2017-2018学年北师大版数学必修4第二章章末检测卷含答案解析
文档属性
| 名称 | 2017-2018学年北师大版数学必修4第二章章末检测卷含答案解析 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 152.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-03-26 11:01:58 | ||
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文档简介
第二章 章末检测卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)21·世纪*教育网
1．在梯形ABCD中，AB∥CD，且||＝λ||，设＝a，＝b，则等于( )
A．λa＋b B．a＋λb
C.a＋b D．a＋b
解析：＝＋＝b＋＝b＋a，故选C.
答案：C
2．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角θ为( )
A. B.
C. D.
解析：因为|a＋b|＝1，所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，所以cosθ＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝.www-2-1-cnjy-com
答案：C
3．若A(x，－1)，B(1,3)，C(2,5)三点共线，则x的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：∥，(1－x,4)∥(1,2)，2(1－x)＝4，x＝－1，选B.
答案：B
4．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)，若(a＋c)⊥b，则(a＋b)·c＝( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．0 B．2
C．3 D．4
解析：因为a＋c＝(3,3m)，(a＋c)⊥b，所以(a＋c)·b＝3(m＋1)＋3m＝0，得m＝－，故a＝(1，－1)，b＝，c＝，所以a＋b＝，(a＋b)·c＝·＝3，故选C.【版权所有：21教育】
答案：C
5．在△ABC中，已知D是边AB上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝( )
A. B.
C. D.
解析：由已知得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，因此λ＝，故选B.
答案：B
6．(2016·山东)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )21教育名师原创作品
A．4 B．－4
C. D．－
解析：方法一：由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，所以t＝－＝－＝－＝－3×＝－3×＝－4.
方法二：由4|m|＝3|n|，可设|m|＝3k，|n|＝4k(k>0)，又n⊥(tm＋n)，所以n·(tm＋n)＝n·tm＋n·n＝t|m|·|n|·cos〈m，n〉＋|n|2＝t×3k×4k×＋(4k)2＝4tk2＋16k2＝0，所以t＝－4.21·cn·jy·com
答案：B
7．若四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是( )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．直角梯形
解析：由＋＝0即＝可得四边形ABCD为平行四边形，由(－)·＝0即·＝0可得⊥，所以四边形一定是菱形．故选C.
答案：C
8．已知O为坐标原点，点A的坐标为(2,1)，向量＝(－1,1)，则(＋)·(－)等于( )21教育网
A．－4 B．－2
C．0 D．2
解析：因为O为坐标原点，点A的坐标为(2,1)，
向量＝(－1,1)，
所以＝＋
＝(2,1)＋(－1,1)＝(1,2)，
所以(＋)·(－)
＝2－2＝(22＋12)－(12＋22)
＝5－5＝0.故选C.
答案：C
9．在△ABC中，若||＝1，||＝，|＋|＝||，则＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：由向量的平行四边形法则，知当|＋|＝||时，∠A＝90°.又||＝1，||＝，故∠B＝60°，∠C＝30°，||＝2，所以＝＝－.
答案：B
10．在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，D是边BC上的一点，且·＝·，则·的值等于( )
A．－4 B．0
C．4 D．8
解析：∵·＝·，
∴·(－)＝0，
∴·＝0，即AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，∠ABD＝30°，
∴AD＝AB＝2，∠BAD＝60°，
∴·＝||||cos60°＝2×4×＝4.
答案：C
11．已知向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，p＝(x，y)，定义新运算?：m?n＝(ac＋bd，ad＋bc)．如果对于任意向量m，都有m?p＝m成立，则p＝( )
A．(1,0) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(0，－1)
解析：∵m?p＝m，∴(a，b)?(x，y)＝(ax＋by，ay＋bx)＝(a，b)，
∴即∵对任意m＝(a，b)，都有(a，b)?(x，y)＝(a，b)成立，
∴解得∴p＝(1,0)．
答案：A
12．在边长为1的正方形ABCD中，点M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是( )
A. B.
C. D．[0,1]
解析：如图，以AB、AD所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，进而可得C(1,1)，M，设E(x,0)(0≤x≤1)，21世纪教育网版权所有
∴＝(1－x,1)，＝，
∴·＝(1－x)(1－x)＋1×＝x2－2x＋.
∵0≤x≤1，
∴当x＝1时，(·)min＝；
当x＝0时，(·)max＝.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.
解析：∵λa＋b与a＋2b平行，
∴λa＋b＝t(a＋2b)＝ta＋2tb
∴∴
答案：
14．若向量＝(1，－3)，||＝||，·＝0，则||＝________.
解析：法一：设＝(x，y)，由||＝||知＝，又·＝x－3y＝0，所以x＝3，y＝1或x＝－3，y＝－1.当x＝3，y＝1时，||＝2；当x＝－3，y＝－1时，||＝2.故||＝2.2·1·c·n·j·y
法二：由几何意义知，||就是以，为邻边的正方形的对角线长，又||＝，所以||＝×＝2.
答案：2
15．已知非零向量a，b，c，满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．
解析：由题意可画出图形，
在△OAB中，
因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，
所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，
即向量a与c的夹角为90°.
答案：90°
16．给出以下命题：①若|a·b|＝|a||b|，则a∥b；
②向量a＝(－1,1)在b＝(3,4)方向上的投影为；③若非零向量a，b满足|a＋b|＝|b|，则|2b|>|a＋2b|.其中正确命题的序号为________．www.21-cn-jy.com
解析：由|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|，得cos〈a，b〉＝±1，即〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π，所以a∥b，①正确；向量a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝＝＝，②正确；由|a＋b|＝|b|，得a2＋2a·b＝0，即2a·b＝－a2，若|2b|>|a＋2b|，则有4b2>a2＋4a·b＋4b2，即a2＋4a·b＝a2－2a2＝－a2<0，该式显然成立，③正确．综上，正确命题的序号为①②③.21*cnjy*com
答案：①②③
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时，
(1)c∥d；(2)c⊥d.
解析：由题意得a·b＝|a||b|cos60°＝2×3×＝3.
(1)当c∥d，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋kb)．
∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k＝.
(2)当c⊥d时，c·d＝0，则(5a＋3b)·(3a＋kb)＝0.
∴15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0，
∴k＝－.
18．(12分)已知向量a＝(1,3)，b＝(m,2)，c＝(3,4)，且(a－3b)⊥c.
(1)求实数m的值；
(2)求向量a与b的夹角θ.
解析：(1)因为a＝(1,3)，b＝(m,2)，c＝(3,4)，
所以a－3b＝(1,3)－(3m,6)＝(1－3m，－3)．
因为(a－3b)⊥c，
所以(a－3b)·c＝(1－3m，－3)·(3,4)
＝3(1－3m)＋(－3)×4
＝－9m－9＝0，
解得m＝－1.
(2)由(1)知a＝(1,3)，b＝(－1,2)，
所以a·b＝5，
所以cosθ＝＝＝.
因为θ∈[0，π]，
所以θ＝.
19．(12分)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－x，－3－y)．
(1)若点A，B，C不能构成三角形，求x，y应满足的条件；
(2)若＝2，求x，y的值．
解析：(1)因为点A，B，C不能构成三角形，则A，B，C三点共线．
由＝(3，－4)，＝(6，－3)，
＝(5－x，－3－y)得
＝(3,1)，＝(2－x,1－y)，
所以3(1－y)＝2－x.
所以x，y满足的条件为x－3y＋1＝0.
(2)＝(－x－1，－y)，
由＝2得
(2－x,1－y)＝2(－x－1，－y)，
所以解得
20．(12分)已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，且＝，＝.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)求E，F的坐标；
(2)判断与是否共线．
解析：(1)设E(x1，y1)，F(x2，y2)．依题意得＝(2,2)，＝(－2,3)．
由＝可知(x1＋1，y1)＝(2,2)，即解得
∴E的坐标为.
由＝可知(x2－3，y2＋1)＝(－2,3)，
即解得
∴F的坐标为.
故E点的坐标为，F点的坐标为.
(2)由(1)可知＝－＝，又＝(4，－1)，∴＝(4，－1)＝，故与共线．
21．(12分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．2-1-c-n-j-y
(1)求实数λ的值；
(2)若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求的坐标；
(3)已知点D(3,5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．【出处：21教育名师】
解析：(1)＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.
∵A，E，C三点共线，∴存在实数k，使得＝k，即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.21*cnjy*com
∵e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，
∴解得k＝－，λ＝－.
(2)＝＋＝－3e1－e2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．
(3)∵A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，∴＝.设A(x，y)，则＝(3－x,5－y)．∵＝(－7，－2)，∴
解得即点A的坐标为(10,7)．
22．(12分)在△ABC中，满足⊥，M是BC的中点．
(1)若||＝||，求向量＋2与向量2＋的夹角的余弦值；
(2)若O是线段AM上任意一点，且||＝||＝，求·＋·的最小值．
解析：(1)设向量＋2与向量2＋的夹角为θ，||＝||＝a，
∵⊥，∴·＝0，
∴(＋2)·(2＋)＝22＋5·＋22＝4a2，
|＋2|＝＝
＝a，
同理可得|2＋|＝a，
∴cosθ＝＝＝.
(2)∵⊥，||＝||＝，∴||＝1.
设||＝x(0≤x≤1)，则||＝1－x，而＋＝2，
∴·＋·＝·(＋)＝2·＝2||·||·cosπ＝－2x(1－x)＝2x2－2x＝22－，21cnjy.com
当且仅当x＝时，·＋·取得最小值－.
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)21·世纪*教育网
1．在梯形ABCD中，AB∥CD，且||＝λ||，设＝a，＝b，则等于( )
A．λa＋b B．a＋λb
C.a＋b D．a＋b
解析：＝＋＝b＋＝b＋a，故选C.
答案：C
2．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角θ为( )
A. B.
C. D.
解析：因为|a＋b|＝1，所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，所以cosθ＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝.www-2-1-cnjy-com
答案：C
3．若A(x，－1)，B(1,3)，C(2,5)三点共线，则x的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：∥，(1－x,4)∥(1,2)，2(1－x)＝4，x＝－1，选B.
答案：B
4．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)，若(a＋c)⊥b，则(a＋b)·c＝( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．0 B．2
C．3 D．4
解析：因为a＋c＝(3,3m)，(a＋c)⊥b，所以(a＋c)·b＝3(m＋1)＋3m＝0，得m＝－，故a＝(1，－1)，b＝，c＝，所以a＋b＝，(a＋b)·c＝·＝3，故选C.【版权所有：21教育】
答案：C
5．在△ABC中，已知D是边AB上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝( )
A. B.
C. D.
解析：由已知得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，因此λ＝，故选B.
答案：B
6．(2016·山东)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )21教育名师原创作品
A．4 B．－4
C. D．－
解析：方法一：由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，所以t＝－＝－＝－＝－3×＝－3×＝－4.
方法二：由4|m|＝3|n|，可设|m|＝3k，|n|＝4k(k>0)，又n⊥(tm＋n)，所以n·(tm＋n)＝n·tm＋n·n＝t|m|·|n|·cos〈m，n〉＋|n|2＝t×3k×4k×＋(4k)2＝4tk2＋16k2＝0，所以t＝－4.21·cn·jy·com
答案：B
7．若四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是( )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．直角梯形
解析：由＋＝0即＝可得四边形ABCD为平行四边形，由(－)·＝0即·＝0可得⊥，所以四边形一定是菱形．故选C.
答案：C
8．已知O为坐标原点，点A的坐标为(2,1)，向量＝(－1,1)，则(＋)·(－)等于( )21教育网
A．－4 B．－2
C．0 D．2
解析：因为O为坐标原点，点A的坐标为(2,1)，
向量＝(－1,1)，
所以＝＋
＝(2,1)＋(－1,1)＝(1,2)，
所以(＋)·(－)
＝2－2＝(22＋12)－(12＋22)
＝5－5＝0.故选C.
答案：C
9．在△ABC中，若||＝1，||＝，|＋|＝||，则＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：由向量的平行四边形法则，知当|＋|＝||时，∠A＝90°.又||＝1，||＝，故∠B＝60°，∠C＝30°，||＝2，所以＝＝－.
答案：B
10．在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，D是边BC上的一点，且·＝·，则·的值等于( )
A．－4 B．0
C．4 D．8
解析：∵·＝·，
∴·(－)＝0，
∴·＝0，即AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，∠ABD＝30°，
∴AD＝AB＝2，∠BAD＝60°，
∴·＝||||cos60°＝2×4×＝4.
答案：C
11．已知向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，p＝(x，y)，定义新运算?：m?n＝(ac＋bd，ad＋bc)．如果对于任意向量m，都有m?p＝m成立，则p＝( )
A．(1,0) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(0，－1)
解析：∵m?p＝m，∴(a，b)?(x，y)＝(ax＋by，ay＋bx)＝(a，b)，
∴即∵对任意m＝(a，b)，都有(a，b)?(x，y)＝(a，b)成立，
∴解得∴p＝(1,0)．
答案：A
12．在边长为1的正方形ABCD中，点M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是( )
A. B.
C. D．[0,1]
解析：如图，以AB、AD所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，进而可得C(1,1)，M，设E(x,0)(0≤x≤1)，21世纪教育网版权所有
∴＝(1－x,1)，＝，
∴·＝(1－x)(1－x)＋1×＝x2－2x＋.
∵0≤x≤1，
∴当x＝1时，(·)min＝；
当x＝0时，(·)max＝.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.
解析：∵λa＋b与a＋2b平行，
∴λa＋b＝t(a＋2b)＝ta＋2tb
∴∴
答案：
14．若向量＝(1，－3)，||＝||，·＝0，则||＝________.
解析：法一：设＝(x，y)，由||＝||知＝，又·＝x－3y＝0，所以x＝3，y＝1或x＝－3，y＝－1.当x＝3，y＝1时，||＝2；当x＝－3，y＝－1时，||＝2.故||＝2.2·1·c·n·j·y
法二：由几何意义知，||就是以，为邻边的正方形的对角线长，又||＝，所以||＝×＝2.
答案：2
15．已知非零向量a，b，c，满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．
解析：由题意可画出图形，
在△OAB中，
因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，
所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，
即向量a与c的夹角为90°.
答案：90°
16．给出以下命题：①若|a·b|＝|a||b|，则a∥b；
②向量a＝(－1,1)在b＝(3,4)方向上的投影为；③若非零向量a，b满足|a＋b|＝|b|，则|2b|>|a＋2b|.其中正确命题的序号为________．www.21-cn-jy.com
解析：由|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|，得cos〈a，b〉＝±1，即〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π，所以a∥b，①正确；向量a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝＝＝，②正确；由|a＋b|＝|b|，得a2＋2a·b＝0，即2a·b＝－a2，若|2b|>|a＋2b|，则有4b2>a2＋4a·b＋4b2，即a2＋4a·b＝a2－2a2＝－a2<0，该式显然成立，③正确．综上，正确命题的序号为①②③.21*cnjy*com
答案：①②③
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时，
(1)c∥d；(2)c⊥d.
解析：由题意得a·b＝|a||b|cos60°＝2×3×＝3.
(1)当c∥d，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋kb)．
∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k＝.
(2)当c⊥d时，c·d＝0，则(5a＋3b)·(3a＋kb)＝0.
∴15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0，
∴k＝－.
18．(12分)已知向量a＝(1,3)，b＝(m,2)，c＝(3,4)，且(a－3b)⊥c.
(1)求实数m的值；
(2)求向量a与b的夹角θ.
解析：(1)因为a＝(1,3)，b＝(m,2)，c＝(3,4)，
所以a－3b＝(1,3)－(3m,6)＝(1－3m，－3)．
因为(a－3b)⊥c，
所以(a－3b)·c＝(1－3m，－3)·(3,4)
＝3(1－3m)＋(－3)×4
＝－9m－9＝0，
解得m＝－1.
(2)由(1)知a＝(1,3)，b＝(－1,2)，
所以a·b＝5，
所以cosθ＝＝＝.
因为θ∈[0，π]，
所以θ＝.
19．(12分)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－x，－3－y)．
(1)若点A，B，C不能构成三角形，求x，y应满足的条件；
(2)若＝2，求x，y的值．
解析：(1)因为点A，B，C不能构成三角形，则A，B，C三点共线．
由＝(3，－4)，＝(6，－3)，
＝(5－x，－3－y)得
＝(3,1)，＝(2－x,1－y)，
所以3(1－y)＝2－x.
所以x，y满足的条件为x－3y＋1＝0.
(2)＝(－x－1，－y)，
由＝2得
(2－x,1－y)＝2(－x－1，－y)，
所以解得
20．(12分)已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，且＝，＝.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)求E，F的坐标；
(2)判断与是否共线．
解析：(1)设E(x1，y1)，F(x2，y2)．依题意得＝(2,2)，＝(－2,3)．
由＝可知(x1＋1，y1)＝(2,2)，即解得
∴E的坐标为.
由＝可知(x2－3，y2＋1)＝(－2,3)，
即解得
∴F的坐标为.
故E点的坐标为，F点的坐标为.
(2)由(1)可知＝－＝，又＝(4，－1)，∴＝(4，－1)＝，故与共线．
21．(12分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．2-1-c-n-j-y
(1)求实数λ的值；
(2)若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求的坐标；
(3)已知点D(3,5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．【出处：21教育名师】
解析：(1)＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.
∵A，E，C三点共线，∴存在实数k，使得＝k，即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.21*cnjy*com
∵e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，
∴解得k＝－，λ＝－.
(2)＝＋＝－3e1－e2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．
(3)∵A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，∴＝.设A(x，y)，则＝(3－x,5－y)．∵＝(－7，－2)，∴
解得即点A的坐标为(10,7)．
22．(12分)在△ABC中，满足⊥，M是BC的中点．
(1)若||＝||，求向量＋2与向量2＋的夹角的余弦值；
(2)若O是线段AM上任意一点，且||＝||＝，求·＋·的最小值．
解析：(1)设向量＋2与向量2＋的夹角为θ，||＝||＝a，
∵⊥，∴·＝0，
∴(＋2)·(2＋)＝22＋5·＋22＝4a2，
|＋2|＝＝
＝a，
同理可得|2＋|＝a，
∴cosθ＝＝＝.
(2)∵⊥，||＝||＝，∴||＝1.
设||＝x(0≤x≤1)，则||＝1－x，而＋＝2，
∴·＋·＝·(＋)＝2·＝2||·||·cosπ＝－2x(1－x)＝2x2－2x＝22－，21cnjy.com
当且仅当x＝时，·＋·取得最小值－.