3.3 公式法（2）同步练习
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3.3 公式法（2）同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
1. 完全平方公式:a２＋２ab＋b２＝(a＋b)２ ,a２－２ab＋b２＝(a－b)２ ,即两个数的平方和加上(或 减 去)这两个数的积的２倍,等于这两个数的和(或差)的平方．
2.运用完全平方公式的前提 条件是多项式是(或可以看 成)三项式．
3.完全平方公式有两个,二者不能相互替代,注意二者的使用条件．
4.公式中 的a,b可以是单项式,也可以是多项式．
5.分解因式的一般步骤是:一“提”二“套”三“分组”,分组的原则是:①分组后有公因式可提;②分组后有公式可套．分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1．下列各式可以用完全平方公式分解因式的是（ ）
A. x2﹣y2 B. a2-2ab+4b2 C. 4m2-m+ D. -9+6y-y2
2．下列各式中，不含因式a+1的是（ ）
A. 2a2+2a B. a2+2a+1 C. a2﹣1 D.
3．a是有理数，则整式a （a -2）-2a +4的值（ ）
A. 不是负数 B. 恒为正数 C. 恒为负数 D. 不等于0
4．图（1）是一个长为,宽为（）的长方形,用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
5．若非零实数满足，则的值为（ ）
A. －2 B. 2 C. D.
6．已知x=+20，y=4（2b-a），x与y的大小关系是（ ）
A. x≥y B. x≤y C. xy
7．如果多项式能用公式法分解因式，那么k的值是（ ）
A. 3 B. 6 C. D.
二、填空题
8．利用完全平方公式计算：
1032=（100+______）2=1002+2×100×_______+（_____）2=_______．
9．利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式________．
10．一个长方形的面积为a3－2a2＋a，宽为a，则长方形的长为___________.
11．若a2+b2﹣2a+4b+5=0，则2a+b=_____________．
12．分解因式：x2+2xy+y2﹣4=____________．
13．长为a、宽为b的矩形，它的周长为16，面积为12，则的值为_____.
三、解答题
14．把下列各式分解因式：
（1） （2）
（3） （4）
（5） (6)
(7) (8)
(9) (10)
15．如果x2+2(m-3)x+25能用公式法分解因式，那么m的值是多少？
16．阅读材料：
分解因式：x2+2x-3
解：原式=x2+2x+1-1-3
=（x2+2x+1）-4
=（x+1）2-4
=（x+1+2）（x+1-2）
=（x+3）（x-1）
此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项成为完全平方式，我们把这种分解因式的方法叫配方法．请仔细体会配方法的特点，然后尝试用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2-4mn+3n2；
（2）无论m取何值，代数式m2-3m+2015总有一个最小值，请你尝试用配方法求出它的最小值．
17．已知a+b=1，ab=-1.设
（1）计算S2；
（2）请阅读下面计算S3的过程：
=
=
=
∵a+b=1，ab=-1，
∴_______.
你读懂了吗？请你先填空完成（2）中S3的计算结果；再计算S4；
（3）猜想并写出， ， 三者之间的数量关系（不要求证明，且n是不小于2的自然数），根据得出的数量关系计算S3.
18．阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式, 我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如： ＝
＝
＝＝
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用多项式的配方法将化成的形式；
（2）下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式的解答过程：
老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用“ ”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程：
（3）求证：x，y取任何实数时，多项式的值总为正数．
参考答案
1．D
【解析】A. ∵x2﹣y2 可以用平方差公式分解因式，故不符合题意；
B. ∵a2-2ab+4b2不能分解因式，故不符合题意；
C. ∵4m2-m+不能分解因式，故不符合题意；
D. ∵-9+6y-y2=-(3-y)2，故符合题意；
故选D.
2．D
【解析】A. 2a2+2a=2a(a+1) ，故不符合题意；
B. a2+2a+1=(a+1)2 ，故不符合题意；
C. a2﹣1=(a+1)(a-1) ，故不符合题意；
D. =(a+)2，故符合题意；
故选D.
3．A
【解析】a （a -2）-2a +4=a4-2a2-2a +4= a4-4a2+4=(a2-2)2≥0,
故选A.
点睛：本题考查了完全平方公式法因式分解及偶次方的非负性，因为a （a -2）-2a +4分解因式后得(a2-2)2，而(a2-2)2≥0，所以选A.
4．B
【解析】图（1）的面积是：2a·2b=4ab，
图（2）的面积是：（a+b）2=a2+2ab+b2，
所以图（2）中间空白部分的面积为：（a+b）2-2a·2b= a2+2ab+b2-4ab=(a-b)2，
故选B.
5．B
【解析】试题解析：把a2+4b2=4ab，变形得：（）2-4 +4=0，即（-2）2=0，
解得： =2，
故选B
6．A
【解析】x y=a2+b2+20 8b+4a=(a+2)2+(b 4)2
∵(a+2)2 0，(b 4)2 0，
∴x y 0，
∴x y，
故选：A.
点睛：此题考查因式分解的应用.比较两个式子的大小，通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大，反之减数大.
7．D
【解析】由于可以利用公式法分解因式，所以它是一个完全平方式，所以.
故选：D.
8．； ； ； .
【解析】试题解析：
故答案为：
9．a2+2ab+b2=（a+b）2
【解析】试题分析：两个正方形的面积分别为a2，b2，两个长方形的面积都为ab，组成的正方形的边长为a＋b，面积为(a＋b)2，
所以a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2．
点睛：本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系．
10．(a－1)2
【解析】根据题意得，(a3－2a2＋a)÷a=a2-2a+1=(a-1)2.
故答案为(a-1)2.
11．0
【解析】解：由题意得：a2+b2﹣2a+4b+5=0
a2﹣2a+1+b2+4b+4=0
即：（a﹣1）2+（b+2）2=0，
由非负数的性质得a=1，b=﹣2．则2a+b=0．故答案为：0；
点睛：本题考查了配方法的应用，解题的关健在于要理解偶次方是非负数．当两个偶次方相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
12．（x+y+2）（x+y﹣2）
【解析】试题解析：x2＋2xy＋y2－4=（ x + y）2-4=（x+y+2)(x+y-2)
13．480
【解析】试题分析：∵长为a、宽为b的矩形，它的周长为16，面积为12，
∴a+b=8，ab=12，
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=82-2×12=40，
∴a,3b+ab3=ab(a2+b2)=12×40=480．
故答案为480．
点睛：此题主要考查了完全平方公式和提取公因式法分解因式的应用，正确分解因式是解题关键．
14．(1)(2x+5y)(2x-5y); (2)y(x+1)(x-1); (3)(2x+y-z)(2x-y+z); (4)(5a-3b)(3a-5b);
(5)-3xy(y+3x)(y-3x); (6)4a2(x+2y)(x-2y); (7)(a+4)(a-4); (8) ;
(9)(7p+5q)(p+7q); (10)-(27a+b)(a+27b);.
【解析】试题分析：（1）直接利用平方差公式进行分解即可；
（2）首先提取公因式y，再利用平方差公式进行分解即可；
（3）直接利用平方差公式进行分解即可；
（4）直接利用平方差公式进行分解即可；
（5）首先提取公因式-3xy，再利用平方差公式进行分解即可；
（6）首先提取公因式4a2，再利用平方差公式进行分解即可；
（7）首先进行乘法运算，再利用平方差进行分解即可；
（8）直接利用平方差公式进行二次分解即可；
（9）首先利用平方差公式进行分解，再把括号里面的同类项进行合并即可；
（10）直接利用平方差公式进行分解即可．
试题解析：（1）原式=（2x+5y）（2x-5y）；
（2）原式=y（x2-1）
=y（x+1）（x-1）；
（3）原式=（2x+y-z）（2x-y+z）；
（4）原式=（5a-3b）（3a-5b）；
（5）原式=-3xy（y2-9）
=-3xy（y+3x）（y-3x）；
（6）原式=4a2（x2-4y2 ）
=4a2（x+2y）（x-2y）；
（7）原式=a2-16+6a-6a
=（a+4）（a-4）；
（8）原式=（9x2+y2）（3x+y）（3x-y）；
（9）原式=（7p+5q）（p+7q）；
（10）原式=-（27a+b）（a+27b）．
15．m=8或-2．
【解析】试题分析：利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值，注意包括两种情况．
试题解析：∵x2+2（m-3）x+25能用公式法分解因式，
∴2（m-3）=±10，
解得：m=8或-2．
16．（1） （m-3n）（m-n）；
（2）代数式m2-3m+2015的最小值为
【解析】试题分析：（1）二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方；
（2）利用配方法将代数式m2-3m+2015转化为完全平方与和的形式=(m )2+2012，然后利用非负数的性质进行解答．
试题解析：（1）m2-4mn+3n2=m2-4mn+4n2-n2
=（m-2n）2-n2
=（m-3n）（m-n）；
（2）m2-3m+2015=m2 3m+()2 ()2+2015
=(m )2 ()2+2015
=(m )2+2012，
∵(m )2≥0，
∴(m )2+2012≥2012，
即代数式m2-3m+2015的最小值为2012．
17．（1）S=3；（2）4，S=7； （3）S+S=S， S= 47.
【解析】试题分析：（1）根据完全平方公式即可求出S2；
（2）根据得出的结论，代入即可求出S3；根据完全平方公式即可求出S4；
（3）根据（1）（2）求出的结果得出规律，即可求出答案．
试题解析：
解：（1）S2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝12－2×(－1)＝3；
（2）S3＝S2＋1＝3＋1＝4，
故答案为：4；
∵S4＝a4＋b4＝( a2＋b2)2－2a2b2＝( a2＋b2)2－2(ab)2，
又∵a2＋b2═3，ab＝－1，
∴S4＝32－2×1＝7；
（3）∵S1＝1，S2＝3，S3＝4，S4＝7，
∴S1＋S2＝S3，S2＋S3＝S4．
猜想：Sn－2＋Sn－1＝Sn．
∵S3＝4，S4＝7，
∴S5＝S3＋S4＝4＋7＝11，
∴S6＝S4＋S5＝7＋11＝18，
∴S7＝S5＋S6＝11＋18＝29，
∴S8＝S6＋S7＝18＋29＝47．
点睛：本题是一道规律探索题，用到的知识主要有完全平方公式、因式分解的应用，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
18．（1） ；（2）；（3）见解析
【解析】试题分析：（1）根据配方法，可得答案；
（2）根据配方法，可得平方差公式，再根据平方差公式，可得答案；
（3）根据交换律、结合率，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案．
试题解析：解：（1）
=
=
（2）
=
=
=
=
（3）证明：
=
=
∵≥0， ≥0，
∴．
∴x，y取任何实数时，多项式的值总是正数．
点睛：本题考查了配方法，利用完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2配方是解题关键．
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3.3 公式法（2）同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
1. 完全平方公式:a２＋２ab＋b２＝(a＋b)２ ,a２－２ab＋b２＝(a－b)２ ,即两个数的平方和加上(或 减 去)这两个数的积的２倍,等于这两个数的和(或差)的平方．
2.运用完全平方公式的前提 条件是多项式是(或可以看 成)三项式．
3.完全平方公式有两个,二者不能相互替代,注意二者的使用条件．
4.公式中 的a,b可以是单项式,也可以是多项式．
5.分解因式的一般步骤是:一“提”二“套”三“分组”,分组的原则是:①分组后有公因式可提;②分组后有公式可套．分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1．下列各式可以用完全平方公式分解因式的是（ ）
A. x2﹣y2 B. a2-2ab+4b2 C. 4m2-m+ D. -9+6y-y2
2．下列各式中，不含因式a+1的是（ ）
A. 2a2+2a B. a2+2a+1 C. a2﹣1 D.
3．a是有理数，则整式a （a -2）-2a +4的值（ ）
A. 不是负数 B. 恒为正数 C. 恒为负数 D. 不等于0
4．图（1）是一个长为,宽为（）的长方形,用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
5．若非零实数满足，则的值为（ ）
A. －2 B. 2 C. D.
6．已知x=+20，y=4（2b-a），x与y的大小关系是（ ）
A. x≥y B. x≤y C. x
7．如果多项式能用公式法分解因式，那么k的值是（ ）
A. 3 B. 6 C. D.
二、填空题
8．利用完全平方公式计算：
1032=（100+______）2=1002+2×100×_______+（_____）2=_______．
9．利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式________．
10．一个长方形的面积为a3－2a2＋a，宽为a，则长方形的长为___________.
11．若a2+b2﹣2a+4b+5=0，则2a+b=_____________．
12．分解因式：x2+2xy+y2﹣4=____________．
13．长为a、宽为b的矩形，它的周长为16，面积为12，则的值为_____.
三、解答题
14．把下列各式分解因式：
（1） （2）
（3） （4）
（5） (6)
(7) (8)
(9) (10)
15．如果x2+2(m-3)x+25能用公式法分解因式，那么m的值是多少？
16．阅读材料：
分解因式：x2+2x-3
解：原式=x2+2x+1-1-3
=（x2+2x+1）-4
=（x+1）2-4
=（x+1+2）（x+1-2）
=（x+3）（x-1）
此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项成为完全平方式，我们把这种分解因式的方法叫配方法．请仔细体会配方法的特点，然后尝试用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2-4mn+3n2；
（2）无论m取何值，代数式m2-3m+2015总有一个最小值，请你尝试用配方法求出它的最小值．
17．已知a+b=1，ab=-1.设
（1）计算S2；
（2）请阅读下面计算S3的过程：
=
=
=
∵a+b=1，ab=-1，
∴_______.
你读懂了吗？请你先填空完成（2）中S3的计算结果；再计算S4；
（3）猜想并写出， ， 三者之间的数量关系（不要求证明，且n是不小于2的自然数），根据得出的数量关系计算S3.
18．阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式, 我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如： ＝
＝
＝＝
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用多项式的配方法将化成的形式；
（2）下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式的解答过程：
老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用“ ”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程：
（3）求证：x，y取任何实数时，多项式的值总为正数．
参考答案
1．D
【解析】A. ∵x2﹣y2 可以用平方差公式分解因式，故不符合题意；
B. ∵a2-2ab+4b2不能分解因式，故不符合题意；
C. ∵4m2-m+不能分解因式，故不符合题意；
D. ∵-9+6y-y2=-(3-y)2，故符合题意；
故选D.
2．D
【解析】A. 2a2+2a=2a(a+1) ，故不符合题意；
B. a2+2a+1=(a+1)2 ，故不符合题意；
C. a2﹣1=(a+1)(a-1) ，故不符合题意；
D. =(a+)2，故符合题意；
故选D.
3．A
【解析】a （a -2）-2a +4=a4-2a2-2a +4= a4-4a2+4=(a2-2)2≥0,
故选A.
点睛：本题考查了完全平方公式法因式分解及偶次方的非负性，因为a （a -2）-2a +4分解因式后得(a2-2)2，而(a2-2)2≥0，所以选A.
4．B
【解析】图（1）的面积是：2a·2b=4ab，
图（2）的面积是：（a+b）2=a2+2ab+b2，
所以图（2）中间空白部分的面积为：（a+b）2-2a·2b= a2+2ab+b2-4ab=(a-b)2，
故选B.
5．B
【解析】试题解析：把a2+4b2=4ab，变形得：（）2-4 +4=0，即（-2）2=0，
解得： =2，
故选B
6．A
【解析】x y=a2+b2+20 8b+4a=(a+2)2+(b 4)2
∵(a+2)2 0，(b 4)2 0，
∴x y 0，
∴x y，
故选：A.
点睛：此题考查因式分解的应用.比较两个式子的大小，通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大，反之减数大.
7．D
【解析】由于可以利用公式法分解因式，所以它是一个完全平方式，所以.
故选：D.
8．； ； ； .
【解析】试题解析：
故答案为：
9．a2+2ab+b2=（a+b）2
【解析】试题分析：两个正方形的面积分别为a2，b2，两个长方形的面积都为ab，组成的正方形的边长为a＋b，面积为(a＋b)2，
所以a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2．
点睛：本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系．
10．(a－1)2
【解析】根据题意得，(a3－2a2＋a)÷a=a2-2a+1=(a-1)2.
故答案为(a-1)2.
11．0
【解析】解：由题意得：a2+b2﹣2a+4b+5=0
a2﹣2a+1+b2+4b+4=0
即：（a﹣1）2+（b+2）2=0，
由非负数的性质得a=1，b=﹣2．则2a+b=0．故答案为：0；
点睛：本题考查了配方法的应用，解题的关健在于要理解偶次方是非负数．当两个偶次方相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
12．（x+y+2）（x+y﹣2）
【解析】试题解析：x2＋2xy＋y2－4=（ x + y）2-4=（x+y+2)(x+y-2)
13．480
【解析】试题分析：∵长为a、宽为b的矩形，它的周长为16，面积为12，
∴a+b=8，ab=12，
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=82-2×12=40，
∴a,3b+ab3=ab(a2+b2)=12×40=480．
故答案为480．
点睛：此题主要考查了完全平方公式和提取公因式法分解因式的应用，正确分解因式是解题关键．
14．(1)(2x+5y)(2x-5y); (2)y(x+1)(x-1); (3)(2x+y-z)(2x-y+z); (4)(5a-3b)(3a-5b);
(5)-3xy(y+3x)(y-3x); (6)4a2(x+2y)(x-2y); (7)(a+4)(a-4); (8) ;
(9)(7p+5q)(p+7q); (10)-(27a+b)(a+27b);.
【解析】试题分析：（1）直接利用平方差公式进行分解即可；
（2）首先提取公因式y，再利用平方差公式进行分解即可；
（3）直接利用平方差公式进行分解即可；
（4）直接利用平方差公式进行分解即可；
（5）首先提取公因式-3xy，再利用平方差公式进行分解即可；
（6）首先提取公因式4a2，再利用平方差公式进行分解即可；
（7）首先进行乘法运算，再利用平方差进行分解即可；
（8）直接利用平方差公式进行二次分解即可；
（9）首先利用平方差公式进行分解，再把括号里面的同类项进行合并即可；
（10）直接利用平方差公式进行分解即可．
试题解析：（1）原式=（2x+5y）（2x-5y）；
（2）原式=y（x2-1）
=y（x+1）（x-1）；
（3）原式=（2x+y-z）（2x-y+z）；
（4）原式=（5a-3b）（3a-5b）；
（5）原式=-3xy（y2-9）
=-3xy（y+3x）（y-3x）；
（6）原式=4a2（x2-4y2 ）
=4a2（x+2y）（x-2y）；
（7）原式=a2-16+6a-6a
=（a+4）（a-4）；
（8）原式=（9x2+y2）（3x+y）（3x-y）；
（9）原式=（7p+5q）（p+7q）；
（10）原式=-（27a+b）（a+27b）．
15．m=8或-2．
【解析】试题分析：利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值，注意包括两种情况．
试题解析：∵x2+2（m-3）x+25能用公式法分解因式，
∴2（m-3）=±10，
解得：m=8或-2．
16．（1） （m-3n）（m-n）；
（2）代数式m2-3m+2015的最小值为
【解析】试题分析：（1）二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方；
（2）利用配方法将代数式m2-3m+2015转化为完全平方与和的形式=(m )2+2012，然后利用非负数的性质进行解答．
试题解析：（1）m2-4mn+3n2=m2-4mn+4n2-n2
=（m-2n）2-n2
=（m-3n）（m-n）；
（2）m2-3m+2015=m2 3m+()2 ()2+2015
=(m )2 ()2+2015
=(m )2+2012，
∵(m )2≥0，
∴(m )2+2012≥2012，
即代数式m2-3m+2015的最小值为2012．
17．（1）S=3；（2）4，S=7； （3）S+S=S， S= 47.
【解析】试题分析：（1）根据完全平方公式即可求出S2；
（2）根据得出的结论，代入即可求出S3；根据完全平方公式即可求出S4；
（3）根据（1）（2）求出的结果得出规律，即可求出答案．
试题解析：
解：（1）S2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝12－2×(－1)＝3；
（2）S3＝S2＋1＝3＋1＝4，
故答案为：4；
∵S4＝a4＋b4＝( a2＋b2)2－2a2b2＝( a2＋b2)2－2(ab)2，
又∵a2＋b2═3，ab＝－1，
∴S4＝32－2×1＝7；
（3）∵S1＝1，S2＝3，S3＝4，S4＝7，
∴S1＋S2＝S3，S2＋S3＝S4．
猜想：Sn－2＋Sn－1＝Sn．
∵S3＝4，S4＝7，
∴S5＝S3＋S4＝4＋7＝11，
∴S6＝S4＋S5＝7＋11＝18，
∴S7＝S5＋S6＝11＋18＝29，
∴S8＝S6＋S7＝18＋29＝47．
点睛：本题是一道规律探索题，用到的知识主要有完全平方公式、因式分解的应用，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
18．（1） ；（2）；（3）见解析
【解析】试题分析：（1）根据配方法，可得答案；
（2）根据配方法，可得平方差公式，再根据平方差公式，可得答案；
（3）根据交换律、结合率，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案．
试题解析：解：（1）
=
=
（2）
=
=
=
=
（3）证明：
=
=
∵≥0， ≥0，
∴．
∴x，y取任何实数时，多项式的值总是正数．
点睛：本题考查了配方法，利用完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2配方是解题关键．
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