第二讲 一元一次方程应用培优竞赛辅导（含答案）
文档属性
| 名称 | 第二讲 一元一次方程应用培优竞赛辅导（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 153.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-03-26 08:40:08 | ||
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文档简介
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第二讲 一元一次方程应用题培优竞赛辅导
一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）
（1）审——审题：认真审题，弄清题意，找出已知量和未知量．
（2）设——设出未知数：根据提问，巧设未知数．
（3）列——列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）然后列出方程．www-2-1-cnjy-com
（4）解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值．
（5）检——检验：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际意义。
（6）答——检验后写出答案（注意带上单位）。
二、各类题型解法分析
一元一次方程应用题归类汇集：和、差、倍、分问题(增长率问题)，等积变形问题，商品利润问题，行程问题，工程问题，数字问题，调配问题，分配问题，年龄问题，方案设计与成本分析，古典数学，浓度问题等。2-1-c-n-j-y
（一）和、差、倍、分问题——读题分析法
这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套……”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.
特别：现在量，原有量，增长量，增长率的关系是：
增长量＝ × 现在量＝原有量＋增长量= ×
【典型例题】例1．某单位今年为灾区捐款2万5千元，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元？设去年该单位为灾区捐款x元，则列方程为
例2．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少3公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？
（二）等积变形问题
等积变形是以形状改变而体积不变为前提。
常用等量关系为：原料体积=成品体积。常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．
①圆柱体的体积公式 V= ＝S·h＝ ②长方体的体积 V＝ ＝abc
【典型例题】例3．现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？【出处：21教育名师】
（三）商品利润问题（市场经济问题或利润赢亏问题）
（1）销售问题中常出现的量有：进价(或成本)、售价、标价（或定价）、利润等。
（2）利润问题常用等量关系：商品利润＝商品售价－商品进价＝商品标价×折扣率－商品进价
商品利润率＝ ×100%
商品售价= + ＝ ×
（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量
商品的销售利润＝（销售价－成本价）× 销售量
【典型例题】
例1：一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？设这种服装每件的进价是x元，则列方程为
变式：1、某商品的进价是2000元,标价为3000元,商店要求以利润不低于5%的售价打折出售,售货员最低可以打几折出售此商品
2、工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
（四）行程问题——（画图分析法题）
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.21*cnjy*com
1、行程问题中的三个基本量及其关系：
路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间
2、行程问题基本类型
（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距
（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距
（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度 水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度 水流（风）速度
水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2
抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．即顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程．21*cnjy*com
常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。
3、时钟问题 ⑴ 将时钟的时针、分针、秒针的尖端看作一个点来研究
⑵通常将时钟问题看作以整时整分为起点的同向追击问题来分析。
常用数据：① 时针的速度是0.5°/分 ② 分针的速度是6°/分 ③ 秒针的速度是6°/秒
4、考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题
将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析，一切就一目了然。
【典型例题】例1一般的行程问题：甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇
（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？
（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？
（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ (此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。)
变式：1、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲、乙两地相距x千米，则列方程为 。【来源：21·世纪·教育·网】
2、甲、乙两人在相距18千米的两地同时出发，相向而行，1小时48分相遇，当甲比乙每小时快1千米时，求甲、乙两人的速度。21教育名师原创作品
3、某人从家里骑自行车到学校。若每小时行15千米，可比预定时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？
例2、航行问题：一艘船在两个码头之间航行，水流的速度是3千米/时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头之间的距离及船在静水中的速度？
变式：某船从A码头顺流航行到B码头，然后逆流返行到C码头，共行20小时，已知船在静水中的速度为7.5千米/时，水流的速度为2.5千米/时，若A与C的距离比A与B的距离短40千米，求A与B的距离。
例3、环行跑道与时钟问题：
1、甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？
2、在6点和7点之间，什么时刻时钟的分针和时针重合？
例4、考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题
1、一列火车长150米，以每秒15米的速度通过600米的隧道，从火车进入隧道口算起，到这列火车完全通过隧道所需时间是【 】，火车完全在隧道上所需时间是【 】
（A）60秒 （B）50秒 （C）40秒 （D）30秒
2、一列客车车长200米，一列货车车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车车尾完全离开经过16秒，已知客车与货车的速度之比是3：2，问两车每秒各行驶多少米？
（五）工程问题
1．工程问题中的三个量及其关系为：
工作总量＝工作效率×工作时间 工作效率＝ ， 工作时间=
2．经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。即完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．
工程问题常用等量关系：先做的工作量+后做的工作量=完成量．
【典型例题】
例1：一件工程，甲独做需10天完成，乙独做需15天完成，现先由甲、乙合作4天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
例2：某工厂计划26小时生产一批零件，后因每小时多生产5件，用24小时，不但完成了任务，而且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多少零件？
（六）数字问题
1.要搞清楚数的表示方法：一个三位数，一般可设百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9），则这个三位数表示为：
【典型例题】
有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。
（七）配套问题：这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系。
【典型例题】例：某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？www.21-cn-jy.com
变式：机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？2·1·c·n·j·y
（八）、方案选择问题
某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是： 如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工．
方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．
你认为哪种方案获利最多？为什么？
第二讲 一元一次方程应用题培优竞赛辅导答案
一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）
（1）审——审题：认真审题，弄清题意，找出已知量和未知量．
（2）设——设出未知数：根据提问，巧设未知数．
（3）列——列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）然后列出方程．21cnjy.com
（4）解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值．
（5）检——检验，：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际意义。
（6）答——检验后写出答案（注意带上单位）。
二、各类题型解法分析
一元一次方程应用题归类汇集：和、差、倍、分问题(增长率问题)，等积变形问题，商品利润问题，行程问题，工程问题，数字问题，调配问题，分配问题，年龄问题，方案设计与成本分析，古典数学，浓度问题等。
（一）和、差、倍、分问题——读题分析法
这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套……”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.21·世纪*教育网
特别：现在量，原有量，增长量，增长率的关系是：
增长量＝原在量 × 增长率 现在量＝原有量＋增长量=原有量×（1+增长率）
【典型例题】例1．某单位今年为灾区捐款2万5千元，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元？设去年该单位为灾区捐款x元，则列方程为 2x+1000=25000
例2．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少3公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？
设油箱里原有汽油x公斤，
由题意得，x(1-25%)(1-40%)+3=25%x+(1-25%)x×40%
去分母整理 ( http: / / www.21cnjy.com" \t "https: / / iask..cn / b / _blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )得，9x+60=5x+6x
∴ 2x=60
∴ x=30
（二）等积变形问题
等积变形是以形状改变而体积不变为前提。
常用等量关系为：原料体积=成品体积。常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．【来源：21cnj*y.co*m】
①圆柱体的体积公式 V= 底面积×高 ＝S·h＝ ②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc
【典型例题】例3．现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？
解：设可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴x根
30×π（0.8÷2）=π（0.4÷2）×3x
解之x=40．
则已知的圆柱形钢坯可锻炼造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴40根．
（三）商品利润问题（市场经济问题或利润赢亏问题）
（1）销售问题中常出现的量有：进价(或成本)、售价、标价（或定价）、利润等。
（2）利润问题常用等量关系：商品利润＝商品售价－商品进价＝商品标价×折扣率－商品进价
商品利润率＝ ×100%
商品售价= 商品进价+商品利润 ＝商品进价 ×（1+增长率）
（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量
商品的销售利润＝（销售价－成本价）× 销售量
【典型例题】
例1：一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？设这种服装每件的进价是x元，则列方程为（1+40%）×80%x=x+15【版权所有：21教育】
变式：1、某商品的进价是2000元,标价为3000元,商店要求以利润不低于5%的售价打折出售,售货员最低可以打几折出售此商品
解：,设可以打X折，3000=2000（1+5%） 解得,X=7,即7折
2、工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？21世纪教育网版权所有
解：设该工艺品每件的进价是元,标价是（45+x）元.依题意，得:
8（45+x）×0.85-8x=（45+x-35）×12-12x 解得：x=155（元）所以45+x=200（元）
(四）行程问题——（画图分析法题）
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.
1、行程问题中的三个基本量及其关系：
路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间
2、行程问题基本类型
（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距
（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距
（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度 + 水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度 - 水流（风）速度
水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2
抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．即顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程．
常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。
3、时钟问题 ⑴ 将时钟的时针、分针、秒针的尖端看作一个点来研究
⑵通常将时钟问题看作以整时整分为起点的同向追击问题来分析。
常用数据：① 时针的速度是0.5°/分 ② 分针的速度是6°/分 ③ 秒针的速度是6°/秒
4、考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题
将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析，一切就一目了然。
【典型例题】例1一般的行程问题：甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇
（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？
（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？
（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ (此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。)
解：此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。 （1）相遇问题，画图表示为： 等量关系是：慢车走的路程＋快车走的路程＝480公里。 设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x＋90(x＋1)＝480 解这个方程，230x＝390 ∴ x＝ 答：快车开出小时两车相遇（2）相背而行，画图表示为：等量关系是：两车所走的路程和＋480公里＝600公里。 设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140＋90)x＋480＝600解这个方程，230x＝120∴ x＝ 答：小时后两车相距600公里。 （3）等量关系为：快车所走路程－慢车所走路程＋480公里＝600公里。 设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140－90)x＋480＝60050x＝120∴ x＝2.4 答：2.4小时后两车相距600公里。 （4）追及问题，画图表示为：等量关系为：快车的路程＝慢车走的路程＋480公里。 设x小时后快车追上慢车。 由题意得，140x＝90x＋480 解这个方程，50x＝480 ∴ x＝9.6答：9.6小时后快车追上慢车。（5）追及问题，等量关系为：快车的路程＝慢车走的路程＋480公里。设快车开出x小时后追上慢车。由题意得，140x＝90(x＋1)＋48050x＝570∴ x＝11.4 答：快车开出11.4小时后追上慢车。
变式：1、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲、乙两地相距x千米，则列方程为 。
2、甲、乙两人在相距18千米的两地同时出发，相向而行，1小时48分相遇，当甲比乙每小时快1千米时，求甲、乙两人的速度。
解：等量关系 甲行的总路程＋乙行的路程＝总路程 (18千米)
设乙的速度是x千米/时，则列出方程是： 解之x=4.5
3、某人从家里骑自行车到学校。若每小时行15千米，可比预定时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？
解：等量关系 ⑴ 速度15千米行的总路程＝速度9千米行的总路程
⑵ 速度15千米行的时间＋15分钟＝速度9千米行的时间－15分钟
老师提醒：速度已知时，设时间列路程等式的方程，设路程列时间等式的方程。
方法一：设预定时间为x小/时，则列出方程是：15（x－0.25）＝9（x＋0.25）
方法二：设从家里到学校有x千米，则列出方程是：
例2、航行问题：一艘船在两个码头之间航行，水流的速度是3千米/时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头之间的距离及船在静水中的速度？
解：设船在静水中的速度是x千米/时，则3×(x－3)＝2×(x＋3)
解得x＝15 2×(x＋3)＝2×(15＋3) ＝36（千米）答：两码头之间的距离是36千米。
变式：某船从A码头顺流航行到B码头，然后逆流返行到C码头，共行20小时，已知船在静水中的速度为7.5千米/时，水流的速度为2.5千米/时，若A与C的距离比A与B的距离短40千米，求A与B的距离。21教育网
解：设A与B的距离是x千米，(请你按下面的分类画出示意图，来理解所列方程)
① 当C在A、B之间时， 解得x＝120
② 当C在BA的延长线上时， 解得x＝56
答：A与B的距离是120千米或56千米。
例3、环行跑道与时钟问题：
1、甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？
老师提醒：此题为环形跑道上，同时同地同向的追击与相遇问题。
解：① 设同时同地同向出发x分钟后二人相遇，则 240x－200x＝400 x＝10
② 设背向跑，x分钟后相遇，则 240x＋200x＝400 x＝
2、在6点和7点之间，什么时刻时钟的分针和时针重合？
老师解析：6：00时分针指向12，时针指向6，此时二针相差180°，
在6：00～7：00之间，经过x分钟当二针重合时，时针走了0.5x°分针走了6x°
以下按追击问题可列出方程，不难求解。
解：设经过x分钟二针重合，则6x＝180＋0.5x 解得
例4、考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题
1、一列火车长150米，以每秒15米的速度通过600米的隧道，从火车进入隧道口算起，到这列火车完全通过隧道所需时间是【 B 】，火车完全在隧道上所需时间是【 C 】
（A）60秒 （B）50秒 （C）40秒 （D）30秒
老师提醒：将车尾看作一个行者，当车尾通过600米的隧道再加上150米的车长时
所用的时间，就是所求的完全通过的时间，哈哈！你明白吗？
解：时间＝(600＋150)÷15＝50（秒） 选B。
2、一列客车车长200米，一列货车车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车车尾完全离开经过16秒，已知客车与货车的速度之比是3：2，问两车每秒各行驶多少米？
老师提醒：将两车车尾视为两人，并且以两车车长和为总路程的相遇问题。
等量关系：快车行的路程＋慢车行的路程＝两列火车的车长之和
设客车的速度为3x米/秒，货车的速度为2x米/秒，则 16×3x＋16×2x＝200＋280
（五）工程问题
1．工程问题中的三个量及其关系为：
工作总量＝工作效率×工作时间 工作效率＝ ， 工作时间=
2．经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。即完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．
工程问题常用等量关系：先做的工作量+后做的工作量=完成量．
【典型例题】
例1：一件工程，甲独做需10天完成，乙独做需15天完成，现先由甲、乙合作4天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
解：设还需要x天完成，依题意，得 解得x=5 答：还需要5天完成
例2：某工厂计划26小时生产一批零件，后因每小时多生产5件，用24小时，不但完成了任务，而且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多少零件？
解：设原计划生产x个零件， ， X=780
（六）数字问题
1.要搞清楚数的表示方法：一个三位数，一般可设百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9），则这个三位数表示为：100a+10b+c
2.数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n-2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。
【典型例题】
例1．有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。
解：设这个三位数的百位数为x，则其十位数字为x+1，个位数字为2x．
则调后的百位数为2x，十位数字为x+1，个位数字为x，由此可得：
[100x+10（x+1）+2x]×2-49=100×2x+10（x+1）+x
解之x=3
则十位数为3+1=4，个位数为3×2=6．
所以这个三位数为：346．
答：原数为346．
（七）配套问题：这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系。
【典型例题】
例：某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？
解：设安排x人生产螺栓，则有（28-x）人生产螺母
根据题意得：18（28-x）=12x·2
解得：x=12
28-12=16（人）
答：应安排12人生产螺栓，16人生产螺母才行
变式：机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？
解：设生产大齿轮的人数为x，则生产小齿轮的人数为85-x，
根据题意得：
解之x=25．
85-x=85-25=60（人），
答：生产大齿轮的人数为25人，则生产小齿轮的人数为60人．
（八）方案选择问题
某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是： 如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：21·cn·jy·com
方案一：将蔬菜全部进行粗加工．
方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．
你认为哪种方案获利最多？为什么？
解：（1）方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没有来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成；
（2）方案一：获利为4500×140=630000（元）；
方案二：15天可精加工6×15=90（吨），
说明还有50吨需要在市场直接销售，
故可获利7500×90+1000×50=725000（元）；
方案三：可设将x吨蔬菜进行精加工，则（140﹣x）吨进行粗加工，
依题意得：，
解得：x=60．
故获利：7500×60+4500×80=810000（元）．
因此：选择方案三获利最多．
答：选择方案三获利最多．
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第二讲 一元一次方程应用题培优竞赛辅导
一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）
（1）审——审题：认真审题，弄清题意，找出已知量和未知量．
（2）设——设出未知数：根据提问，巧设未知数．
（3）列——列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）然后列出方程．www-2-1-cnjy-com
（4）解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值．
（5）检——检验：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际意义。
（6）答——检验后写出答案（注意带上单位）。
二、各类题型解法分析
一元一次方程应用题归类汇集：和、差、倍、分问题(增长率问题)，等积变形问题，商品利润问题，行程问题，工程问题，数字问题，调配问题，分配问题，年龄问题，方案设计与成本分析，古典数学，浓度问题等。2-1-c-n-j-y
（一）和、差、倍、分问题——读题分析法
这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套……”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.
特别：现在量，原有量，增长量，增长率的关系是：
增长量＝ × 现在量＝原有量＋增长量= ×
【典型例题】例1．某单位今年为灾区捐款2万5千元，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元？设去年该单位为灾区捐款x元，则列方程为
例2．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少3公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？
（二）等积变形问题
等积变形是以形状改变而体积不变为前提。
常用等量关系为：原料体积=成品体积。常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．
①圆柱体的体积公式 V= ＝S·h＝ ②长方体的体积 V＝ ＝abc
【典型例题】例3．现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？【出处：21教育名师】
（三）商品利润问题（市场经济问题或利润赢亏问题）
（1）销售问题中常出现的量有：进价(或成本)、售价、标价（或定价）、利润等。
（2）利润问题常用等量关系：商品利润＝商品售价－商品进价＝商品标价×折扣率－商品进价
商品利润率＝ ×100%
商品售价= + ＝ ×
（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量
商品的销售利润＝（销售价－成本价）× 销售量
【典型例题】
例1：一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？设这种服装每件的进价是x元，则列方程为
变式：1、某商品的进价是2000元,标价为3000元,商店要求以利润不低于5%的售价打折出售,售货员最低可以打几折出售此商品
2、工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
（四）行程问题——（画图分析法题）
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.21*cnjy*com
1、行程问题中的三个基本量及其关系：
路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间
2、行程问题基本类型
（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距
（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距
（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度 水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度 水流（风）速度
水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2
抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．即顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程．21*cnjy*com
常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。
3、时钟问题 ⑴ 将时钟的时针、分针、秒针的尖端看作一个点来研究
⑵通常将时钟问题看作以整时整分为起点的同向追击问题来分析。
常用数据：① 时针的速度是0.5°/分 ② 分针的速度是6°/分 ③ 秒针的速度是6°/秒
4、考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题
将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析，一切就一目了然。
【典型例题】例1一般的行程问题：甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇
（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？
（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？
（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ (此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。)
变式：1、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲、乙两地相距x千米，则列方程为 。【来源：21·世纪·教育·网】
2、甲、乙两人在相距18千米的两地同时出发，相向而行，1小时48分相遇，当甲比乙每小时快1千米时，求甲、乙两人的速度。21教育名师原创作品
3、某人从家里骑自行车到学校。若每小时行15千米，可比预定时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？
例2、航行问题：一艘船在两个码头之间航行，水流的速度是3千米/时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头之间的距离及船在静水中的速度？
变式：某船从A码头顺流航行到B码头，然后逆流返行到C码头，共行20小时，已知船在静水中的速度为7.5千米/时，水流的速度为2.5千米/时，若A与C的距离比A与B的距离短40千米，求A与B的距离。
例3、环行跑道与时钟问题：
1、甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？
2、在6点和7点之间，什么时刻时钟的分针和时针重合？
例4、考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题
1、一列火车长150米，以每秒15米的速度通过600米的隧道，从火车进入隧道口算起，到这列火车完全通过隧道所需时间是【 】，火车完全在隧道上所需时间是【 】
（A）60秒 （B）50秒 （C）40秒 （D）30秒
2、一列客车车长200米，一列货车车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车车尾完全离开经过16秒，已知客车与货车的速度之比是3：2，问两车每秒各行驶多少米？
（五）工程问题
1．工程问题中的三个量及其关系为：
工作总量＝工作效率×工作时间 工作效率＝ ， 工作时间=
2．经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。即完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．
工程问题常用等量关系：先做的工作量+后做的工作量=完成量．
【典型例题】
例1：一件工程，甲独做需10天完成，乙独做需15天完成，现先由甲、乙合作4天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
例2：某工厂计划26小时生产一批零件，后因每小时多生产5件，用24小时，不但完成了任务，而且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多少零件？
（六）数字问题
1.要搞清楚数的表示方法：一个三位数，一般可设百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9），则这个三位数表示为：
【典型例题】
有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。
（七）配套问题：这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系。
【典型例题】例：某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？www.21-cn-jy.com
变式：机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？2·1·c·n·j·y
（八）、方案选择问题
某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是： 如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工．
方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．
你认为哪种方案获利最多？为什么？
第二讲 一元一次方程应用题培优竞赛辅导答案
一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）
（1）审——审题：认真审题，弄清题意，找出已知量和未知量．
（2）设——设出未知数：根据提问，巧设未知数．
（3）列——列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）然后列出方程．21cnjy.com
（4）解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值．
（5）检——检验，：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际意义。
（6）答——检验后写出答案（注意带上单位）。
二、各类题型解法分析
一元一次方程应用题归类汇集：和、差、倍、分问题(增长率问题)，等积变形问题，商品利润问题，行程问题，工程问题，数字问题，调配问题，分配问题，年龄问题，方案设计与成本分析，古典数学，浓度问题等。
（一）和、差、倍、分问题——读题分析法
这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套……”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.21·世纪*教育网
特别：现在量，原有量，增长量，增长率的关系是：
增长量＝原在量 × 增长率 现在量＝原有量＋增长量=原有量×（1+增长率）
【典型例题】例1．某单位今年为灾区捐款2万5千元，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元？设去年该单位为灾区捐款x元，则列方程为 2x+1000=25000
例2．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少3公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？
设油箱里原有汽油x公斤，
由题意得，x(1-25%)(1-40%)+3=25%x+(1-25%)x×40%
去分母整理 ( http: / / www.21cnjy.com" \t "https: / / iask..cn / b / _blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )得，9x+60=5x+6x
∴ 2x=60
∴ x=30
（二）等积变形问题
等积变形是以形状改变而体积不变为前提。
常用等量关系为：原料体积=成品体积。常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．【来源：21cnj*y.co*m】
①圆柱体的体积公式 V= 底面积×高 ＝S·h＝ ②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc
【典型例题】例3．现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？
解：设可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴x根
30×π（0.8÷2）=π（0.4÷2）×3x
解之x=40．
则已知的圆柱形钢坯可锻炼造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴40根．
（三）商品利润问题（市场经济问题或利润赢亏问题）
（1）销售问题中常出现的量有：进价(或成本)、售价、标价（或定价）、利润等。
（2）利润问题常用等量关系：商品利润＝商品售价－商品进价＝商品标价×折扣率－商品进价
商品利润率＝ ×100%
商品售价= 商品进价+商品利润 ＝商品进价 ×（1+增长率）
（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量
商品的销售利润＝（销售价－成本价）× 销售量
【典型例题】
例1：一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？设这种服装每件的进价是x元，则列方程为（1+40%）×80%x=x+15【版权所有：21教育】
变式：1、某商品的进价是2000元,标价为3000元,商店要求以利润不低于5%的售价打折出售,售货员最低可以打几折出售此商品
解：,设可以打X折，3000=2000（1+5%） 解得,X=7,即7折
2、工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？21世纪教育网版权所有
解：设该工艺品每件的进价是元,标价是（45+x）元.依题意，得:
8（45+x）×0.85-8x=（45+x-35）×12-12x 解得：x=155（元）所以45+x=200（元）
(四）行程问题——（画图分析法题）
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.
1、行程问题中的三个基本量及其关系：
路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间
2、行程问题基本类型
（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距
（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距
（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度 + 水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度 - 水流（风）速度
水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2
抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．即顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程．
常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。
3、时钟问题 ⑴ 将时钟的时针、分针、秒针的尖端看作一个点来研究
⑵通常将时钟问题看作以整时整分为起点的同向追击问题来分析。
常用数据：① 时针的速度是0.5°/分 ② 分针的速度是6°/分 ③ 秒针的速度是6°/秒
4、考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题
将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析，一切就一目了然。
【典型例题】例1一般的行程问题：甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇
（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？
（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？
（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ (此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。)
解：此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。 （1）相遇问题，画图表示为： 等量关系是：慢车走的路程＋快车走的路程＝480公里。 设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x＋90(x＋1)＝480 解这个方程，230x＝390 ∴ x＝ 答：快车开出小时两车相遇（2）相背而行，画图表示为：等量关系是：两车所走的路程和＋480公里＝600公里。 设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140＋90)x＋480＝600解这个方程，230x＝120∴ x＝ 答：小时后两车相距600公里。 （3）等量关系为：快车所走路程－慢车所走路程＋480公里＝600公里。 设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140－90)x＋480＝60050x＝120∴ x＝2.4 答：2.4小时后两车相距600公里。 （4）追及问题，画图表示为：等量关系为：快车的路程＝慢车走的路程＋480公里。 设x小时后快车追上慢车。 由题意得，140x＝90x＋480 解这个方程，50x＝480 ∴ x＝9.6答：9.6小时后快车追上慢车。（5）追及问题，等量关系为：快车的路程＝慢车走的路程＋480公里。设快车开出x小时后追上慢车。由题意得，140x＝90(x＋1)＋48050x＝570∴ x＝11.4 答：快车开出11.4小时后追上慢车。
变式：1、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲、乙两地相距x千米，则列方程为 。
2、甲、乙两人在相距18千米的两地同时出发，相向而行，1小时48分相遇，当甲比乙每小时快1千米时，求甲、乙两人的速度。
解：等量关系 甲行的总路程＋乙行的路程＝总路程 (18千米)
设乙的速度是x千米/时，则列出方程是： 解之x=4.5
3、某人从家里骑自行车到学校。若每小时行15千米，可比预定时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？
解：等量关系 ⑴ 速度15千米行的总路程＝速度9千米行的总路程
⑵ 速度15千米行的时间＋15分钟＝速度9千米行的时间－15分钟
老师提醒：速度已知时，设时间列路程等式的方程，设路程列时间等式的方程。
方法一：设预定时间为x小/时，则列出方程是：15（x－0.25）＝9（x＋0.25）
方法二：设从家里到学校有x千米，则列出方程是：
例2、航行问题：一艘船在两个码头之间航行，水流的速度是3千米/时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头之间的距离及船在静水中的速度？
解：设船在静水中的速度是x千米/时，则3×(x－3)＝2×(x＋3)
解得x＝15 2×(x＋3)＝2×(15＋3) ＝36（千米）答：两码头之间的距离是36千米。
变式：某船从A码头顺流航行到B码头，然后逆流返行到C码头，共行20小时，已知船在静水中的速度为7.5千米/时，水流的速度为2.5千米/时，若A与C的距离比A与B的距离短40千米，求A与B的距离。21教育网
解：设A与B的距离是x千米，(请你按下面的分类画出示意图，来理解所列方程)
① 当C在A、B之间时， 解得x＝120
② 当C在BA的延长线上时， 解得x＝56
答：A与B的距离是120千米或56千米。
例3、环行跑道与时钟问题：
1、甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？
老师提醒：此题为环形跑道上，同时同地同向的追击与相遇问题。
解：① 设同时同地同向出发x分钟后二人相遇，则 240x－200x＝400 x＝10
② 设背向跑，x分钟后相遇，则 240x＋200x＝400 x＝
2、在6点和7点之间，什么时刻时钟的分针和时针重合？
老师解析：6：00时分针指向12，时针指向6，此时二针相差180°，
在6：00～7：00之间，经过x分钟当二针重合时，时针走了0.5x°分针走了6x°
以下按追击问题可列出方程，不难求解。
解：设经过x分钟二针重合，则6x＝180＋0.5x 解得
例4、考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题
1、一列火车长150米，以每秒15米的速度通过600米的隧道，从火车进入隧道口算起，到这列火车完全通过隧道所需时间是【 B 】，火车完全在隧道上所需时间是【 C 】
（A）60秒 （B）50秒 （C）40秒 （D）30秒
老师提醒：将车尾看作一个行者，当车尾通过600米的隧道再加上150米的车长时
所用的时间，就是所求的完全通过的时间，哈哈！你明白吗？
解：时间＝(600＋150)÷15＝50（秒） 选B。
2、一列客车车长200米，一列货车车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车车尾完全离开经过16秒，已知客车与货车的速度之比是3：2，问两车每秒各行驶多少米？
老师提醒：将两车车尾视为两人，并且以两车车长和为总路程的相遇问题。
等量关系：快车行的路程＋慢车行的路程＝两列火车的车长之和
设客车的速度为3x米/秒，货车的速度为2x米/秒，则 16×3x＋16×2x＝200＋280
（五）工程问题
1．工程问题中的三个量及其关系为：
工作总量＝工作效率×工作时间 工作效率＝ ， 工作时间=
2．经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。即完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．
工程问题常用等量关系：先做的工作量+后做的工作量=完成量．
【典型例题】
例1：一件工程，甲独做需10天完成，乙独做需15天完成，现先由甲、乙合作4天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
解：设还需要x天完成，依题意，得 解得x=5 答：还需要5天完成
例2：某工厂计划26小时生产一批零件，后因每小时多生产5件，用24小时，不但完成了任务，而且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多少零件？
解：设原计划生产x个零件， ， X=780
（六）数字问题
1.要搞清楚数的表示方法：一个三位数，一般可设百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9），则这个三位数表示为：100a+10b+c
2.数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n-2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。
【典型例题】
例1．有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。
解：设这个三位数的百位数为x，则其十位数字为x+1，个位数字为2x．
则调后的百位数为2x，十位数字为x+1，个位数字为x，由此可得：
[100x+10（x+1）+2x]×2-49=100×2x+10（x+1）+x
解之x=3
则十位数为3+1=4，个位数为3×2=6．
所以这个三位数为：346．
答：原数为346．
（七）配套问题：这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系。
【典型例题】
例：某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？
解：设安排x人生产螺栓，则有（28-x）人生产螺母
根据题意得：18（28-x）=12x·2
解得：x=12
28-12=16（人）
答：应安排12人生产螺栓，16人生产螺母才行
变式：机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？
解：设生产大齿轮的人数为x，则生产小齿轮的人数为85-x，
根据题意得：
解之x=25．
85-x=85-25=60（人），
答：生产大齿轮的人数为25人，则生产小齿轮的人数为60人．
（八）方案选择问题
某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是： 如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：21·cn·jy·com
方案一：将蔬菜全部进行粗加工．
方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．
你认为哪种方案获利最多？为什么？
解：（1）方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没有来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成；
（2）方案一：获利为4500×140=630000（元）；
方案二：15天可精加工6×15=90（吨），
说明还有50吨需要在市场直接销售，
故可获利7500×90+1000×50=725000（元）；
方案三：可设将x吨蔬菜进行精加工，则（140﹣x）吨进行粗加工，
依题意得：，
解得：x=60．
故获利：7500×60+4500×80=810000（元）．
因此：选择方案三获利最多．
答：选择方案三获利最多．
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