1.1.2 导数的概念
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1．在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量Δx应满足 ( )
A.Δx＞0 B.Δx＜0
C.Δx=0 D.Δx≠0
【解析】选D.在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量Δx要求Δx≠0.
2.函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，Δy＝ ( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
【解析】选D.Δy看作相对于f(x0)的“增量”，可用f(x0＋Δx)－f(x0)代替．
3．函数在某一点的导数是 ( )21世纪教育网版权所有
A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比值
B．一个函数
C．一个常数，不是变数
D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
【解析】选C.由导数定义可知，函数在某一点的导数，就是平均变化率的极限值．即它是一个常数，不是变数.21教育网
4.若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x0∈(a,b)，若f′(x0)=4，则的值为 ( )21cnjy.com
A.2 B.4 C.8 D.12
【解析】选C.
5.如图是函数y=f(x)的图象，则函数f(x)在区间［0,2］上的平均变化率为____
【解析】由函数f(x)的图象知,
所以,函数f(x)在区间［0,2］上的平均变化率为
答案:
6.已知函数 ,且f′(x0)=4，求x0的值.
7.用导数在某一点处的定义，求函数y＝f(x)＝在x＝1处的导数．
1.1.3 导数的几何意义
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1.下列说法正确的是( )
A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点
B.过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点
C.若f′(x0)不存在，则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处无切线
D.若y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线，则f′(x0)不一定存在
【解析】选D.曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，故A,B错误;f′(x0)不存在，曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))的切线的斜率不存在，但切线可能存在，故C错误，D正确.
2.曲线在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为( )
A．(－2，－8) B．(1,1)，(－1，－1)
C．(2,8) D．
所以点P的坐标为(1,1)，(－1，－1)．
3．函数的导数为( )
A．x B．2x C．2 D．4
【解析】选B.
4.物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案.据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )
【解析】选B.由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选B.21世纪教育网版权所有
5.已知f(x)对任意实数x,y均满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,且f′(0)=0，则21教育网
f′(3)=____________.
【解析】令x=y=0,则f(0)=0.
答案:6
6．求曲线在点P(1,2)处的切线方程.
所以，所求切线的斜率为2，
因此，所求的切线方程为y-2=2(x-1).
即2x-y=0.
1.2.2 导数的运算法则
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1.函数的导数为( )
2.设f(x)=xln x，若f′(x0)=2，则x0=( )
B.e D.ln 2
3.曲线在点(1，1)处切线的斜率等于( )
A?2e B?e C?2 D?1
【解析】选C. ，故曲线在点(1，1)处的切线斜率为2.
4.已知a为实数，,且f′(-1)=0,则a=________.
答案：
5.求下列函数的导数：
(1) .(2)y＝cos x·ln x.(3).
1.3.1 函数的单调性与导数
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1.若f(x)=x2-2x-4ln x,则f′(x)>0的解集为( )
A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞)
C.(2,+∞) D.(-1,0)
【解析】选C.函数的定义域为(0,+∞),
.
令f′(x)>0,得x>2,所以f′(x)>0的解集为{x|x>2}.
2.命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)＞0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】选A.f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1＜x＜1)，故甲是乙的充分不必要条件．21教育网
3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R)，若a2-3b＜0，则f(x)是( )21·cn·jy·com
A.减函数
B.增函数
C.常数函数
D.既不是减函数也不是增函数
【解析】选B.由题意知f′(x)=3x2+2ax+b，则方程3x2+2ax+b=0的根的判别式Δ=4a2-12b=4(a2-3b)＜0，故f′(x)＞0在实数集R上恒成立，即f(x)在R上为增函数.www.21-cn-jy.com
4.函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调减区间是 .
【解析】因为f′(x)=3x2-30x-33=3(x+1)(x-11).
由f′(x)<0，得-1
所以f(x)的单调减区间为(-1,11).
答案：(-1,11)
5.已知导函数y＝f′(x)的图象如图所示，请根据图象写出原函数y＝f(x)的单调递增区间是 ．
【解析】从图象可知f′(x)＞0的解为－1＜x＜2或x＞5，所以f(x)的单调递增区间为(－1,2)，(5，＋∞)．21cnjy.com
答案：(－1,2)，(5，＋∞)
6.已知在R上不是单调函数，则b的取值范围是 .
【解析】若函数是单调递增函数，则y′≥0恒成立，即x2+2bx+b+2≥0恒成立，所以Δ=4b2-4(b+2)≤0，所以-1≤b≤2，由题意f(x)不单调，则b＜-1或b＞2.21世纪教育网版权所有
答案：b＜-1或b＞2
7.函数y=f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状.
【解析】f′(x)图象的大致形状如图所示：
注：图象形状不唯一.
1.3.2 函数的极值与导数
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1.“函数y=f(x)在一点的导数值为0”是“函数y=f(x)在这点取得极值”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.对于f(x)=x3，f′(x)=3x2，f′(0)=0，
不能推出f(x)在x=0处取极值，反之成立.
2.下列结论中，正确的是( )
A.导数为零的点一定是极值点
B.如果f′(x0)=0且在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值
C.如果f′(x0)=0且在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极小值
D.如果f′(x0)=0且在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极大值
【解析】选B.根据极值的概念，在x0附近的左侧f′(x)＞0，单调递增；右侧
f′(x)＜0，单调递减，f(x0)为极大值.
3.下列函数存在极值的是( )
【解析】选B.对于A中 ，
令f′(x)=0无解，所以A中函数无极值.
B中f′(x)=1-ex，
令f′(x)=0可得x=0.当x<0时，f′(x)>0，
当x>0时，f′(x)<0.
所以y=f(x)在x=0处取极大值，f(0)=-1.
C中f′(x)=3x2+2x+2，Δ=4-24=-20<0.
所以y=f(x)无极值.D也无极值.
4.函数有极值的充要条件是( )
A.a＞1或a≤0 B.a＞1
C.0＜a＜1 D.a＞1或a＜0
【解析】选D.f(x)有极值的充要条件是f′(x)=ax2+2ax+1=0有两个不相等的实根，即4a2-4a＞0，解得a＜0或a＞1.21世纪教育网版权所有
5.函数f(x)=x3-3x的极小值为 .
【解析】f′(x)=3x2-3,令f′(x)=0得x=±1，当x＜-1或x＞1时，f′(x)＞0，当-1＜x＜1时，f′(x)＜0，所以当x=1时，函数f(x)有极小值，且极小值是f(1)=13-3×1=-2.21教育网
答案：-2
6.求函数的极值．
【解析】令y′＝0解得x＝±1，而原函数的定义域为{x|x≠0}，所以当x变化时，y′，y的变化情况如下表：21cnjy.com
?所以当x＝－1时，y极大值＝－2，当x＝1时，y极小值＝2.
1.3.3 函数的最大(小)值与导数
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1.函数f(x)=x3-3x(|x|<1)( )
A.有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值
C.无最大值，但有最小值 D.既无最大值，也无最小值
【解析】选D. f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，当x∈(-1,1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(-1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值.21世纪教育网版权所有
2.函数y＝2x3－3x2－12x＋5在［－2,1］上的最大值、最小值分别是( )
A.12，－8 B.1，－8 C.12，－15 D.5，－16
【解析】选A.y′＝6x2－6x－12，由y′＝0?x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1，x＝－1时y＝12，x＝1时y＝－8.所以ymax＝12，ymin＝－8.21教育网
3.已知函数，若函数在区间 (其中a＞0)上存在最大值，则实数a的取值范围为( )
【解析】选B.因为,x＞0，所以.
当0＜x＜1时，f′(x)＞0；当x＞1时，f′(x)＜0.
所以f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减，所以函数f(x)在x=1处取得极大值.
因为函数f(x)在区间 (其中a＞0)上存在最大值，
4.(2017·济南模拟)若函数 (a∈R)，且在区间
上的最大值为，则实数a的值为 .
【解析】由已知得f′(x)=a(sin x+xcos x)
对于任意的x∈，有sin x+xcos x＞0，
当a=0时，，不符合题意，
当a＜0时,x∈，f′(x)＜0，从而f(x)在上单调递减，
所以f(x)在上的最大值为，不符合题意，
当a＞0时,x∈，f′(x)＞0，从而f(x)在上单调递增，
所以f(x)在上的最大值为，解得a=1.
答案：1
5.已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a).
(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程.
(2)求f(x)在区间［0,2］上的最大值.
【解析】(1)f′(x)＝3x2－2ax.因为f′(1)＝3－2a＝3，
所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.
(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，.
即a≤0时，f(x)在［0,2］上单调递增，
从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.
即a≥3时，f(x)在［0,2］上单调递减，
从而f(x)max＝f(0)＝0.
，即0f(x)在上单调递减，在上单调递增，
1.4 生活中的优化问题举例
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1.方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )
A.4 B.6 C.4.5 D.8
【解析】选A.设底面边长为x，高为h，则V(x)＝x2·h＝256，
2．甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图所示．( )
现有下列四种说法：
①前四年该产品产量增长速度越来越快；
②前四年该产品产量增长速度越来越慢；
③第四年后该产品停止生产；
④第四年后该产品年产量保持不变．
其中说法正确的有( )
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
【解析】选B.增长速度是产量对时间的导数,即图象中切线的斜率.由图象可知，②④是正确的．
3.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π,且用料最省，则圆柱的底面半径为 .
【解析】设圆柱的底面半径为R，母线长为L,则V=πR2L=27π,所以.要使用料最省，只需使圆柱表面积最小.S表=πR2+2πRL=πR2+2π·,令S′表=2πR- =0,得R=3, 可得当R=3时，S表最小.
答案：3
4.(2017·临沂模拟)一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为4-x万元，且每万件国家给予补助21世纪教育网版权所有
万元.(e为自然对数的底数，e是一个常数)
(1)写出月利润f(x)(万元)关于月产量x(万件)的函数解析式.
(2)当月产量在［1，2e］万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值y(万元)及此时的月生产量值x(万件).(注：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本)21cnjy.com
【解析】(1)由月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本，
列表如下：
由上表得：f(x)=-x2+2(e+1)x-2eln x-2在定义域［1，2e］上的最大值为f(e),且f(e)=e2-2.
即：月生产量在［1,2e］万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为f(e)=e2-2,此时的月生产量值为e万件.21教育网
1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程
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1.把区间［1,3］n等分，所得n个小区间，每个小区间的长度为( )
【解析】选B.区间长度为2，n等分后每个小区间的长度为.
2.求由曲线y=x2与直线x=1,x=2,y=0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是 .21教育网
【解析】将区间5等分所得的小区间为 于是所求平面图形的面积近似值等于
答案：1.02
3.已知某物体运动的速度为v=t，t∈［0,10］，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为 .21cnjy.com
【解析】把区间［0,10］进行10等分所得区间分别为［0,1］,［1,2］,［2,3］，…，［9,10］，则物体运动的路程近似值为1+2+3+4+…+10=55.21·cn·jy·com
答案：55
4.求抛物线f(x)=1+x2与直线x=0，x=1，y=0所围成的平面图形的面积S.
【解析】①分割：把区间［0,1］等分成n个小区间(i=1,2，…，n)，其长度Δx=，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积分别记为ΔSi(i=1,2，…，n).21世纪教育网版权所有
②近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积.
1.5.3 定积分的概念
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1.定积分xdx等于( )
A. B.-1 C.0 D.1
【解析】选C.如图所示，定积分为图中阴影部分面积A减去B.
因为SA=SB=,所以
2.设f(x)是［a，b］上的连续函数，则的值( )
A.小于零 B.等于零
C.大于零 D.不能确定
【解析】选B. 都表示曲线y=f(x)与x=a，x=b及y=0围成的图形的面积，不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置.所以其值为0.21世纪教育网版权所有
3.已知f(x)dx=4，则( )
【解析】选B.利用定积分的性质知f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx=4.
4.利用定积分的性质和定义表示下列曲线y=，y=0，x=2围成的平面区域的面积为 .
【解析】曲线所围成的区域如图所示.
设此面积为S，则S=
答案：
5.用定积分表示抛物线y=x2-2x+3与直线y=x+3所围成的图形面积.
【解析】解方程组得交点横坐标为x=0和x=3.作图如下
曲边梯形面积为：(x2-2x+3)dx.
梯形面积为：(x+3)dx.
所以阴影面积为：(x+3)dx-(x2-2x+3)dx
=(-x2+3x)dx.
1.6 微积分基本定理
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1.与定积分相等的是( )
【解析】选B.因为
2.函数f(x)=x2+2x+m(x,m∈R)的最小值为-1，则f(x)dx等于( )
A.2 B. C.6 D.7
【解析】选B.f(x)=x2+2x+m=(x+1)2+m-1，最小值为-1，即m-1=-1，所以m=0，21世纪教育网版权所有
3.设f(x)= 则f(x)dx等于( )
【解析】选C.如图，
4.下列等式成立的是 .(填序号)
【解析】利用定积分的性质进行判断知①②④均成立，③不成立.
答案：①②④
5.求函数f(x)= 在区间［0，5］上的积分.
【解析】由定积分性质知
6.已知f(a)= (2ax2-a2x)dx,求f(a)的最大值.
【解析】
1.7.1 定积分在几何中的应用
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1.若y=f(x)与y=g(x)是［a,b］上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x=a,x=b所围成的平面区域的面积为( )21教育网
【解析】选C.当f(x)＞g(x)时，所求面积为当f(x)≤g(x)时，所求面积为综上，所求面积为21cnjy.com
2.如图，阴影区域是由函数y=cos x的一段图象与x轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是( )
A.1 B.2
C. D.π
【解析】选B.根据余弦函数的对称性可得，曲线从x=-到x=与x轴围成的面积与从x=到x=与x轴围成的面积相等，所以阴影区域的面积
3.曲线y=cos x(0≤x≤)与x轴所围图形的面积为( )
A.4 B.2 C. D.3
【解析】选D.曲线与x轴所围图形的面积为
4.曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为_______.
【解析】画出曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形，如图所示，则曲线y=x2与直线y=x所围成的封团图形的面积为21世纪教育网版权所有
答案：
5.抛物线y=-x2+4x-3及其在点A(1，0)和点B(3，0)处的切线所围成的图形的面积为____________.
【解析】由y′=-2x+4得在点A，B处切线的斜率分别为2和-2，则两直线方程分别为y=2x-2和y=-2x+6，
由得C(2，2)，
答案：
6.求抛物线y=x2在x=2处的切线与抛物线以及x轴所围成的曲边图形的面积.
【解析】y′=2x,则所求切线的斜率为k=4，切线方程为y-4=4(x-2)，作出所求图形(如图所示的阴影部分)，
1.7.2 定积分在物理中的应用
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1.一物体沿直线以v=2t+1(t的单位：s,v的单位：m/s)的速度运动，则该物体在1～2 s间行进的路程为( )
A.1 m B.2 m C.3 m D.4 m
【解析】选D.
2.一物体在力 (单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x=0处运动到x=4(单位：m)处，则力F(x)做的功为( )21世纪教育网版权所有
A.44 J B.46 J C.48 J D.50 J
【解析】选B.
3.将一弹簧压缩2厘米，需要8牛顿的力，将它从自然长度压缩10厘米，做的功为_________________.
【解析】设力F(x)=kx，
由题意：8=k×0.02，
所以k=400.所以F(x)=400x.
所以
答案：2 J
4.一物体在变力F(x)=2x2-1作用下沿直线由x=1运动到x=3,则力F(x)所做的功等于___________.
【解析】F(x)所做的功
答案：
5.一物体在变力 (x的单位：m，F的单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向从x=0运动到x=5处，求变力所做的功.21教育网
【解析】变力F(x)所做的功为
=12+60=72(J).
所以变力所做的功为72 J.
2.1.1 合情推理
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1.下面使用类比推理恰当的是 ( )
A.“若a·3=b·3,则a=b”类比出“若a·0=b·0,则a=b”
B.“(a+b)c=ac+bc”类比出“(a·b)c=ac·bc”
C.“(a+b)c=ac+bc”类比出“=+(c≠0)”
D.“(ab)n=anbn”类比出“(a+b)n=an+bn”
【解析】选C.A项,结论“若a·0=b·0,则a=b”错误,故A项不符合题意;B项,结论“(a·b)c=ac·bc”错误,故B项不符合题意;C项,结论“=+(c≠0)”正确,且推理前后形式类似,是恰当的类比推理,故C项符合题意;D项,结论“(a+b)n=an+bn”错误,故D项不符合题意.21世纪教育网版权所有
2.命题“在平行四边形ABCD中,=+”,据此,运用类比推理在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,可得出结论为________.www.21-cn-jy.com
【解析】根据类比推理的原则,平行四边形类比为平行六面体,对角线类比为体对角线,即向量,+可类比成++,故结论为=++21·cn·jy·com
.
答案:=++
3.顺次计算数列:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,…的前4项的值,由此猜测:an=1+2+3+…+(n-1)+n+(n-1)+…+3+2+1的结果.21cnjy.com
【解析】1=12,
1+2+1=4=22,
1+2+3+2+1=9=32,
1+2+3+4+3+2+1=16=42.
从而猜想:an=1+2+3+…+(n-1)+n+(n-1)+…+3+2+1=n2.
4.如图所示,在三棱锥S-ABC中,SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC,且SA,SB,SC和底面ABC所成的角分别为α1,α2,α3,三个侧面△SBC,△SAC,△SAB的面积分别为S1,S2,S3,类比三角形中的正弦定理,给出空间情形的一个猜想.21教育网
【解析】在一个三角形中,各边长和它所对角的正弦的比相等,即==,类比三角形,我们可以猜想在三棱锥中,各侧面的面积和它所对角α1,α2,α3的正弦的比相等,即==.
2.1.2 演绎推理
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1.三段论“①只有船准时起航,才能准时到达目的港;②这艘船是准时到达目的港的;③这艘船是准时起航的.”中的小前提是 ( )21教育网
A.① B.② C.①② D.③
【解析】选D.本题中①为大前提,③为小前提,②为结论.
2.“指数函数y=ax(a>0且a≠1)是R上的增函数,而y=是指数函数,所以y=是R上的增函数”,上述三段论推理过程中导致结论错误的是 ( )21世纪教育网版权所有
A.大前提 B.小前提 C.大、小前提 D.推理形式
【解析】选A.指数函数y=ax(a>0且a≠1)当a>1时在R上是增函数,当03.下面是一段演绎推理:
大前提:如果直线平行于平面,则这条直线平行于平面内的所有直线;
小前提:已知直线b∥平面α,直线a?平面α;
结论:所以直线b∥直线a.
在这个推理中,错误的是________.
【解析】大前提错误.因为直线平行于平面,这条直线并不平行于平面内的所有直线.
答案:大前提
4.补充下列推理,使其成为完整的三段论.
(1)因为互为相反数的两个数的和为0,又因为a与b互为相反数且________,所以b=8.
(2)因为________,又e=2.71828…是无限不循环小数,所以e是无理数.
答案:(1)a=-8
(2)无限不循环小数是无理数
5.已知a,b,m均为正实数,且b【解析】因为不等式两边同乘以一个正数,不等号方向不变,
………………………………………………………………………………大前提
b0,………………………………………………………小前提
所以mb因为不等式两边同加上一个数,不等号方向不变, …………………大前提
mb所以mb+ab因为不等式两边同除以一个正数,不等号方向不变,
…………………………………………………………………………………大前提
b(a+m)0, ……………………………………小前提
所以<,即<.………………………………………………结论
6.设f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)的图象的一条对称轴是直线x=.
(1)求φ.
(2)求y=f(x)的单调递增区间.
【解析】(1)因为直线x=是函数y=f(x)的图象的一条对称轴,
所以sin=±1.所以+φ=kπ+,k∈Z.
因为-π<φ<0,所以φ=-.
(2)由(1)知φ=-π,因此y=sin.
由题意,得2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z.
所以kπ+≤x≤+kπ,k∈Z.
所以函数y=sin的单调递增区间为,k∈Z.
2.2.1.1 综合法
课时达标训练
1.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
【解析】选B.由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,
即sin(B+C)=sin2A,又因为A+B+C=π,
所以sinA=sin2A即sinA=1.所以A=.
2.平面内有四边形ABCD和点O,+=+,则四边形ABCD为 ( )
A.菱形 B.梯形
C.矩形 D.平行四边形
【解析】选D.因为+=+,所以-=-,所以=,所以四边形ABCD为平行四边形.
3.已知x,y,a∈(0,+∞)且+=4,则使得x+y≥a恒成立的a的取值范围是_____.
【解析】因为+=4,则x+y=(x+y)·=·≥·(2+10)=4,
当且仅当=即y=3x时取“=”,
所以a≤4,又因为a>0,所以0答案:(0,4]
4.设a>0,b>0,c>0,若a+b+c=1,则++的最小值为________.
【解析】因为a+b+c=1,
所以++=++=3+++≥3+2+2+2=9,
当且仅当a=b=c=时,取“=”.
答案:9
5.设a≥b>0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2.
【解析】因为a≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>0,
所以3a3+2b3-(3a2b+2ab2)
=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(3a2-2b2)(a-b)≥0,
即3a3+2b3≥3a2b+2ab2.
2.2.1.2 分析法
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1.下列表述:
①综合法是由因导果法;
②综合法是顺推法;
③分析法是执果索因法;
④分析法是间接证明法;
⑤分析法是逆推法.
其中正确的语句有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【解析】选C.结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确,分析法和综合法均为直接证明法,故④不正确.21世纪教育网版权所有
2.要证不等式-<-成立,只需证 ( )
A.(-)2<(-)2
B.(-)2>(-)2
C.(+)2<(+)2
D.(--)2<(-)2
【解析】选C.因为-<0,-<0,
所以要证-<-,
只需证+<+,
即证(+)2<(+)2.
3.下列条件①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0中能使不等式+≥2成立的有________(填上正确答案的序号).21教育网
【解析】要使不等式+≥2成立,需使不等式中a,b同号,所以其正确答案序号为①③④.
答案:①③④
4.如果a>b,则实数a,b应满足的条件是________.
【解析】要使a>b成立,只需(a)2>(b)2,只需a3>b3≥0,即a,b应满足a>b≥0.
答案:a>b≥0
5.设a,b>0,且a≠b,用分析法证明:a3+b3>a2b+ab2.
【证明】要证a3+b3>a2b+ab2成立,
只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立,
又因为a+b>0,
只需证a2-ab+b2>ab成立,
只需证a2-2ab+b2>0成立,
即证(a-b)2>0成立.
由题设a≠b可知,(a-b)2>0显然成立.
所以命题得证.
2.2.2 反证法
课时达标训练
1.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,反设正确的是 ( )
A.假设三内角都不大于60°
B.假设三内角都大于60°
C.假设三内角至多有一个大于60°
D.假设三内角至多有两个大于60°
【解析】选B.“至少有一个不大于60°”的否定是“都大于60°”.
2.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用 ( )
①结论相反判断,即假设;②原命题的条件;③公理、定理、定义等;④原结论.
A.①② B.①②④
C.①②③ D.②③
【解析】选C.反证法证明过程除原结论外其他如假设、原命题条件、公理、定理、定义等都能做条件使用.
3.实数a,b,c满足a+2b+c=2,则 ( )
A.a,b,c都是正数
B.a,b,c都大于1
C.a,b,c都小于2
D.a,b,c中至少有一个不小于
【解析】选D.假设a,b,c均小于,则a+2b+c<+1+=2,与已知矛盾,故假设不成立,所以a,b,c中至少有一个不小于.21世纪教育网版权所有
4.用反证法证明命题:“若a,b是实数,且|a-1|+|b-1|=0,则a=b=1”时,要做的假设是________________.
【解析】结论“a=b=1”的含义是a=1且b=1,故其否定应为“a≠1或b≠1”.
答案:a≠1或b≠1
5.已知非零实数a,b,c构成公差不为0的等差数列,求证:,,不可能构成等差数列.
【证明】假设,,成等差数列,
则=+,
所以2ac=bc+ab. ①
又a,b,c成等差数列,所以2b=a+c. ②
把②代入①,得2ac=b(a+c)=b·2b,
所以b2=ac, ③
把②平方,得4b2=(a+c)2, ④
把③代入④,得4ac=(a+c)2,所以(a-c)2=0,
所以a=c.
代入②得b=a,故a=b=c,
所以数列a,b,c的公差为0,
这与已知矛盾.故,,不可能构成等差数列.
2.3 数学归纳法
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1.某同学回答“用数学归纳法证明证明:①当n=1时,显然命题是正确的;②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,有A.从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设
B.假设的写法不正确
C.从k到k+1的推理不严密
D.当n=1时,验证过程不具体
【解析】选A.分析证明过程中的②可知,从k到k+1的推理过程中没有使用归纳假设,故该证法不能叫做数学归纳法.21教育网
2.用数学归纳法证明不等式1+++…+>成立时,起始值n至少应取为
( )
A.7 B.8 C.9 D.10
【解析】选B.因为1+++…+==2-==,而1+++…+>.
3.用数学归纳法证明:++…+>-(n∈N*).假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是_________________________________.21世纪教育网版权所有
【解析】从不等式结构看,左边n=k+1时,最后一项为,前面的分母的底数是连续的整数.右边n=k+1时,式子为-.即不等式为++…+>-.
答案:++…+>-
4.用数学归纳法证明:+++…+=,n∈N*.
【证明】(1)当n=1时,左边==,右边=,等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立,
即+++…+=成立.
当n=k+1时,
+++…++
=+
=
===.
所以当n=k+1时,等式也成立.
由(1)(2)可得,对一切n∈N*,等式成立.
