2017-2018学年北师大版数学必修4第三章章末检测卷含答案解析

第三章 章末检测卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)21世纪教育网版权所有
1．(2016·澄城县期末)cos24°cos36°－cos66°cos54°的值等于(　　)
A．0　　　B.
C. D．－
解析：cos24°cos36°－cos66°cos54°
＝sin66°cos36°－cos66°sin36°
＝sin(66°－36°)＝sin30°＝.
答案：B
2．化简cos2－sin2等于(　　)
A．sin2θ B．－sin2θ
C．cos2θ D．－cos2θ
解析：原式＝cos＝cos＝sin2θ.故选A.
答案：A
3．(2016·东北师大附中高一期末)化简等于(　　)
A．1 B．2
C. D．－1
解析：＝＝＝2.故选B.
答案：B
4．(2016·齐齐哈尔实验中学高一月考)等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：原式＝
＝
＝sin30°＝.故选C.
答案：C
5．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值是(　　)
A. B.
C. D.
解析：原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋sin30°＝1＋×＝.故选B.21cnjy.com
答案：B
6．(2016·南昌模拟)已知sin2α＝－，α∈，则sinα＋cosα等于(　　)
A. B．－
C．－ D.
解析：因为α∈，
所以sinα＋cosα>0，
所以(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α＝，
所以sinα＋cosα＝，故选A.
答案：A
7．(2016·邢台期末)若sin(π－α)＝－且α∈，则sin等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：由题意知sinα＝－，α∈，所以cosα＝－，因为∈，所以sin＝cos＝－＝－.21·cn·jy·com
故选B.
答案：B
8．已知tan＝3，则等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：因为tan＝3，
所以tanα＝－2，
所以＝＝＝－.故选C.
答案：C
9．(2016·福州期中)若函数g(x)＝asinxcosx(a>0)的最大值为，则函数f(x)＝sinx＋acosx的图象的一条对称轴方程为(　　)2·1·c·n·j·y
A．x＝0 B．x＝－
C．x＝－ D．x＝－
解析：g(x)＝sin2x(a>0)的最大值为，所以a＝1，
f(x)＝sinx＋cosx＝sin，
令x＋＝＋kπ，k∈Z得x＝＋kπ，k∈Z.故选B.
答案：B
10．要使sinθ＋cosθ＝有意义，则实数m的取值范围是(　　)
A．(4，＋∞) B．[4，＋∞)
C．[8，＋∞) D．(8，＋∞)
解析：sinθ＋cosθ＝sin＝∈[－1,1]，
即≤1，所以8m－32≥0.
解得m≥4.故选B.
答案：B
11．已知tanα，tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，且－<α<，－<β<，则α＋β为(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
A. B．－
C.或－ D．－或
解析：由题意得
所以tanα<0，tanβ<0，
所以－<α<0，－<β<0，－π<α＋β<0.
又tan(α＋β)＝＝＝.
所以α＋β＝－.故选B.
答案：B
12．(2016·东莞校级三模)定义运算：＝a1a4－a2a3，已知函数f(x)＝，则函数f(x)的最小正周期是(　　)21教育网
A. B．π
C．2π D．4π
解析：由题意可得f(x)＝＝sinxcosx＋1＝sin2x＋1，
从而可得函数f(x)的最小正周期T＝＝π.故选B.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．设向量a＝，b＝，其中θ∈，若a∥b，则θ＝________.
解析：若a∥b，则sinθcosθ＝，
即2sinθcosθ＝1，
∴sin2θ＝1，又θ∈，∴θ＝.
答案：
14．若tan＝3＋2，则＝________.
解析：由tan＝＝3＋2，得tanα＝，
∴＝＝tanα＝.
答案：
15．tan10°＋tan50°＋tan10°tan50°＝________.
解析：∵tan60°＝tan(10°＋50°)
＝，
∴tan60°(1－tan10°tan50°)＝tan10°＋tan50°，
即－tan10°tan50°＝tan10°＋tan50°，
∴＝tan10°＋tan50°＋tan10°tan50°.
答案：
16．已知sin＝，则sin＋sin2＝________.
解析：sin＋sin2
＝sin＋cos2
＝sin＋1－sin2
＝＋1－＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos2αcos2β.
解析：原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)·(2cos2β－1)
＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)
＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2αsin2β＋cos2α(1－cos2β)＋cos2β－
＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－
＝sin2β(sin2α＋cos2α)＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.
18．(12分)(2016·大庆高一检测)已知－<α<，－<β<，且tanα，tanβ是方程x2＋6x＋7＝0的两个根，求α＋β的值．www.21-cn-jy.com
解析：由题意知tanα＋tanβ＝－6，tanαtanβ＝7，
所以tanα<0，tanβ<0.
又－<α<，－<β<，
所以－<α<0，－<β<0.
所以－π<α＋β<0.
因为tan(α＋β)＝＝＝1，
所以α＋β＝－.
19．(12分)(2015·广东高考)已知tanα＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值．
解析：(1)tan＝
＝＝＝－3.
(2)
＝
＝
＝
＝
＝1.
20．(12分)(2016·杭州高一检测)已知f(x)＝Asin(A≠0)．
(1)若A＝1，将f(x)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，再将所得图象上各点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式及对称轴方程．21·世纪*教育网
(2)若α∈[0，π]，f(α)＝cos2α，sin2α＝－，求A的值．
解析：(1)由题意得g(x)＝2sin，令2x＋＝＋kπ得对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)由f(α)＝Asin＝cos2α，
得A＝
＝
＝(cosα－sinα)，
因为sin2α＝－，
所以(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝，
因为α∈[0，π]，且sin2α＝－，
即2sinαcosα＝－<0，
所以α∈，
所以cosα－sinα<0，
即cosα－sinα＝－.
所以A＝－.
21．(12分)已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．www-2-1-cnjy-com
(1)求a，θ的值．
(2)若f＝－，α∈，求sin的值．
解析：(1)因为y＝a＋2cos2x是偶函数，
所以g(x)＝cos(2x＋θ)为奇函数，
而θ∈(0，π)，故θ＝，
所以f(x)＝－(a＋2cos2x)sin2x，
代入得a＝－1.
所以a＝－1，θ＝.
(2)f(x)＝－(－1＋2cos2x)sin2x＝－cos2xsin2x＝－sin4x，
因为f＝－，
所以f＝－sinα＝－，
故sinα＝，又α∈，
所以cosα＝－，sin＝×＋＝.
22．(12分)设函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x＋a.
(1)写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间．
(2)当x∈时，函数f(x)的最大值与最小值的和为，求a的值．
解析：(1)f(x)＝sin2x＋＋a＝sin＋＋a，
函数f(x)的最小正周期T＝＝π，
令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
所以kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递减区间是，k∈Z.
(2)由x∈
得－≤2x＋≤，
所以－≤sin≤1，
所以当2x＋＝－，
即x＝－时，f(x)min＝a，
当2x＋＝，
即x＝时，f(x)max＝＋a，
由题意得＋a＋a＝，解得a＝0.