8.1 二元一次方程组同步练习
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8.1 二元一次方程组同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．如果一个方程含有 两个未知数,并且含未知数的项的次数都是１,像这样的方程叫做二元一次方程．
２．方程组中有两个未知数,每个含未知数的项的次数都是１,并且一共有两个方程,这样的方程组叫二元一次方程组． 21教育网
３．二元一次方程(组)的解
(１)使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解 ．
(２)二元一次方程组的两个方程的 公共解,叫做二元一次方程组的解．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．若是关于x、y的二元一次方程，则（ ）
A. a≠2 B. b≠－1 C. a≠2且b≠－1 D. a≠2或b≠－1
2．下列结论正确的是（ ）．
A. 方程所有的解都是方程组的解
B. 方程所有的解都不是方程组的解
C. 方程组的解不是方程的一个解
D. 方程组的解是方程的一个解
3．下列方程组中，是二元一次方程组的是( )
A. B. C. D.
4．某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（ ）2·1·c·n·j·y
A. B. C. D.
5．若方程6kx﹣2y=8有一组解，则k的值等于（ ）
A. ﹣ B. C. D. ﹣
6．为了丰富学生课外小组活动，培养学生动 ( http: / / www.21cnjy.com )手操作能力，田田老师让学生把5m长的彩绳截成2m或1m长的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有几种不同的截法（同种长度的彩绳不考虑截的先后循序）（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7．实验课上，王老师把班级里40名学生分成若干小组，每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案( )21教育名师原创作品
A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种
8．下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ）．
①；②；③；④；⑤；⑥．
A. B. C. D.
9．方程2x+3y=11的非负整数解的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10．小亮解方程组的解为由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和*，则●与*的值为（ ）21*cnjy*com
A. B. C. D.
二、填空题
11．写出方程x+2y=6的正整数解：______．
12．如果一个两位数的个位数字与十位数字的和5，那么这样的两位数的个数是_________.
13．若是方程2x+y=0的解，则4x+2b+1=__________.
14．如果方程组的解是那么点p(a,b)在第____象限.
15．已知方程组的解为，求的值___________.
三、解答题
16．二元一次方程组的解x，y的值相等，求k.
17．已知关于x，y的二元一次方程组的解是，求(a＋b)99的值．
18．是否存在整数m，使关于x的方程在整数范围内有解，你能找到几个m的值？你能求出相应的x的解吗？
19．已知甲种物品每个重4 kg，乙种物品每个重7 kg，现有甲种物品x个，乙种物品y个，共重76 kg.
(1)列出关于x，y的二元一次方程；
(2)若x＝12，则y＝_______；
(3)若乙种物品有8个，则甲种物品有_______个；
(4)写出满足条件的x，y的全部整数解．
20．已知是方程的一个解，解决下列问题：
（1）求的值；
（2）化简并求值：
参考答案
1．C
【解析】∵是关于x、y的二元一次方程，
∴ ，解得.
故选C.
2．D
【解析】A、∵方程x+y=5所有的解不一定都是方程组的解，故本选项错误；
B、∵方程x+y=5的其中一个解是方程组的解，故本选项错误；
C、∵方程组的解一定是方程x+y=5的一个解，故本选项错误；
D、∵方程组的解是方程x+y=5的一个解，故本选项正确；
故选D．
点睛：本题考查了对二元一次方程组的解与组成方程组的两个二元一次方程的解得关系，理解二元一次方程组的解的定义是解此题的关键．www-2-1-cnjy-com
3．C
【解析】试题解析：A、第二个方程不是整式方程，不符合题意；
B、整个方程组含有3个未知数，不符合题意；
C、符合题意；
D、整个方程组含有3个未知数，不符合题意；
故选C．
4．B
【解析】由男生、女生共有246人可得：；由男生人数比女生人数的2倍少2人可得：即；
∴由题意可得方程组为： ，
故选B.
5．D
【解析】解:把代入6kx﹣2y=8得:-18k-4=8,
∴k= .
故选D.
6．B
【解析】试题解析：截下来的符合条件的彩绳长度之和刚好等于总长5米时，不造成浪费，
设截成2米长的彩绳x根，1米长的y根，
由题意得，2x+y=5，
因为x，y都是正整数，所以符合条件的解为：
则共有3种不同截法，
故选B.
7．C
【解析】试题分析：根据题意可得：5x+6y=40，根据x和y为非负整数可得： 或，共两种，故选C．【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com )视频 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) ( http: / / www.21cnjy.com )
8．B
【解析】根据二元一次方程的概念，可知：
①是二元二次方程，故不是；③不是整式方程，故不是；⑤是二元二次方程，故不是；⑥不是方程，故不是．
②④是二元一次方程，故个数为．
故选：B.
9．B
【解析】解：∵2x+3y=11，∴，
∵x与y是非负整数，
∴≥0，
∴0≤y≤，
∴y的可能取值为：0，1，2，3，
当y=0时，x=（不符合题意，舍去），
当y=1时，x=4，
当y=2时，x=（不符合题意，舍去），
当y=3时，x=1．
∴方程2x+3y=11的非负整数解有2个．
故选B．
点睛：本题是求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．www.21-cn-jy.com
10．D
【解析】∵方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )的解为 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴将x=5代入2x-y=12，得y=-2，
将x=5，y=-2代入2x+y得，2x+y=2×5+（-2）=8，
∴●=8，★=-2，故选D．21·世纪*教育网
点睛： 此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
11．，.
【解析】解：当x=1时，1+2y=6，y=2.5，不合题意；
当x=2时，2+2y=6，y=2，符合题意；
当x=3时，3+2y=6，y=1.5，不合题意；
当x=4时，4+2y=6，y=1，符合题意；
当x=5时，5+2y=6，y=0.5，不合题意；
当x=6时，6+2y=6，y=0，不合题意；
当x=7时，7+2y=6，y=-0.5，不合题意；
所以正整数解为 ， .
12．5
【解析】解：设两位数的个位数为x，十位为y，根据题意得：x+y=5，
∵x，y都是整数，
∴当x=0时，y=5，两位数为50；
当x=1时，y=4，两位数为41；
当x=2时，y=3，两位数为32；
当x=3时，y=2，两位数为23；
当x=4时，y=1，两位数为14；
则这样的两位数共有5个，分别是：50、41、32、23、14．
故答案为：5．
13．1
【解析】试题解析：把代入方程2x+y=0得：2a+b=0，
则原式=2（2a+b）+1=1，
故答案为：1
14．四
【解析】解：由题意得： ，解得：a=4，b=－1，∴p(a，b)在第四象限．故答案为：四．
15．6
【解析】试题分析：把代入中，
得： ，
解得： ，
所以2a－3b＝2×－3×(－1)＝6．
故答案为6．
点睛：考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解的定义，所谓“方程组”的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．21cnjy.com
16．2
【解析】试题解析：由于x=y，故把x=y代入第一个方程中，求得x的值，再代入第二个方程即可求得k的值．21·cn·jy·com
试题解析：由题意可知x=y，
∴4x+3y=7可化为4x+3x=7.
∴x=1，y=1.
将x=1，y=1代入kx+(k-1)y=3中，得k+k-1=3，
∴k=2.
17．-1.
【解析】试题分析：把代入方程组求得a、b的值，即可求得(a＋b)99的值．
试题解析：
把 ( http: / / www.21cnjy.com )代入二元一次方程组得，，
解得， ( http: / / www.21cnjy.com )
∴(a＋b)99＝－1.
点睛：本题考查了二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组的两个方程的未知数的值叫二元一次方程组的解．21世纪教育网版权所有
18．存在四个m的值，使得这个方程在整数范围内有解；m=1，x=－7 ；m=－1，x=7 ；m=7，x=－1 ；m=－7，x=1 2-1-c-n-j-y
【解析】试题分析：
先解关于x的方程可得：，要使的值为整数，则由此即可得到m可求的值有±1和±7共4个，代入对应的m的值即可求得相应的x的值.
试题解析：
存在整数m，使原方程的解为整数，理由如下：
解关于x的方程可得：，
∵要使的值为整数，且m为整数，
∴m可求的值有±1和±7共4个，
当m=1时，x=-7；
当m=-1时，x=7；
当m=7时，x=-1；
当m=-7时，x=1.
点睛：解本题的要点是：先把m看着常数，解得x的值（用含m的代数式表达），这样由m和x均为整数即可由数的整除的知识得到m可取的整数值了.21*cnjy*com
19． （1）4x+7y=76；（2）4； （3）5；（4）满足条件的x，y的全部整数解是： ， ， 【来源：21cnj*y.co*m】
【解析】试题分析：
（1）由甲种物品的总重量+乙种物品的总重量=76列出方程即可；
（2）把x=12代入（1）中所得方程即可求得对应的y的值；
（3）将y=8代入（1）中所得方程解得对应的x的值即可得到答案；
（4）根据实际意义可知，x、y只能取非负整数，故求出（1）所得方程的自然数解即可；
试题解析：
（1）由题意可得：4x+7y=76；
（2）在4x+7y=76中，当x=12时，有4×12+7y=76，解得：y=4；
（3）在4x+7y=76中，当y=8时，有4x+7×8=76，解得：x=5，即甲物品有5个；
（4）由4x＋7y＝76，得x＝.
∵由题意可知得x、y为非负整数，
∴当y＝0时，x＝19；
当y＝1时，x＝，不合题意；
当y＝2时，x＝，不合题意；
当y＝3时，x＝，不合题意；
当y＝4时，x＝；
当y＝5时，x＝，不合题意；
当y＝6时，x＝，不合题意；
当y＝7时，x＝，不合题意；
当y＝8时，x＝；
当y＝9时，x＝，不合题意；
当y＝10时，x＝，不合题意；
当y＝11时，x＝，不合题意．
∴满足条件的x，y的全部整数解是： ， ， .
20．（1）；
（2）原式，当时，原式
【解析】试题分析：（1）把x、y的值代入方程可求得a的值；（2）根据乘法公式先化简，再把a的值代入求值即可．【版权所有：21教育】
试题解析：（1）把代入方程得， ， 解得
（2）
当时，原式
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8.1 二元一次方程组同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．如果一个方程含有 两个未知数,并且含未知数的项的次数都是１,像这样的方程叫做二元一次方程．
２．方程组中有两个未知数,每个含未知数的项的次数都是１,并且一共有两个方程,这样的方程组叫二元一次方程组． 21教育网
３．二元一次方程(组)的解
(１)使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解 ．
(２)二元一次方程组的两个方程的 公共解,叫做二元一次方程组的解．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．若是关于x、y的二元一次方程，则（ ）
A. a≠2 B. b≠－1 C. a≠2且b≠－1 D. a≠2或b≠－1
2．下列结论正确的是（ ）．
A. 方程所有的解都是方程组的解
B. 方程所有的解都不是方程组的解
C. 方程组的解不是方程的一个解
D. 方程组的解是方程的一个解
3．下列方程组中，是二元一次方程组的是( )
A. B. C. D.
4．某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（ ）2·1·c·n·j·y
A. B. C. D.
5．若方程6kx﹣2y=8有一组解，则k的值等于（ ）
A. ﹣ B. C. D. ﹣
6．为了丰富学生课外小组活动，培养学生动 ( http: / / www.21cnjy.com )手操作能力，田田老师让学生把5m长的彩绳截成2m或1m长的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有几种不同的截法（同种长度的彩绳不考虑截的先后循序）（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7．实验课上，王老师把班级里40名学生分成若干小组，每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案( )21教育名师原创作品
A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种
8．下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ）．
①；②；③；④；⑤；⑥．
A. B. C. D.
9．方程2x+3y=11的非负整数解的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10．小亮解方程组的解为由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和*，则●与*的值为（ ）21*cnjy*com
A. B. C. D.
二、填空题
11．写出方程x+2y=6的正整数解：______．
12．如果一个两位数的个位数字与十位数字的和5，那么这样的两位数的个数是_________.
13．若是方程2x+y=0的解，则4x+2b+1=__________.
14．如果方程组的解是那么点p(a,b)在第____象限.
15．已知方程组的解为，求的值___________.
三、解答题
16．二元一次方程组的解x，y的值相等，求k.
17．已知关于x，y的二元一次方程组的解是，求(a＋b)99的值．
18．是否存在整数m，使关于x的方程在整数范围内有解，你能找到几个m的值？你能求出相应的x的解吗？
19．已知甲种物品每个重4 kg，乙种物品每个重7 kg，现有甲种物品x个，乙种物品y个，共重76 kg.
(1)列出关于x，y的二元一次方程；
(2)若x＝12，则y＝_______；
(3)若乙种物品有8个，则甲种物品有_______个；
(4)写出满足条件的x，y的全部整数解．
20．已知是方程的一个解，解决下列问题：
（1）求的值；
（2）化简并求值：
参考答案
1．C
【解析】∵是关于x、y的二元一次方程，
∴ ，解得.
故选C.
2．D
【解析】A、∵方程x+y=5所有的解不一定都是方程组的解，故本选项错误；
B、∵方程x+y=5的其中一个解是方程组的解，故本选项错误；
C、∵方程组的解一定是方程x+y=5的一个解，故本选项错误；
D、∵方程组的解是方程x+y=5的一个解，故本选项正确；
故选D．
点睛：本题考查了对二元一次方程组的解与组成方程组的两个二元一次方程的解得关系，理解二元一次方程组的解的定义是解此题的关键．www-2-1-cnjy-com
3．C
【解析】试题解析：A、第二个方程不是整式方程，不符合题意；
B、整个方程组含有3个未知数，不符合题意；
C、符合题意；
D、整个方程组含有3个未知数，不符合题意；
故选C．
4．B
【解析】由男生、女生共有246人可得：；由男生人数比女生人数的2倍少2人可得：即；
∴由题意可得方程组为： ，
故选B.
5．D
【解析】解:把代入6kx﹣2y=8得:-18k-4=8,
∴k= .
故选D.
6．B
【解析】试题解析：截下来的符合条件的彩绳长度之和刚好等于总长5米时，不造成浪费，
设截成2米长的彩绳x根，1米长的y根，
由题意得，2x+y=5，
因为x，y都是正整数，所以符合条件的解为：
则共有3种不同截法，
故选B.
7．C
【解析】试题分析：根据题意可得：5x+6y=40，根据x和y为非负整数可得： 或，共两种，故选C．【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com )视频 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) ( http: / / www.21cnjy.com )
8．B
【解析】根据二元一次方程的概念，可知：
①是二元二次方程，故不是；③不是整式方程，故不是；⑤是二元二次方程，故不是；⑥不是方程，故不是．
②④是二元一次方程，故个数为．
故选：B.
9．B
【解析】解：∵2x+3y=11，∴，
∵x与y是非负整数，
∴≥0，
∴0≤y≤，
∴y的可能取值为：0，1，2，3，
当y=0时，x=（不符合题意，舍去），
当y=1时，x=4，
当y=2时，x=（不符合题意，舍去），
当y=3时，x=1．
∴方程2x+3y=11的非负整数解有2个．
故选B．
点睛：本题是求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．www.21-cn-jy.com
10．D
【解析】∵方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )的解为 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴将x=5代入2x-y=12，得y=-2，
将x=5，y=-2代入2x+y得，2x+y=2×5+（-2）=8，
∴●=8，★=-2，故选D．21·世纪*教育网
点睛： 此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
11．，.
【解析】解：当x=1时，1+2y=6，y=2.5，不合题意；
当x=2时，2+2y=6，y=2，符合题意；
当x=3时，3+2y=6，y=1.5，不合题意；
当x=4时，4+2y=6，y=1，符合题意；
当x=5时，5+2y=6，y=0.5，不合题意；
当x=6时，6+2y=6，y=0，不合题意；
当x=7时，7+2y=6，y=-0.5，不合题意；
所以正整数解为 ， .
12．5
【解析】解：设两位数的个位数为x，十位为y，根据题意得：x+y=5，
∵x，y都是整数，
∴当x=0时，y=5，两位数为50；
当x=1时，y=4，两位数为41；
当x=2时，y=3，两位数为32；
当x=3时，y=2，两位数为23；
当x=4时，y=1，两位数为14；
则这样的两位数共有5个，分别是：50、41、32、23、14．
故答案为：5．
13．1
【解析】试题解析：把代入方程2x+y=0得：2a+b=0，
则原式=2（2a+b）+1=1，
故答案为：1
14．四
【解析】解：由题意得： ，解得：a=4，b=－1，∴p(a，b)在第四象限．故答案为：四．
15．6
【解析】试题分析：把代入中，
得： ，
解得： ，
所以2a－3b＝2×－3×(－1)＝6．
故答案为6．
点睛：考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解的定义，所谓“方程组”的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．21cnjy.com
16．2
【解析】试题解析：由于x=y，故把x=y代入第一个方程中，求得x的值，再代入第二个方程即可求得k的值．21·cn·jy·com
试题解析：由题意可知x=y，
∴4x+3y=7可化为4x+3x=7.
∴x=1，y=1.
将x=1，y=1代入kx+(k-1)y=3中，得k+k-1=3，
∴k=2.
17．-1.
【解析】试题分析：把代入方程组求得a、b的值，即可求得(a＋b)99的值．
试题解析：
把 ( http: / / www.21cnjy.com )代入二元一次方程组得，，
解得， ( http: / / www.21cnjy.com )
∴(a＋b)99＝－1.
点睛：本题考查了二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组的两个方程的未知数的值叫二元一次方程组的解．21世纪教育网版权所有
18．存在四个m的值，使得这个方程在整数范围内有解；m=1，x=－7 ；m=－1，x=7 ；m=7，x=－1 ；m=－7，x=1 2-1-c-n-j-y
【解析】试题分析：
先解关于x的方程可得：，要使的值为整数，则由此即可得到m可求的值有±1和±7共4个，代入对应的m的值即可求得相应的x的值.
试题解析：
存在整数m，使原方程的解为整数，理由如下：
解关于x的方程可得：，
∵要使的值为整数，且m为整数，
∴m可求的值有±1和±7共4个，
当m=1时，x=-7；
当m=-1时，x=7；
当m=7时，x=-1；
当m=-7时，x=1.
点睛：解本题的要点是：先把m看着常数，解得x的值（用含m的代数式表达），这样由m和x均为整数即可由数的整除的知识得到m可取的整数值了.21*cnjy*com
19． （1）4x+7y=76；（2）4； （3）5；（4）满足条件的x，y的全部整数解是： ， ， 【来源：21cnj*y.co*m】
【解析】试题分析：
（1）由甲种物品的总重量+乙种物品的总重量=76列出方程即可；
（2）把x=12代入（1）中所得方程即可求得对应的y的值；
（3）将y=8代入（1）中所得方程解得对应的x的值即可得到答案；
（4）根据实际意义可知，x、y只能取非负整数，故求出（1）所得方程的自然数解即可；
试题解析：
（1）由题意可得：4x+7y=76；
（2）在4x+7y=76中，当x=12时，有4×12+7y=76，解得：y=4；
（3）在4x+7y=76中，当y=8时，有4x+7×8=76，解得：x=5，即甲物品有5个；
（4）由4x＋7y＝76，得x＝.
∵由题意可知得x、y为非负整数，
∴当y＝0时，x＝19；
当y＝1时，x＝，不合题意；
当y＝2时，x＝，不合题意；
当y＝3时，x＝，不合题意；
当y＝4时，x＝；
当y＝5时，x＝，不合题意；
当y＝6时，x＝，不合题意；
当y＝7时，x＝，不合题意；
当y＝8时，x＝；
当y＝9时，x＝，不合题意；
当y＝10时，x＝，不合题意；
当y＝11时，x＝，不合题意．
∴满足条件的x，y的全部整数解是： ， ， .
20．（1）；
（2）原式，当时，原式
【解析】试题分析：（1）把x、y的值代入方程可求得a的值；（2）根据乘法公式先化简，再把a的值代入求值即可．【版权所有：21教育】
试题解析：（1）把代入方程得， ， 解得
（2）
当时，原式
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