课件64张PPT。第一章 导数及其应用
1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
1.1.2 导数的概念 主题1 平均变化率
1.写出气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的关系式.然后将球半径r表示为球体积V的函数.提示：体积V与半径r之间的关系式为V(r)= .将
半径r表示为体积V的函数为r(V)= .2.当空气容量V从0增加到1 L时，气球半径增加了多少？此时气球的平均膨胀率是多少？当空气容量V从1 L 增加到2 L呢？提示：当空气容量V从0增加到1 L时，气球半径增加了
r(1)- r(0)≈0.62(dm).
气球的平均膨胀率为 ≈0.62(dm/L).
当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了
r(2)-r(1)≈0.16(dm).
气球的平均膨胀率为 ≈0.16(dm/L).3.若运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系：h(t)=-4.9t2+6.5t+10,则运动员在0≤t≤0.5这段时间里的平均速度是多少？运动员在1≤t≤2这段时间里的平均速度是多少？提示：在0≤t≤0.5这段时间里的平均速度是
=4.05(m/s).
在1≤t≤2这段时间里的平均速度是
-8.2(m/s).结论：平均变化率概念
我们把式子____________ 称为函数y=f(x)从___到___
的平均变化率.主题2 导数的概念
1.物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？提示：不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h与
起跳时间t的函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，易
知 ＝h(0)， ＝0，而运动
员依然是运动状态.2．如何精确描述物体在某一时刻的运动状态？提示：可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的
运动状态.如求t＝2时的瞬时速度，可考察在t＝2附近
的一个间隔Δt，当Δt趋近于0时，看平均速度 的变
化趋势，用式子 表示，这就是物体
在t＝2时的瞬时速度.3．导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？
提示：函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率，导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度.结论:函数在某点处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是
___________________________ ,我们称它为函数
y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作_______
或 _____ ，即f′(x0)＝
___________________________f′(x0)【微思考】
1.观察函数y=f(x)的图象,平均变化率
的几何意义是什么?平均变化率绝对值的大小与曲线的
陡峭程度是否存在关系？提示：平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢，它表示割线的斜率.
函数f(x)在区间［x1,x2］上的平均变化率是曲线y=f(x)在区间［x1,x2］上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.2.如何理解导数定义中的Δx，Δy， ?
提示：Δx表示自变量的增量,其值可正可负不能为
零，Δy表示函数值的增量,其值可正可负可为零,
表示平均变化率,其极限存在,则函数y＝f(x)在某一
点处可导，否则不可导.【预习自测】
1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )
A．在［x0，x1］上的平均变化率
B．在x0处的变化率
C．在x1处的变化率
D．以上都不对【解析】选A.由平均变化率的定义知当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在［x0，x1］上的平均变化率.2.质点运动规律s=t2+3,则在时间［3,3+Δt］中,相应的平均速度等于( )
A.6+Δt B.6+Δt+
C.3+Δt D.9+Δt【解析】选A.
=6+Δt.3.设函数f(x)在x0处可导，则＝
＝( )
A．f′(x0) B．f′(－x0)
C．－f′(x0) D．－f′(－x0)【解析】选C. ＝
- ． 4.已知函数f(x)=A(A为常数)，则f′(2)=_________.
【解析】因为Δy=f(2+Δx)- f(2)=A-A=0,
所以 =0，f′(2)= =0.
答案：05.婴儿从出生到第24个月的体重变化如图,则第二年婴儿体重的月平均变化率是_______.【解析】由题图可知,第二年婴儿体重的月平均变化率为 = =0.25(千克/月).
答案：0.25千克/月6.质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s),求质点M在t=2时的瞬时速度,并与运用匀变速直线运动速度公式求得的结果进行比较.【解析】(1)瞬时速度
=
= (8+2Δt)=8 cm/s.
(2)因为s=2t2+3=s0+v0t+ ,
所以v0=0 cm/s,因为 a=2,所以a=4 cm/s2,
所以瞬时速度v=4t=4×2=8 cm/s.
结论：用两种方法求得的结果相同.类型一 求平均变化率
【典例1】试求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化
率.
【解题指南】先计算Δy＝f(-1＋Δx)－f(-1),再利用
= 求解.【解析】 = =
【延伸探究】1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及邻近一点B(-1+Δx,-2+Δy)，则 =____ .【解析】 =
=
=3-Δx.
答案：3-Δx2.设函数f(x)在x0附近有定义，且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b∈R)，则函数f(x)在x0附近的平均变化率为_______.【解析】由 =a+bΔx.可得f(x)在x0附近的平均变化率为a+bΔx.
答案：a+bΔx【方法总结】
(1)计算函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1).
(2)计算自变量的改变量Δx=x2-x1.
(3)得平均变化率 .【补偿训练】求函数y=f(x)=3x2+2在区间［x0,x0
+Δx］上的平均变化率，并求当x0=2,Δx=0.1时平均变化率的值.【解析】函数y=f(x)=3x2+2在区间［x0,x0+Δx］上的
平均变化率为
=
= = 6x0+3Δx.
当x0=2，Δx=0.1时,函数y=3x2+2在区间［2,2.1］上的平均变化率为
6×2+3×0.1=12.3.类型二 求瞬时变化率
【典例2】(2017·沈阳高二检测)若一物体的运动满足
函数
, 0≤t<3,
, t≥3 , (路程单位：m，时间单
位：s).求:(1)物体在t=3 s到t=5 s这段时间内的平均速度.
(2)物体在t=1 s时的瞬时速度.【解题指南】(1)先求增量，再求平均速度.(2)先求增量，再求平均速度，再求极限，进而得出瞬时速度.【解析】(1)Δs=s(5)-s(3)=3×52+2-(3×32+2)=48.
= =24(m/s).
(2)因为Δs＝29+3(1+Δt-3)2-［29+3(1-3)2］
=3(Δt)2-12Δt,所以 = =3Δt-12，
所以= = -12.
即物体在t=1 s时的瞬时速度为-12 m/s.【方法总结】
(1)函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：
平均变化率 ，当Δx趋于0
时，它所趋于的一个常数就是函数在x0处的瞬时变化率.(2)共同点：它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快.
(3)逼近法求瞬时变化率：求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解.【巩固训练】一质点按规律s(t)=at2+1做直线运动(位移单位：m,时间单位:s)，若该质点在t=2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值.【解析】因为Δs=s(2+Δt)-s(2)
=a(2+Δt)2+1-a·22-1
=4aΔt+a(Δt)2,
所以 =4a+aΔt,
故在t=2 s时，瞬时速度为s′(2)= =4a(m/s).
由题意知,4a=8,所以a=2.【补偿训练】一物体的运动方程为s=7t2+8,则其在t
=_____时的瞬时速度为1.
【解析】 = =7Δt+14t0,
当 =1时,t0= .
答案:类型三 求函数在某点处的导数
【典例3】根据导数的定义求下列函数的导数.
(1)求函数y=x2+3在x=1处的导数.
(2)求函数y= 在x=a(a≠0)处的导数.【解题指南】(1)利用导数定义
进行变形.
(2)本题是根据定义求函数的导数，因此可先求
，再求其极限值，即可得出导数值.【解析】(1)Δy=f(1+Δx)-f(1)=［(1+Δx)2+3］-
(12+3)=2Δx+(Δx)2,
所以 = =2+Δx.
所以y′|x=1= =2.(2)Δy=f(a+Δx)-f(a)
= = = - .
所以 =- = - .
所以y′|x=a= = - .【方法总结】用导数定义求函数在某一点处的导数的
三个步骤
(1)作差Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).
(2)作比 ＝ .
(3)取极限f′(x0)＝ .
简记为一差、二比、三极限．【巩固训练】已知函数y=f(x)=ax2+c且f′(1)=2,求
a的值.
【解析】
f′(1)= ==
=
= =2a=2.
所以a=1.【补偿训练】求函数y=3x2在x=1处的导数.
【解题指南】先求Δy=f(1+Δx)-f(1)=6Δx+3(Δx)2，
再求 =6+3Δx,再求 =6.【解析】Δy=f(1+Δx)-f(1)=6Δx+3(Δx)2.
= =6.课堂小结
1.知识总结2.方法总结
(1)平均变化率 = ，当Δx趋于0时，
它所趋于的一个常数就是函数在x0处的瞬时变
化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐
渐逼近”的方法求解.另外，它们都是用来刻画函数变
化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快.(2)函数在一点处的导数，就是在该点函数值的改变量
与自变量的改变量的比值的极限，它是一个定值，不
是变数.课件65张PPT。1.1.3
导数的几何意义主题1 导数的几何意义
1.如图(1)l1是否为曲线在点A处的切线?l2是否为曲线在点B处的切线?l2是否为曲线在点C处的切线?提示：l1不是曲线在点A处的切线；l2是曲线以点B为切点的切线，不是以点C为切点的切线.2.你能不能类比圆的割线和切线的动态关系，结合图(2)直观地感知，当Pn→P时对应的一般曲线的切线？
提示：当Pn→P时，割线趋于确定的位置，这个确定位置上的直线就是曲线在点P处的切线.3.问题2从直观上感知了“割线逼近切线”的变化过程，进一步，如图(3)如何研究割线方程和切线方程的变化关系？提示：割线逼近切线，不妨设点P(x0,y0)，
Pn(x0+Δx,f(x0+Δx)).割线PPn的方程为y－
f(x0)= ,
当Pn→P，即Δx→0时，变化的最终结果是 =f′(x0),故切线方程
就是 y－y0=f′(x0)(x－x0).结论:导数的几何意义
曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率，用符号
表示为f′(x0)=__________________=__ .k【微思考】
求曲线在某点P(x0,y0)处的切线方程时易忽略什么？
提示：易忽略切点在曲线上或忽略切点在切线上.主题2 导数的概念
已知函数y＝x2,完成下表：24681012结论：导函数的定义：
当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称它为f(x)的导
函数(简称导数)，
即f′(x)=y′= _____________ .【微思考】
导函数f′(x)与函数在x=x0处的导数f′(x0)相同吗？它们有什么区别与联系?
提示：不相同.y=f(x)导函数为f′(x),f′(x0)是
y=f(x)在x0处的导数.【预习自测】
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)的几何意义是 ( )A．在点x0处的斜率
B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角的正切值
C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率
D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率【解析】选C.由导数的几何意义可知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)，即为曲线在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．2.设f ′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线 ( )
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴斜交【解析】选B.曲线在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0，切线平行或重合于x轴．3.函数f(x)=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为 ( )
A.10 B.5 C.-1 D. 【解析】选D.因为f(x)=x3+4x+5,
所以f′(x)=3x2+4,
所以f′(1)=7,即切线斜率为7,
又f(1)=10,故切点坐标为(1,10),
所以切线的方程为:y-10=7(x-1),当y=0时,x= - .4.过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为_______．【解析】依题意得，割线的斜率为 ＝1.
答案：15．抛物线y2＝x与x轴、y轴都只有一个公共点，但只有_______是它的切线，而_______不是它的切线．【解析】根据曲线在某点处的切线的定义知y轴是曲线y2＝x的一条切线，x轴不是切线．
答案：y轴 x轴6．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，试求
的值.【解析】由导数的概念和几何意义知， ＝f ′(1)＝kAB＝ ＝－2.类型一 求曲线的切线方程
【典例1】(1)曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是 ( )
A．-9 B．-3 C．9 D．15
(2)已知曲线方程为y＝x2，则过点A(2,4)且与曲线相切的直线方程为__________.【解题指南】(1)先求出函数y=x3+11在x=1处的导数，再求出切线方程，最后求与y轴交点的纵坐标.
(2)由于点A在曲线上，可利用导数的几何意义，求出切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程.【解析】(1)选C.
=
=
= =3,所以曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线方程为y－12=
3(x－1),即3x－y+9=0，
令x=0，解得y=9，
所以曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是9.(2)因为f′(x)＝
＝
＝ ＝2x，又点A(2,4)在曲线y＝x2上，所以f′(2)＝4，
所以所求切线的斜率k＝4，
故所求切线的方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
答案：4x-y-4=0【延伸探究】
1.在本例(2)中若将“点A(2,4)”改为“点B(0,0)”，则结果如何？【解析】因为f′(x)＝
＝ ＝ ＝2x，
又点B(0,0)在曲线y＝x2上，所以f′(0)＝0，
所以所求切线的斜率k＝0，
故所求切线的方程为y－0＝0(x－0)，即y＝0.2.在本例(2)中若将“点A(2,4)”改为“点C(3,5)”，则结果如何？【解析】因为点C(3,5)不在曲线y＝x2上，
所以设切点坐标为(x0，x20).
因为f′(x)=
= = =2x，所以f′(x0)＝2x0，所以切线的斜率k＝2x0，
切线方程为y－x20＝2x0(x－x0)，又因为点C(3,5)在切线上，所以5－x20＝2x0(3－x0)，解得x0＝1或x0＝5.
所以切点坐标为(1,1)，(5,25)．
故所求切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，
即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.【方法总结】
1.求曲线在点P(x0，y0)处切线的步骤
(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0).
(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝
f ′(x0)(x－x0).2．过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤
(1)设切点为Q(x0，y0).
(2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0).(3)利用Q在曲线上，点P(x1,y1)在切线上和f ′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f ′(x0)．
(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝
f ′(x0)·(x－x0)．【补偿训练】在曲线y=x2上，点P处的切线垂直于直
线2x-6y+5=0，则P点坐标为( )
A.(2,4) B.( , )
C.( ， ) D.(-2，4)【解析】选B.f′(x)=
= =2x,
设P(x0,y0)是满足条件的点,
因为切线与直线2x-6y+5=0垂直,
所以2x0· =-1,得x0= ,y0= .类型二 求曲线的切点
【典例2】已知曲线y=2x2+a在点P处的切线方程为8x-y-15=0，求切点P的坐标和实数a的值.
【解题指南】根据切线方程得到切线斜率为8，即f′(x)=8,解导数方程即可得到结论.【解析】设切点P的坐标为(x0,y0)，切线斜率为k.
由y′=
= =4x,
得 =4x0.根据题意得4x0=8,x0=2,
分别代入y=2x2+a和y=8x-15,
得a=-7,y0=1.
故所求切点为P(2,1),a=-7.【方法总结】求曲线切点坐标的步骤
(1)设切点：先设出切点坐标(x0,y0).
(2)求斜率：求切线的斜率f′(x0).
(3)列方程：由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.
(4)求切点：因点(x0,y0)在曲线上，将(x0,y0)代入曲线方程求y0，得切点坐标．【巩固训练】如果曲线y＝x3＋x－10的一条切线与直线y＝4x＋3平行，那么曲线与切线相切的切点坐标为
( )
A．(1，－8)
B．(－1，－12)
C．(1，－8)或(－1，－12)
D．(1，－12)或(－1，－8)【解析】选C.设切点坐标为P(x0，y0)，
则y0＝x30＋x0－10的切线斜率为k＝
＝＝ ＝3x20＋1＝4，
所以x0＝±1，
当x0＝1时，y0＝－8，当x0＝－1时，y0＝－12，
所以切点坐标为(1，－8)或(－1，－12)．类型三 导数几何意义的综合应用
【典例3】(1)若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程为x－y+1=0,则( )
A．a=1，b=1 B．a=－1，b=1
C．a=1，b=－1 D．a=－1,b=－1(2)(2017·福州高二检测)已知函数f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是( )
A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2)
B．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)
C．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2)
D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3)【解题指南】(1)利用切点在切线上，切点在曲线上，切点处的导数等于切线斜率求解.
(2)从图象上可以看出f(2)与f(3)的大小，且其值大于1；再由导数的几何意义，看出f′(2)与f′(3)的大小且其值小于1.【解析】(1)选A.将点(0,b)代入x－y+1=0中，得b=1，由导数的几何意义得，
k=
= =a=1,
综上，a=1，b=1．(2)选B.根据导数的几何意义，在x∈［2,3］上，曲线在x＝2处切线斜率最大，k＝ ＝f(3)－f(2)＞f′(3)．【方法总结】有关导数的几何意义的综合问题的求解策略
(1)转化：利用导数的几何意义把问题转化为求切线方程或切点坐标问题.
(2)数形结合：注意方程思想、数形结合思想的应用.【巩固训练】已知抛物线y=x2,直线x-y-2=0，求抛物线上的点到直线的最短距离.【解析】根据题意可知与直线x-y-2=0平行的抛物线y=x2的切线对应的切点到直线x-y-2=0的距离最短.
设切点坐标为(x0,x20),
则 =2x0=1,
所以x0= ,所以切点坐标为（ , ）.切点到直线x-y-2=0的距离为d= = ,
所以抛物线上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 .【补偿训练】(2017·泰安高二检测)如果f′(x)是二
次函数，且f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1, ),那么曲线y=f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是( )
A.（0, ] B.[ , )
C.( , ] D.[ ,π)【解题指南】由二次函数的图象可知最小值为 ,再根据导数的几何意义可知k=tan α≥ ,结合正切函数的图象求出角α的范围.【解析】选B.根据题意得f′(x)≥ ，则曲线y=f(x)上任一点的切线的斜率k=tan α≥ ，结合正切函数的图象可得α∈[ , ).【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
(1)函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率.也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)，相应地，切线的方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).(2)导数f′(x)是针对某一区间内任意点x而言的，函数f(x)在区间(a,b)内每一点都可导，是指对于区间(a,b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)，根据函数的定义，在区间(a,b)内就构成了一个新的函数，就是函数f(x)的导函数f′(x).课件73张PPT。第2课时
导数的运算法则主题1 导数的运算法则
利用导数的定义分别求y=5+x，y=5x,y= 的导数.提示：(1) =1，
=1.故y=5+x的导数为1.
(2) =5，
=5.故y=5x的导数为5.(3) ，
.
故y= 的导数为 .结论：导数的运算法则
1.函数和差的导数，［f(x)±g(x)］′
=_______________.
2.函数积的导数，［f(x)·g(x)］′
=______________________.f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)+f(x)g′(x)3.函数商的导数， _________________
(g(x)≠0).
推论：常数与函数的积的导数，［cf(x)］′=________.cf′(x)【微思考】
1.导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导成立吗？
提示：成立.有时可先化简再求导.2.在导数的运算法则中，f(x),g(x)是否能是常数函数？
提示：可以.例如，①若y=f(x)±c，则y′=f′(x);
②若y=af(x)，则y′=af′(x);③
(f(x)≠0).主题2 复合函数的导数
1.y=ln(x+2)的结构特征是什么？
提示：令u=x+2，则y=ln u.
因此y=ln(x+2)可看成是由u=x+2和y=ln u复合而成的.2.如何求y=ln(x+2)的导数？
提示：由y=ln(x+2)的结构特征，可考虑由外向内求
导数.令u=x+2,则y=ln u，因此y′x=y′u·u′x=
(ln u)′·(x+2)′= .结论：
1.复合函数
对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果
______________________________，那么称这个函数
为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝
f(g(x)).通过变量u，y可以表示成x的函数2.求导法则
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)和u=g(x)的导数间的关系为y′x=y′u·u′x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.【微思考】
求解复合函数的导数时，关键点是什么？
提示：理清层次，逐层使用求导法则求解.【预习自测】
1.下列求导运算正确的是( )
A.( )′＝1＋ B.(log2x)′＝
C.(3x)′＝3xlog3e D.(x2cos x)′＝－2sin x【解析】选B.( ) ′＝ ；
(3x)′＝3xln 3；(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋
x2(cosx)′＝2xcos x－x2sin x.2.当函数y= (a＞0)在x=x0处的导数为0时，那么x0等于( )
A?a B?±a C?-a D?a2【解析】选B. y′=
,由x20-a2=0得x0=±a.3.f(x)=ln cos2x的导数是 ( )
A. B. C. D. 【解析】选D.因为f(x)=ln cos2x,
所以f′(x)= .4.函数y＝ 的导数是( )
A. B.
C. D. 【解析】选C.
= .5.函数f(x)＝ 的导数为_________.
【解析】f′(x)＝
＝ .
答案：类型一 利用运算法则求函数的导数
【典例1】(1)(2016·天津高考)已知函数
f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的
值为_________.(2)求下列函数的导数：
①y=x3+log2x;
②y=(x-2)2(3x+1)2;
③y=2xln x;
④y= .【解题指南】(1)求出f′(x)，代入x=0即可.
(2)分析各个函数解析式的特点，应用和、差、积、商的导数法则求导.【解析】(1)因为f′(x)=(2x+3)ex，所以f′(0)=3.
答案：3(2)①因为y=x3+log2x，所以y′= .
②因为y=(x-2)2(3x+1)2=(3x2-5x-2)2，
所以y′=36x3-90x2+26x+20.③因为y=2xln x,所以y′= .
④因为y= ，
所以y′= .【方法总结】利用导数的公式及运算法则求导思路【拓展】以y=f(x)·g(x)·h(x)为例，讨论连续多个函数的积如何求导？提示：(1)利用整体思想，化为两个函数的积求导，
即：y=f(x)·g(x)·h(x)=f(x)·［g(x)·h(x)］，
从而y′=f′(x)·［g(x)·h(x)］
+f(x)·［g(x)·h(x)］′.
(2)展开化简y=f(x)·g(x)·h(x)，转化为多项式，利
用和、差的导数法则求导.【补偿训练】求下列函数的导数：
(1)y= . (2)y= .【解析】(1)y′=
= .(2)y′=
= .【巩固训练】求下列函数的导数：
(1)y= ·cos x.(2)y=x-sin ·cos .【解析】(1)y′=
=
=
= .(2)因为y= ，
所以y′= .类型二 求复合函数的导数
【典例2】(1)已知函数f(x)= ,求其导数.
(2)设函数f(x)＝cos( x＋φ)(0＜φ＜π)，且f(x)
＋f′(x)为奇函数.
①求φ的值；
②求f(x)＋f′(x)的最值.【解题指南】(1)f(x)= 是y=eu与u=-ax2+bx的复合.
(2)先求出函数f(x)＝cos( x＋φ)(0＜φ＜π)的导
数，再利用f(x)＋f′(x)为奇函数求φ的值，进而求
出f(x)＋f′(x)的最值.【解析】(1)令u=-ax2+bx,则y=eu.
y′x=y′u·u′x
=eu·(-ax2+bx)′
=eu·(-2ax+b)
= (-2ax+b).(2)①f(x)＋f′(x)＝cos( x＋φ)－sin( x＋φ)
( x＋φ)′
＝cos( x＋φ)－ sin( x＋φ)
＝2sin( x+φ+ ).
因为0＜φ＜π，f(x)＋f′(x)是奇函数，所以φ＝
.②由①知f(x)＋f′(x)＝2sin( x＋π)＝－2sin x，
故f(x)＋f′(x)的最大值是2，最小值是－2.【方法总结】求复合函数的导数的步骤
(1)适当选定中间变量，正确分解复合关系.
(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导).
(3)把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数.
即：分解——求导——回代.【巩固训练】求下列函数的导数：
(1)y＝ .
(2)y＝ .
(3)y＝ .
(4)y＝5log2(2x＋1).【解析】(1)设y＝ ，u＝1－2x2，
则y′＝( ) ′(1－2x2)′＝( ) ·(－4x)
＝ ＝ .(2)设y＝eu，u＝sin v，v＝ax＋b，
则yx′＝yu′·uv′·vx′＝eu·cos v·a
＝acos(ax＋b)· .(3)设y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋ ，
则yx′＝yu′·uv′·vx′＝2u·cos v·2
＝4sin vcos v＝2sin 2v＝ .
(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，则y′＝
5(log2u)′·(2x＋1)′
＝ .【补偿训练】指出下列函数的复合关系：
(1)y＝sin x3.
(2)y＝ .
(3)y＝ .【解析】函数的复合关系分别是(1)y＝sin u，u＝x3.
(2)y＝cos u，u＝ .
(3)y＝ ，u＝2＋cos v，v＝3x.类型三 求导法则的综合应用
【典例3】(1)(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)=e-x-1-x，则曲线y= f(x)在点(1,2)处的切线方程是________.(2)已知曲线y= .
求：①曲线在点P(2，4)处的切线方程.
②曲线上与直线4x-y-3=0平行的切线方程.【解题指南】(1)先求出f(x)当x＞0时的解析式,然后再求切线.
(2)先求出y= 的导数，再利用导数的几何意义求出在点P(2，4)处的切线方程和与直线4x-y-3=0平行的切线方程.【解析】(1)设x>0,则-x<0,因为x≤0时，
f(x)=e－x－1－x，所以f(－x)= ，又因为f(x)
为偶函数，所以f(x)= ，f′(x)= ，f′(1)= ，所以切线方程为y－2=2(x－1)，
即：2x－y=0.
答案：2x－y=0(2)①因为P(2，4)在曲线 上，且y′=x2,
所以在点P(2,4)处的切线的斜率为4.
所以曲线在点P(2，4)处的切线方程为y-4=4(x-2).
即4x-y-4=0.②设切点坐标为(x0,y0)，则切线斜率为x20，由题意得x20=4，
所以x0=2或-2，切点(2,4)或( )，
所以切线方程为y-4=4(x-2)或y+ =4(x+2)，
即4x-y-4=0或12x-3y+20=0.【延伸探究】本例(2)中的条件不变，把在点P(2，4)处的切线方程改为过点P(2，4)的切线方程，结果是什么？【解析】设曲线y= 与过点P(2，4)的切线相切
于点A(x0, )，则切线的斜率为x20，所以切线方
程为y- =x20(x-x0)，即y=x20·x- + .
因为点P(2，4)在切线上，所以4=2x20- + ，即
x30-3x20+4=0，所以x30+x20-4x20+4=0,所以x20(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,所以(x0+1)(x0-2)2=0，解得x0=-1或x0=2，故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.【方法总结】求曲线在某一点处切线方程的一般步骤
(1)根据曲线的解析式求出导数.
(2)代入切点横坐标求出切线的斜率.
(3)利用点斜式写出切线的方程.【巩固训练】已知曲线f(x)=x3-3x,过点A(0，16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程.【解析】设切点为(x0,y0),
则由导数定义得切线的斜率k=f′(x0)=3x20-3,
所以切线方程为y=(3x20-3)x+16，
又切点(x0,y0)在切线上，所以y0=3(x20-1)x0+16,
即x30-3x0=3(x20-1)x0+16,解得x0=-2,
所以切线方程为9x-y+16=0.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
函数的求导方法
(1)公式法：即直接利用基本初等函数求导公式求导.
(2)运算法则法：将函数转化为基本初等函数的和、差、积、商，然后运用求导法则求导.
(3)复合函数求导法：利用复合函数求导法则求导.拓展类型:曲线的公切线
【典例】已知定义在正实数集上的函数
f(x)= ,g(x)= (a>0),设两曲线
f(x),g(x)有公共点，且在公共点处的切线相同.
(1)若a=1，求b的值.
(2)试写出b关于a的函数关系式.【解题指南】先设公共点的坐标，利用切点处的导数相等建立关系式.【解析】(1)设f(x)，g(x)的公共点为(x0，y0)，因为
y=f(x)与y=g(x)(x＞0)在公共点 (x0,y0)处的切线相同，且f′(x)=x+2，g′(x)= ①，所以f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0)②，
所以
由x0+2= ，得x0=1或x0=-3(舍去)③，即有b= .(2)设f(x)，g(x)的公共点为(x0，y0)，因为y=f(x)与
y=g(x)(x＞0)在公共点(x0,y0)处的切线相同，且f′(x)=x+2a,g′(x)= ①，所以f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0)②，
即
解得x0=a或x0=-3a(舍去)③，
所以b= (a＞0).【方法总结】曲线公切线问题的两个关键点：
1.切点处的导数值：注意公切点处的导数相等.
2.切点处的函数值：切点代入两曲线对应的函数值相等.【巩固训练】若曲线y= 与曲线y=aln x在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线，求实数a.【解析】根据题意可知：y′= ,y′= ，两曲线在
点P(s,t)处有公共的切线，所以 即 ，代
入 解得：a=1.课件74张PPT。1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.1 函数的单调性与导数主题1 函数的单调性与导数的关系
1.如图1表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数
h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，图2表示高台跳水
运动员的速度v随时间t变化的函数
v(t)＝ h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象. (1)运动员从起点到最高点,离水面的高度随时间的
增加而增加,即t∈(0,a)时，h(t)是单调_____.
此时,v(t)=h′(t)=-9.8t+6.5＞0.
(2)从最高点到入水,运动员离水面的高度随时间的
增加而减少,即t∈(a,b)时，h(t)是单调_____.
相应地,v(t)=h′(t)=-9.8t+6.5＜0.递增递减2.观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系，
(1)观察图象，完成下列填空.
图①中的函数y＝x的导函数y′＝__，此函数的单调
递增区间为_____________；1(－∞，＋∞)图②中的函数y＝x2的导函数y′＝___，此函数的单
调递增区间为__________，单调递减区间为__________.
图③中的函数y＝x3的导函数y′＝___，此函数的单
调递增区间为_____________；
图④中的函数y＝ 的导函数y′＝ ，此函数的
单调递减区间为_____________________.2x(0，＋∞)(－∞，0)3x2(－∞，＋∞)(－∞，0)，(0，＋∞)(2)根据(1)中的导函数与单调区间之间的关系，思考函数的单调性与导函数的正、负有什么关系？提示：根据(1)中的结果可以看出，函数的单调区间与导函数的正负有关，当导函数在某区间上大于0时，此时对应的函数为增函数，当导函数在某区间上小于0时，此时对应的函数为减函数.3.观察下图，请完成下表:
减正正＞0＜0结论：在区间(a,b)内函数的单调性与导数的关系增减主题2 函数变化的快慢与导数的关系
1.在同一坐标系中画出函数y＝2x，y＝3x，y＝ ，
y＝x2，y＝x3的图象.
提示：这几个函数的图象如图所示.2.观察以上函数的图象，当x＞0时，函数增长的快慢与各函数的导数值的大小作对比，你发现了什么？
提示：增长速度快的，导函数值大，增长速度慢的，导函数值小.结论：函数变化的快慢与导数间的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的_______
_____，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数
的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数
的图象就“平缓”.绝对值较大大小大小【微思考】
1.回忆函数单调性的常规定义，分析用导数研究函
数的单调性与常规定义的联系？
提示：增函数时有 也即 ，
对式子 求极限，若极限值大于0，则导数大于
0，从而为增函数.减函数时有 也即 ，
对式子 求极限，若极限值小于0，则导数小于0，
从而为减函数.2.在区间(a,b)上，如果f＇(x)＞0，则f(x)在该区间上单调递增,但反过来也成立吗？
提示：不一定成立.例如，f(x)＝x3在R上为增函数，但f′(0)＝0，即f′(x)＞0是f(x)在该区间上单调递增的充分不必要条件.3.如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？函数的单调区间与其定义域满足什么关系？
提示：不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开，函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集.【预习自测】
1.函数f(x)=x+ln x在(0,6)上是( )
A.单调增函数
B.单调减函数
C.在 上是减函数，在 上是增函数
D.在 上是增函数，在 上是减函数【解析】选A.因为x∈(0,6)，所以 ，
故函数在(0,6)上单调递增.2.f(x)在(a,b)内可导，若f′(x)＜0，则f(x)在(a,b)
内是( )
A.增函数 B.减函数 C.奇函数 D.偶函数
【解析】选B.易知导函数f′(x)＜0，f(x)单调递减.3.函数y=2-3x2在区间(-1,1)上的增减性为( )
A.增函数 B.减函数
C.先增后减 D.先减后增
【解析】选C.y′=-6x，故当x∈(-1，0)时，y′＞0；当x∈(0，1)时，y′＜0，所以原函数在区间(-1，1)上先增后减.4.已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下列四个图象中为y=f(x)的大致图象的是( )【解析】选C.由题图知：当x＜-1时，xf′(x)＜0，所以f′(x)＞0，函数y=f(x)单调递增；
当-1＜x＜0时，xf′(x)＞0，所以f′(x)＜0，函数y=f(x)单调递减；当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，所以f′(x)＜0，函数y=f(x)单调递减；
当x＞1时，xf′(x)＞0，所以f′(x)＞0，函数y=f(x)单调递增.5.函数y=x-ln x的单调递减区间是 .
【解析】定义域是(0,+∞),由 及定义域
得0答案:(0,1) 6.求下列函数的单调区间：
(1) .
(2) .【解析】(1) .
当x∈(-∞，-1)时，f′(x)>0；
当x∈(-1,0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，+∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(-∞，-1)，
(0，+∞)上单调递增，在(-1,0)上单调递减.(2)函数的定义域为(0，+∞)，
,
令f′(x)＞0，解得0＜x＜1，
令f′(x)＜0，解得x＞1，
所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调
递减.类型一 函数单调区间的判断及求解
【典例1】(1)(2015·陕西高考)设f(x)=x-sin x，
则f(x)( )
A.既是奇函数又是减函数 B.既是奇函数又是增函数
C.是有零点的减函数 D.是没有零点的奇函数(2)求函数 的单调区间.
【解题指南】(1)利用奇偶性的定义判断f(x)=x-sin x
的奇偶性，利用导数判断其单调性.
(2)先求导，令导函数值大于0，得到增区间，令导函
数值小于0，得到减区间.【解析】(1)选B.因为
f(-x)=-x-sin(-x)=-(x-sin x)=-f(x)，所以f(x)为
奇函数.又f′(x)=1-cos x≥0，所以f(x)单调递增，
选B.
(2) 的定义域为(0,+∞)，
则 ，由f′(x)＞0得6x2-2＞0，即x2＞ ，
则x＞ 或x＜ (舍).
所以递增区间为 ，
由f′(x)＜0得6x2-2＜0，即 ，则
＜x＜ ，因为x＞0，所以0＜x＜ ，
所以递减区间为 .【方法总结】利用导数研究函数单调性的一般步骤
(1)确定函数的定义域.
(2)求导函数f′(x).
(3)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.【巩固训练】求下列函数的单调区间：
(1)f(x)=x-x3.
(2)f(x)=x2-ln x.【解析】(1)f′(x)=1-3x2，
令1-3x2>0，解得 因此，函数f(x)的单调增区间为 .
令1-3x2<0，解得x< 或x> .
因此，函数f(x)的单调减区间为 ， .(2)函数f(x)的定义域为(0，+∞).
.
因为x>0，所以 ，由f′(x)>0，
解得x> ，
所以函数f(x)的单调递增区间为 ；
由f′(x)<0，解得x< ，又x∈(0，+∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为 .【补偿训练】求下列函数的单调区间：
(1) .
(2) .
【解析】(1) .
由f′(x)＞0,解得x＜-1或x＞1；
由f′(x)＜0，解得-1＜x＜1，且x≠0.所以函数的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞)；
单调递减区间为(-1,0),(0,1).
(2) .
令y′＞0，得x＞-1；
令y′＜0，得x＜-1.因此， 的单调递增区间为(-1，+∞),
单调递减区间为(-∞,-1).类型二 原函数与导函数图象间的关系
【典例2】(1)函数y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f′(x)的图象的大致形状是( )(2)函数y＝f(x)在定义域 内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式
f′(x)＜0的解集为 .【解题指南】(1)利用函数的单调性判断导数的符号，利用导数的符号判断导函数图象的位置(在x轴上方还是下方).
(2)当函数单调递减时f′(x)＜0,所以只要找出函数的单调递减区间即可.【解析】(1)选D.根据图象可知，函数f(x)先单调递减，后单调递增，后为常数，因此f′(x)对应的变化规律为先负，后正，后为零.
(2)函数y＝f(x)在区间 和区间 上单调递
减，所以在区间 和区间 上，
y＝f′(x)＜0，所以f′(x)＜0的解集为 ∪(2，3)．
答案： ∪(2，3)【延伸探究】1.若本例(2)中的条件不变，试求不等式f′(x)＞0的解集.
【解析】根据题目中的图象，函数y=f(x)在区间
和区间(1，2)上函数为增函数，所以在
区间 和区间(1，2)上,y=f′(x)＞0，
所以f′(x)＞0的解集为 ∪(1,2).2.若本例(2)中的条件不变，试求不等式xf′(x)＞0的解集.
【解析】由典例(2)及延伸探究1以及已知条件可知，
当x∈ 时，函数为减函数，则f′(x)＜0；
当x∈（1，2）时，函数为增函数，则f′(x)＞0.
综上可知：xf′(x)＞0的解集为 ∪（1，2）.【方法总结】判断函数与导数图象间对应关系的两个关键
第一：要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象.
第二：注意以下两个方面：(1)函数的单调性与其导函数的正、负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)＜0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性.(2)导数与函数图象的关系:【补偿训练】函数f(x)的图象如图所示，则导函数y=
f′(x)的图象可能是( )【解析】选D.从原函数y=f(x)的图象可以看出，其在区间(-∞,0)上是减函数，f′(x)＜0;在区间(0,x1)上是增函数,f′(x)＞0；在区间(x1,x2)上是减函数，f′(x)＜0；在区间(x2，+∞)上是增函数，f′(x)＞0.结合选项可知，只有D项满足.类型三 利用函数的单调性求参数的范围
【典例3】(1)若f(x)＝ax3＋x在区间［－1,1］上单调递增，求a的取值范围．
(2)(2017·广州高二检测)设函数f(x)=x2+ax-ln x，a∈R，若f(x)在区间(0，1］上是减函数，求实数a的取值范围.【解题指南】(1)由f(x)＝ax3＋x在区间［－1,1］上单调递增，可得出利用不等式f′(x)≥0在［－1,1］上恒成立，确定a的取值范围．
(2)把f(x)在区间(0，1］上是减函数，转化为f′(x)≤0对任意x∈(0，1］恒成立.【解析】(1)f′(x)＝3ax2＋1，因为f(x)在区间
［－1,1］上单调递增，所以f′(x)＝3ax2＋1≥0在
［－1,1］上恒成立．当x＝0时，显然成立，当x≠0
时， .因为 在x∈［－1,0)∪(0,1］
的最大值为 ，所以a≥ .
故a的取值范围是[ ，＋∞）．(2) .
因为f(x)在区间(0，1］上是减函数，
所以f′(x)≤0对任意x∈(0，1］恒成立，
即 对任意x∈(0，1］恒成立，
所以 对任意x∈(0，1］恒成立. 令 ，所以a≤g(x)min，易知g(x)在
(0，1］上单调递减，所以g(x)min=g(1)=-1，
所以a≤-1.【延伸探究】在本例(1)中f(x)＝ax3＋x在区间
［－1,1］上能否单调递减？
【解析】假设能单调递减，f′(x)＝3ax2＋1，因为
f(x)在区间［－1,1］上单调递减，所以
f′(x)＝3ax2＋1≤0在［－1,1］上恒成立．
当x＝0时，显然不成立，当x≠0时， .因为 在
x∈［－1,0)∪(0,1］上不存在最小值，所以满足条
件的a值不存在.所以f(x)=ax3+x在区间［-1,1］上
不能单调递减.【方法总结】已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围.【巩固训练】已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex在［0,1］
上单调递减且满足f(0)=1，f(1)=0，求a的取值范围.
【解析】由f(0)=1，f(1)=0，得c=1，a+b=-1，
则f(x)=［ax2-(a+1)x+1］ex,
f′(x)=［ax2+(a-1)x-a］ex.依题意需对于任意x∈(0,1)，有f′(x)＜0.
当a＞0时，因为二次函数y=ax2+(a-1)x-a的图象开口向上，而f′(0)=-a＜0，所以需f′(1)=(a-1)e≤0，即0＜a≤1；当a=0时，对于任意x∈(0,1),f′(x)=-xex＜0，
符合条件；
当a＜0时，f′(0)=-a＞0，不符合条件.
故a的取值范围为［0,1］.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
(1)单调性的判断或证明方法：求导?判断导数正负?结论.
(2)求单调区间的方法：求导? 解导数不等式?单调区间.课件63张PPT。1.3.2 函数的极值与导数主题 函数极值的概念及求法
观察图象回答下面问题1．函数在点x＝a的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？
提示：函数在点x＝a的函数值比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小 .2．f′(a)等于多少？在点x＝a附近，函数的导数的符号有什么规律？
提示：f′(a)＝0，在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.3．函数在点x＝b处的情况呢？
提示：函数在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.结论：极大(小)值的概念
(1)函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a
附近其他点的函数值都小，且__________,在点x＝a附
近的左侧__________，右侧__________，则a叫做极小
值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.f′(a)＝0f′(x)＜0f′(x)＞0(2)函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b
附近其他点的函数值都大，且__________,在点x＝b附
近的左侧__________，右侧__________，则b叫做极大
值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.f′(b)＝0f′(x)＞0f′(x)＜0【微思考】
1.函数的极值可以在区间端点处取得吗？
提示：不可以，因为在端点处不能反映两侧的函数值的变化情况，况且端点处的导数不一定为0.2.当f′(x0)=0 时，x=x0是否一定为y=f(x)的极值点？
提示：不一定，只有同时满足x0左右导数符号不一致时才称x0为极值点.3.函数的极大值一定大于极小值吗？
提示：不一定，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值可能比极小值还小.【预习自测】
1.函数y＝f(x)的导数y′与函数值和极值之间的关系为( )
A.导数y′由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值
B.导数y′由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值
C.导数y′由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值
D.导数y′由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值
【解析】选D.由导数y′与函数值的变化情况以及极值之间的关系，可知选项D正确.2.(2016·陕西高考)设函数 ，则( )
A. 为f(x)的极大值点
B. 为f(x)的极小值点
C.x=2为f(x)的极大值点
D.x=2为f(x)的极小值点【解析】选D.函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
.当x=2时，f′(x)=0；
当x＞2时，f′(x)＞0，函数f(x)为增函数；
当0＜x＜2时，f′(x)＜0，函数f(x)为减函数，
所以x=2为函数f(x)的极小值点.3.如图是导函数y=f′(x)的图象，函数y=f(x)的极大值点是 ,极小值点是 .【解析】因为在点x2左侧导数图象在x轴上方，导数为正，在点x2右侧附近导数图象在x轴下方，导数为负，故点x2为极大值点，因为在点x4左侧导数图象在x轴下方，导数为负，在点x4右侧附近导数图象在x轴上方，导数为正，故点x4为极小值点.
答案：x2 x44.求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值.(仿照教材P94例4的解析过程)
【解析】f′(x)=3x2-6x-9.
解方程3x2-6x-9=0，得x1=-1，x2=3.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由表可知：当x=-1时，f(x)有极大值f(-1)=10.
当x=3时，f(x)有极小值f(3)=-22.类型一 求函数的极值
【典例1】求函数 的极值.
【解析】函数 的定义域为(0,+∞)，
且 ,令f′(x)=0，得x=e，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
故当x=e时，函数取得极大值 ，无极小值. 【方法总结】求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)定区间求导：确定函数的定义区间，求导数f′(x).
(2)解方程：求方程f′(x)=0的根.
(3)列表：用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格.(4)检测判断：检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.【巩固训练】1.求函数 的极值．
【解析】函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
，令y′＝0，得x＝±2.当x变化时，y′,y的变化情况如下表：
由表知：当x＝－2时，y极大值＝－8；
当x＝2时，y极小值＝8.2.设函数f(x)＝x3+ax2－9x的导函数为f′(x)，且f′(2)＝15.
(1)求函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程.
(2)求函数f(x)的极值．【解析】(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax－9，
因为f′(2)＝15，所以12＋4a－9＝15，
所以a＝3.所以f(x)＝x3＋3x2 －9x，
所以f′(x)＝3x2＋6x－9，
所以f(0)＝0，f′(0)＝－9，
所以函数在x＝0处的切线方程为y＝－9x.(2)令f′(x)＝0，得x＝－3或x＝1.当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：即函数f(x)在(－∞，－3)上单调递增，在(－3,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝－3时，f(x)有极大值27，当x＝1时，f(x)有极小值－5.【补偿训练】求函数 的极值.
【解析】因为函数的定义域为R，
所以 .
令y′=0，得 ，
解得x=-1或x=1.当x变化时，y′,y的变化情况如表：
故当x=-1时，函数有极小值，且y极小值=f(-1)=-3；
当x=1时，函数有极大值，且y极大值=f(1)=-1. 类型二 利用函数极值求参数的值
【典例2】(2016·四川高考)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点，则a=( )
A.-4 B. -2 C.4 D.2【解题指南】求出f′(x)，解出方程f′(x)=0的根，再根据不等式f′(x)>0,f′(x)<0的解集得出函数的极值点.【解析】选D. f′(x)=3x2－12=3(x－2)(x+2)，
令f′(x)=0，得x=－2或x=2，
易知f(x)在(－2,2)上单调递减，
在(2,+∞)上单调递增，
故f(x)的极小值为f(2)，所以a=2.【方法总结】
(1)求参数值：利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)检验：因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.【巩固训练】已知函数 在x=1处
有极值 ，求b,c的值.
【解析】f′(x)=－x2+2bx+c,
f′(1)=－1+2b+c=0,
因为f(x)在x=1处有极值 ，
所以 ，解得b=1,c=－1或b=－1,c=3,
经验证b=1,c=－1不满足题意，舍去.
所以b=－1,c=3.【补偿训练】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，且当
x=-1时取得极大值7，当x=3时取得极小值，试求函数f(x)的极小值，并求a,b,c的值.【解析】f(x)=x3+ax2+bx+c,f′(x)=3x2+2ax+b.
因为x=-1时函数取得极大值，x=3时函数取得极小值，
所以-1,3是方程f′(x)=0的根，即为方程3x2+2ax+b=0
的两根.
故 解得所以f(x)=x3-3x2-9x+c.
因为x=-1时取得极大值7,
所以(-1)3-3×(-1)2-9×(-1)+c=7,
所以c=2，
所以函数f(x)的极小值为f(3)=33-3×32-9×3+2=-25.类型三 函数极值的综合应用
【典例3】(1)函数f(x)=xex在其极值点处的切线方程
为 .
(2)已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在
x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个
不同的交点，求m的取值范围．【解题指南】(1)先求出极值，再求出切点坐标，然后利用导数求出切线斜率，最后得切线方程.
(2)先由已知条件求出a值，确定f(x)，再由直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同交点，利用数形结合求出m的范围.【解析】(1)f′(x)=ex+xex=ex(1+x)，
令f′(x)=0得x=-1.易判断x=-1为极值点，
因为 ,
所以切点为 .因为切线斜率为0，
所以所求得切线方程为 .
答案:(2)因为f(x)在x＝－1处取得极值，
所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1.
所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，
由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.
当x＜－1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.
所以由f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
作出f(x)的大致图象如图所示：因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m的取值范围是(－3,1)．【延伸探究】
1.若本例(2)“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？【解析】由例(2)解析可知:当m＝－3或m＝1时，直线
y＝m与y＝f(x)的图象有两个不同的交点；当m＜－3或m＞1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象只有一个交点.2.若本例(2)中条件改为“已知函数f(x)=-x3+ax2-4
在 处取得极值”，其他条件不变，求m的取值范围.
【解析】由题意可得f′(x)=-3x2+2ax，由 ,
可得a=2，所以f(x)=-x3+2x2-4，
则f′(x)=-3x2+4x.
令f′(x)=0，得x=0或 ，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表
因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点，所以m的取值范围是 .【方法总结】
1.三次函数有极值的充要条件
三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有极值?导函数f′(x)=3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4b2-12ac>0.2.三次函数单调性与极值(设x1(1)当Δ≤0时,①若a>0,则f(x)在R上是增函数;
②若a<0,则f(x)在R上是减函数.(2)当Δ>0时,①若a>0,则f(x)的增区间为(-∞,x1)和(x2,+∞),减区间为(x1,x2),f(x1)为极大值,f(x2)为极小值;②若a<0,则f(x)的减区间为(-∞,x1)和(x2,+∞),增区间为(x1,x2),f(x1)为极小值,f(x2)为极大值.(如图所示)【补偿训练】已知函数f(x)=-x2+8x,
g(x)=6ln x+m. 是否存在实数m,使得y=f(x)的图象
与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在,
求出m的取值范围;若不存在,说明理由.【解析】函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有
三个不同的交点,即函数 的图象与x轴
的正半轴有且只有三个不同的交点.因为
,所以
，
当x∈(0,1)时,φ′(x)＞0,φ(x)是增函数;
当x∈(1,3)时,φ′(x)＜0,φ(x)是减函数;
当x∈(3,+∞)时,φ′(x)＞0,φ(x)是增函数;
当x=1,或x=3时,φ′(x)=0.所以φ(x)极大值=φ(1)=m-7,
φ(x)极小值=φ(3)=m+6ln 3-15.因为当x充分接近0
时,φ(x)＜0,当x充分大时,φ(x)＞0.
所以要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点,
必须且只须 即7＜m＜15-6ln 3.所以存在实数m,使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,m的取值范围为(7,15-6ln 3).【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
求函数y=f(x)的极值的方法
解方程f′(x)=0.当f′(x0)=0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值.课件56张PPT。1.3.3
函数的最大(小)值与导数主题 函数的最值
1．观察图中在［a,b］上函数y＝f(x)的图象，找出它们的极大值和极小值.提示：f(c),f(e)是函数y＝f(x)的极小值，f(d),f(g)是函数y＝f(x)的极大值.
2.观察1中函数y=f(x)的图象，你能找出函数f(x)在区间［a，b］上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？ 提示：函数y=f(x)在区间［a，b］上的最大值是f(g)，最小值是f(b).若区间改为(a，b)，则f(x)有最大值f(g)，无最小值.3.观察如图所示函数y=f(x)的图象，该函数有最大值吗？
提示：由图可见在最高点处图象是间断的，因此该函数没有最大值.结论：函数有最值的条件
如果在闭区间［a,b］上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.【微思考】
1.函数在某一区间上的最大值一定是这个区间上所有函数值中的最大值吗？
提示：是.2.极值能在区间端点处取得吗？最值呢？
提示：极值只能在区间内取得，但是最值可以在区间端点处取得.3.函数最值和“恒成立”问题有什么联系？
提示：解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题.如f(x)>0恒成立，只要f(x)的最小值大于0即可.对含参不等式恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数.【预习自测】
1.下列说法正确的是( )
A.函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值
B.闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C.若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值
D.若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值
【解析】选D.由极值与最值的区别知选D.2.连续函数f(x)在(a,b)上有最大值是有极大值的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.因为区间(a,b)为开区间，所以连续函数f(x)在(a,b)上有最大值能推出函数有极大值，但有极大值函数不一定有最大值.3.函数f(x)＝x2－4x＋1在［1,5］上的最小值和最大值为( )
A.－2,6 B.－3，－2
C.2,6 D.－3,6【解析】选D. f′(x)＝2x－4.当x∈(1,2)时，
f′(x)＜0，当x∈(2,5)时，f′(x)＞0，又因为
f(1)＝12－4×1＋1＝－2，f(5)＝52－4×5＋1＝6.
所以f(x)＝x2－4x＋1在［1,5］上的最小值为
f(2)＝22－4×2＋1＝－3,最大值为6.4.已知函数y=-x2-2x+3在区间［a,2］上的最大值
为 ，则a等于 .
【解析】当a＜-1时，最大值为4，不合题意；
当-1≤a≤2时，f(x)在［a,2］上是减函数，f(a)
最大， ，解得 或 (舍).
答案：5.求函数 ，x∈［-3,1］的最大值与最小值.(仿照教材P97例5的解析过程)
【解析】因为f(x)=x3+2x2-4x+5，
所以f′(x)=3x2+4x-4.
令f′(x)=0，得x1=-2，x2= .因为f(-2)=13， ，f(-3)=8，f(1)=4，
所以函数f(x)在［-3,1］上的最大值为13，
最小值为 .类型一 求函数的最值
【典例1】求函数y=5-36x+3x2+4x3在区间［-2，+∞)上的最大值与最小值.
【解题指南】求函数的最值与求函数的极值相似(但最值与极值不一定相同)，先列出表格，再进行判断，从而求出最值.【解析】y′=12x2+6x-36,令y′=0，x1=-2，x2= .
列表：
由于当 时，y′＞0，所以y在 上为增函
数，因此，函数y在［-2,+∞)上只有最小值 ，
无最大值.【方法总结】闭区间［a，b］上连续的函数f(x)必有
最值
(1)给定的区间必须是闭区间，f(x)在开区间上虽然连
续但不能保证有最大值或最小值.如 ，
x∈(0,1)，f(x)在区间(0,1)连续，但没有最大值和最
小值(如图).(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有
间断点，也不能保证f(x)有最大值和最小值，如函数
在［-1,1］上有间断点，没有最小值(如图).
(3)若连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值.【巩固训练】函数 在［0,2］上的最大值是( )
A．当x＝1时， B．当x＝2时，
C．当x＝0时，y＝0 D．当 时，【解析】选A. ，令y′＝0,
得x＝1.
因为x＝0时，y＝0，x＝1时， ，
x＝2时， ，
所以最大值为 (x＝1时取得)．类型二 与参数有关的最值问题
【典例2】(1)已知函数f(x)=2x3-6x2+a在［-2,2］上有最小值-37，求a的值，并求f(x)在［-2，2］上的最大值.(2)(2017·秦皇岛高二检测)设函数
,0＜a＜1.若x∈［0,3a］，试求函数f(x)的最值.【解题指南】(1)按求函数最值的步骤求出最小值，再结合已知求得a，进而求出f(x)在［-2，2］上的最大值.
(2)先求导数，求出极值点，通过列表确定函数的单调区间，进而求函数的最值.【解析】(1)f′(x)=6x2-12x=6x(x-2)，
令f′(x)=0,得x=0或x=2.
又f(0)=a,f(2)=a-8，f(-2)=a-40.
f(0)＞f(2)＞f(-2)，
所以当x=-2时,f(x)min=a-40=-37，得a=3.
所以当x=0时，f(x)max=3.(2)f′(x)=-x2+4ax-3a2.令f′(x)=0，
解得x=a或x=3a，x∈［0,3a］，列表如下：由表知：当x∈(0，a)时，函数f(x)为减函数；
当x∈(a,3a)时，函数f(x)为增函数.
所以当x=a时，f(x)的最小值为 ；
当x=0或x=3a时，f(x)的最大值为b.【方法总结】已知函数最值求参数的步骤
(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值.
(2)通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值.
(3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决．【巩固训练】(2017·包头高一检测)若函数
f(x)=(x-1)(x+2)(x2+ax+b)的图象关于x=0对称，
则f(x)的最小值为( )
A. B. C. D.【解析】选C.因为函数f(x)=(x-1)(x+2)(x2+ax+b)
的图象关于x=0对称，所以f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),
即-2(1-a+b)=0，0=4(4+2a+b)，求得b=-2，a=-1，
所以f(x)=(x-1)(x+2)(x2-x-2)=x4-5x2+4，
所以显然，在 上,f′(x)＜0，f(x)为减函
数，在 上，f′(x)＞0，f(x)为增函
数，故当x= 时， ，当 时， ,
所以函数f(x)取最小值 .类型三 与最值有关的恒成立问题
【典例3】(2017·潍坊高二检测)已知函数f(x)＝x3＋
ax2＋bx＋c在 与x＝1处都取得极值．
(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间.
(2)若对x∈［－1,2］，不等式f(x)＜c2恒成立，求c
的取值范围．【解题指南】(1)由已知条件求a，b的值并确定函数
f(x)的单调区间.(2)对x∈［－1,2］，不等式
f(x)＜c2恒成立应进行转化.【解析】(1)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
因为f′(1)＝3＋2a＋b＝0，
，
解得 ，b＝－2，所以
f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：所以函数f(x)的递增区间为 和(1，＋∞)；
递减区间为 ．(2)由(1)知， ，x∈［－1,2］，
当 时， 为极大值，
因为f(2)＝2＋c，所以f(2)＝2＋c为最大值．
要使f(x)＜c2(x∈［－1,2］)恒成立，只需
c2＞f(2)＝2＋c，解得c＜－1或c＞2. 【延伸探究】
1.若典例(1)中条件不变,问法改为求函数f(x)在区间［-1，2］上的最值，结果如何.
【解析】f′(x)=(3x+2)(x-1)，当x变化时,f′(x)，f(x)变化情况如表：由于2+c> > > ,所以f(x)在区间
［-1，2］上的最大值为2+c,最小值为 .2.若典例(2)中条件不变,问法“若对x∈［－1,2］，不等式f(x)＜c2恒成立”改为“若存在x∈［－1,2］，不等式f(x)＜c2成立”,结果如何？【解析】 ，x∈［－1,2］，
当x＝1时， 为极小值，
又 ,所以 为最小值．
因为存在x∈［－1,2］，不等式f(x)＜c2成立，
所以只需 ，解得c∈R.【方法总结】
1.证明不等式，研究方程根的个数、两函数图象的交点个数、图象的分布范围等问题，导数和数形结合是一种很有效的工具，经常通过分析函数的变化情况，结合图形分析求解．2．恒成立问题向最值转化也是一种常见题型
(1)要使不等式f(x)＜h在区间［m，n］上恒成立，可先在区间［m，n］上求出函数的最大值f(x)max，只要h＞f(x)max，则上面的不等式恒成立．(2)要使不等式f(x)＞h在区间［m，n］上恒成立，可先在区间［m，n］上求出函数f(x)的最小值f(x)min，只要f(x)min＞h，则不等式f(x)＞h恒成立．
【补偿训练】设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在
x=1及x=2时取得极值.
(1)求a,b的值.
(2)若对于任意的x∈［0,3］，都有f(x)＜c2成立，
求c的取值范围.【解析】(1)f′(x)=6x2+6ax+3b，
因为函数f(x)在x=1及x=2时取得极值，
所以f′(1)=0，f′(2)=0,
即 ，解得(2)由(1)可知,f(x)=2x3-9x2+12x+8c，
f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).
当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；
当x∈(1,2)时，f′(x)＜0；
当x∈(2,3)时，f′(x)＞0.
所以，当x=1时，f(x)取极大值f(1)=5+8c,又f(0)=8c，f(3)=9+8c.
所以当x∈［0,3］时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c.
因为对于任意的x∈［0,3］,都有f(x)＜c2恒成立，
所以9+8c＜c2，解得c＜-1或c＞9.
因此c的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞).【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
求最值的方法
(1)极值法：对开区间上的连续函数，最值一定是其极值.
(2)比较法：对于闭区间上的连续函数，通过比较极值与端点的函数值的大小求最值.课件71张PPT。1.4
生活中的优化问题举例类型一 面积、体(容)积有关的最值问题
【典例1】如图，四边形ABCD是一块边长为4 km的正方
形地域，地域内有一条河流MD，其经过的路线是以AB
的中点M为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不
计).新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN(P为河流MD上任意一点)，问如何施工才能使游乐园的面积最大？并求出最大面积.【解题指南】首先依据图形建立合适的坐标系，设出点的坐标，引入变量构建与面积有关的函数关系式，再利用导数求最值.【解析】以M为原点，AB所在直线为y轴建立直角坐标系，则D(4,2).设抛物线方程为y2＝2px.
因为点D在抛物线上，
所以22＝8p，解得 .
所以抛物线方程为y2＝x(0≤x≤4).
设P(y2，y)(0≤y≤2)是曲线MD上任一点，
则|PQ|＝2＋y，|PN|＝4-y2.所以矩形游乐园的面积为
S＝|PQ|×|PN|＝(2＋y)(4-y2)＝8-y3-2y2＋4y.
求导得S′＝-3y2-4y＋4，令S′＝0，
得3y2＋4y-4＝0，解得 或y＝-2(舍).
当y∈ 时，S′>0，函数S为增函数；
当y∈ 时，S′<0，函数S为减函数.所以当 时，S有最大值，得
，
.
所以游乐园最大面积为 ，
即游乐园的两邻边分别为 km， km时，面积最大，
最大面积为 km2.【方法总结】利用导数解决实际问题的基本流程【巩固训练】已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上，求矩形的面积最大时的边长.【解析】设矩形边长AD=2x,则|AB|=y=4-x2.
则矩形面积为S=2x(4-x2)(0即S=8x-2x3,所以S′=8-6x2,
令S′=0，解得 (舍去).
当 时,S′>0;当 时，S′<0,所以当 时，S取得最大值，
此时, .
即矩形的边长分别为 时，矩形的面积最大.【补偿训练】用长为90 cm、宽为48 cm的长方形铁皮
做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
【解析】设容器的高为x cm,容器的容积为V(x)cm3,
则V(x)=x(90-2x)(48-2x)
=4x3-276x2+4 320x(0=12(x2-46x+360)=12(x-10)(x-36).
令V′(x)=0,得x1=10,x2=36(舍去).
当00,V(x)是增函数；
当10V(10)=10×(90-20)×(48-20)=19 600(cm3).
故当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm3.类型二 费用(用料)最省问题
【典例2】(2017·重庆高二检测)某企业
拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度
单位：米).其中容器的中间为圆柱形，
左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为
立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为4千元.设该容器的总建造费用为y千元.
(1)将y表示成r的函数f(r)，并求该函数的定义域.
(2)讨论函数f(r)的单调性，并确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用.【解题指南】(1)总造价等于两个半球合成一个球的表面的造价加上圆柱的侧面的造价.
(2)对y=f(r)求导然后研究单调性与最值.【解析】(1)因为容器的体积为 立方米，
所以 ,
解得
所以圆柱的侧面积为
两端两个半球的表面积之和为4πr2,所以
又
所以定义域为(2)因为
所以令f′(r)>0，得 ;
令f′(r)<0，得0所以f(r)的单调增区间为 ,单调减区间为(0,2).
所以当r=2时，该容器的建造费用最小,为96π千元，此时， .【延伸探究】
1.试讨论该容器表面积有无最小值，若有，求出最
小值；若没有，说明理由?
【解析】因为容器的体积为 立方米，
所以 ,
解得所以圆柱的侧面积为
两端两个半球的表面积之和为4πr2，
故该容器的表面积
则
令S′=0，解得 ,所以应在 时，取得最小值，而由(1)可知
r∈ 取不到 ，所以无最小值.2.若由于场地的限制，该容器的半径要限制在
范围内，求容器建造费用的最小值.【解析】因为
所以令y′>0，得 ;
令y′<0，得0故当r∈ 时，函数单调递减，
故当 时， 【方法总结】利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x).(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)=0.
(3)比较函数在区间端点和使f′(x)=0成立的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.
(4)写出答案.【补偿训练】甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀
速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式.
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值.【解析】 (1)
(2) ，令Q′=0,则v=0(舍去)或v=80.
当0当800,
所以当v=80千米/时时，全程运输成本取得极小值，
即最小值，且Qmin=Q(80)= (元).类型三 利润最大问题
【典例3】某公司为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费t(单位：百万元)，可增加销售额约为-t2+5t(单位：百万元，且0≤t≤5).(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促
销和技术改造.经预测，每投入技术改造费x(单位：
百万元)，可增加的销售额约为 (单位：
百万元).请设计一个资金分配方案，使该公司由此
获得的收益最大(注：收益=销售额-投入).【解析】(1)设投入t百万元的广告费后增加的收益
为f(t)百万元，则有f(t)=(-t2+5t)-t=-t2+4t
=-(t-2)2+4(0≤t≤3),
所以当t=2时，f(t)取得最大值4，
即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益
最大.(2)投入技术改造的资金为x百万元，则用于广告促销
的资金为(3-x)百万元，设由此获得的收益是g(x),
则
所以g′(x)=-x2+4.
令g′(x)=0,解得x=-2(舍去)或x=2.当0≤x<2时，g′(x)>0;当2故g(x)在［0，2)上是增函数，在(2,3］上是减函数.
所以当x=2时，g(x)取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大.【方法总结】利润问题中的等量关系
解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有:
(1)利润＝收入-成本；
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数.【巩固训练】某工厂生产某种产品，已知该产品的月
生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式
为 ,且生产x吨产品的成本为
R=50 000+200x(元).问该工厂每月生产多少吨产品才
能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润=收入-
成本)【解析】每月生产x吨时的利润为
,
则 ,
令f′(x)=0,
解得x1=200,x2=-200(舍去).因为f(x)在［0，+∞)内只有一个极大值点x=200，
故它就是最大值点，且最大值为
=3 150 000(元).
所以每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润
为315万元.【补偿训练】(2017·沈阳高二检测)某商品每件成本
9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量将会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期将多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数.
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
【解题指南】(1)先求出比例系数，再依据题设求出多卖的商品数，再根据销售利润=销售收入-成本，列出函数关系式，即可得到答案.(2)根据f(x)的解析式，用导数求最值.【解析】(1)设商品降价x元，则多卖出的商品件数
为kx2，若记商品一个星期的获利为f(x)，则依题意
有f(x)＝(30-x-9)·(432＋kx2)＝(21-x)(432＋kx2)．
又由已知条件，24＝k×22，于是有k＝6.
所以f(x)＝-6x3＋126x2-432x＋9 072，x∈［0,30］．(2)根据(1)有f′(x)＝-18x2＋252x-432
＝-18(x-2)(x-12),
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：故当x＝12时，f(x)取到极大值，因为f(0)＝9 072，
f(12)＝11 664，
所以定价为30-12＝18(元)时能使一个星期的商品销
售利润最大．类型四 效率最高问题
【典例4】我们知道，汽油的消耗量w(单位：L)与汽车
的速度v(单位：km/h)之间有一定的关系，汽油的消耗
量w是汽车速度v的函数.通过大量的统计数据，并对数
据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，
汽油平均消耗率g(即每小时的汽油消耗量，单位：L/h)与汽车行驶的平均速度v(单位：km/h)之间有如图所示的函数关系g=f(v).且点(90，5)为直线y=kx与函数g=f(v)相切时的切点,那么汽车平均速度为多少时,汽油使用率最高，此时的每千米耗油量大约是多少L？【解题指南】研究汽油使用效率就是研究汽油消耗量
与汽车行驶路程的比值.如果用G表示每千米平均的汽
油消耗量，那么 ,其中，w表示汽油消耗量(单位：
L),s表示汽车行驶的路程(单位：km).从图中不能直接
解决汽油使用效率最高的问题.因此，我们首先需要将
问题转化为汽油平均消耗率g(即每小时的汽油耗量，单位：L/h)与汽车行驶的平均速度v(单位：km/h)之间的关系的问题.然后利用图象中的数据信息.解决汽油使用效率最高的问题.【解析】设G表示每千米平均的汽油消耗量，s表示
汽车行驶的路程(单位：km).因为 .
这样，问题就转化为求 的最小值.从图象上看，
表示经过原点与曲线上点的直线的斜率，进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小.在此切点
处速度约为90 km/h.
因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率
最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为
90 km/h，从数值上看，每千米的耗油量就是图中的切
线的斜率，即f′(90),约为 (L/km).【方法总结】效率最高问题的解题途径【巩固训练】
统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗
油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以
表示为 .已知甲、
乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶
时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【解析】当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行
驶了 小时，设耗油量为h(x)升，
依题意得
＝ ，
.令h′(x)＝0，得x＝80.
因为x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；
x∈(80,120)时，h′(x)>0，h(x)是增函数，
所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升).
因为h(x)在(0,120］上只有一个极小值，所以它是
最小值.答:汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.【补偿训练】如图，在直线y=0和y=a(a>0)之间表示
的是一条河流，河流的一侧河岸(x轴)是一条公路，
且公路随时随处都有公交车来往，家住A(0，a)的某
学生在位于公路上B(d,0)(d>0)处的学校就读.每天
早晨该学生都要从家出发，可以先乘船渡河到达公
路上某一点，再乘公交车去学校；或者直接乘船渡河到达公路上B(d,0)处的学校.已知船速为v0(v0>0),
车速为2v0.(水流速度忽略不计)(1)若d=2a,求该学生早晨上学时，从家出发到达学
校所用的最短时间.
(2)若 ,求该学生早晨上学时，从家出发到达学
校所用的最短时间.【解析】(1)设该学生从家出发先乘船渡河到达公路
上某一点P(x,0)(0≤x≤d),再乘公交车去学校，所
用的时间为t,则 .
令f′(x)=0得 ,
当 时，f′(x)<0;
当 时，f′(x)>0.所以当 时，所用的时间最短，最短时间
.
所以当d=2a时，该学生从家里出发到学校所用的
最短时间是 .(2)由(1)的讨论知，当 时，t=f(x)为 上的
减函数，所以当 时，即该学生直接乘船渡河到
达公路上学校所用时间最短，最短时间为
.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
(1)解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，要先找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再化归为常规问题，最后选择合适的数学方法求解.(2)用导数解决生活中优化问题的一般步骤：
①函数建模：细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x,把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y=f(x).②确定定义域：一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围.
③求最值：此处尽量使用导数法求出函数的最值.
④下结论：紧扣题目，给出圆满的答案.课件42张PPT。1.5 定积分的概念
1.5.1 曲边梯形的面积
1.5.2 汽车行驶的路程 主题1 求曲边梯形的面积
1.试列举几个目前为止能求面积的平面图形，并说明是什么方法？提示：如图三角形，正方形，梯形，平行四边形，不规则四边形，圆等都可利用公式求出面积.2.圆的面积如何推导的？
提示：可把圆通过分割的方法转化为三角形面积求解，如图，易知分割越细，所求三角形面积的和越接近圆的面积.3.在实际生活中，经常会遇见一些不规则的曲边围成的平面图形(如图蔬菜大棚的横截面)，这种图形的面积如何求呢？提示：可以对截面图形进行分割，分割越细所得小图形越接近矩形，然后对每个小“矩形”求面积，再求和.结论：
1.曲边梯形的含义
它有三条边是直线，其中两条互相平行，第三条与前两条互相垂直，第四条边是一条曲线的一段弧，它与任一条平行于它的邻边的直线至多只交于一点.2.求面积方法
将曲边梯形沿与曲边对应的直线边将其分割成无数个
小长方形条，然后通过求_____________________近似
代替曲边梯形的面积.所有长方形条面积之和【微思考】
利用“以直代曲”思想求曲边梯形的面积时，是否必须等分自变量的取值区间？
提示：不一定.等分的目的仅是为了便于计算.主题2 求汽车行驶的路程
1.比较求曲边梯形的面积是把曲边梯形分割成n个矩形求和，再取极限得到，求变速运动的汽车行驶的路程是如何处理的？
提示：把整个路程分割为n个时间段，在每一段上近似看作是匀速运动来求和，再取极限.2.求汽车行驶的路程与求曲边梯形的面积的思想方法和步骤相同吗？
提示：相同.结论：
变速直线运动的路程的求解方法以“_________”的方
法，把求变速直线运动的路程问题，化归为求_______
_____________问题.即将区间［a,b］等分成n个区间，
在每个小区间上，由于v(t)的变化很小，可以认为汽
车近似于做匀速直线运动，从而求得汽车在每个小区
间上行驶路程的近似值，再求和得s的近似值，最后让
n趋向无穷大就得到s的精确值.不变代变匀速直线运动的路程【微思考】
求汽车行驶的路程可以用求曲边梯形面积的方法和步骤，那变力做功能否用这种方法？
提示：可以，步骤相同.【预习自测】
1.下列函数在R上不是连续函数的是( )
A.y=x2 B.y=|x| C.y= D.y=
【解析】选D.对于函数y= ，当x=0时函数无意义.2.和式 (yi+1)可表示为( )
A.(y1+1)+(y5+1) B.y1+y2+y3+y4+y5+1
C.y1+y2+y3+y4+y5+5 D.(y1+1)(y2+1)…(y5+1)【解析】选C. (yi+1)=(y1+1)+(y2+1)+(y3+1)+
(y4+1)+(y5+1)=y1+y2+y3+y4+y5+5.3.在“近似代替”中，函数f(x)在区间［xi，xi+1］上的近似值等于( )
A.只能是左端点的函数值f(xi)
B.只能是右端点的函数值f(xi+1)
C.可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈［xi，xi+1］)
D.以上答案均不正确【解析】选C.由求曲边梯形面积的“近似代替”知，C正确.4.一辆汽车做变速直线运动，汽车的速度v(单位：m/s)
与时间t(单位：s)之间具有如下函数关系：v(t)＝
＋6t.求汽车在0≤t≤2这段时间内行驶的路程s时，将
行驶时间等分成n段，下列关于n的取值中，所得估计
值最精确的是( )
A.5 B.10 C.20 D.50【解析】选D.将行驶时间等分得越细，得到的估计值越精确.类型一 求曲边梯形的面积
【典例1】(1)由直线x=1，y=0，x=0和曲线y=x3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点函数值)是( )(2)(2017·惠州高二检测)求由抛物线y=2x2与直线x=0，
x=t(t>0)，y=0所围成的曲边梯形的面积时，将区间
［0，t］等分成n个小区间，则第i-1个区间为( )【解题指南】(1)利用四个矩形的面积近似代替.
(2)可先利用分割的方法求出第i个小区间再确定第i-1个小区间.【解析】(1)选D.
(2)选D.在［0，t］上等间隔插入(n-1)个分点，把区
间［0，t］等分成n个小区间，每个小区间的长度均
为 ，故第i-1个区间为 【延伸探究】
1.本例(1)中的曲边梯形的面积为 .【解析】将区间［0,1］等分成n个小区间后取每个小区间的右端点函数值所求得的和为
取极限得曲边梯形的面积为 2.本例(1)中，若取每个区间的左端点函数值，不经过计算，比较两个近似值的大小.【解析】因为函数y=x3在区间［0,1］上是增函数，故取每个区间的左端点函数值所求的和比取每个区间的右端点函数值所求的和小.
答案：【方法总结】求曲边梯形面积的三个注意点
(1)求解的数学思想是以直代曲和无限逼近的思想.
(2)求解过程有四步,即分割、近似代替、求和与取极限.
(3)求解的关键是近似代替.
提醒：分割越细，结果越准确.类型二 变速运动的路程
【典例2】汽车以v=v(t)(函数v=v(t)在(0,+∞)上为连续函数)在笔直的公路上行驶,在［0,2］内经过的路程为s,下列说法中正确的是 .①将［0，2］n等分,若以每个小区间左端点的速度近似代替时,求得的sn是s的不足近似值(sn＜s);
②将［0,2］n等分,若以每个小区间右端点的速度近似代替时,求得的sn是s的过剩近似值(sn＞s);③将［0,2］n等分,当n很大时,求出的sn就是s的准确值;
④s的准确值就是由直线t=0,t=2,v=0和曲线v=v(t)所围成的图形的面积.【解题指南】利用曲边梯形面积的求法去判断.
【解析】由曲边梯形面积的求法知只有当n无穷大时求出的矩形的面积和才是曲边梯形的面积，故结果与小区间上的取值无关，只有④正确，对于③当n很大时，并未点明有多大，应该是无穷大时Sn对应的极限值.
答案：④【方法总结】求变速直线运动路程的方法
求变速直线运动路程的问题,方法和步骤类似于求曲边梯形的面积,用“以直代曲”“无限逼近”的思想求解.求解过程为:分割、近似代替、求和、取极限.
应特别注意求变速直线运动的区间.【巩固训练】一辆汽车做变速直线运动，设汽车在时
刻t的速度v(t)= ，求汽车在t=1到t=2这段时间内
运动的路程s.【解析】(1)分割
把区间［1,2］等分成n个小区间
(i=1,2，…，n)，
每个区间的长度Δt= ，每个时间段行驶的路程记为
Δsi(i=1,2，…，n).故路程和sn= Δsi.(2)近似代替
当n很大时，即Δt很小时，在区间 上，可
以认为v(t)= 的值变化很小，近似地等于一个常
数，不妨认为等于 局部小范围内“以
直代曲”，则有(3)求和(4)取极限【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
(1)“以直代曲”求曲边梯形面积的方法.
(2)“以不变代变”求变速直线运动的路程的方法.课件66张PPT。1.5.3
定积分的概念主题1 定积分的概念
1.求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程的过程有什么相似点?提示：曲边梯形的面积、变速直线运动的路程是2个实际意义完全不同的问题,但是它们的解决过程是相似的,都是通过分割自变量的区间，得到过剩估计值和不足估计值,分割得越细,估计值就越接近精确值;当分割成的小区间的长度趋于0时,过剩估计值和不足估计值都趋于要求的值.2.求曲边梯形面积的步骤有哪些？
提示：分四个步骤，分别为分割，近似代替，求和，取极限.3.曲边梯形的面积和变速直线运动的路程问题能否归结为一个特定形式和的极限的形式？提示：能.曲边梯形面积S=
变速运动的路程s= 结论：
1.定积分的定义
如果函数f(x)在区间［a,b］上连续,用分点a=x0每个小区间［xi-1,xi］上___________(i=1,2,3,…,n),
作和式 当n→∞时，上述和式无
限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间［a,b］
上的_______.等分成任取一点ξi定积分2.定积分的特征
其中：积分号积分上限积分下限被积函数【微思考】
f(x)dx和 f(t)dt一样吗？
提示：一样.定积分的值只与被积函数f(x)以及积分区间［a,b］有关，与积分变量写成什么字母无关.主题2 定积分的几何意义与性质
1.如果在区间［a,b］上，函数f(x)连续且恒有f(x)
≥0，则定积分 f(x)dx与由曲线y=f(x)，直线x=a,
x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积S有什么关系？提示：相等.2.如果在区间［a,b］上，f(x)连续且恒有函数f(x) ≤0，则定积分 f(x)dx与由曲线y=f(x),直线x=a,
x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积S有什么关系？
提示：互为相反数.结论：
1.几何意义：由连续曲线y=f(x)(f(x)≥0)，直线x=a，
x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为 .
2.物理意义：设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时
间区间［a, b］内运动的距离s为___________. v(t)dt3.定积分的性质【微思考】
定积分的几何意义是曲边梯形的面积，那么积分值和面积值都一样吗？
提示：不一定.面积非负而积分的结果可以为负.【预习自测】
1.下列等式成立的是( )【解析】选C.由定积分的几何意义2.如果某质点以初速度v(0)=1，加速度a(t)=6t做直线运动，则质点在t=2 s时的瞬时速度为( )
A.5 B.7 C.9 D.13【解析】选D.v(2)-v(0)= a(t)dt= 6tdt.如图由定
积分的几何意义可得 6tdt= ×2×12=12.
所以v(2)=v(0)+12=13.3.直线y=0，x=1，x=2，曲线y= 围成的曲边梯形的面积用定积分表示为 .【解析】由直线y=0，x=1，x=2，曲线y= 围成曲边
梯形可知，积分区间为［1，2］，被积函数为y= ，
所以曲边梯形的面积用定积分表示为
答案： 4.若 f(x)dx=6,则 = .
【解析】由定积分的定义 f(x)dx=
可得.
答案：65.设f(x)是连续函数,若 f(x)dx=1, f(x)dx=-1,则
f(x)dx= .【解析】由定积分性质, f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx.
因为 f(x)dx=1, f(x)dx=-1,
所以 f(x)dx= f(x)dx- f(x)dx=-1-1=-2.
答案:-2类型一 定积分的定义及其应用
【典例1】(1)下列结论中成立的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3(2)利用定积分计算 (1-x2)dx的值.
【解题指南】(1)利用定积分的概念判断.
(2)在求定积分的四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限中，关键环节是求和. 【解析】(1)选C.①中 故①不成立.由定积分的定义知，②、③成立.(2)令f(x)=1-x2,①分割：在区间［0,1］上等间隔
地插入n-1个分点，将区间［0,1］等分成n个小区间
(i=1,2,…,n)，每个小区间的长度为②近似代替、作和
取ξi= (i=1,2,…,n)，则
③取极限【方法总结】 f(x)dx, |f(x)|dx,| f(x)dx|
几何意义的区别
由于被积函数f(x)的值在区间［a,b］上可正可负,也就是说它的图象可以在x轴上方,也可以在x轴下方,还可以在x轴上下两侧,所以：(1) f(x)dx表示x轴、曲线f(x)及直线x=a,x=b之间各部分面积的代数和.
(2) |f(x)|dx表示在区间［a,b］上以|f(x)|的图象为曲边的曲边梯形的面积.(3)| f(x)dx|则是 f(x)dx的绝对值. 【拓展】(1)线性性质2的推广：
［f1(x)±f2(x)±…±fm(x)］dx
= f1(x)dx± f2(x)dx±…± fm(x)dx.
(2)区间的可加性的推广:
f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx+…+ f(x)dx.【巩固训练】利用定积分定义计算： (1+x)dx.【解析】被积函数f(x)=1+x在区间［1,2］上连续，故
可积.
将区间［1,2］分成n等份，每个区间的长度为Δx= ，
在［xi-1,xi］= 上取点ξi=xi-1=1+ (i=1,2,…,n).于是f(ξi)=f(xi-1)= 从而得到【补偿训练】利用定积分的定义计算 (x-1)dx.
【解析】令f(x)=x-1，
①分割，将区间［2，3］等分为n个区间 (i=1,2,…,n).每个小区间的长度为Δx= .②近似代替、作和,取ξi= (i=1,2,…,n)，则
③取极限类型二 定积分几何意义的应用
【典例2】(1)(2017·衡阳高二检测)计算 (2x-4)dx =________.
(2)用图象表示下列定积分：① log2xdx；② xdx.【解题指南】(1)利用定积分的几何意义计算.
(2)从定积分的几何意义入手，①画出函数y=log2x与直线x=1，x=2的图象及直线y=x，x=2，x=6的图象.【解析】(1)如图，A(0，-4)，B(6,8)，
M(2,0)，S△AOM= ×2×4=4，
S△MBC= ×4×8=16，
所以 (2x-4)dx=16-4=12.
答案：12(2)① log2xdx表示曲线y=log2x，直线x=1，x=2及x轴围成的平面图形的面积，如图中阴影部分所示.② xdx表示直线y=x，x=2，x=6及x轴围成的直角梯形的面积，如图中阴影部分所示. 【延伸探究】
1.本例(1)中，被积函数改为f(x)=2x，求 2xdx.【解析】所求定积分的几何意义是直线f(x)=2x，y=0，x=6围成的直角三角形的面积，
故 2xdx=36.2.在延伸探究1的基础上，积分区间改为［-6，6］，
求 2xdx.
【解析】画出图形可以看出两部分关于原点对称，
所以 2xdx=0.【方法总结】用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤
(1)准确画出各曲线围成的平面区域.
(2)把平面区域分割成容易表示的几部分，同时注意x轴下方有没有区域.
(3)解曲线组成的方程组确定积分的上、下限.
(4)根据积分的性质写出结果.【补偿训练】利用定积分的几何意义求：【解析】(1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2
的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半
圆的面积，所以有 = =2π.(2)因为被积函数为y= (0≤x≤1),其表示的曲线
为以原点为圆心，1为半径的四分之一的圆，由定积分
的几何意义可知，所求的定积分即为该四分之一圆的
面积,
所以 =类型三 定积分性质的应用
【典例3】(1)化简下列各式，并用图形表示.
① x2dx+ x2dx;
② (1-x)dx+ (x-1)dx.
(2)利用定积分表示下列曲线围成的平面区域的面积.
y=x-2,x=y2.【解题指南】(1)画出平面图形，根据图形确定积分的上、下限及被积函数.
(2)用定积分计算平面区域的面积，首先要确定已知曲线所围成的区域，由区域的形状选择积分函数，再确定积分上、下限.【解析】(1)①原式= x2dx,如图(1).
② (1-x)dx+ (x-1)dx= ｜1-x｜dx.如图(2).(2)曲线所围成的平面区域如图所示，设此面积为S，则S=
A1由y= ,y=- 和x=1围成；
A2由y= ,y=x-2和x=1围成.
所以 = ［ -(- )］dx,
所以S= 2 dx+ ( -x+2)dx. 【方法总结】利用定积分的性质求定积分的策略
(1)利用性质可把定积分分成几个简单的积分的组合,对于每一个积分都可以利用定积分的几何意义求出,从而得到所求定积分的值.(2)求分段函数的定积分，可先把每一段的定积分求出后再相加.
特别提醒：要注意合理利用函数的奇偶性、对称性求解.
如若y=f(x)为奇函数，则 f(x)dx=0. 【巩固训练】若 f(x)dx=1， g(x)dx=-3，则
［2f(x)+g(x)］dx=( )
A.2 B.-3 C.-1 D.4
【解析】选C. ［2f(x)+g(x)］dx=2 f(x)dx+
g(x)dx=2×1-3=-1.【补偿训练】是否存在常数a,使得 x5dx的值为0？
若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.【解析】 x5dx表示直线x=-1,x=a,y=0和曲线y=x5所
围成的各部分面积的代数和，且在x轴上方的面积取
正号，在x轴下方的面积取负号.
因为f(x)=x5为奇函数，
所以
所以要使 x5dx=0成立，则a=1.
故存在a=1,使 x5dx=0.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
(1)数形结合法：利用定积分的几何意义求定积分的值.
(2)定义法：利用定积分的定义求函数在某一区间上的积分.注意事项：对定积分概念及几何意义的三点说明
①积分变量：定积分的值与积分变量用什么字母表示
无关，即有 f(x)dx= f(t)dt= f(u)du.
②结果取值：定积分 f(x)dx是一个常数，即Sn无限
趋近的常数S(n→∞时)记为 f(x)dx,而不是Sn.③与图形关系：当被积函数的图象在x轴上方时,定积分表示的是相应曲边图形的面积.当被积函数的图象在x轴下方时，定积分等于曲边图形面积的相反数.课件55张PPT。1.6
微积分基本定理主题 微积分基本定理
一物体沿直线做变速运动，在时刻t时物体所在位置为s(t),速度为v(t)(v(t)≥0)，则物体在时间间隔［T1,T2］内经过的路程为s.据此回答下列问题
(1)s(t)与v(t)的关系是什么？
提示：s′(t)=v(t).(2)s用s(t)如何表示？
提示：s=s(T2)-s(T1).
(3)s用v(t)如何表示？
提示：由定积分的概念，可以表示为 v(t)dt. 结论：
1.函数的原函数
如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数,即f(x)=
_______,通常称F(x)是f(x)的一个_______.F′(x)原函数2.微积分基本定理
(1)内容：如果f(x)是区间［a,b］上的_____函数，并
且F′(x)=f(x)，那么 f(x)dx=__________.
这个结论叫做微积分基本定理，又叫做_____________
_______.连续F(b)-F(a)牛顿—莱布尼茨公式(2)表示：为了方便，常常把F(b)-F(a)记成_______，
即 f(x)dx=_______=__________. F(b)-F(a)【微思考】
1.如果 f(x)dx= g(x)dx,则一定有f(x)=g(x)成立
吗？
提示：不一定.例如f(x)=2x,g(x)=3x2满足 f(x)dx=
g(x)dx=1，但f(x)≠g(x).2.微积分基本定理中,满足F′(x)=f(x)的函数F(x)唯一吗?
提示：不唯一.比如f(x)=2x时F(x)=x2+c,c为任意常数.3.利用微积分基本定理求定积分的关键是什么？
提示：找到满足F′(x)=f(x)的函数F(x).【预习自测】
1. f′(2x)dx等于( )
A.f(b)-f(a) B.f(2b)-f(2a)
C. ［f(2b)-f(2a)］ D.2［f(2b)-f(2a)］【解析】选C. f′(2x)dx= = ［f(2b)-f(2a)］.2. 2xdx等于( )
A.6 B.5 C.4 D.3
【解析】选D. 3.已知自由下落的物体的运动速度v=gt(g为常数)，则当t∈［1,2］时，物体下落的距离为( )
A. g B.g C. g D.2g
【解析】选C.物体下落的距离4.(2017·双鸭山校级期中)已知 (3x2+k)dx=16，则
k=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选D.由微积分基本定理可得， (3x2+k)dx
=(x3+kx) =23+2k=16.所以k=4.类型一 简单函数的定积分
【典例1】(1)若s1= x2dx，s2= dx, s3= exdx,
则s1,s2,s3的大小关系为( )
A.s1＜s2＜s3 B.s2＜s1＜s3
C.s2＜s3＜s1 D.s3＜s2＜s1(2)求下列定积分的值：
① (2x+3)dx；② (1-t3)dt；
③ (t+2)dx； ④ (cos x+ex)dx. 【解题指南】(1)分别求出三个定积分值再比较.
(2)根据微积分基本定理，关键求相应被积函数的一个原函数.【解析】(1)选B.因为( x3)′=x2,(ln x)′= , (ex)′=ex,
所以s2(1)找原函数：利用微积分基本定理计算定积分
f(x)dx的关键是找到使F′(x)=f(x)成立的F(x)，通常是逆向考虑基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，求出F(x).(2)检验：求导数运算与求原函数运算互为逆运算.为避免出错，在求出F(x)后，可利用F′(x)=f(x)对F(x)进行求导验证.【拓展】奇函数、偶函数的定积分的性质
(1)若f(x)是偶函数时， f(x)dx=2 f(x)dx.
(2)若f(x)是奇函数时， f(x)dx=0.【巩固训练】计算下列定积分.
(1) (1+x+x2)dx.(2) (3x2-2x+5)dx.
(3) (cos x-sin x)dx.(4) 【解析】(1) 类型二 分段函数的定积分
【典例2】(1)(2017·德州高二检测)计算： (|x+1|+
|1-x|)dx=________.
(2)求函数f(x)= 在区间［0，3］上的定积分.【解题指南】(1)把被积函数化为分段函数，利用定积分的性质转化为多个定积分的和.
(2)分段函数在区间［a,b］上的积分可分成几段积分的和的形式，标准是使每一段上的函数表达式确定.【解析】(1)由于y=|x+1|+|1-x|=
所以原式=
答案：20(2)f(x)在［0，3］上的积分可按照f(x)的分段标准，分成［0,1］,［1,2］,［2,3］三段的积分的和.
由积分性质知【延伸探究】
1.本例(1)中积分区间改为［0,3］,其他条件不变，求定积分的值.【解析】y=|x+1|+|1-x|=
答案:102.本例(1)中被积函数改为f(x)=|x+1|-|x-1|，其他条件不变，求定积分的值.【解析】因为f(x)=|x+1|-|x-1|=
答案：0【方法总结】求分段函数定积分的步骤
(1)根据分段函数和定积分的性质，把所求定积分写成若干个定积分的和.
(2)分别应用微积分基本定理求出各个定积分的值.
(3)把各个值相加得到结果.【补偿训练】求曲线y=｜3-2x｜与坐标轴及直线x=1
和x=2所围成的图形面积.【解析】设围成图形面积为S，
S= ｜3-2x｜dx
= ｜3-2x｜dx+ ｜3-2x｜dx
= (3-2x)dx+ (2x-3)dx
=(3x-x2) +(x2-3x) = .类型三 定积分的综合问题
【典例3】(1)若f(x)=x2+2 f(x)dx,则 f(x)dx=( )
A.-1 B.- C. D.1
(2)设函数f(x)=ax2+c(a≠0)，若 f(x)dx=f(x0)，0≤x0≤1,则x0的值为 .【解题指南】(1)用m表示 f(x)dx，则被积函数f(x)可用m表示，从而可求解.
(2)用方程思想加以解决.【解析】(1)选B.设 f(x)dx=m，
则f(x)=x2+2m,
m= f(x)dx= (x2+2m)dx答案：【方法总结】求定积分的常用方法
(1)定积分的定义法——分割、近似代替、求和、求极限.
(2)利用定积分的几何意义.
(3)微积分基本定理——通过F′(x)=f(x),求F(x)进而求解.【巩固训练】
1.(2017·自贡高二检测)设α= dx，tan β=3，
则tan(α+β)= .【解析】因为α= dx表示y= 在［0，1］
的积分，即圆面积的 ，所以α= π，所以tan(α+β)
=
答案：-22.已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，且f(-1)=2，f′(0)=0， f(x)dx=-2，求a，b，c的值.【解析】由f(-1)=2，得a-b+c=2，又f′(x)=2ax+b，
所以f′(0)=b=0，而 f(x)dx= (ax2+bx+c)dx
=
所以 【补偿训练】一物体做变速直线运动，其v-t曲线如图
所示，则该物体在 ～6 s间的运动路程为 m.【解析】由题图可知，v(t)=
由变速直线运动的路程公式，可得所以物体在 ～6 s间的运动路程是 m.
答案：【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
把求定积分的问题转化成求原函数的问题.课件47张PPT。1.7 定积分的简单应用
1.7.1 定积分在几何中的应用类型一 不分割型图形面积的求解
【典例1】(1)用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是( )
(2)计算由曲线y=x2与y2=x所围成图形的面积.
【解题指南】(1)把阴影分成(a,b)和(b,c)两部分求解.
(2)为了确定出积分的上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标.【解析】(1)选D.因为x∈［a,b］时，f(x)＜0,x∈［b,c］时，f(x)＞0，
所以S=(2)作出草图，所求面积为阴影部分的面积.
解方程组
得到交点横坐标为x=0及x=1.
所以S=S曲边梯形OABC -S曲边梯形OABD【方法总结】1.利用定积分求平面图形面积的步骤
(1)根据题意画出图形．
(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．
(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和．
(4)计算定积分，写出答案．2.不分割型图形的面积计算
(1)由一条曲线y=f(x)(其中f(x)≥0)与直线x=a,x=b(a
＜b)以及x轴所围成的曲边梯形的面积：S= f(x)dx
(如图(1)).(2)由一条曲线y=f(x)(其中f(x)≤0)与直线x=a,x=b(a＜b)以及x轴所围成的曲边梯形的面积：
(如图(2)).(3)由两条曲线y=f(x),y=g(x)(f(x)≥g(x))与直线x=a,x=b(a＜b)所围成的曲边梯形的面积：
(如图(3))注意：(1)(2)两种情况可以统一为(3)只需g(x)=0或f(x)=0.
【巩固训练】已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，求它与x轴所围成的图形的面积.【解析】由题干图知，f(x)＝1－x2，所以
【补偿训练】计算(y－1)2＝x＋1及y＝x所围成的平
面图形的面积．【解析】将已知条件改写为x＝y以及x＝(y－1)2－1，由图知所求面积为阴影部分的面积．解方程组 得交点的纵坐标为
y1＝0及y2＝3，
因此，阴影部分面积 类型二 分割型图形面积的求法
【典例2】(1)如图所示，正弦曲线y=sin x，余弦曲线
y=cos x与两直线x=0，x=π所围成的阴影部分的面积
为( )
A.1 B.
C.2 D.2 (2)(2017·乐安高二检测)求由抛物线y=-x2+4x-3及其在点M(0，-3)和N(3，0)处的两条切线所围成的图形的面积.【解题指南】(1)一般情况下，定积分 f(x)dx的几何
意义是介于x轴、曲线y=f(x)以及直线x=a，x=b之间的
曲边梯形面积的代数和，其中在x轴上方的面积等于该
区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分
值的相反数，所以在用定积分求曲边梯形面积时，一
定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数.若是两个函数之间的面积，直接求两函数差的定积分即可(上面函数为被减数,下面函数为减数).
(2)求出两切线的交点，把待求图形的面积分为两部分来求.【解析】(1)选D.由图形以及定积分的意义，得到所求阴影部分面积等价于 (2)因为y′=-2x+4,
所以过点(0，-3)的切线斜率为4，过点(3，0)的切线
斜率为-2，切线方程分别为y=4x-3，y=-2x+6,
由 得两切线交点为( ,3)，
则所求图形的面积为S= ［(4x-3)-(-x2+4x-3)］dx+
［(-2x+6)-(-x2+4x-3)］dx= .【延伸探究】
1.本例(2)中求由抛物线y=-x2+4x-3与x轴围成的图形的面积.
【解析】由y=-x2+4x-3=0得x=1或x=3，
所以所求的图形的面积为 2.本例(2)中连接MN,则直线MN与两条切线围成的三角形被抛物线y=-x2+4x-3分成的两部分的比为多少？【解析】由本例(2)知，上半部分的面积为 ，可求得
直线MN的方程为y=x-3，所以抛物线与直线间的面积为
所以上下两部分的面积比为 【方法总结】两条曲线围成的平面图形的面积的解题思路和步骤
(1)思路：在求平面图形的面积时,如果平面图形的曲边部分由两条不同的曲线构成,则应分两段分别求面积，然后相加,这时在相应的两段积分区间上分别用不同的被积函数.(2)步骤:
①作出示意图(弄清相对位置关系);
②求交点坐标，确定图形范围(积分的上限、下限)；
③写出平面图形的定积分表达式；
④运用微积分基本定理计算定积分，求出面积.【补偿训练】求抛物线y2=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积.【解析】由 得交点为(2，2)，(8，-4)
所以类型三 定积分在几何中的综合应用
【典例3】(1)(2015·福建高考)如图，
点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(2，
4)，函数f(x)=x2，若在矩形ABCD内随
机取一点，则此点取自阴影部分的概
率等于___________.(2)(2017·黄冈高二检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+ c，直线l1：x=2，直线l2：y=-t2+8t(其中0≤t≤2，t为常数)，若直线l1，l2，y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示.
①求a，b，c的值;
②求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式.【解题指南】(1)先求出矩形的面积，再用定积分求出阴影区域的面积，最后求出此点取自阴影部分的概率.
(2)①根据二次函数过点(0，0)，(8，0)并且最大值为16，列方程组解a,b,c;②根据题意确定被积函数；并求出交点坐标；再求出平面图形的面积.【解析】(1) S矩形ABCD =1×4=4,所以此
点取自阴影区域内的概率
答案： (2)①由图形可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且f(x)的最大值为16，则
②由 得x2-8x-t(t-8)=0，
所以x1=t，x2=8-t，
因为0≤t≤2，
所以直线l2与f(x)的图象左边交点坐标为(t，-t2+8t),由定积分的几何意义知：
【方法总结】解决与曲边图形有关的综合问题的基本思路
解决与曲边图形有关的综合问题,关键是要正确分析题意,先分清是求曲边图形面积,还是利用曲边图形面积解决其他问题,再正确作出图形,确定积分区间和被积函数,然后根据条件,建立等量关系或方程,进行求解.【巩固训练】在曲线y=x2(x≥0)上的某一点A处作一切
线，使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为 .试
求：切点A的坐标和过切点A的切线方程.【解析】如图所示，设切点A(x0,y0),由y′=2x得过A点的切线方程为y-y0=2x0(x-x0),
即y=2x0x-x02.
令y=0，得x= ,即C( ,0).
设由曲线和过A点的切线及x轴所围成
图形的面积为S，则S=S曲边△AOB -S△ABC.S曲边△AOB=
S△ABC =
即 所以x0=1.
从而切点A为(1,1)，切线方程为y=2x-1.【补偿训练】(2017·西安高二检测)如图所示，直线
y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值.【解析】抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标为x1=0，x2=1，
所以，抛物线与x轴所围图形的面积
又抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为
x3=0，x4=1-k，所以，
又知S= ，所以(1-k)3= ，
于是 【课堂小结】
1.知识总结
2.方法总结
求由两条曲线围成的平面图形的面积的步骤：
(1)画图形.
(2)确定图形的范围，求出交点的坐标，定出积分上、下限.(3)确定被积函数.
(4)写出平面图形面积的定积分表达式.
(5)运用微积分基本公式计算定积分.课件30张PPT。1.7.2
定积分在物理中的应用类型一 求变速直线运动的路程
【典例1】(1)物体A的运动速度v与时间t之间的关系为v=2t-1(v的单位是m/s，t的单位是s)，物体B的运动速度v与时间t之间的关系为v=1+8t，两个物体在相距为405 m的同一直线上同时相向运动，则它们相遇时，A物体的运动路程为___________.(2)(2017·漳州高二检测)有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)=8t-2t2(速度的正方向与x轴正方向一致).求：点P从原点出发，当t=6时，点P离开原点的路程和位移.【解题指南】(1)本题是一个相遇问题，两个物体运动的总路程是知道的，我们只需要对时间t进行积分，相加列方程求解出时间，即可求出A物体的运动路程.【解析】(1)依题意 (2t-1)dt+ (1+8t)dt=405，
即(t2-t) +(t+4t2) =5t2=405，
解得t=9，
所以A物体的运动路程为(t2-t) =72(m).
答案:72 m(2)由v(t)=8t-2t2≥0，得0≤t≤4，
即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，
当t>4时，P点向x轴负方向运动.
故t=6时，点P离开原点的路程为
当t=6时，点P的位移为【延伸探究】
1.在本例(2)题设条件不变的情况下，求P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值.【解析】依题意 (8t-2t2)dt=0，
即4t2- t3=0，
解得t=0或t=6，
t=0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t=6是所求的值.2.若将本例(2)中条件“v(t)=8t-2t2”改为“v(t)=4-t2”其他条件不变，结果如何？【解析】由v(t)=4-t2≥0,得0≤t≤2,
当0≤t≤2时，P点向x轴正方向运动,
当t≥2时,点P向x轴负方向运动,
当t=6时,点P离开原点的路程为
当t=6时,点P的位移为 【方法总结】变速直线运动的路程或位移的求法步骤
(1)确定所求时间段上的速度函数.
(2)解不等式v(t)>0, v(t)<0确定积分区间.
(3)确定所求的是路程还是位移.
(4)用定积分表示相应的路程或位移.
(5)通过定积分的运算得出结论.【补偿训练】一辆做变速直线运动的汽车开始以速度
v=t2-4t+3(m/s)运动，求：
(1)在t=4 s时的位置.
(2)在t=4 s时运动的路程.【解析】(1)在t=4 s时该点的位移为
即在t=4 s时该点距出发点 m.(2)因为v(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3),
所以在区间［0,1］及［3,4］上，v(t)≥0，在区间
［1,3］上，v(t)≤0,
所以在t=4 s时的路程为类型二 求变力做功
【典例2】(1)在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推到点b处，计算在移动过程中，气体压力所做的功.(2)一物体以速度v(t)=2t2(m/s)做直线运动,媒质的阻力F(N)与速度v(m/s)的关系为F=0.7v2,试求在时刻t=0(s)到t=2(s)这段时间内阻力做的功.【解题指南】(1)力F对物体所做的功W=F·s，求出变力表达式，再进行计算.
(2)先计算媒质的阻力，再利用积分的物理意义求出在时刻t=0(s)到t=2(s)这段时间内阻力做的功.【解析】(1)由物理学知识易得，压强p与体积V的乘积
是常数k，即pV=k.
因为V=xS(x指活塞与底的距离)，
所以
所以作用在活塞上的力
所以所做的功(2)媒质的阻力为F=0.7v2=2.8t4，
取一小段时间［t,t+Δt］，
这一小段时间内阻力做的功为ΔW=FvΔt，
所以在时刻t=0(s)到t=2(s)这段时间内阻力做的功为
答:在时刻t=0(s)到t=2(s)这段时间内阻力做的功为102.4 J.
【方法总结】求变力做功的方法
(1)求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力F的表达式.
(2)由功的物理意义知，物体在变力F(x)的作用下，沿力F(x)的方向做直线运动，使物体从x=a移动到x=b(a媒质阻力Fzu=kv=2kbt，其中k为比例常数，k>0．
当x=0时，t=0；当x=a时，t=t1=
又dx=vdt，故阻力所做的功为
【补偿训练】在原点O有一个带电量为+q的电荷，它所产生的电场对周围的电荷有作用力，现有一个单位正电荷从距O点a处沿着射线方向移至距O点为b(a＜b)的位置，求电场力做的功.【解析】取电荷移动的射线方向为x轴的正方向，那么
电场力为F=k· (k为常数)这是一个变力，在［x,
x+Δx］上，显然，W= ·Δx,
所以【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
(1)做变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度
函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间［a,b］上的定积
分，即
(2)一物体在恒力F的作用下做直线运动.如果物体沿着
与F相同的方向移动s m，则力F所做的功为：W=F·s.课件2张PPT。阶段复习课
第一章
