课件77张PPT。第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理 主题1 归纳推理
1.在以前的数学学习中,我们知道三角形的内角和是180°,那么凸四边形的内角和是多少呢?凸五边形的内角和呢?提示:凸四边形的内角和是360°=2×180°,凸五边形的内角和是540°=3×180°.2.你能归纳出凸n(n≥3,n∈Z)边形的内角和是多少吗?
提示:凸n(n≥3,n∈Z)边形的内角和是(n-2)·180°.3.阅读下面的材料,考虑这几则材料在预测结果时有什么共同的特点?
(1)成语“一叶知秋”意思是从一片树叶的凋落,知道秋天将要来到.
(2)谚语“瑞雪兆丰年”.
(3)物理学中牛顿发现万有引力.
(4)化学中的门捷列夫元素周期表.提示:它们都是由细微的迹象看出整体形势的变化,由个别推出一般.结论:归纳推理的定义
由某类事物的_____对象具有某些特征,推出该类事物的
_____对象都具有这些特征的推理,或者由_________概括
出_________的推理,称为归纳推理(简称归纳).部分全部个别事实一般结论【微思考】
推理一般有哪些关键词?
提示:推理的关键词是指“前提”和“结论”的联结词.常用的关键词有“因为……所以……”“根据……可知……”“如果……那么……”“若……则……”.主题2 类比推理
已知三角形的如下性质,据此回答下列问题:
①三角形的两边之和大于第三边;
②三角形的面积等于高与底乘积的 .(1)试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质.
提示:①四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积;
②四面体的体积等于底面积与高乘积的 .(2)以上两个推理有什么共同特点?
提示:都是根据三角形的特征,类比四面体相关元素得出结论的.结论:
1.类比推理的定义
由两类对象具有某些类似特征和其中_____对象的某些
已知特征,推出_______对象也具有这些特征的推理称
为类比推理(简称类比).一类另一类2.合情推理的定义
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、
_____、_____、联想,再进行归纳、类比,然后提出_____
的推理,我们把它们统称为合情推理.分析比较猜想【微思考】
1.归纳推理与类比推理有没有共同点?
提示:有.二者都是从具体事实出发,推断猜想新的结论.2.归纳推理和类比推理的结论一定正确吗?
提示:不一定.归纳推理的前提和结论之间的联系不是必然的,而是偶然性的,结论不一定正确;而类比推理的结果具有猜测性,也不一定可靠,因此也不一定正确.【预习自测】
1.下列说法正确的是 ( )
A.合情推理是正确的推理
B.合情推理是归纳推理
C.归纳推理是从一般到特殊的推理
D.类比推理是从特殊到特殊的推理【解析】选D.归纳推理和类比推理统称为合情推理,合情推理得到的结论不一定正确,故选项A,B错误;归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理,故选项C错误;类比推理就是从特殊到特殊的推理.2.根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图中有________个点.【解析】题干中第(1)～(5)图形中点的个数分别是1,3,7,13,21,猜测第n个图形有(n2-n+1)个点.答案:(n2-n+1)3.类比“在平面直角坐标系中,圆心在原点、半径为r的圆的方程为x2+y2=r2”,猜想“在空间直角坐标系中,球心在原点、半径为r的球面的方程为____________”.【解析】类比平面直角坐标系中圆的方程,从形式上易得空间直角坐标系中球面的方程为x2+y2+z2=r2.利用空间两点间的距离公式可得球面上一点到球心的距离为半径r,即r= ,所以所求球面的方程为x2+y2+z2=r2.答案:x2+y2+z2=r24.观察下列等式:
(1+1)=2×1,
(2+1)(2+2)=22×1×3,
(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5,
…
照此规律,请写出第n个等式.【解析】观察规律可知,左边为n项的乘积,最小项和最大项分别为(n+1),(n+n),右边为连续奇数之积乘以2n,则第n个等式为:(n+1)·(n+2)·(n+3)·…·(n+n)=
2n×1×3×5×…×(2n-1).类型一 归纳推理在数列中的应用
【典例1】在数列{an}中,a1=1,an+1= ,n∈N*,归纳这个数列的通项公式.
【解题指南】根据数列{an}的递推公式,算出数列的前几项,然后应用前几项中项与序号的对应关系,归纳猜想{an}的通项公式.【解析】因为a1=1,an+1= ,
所以a2= ,
a3= ,
a4= .
归纳数列{an}的通项公式为an= .【方法总结】(1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法
①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律;
②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征;③提炼出等式(或不等式)的综合特点;
④运用归纳推理得出一般结论.(2)数列中的归纳推理
在数列问题中,常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和.
①通过已知条件求出数列的前几项或前几项和;
②根据数列中的前几项或前几项和与对应序号之间的关系求解;③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式.【巩固训练】1.观察下列式子:
…,由此可以归纳出的一般结论是
____________________________.【解析】不等式的左边是 的前(n+1)项和,右边的分母是2n,分子是2n+1,故一般性的结论是
(n∈N*).答案: (n∈N*)2.设f(n)=n2+n+41,n∈N*,计算f(1),f(2),f(3),
f(4),…,f(10)的值,同时作出归纳推理,并且验证当n=40时猜想的结论是否正确.【解析】f(1)=12+1+41=43,
f(2)=22+2+41=47,
f(3)=32+3+41=53,
f(4)=42+4+41=61,
f(5)=52+5+41=71,
f(6)=62+6+41=83,f(7)=72+7+41=97,
f(8)=82+8+41=113,
f(9)=92+9+41=131,
f(10)=102+10+41=151.
由此猜想,n为任意正整数时f(n)=n2+n+41都是质数.
当n=40时,f(40)=402+40+41=41×41,所以f(40)为合数,因此猜想的结论不正确.【拓展】由归纳推理所得到的结论不一定正确,但它所具有的特殊到一般的性质对数学的发展有着十分重要的作用.应用时应首先分析清楚题目的条件,合理归纳.类型二 归纳推理在几何中的应用
【典例2】(1)根据图中线段的排列规则,试猜想第8个图形中线段的条数为________.(2)如图,在一次珠宝展览会上,某商家展出了一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝,第二件首饰是由6颗珠宝构成如图①所示的正六边形,第三件首饰是由15颗珠宝构成的如图②所示的正六边形,第四、五件首饰分别是由28颗和45颗珠宝构成的如图③,④所示的正六边形,以后每件首饰都在前一件的基础上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,以此推断第六件首饰上应有________颗珠宝,第n件首饰上应有________颗珠宝.【解题指南】(1)分别求出前4个图形中线段的数目,并加以归纳,发现规律,得出猜想.
(2)将图形问题转化为数列问题,利用归纳推理求解.【解析】(1)图形①～④中线段的条数分别为1,5,13,
29.因为1=22-3,5=23-3,13=24-3,29=25-3,所以可猜想第8个图形中线段的条数应为28+1-3=509.答案:509(2)方法一:5件首饰的珠宝颗数依次为:1,6=2×3,
15=3×5,28=4×7,45=5×9,归纳猜想第六件首饰上
的珠宝颗数为6×11=66,第n件首饰上的珠宝颗数为n(2n-1)=2n2-n.方法二:5件首饰的珠宝颗数依次为:1,1+5,1+5+9,1+5+9+13,1+5+9+13+17,则第六件首饰上的珠宝颗数为1+5+9+13+17+21=66,即每件首饰上的珠宝颗数构成一个以1为首项,4为公差的等差数列的前n项和,并且第n件首饰有n项,故第n件首饰的珠宝颗数为1+5+9+…+(4n-3)=2n2-n.答案:66 (2n2-n)【方法总结】归纳推理在几何中的应用问题的处理策略【巩固训练】1.设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点,若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=________;当n≥3时,f(n)=________(用n表示).【解析】
如图,可得f(4)=5,因为f(3)=2,f(4)=5=f(3)+3,
f(5)=9=f(4)+4,f(6)=14=f(5)+5,
…,f(n)=f(n-1)+n-1,
所以每增加一条直线,交点增加的个数等于原来直线的条数.
累加得f(n)=2+3+4+…+(n-1)
= .答案:5 2.观察如图,可以发现:
1+3=4=22;
1+3+5=9=32;
1+3+5+7=16=42;
1+3+5+7+9=25=52.
…由上述具体事实能得出怎样的结论?【解析】将上述事实分别叙述如下:
前2个奇数的和等于2的平方;
前3个奇数的和等于3的平方;
前4个奇数的和等于4的平方;
前5个奇数的和等于5的平方;
……由此猜想,前n(n∈N*)个连续奇数的和等于n的平方,即1+3+5+…+(2n-1)=n2.类型三 类比推理的应用
【典例3】
如图所示,在平面上,设ha,hb,hc分别是△ABC
三条边上的高,P为△ABC内任意一点,P到相
应三边的距离分别为pa,pb,pc,可以得到结论
=1.证明此结论,通过类比写出在空间中的类似结论.【解题指南】三角形类比四面体,三角形的边类比四面体的面,三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高.【解析】
同理,
因为S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC,
所以类比上述结论得出以下结论:如图所示,
在四面体A-BCD中,设ha,hb,hc,hd分别是
该四面体的四个顶点到对面的距离,P为
该四面体内任意一点,P到相应四个面的距离分别为
pa,pb,pc,pd,可以得到结论【延伸探究】
1.对上述类比得出的结论加以证明.【证明】
同理,
因为VP-BCD+VP-ACD+VP-ABD+VP-ABC=VA-BCD,
所以2.在本例中,若△ABC的边长分别为a,b,c,其对角分别为A,B,C,那么由a=b·cosC+c·cosB可类比四面体的什么性质?【解析】在如图所示的四面体中,S1,S2,
S3,S分别表示△PAB,△PBC,△PCA,△ABC
的面积,α,β,γ分别表示面PAB,面PBC,
面PCA与底面ABC所成二面角的大小.
猜想S=S1·cosα+S2·cosβ+S3·cosγ.【方法总结】
1.类比推理的基本思路
根据当前问题的需要,选择适当的类比对象,可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手,由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论.2.平面图形与空间图形类比如下【拓展延伸】类比推理的基本逻辑形式及适用前提
(1)类比推理的基本逻辑形式
A类事物具有性质a,b,c,d,
B类事物具有性质a′,b′,c′,
所以B类事物可能具有性质d′.(a,b,c,d与a′,b′,
c′,d′相似或相同)(2)类比推理的适用前提
①两类对象在某些性质上有相似性或一致性,关键是把这些相似性或一致性确切地表述出来,再由一类对象具有的特性去推断另一类对象也可能具有的特性;
②运用类比推理常常先寻找合适的类比对象.【补偿训练】类比“等比数列”的定义,写出“等积数列”的定义,若已知等积数列的首项为2,公积为6,写出该等积数列的通项公式和前n项和.【解析】等积数列:在一个数列中,从第二项起每一项与它前一项的积都为同一个常数,那么这个数列叫作等积数列,这个常数叫作该数列的公积.
由定义得an=
前n项和Sn= 【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
(1)归纳推理的关注点
①归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论,该结论超越了前提所包含的范围.
②归纳出的结论具有猜测性质,是否属实,还需逻辑证明和实践检验,即结论不一定可靠.③归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理得到的猜想可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.(2)类比推理的关注点
①类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究中的事物的属性,以旧认识为基础,类比出新结果.
②类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.③类比的结果是猜测性的,不一定正确.但它却具有发现的功能.(3)类比推理的适用前提
①运用类比推理的前提是两类对象在某些性质上有相似性或一致性,关键是把这些相似性或一致性确切地表述出来,再由一类对象具有的特性去推断另一类对象也可能具有此类特性.
②运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象.课件76张PPT。2.1.2
演绎推理 主题1 演绎推理的含义
看下面两个推理,回答问题:
①所有导体通电时都发热,铁是导体,所以铁通电时发热.②两个平面平行,其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面,如果直线a是其中一个平面内的一条直线,那么a平行于另一个平面.(1)这两个推理中的第一句都说的是什么?
提示:都说的是一般原理.(2)这两个推理中第二句、第三句又说的是什么呢?
提示:第二句都说的是特殊实例.而第三句说的是由一般原理对特殊实例做出的判断.结论:演绎推理的定义
从_______的原理出发,推出某个___________的结论,我
们把这种推理称为演绎推理(演绎推理又称_________).一般性特殊情况下逻辑推理【微思考】
演绎推理的结论一定正确吗?
提示:演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围,所以在演绎推理中,只要前提和推理形式正确,其结论一定正确.主题2 演绎推理的一般模式
1.“所有金属都导电,因为铁是金属,所以铁导电”,以上推理是演绎推理吗?其推理形式有何特点?
提示:是演绎推理,此推理形式可分为三部分:第一句描述的是一般原理,第二句描述的是大前提里的特殊情况,第三句是根据一般原理对特殊情况做出的判断.2.演绎推理的结论是否正确?是如何得出结论的?
提示:推理的结论正确,演绎推理的结论是根据一般原理,对特殊情况做出的判断.结论:
1.演绎推理的一般模式
“三段论”.
(1)大前提——已知的_________.
(2)小前提——所研究的_________.
(3)结论——根据一般原理,对特殊情况做出的_____.一般原理特殊情况判断2.“三段论”的格式
(1)大前提:M是P.
(2)小前提:S是__.
(3)结论:S是P.M3.从集合的角度理解
(1)大前提:x∈M且x具有性质P.
(2)小前提:y∈S且S?M.
(3)结论:y具有性质__.P【微思考】
1.演绎推理有哪些特点?
提示:①演绎推理的前提是一般性原理,演绎所得的结论是蕴含于前提之中的个别特殊事实,结论完全蕴含于前提之中;②在演绎推理中,前提和结论存在着必然的联系,只要前提是真实的,推理形式是正确的,那么结论也必然是正确的.2.合情推理与演绎推理的主要区别是什么?
提示:(1)一般 特殊.
(2)合情推理的结论是猜想,结论具有不可靠性.
(3)演绎推理是严格的证明,结论可靠.【预习自测】
1.“因为四边形ABCD是矩形,所以四边形ABCD的对角线相等”.补充以上推理的大前提 ( )
A.正方形都是对角线相等的四边形
B.矩形都是对角线相等的四边形
C.等腰梯形都是对角线相等的四边形
D.矩形都是对边平行且相等的四边形【解析】选B.由结论推得大前提.2.已知△ABC中,∠A=30°,∠B=60°,求证:a
证明:因为∠A=30°,∠B=60°,所以∠A<∠B,所以aA.大前提 B.小前提 C.结论 D.三段论【解析】选B.结合三段论的特征可知,该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”,因此画线部分是演绎推理的小前提.3.已知幂函数f(x)=xα是增函数,而y=x-1是幂函数,所以y=x-1是增函数,下列说法正确的是 ( )
A.大前提错误导致结论错
B.小前提错误导致结论错
C.推理的方式错误导致结论错
D.大前提与小前提都错误导致结论错【解析】选A.大前提为:f(x)=xα是增函数,在f(x)=xα中,当α>0时,f(x)为增函数,显然大前提是错误的.4.用演绎推理证明“y=sinx是周期函数”时的大前提是____________________,小前提是________________.
【解析】y=sinx是三角函数,而三角函数是周期函数,因此大前提为三角函数是周期函数、小前提应该为y=sinx是三角函数.答案:三角函数是周期函数 y=sinx是三角函数5.将下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)平行四边形对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分.(2)两平行直线,同位角相等,∠A和∠B是两平行直线的同位角,则∠A=∠B.(3)三角形的内角和等于180°,Rt△ABC的内角和为180°.【解析】(1)平行四边形的对角线互相平分;(大前提)
菱形是平行四边形;(小前提)
菱形的对角线互相平分.(结论)
(2)两直线平行,同位角相等;(大前提)
∠A和∠B是同位角;(小前提)
∠A=∠B.(结论)(3)三角形的内角和等于180°;(大前提)
Rt△ABC是三角形;(小前提)
Rt△ABC的内角和为180°.(结论)类型一 用三段论的形式表示演绎推理
【典例1】试将下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,海王星是太阳系中的大行星,所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行.(2)所有导体通电时发热,铁是导体,所以铁通电时发热.
(3)一次函数是单调函数,函数y=2x-1是一次函数,所以y=2x-1是单调函数.
(4)等差数列的通项公式具有形式an=pn+q(p,q是常数),数列1,2,3,…,n是等差数列,所以数列1,2,3,…,n的通项具有an=pn+q(p,q是常数)的形式.【解题指南】解答本例的关键在于分清大前提、小前提和结论,还要准确利用三段论的形式.【解析】(1)大前提:太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行;
小前提:海王星是太阳系中的大行星;
结论:海王星以椭圆形轨道绕太阳运行.
(2)大前提:所有导体通电时发热;
小前提:铁是导体;
结论:铁通电时发热.(3)大前提:一次函数都是单调函数;
小前提:函数y=2x-1是一次函数;
结论:y=2x-1是单调函数.(4)大前提:等差数列的通项公式具有形式an=pn+q(p,q是常数);
小前提:数列1,2,3,…,n是等差数列;
结论:数列1,2,3,…,n的通项具有an=pn+q(p,q是常数)的形式.【方法总结】用三段论写推理过程的技巧
(1)关键:用三段论写推理过程时,关键是明确大、小前提,三段论中大前提提供了一个一般原理,小前提提供了一种特殊情况,两个命题结合起来,揭示一般原理与特殊情况的内在联系.(2)何时省略:有时可省略小前提,有时甚至也可将大前提、小前提都省略.
(3)如何寻找:在寻找大前提时可找一个使结论成立的充分条件作大前提.【拓展延伸】判断演绎推理是否正确要四看
(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理,只有由一般到特殊的推理才是演绎推理,这是最易出错的地方.
(2)看大前提是否正确,大前提往往是定义、定理、性质等,注意其中有无前提条件.(3)看小前提是否正确,注意小前提必须在大前提范围之内.
(4)看推理过程是否正确,即看由大前提,小前提得到的结论是否正确.【巩固训练】1.将下列推理写成三段论的形式.
(1)正方形对角线相互垂直.
(2)0.33 是有理数.【解析】(1)因为每个菱形的对角线相互垂直,(大前提)
正方形是菱形,(小前提)
所以正方形的对角线相互垂直.(结论)(2)因为所有的循环小数是有理数,(大前提)
0.33 是循环小数,(小前提)
所以0.33 是有理数.(结论)2.(1)判断下面推理是否正确?为什么?
因为奇数3,5,7,11是质数,9是奇数,所以9是质数.(2)将下列推理写成“三段论”的形式:
①向量是既有大小又有方向的量,故零向量也有大小和方向;
②矩形的对角线相等,正方形是矩形,所以正方形的对角线相等.【解析】(1)错误.推理形式错误,演绎推理是由一般到特殊的推理,3,5,7,11只是奇数的一部分,是特殊事例.(2)①向量是既有大小又有方向的量,…大前提
零向量是向量,…………………………小前提
所以零向量也有大小和方向. ……………………结论
②每一个矩形的对角线相等, …………大前提
正方形是矩形, ……………………小前提
正方形的对角线相等. ……………………结论类型二 演绎推理在几何中的应用
【典例2】已知平面α∥平面β,直线l⊥α,l∩α=A,如图所示,
求证:l⊥β.【解题指南】本例可由线面垂直的定义证明l⊥β.【证明】在平面β内任取一条直线b,平面γ是经过点A与直线b的平面.设γ∩α=a.①如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行, …………………………大前提
α∥β,且α∩γ=a,β∩γ=b, ……………小前提
所以a∥b. …………………………结论②如果一条直线与一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直, ……………大前提
l⊥α,a?α, ………………………………小前提
所以l⊥α. …………………………结论③如果一条直线和两条平行线中的一条垂直,那么它也与另一条垂直, …………………………大前提
a∥b,且l ⊥α. …………………………小前提
所以l⊥b. …………………………结论④如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直. ……………大前提
因为l⊥b,且直线b是平面β内的任意一条直线,
……………………………………………………小前提
所以l⊥β. ………………………………………结论【方法总结】几何证明中演绎推理应用的两个关注点
(1)大前提的正确性:几何证明往往采用演绎推理,它往往不是经过一次推理就能完成的,常需要几次使用演绎推理,每一个推理都暗含着大、小前提,前一个推理的结论往往是下一个推理的前提,在使用时不仅要推理的形式正确,还要前提正确,才能得到正确的结论.(2)大前提可省略:在几何证明问题中,每一步都包含着一般原理,都可以分析出大前提和小前提,将一般原理应用于特殊情况,就能得出相应结论.
提醒:在应用“三段论”进行推理的过程中,大前提、小前提或推理形式中任一错误,都可能导致结论错误.【巩固训练】如图,在锐角△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,D,E是垂足,求证:
(1)△ABD是直角三角形.
(2)AB的中点M到D,E的距离相等.【证明】(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形,(大前提)
在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90°,(小前提)
所以△ABD是直角三角形.(结论)(2)连接DM,EM.因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,(大前提)
又因为DM是Rt△ABD斜边上的中线,(小前提)
所以DM= AB.(结论)
同理EM= AB.
所以DM=EM,即M到D,E的距离相等.类型三 演绎推理在代数中的应用
【典例3】(1)已知lg2=m,计算lg0.8=________.
(2)已知函数f(x)=x2-alnx在区间[1,2]内是增函数,g(x)=x-a 在区间(0,1]内是减函数,则a=_______.【解题指南】(1)利用lg2求lg8,再求lg0.8.
(2)利用导数结合单调性求a.【解析】(1)因为lgan=nlga(a>0), ……………大前提
lg8=lg23, ………………………………小前提
所以lg8=3lg2=3m. ………………………………结论
因为lg =lga-lgb(a>0,b>0), ………………大前提
lg0.8=lg , ………………………………小前提
所以lg0.8=lg8-1=3lg2-1=3m-1. ………………结论答案:3m-1(2)f′(x)=2x- ,
依题意f′(x)≥0,x∈[1,2],
即a≤2x2,x∈[1,2].
因为上式恒成立,所以a≤2.①
又g′(x)=1- ,依题意g′(x)≤0,x∈(0,1],
即a≥2 ,x∈(0,1].
因为上式恒成立,所以a≥2.②
由①②得a=2.答案:2【延伸探究】本例3(2)中,不改变条件,求证:当x>0时,方程f(x)-g(x)=x2-2x+3有唯一解.
【证明】由本例(2)可知a=2,
所以f(x)=x2-2lnx,g(x)=x-2 ,
所以方程f(x)-g(x)=x2-2x+3等价于
x+2 -2lnx-3=0.设h(x)=x+2 -2lnx-3,则h′(x)=1+
令h′(x)>0,由x>0,得x+ -2>0,解得x>1.
令h′(x)<0,由x>0,得x+ -2<0,
解得0当x>0且x≠1时,h(x)>0.
所以h(x)=0在(0,+∞)上只有一个解.
即当x>0时,方程f(x)-g(x)=x2-2x+3有唯一解.【方法总结】应用三段论解题的技巧及常见错误
(1)技巧:应用三段论证明问题时,要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提),根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提),并保证每一步的推理都是正确的、严密的,才能得出正确的结论.(2)常见的解题错误:
①条件理解错误(小前提错);
②定理引入和应用错误(大前提错);
③推理过程错误等.【拓展延伸】代数中的演绎推理
在演绎推理中,前提和结论之间存在着必然的联系,只要前提是真实的,推理形式是正确的,结论必定是正确的,而一些代数运算或证明,都是在一些前提条件下进行的,因此在运算或证明的过程中都会用到演绎推理.【巩固训练】1.已知a,b,c是不为1的正数,x,y,z∈R,且有ax=by=cz和 求证:a,b,c顺次成等比数列.【证明】令ax=by=cz=k,
所以x=logak,y=logbk,z=logck.
因为 所以
所以 lg a+lg c=2lg b.
所以b2=ac.因为a,b,c是不为1的正数,
所以a,b,c顺次成等比数列.2.设g(x)= x3+ ax2+bx(a,b∈R),图象上任一点P(x,y)处切线的斜率为f(x),且方程f(x)=0的两根分别为α,β.若α=β+1,且β∈Z,求证:f(-a)= (a2-1).【证明】f(x)=x2+ax+b,由题意知,
由②式得
β=- (a+1),代入③式,整理,得a2-4b=1,且满足①,所以b= (a2-1).
从而f(-a)=(-a)2+a(-a)+b=b= (a2-1).【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
演绎推理的两个关注点
(1)确保大前提正确:错误的大前提必然推出错误的结论.
(2)确保推理形式正确:首先是明确的大前提,然后是明确的小前提,最后推出必然的结论.课件63张PPT。2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
第1课时 综 合 法 主题 综合法
1.观察下面不等式的证明过程,思考此证明过程是从什么方面入手证明结论成立的?
在锐角三角形ABC中,求证:
sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.【证明】因为△ABC为锐角三角形,
所以A+B>
所以A> -B.
因为y=sinx在 上是增函数,所以sinA>sin =cosB.
同理可得sinB>cosC,sinC>cosA,
所以sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.提示:是从函数y=sinx在 上是增函数这一性质入手证明结论成立的.2.问题1中的证明过程是否为“顺推法”?
提示:证明过程是从已知入手,借助不等式的性质和三角函数的单调性得出结论的,所以是“顺推法”.结论:
1.综合法的定义
一般地,利用_________和某些数学定义、公理、定理等,
经过一系列的_________,最后推导出所要证明的_____成
立,这种证明方法叫做综合法.已知条件推理论证结论2.综合法的流程
其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表
示所要证明的_____,Q1,Q2,…,Qn表示中间结论.结论【微思考】
1.综合法又叫由因导果法,其推理过程是合情推理还是演绎推理?
提示:因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理,因此所得到的每一个结论都是正确的,不同于合情推理中的“猜想”,所以综合法是演绎推理.2.综合法逻辑推理的依据是什么?
提示:综合法逻辑推理的依据是演绎推理中的三段论.【预习自测】
1.设a>0,b>0,A= ,B= ,则A,B的大小关系为 ( )
A.A≥B B.A≤B
C.A>B D.A0,b>0,B2=a+b,
所以A2>B2,即A>B.2.设x>0,y>0,且x+y=6,则lgx+lgy的取值范围是
( )
A.(-∞,lg6] B.(-∞,2lg3]
C.[lg6,+∞) D.[2lg3,+∞)
【解析】选B.因为x>0,y>0,x+y=6,所以2 ≤6,即0A. B.2ab C.a2+b2 D.a【解析】选C.因为a+b=1,a+b> 所以2ab< .
因为a2+b2>
又因为0b,则比较大小:sinA________
sinB(填“>”“<”或“=”).
【解析】在△ABC中,由正弦定理可知
(R为△ABC外接圆半径),易知
又因为a>b,所以sinA>sinB.答案:>5.设x>0,y>0, 则A与B的大小关系为A________B(填“>”“=”或“<”).
【解析】B=
所以B>A.答案:<类型一 综合法证明不等式
【典例1】已知a,b,c为互不相等的实数,求证:
a4+b4+c4>abc(a+b+c).
【解题指南】从已知不等式a2+b2≥2ab出发,一步步由因到果直至推出要证的结论.【证明】因为a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2a2c2,又a,b,c互不相等.
所以上面三式中至少有一个式子不能取“=”,
所以a4+b4+c4>a2b2+b2c2+c2a2. ①因为a2+b2≥2ab,所以a2c2+b2c2≥2abc2.
同理a2b2+a2c2≥2a2bc,b2c2+b2a2≥2ab2c,
所以a2b2+b2c2+c2a2>abc2+a2bc+ab2c. ②
由①,②得a4+b4+c4>abc(a+b+c).【方法总结】综合法证明不等式的主要依据
(1)a2≥0(a∈R).
(2)(a-b)2≥0(a,b∈R),其变形有a2+b2≥2ab,
≥ab,a2+b2≥
(3)若a,b∈(0,+∞),则 特别地, (4)a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c∈R).
由基本不等式a2+b2≥2ab,易得a2+b2+c2≥ab+bc+ca,而此结论是一个很重要的不等式,许多不等式的证明都可以用该结论.(5)a+b+c,a2+b2+c2,ab+bc+ca这三个式子之间的关系由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)给出,三个式子中知道两个式子,第三个式子可以由该等式用另外两个式子表示出来.【拓展延伸】证明不等式的注意点
在用综合法证明不等式时,常利用不等式的基本性质,如同向不等式相加,同向不等式相乘等,但在运用这些性质时,一定要注意这些性质成立的前提条件.【巩固训练】已知x>0,y>0,x+y=1,求证
【证明】方法一:因为1=x+y,
所以
又因为x>0,y>0,所以
所以 ≥5+2×2=9.方法二:因为x>0,y>0,x+y=1,
所以令x=cos2α,y=sin2α,则
=5+2 ≥5+2×2=9.【补偿训练】已知a>0,b>0,且a+b=1,求证: ≥9.
【证明】因为a>0,b>0,a+b=1,
所以
当且仅当 即a=2b时“=”成立.类型二 综合法证明数列问题
【典例2】(1)(2017·温州高二检测)已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成一个首项为 的等比数列,则|m-n|=________.(2)设数列{an}的前n项和为Sn,满足(3-m)Sn+2man=
m+3(n∈N*).其中m为常数,且m≠-3,m≠0.
①求证:{an}是等比数列;
②若数列{an}的公比q=f(m),数列{bn}满足b1=a1,bn= f(bn-1)(n∈N*,n≥2),求证: 为等差数列.【解题指南】(1)利用根与系数的关系结合等比数列的性质可求m,n.
(2)①中关键是利用an+1与Sn和Sn+1之间的关系结合等比数列的定义;②中利用定义说明,即 =常数(n≥2).【解析】(1)方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0,等价于x2-mx+2=0①或x2-nx+2=0②.设方程①两根分别为x1,x4,方程②两根分别为x2,x3.则x1·x4=2,x1+x4=m,x2·x3=
2,x2+x3=n.因为方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成一个首项为 的等比数列.所以x1,x2,x3,x4分别为此数列的前四项且x1= ,x4= =4,公比为2,所以x2=1,x3=2,所以m=x1+x4= +4= ,n=x2+x3=1+2=3,
故|m-n|=答案: (2)①由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,两式相减得(3+m)an+1=2man,
因为m为常数,m≠0且m≠-3,
所以
所以{an}是等比数列.②因为b1=a1=1,q=f(m)=
所以当n∈N*且n≥2时,
bn= f(bn-1)= · ,
bnbn-1+3bn=3bn-1,
又
所以数列 是以1为首项, 为公差的等差数列.【延伸探究】本例(2)①中若m=1,试求数列{an}的前n项和.【解析】若m=1,则
由已知得(3-1)S1+2a1=4,
所以a1=1,
即数列{an}是以1为首项, 为公比的等比数列.
所以Sn= =2-21-n.【方法总结】综合法证明数列问题的依据【巩固训练】在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.
(1)设bn= ,求证:数列{bn}是等差数列.
(2)求数列{an}的前n项和Sn.【解析】(1)因为an+1=2an+2n,所以
因为bn= ,所以bn+1= =bn+1,
所以数列{bn}是等差数列,其中b1=1,公差为1,(2)由(1)知bn=n,an=n·2n-1.
因为Sn=1×20+2×21+…+(n-1)·2n-2+n·2n-1,
所以2Sn=1×21+2×22+…+(n-1)·2n-1+n·2n,
两式相减得Sn=n·2n-1×20-1×21-…-1×2n-1
=n·2n-2n+1=2n(n-1)+1.【补偿训练】在等比数列{an}中,首项a1>1,公比
q>0,n∈N,且n>1.求证lgan+1lgan-1<(lgan)2.【证明】因为{an}为等比数列,
所以 =an-1·an+1(n>1).
又因为a1>1,公比q>0,n∈N,且n>1,
所以lgan-1lgan+1<
=(lg an)2,
所以lg an+1lg an-1<(lg an)2.类型三 综合法证明其他问题
【典例3】已知sinα是sinθ,cosθ的等差中项,sinβ是sinθ,cosθ的等比中项.
求证:cos4β-4cos4α=3.【证明】由已知sinθ+cosθ=2sinα, ①
sinθ·cosθ=sin2β, ②
①2-2×②得4sin2α-2sin2β=1. ③
又sin2α= ,sin2β= ,代入③得,
2cos2α=cos2β,所以4cos22α=cos22β,
所以 所以cos4β-4cos4α=3.【方法总结】综合法证明的关键
(1)明确条件:充分寻找题目的条件,可在图形上标注(如立体几何的证明),并尽力对知识点进行拓展、联想、挖掘题目的隐含条件.
(2)关注目标:综合法证明问题一定要结合题目结论,明确证明方向,这样可少走弯路.(3)注意转化思想的应用.【巩固训练】1.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.
(1)求证:A为60°.
(2)若sinB+sinC= ,证明:△ABC为等边三角形.【证明】(1)由2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC,
得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,
所以cosA= .所以A=60°.(2)由A+B+C=180°,得B+C=120°,
由sinB+sinC= 得sinB+sin(120°-B)= ,
sinB+(sin120°cosB-cos120°sinB)= .
sinB+ cosB= .即sin(B+30°)=1.因为0°所以B+30°=90°,即B=60°,所以A=B=C=60°.
即△ABC为等边三角形.2.(2017·肇庆高二检测)如图,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,点V是圆O所在平面外一点,D是AC的中点,已知AB=2,VA=VB=VC=2.
(1)求证:OD∥平面VBC.
(2)求证:AC⊥平面VOD.【证明】(1)因为O,D分别是AB和AC的中点,
所以OD∥BC.又OD?平面VBC,BC?平面VBC,
所以OD∥平面VBC.(2)因为VA=VB,O为AB的中点,所以VO⊥AB.连接OC,在△VOA和△VOC中,OA=OC,VO=VO,VA=VC,所以△VOA≌
△VOC,所以∠VOC=∠VOA=90°,所以VO⊥OC.因为AB∩OC=O,所以VO⊥平面ABC.因为AC?平面ABC,所以AC⊥VO.又因为VA=VC,D是AC的中点,所以AC⊥VD.
因为VO∩VD=V,所以AC⊥平面VOD.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
(1)对综合法的四点说明
①思维特点:从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其推理过程实际上是寻找结论成立的必要条件的过程.②优点:条理清晰,易于表述.
③缺点:探路艰难,易生枝节.
④思维过程,由原因到结果.(2)综合法的两个特点
①用综合法证明不等式,证明步骤严谨,逐层递进,步步为营,条理清晰,形式简洁,宜于表达推理的思维轨迹.
②因为用综合法证明命题“若A到D”的思考过程可表示为:所以要从A推理到D,由A推演出的中间结论未必唯一,如B,B1,B2等,可由B,B1,B2进一步推演出的中间结论则可能更多,如C,C1,C2,C3,C4等.
所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的“瓶颈”.课件58张PPT。第2课时
分 析 法 主题 分析法
证明不等式: 成立,可用下面的方法进行.
证明:要证明
由于
只需证明展开得 只需证明6<7,显然6<7成立.
所以 成立.
据上面的内容,回答下列问题:
(1)本题证明从哪里开始?
提示:从结论开始.
(2)证题思路是什么?
提示:寻求每一步成立的充分条件.结论:
1.分析法的定义
一般地,从要证明的_____出发,逐步寻求使它成立的
_________,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个
_________的条件(已知条件、定理、定义、公理等).这
种证明的方法叫做分析法,又叫逆推证法或执果索因法.结论充分条件明显成立2.分析法的流程
其中Q表示要证明的结论,P1,P2,P3,…,P分别表示使Q,
P1,P2,…,Pn成立的_____条件,P表示最后寻求到的一个
明显成立的条件.充分【微思考】
1.分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理?
提示:分析法的推理过程是演绎推理,因为分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理,从而得到的结论都是正确的,不同于合情推理中的猜想.2.分析法的证题思路是什么?
提示:分析法的基本思路是“执果索因”.由求证走向已知,即从数学题的待证结论或需要求证的问题出发,一步一步探索下去,最后寻找到使结论成立的一个明显成立的条件,或者是可以证明的条件.3.分析法证题的模式一般是什么?
提示:“要证……”“只需证……”“即证……”的语言模式.【预习自测】
1.证明不等式 ,比较适合的方法是
( )
A.综合法 B.分析法
C.放缩法 D.反证法【解析】选B.由于题目不容易找到证明的突破口,故最合理的不是综合法,本题使用“执果索因”法,故适合的方法为分析法.2.在不等边△ABC中,a为最大边,要想得到A为钝角的结论,对三边a,b,c应满足的条件,判断正确的是 ( )
A.a2C.a2>b2+c2 D.a2≤b2+c2【解析】选C.要想得到A为钝角,只需cosA<0,
因为cosA= ,所以只需b2+c2-a2<0,
即b2+c2要证 ,
只需证a2+b2≥2ab,
只需证________,
只需证________.
由于________显然成立,因此原不等式成立.【解析】要证 ≥ab,只需证a2+b2≥2ab,
只需证a2+b2-2ab≥0,只需证(a-b)2≥0,
由于(a-b)2≥0显然成立,因此原不等式成立.
答案:a2+b2-2ab≥0 (a-b)2≥0 (a-b)2≥0【补偿训练】当a≥2时,求证:
【证明】要证
只需证
只需证
只需证
只需证 只需证(a+1)(a-2)即证-2<0,而-2<0显然成立,
所以 成立.4.已知a,b是两个不相等的正实数,求证:
【证明】要证 ,
只需证 ,
只需证 ,
由基本不等式得 ,
所以 .类型一 分析法证明不等式
【典例1】已知a>0,求证: 【解题指南】观察到已知条件简单(a>0),而证明的结
论 比较复杂，这时我们一般采
用分析法.【证明】要证
只要证
因为a>0,故只要证
即
从而只要证 只要证
即证 而上述不等式显然成立,
故原不等式成立.【方法总结】分析法证明不等式的依据、方法与技巧
(1)解题依据:分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.
(2)适用范围:对于一些条件复杂,结构简单的不等式的证明,经常用综合法.而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明,常用分析法.(3)思路方法:分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.
(4)应用技巧:用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语.【拓展延伸】综合法与分析法证明格式的区别
(1)综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知,由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件.它的证明格式为:
因为×××,所以×××,所以×××……所以×××成立.(2)分析法证明问题时,是从“未知”看“需知”,执果索因逐步靠拢“已知”,通过逐步探索,寻找问题成立的充分条件,它的证明格式:要证×××,只需证明×××,只需证×××……因为×××成立,所以×××成立.【巩固训练】1.若a,b,c是不全相等的正数,求证:【证明】要证
只需证
只需证 (中间结果)因为a,b,c是不全相等的正数,
则
且上述三式中的等号不全成立,
所以 (中间结果)
所以2.已知非零向量a⊥b,求证:【解题指南】本题含有绝对值符号,可用分析法通过变形、平方证明.【证明】因为a⊥b,所以a·b=0.
要证 ,只需证|a|+|b|≤ |a-b|,
平方得|a|2+|b|2+2|a||b|
≤2(|a|2+|b|2-2a·b),
只需证|a|2+|b|2-2|a||b|≥0成立,
即证(|a|-|b|)2≥0,显然成立.故原不等式成立.类型二 分析法证明其他问题
【典例2】求证:以过抛物线y2=2px(p>0)焦点的弦为直
径的圆必与直线x=- 相切.【解题指南】【证明】如图所示,过点A,B分别作AA′,BB′垂直准线
于点A′,B′,
取AB的中点M,作MM′垂直准线于点M′,要
证明以AB为直径的圆与准线相切,只需证
|MM′|= |AB|.由抛物线的定义有|AA′|=|AF|,
|BB′|=|BF|,
所以|AB|=|AA′|+|BB′|,
因此只需证|MM′|= (|AA′|+|BB′|).
根据梯形的中位线定理可知上式是成立的,所以以过抛
物线y2=2px(p>0)焦点的弦为直径的圆必与直线x=-
相切.【方法总结】分析法证明问题的两个关键点
(1)利用分析法证明时,在叙述过程中“要证”“只需证”“即证”这些词语必不可少,否则会出现错误.
(2)逆向思考是用分析法证题的主题思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件,正确把握转化方向,使问题顺利获解.【巩固训练】(2017·深圳高二检测)已知三角形的三
边长为a,b,c,其面积为S,求证:【证明】要证
只需证a2+b2+(a2+b2-2abcosC)≥2 absinC,
即证a2+b2≥2absin(C+30°),
因为2absin(C+30°)≤2ab,
只需证a2+b2≥2ab.
显然上式成立.所以a2+b2+c2≥4 S.类型三 综合法与分析法的综合应用
【典例3】已知a,b,c表示△ABC的三边长,m>0,求证:
【解题指南】根据在△ABC中任意两边之和大于第三边,再利用分析法与综合法结合证明不等式成立.【证明】要证明
只需证明 即可,
所以
因为a>0,b>0,c>0,m>0,所以(a+m)(b+m)(c+m)>0.因为a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)
=abc+abm+acm+am2+abc+abm+bcm+bm2-abc-bcm-acm-cm2=2abm+am2+abc+bm2-cm2
=2abm+abc+(a+b-c)m2.
因为△ABC中任意两边之和大于第三边,
所以a+b-c>0,所以(a+b-c)m2>0,
所以2abm+abc+(a+b-c)m2>0,
所以 【延伸探究】
1.本例增加条件“三个内角A,B,C成等差数列”,求证:
【证明】要证 ,
即证 即证
即证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),即证c2+a2=ac+b2.
因为△ABC三个内角A,B,C成等差数列,所以B=60°.
由余弦定理,有b2=c2+a2-2cacos60°,
即b2=c2+a2-ac.
所以c2+a2=ac+b2成立,即命题得证.2.证明:
【证明】要证 只需证a+b+(a+b)c>
(1+a+b)c.即证a+b>c.而a+b>c显然成立.
所以【方法总结】综合法、分析法的应用
(1)综合法推理清晰,易于书写,分析法从结论入手易于寻找解题思路.
(2)在实际证明命题时,常把分析法与综合法结合起来使用,称为分析综合法,其结构特点是:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P;若由P可推出Q,即可得证.(3)在实际解决问题中,先分析由条件能产生什么结论,再分析要产生需要的结论需要什么条件,逐步探求两者之间的联系,寻找解答突破口,确定解题步骤,然后用综合法写出解题的过程.【补偿训练】(2017·沈阳高二检测)已知a,b,c∈(0,
+∞),且a+b+c=1,
求证:【证明】方法一:(综合法)
当a=b=c时,取等号,所以不等式成立.方法二:(分析法)
要证 成立,
只需证 成立.
因为a+b+c=1,
所以只需证 成立,即
只需证 成立.
而 显然成立.
所以 成立.【课堂小结】2.方法总结
(1)分析法证明问题的关注点
①对于一些含有分式、根式、对数式、指数式的不等式(等式)的命题不便于用综合法证明时,常常考虑用分析法证明.②分析法证明命题成立必须保证步步有理有据,转化合理,得到的结果必须是显然的,如已知条件、定理、定义、公理等.(2)分析法与综合法的区别与联系课件61张PPT。 2.2.2
反 证 法 主题 反证法
1.鲁迅先生在论证“作文没有秘诀”时叙述:如果作文有秘诀,则就有许多祖传作家,由于不存在许多祖传作家,所以,作文没有秘诀.鲁迅先生运用的是数学中的哪种思想?
提示:运用的是反证法的思想.2.用反证法证明命题“若p,则q”的第一步是什么?
提示:第一步是否定结论,即若p,则﹁q.结论:
1.反证法的定义
假设原命题_______(即在原命题的条件下,_____不成
立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错
误,从而证明了_______成立,这样的证明方法叫做反证
法.不成立结论原命题2.反证法常见矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾
可以是与_________矛盾,或与_____矛盾,或与_____、
_____、_____、_____矛盾等.已知条件假设定义定理公理事实【微思考】
1.我们常说“否定之否定即为肯定”,你能说明反证法中的否定之否定的两个否定分别是指什么吗?
提示:第一个否定是指“否定结论”即假设,第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”.2.反证法原理与利用等价命题即互为逆否命题的证明思路有关吗?
提示:有关,反证法的原理为“互为逆否命题的两个命题真假一致”,即:“P?Q”?“﹁Q?﹁P”.【预习自测】
1.下列命题不适合用反证法证明的是 ( )
A.同一平面内,分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交
B.两个不相等的角不是对顶角
C.平行四边形的对角线互相平分
D.已知x,y∈R,且x+y>2,求证:x,y中至少有一个大于1【解析】选C.A中命题条件较少,不足以正面证明;B中命题是否定性命题,其反设是显而易见的定理;D中命题是“至少型”命题,其结论包含多个结论,而反设只有一个结论.2.“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的否定正确的为
( )
A.a,b,c都是奇数
B.a,b,c都是偶数
C.a,b,c中至少有两个偶数
D.a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数【解析】选D.自然数a,b,c的奇偶性共有四种情形:(1)3个都是奇数;(2)2个奇数,1个偶数;(3)1个奇数,2个偶数;(4)3个都是偶数,所以否定正确的是a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数.3.用反证法证明某命题时,对某结论:“自然数a,b,c中无偶数”,正确的假设为________.
【解析】a,b,c中无偶数,即a,b,c都是奇数,反设应是“a,b,c中至少有一个偶数”.
答案:a,b,c中至少有一个偶数4.用反证法证明命题“x2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a且x≠b”时应假设为________.
【解析】将结论否定.
“x≠a且x≠b”的否定是“x=a或x=b”.
答案:x=a或x=b5.已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列,求
证: 不成等差数列.【证明】假设 成等差数列,则类型一 用反证法证明否定性命题
【典例1】设{an}是公比为q(q≠0)的等比数列,Sn是它的前n项和,求证:数列{Sn}不是等比数列.【解题指南】本题为否定性命题,可以考虑用反证法证明.【方法总结】
反证法常用结论的反设词【拓展延伸】反证法的适用范围
(1)否定性命题.
(2)命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语的.
(3)当命题成立非常明显,而要直接证明所用的理论太少,且不容易说明的.(4)要讨论的情况多或者复杂,而反面情况少或者简单的.
(5)问题共有n种情况,现要证明其中有一种情况成立时,可以想到用反证法把其他的(n-1)种情况都排除,从而肯定这种情况成立.【巩固训练】求证:对于直线l:y=kx+1,不存在这样的实数k,使得l与双曲线C:3x2-y2=1的交点A,B关于直线y=ax(a为常数)对称.【证明】假设存在实数k,使得A,B关于直线y=ax(a为常数)对称,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有(1)直线l:y=kx+1与直线y=ax垂直.
(2)点A,B在直线l:y=kx+1上.当k2=3时,l与双曲线仅有一个交点,不合题意.
由②,③得a(x1+x2)=k(x1+x2)+2, ⑤
由④知x1+x2= ,代入⑤,整理得ak=3,这与①矛盾.
所以假设不成立,故不存在实数k,使得A,B关于直线
y=ax(a为常数)对称.【补偿训练】平面内有四个点,任意三点不共线.
证明:以任意三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形.【证明】假设以任意三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形,四个点为A,B,C,D.
考虑△ABC,则点D有两种情况:在△ABC内部和外部.(1)如果点D在△ABC内部(如图(1)),根据假设知围绕点
D的三个角∠ADB,∠ADC,∠BDC都小于90°,其和小于
270°,这与一个周角等于360°矛盾.
(2)如果点D在△ABC外部(如图(2)),根据假设知∠BAD,
∠ABC,∠BCD,∠ADC都小于90°,即四边形ABCD的内角
和小于360°,这与四边形内角和等于360°矛盾.
综上所述,可知假设错误,题中结论成立.类型二 用反证法证明“至多”“至少”问题
【典例2】已知a≥-1,求证三个方程:x2+4ax-4a+3=0,
x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实数
解.【解题指南】假设三个方程都没有实根,从而三个判别式都小于0,求出a的范围,这与已知a≥-1矛盾,从而否定假设,肯定结论.【证明】假设三个方程都没有实根,则三个方程中:它们的判别式都小于0,即:?- 三个方程中至少有一个方程有实数解.【延伸探究】
1.将本例改为:已知下列三个方程x2+4ax-4a+3=0,x2+
(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实数根,
求实数a的取值范围.2.将本例条件改为“三个方程中至多有2个方程有实数根”,求实数a的取值范围.【方法总结】用反证法证明“至多”“至少”等有关命题的两个关注点
(1)反设情况要全面,在使用反证法时,必须在假设中列出与原命题相异的结论,缺少任何一种可能,反证法都是不完全的.
(2)常用题型:对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时,常用反证法.【补偿训练】1.已知x,y>0,且x+y>2.
求证: 中至少有一个小于2.【证明】假设 都不小于2,
即 ≥2, ≥2.
因为x,y>0,所以1+x≥2y,1+y≥2x.所以2+x+y≥2(x+y),即x+y≤2与已知x+y>2矛盾.
所以 中至少有一个小于2.2.已知a,b,c是互不相等的实数,求证:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线中至少有一条与x轴有两个不同的交点.【解题指南】利用反证法,否定命题的结论,利用Δ≤0,由三个同向不等式求和推出矛盾.【证明】假设题设中的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线都与x轴没有两个不同的交点),
由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b
得Δ1=(2b)2-4ac≤0,Δ2=(2c)2-4ab≤0,Δ3=(2a)2-4bc≤0,同向不等式求和得:4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0,
所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≤0,
所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0,
所以a=b=c,这与题设a,b,c互不相等矛盾,因此假设不成立,从而命题得证.类型三 用反证法证明“唯一性”命题
【典例3】若函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续,且f(a)<0,f(b)>0,且f(x)在[a,b]上单调递增,求证:f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.【解题指南】先由函数零点存在性定理判定函数在(a,b)内有零点,再用反证法证明零点唯一.【证明】因为f(x)在[a,b]上的图象连续,且f(a)<0, f(b)>0,即f(a)·f(b)<0,所以f(x)在(a,b)内至少存在一个零点,设零点为m,则f(m)=0.
假设f(x)在(a,b)内还存在另一个零点n,即f(n)=0,则n≠m.
若n>m,则f(n)>f(m),即0>0,矛盾;
若n因此假设不正确,即f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.【方法总结】巧用反证法证明唯一性命题
(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时,由于反设结论易于推出矛盾,故常用反证法证明.(2)用反证法证题时,一定要用到“反设”进行推理,否则就不是反证法.用反证法证题时,如果欲证明命题的反面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以;若结论的反面情况有多种,则必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断结论成立.
(3)证明“有且只有一个”的问题,需要证明两个方面,即存在性和唯一性.【拓展延伸】合理使用反证法
什么情况下用反证法,应依据问题的具体情况而定,不要乱用反证法.一般来说,当非命题比原命题更具体、更明确、更简单,易于推出矛盾时,才用反证法.
运用反证法证题时,还应注意以下三点:1.必须周密考查原结论,防止否定有所遗漏.
2.推理过程必须完全正确,否则,不能肯定非命题是错误的.
3.在推理过程中,可以使用已知条件,推出的矛盾必须很明确,毫不含糊.【巩固训练】
已知直线m和直线a和b分别交于点A,B且a∥b,求证:过a,b,m有且只有一个平面.【证明】因为a∥b,
所以过a,b有一个平面α.
又m∩a=A,m∩b=B,
所以A∈a,B∈b,
所以A∈α,B∈α,又A∈m,B∈m,所以m?α.
即过a,b,m有一个平面α
假设过a,b,m还有一个平面β异于平面α.
则a?α,b?α,a?β,b?β,这与a∥b,过a,b有且只有一个平面相矛盾.因此,过a,b,m有且只有一个平面.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
(1)用反证法反设的三个关注点
①正确分清题设和结论.
②对结论进行正确否定.
③对结论否定后,找出其所有情况.(2)反证法证明的常见问题
反证法可以证明的命题的范围非常广泛,一般常见的有:唯一性问题,无限性问题,肯定性问题,否定性问题,存在性问题,不等式问题,等式问题,函数问题,整除问题,几何问题等.课件67张PPT。2.3
数学归纳法 主题 数学归纳法
1.有一串鞭炮相互连接在一起,点着第1个后,整串鞭炮便一个接着一个响了起来,直到最后一个.你知道为什么能响到最后一个?
提示:因为这些鞭炮之间相互连接着.2.你认为多米诺骨牌游戏中骨牌链能够被成功推倒,靠的是什么条件?
提示:多米诺骨牌所有的骨牌都倒下靠的是两个条件:
(1)第一块骨牌被推倒.(2)任意相邻两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下.条件(2)给出了一个递推关系,条件(1)给出了骨牌倒下的基础.结论:
1.数学归纳法原理:
证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)(归纳奠基)证明当n取_______值n0(n0∈N*)时命题成
立.第一个(2)(归纳递推)假设____(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证
明当______时命题也成立.
只要完成这两步,就可以断定命题对从n0开始的所有正
整数n都成立.
n=kn=k+12.数学归纳法流程:n=k+1n0n=n0【微思考】
1.数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?
提示:不一定,如证明n边形的内角和为(n-2)·180°时,第一个值n0=3.2.在数学归纳法的定义中为何首先要验证初始值n0?
提示:第一步验证n0是数学归纳法的奠基,是基础,只有当n= n0时命题正确方可进行第二步.3.对第二步证明n=k+1时为何必须应用n=k时的假设?
提示:不用n=k时的假设就无法构建n=k与n=k+1时的关系,也就失去了它们之间的联系,从而这种证明也就不是数学归纳法.【预习自测】
1.用数学归纳法证明1+2+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,在验证n=1成立时,左边所得的代数式是 ( )
A.1 B.1+3
C.1+2+3 D.1+2+3+4【解析】选C.当n=1时,2n+1=2×1+1=3,所以左边为1+2+3,故应选C.2.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的自然数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取 ( )
A.2 B.3 C.5 D.6
【解析】选C.当n取1,2,3,4时,2n>n2+1不成立,当n=5时,25=32>52+1=26,第一个能使2n>n2+1的n值为5.3.用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”在第二步时,正确的证明法是 ( )
A.假设n=k(k∈N*)成立,证明n=k+1命题成立
B.假设n=k(k是正奇数)成立,证明n=k+1命题成立
C.假设n=2k+1(k∈N*)成立,证明n=k+1命题成立
D.假设n=k(k是正奇数)成立,证明n=k+2命题成立【解析】选D.A,C中,k+1不一定表示正奇数,B中,k+1为偶数,只有D中k为正奇数,k+2为正奇数.4.用数学归纳法证明:1+a+a2+…+an+1= (a≠1,
n∈N*),在验证n=1成立时,左边计算所得的项是
__________.
【解析】当n=1时,左边=1+a+a1+1=1+a+a2.
答案:1+a+a25.用数学归纳法证明:n∈N*时,
类型一 用数学归纳法证明等式
【典例1】求证:【解题指南】等式的左边共2n项,右边共n项,当n=k时与当n=k+1时相比左边增二项,右边增一项,而且左、右两边的首项不同,因此由“n=k”到“n=k+1”时要注意项的合并.【方法总结】应用数学归纳法证明等式时应注意的三个问题
(1)第一步的验证,对于有些问题验证的并不是n=1,有时需验证n=2,n=3,甚至需要验证n=10.(2)n=k+1时式子的项数,特别是寻找n=k与n=k+1的关系时,项数发生什么变化容易弄错.因此对n=k与n=k+1这两个关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障.(3)“假设n=k(k≥1,k∈N*)时命题成立,利用这一假设证明n=k+1时命题成立”,这是应用数学归纳法证明问题的核心环节,因此在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设,否则这样的证明就不再是数学归纳法了.另外在推导过程中要把步骤写完整,注意证明过程中的严谨性、规范性.【易错提醒】运用数学归纳法时易犯的错误
(1)对项数估算的错误,特别是寻找n=k与n=k+1的关系时,项数发生的变化被弄错.
(2)没有利用归纳假设:归纳假设是必须要用的.假设是起桥梁作用的,桥梁断了就通不过去了.(3)关键步骤含糊不清,“假设n=k时结论成立,利用此假设证明n=k+1时结论也成立”,是数学归纳法的关键一步,也是证明问题最重要的环节,推导的过程要把步骤写完整,注意证明过程的严谨性、规范性.【巩固训练】求证:对任何正整数n,类型二 用数学归纳法证明不等式
【典例2】已知n∈N*,n>2,求证:【解题指南】先求出当n=3时等式左右两边的值,验证不等式成立,然后作出假设:当n=k时不等式成立,接着令n=k+1,将假设得到的结论与不等式的左边比较,可将所证不等式进行化简.【延伸探究】
1.将本例中所要证明的不等式改为:
(n≥2,n∈N*),如何证明?【证明】(1)当n=2时, 不等式成立.2.将本例中所要证明的不等式改为:
(n≥2,n∈N*),如何证
明?【方法总结】用数学归纳法证明不等式的有关技巧
(1)应用归纳假设:证明不等式的第二步中,从n=k到n=k+1的推导过程中要应用归纳假设,有时需要对目标进行适当的放缩来实现.
(2)证明方法:在应用归纳假设证明时,在证明过程中,方向不明确时,可采用分析法完成,经过分析找到推证的方向后,再用综合法、比较法等其他方法证明.【补偿训练】1.用数学归纳法证明: 类型三 用数学归纳法证明整除问题
【典例3】用数学归纳法证明32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.【解题指南】第一步验证当n=1时结论成立,第二步假设n=k(k≥1,k∈N*)时等式成立,当n=k+1时,凑出n=k时的式子再证明结论成立.【证明】(1)当n=1时,32×1+2-8×1-9=64,能被64整除,
所以n=1时命题成立.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时命题成立,即32k+2-8k-9能被64整除,则当n=k+1时,
32(k+1)+2-8(k+1)-9=9·(32k+2-8k-9)+64(k+1)能被64整除,
所以n=k+1时命题也成立.
由(1),(2)可知对一切正整数n,32n+2-8n-9能被64整除.【方法总结】用数学归纳法证明整除问题时,P(k)? P(k+1)的整式变形是个难点,找出它们之间的差异,从而决定n=k时,P(k)做何种变形.一般地,将n=k+1时P(k+1)的整式进行分拆凑成P(k)的形式,再利用归纳假设和基本事实证明,这个变形是难点.【巩固训练】用数学归纳法证明:x2n-1+y2n-1能被x+y整除(n∈N*).【证明】当n=1时,x2n-1+y2n-1=x+y,能被x+y整除.
假设当n=k(k≥1,k∈N)时,命题成立,即x2k-1+y2k-1能被x+y整除,那么,当n=k+1时,由于
x2(k+1)-1+y2(k+1)-1=x2·x2k-1+y2·y2k-1
=x2x2k-1+x2y2k-1-x2y2k-1+y2y2k-1
=x2(x2k-1+y2k-1)-(x-y)(x+y)y2k-1,而根据归纳假设,x2k-1+y2k-1能被x+y整除,又(x-y)(x+y)y2k-1也能被x+y整除,故上式能被x+y整除.即当n=k+1时命题也成立.
故命题对一切n∈N*都成立.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
(1)数学归纳法两个步骤的联系
第一步是验证命题递推的基础,第二步是论证命题递推的依据,这两个步骤缺一不可,只完成第一步而缺少第二步就作出判断,可能得出不正确的结论.
因为单靠第一步,无法递推下去,即n取n0以后的数时命题是否正确,我们无法判定,同样只有第二步而缺少第一步时,也可能得出不正确的结论,缺少第一步这个基础,假设就失去了成立的前提,第二步也就没有意义了.(2)数学归纳法适用的范围及应用时应注意的问题
①范围:与正整数n有关的数学命题的证明.
②注意:
(i)验证是证明的基础,递推是证明的关键,二者缺一不可;
(ii)在证明n=k+1命题成立时,必须使用归纳假设的结论,否则就不是数学归纳法.课件2张PPT。阶段复习课
第二章