第3章 因式分解单元检测提高卷（含解析）

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第3章因式分解单元检测提高卷
　班级__________姓名____________总分___________
一、选择题
1．把多项式分解因式正确的是 ( )
A. B.
C. D.
2．下列多项式中，在有理数范围内能够分解因式的是（　　）
A. ﹣5 B. +5x+3 C. 0.25﹣16 D. +9
3．下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ）
A. B. C. D.
4．若x2+mxy+y2是一个完全平方式，则m=（　　）
A. 2 B. 1 C. ±1 D. ±2
5．802﹣1能被（　　）整除．
A. 76 B. 78 C. 79 D. 82
6．计算2015×2015-2015×2014-2014×2013+2014×2014的值是(　　)
A. 1 B. -1 C. 4029 D. 4030
7．若，则的值为（ ）
A. 4 B. 3 C. 1 D. 0
8．当x＜a＜0时， 与ax的大小关系是（ ）
A. ＞ax B. ≥ax C. ＜ax D. ≤ax
9．不论, 为任何实数， 的值总是（ ）
A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 非正数
10．已知实数x满足，那么的值是（　　）
A. 1或﹣2 B. ﹣1或2 C. 1 D. ﹣2
11．多项式与多项式的公因式是( )
A. B. C. D.
12．已知（ ）
A. 3 B. -3 C. 5 D. -5
二、填空题
13．若，则__________．
14．在一个边长为10.5cm的正方形中间，挖去一个边长为4.5cm的小正方形，剩下部分的面积是________cm2
15．若，，则代数式的值是______________．
16．若（M+2ab）2=N+12ab(a+b)+4a2b2,则M=______, N=______.
17．已知P=3xy－8x＋1，Q=x－2xy－2，当x≠0时，3P－2Q=7恒成立，则y的值为________.
18．已知实数a，b满足：a2+1=，b2+1=，则2015|a-b|=______．
三、解答题
19．Ⅰ．分解因式
(1)x3－6x2＋9x
(2)a2(x－y)＋4(y－x)．
Ⅱ．利用乘法公式简便计算：
(1)－992
(2)20152－2016×2014．
20．已知实数m，n满足， ，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
21．阅读下面解题过程，然后回答问题.
分解因式： .
解：原式== =
==
上述因式分解的方法称为”配方法”.
请你体会”配方法”的特点，用“配方法”分解因式： .
22．已知：a为有理数， ，求的值．
23．已知， ， ，求代数式的值；
24．阅读题：因式分解：1+x+x（x+1）+x（x+1）2
解：原式=（1+x）+x（x+1）+x（x+1）2
=（1+x）[1+x+x（x+1）]
=（1+x）[（1+x）+x（1+x）]
=（1+x）2（1+x）
=（1+x）3．
（1）本题提取公因式几次？
（2）若将题目改为1+x+x（x+1）+…+x（x+1）n，需提公因式多少次？结果是什么？
25．（13分）阅读材料：我们都知道,
于是，
又因为，所以， ， ，
所以， 有最大值205。
如图，某农户准备用长34米的铁栅栏围成一边靠墙的长方形羊圈ABCD和一个边长为1米的正方形狗屋CEFG。设AB=x米。
（1）请用含x的代数式表示BC的长（写出具体解题过程）；
（2）设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S，试用含x的代数式表示S，并计算当x=5时S的值；
（3）试求出山羊活动范围面积S的最大值。
26．若一个两位正整数m的个位数为8，则称m为“好数”.
（1）求证：对任意“好数”m，m2-64一定为20的倍数；
（2）若m=p2-q2，且p，q为正整数，则称数对(p,q)为“友好数对”，规定： ，例如68=182-162，称数对（18,16）为“友好数对”，则，求小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H(m)的最大值.
参考答案
1．B
【解析】根据因式分解法—提公因式，可由a-2与2-a互为相反数，先变形，再提公因式a-2可得： = = .
故选：B.
点睛：此题主要考查了因式分解法—提公因式，关键是明确a-2与2-a互为相反数，并且多次提取公因式.
2．C
【解析】试题分析：0.25x2－16y2＝(0.5x)2－(4y)2＝(0.5x＋4y)( 0.5x－4y)，所以在有理数范围内能够分解因式的是C，
故选C．
3．C
【解析】A选项-a2+b2=b2-a2=（b+a）（b-a）；B选项49x2y2-m2=（7xy+m）（7xy-m）；C选项-x2-y2是两数的平方和，不能进行分解因式；D选项16m4-25n2=(4m)2-(5n)2=（4m+5n）（4m-5n），
故选C．
【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，解题的关键是要熟记平方差公式的特征.
4．D
【解析】根据完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2与(a-b)2=a2-2ab+b2可知，要使x2+mxy+y2符合完全平方公式的形式，该式应为：x2+2xy+y2=(x+y)2或x2-2xy+y2=(x-y)2. 对照各项系数可知，系数m的值应为2或-2.
故本题应选D.
点睛：
本题考查完全平方公式的形式，应注意完全平方公式有(a+b)2、(a-b)2两种形式. 考虑本题时要全面，不要漏掉任何一种形式.
5．C
【解析】 ，
能被79整除.
故选C.
6．C
【解析】2015×2015-2015×2014-2014×2013+2014×2014
=2015(2015-2014)+2014(-2013+2014)
=2015+2014=4029.
故选C.
7．C
【解析】把a+b=1代入得，=（a-b）（a+b）+2b=a-b+2b=a+b=1，故选C.
点睛：本题考查了因式分解和整体代入，难度不大，属于基础题.
8．A
【解析】∵x＜a＜0，
∴x-a＜0，
∴ ＞0，
即可得＞ax，故选A.
9．A
【解析】x +y －4x-2y+8=(x －4x+4)+(y -2y+1)+3=(x-2)2+(y-1)2+3≥3，
不论x,y为任何实数,x +y －4x-2y+8的值总是大于等于3，
故选A.
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是要明确要判断一个算式是正数时总是将其整理成一个完全平方公式加正数的形式．
10．D
【解析】∵x2+=0
∴（x+）2-2+x+=0，
∴[（x+）+2][（x+）﹣1]=0，
∴x+=1或﹣2．
∵x+=1无解，
∴x+=﹣2．
故选：D．
11．A
【解析】多项式ax2-a=a（x+1）（x-1），多项式x2-2x+1=（x-1）2，
则两多项式的公因式为x-1，
故选A．
12．A
【解析】∵
∴
=.
故选A.
13．4
【解析】
(a-1)2+(b-3)2=0,a=1,b=3,所以a+b=4.
故答案为4.
14．90
【解析】试题解析：设剩下部分的面积为S，则
故答案为：90.
15．－1
【解析】= ，把，代入得，原式=－1.
点睛：本题考查了因式分解的综合运用及整体代入思想，正确进行因式分解是解决问题的关键.
16．3a+3b，9a2+18ab+9b2
【解析】（M+2ab）2=M2+4Mab+4a2b2= N+12ab(a+b)+4a2b2，
∴，
∴，
故答案为：3a+3b，9a2+18ab+9b2.
17．2
【解析】∵P=3xy 8x+1，Q=x 2xy 2，
∴3P 2Q=3(3xy 8x+1) 2(x 2xy 2)=7恒成立，
∴9xy 24x+3 2x+4xy+4=7，
13xy 26x=0，
13x(y 2)=0，
∵x≠0，
∴y 2=0，
∴y=2；
故答案为：2.
18．1
【解析】∵a2+1=，b2+1=，
∴a2-b2=-,a＞0，b＞0，
∴（a-b）（a+b）= ，
∴（a-b）（a+b）-=0，即（a-b）（a+b+）=0，
∵a＞0，b＞0，ab＞0，
∴a-b=0，
∴2015|a-b|=20150=1.
19．（1）x(x－3)2（2）(x－y)(a＋2)(a－2)（3）－9801（4）1
【解析】试题分析：Ⅰ.（1）先提取公因式x，再运用差的完全平方公式进行分解即可；
（2）原式先变形为a2(x－y)-4(x－ y)，再提取公因式（x-y），再运用平方差公式进行分解即可；
Ⅱ．（1）运用差的完全平方公式进行计算即可；
（2）运用平方差公式进行计算即可.
试题解析：Ⅰ．分解因式
(1)原式=x(x2－6x＋9)
=x(x－3)2；
(2)原式=a2(x－y)－4(x－y)
=(x－y)(a2－4)
=(x－y)(a＋2)(a－2)．
Ⅱ．利用乘法公式简便计算：
(3)原式=－(100－1)2
=－(10000－200＋1)
=－10000＋199=－9801；
(4)原式=20152－2016×2014
=20152－(2015＋1)×(2015－1)
=20152－(20152－1)
=20152－20152＋1
=1．
20．（1）-1；（2）-3.
【解析】试题分析：(1)利用作差法和平方差公式因式分解可得(m-n)(m+n+1)=0,从而可求出m+n=-1;
(2)由已知两式相加,得由（1）知m+n=-1,代入可得,再根据完全平方公式进行变形可求得然后通分代入即可;
解：（1）∵， ，∴， ∴，
又∵， ∴．
（2）∵， ， ∴．
又∵，∴．
∵，
∴． ∴．
21．（y-1）(y-3)
【解析】试题分析：根据配方法，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案．
试题解析：
=
=
=
=
=
22．1
【解析】试题分析：首先将1+a+a2+a3+…+a2012变形为：1+a（a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3）…+a2009（1+a+a2+a3），然后将a3+a2+a+1=0代入即可求得答案．
试题解析：
：∵a3+a2+a+1=0，
∴1+a+a2+a3+…+a2012，
=1+a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3）…+a2009（1+a+a2+a3），
=1．
【点睛】此题考查了因式分解的应用．得到1+a（a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3）…+a2009（1+a+a2+a3）是解此题的关键．
23．3
【解析】试题分析：此题经观察可知，再把多项式转化为完全平方形式，再代入值求解即可．
试题解析：由题意可知： ，
则=
=
=
==3．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，属于基础题，关键在于灵活思维，对多项式扩大2倍是利用完全平方公式的关键．
24．（1）共提取了两次公因式；（2）将题目改为1+x+x（x+1）+…+x（x+1）n，需提公因式n次，结果是（x+1）n+1．
【解析】试题分析：（1）观察题目中所给的解题过程，即可得结论；（2）根据题目中所给的解题方法，类比得出规律即可求解.
试题解析：
（1）共提取了两次公因式；
（2）将题目改为1+x+x（x+1）+…+x（x+1）n，需提公因式n次，结果是（x+1）n+1．
点睛：本题主要考查了因式分解的应用，观察所给的解题过程，从中获得规律是解题的关键，本题还考查了类比的数学数学.
25．（1）BC=32-2x；（2）109；（3）127
【解析】试题分析：（1）根据AB＋CD＋BC＋EF＋FG＝34，代入数据即可得出BC；
（2）根据阴影部分面积＝长方形ABCD的面积－正方形CEFG的面积，代入数据整理即可得出结论；
（3）将S的表达式化为材料中的形式，从而可以求得所求面积的最大值．
试题解析：
解：（1）依题意得AB＝DC＝x，EF＝FG＝1，
∵AB＋CD＋BC＋EF＋FG＝34，
∴2x＋BC＋2＝34，
∴BC＝32－2x ；
（2）依题意得
S＝S长方形ABCD－S正方形CEFG
＝x(32－x)－1
＝－2x2＋32x－1，
当x＝5时，S＝－2×5＋32×5－1＝109（㎡）；
（3）S＝－2x2＋32x－1
＝－2(x2－16x)－1
＝－2(x2－2·x·8＋82－82)－1
＝－2[(x－8)2－64]－1
＝－2(x－8)2+127，
又因为a2≥0，
所以(x－8)2≥0，
所以－2(x－8)2≤0，
所以－2(x－8)2＋127≤127，
所以山羊活动范围面积S的最大值是127平方米．
26．（1）证明见解析；（2）.
【解析】试题分析：
（1）设的十位数字为，则由题意可得： ，由此可得： ，由此可得一定是20的倍数；
（2）设的十位数字为，则由题意可得： ，结合，且为正整数及分=1或2或3或4进行讨论求得符合条件的的值，再求得对应的H（m）的值并比较大小即可求得本题答案.
试题解析：
（1）设的十位数字为，则由题意可得： ，
∴，
∵为两位正整数的十位数字，
∴是整数，
∴是20的倍数；
（2）设的十位数字为，则由题意可得： ，
∵，且为正整数，
∴，
又∵，
∴①当时， ，此时没有满足条件的；
②当时， ，此时满足条件的是数对（8，6），即，故H（28）=；
③当时， ，此时没有满足条件的；
④当时， ，此时满足条件的有数对（7，1）、（8，4）、（13，11），即，故H（48）=或H（48）=或H（48）=；
综上所述，∵，
∴小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H(m)的最大值为.
点睛：（1）个位数为8的两位正整数可表示为： ，其中为正整数，且；（2）解第1小题这类题通常需把所涉及的数用代数式表达出来，再通过分解因式即可完成证明；（3）解第2小题时，抓住：“， ， 为正整数， ”这几个条件综合分析即可找到所有符合条件的，再分别求出对应的H（m）=并比较大小即可得到本题答案.
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