置关系，并说明理由．
参考答案
1. (1)证明：由题意可得：∠BPC＝∠BAC，∠APC＝∠ABC，∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形． (2)解：∵∠PAC＝90°，∴PC是圆的直径，∴∠PBC＝90°，∴∠PBD＝90°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝2，∵∠CPB＝60°，∴PB＝＝2，∵∠APC＝60°，∴∠DPB＝180°－60°－60°＝60°，∴PD＝2PB＝4.
2. (1)证明：∵CA切⊙O于点A，∴∠CAO＝90°.∵OC平分∠AOD，∴∠AOC＝∠DOC，在△AOC和△DOC中，，∴△AOC≌△DOC(SAS)，∴∠CDO＝∠CAO＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．(2)解：由(1)知：OD⊥BC，又∵D是BC的中点，∴OD是BC的垂直平分线，∴OC＝OB，∴∠BOD＝∠DOC＝∠COA＝×180°＝60°，∴∠DOE＝60°，∴的长度为π×3＝π.
3. (1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠BDC＝∠BAC＝60°，∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠ADC＝120°，∵DM＝DC，∴△DMC是等边三角形，∴∠MCD＝60°，∴∠MCD＋∠ADC＝180°，∴CM∥AD. (2)解：∵BC＝AC，∠ADC＝∠BMC＝120°，∠CBM＝∠CAD，∴△ADC≌△BMC，∴AD＝MB＝1，∴BD＝BM＋MD＝AD＋CM＝1＋2＝3，∵CM∥AD，∴∠CAD＝∠ACM，∠ADE＝∠EMC，∴△ADE∽△CME，∴＝＝＝，∴S△ADE＝S△EMC，∵S△CMD＝××2＝，∴S△EMC＝S△CMD＝，S△EDC＝S△CDM＝，∴S△ADE＝S△EMC＝，∴S△ADC＝S△ADE＋S△DCE＝＋＝，∴S△BCE＝S△BMC＋S△MCE＝S△ADC＋S△CME＝＋＝.
4. 解：(1)连接DC，∵DB是⊙O的直径，∴∠DCB＝90°，∴∠D＋∠DBC＝90°，∵∠D＝∠A，∠EBC＝∠A.∴∠D＝∠EBC，∴∠EBC＋∠DBC＝90°，即∠DBE＝90°，∴BE是⊙O的切线． (2)∵CG∥EB，∴∠BCG＝∠EBC，∴∠A＝∠BCG，又∵∠CBG＝∠ABC，∴△ABC∽△CBG，∴＝，即BC2＝BG·AB＝48，∴BC＝4，∵CG∥EB，∴CF⊥BD，∴∠CFB＝∠DCB＝90°，又∵∠CBF＝∠DBC，∴Rt△BFC∽Rt△BCD，∴＝，∴BC2＝BF·BD＝48，又∵DF＝2BF，BD＝DF＋BF＝3BF，∴BF＝4，在Rt△BCF中，CF＝＝4，∴CG＝CF＋FG＝5，在Rt△BFG中，BG＝＝3，∵BA＝＝8，∴AG＝5，∴CG＝AG，∴∠A＝∠ACG＝∠BCG，∠CFH＝∠CFB＝90°，∴∠CHF＝∠CBF，∴CH＝CB＝4，∵∠ABC＝∠CBG，∠BCG＝∠A，∴△ABC∽△CBG，∴＝，∴AC＝＝4×＝，∴AH＝AC－CH＝－4＝.
5. (1)解：∵PE2＝PA·PC，∴＝，∵∠P＝∠P，∴△PAE∽△PEC. (2)证明：∵△PAE∽△PEC，∴∠PEA＝∠PCE，∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠OAE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OAE＋∠ECA＝90°，∴∠PEO＝∠PEA＋∠OEA＝∠PCE＋∠OAE＝90°，∵OE为⊙O半径，∴PE是⊙O的切线． (3)证明：过点O作OH⊥CP于点H，∵AB是⊙O的直径，∠B＝30°，∴BC＝＝＝AC，∵O是AB的中点，∴OH＝BC＝AC，∵PE2＝PA·PC，AP＝AC，∴PE2＝AC·(AC＋AC)＝AC·AC＝AC2，
∴PE＝AC，∴OH＝PE，∵∠OHA＝∠PED＝90°，∠HDO＝∠EDP，∴△HDO≌△EDP，∴DO＝DP.
6. 解：(1)直线CE与⊙O相切．证明如下：连接OE，∴∠OAE＝∠AEO，∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∠ACB＝∠DAC, 又∵∠ACB＝∠DCE，∴∠DAC＝∠AEO＝∠DCE，∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEO＋∠DEC＝90°，∴∠OEC＝90°，∵OE是⊙O的半径，∴直线CE与⊙O相切． (2)∵tan∠ACB＝＝，BC＝2，∴AB＝BC·tan∠ACB＝，∴AC＝＝，又∵∠ACB＝∠DCE，∴tan∠DCE＝，∴DE＝DC·tan∠DCE＝AB·tan∠DCE＝×＝1，在Rt△CDE中，CE＝＝，设⊙O的半径为r，在Rt△COE中，CO2＝OE2＋CE2，即(－r)2＝r2＋3，解得r＝.∴⊙O的半径为.
7. 解：(1)△ABC为等腰三角形，理由如下：如解图①，连接OE，在⊙O中，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠B，
图①
∵DE是⊙O的切线，∴∠OED＝90°，∵ED⊥AC，∴∠ADE＝90°＝∠OED，∴OE∥AC且BE＝CE＝BC，∴∠OEB＝∠C，∴∠B＝∠C，∴AC＝AB，∴△ABC为等腰三角形． (2)如图②，过点B作BH⊥DF，∵AC⊥DF，∴BH∥AC，∠EBH＝∠C，由(1)知∠CDE＝∠BHE＝90°，BE＝CE，∴△CDE≌△BHE(AAS)，∴CD＝BH＝2－，∵∠HBF＝180°－∠OBE－∠EBH＝180°－75°－75°＝30°，
图②
∴∠F＝90°－30°＝60°，在Rt△BFH中，∴BF＝＝，设OE＝x，在Rt△OEF中，sin60°＝＝，解得x＝2，故⊙O的半径为2，BF的长为.
8. (1)解：∵对角线AC为⊙O直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CDE＝90°. (2)证明：连接OD，∵AC为⊙O的直径，CE⊥AC，∴∠ADC＝∠CDE＝90°，∠ACF＝90°，又∵在Rt△CDE中，点F为斜边CE的中点，∴DF＝FC，∠CDF＝∠DCF，又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ODF＝∠ODC＋∠CDF＝∠OCD＋∠DCF＝∠ACE＝90°，∵OD为⊙O半径，∴DF是⊙O的切线． (3)解：由圆周角定理可得，∠ABD＝∠ACD，由题意知，∠ADC＝∠CDE＝90°，∠CAD＝∠ECD，∴△ADC∽△CDE，∴＝，∴CD2＝AD·DE，∵AC＝2DE，设DE＝a，AD＝b，∴AC＝2a，CD＝，在Rt△ACD中，由勾股定理可得：
AD2＋CD2＝AC2，即b2＋()2＝(2a)2，上式两边同时除以a2，整理后得到：()2＋－20＝0，解得＝4或＝－5(舍去)．∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝＝＝2.
9. (1)证明：∵点O为直角三角形斜边AB上的中点，∴OC＝OB，∴∠B＝∠BCO，∵∠ACB＝∠DCO＝90°，即∠ACO＋∠BCO＝∠ACO＋∠ACD＝90°，∴∠BCO＝∠ACD∴∠B＝∠ACD. (2)解：(i)∵BC2＝AB·BE，即＝，又∵∠B＝∠B，∴△BCA∽△BEC，∴∠BEC＝∠BCA＝90°，∵tan∠ACD＝，又由(1)知∠B＝∠ACD，∴tan∠B＝，即＝，设CE＝3x，EB＝4x，∵在Rt△BCE中，CE2＋EB2＝BC2，∴(3x)2＋(4x)2＝102，∴x＝2，∴CE＝3x＝6. (ii)CD与⊙A相切，理由如下：过A作AF⊥DC，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠BCE＝90°，∵∠BEC＝90°，∴∠B＋∠BCE＝90°，∴∠B＝∠ACE，又∵∠B＝∠ACD，∴∠ACE＝∠ACD.又∵AF⊥DC，AE⊥EC，∴AE＝AF，又∵AE为⊙O半径，F为CD上一点，∴CD与⊙A相切．
专题专练六 几何探究型问题
命题解读 题型认知
命题类型：①动点探究题；②平移、旋转、折叠探究题；③图形形状变化探究题.
命题考查内容：①多与特殊四边形的性质、三角形全等、相似的判定和性质有关；②涉及平移、旋转或折叠的相关性质；③多与二次函数的性质有关.
在做此类题型时，要观察题中已知条件，并结合题设，联系相关的知识解题，对结果猜想题根据前面问题大胆猜想，往往是解题的突破口．
类型一 动点探究题
例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN.
(1)若BM＝BN，求t的值；
(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；
(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．
解：(1)根据题意BM＝2t，BN＝BC－t，而BC＝5×tan60°＝5.
∴当BM＝BN时，2t＝5－t，解得t＝10－15.
(2)分类讨论：①当∠BMN＝∠ACB＝90°时，如图①，
△NBM∽△ABC，cosB＝cos30°＝，∴＝，解得t＝.
②当∠BNM＝∠ACB＝90°时，如图②，
△MBN∽△ABC，cosB＝cos30°＝，∴＝，解得t＝.
因此当运动时间是秒或秒时，△MBN与△ABC相似．
(3)由于△ABC面积是定值，∴当四边形ACNM面积最小时，△MBN面积最大，
而△MBN的面积是S＝BM×BN×sinB＝×2t×(5－t)×＝－t2＋t，
由于a＝－＜0，∴当t＝－＝时，△MBN面积最大，最大值是－×()2＋×＝，因此四边形ACNM面积最小值是×5×5－＝.
针对训练
1.已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连接CM.
(1)如图①，若点M在线段AB上，求证：AP⊥BN；AM＝AN.
(2)①如图②，在点P运动过程中，满足△PBC∽△PAM的点M在AB的延长线上时，AP⊥BN和AM＝AN是否成立(不需说明理由)?
②是否存在满足条件的点P，使得PC＝？请说明理由．
2.已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm.对角线AC，BD交于点O，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1 cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1 cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F.设运动时间为t(s)(0
(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2)，试确定S与t的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形OECQF∶S△ACD＝9∶16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
3.某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.
(1)观察猜想
如图①，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：____________．
②BC，CD，CF之间的数量关系为：____________(将结论直接写在横线上)．
(2)数学思考
如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
(3)拓展延伸
如图③，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE.若已知AB＝2，CD＝BC，请求出GE的长．
类型二 平移、旋转、折叠探究题
例2 如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，四边形ADEF是正方形，点B,C分别在边AD,AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．
(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时，如图②，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图③，延长DB交CF于点H.
①求证：BD⊥CF；
②当AB＝2，AD＝3时，求线段DH的长．
图① 图② 图③
(1)解：BD＝CF成立．理由如下：∵AC＝AB，∠CAF＝∠BAD＝θ，AF＝AD，
∴△ACF≌△ABD，∴CF＝BD.
(2)①证明：由(1)得，△ACF≌△ABD，∴∠HFN＝∠ADN，
在△HFN与△ADN中，
∵∠HFN＝∠ADN，∠HNF＝∠AND，∴∠NHF＝∠NAD＝90°，
∴HD⊥HF，即BD⊥CF.
②解：连接DF，延长AB，与DF交于点M，在△MAD中，
∵∠MAD＝∠MDA＝45°，∴∠BMD＝90°.在Rt△BMD与Rt△FHD中，
∵∠MDB＝∠HDF，∴△BMD∽△FHD.
∵AB＝2，AD＝3，四边形ADEF是正方形，∴MA＝MD＝＝3，
∴MB＝MA－AB＝3－2＝1，BD＝＝＝，
又∵＝，即＝，∴DH＝.
针对训练
4.(1)阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD)．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角
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