3.3 公式法（1）同步练习
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3.3 公式法（1）同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
１.把乘法公式从右到左地使用,可以把某些多项式进行因式分解,这种因式分解的方法叫做 公式法 ．
２.将多项式因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止．
３.将多项式因式分解一般先试用提公因式法,再试用公式法 ．
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1．把-16+a2分解因式，结果是（ ）
A. (a+8) (a-8) B. (a+4) (a-4) C. (a+2) (a-2) D. (a-4)2
2．已知a-b=3，则 的值是（ ）
A. 4 B. 6 C. 9 D. 12
3．分解因式a2b-b3结果正确的是（ ）
A. b（a+b）（a-b） B. b（a-b）2 C. b（a2-b2） D. b（a+b）2
4．计算：852﹣152=（ ）
A. 70 B. 700 C. 4900 D. 7000
5．一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是（ ）
A. B. C. D.
6．已知多项式x2＋a能用平方差公式在有理数范围内分解因式，那么在下列四个数中a可以等于( )
A. 9 B. 4 C. －1 D. －2
7．如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形。根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A. B.
C. D.
8．边长为a的正方形，边长减少b以后所得较小正方形的面积比原来正方形的面积减少了（ ）
A. B. ＋2ab C. 2ab D. b(2a—b)
二、填空题
9．简便计算：7.292﹣2.712=_____________．
10．若|m﹣1|+=0，将mx2﹣ny2因式分解得_____．
11．分解因式______________.
12．若x－y＝7， ，则3x+5y＝__________。
13．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：(x－y)=0，(x+y)=18，(x2+y2)=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式9x3-4xy2，取x=10，y=9时，用上述方法产生的密码是：
___________ (写出一个即可)．
三、解答题
14．因式分解
（1）
（2）
15．利用因式分解简便计算（要求写出完整计算过程）
(1) （2）
16．当n为整数时，（n+1）2﹣（n﹣1）2的值一定是4的倍数吗？
17．17．如图，在一块边长为a米的正方形空地的四角均留出一块边长为b(b＜)米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪．利用因式分解计算当a=13.2，b=3.4时，草坪的面积.
18．通过学习，同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算带来的方便、快捷.相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦.
例：用简便方法计算.
解：
①
②
.
（1）例题求解过程中，第②步变形是利用 （填乘法公式的名称）
（2）用简便方法计算： .
19．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“神秘数”．
(1)28和2 020这两个数是“神秘数”吗？为什么？
(2)设两个连续偶数为2k＋2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？
(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是“神秘数”吗？为什么？
参考答案
1．B
【解析】试题解析：原式
故选B.
点睛：因式分解的常用方法：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法.
2．C
【解析】∵a-b=3，
∴
=(a+b)(a-b)-6b
=(a+b)(a-b)-6b
=3(a+b) -6b
=3a+3b-6b
=3(a-b)
=3×3
=9.
故选C.
3．A
【解析】试题分析：本题首先进行提取公因式b，然后再利用平方差公式进行因式分解.原式=b()=b(a+b)(a-b).
4．D
【解析】原式=（85+15）（85-15）=100×70=7000，故选D.
5．B
【解析】试题解析：（b3+2）（2-b3）=4-b6．
故选B．
6．C
【解析】当x=-1时，x2-1=（x+1）（x-1），其它的三个选项都不符合要求，故选C.
7．D
【解析】由题意可知：
（1）左边图中：阴影部分的面积= ；
（2）右边长方形的长为，宽为，因此右边长方形的面积=；
∵左边图中阴影部分面积=右边长方形的面积，
∴.
故选D.
8．D
【解析】试题解析：由题意得．
故选D．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，关键是正确掌握正方形的面积公式．
9．45.8
【解析】7.292﹣2.712=(7.29+2.71)(7.29-2.71)=10×4.58=45.8.
点睛：本题主要考查了平方差公式，熟练应用平方差公式，a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），可简化计算过程．
10．（x+3y）（x﹣3y）
【解析】试题解析：∵|m﹣1|+=0，
∴m=1，n=9，
则mx2﹣ny2
=x2﹣9y2
=（x+3y）（x﹣3y）．
故答案为：（x+3y）（x﹣3y）．
11．
【解析】(a b) 4b =(a b+2b)(a b 2b)=(a+b)(a 3b).
故答案为：(a+b)(a 3b).
【答案】5
【解析】∵x－y＝7， ，
∴x+y=3；
解方程组可得 ，
∴3x+5y＝3×5+5×（-2）=5.
13．104812或101248或481012或481210或121048或124810任意一个均对
【解析】先将多项式9x3-4xy2因式分解可得:,因为x=10,y=9,则各因式的值是:,则密码是:104812或101248或481012或481210或121048或124810.
点睛:本题考查因式分解,解决本题的关键是要弄清题意,能够正确对多项式进行因式分解.
14．（1）（2）
【解析】试题分析：（1）先提取公因式a后，再运用平方差公式因式分解；（2）提取公因式2(a+b)进行因式分解；
试题解析：
（1）原式＝a(a2-4)=a(a2-22)= ;
（2）原式＝。
15．(1)800;(2)3.98.
【解析】试题分析：（1）利用平方差公式得到原式=（201+199）×（201-199），然后进行有理数运算；
（2）利用提公因式得到原式=1.99×（1.99+0.01），然后进行有理数运算．
试题解析：（1）原式=（201+199）×（201-199）
=400×2
=800；
（2）原式=1.99×（1.99+0.01）
=1.99×2
=3.98．
16．结果一定为4的倍数
【解析】试题分析：原式利用平方差公式分解因式，变形得到结果，即可做出判断．
试题解析：解：原式=[（n+1）+（n﹣1）][（n+1）﹣（n﹣1）]
=4n，
则结果一定为4的倍数．
点睛：此题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
17．（a2-4b2）平方米，128平方米
【解析】试题分析：由正方形面积减去四个小正方形面积求出剩余的面积，将a与b的值代入计算即可求出值．
试题解析：根据题意得：剩余部分的面积为（a2-4b2）平方米，
当a=13.2，b=3.4时，
（a2-4b2）=( a+2b)( a-2b)=(13.2+6.8)×( 13.2-6.8)=128平方米.
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18．（1）平方差公式;（2）.
【解析】分析：（1）因为这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，所以利用平方差公式；（2）首先将原式变形为：（10-1）（10+1）（100+1）（10000+1），再利用平方差公式依次计算即可求得答案．
本题解析：
（1）平方差公式
（2）.
19．（1）是，理由见解析；（2）是，理由见解析；（3）不是，理由见解析
【解析】试题分析：（1）试着把28、2012写成平方差的形式，解方程即可判断是否是神秘数；
（2）化简两个连续偶数为2k+2和2k的差，再判断；
（3）设两个连续奇数为2k+1和2k-1，则（2k+1）2-（2k-1）2=8k=4×2k，即可判断两个连续奇数的平方差不是神秘数．
试题解析：
(1)因为28＝82－62，2 020＝5062－5042，所以28和2 020都是“神秘数”．
(2)(2k＋2)2－(2k)2＝4(2k＋1)，因此由2k＋2和2k构造的“神秘数”是4的倍数．
(3)由(2)知“神秘数”可表示为4的倍数但一定不是8的倍数．
设两个连续奇数为2k＋1和2k－1，则(2k＋1)2－(2k－1)2＝8k，
所以两个连续奇数的平方差不是“神秘数”．
【点睛】此题首先考查了阅读能力、探究推理能力．对知识点的考查，主要是平方差公式的灵活应用．
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3.3 公式法（1）同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
１.把乘法公式从右到左地使用,可以把某些多项式进行因式分解,这种因式分解的方法叫做 公式法 ．
２.将多项式因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止．
３.将多项式因式分解一般先试用提公因式法,再试用公式法 ．
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1．把-16+a2分解因式，结果是（ ）
A. (a+8) (a-8) B. (a+4) (a-4) C. (a+2) (a-2) D. (a-4)2
2．已知a-b=3，则 的值是（ ）
A. 4 B. 6 C. 9 D. 12
3．分解因式a2b-b3结果正确的是（ ）
A. b（a+b）（a-b） B. b（a-b）2 C. b（a2-b2） D. b（a+b）2
4．计算：852﹣152=（ ）
A. 70 B. 700 C. 4900 D. 7000
5．一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是（ ）
A. B. C. D.
6．已知多项式x2＋a能用平方差公式在有理数范围内分解因式，那么在下列四个数中a可以等于( )
A. 9 B. 4 C. －1 D. －2
7．如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形。根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A. B.
C. D.
8．边长为a的正方形，边长减少b以后所得较小正方形的面积比原来正方形的面积减少了（ ）
A. B. ＋2ab C. 2ab D. b(2a—b)
二、填空题
9．简便计算：7.292﹣2.712=_____________．
10．若|m﹣1|+=0，将mx2﹣ny2因式分解得_____．
11．分解因式______________.
12．若x－y＝7， ，则3x+5y＝__________。
13．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：(x－y)=0，(x+y)=18，(x2+y2)=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式9x3-4xy2，取x=10，y=9时，用上述方法产生的密码是：
___________ (写出一个即可)．
三、解答题
14．因式分解
（1）
（2）
15．利用因式分解简便计算（要求写出完整计算过程）
(1) （2）
16．当n为整数时，（n+1）2﹣（n﹣1）2的值一定是4的倍数吗？
17．17．如图，在一块边长为a米的正方形空地的四角均留出一块边长为b(b＜)米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪．利用因式分解计算当a=13.2，b=3.4时，草坪的面积.
18．通过学习，同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算带来的方便、快捷.相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦.
例：用简便方法计算.
解：
①
②
.
（1）例题求解过程中，第②步变形是利用 （填乘法公式的名称）
（2）用简便方法计算： .
19．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“神秘数”．
(1)28和2 020这两个数是“神秘数”吗？为什么？
(2)设两个连续偶数为2k＋2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？
(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是“神秘数”吗？为什么？
参考答案
1．B
【解析】试题解析：原式
故选B.
点睛：因式分解的常用方法：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法.
2．C
【解析】∵a-b=3，
∴
=(a+b)(a-b)-6b
=(a+b)(a-b)-6b
=3(a+b) -6b
=3a+3b-6b
=3(a-b)
=3×3
=9.
故选C.
3．A
【解析】试题分析：本题首先进行提取公因式b，然后再利用平方差公式进行因式分解.原式=b()=b(a+b)(a-b).
4．D
【解析】原式=（85+15）（85-15）=100×70=7000，故选D.
5．B
【解析】试题解析：（b3+2）（2-b3）=4-b6．
故选B．
6．C
【解析】当x=-1时，x2-1=（x+1）（x-1），其它的三个选项都不符合要求，故选C.
7．D
【解析】由题意可知：
（1）左边图中：阴影部分的面积= ；
（2）右边长方形的长为，宽为，因此右边长方形的面积=；
∵左边图中阴影部分面积=右边长方形的面积，
∴.
故选D.
8．D
【解析】试题解析：由题意得．
故选D．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，关键是正确掌握正方形的面积公式．
9．45.8
【解析】7.292﹣2.712=(7.29+2.71)(7.29-2.71)=10×4.58=45.8.
点睛：本题主要考查了平方差公式，熟练应用平方差公式，a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），可简化计算过程．
10．（x+3y）（x﹣3y）
【解析】试题解析：∵|m﹣1|+=0，
∴m=1，n=9，
则mx2﹣ny2
=x2﹣9y2
=（x+3y）（x﹣3y）．
故答案为：（x+3y）（x﹣3y）．
11．
【解析】(a b) 4b =(a b+2b)(a b 2b)=(a+b)(a 3b).
故答案为：(a+b)(a 3b).
【答案】5
【解析】∵x－y＝7， ，
∴x+y=3；
解方程组可得 ，
∴3x+5y＝3×5+5×（-2）=5.
13．104812或101248或481012或481210或121048或124810任意一个均对
【解析】先将多项式9x3-4xy2因式分解可得:,因为x=10,y=9,则各因式的值是:,则密码是:104812或101248或481012或481210或121048或124810.
点睛:本题考查因式分解,解决本题的关键是要弄清题意,能够正确对多项式进行因式分解.
14．（1）（2）
【解析】试题分析：（1）先提取公因式a后，再运用平方差公式因式分解；（2）提取公因式2(a+b)进行因式分解；
试题解析：
（1）原式＝a(a2-4)=a(a2-22)= ;
（2）原式＝。
15．(1)800;(2)3.98.
【解析】试题分析：（1）利用平方差公式得到原式=（201+199）×（201-199），然后进行有理数运算；
（2）利用提公因式得到原式=1.99×（1.99+0.01），然后进行有理数运算．
试题解析：（1）原式=（201+199）×（201-199）
=400×2
=800；
（2）原式=1.99×（1.99+0.01）
=1.99×2
=3.98．
16．结果一定为4的倍数
【解析】试题分析：原式利用平方差公式分解因式，变形得到结果，即可做出判断．
试题解析：解：原式=[（n+1）+（n﹣1）][（n+1）﹣（n﹣1）]
=4n，
则结果一定为4的倍数．
点睛：此题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
17．（a2-4b2）平方米，128平方米
【解析】试题分析：由正方形面积减去四个小正方形面积求出剩余的面积，将a与b的值代入计算即可求出值．
试题解析：根据题意得：剩余部分的面积为（a2-4b2）平方米，
当a=13.2，b=3.4时，
（a2-4b2）=( a+2b)( a-2b)=(13.2+6.8)×( 13.2-6.8)=128平方米.
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18．（1）平方差公式;（2）.
【解析】分析：（1）因为这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，所以利用平方差公式；（2）首先将原式变形为：（10-1）（10+1）（100+1）（10000+1），再利用平方差公式依次计算即可求得答案．
本题解析：
（1）平方差公式
（2）.
19．（1）是，理由见解析；（2）是，理由见解析；（3）不是，理由见解析
【解析】试题分析：（1）试着把28、2012写成平方差的形式，解方程即可判断是否是神秘数；
（2）化简两个连续偶数为2k+2和2k的差，再判断；
（3）设两个连续奇数为2k+1和2k-1，则（2k+1）2-（2k-1）2=8k=4×2k，即可判断两个连续奇数的平方差不是神秘数．
试题解析：
(1)因为28＝82－62，2 020＝5062－5042，所以28和2 020都是“神秘数”．
(2)(2k＋2)2－(2k)2＝4(2k＋1)，因此由2k＋2和2k构造的“神秘数”是4的倍数．
(3)由(2)知“神秘数”可表示为4的倍数但一定不是8的倍数．
设两个连续奇数为2k＋1和2k－1，则(2k＋1)2－(2k－1)2＝8k，
所以两个连续奇数的平方差不是“神秘数”．
【点睛】此题首先考查了阅读能力、探究推理能力．对知识点的考查，主要是平方差公式的灵活应用．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)