课件13张PPT。1.1 等腰三角形 （第1课时）
你还记得吗？？？
判定两个三角形全等的方法有哪些？全等三角形
的性质有哪些？
我们探索过等腰三角形的性质，你能选择等腰三
角形的一条性质进行证明吗？温故知新我们曾学过三条全等三角形的判定定理，分别是：
1.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）。
2.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
（SAS）。
3.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS)。
全等三角形的对应边相等，对应角相等。温故知新等腰三角形的一条性质定理为：
等腰三角形的两底角相等。
简述为：等边对等角。
下面我们将用三种方法来证明等要三角形的
这一性质。温故知新【例】已知:在△ABC中，AB=AC。
求证: ∠B=∠C。
【方法一】
证明：作△ABC顶角的平分线AD．
在△ABD和△ACD中，
因为AB=AC, ∠BAD=∠CAD, AD=AD，所以△ABD≌△ACD (SAS)，
所以∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）。
新知探究ABC【方法二】
证明：取BC的中点D，连接AD．
因为AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
所以△ABD≌△ACD (SSS)，
所以∠B=∠C (全等三角形的对应角相等)．
新知探究通过上面的证明你是不是发现AD还是BC边上的高线呢？我们可以简单的证明一下。
已知：在等腰三角形ABC中，∠BAD=
∠CAD，BD=CD。
求证：AD⊥BC。
证明：在△ABD和△ACD中，
因为AB=AB，BD=CD，AD=AD，
所以△ABD≌△ACD (SSS)，
所以∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应角相等）。
又因为∠ADB+∠ADC=180°，
所以∠ADB=∠ADC=90°，所以AD⊥BC。
新知探究我们由此可得出关于等腰三角形性质的一个推论：
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中
线底边上的高线互相重合（三线合一）。
推论在以后的证明中可以直接使用。 新知探究1.根据等腰三角形性质定理的推论填空：
如图，在△ABC 中,
(１)因为AB＝AC,AD ⊥BC,所以∠１＝ ,BD ＝ 。
(２)因为AB ＝AC,BD ＝DC,所以∠１＝ ,AD ⊥ 。
(３)因为AB＝AC,∠１＝∠２,所以BD ＝ ,AD ⊥ 。
2.如图,点D ,E 在△ABC 的边BC 上,AB＝AC,AD ＝AE．
求证:∠BAD ＝∠CAE．（用不同的方法解答）
随堂练习随堂练习答案1.(1)∠２ DC (2) ∠２ BC (3)DC BC
2.证明:方法１：如图,过点A 作AF⊥BC 于点F．
因为AB＝AC,所以∠BAF＝∠CAF (三线合一)．
因为AD ＝AE,所以∠DAF＝∠EAF(三线合一)．
所以∠BAF－∠DAF ＝∠CAF－∠EAF,
所以∠BAD ＝∠CAE．
方法２:因为AD ＝AE,所以∠ADE＝∠AED (等边对等角),
所以180°-∠ADE＝180°-∠AED ,即∠ADB＝∠AEC．
又因为AB＝AC,所以∠B＝∠C(等边对等角),
所以△ABD ≌△ACE(AAS),所以∠BAD ＝∠CAE(全等三角形的对应角相等)．课堂总结1.证明一个命题的一般步骤:
(1)弄清题设和结论.
(2)根据题意画出相应的图形.
(3)根据题设和结论写出已知、求证.
(4)分析证明思路,写出证明过程.
2.等腰三角形的性质定理：等边对等角（常用来证明两角相等，求等腰三角形各角的度数）。
3.等腰三角形性质的推论：三线合一（“三线合一”是证明线段相等、角相等、线段垂直(平分)的重要方法）。课后练习1.如图,在△ABC 中,AB ＝AC,点D 在AC 上,
BD ＝BC＝AD ,求△ABC 中各角的度数．
2.如图,在△ABC中,AB＝AC,D 是AB 上一点,
E 是AC 延长线上一点,且BD ＝CE,DE 交BC
于点F．你认为DF与EF 之间有什么关系?
你能证明吗?
3.如图,AB ＝ AE,∠BAF ＝ ∠EAF,点F 是
CD 的中点,且AF ⊥CD ．
求证:BC＝ED ．The end
Thank you!课件13张PPT。1.1 等腰三角形 （第3课时）
你还记得吗？？？
上节课我们已经学习了等腰三角形的判定和等边三角形的性质，以及反证法，那么你知道怎么来判定一个三角形是等边三角形吗？
直角三角形中又有什么有趣的定理呢？
这节课我们将会为你解答……温故知新我们先通过一个表格来了解一下等边三角形的判定定理：新知探究我们对定理2来简单应用一下，大家要边思考边应用。
【例】如图,在△ABC 中,点D ,E 在线段
BC 上,BD ＝CE,∠B＝∠C,∠ADB＝120°。
求证:△ADE 是等边三角形．
新知探究证明：因为∠B＝∠C,
所以AB＝AC(等角对等边)．
又因为BD ＝CE,所以△ADB≌△AEC(SAS)。
所以AD ＝AE(全等三角形的对应边相等),
所以△ADE 是等腰三角形。
因为∠ADB＝120°,
所以∠ADE＝180°－∠ADB＝180°－120°＝60°。
所以△ADE 是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形)。新知探究学习完等边三角形的判定定理，接下来我们讲一下含30°角的直角三角形的性质定理：
注意：只有含30°角的直角三角形才具备此性质。
新知探究1.如图所示,在Rt△ABC 中,∠C＝90°,
∠A ＝30°,BD 是∠ABC 的平分线,CD ＝５cm,
求AB 的长。
2.如图,在等边三角形ABC 中,点D ,E 分别在
边BC,AC 上,若CD ＝２,过点D 作DE ∥AB,过
点E 作EF ⊥DE,交BC 的延长线于点F,求EF 的长。
3.一段公路规定小汽车的行驶速度不得超过
７０km/h．一辆小汽车由西向东行驶,如图
所示,在距离路边２５m 处有一“车速检测仪O”,测得该车从北偏西60°的点A 行驶到北偏西30°的点B 所用时间为１．５s．
(１)试求该车从点A 行驶到点B 的平均速度;
(２)试说明该车是否超速行驶。随堂练习随堂练习答案1.解:因为在Rt△ABC 中,∠C＝90°,∠A ＝30°,BD 是∠ABC 的平分线,
所以∠ABD ＝∠CBD ＝30°,所以∠ABD ＝∠A ＝30°,
所以AD ＝DB(等角对等边)。
因为Rt△CBD 中,∠C＝90°,∠CBD ＝30°,
所以BD ＝２CD ＝10cm(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半),
所以BC＝ cm(勾股定理)。
又因为在Rt△ABC 中,∠C＝90°,∠A ＝90°,
所以AB＝２BC＝ cm。
2.解：因为△ABC 是等边三角形,所以∠B ＝∠ACB ＝60°(等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°)。
因为DE∥AB,所以∠EDC＝∠B＝60°,∠DEC＝∠A ＝60°,
所以△EDC 是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形),
所以DE＝DC＝CE＝２。
因为∠DEF ＝90°,所以∠CEF ＝ ∠DEF － ∠DEC ＝30°,
所以∠F＝∠ACB－∠CEF＝30°,所以CF＝CE＝２,所以DF＝４,
所以EF＝ ＝ ＝ 。随堂练习答案解:(1)根据题意,得∠ACO＝90°,CO＝25m,∠COA ＝60°,∠COB＝30°,
所以∠AOB＝∠CAO＝30°,所以AB＝OB(等角对等边)．
在Rt△BOC 中,∠COB＝30°,
所以BC＝ OB(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半)．
设BC＝x m,则OB＝２x m．
由勾股定理,得 ＝ ＋ ,
即 ＝ ＋ ,所以x＝ ．
所以AB＝OB＝２x＝ m．
所以该车从点A 行驶到点B 的平均速度为 ÷1.5＝(m/s)．
(2)因为70km/h＝ m/s, ＞ ,所以该车没有超速行驶．随堂练习答案课堂总结1.等边三角形的判定方法：
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形。
(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
(3)三条边都相等的三角形是等边三角形。
(4)有两个角是６０°的三角形是等边三角形。
(5)底角和顶角相等的等腰三角形是等边三角形。
2.应用含30°角的直角三角形的性质定理时注意两个条件:
一是在直角三角形中；
二是有一个锐角为30°。课后练习1.如图,△ABC 是等边三角形,点E 是AC 上一点,
∠1＝ ∠2,BE ＝CD ．
请判断△ADE 的形状,并说明理由。
2.某市计划在一块如图所示的△ABC 空地上种植某种草皮以美化环境．在△ABC中,AB＝20 m,AC ＝30 m,∠A ＝150°。
(1)求△ABC 的面积;
(2)若这种草皮的售价为a 元/平方米,
则购买这种草皮需要多少元?
3.如图,延长△ABC 的各边,使得BF＝AC,AE＝CD ＝AB,
顺次连接点D ,E,F 得到等边三角形DEF。
求证:（1）△AEF≌△CDE;
（2）△ABC 为等边三角形。The end
Thank you!课件17张PPT。1.1 等腰三角形 （第2课时）
上节课我们学习了证明等腰三角形的性质和等腰三角形“三线合一”的性质，那么等腰三角形中其他的线段有什么性质呢？
等边三角形又有什么性质特征呢？
怎样来判定一个三角形是等腰三角形呢？
温故知新请你动手画一个等腰三角形，并分别画出它两腰上的中线、高线以及两底角的平分线。
请分别测量它们。
你是不是发现两腰上的中线、高线以及两底角的平分线分别相等呢？我们可以选择其中的两个结论来证明。温故知新我们选择证明等腰三角形两腰上的中线、高线相等。
【例1】已知:在△ABC中，AB=AC，BM，
CN分别是△ABC两腰上的中线。
求证: BM=CN。
证明：因为AB=AC，
所以∠ABC=∠ACB(等边对等角)。
因为AB=2BN,AC=2CM,AB=AC，所以BN=CM。
在△BMC与△CNB中，因为BC=CB,∠MCB=∠NBC, CM=BN,
所以△BMC≌△CNB（SAS），所以BM=CN(全等三角形的对应边相等)。新知探究【例2】已知:在△ABC中，AB=AC，CQ⊥AB，
BP⊥AC。
求证：CQ=BP。
证明：因为AB=AC，
所以∠ABC=∠ACB(等边对等角)。
因为CQ⊥AB，BP⊥AC，所以∠CQB=∠BPC=90°。
在△BCQ和△CBP中，因为∠QBC=∠PCB，∠CQB=∠BPC，
BC=CB，
所以△BCQ≌△CBP(AAS),所以CQ=BP。新知探究通过上面的证明你是不是发现AD还是BC边上的高线呢？我们可以简单的证明一下。
已知：在等腰三角形ABC中，∠BAD=
∠CAD，BD=CD。
求证：AD⊥BC。
证明：在△ABD和△ACD中，
因为AB=AB，BD=CD，AD=AD，
所以△ABD≌△ACD (SSS)，
所以∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应角相等）。
又因为∠ADB+∠ADC=180°，
所以∠ADB=∠ADC=90°，所以AD⊥BC。
新知探究等边三角形是特殊的等腰三角形，它的性质定理我们可以通过下面的表格来了解：
等边三角形具有等腰三角形的所有性质,并且每一条边上都有“三线合一”。因此,等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,而底和腰不相等的等腰三角形只有一条对称轴。新知探究现在回想一下我们前面提到的问题，怎样判定一个三角形是等腰三角形呢？上节课我们证明了等腰三角形的两底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是不是等腰三角形呢？？？
现在我们来证明一下！
已知:如图，在△ABC中，∠B=∠C。
求证：△ABC为等腰三角形。
证明:作BC边上的高AD（图略），在△ABD和△ACD中，因为∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，AD=AD，
所以△ABD≌△ACD（AAS），所以AB=AC,所以△ABC为等腰三角形。新知探究由上面的证明，我们可以得到一个等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称为“等角对等边”)。
注意：运用“等角对等边”定理的前提条件是“在同一个三角形中”,且两条边应是这两个等角的对边。
新知探究请思考：
从上节课到这节课证明一些结论的时候，我们都是在正向推理，那么从结论的反面是不是也能推理出正确的结论呢？
下面我们来学习一下一个新的证明方法——反证法。新知探究定义
证明时,先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立,这种证明方法称为反证法。
用反证法证明的一般步骤
第１步:假设命题的结论不成立;
第２步:从这个假设出发,应用正确的方法,推导出与定义、基本事实、
已有定理或已知条件相矛盾的结果;
第３步:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。
你是不是又多了一种证明的思路呢？1.如图,△ABC 和△BDE 都是等边三角形。
求证:AE＝CD 。
2.把两个一样大的含３０°角的直角三角尺按如图
所示的方式拼在一起,其中等腰三角形有( )
A．１个 B．２个 C．３个 D．４个
3.用反证法证明:一个三角形中不能有两个钝角。
已知:△ABC。
求证:∠A ,∠B,∠C 中不能有两个钝角。随堂练习随堂练习答案1.证明:因为△ABC 是等边三角形,
所以AB＝CB,∠ABE＝60°。
因为△BDE 是等边三角形,
所以BE＝BD ,∠EBD ＝60°。所以∠ABE＝∠EBD 。
在△ABE 和△CBD 中,AB＝CB,∠ABE＝∠CBD ,BE＝BD ,
所以△ABE≌△CBD (SAS)。
所以AE＝CD (全等三角形的对应边相等)。
2.解析:如图,由已知,得∠ACE ＝∠ADB
＝60°,∠B ＝∠E ＝30°,所以△ABE,
△ACD 都是等腰三角形,且∠DAE ＝∠CAB
＝30°,所以∠B ＝ ∠CAB,∠E ＝ ∠DAE,所以BC ＝AC,AD ＝ED (等角对等边),所以△ACB,△ADE 也是等腰三角形,所以等腰三角形有４个。故选D。
答案:D随堂练习答案3.证明:假设∠A ,∠B,∠C 中有两个角是钝角,不妨设∠A ＞90°,∠B＞90°,
则∠A ＋∠B＋∠C＞180°,这与三角形的内角和定理相矛盾。
所以∠A ,∠B,∠C 中有两个角是钝角不成立,所以一个三角形中不能有两个钝角。课堂总结1.判定一个三角形是等腰三角形的理论依据有两种:
(1)等腰三角形的定义;
(2)等腰三角形的判定定理。
2.“等边对等角”是等腰三角形的性质定理,“等角对等边”是等腰三角形的判定定理,它们是两个不同的定理,切勿混淆。
3.等边三角形除了三边相等外,三个内角也相等,这是解决
等边三角形问题常用到的性质。课后练习1.如图,已知△ABC 中,AB ＝AC,BD ,CE 是高,
BD 与CE 相交于点O。
(1)求证:OB＝OC;
(2)若∠ABC＝５０°,求∠BOC 的度数。
2.在△ABC 中,AB ＝AC,D 为BC 边上一
点,∠B＝30°,∠DAB＝45°。
(1)求∠DAC 的度数;
(2)求证:DC＝AB。
3.用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个角不小于60°。
The end
Thank you!
