高二数学人教A版选修2-3第1.3二项式定理 同步练习

一、选择题
1．在20的展开式中，系数是有理数的项共有(　　)
A．4项 B．5项 C．6项 D．7项
【答案】A
【解析】Tr＋1＝C(x)20－rr＝r·()20－rC·x20－r，
∵系数为有理数，
∴()r与2均为有理数，
∴r能被2整除，且20－r能被3整除，
故r为偶数，20－r是3的倍数，0≤r≤20.
∴r＝2,8,14,20.
2．的展开式中，的系数为（ ）
A．－40 B．10 C．40 D．45
【答案】D
【解析】=
==
的系数为
3．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是(　　)
A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2(n＋1)
【答案】B
4．设展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若t+h=272，则展开式的x项的系数是（ ）21cnjy.com
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】由得，n=4,, 取r=4.
5．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是(　　)
A．＜x＜ B．＜x＜ C．＜x＜ D．＜x＜
【答案】A
【解析】由得∴＜x＜．
6．若，则（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2的值为（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
【答案】A
【解析】 因为
。于是令可得;于是令可得.
7．设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，则a0，a1，…，a8中奇数的个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】∵a0＝a8＝C＝1，a1＝a7＝C＝8，a2＝a6＝C＝28，a3＝a5＝C＝56，a4＝C＝70，∴奇数的个数是2，故选A.21世纪教育网版权所有
8．在(x－)10的展开式中，x6的系数是(　　)
A．－27C B．27C C．－ 9C D．9C21教育网
【答案】D
【解析】∵Tr＋1＝Cx10－r(－)r.令10－r＝6，
解得r＝4.∴系数为(－)4C＝9C．
9．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为(　　)
A．2n－1 B．2n－1 C．2n＋1－1 D．2n
【答案】C
【解析】解法一：令x＝1得，1＋2＋22＋…＋2n
＝＝2n＋1－1.
解法二：令n＝1，知各项系数和为3，排除A、B、D，选C.
10．设n为自然数，则C2n－C2n－1＋…＋(－1)kC2n－k＋…＋(－1)nC＝(　　)
A．2n B．0 C．－1 D．1
【答案】D
【解析】原式＝(2－1)n＝1，故选D.
11． (x＋)5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于(　　)
A．－1 B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】C·xr()5－r＝C·a5－rx2r－5，令2r－5＝3，∴r＝4，
由C·a＝10，得a＝2.
12．若n为正奇数，则7n＋C·7n－1＋C·7n－2＋…＋C·7被9除所得的余数是(　　)
A．0 B．2 C．7 D．8
【答案】C
【解析】原式＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C·9n－1＋C·9n－2－…＋C·9(－1)n－1＋(－1)n－1，n为正奇数，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，则余数为7.21·cn·jy·com
二、填空题
13．若(1－2x)2011＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2010x2010＋a2011x2011(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2010)＋(a0＋a2011)＝________.(用数字作答)www.21-cn-jy.com
【答案】2009
【解析】令x＝0，则a0＝1.
令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a2010＋a2011＝(1－2)2011＝－1.
∴(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2010)＋(a0＋a2011)
＝2010a0＋(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2011)
＝2010－1＝2009.
14．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是___________________.
【答案】1.34
【解析】(1.05)6 =
=1+0.3+0.0375+0.0025+…1.34．
15．(1＋x＋x2)·(1－x)10的展开式中，的系数为____________．
【答案】－162
16．(1＋x)2(1－x) 5的展开式中x3的系数为________．
【答案】5
【解析】解法一：先变形(1＋x)2(1－x)5＝(1－x)3·(1－x2)2＝(1－x)3(1＋x4－2x2)，展开式中x3的系数为－1＋(－2)·C(－1)＝5；2·1·c·n·j·y
解法二：C(－1)3＋C·C(－1)2＋CC(－1)＝5.
三、解答题
17．已知在(－)n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
【答案】(1)Tr＋1＝C·()n－r·(－)r
＝C·(x)n－r·(－·x－)r
＝(－)r·C·x．
∵第6项为常数项，
∴r＝5时有＝0，∴n＝10.
(2)令＝2，得r＝(n－6)＝2，
∴所求的系数为C(－)2＝．
(3)根据通项公式，由题意得：
令＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，
即r＝＝5－k.
∵r∈Z，∴k应为偶数，∴k可取2,0，－2，
∴r＝2,5,8，∴第3项、第6项与第9项为有理项．
它们分别为C·(－)2·x2，C(－)5，
C·(－)8·x－2.
18．设(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0.求：
(1)a8＋a7＋…＋a1；
(2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0.
【答案】令x＝0，得a0＝1.
(1)令x＝1得
(3－1)8＝a8＋a7＋…＋a1＋a0，①
∴a8＋a7＋…＋a2＋a1＝28－a0＝256－1＝255.
(2)令x＝－1得
(－3－1)8＝a8－a7＋a6－…－a1＋a0.②
①＋②得28＋48＝2(a8＋a6＋a4＋a2＋a0)，
∴a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝(28＋48)＝32 896.
19． 若展开式中，x的系数为21，问m、n为何值时，x2的系数最小？
【答案】由条件得m+n=21，x2的项为，则因n∈N，故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x2的系数最小
20．m、n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．
【答案】由题设m＋n＝19，∵m，n∈N*.
∴，，…，．
x2的系数C＋C＝(m2－m)＋(n2－n)＝m2－19m＋171.
∴当m＝9或10时，x2的系数取最小值81，此时x7的系数为C＋C＝156.
21．求二项式(a＋2b)4的展开式．
【答案】根据二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cb得
(a＋2b)4＝Ca4＋Ca3(2b)＋Ca2(2b)2＋Ca(2b)3＋C(2b)4＝a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4.
22．设(1－2x)2010＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2010x2010(x∈R)．
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2010的值．
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2009的值．
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2010|的值．
【答案】(1)令x＝1，得：
a0＋a1＋a2＋…＋a2010＝(－1)2010＝1①
(2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…＋a2010＝32010②
与①式联立，①－②得：
2(a1＋a3＋…＋a2009)＝1－32010，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2009＝．
(3)∵Tr＋1＝C·12010－r·(－2x)r
＝(－1)r·C·(2x)r，
∴a2k－1<0(k∈N*)，a2k>0(k∈N*)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2010|
＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010，
所以令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010＝32010.