高二数学人教A版选修2-3第1.1分类加法计数原理与分步乘法计 同步练习

一、选择题
1．设A=，若方程x2﹣bx﹣c=0，满足b、c属于A，且方程至少有一根a属于A，称方程为漂亮方程，则“漂亮方程”的总个数为（　　）
A.8个 B.10个 C.12个 D.14个
【答案】C
【解析】用十字相乘法，先把c分解因数，依据方程根与系数的关系，这两个因数的差就是b；
c=2时，有则漂亮方程为；
c=3时，有则漂亮方程为；
c=4时，有则漂亮方程为；
c=5时，有则漂亮方程为；
c=6时，有则漂亮方程为，
同时，有则漂亮方程为；
c=7时，有则漂亮方程为；
c=8时，有则漂亮方程为，
同时，有则漂亮方程为；
c=9时，有则漂亮方程为；
c=10时，有则漂亮方程为，
同时，有则漂亮方程为；
综合可得，共12个漂亮方程，
故选C．
2．如图，某段电路由五个电阻组成，其中共有6个焊接点A、B、C、D、E、F，如果某个焊接点脱落，该段电路就会不通，现在电路MN间没有电流通过，那么焊接点脱落的可能性共有(　　)
A．14种 B．49种 C．16种 D．64种
【答案】B
【解析】　支路A、B、C有23－1＝7种．支路D、E、F有23－1＝7种．∴共有7×7＝49种，故选B.
3．设集合A={﹣1，0，1}，集合B={0，1，2，3}，定义A*B={（x，y）|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素个数是（　　）
A． 7 B．10 C．25 D．52
【答案】B
【解析】由题意知本题是一个分步计数原理，
∵集合A={﹣1，0，1}，集合B={0，1，2，3}，
∴A∩B={0，1}，A∪B{﹣1，0，1，2，3}，
∴x有2种取法，
y有5种取法
∴根据乘法原理得2×5=10，
故选B．
4． 某医院研究所研制了5种消炎药X1、X2、X3、X4、X5和4种退烧药T1、T2、T3、T4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效试验，又知X1、X2两种消炎药必须同时搭配使用，但X3和T4两种药不能同时使用，则不同的试验方案有( )
A． 16种 B． 15种 C． 14种 D． 13种
【答案】C
【解析】题主要考查了分类加法计数原理在实际生活中的应用，解决这类问题应分类讨论，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不同角度思考问题.
试验方案有：①消炎药为X1、X2，退烧药有4种选法；②消炎药为X3、X4，退烧药有3种选法；③消炎药为X3、X5，退烧药有3种选法；④消炎药为X4、X5，退烧药有4种选法，所以符合题意的选法有4＋3＋3＋4＝14(种).故选C
【点评】本题主要考查了分类加法计数原理，解决问题的关键是分类讨论，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不同角度思考问题.
5．如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则有多少种不同的涂色方法（　　）
A． 24种 B.72种 C.84种 D.120种
【答案】C
【解析】设四个直角三角形顺次为A、B、C、D.按顺序着色，下面分两种情况：
(1）A、C不同色（注意B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色）：有种;
(2）A、C同色（注意B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色）：有种.
共有84种
故选择C
6． 已知集合A?{2，4，7}，且A中的至多有一个偶数，则这样的集合A共有( )
A． 3个 B． 4个 C． 5个 D． 6个
【答案】D
【解析】解答：本题主要考查了集合的子集和分类加法计数原理.集合{2，4，7}的子集如下：φ，{2}，{4}，{7}，{2，7}，{4，7}，{2，4}，{2，4，7}共8个，满足条件的只有前6个．故选D.
【点评】本题主要考查了分类加法计数原理，解决问题的关键是根据子集和分类加法计数原理分析计算即可
7．若x，y分别在，﹣10，﹣9，…，﹣1，0，1，…，10这21个整数中任意取值，则P（x，y）在第二象限的点的个数是（　　）
A． 100 B.99 C.121 D．81
【答案】A
【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，
注意第二象限的点的坐标特点，
横标小于0，而纵标大于0，
首先选出点的横标，共有10种结果，
再选出纵标，共有10种结果，
∴根据分步计数原理知共有10×10=100种结果，
故选A．
8．4名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（　　）
A． 34 B．43 C．24 D．12
【答案】A
【解析】四名同学报名参加乒乓球、篮球、足球运动队，每人限报一项，
每人有3种报名方法；
根据分步计数原理，可得共有3×3×3×3=34种不同的报名方法；
故选A．
9．如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿、三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有（　　）
A． 30种 B．27种 C．24种 D．21种
【答案】A
【解析】由题意知本题需要分类来解答，
首先A选取一种颜色，有3种情况．
如果A的两个相邻点颜色相同，2种情况；
这时最后两个边也有2种情况；
如果A的两个相邻点颜色不同，2种情况；
这时最后两个边有3种情况．
∴方法共有3（2×2+2×3）=30种．
故选A．
10．三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又踢回给甲，则不同的传递方式共有（　　）
A． 6种 B．8种? C.10种 D.16种
【答案】C
【解析】根据题意，做出树状图，
注意第四次时，毽子不在甲那里．
分析可得，
共有10种不同的传递方式；
故选C．
11．已知△ABC的三边a、b、c的长均为正整数，且a≤b≤c，若b为常数，则满足要求的△ABC的个数是（　　）
A． b2 B． C． D．
【答案】C
【解析】∵b确定，
∴a的范围为1﹣﹣b的整数，
因同时要满足c＜a+b，
∴当a=1时，c可取值只有b，
当a=2时，c可取值为b，b+1；
a=3时，c可取值为b，b+1，b+2；
…
a=b时，c可取值为b，b+1，b+2…2b﹣1；
所以符合条件的三角形数量为1+2+3+…+b=
故选C．
12．设A，B是两个非空集合，定义，若，则P*Q中元素的个数是（　　）
A．4 B．7 C．12 D．16
【答案】Ｃ
二、填空题
13．某书店有不同年级的语文、数学、英语练习册各10本，买其中一种有 种方法；买其中两种有 种方法．
【答案】30；300
14．不定方程的非负整数解的个数为 .
【答案】
【解析】令，则，这时共种可能；若，则，这时共种可能；若，则，这时共种可能；…；若，共种可能.所以共有种可能；若则，共有种可能；同理，若则，共有11种可能；若则，共有种可能，这样共有种可能.
另外，还有三种可能，所以总共有种可能，故不定方程的非负整数解的个数为，应填.
15． 如图，要给“非”、“常”、“学”、“案”四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，有______种不同的涂色方法.
【答案】6
【解析】非、常、学、案四个区域依次涂色,分四步.
第1步,涂“非”区域,有3种选择.
第2步,涂“常”区域,有2种选择.
第3步,涂“学”区域,由于它与“非”、“常”区域颜色不同,有1种选择.
第4步,涂“案”区域,由于它与“常”、“学”区域颜色不同,有1种选择.
所以根据分步乘法计数原理,得不同的涂色方法共有 (种).
【点评】本题主要考查了分步乘法计数原理，解决问题的关键是涂色问题是：
①按区域的不同以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算.②以颜色为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算；③将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题.④对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准.
16． 在1,2,3,…,200中,能够被5整除的数共有 个
【答案】40
【解析】能够被5整除的数,末位数字是0或5,因此可以分两类计数:第1类,末位数字是0的数,共有20个;
第2类,末位数字是5的数,共有20个.根据分类加法计数原理,能够被5整除的数共有20+20=40个.
【点评】本题主要考查了分类加法计数原理，解决问题的关键是根据分类加法计数原理分析计算即可
三、解答题
17．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．
(1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？
(2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？
(3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？
【答案】（1）种；
(2）种；
(3）种
18．若直线方程Ax＋By＝0中的A、B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？
【答案】分两类完成：
第1类，当A或B中有一个为0时，表示的直线为x＝0或y＝0，共2条；
第2类，当A，B不为0时，直线Ax＋By＝0被确定需分两步完成．
第1步，确定A的值，有4种不同的方法；
第2步，确定B的值，有3种不同的方法．
由分步乘法计数原理，共可确定4×3＝12条直线．
∴由分类加法计数原理，方程所表示的不同直线共有2＋12＝14条．
19．现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.
(1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？
(2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？
(3）推选两人做发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
【答案】（1）分四类：
第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；
第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；
第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；
第四类，从四班学生中选1人，有10种选法.
根据分类加法计数原理，得共有N＝7＋8＋9＋10＝34(种)不同的选法.
(2）分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长.
根据分步乘法计数原理，得共有N＝7×8×9×10＝5040(种)不同的选法.
(3）分六类，每类又分两步：
第一类，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；
第二类，从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；
第三类，从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；
第四类，从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；
第五类，从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；
第六类，从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法.
所以，共有N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)不同的选法.
20．已知集合A，B满足A∪B={0，1}，试分别用分类计数原理、分步计数原理两种方法求出A，B的组数．
【答案】法一用分类计数原理．
因为A∪B={0，1}，所以A?{0，1}．
若A=?，则B={0，1}，只有1组；
若A={0}，则B={1}或{0，1}，共2组；
若A={1}，则B={0}或{0，1}，共2组；
若A={0，1}，则B=?或{0}或{1}或{0，1}，共4组．
根据分类计数原理知，满足A∪B={0，1}的集合A、B共有1+2+2+4=9（组）．
法二：用分步计数原理．A∪B={0，1}可以看成是将0和1全部放入A或B两个“口袋”．
第1步，放“0”，共有“只放入A”，“只放入B”，“既放入A也放入B”3种情形；
第2步，放“1”，同上，也共有3种情形．
根据分步计数原理知，满足A∪B=0，1的集合A、B共有3×3=9（组）．
21．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．
(1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？
(2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？
【答案】（1）种；
(2）种．
22． 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)？
【答案】按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：
第一步,有10种拨号方式,所以；
第二步,有10种拨号方式,所以；
第三步,有10种拨号方式,所以；
第四步,有10种拨号方式,所以.
根据分步乘法计数原理,共可以组成个四位数的号码.
【解析】【点评】本题主要考查了分步乘法计数原理，解决问题的关键是1.应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可.2.利用分步乘法计数原理解题的一般思路：(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；(2)计数：求出每一步中的方法数；(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果.