课件57张PPT。第三章 数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念主题1 复数的概念
1.方程x2=1有解吗?解是什么?方程x2+1=0在实数范围内有解吗?
提示:方程x2=1有解,解是x=±1,方程x2+1=0在实数范围内没有解.2.若有一个新数i满足i2=-1,试想方程x2+1=0有解吗?
提示:有解(x=±i),但不在实数范围内.
3.添加i之后,i与原来的实数之间进行加法乘法运算的时候,会产生怎样的新数?
提示:若i与实数b相乘再与实数a相加则可得到形式为a+bi的新数.结论:
1.复数的定义
形如_____________的数叫做复数,其中i叫做___
_______,满足i2=___,全体复数所成的集合C叫做
_______.a+bi(a,b∈R)虚数单位-1复数集2.复数的表示
复数通常用字母z表示,即z=_____________,这一表
示形式叫做复数的_________,a与b分别叫做复数z的
_____与_____.a+bi(a,b∈R)代数形式实部虚部【微思考】
1.两个复数一定能比较大小吗?
提示:不能.
2.复数a+bi的实部是a,虚部是b吗?
提示:只有a,b都是实数时才是.主题2 复数的相等和分类
1.复数z=a+bi(a,b∈R)中实部与虚部分别为零时表示什么数?
提示:虚部b=0时,z=a是一个实数;
虚部b≠0时,z=a+bi是一个虚数;
虚部b≠0,实部a=0时,z=bi是纯虚数.2.实数集R与复数集C有什么关系?
提示:用文字语言描述:实数集R是复数集C的真子集,即R ? C.
用图形语言描述: 结论:
1.复数相等
设a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di?_________.a=c且b=d2.复数的分类【微思考】
怎样判断复数在什么条件下是实数、虚数、纯虚数?
提示:将复数化成z=a+bi(a,b∈R)的形式,再按分类判断.【预习自测】
1.下列命题是假命题的是 ( )
A.-i不是负数
B. i不是无理数
C.如果a是实数,那么ai是虚数
D. 不是分数【解析】选C.若a=0则ai=0是实数.2.复数-3i的虚部是 ( )
A.0 B.-3 C.i D.-3i
【解析】选B.-3i=0+(-3)i,对应a+bi(a,b∈R)的形式,实部a=0,虚部b=-3.3.若x,y∈R,z=x+yi是虚数,则有 ( )
A.x=0,y∈R B.x≠0,y∈R
C.x∈R,y=0 D.x∈R,y≠0
【解析】选D.z=x+yi是虚数,只需y≠0即可.4.设i为虚数单位,若关于x的方程
x2-(2+i)x+1+mi=0(m∈R)有一实根为n,则m=________.【解析】关于x的方程x2-(2+i)x+1+mi=0(m∈R)有一
实根为n,可得n2-(2+i)n+1+mi=0.
所以
所以m=n=1.
答案:1类型一 复数的概念
【典例1】(1)(2017·成都高二检测)已知复数z=(a-1)-(2-b)i的实部和虚部分别是2和1,则实数a,b的值分别是________.(2)已知log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,则实数x的取值集合为________.【解题指南】(1)根据实部、虚部的值列方程求解即可.
(2)由复数的概念知任意两个虚数是不能比较大小的,只有两个实数才能比较大小,因此一经出现与复数有关的不等式,不等式的两边的数必定是实数.本题中不等式右边是实数1,因此左边必定为实数,即log2(x2+2x+1)=0,从而不等式为log2(x2-3x-2)>1.【解析】(1)由题意得:a-1=2,-(2-b)=1,所以a=3,b=3.
答案:3,3
(2)由题意 解得x=-2,所以实数x的取
值集合为{-2}.
答案:{-2}【方法总结】判断与复数有关的命题是否正确的策略
(1)复数的代数形式:
若z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b.(2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分.
(3)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可,所以解答这类题时,可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答.【巩固训练】判断下列命题的真假.
(1)复数a+bi不是实数.
(2)若复数z=3+bi>0(b∈R),则b=0.【解析】(1)假命题,因为当a∈R且b=0时,a+bi是实数.
(2)真命题,只有实数才可以比较大小,既然有3+bi>0,则说明z=3+bi为实数,故b=0.【补偿训练】设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是 “复数a-bi为纯虚数”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件【解析】选B.若复数a-bi为纯虚数,则a=0且b≠0,故ab=0.而由ab=0不一定能得到复数a-bi是纯虚数,故“ab=0”是“复数a-bi为纯虚数”的必要不充分条件.类型二 复数的分类
【典例2】设
(1)若z是虚数,求m的取值范围.
(2)若z是纯虚数,求m的值.【解题指南】(1)先根据虚数的概念,由z是虚数得其虚部不为0;再根据对数的性质及z是虚数得到m的不等式组,解不等式组求出m的范围.
(2)因z是纯虚数,由其虚部不为0,实部为0得到m的不等式组,并求出m的值.【解析】(1)因为z是虚数,故其虚部log2(5-m)≠0,
m应满足的条件是 解得1
log2(5-m)≠0,
m应满足的条件是 解得m=2.【延伸探究】
本例条件不变,当m为何值时,z为实数?
【解析】要使z为实数,故其虚部log2(5-m)=0,m应满足
的条件是 解得m=4.【方法总结】
1.解决复数分类问题的方法与步骤
(1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
(3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R),①z为实数?b=0;②z为虚数?b≠0;③z为纯虚数?a=0且b≠0.2.复数分类的应用
(1)参数自身:判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要保证参数值使表达式有意义,其次对参数值的取舍,是取“并”还是“交”,非常关键,解答后进行验算是很必要的.(2)整体与局部:对于复数z=a+bi(a,b∈R),既要从整体的角度去认识它,把复数z看成一个整体,又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它.这是解复数问题的重要思路之一.【巩固训练】实数k为何值时,复数z=(1+i)k2-
(3+5i)k-2(2+3i)分别是(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.(4)零.【解析】由z=(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i.
(1)当k2-5k-6=0时,z∈R,即k=6或k=-1.
(2)当k2-5k-6≠0时,z是虚数,即k≠6且k≠-1.(3)当 时，z是纯虚数,解得k=4.
(4)当 时，z=0,解得k=-1.类型三 复数的相等
【典例3】(1)设复数z1=(x-y)+(x+3)i,z2=(3x+2y)-yi,若z1=z2,实数x=________,y=______.
(2)已知关于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有实数根,求实数m的值及方程的实数根.【解题指南】(1)根据实部与实部相等,虚部与虚部相等,列方程组求解.
(2)设出方程的实数解,代入原式整理为a+bi=0(a,b∈R)的形式解决.【解析】(1)由复数相等的充要条件得
解得
答案:-9 6(2)设a是原方程的实数根,
则a2+(1-2i)a+(3m-i)=0,
即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0+0i,
所以a2+a+3m=0且2a+1=0,所以a=- 且 +3m=0,
所以m= .
所以m= ,方程的实数根为x=- .【延伸探究】
1.若将本例(2)中的方程改为:x2+mx+2xi=-1-mi如何求解?【解析】设方程的实数根为x0,代入方程,由复数相等
的定义,得
解得 或
因此,当m=-2时,原方程的实数根为x=1,
当m=2时,原方程的实数根为x=-1.2.若将本例(2)中的方程改为3x2- x-1=(10-x-2x2)i,
如何求解?【解析】设方程的实数根为x0,则原方程可变为
- x0-1=(10-x0-2 )i,由复数相等的定义,得:
解得 或
因此,当m=11时,原方程的实数根为x=2;
当m=- 时,原方程的实数根为x=- .【方法总结】复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组求解.
(2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现.(3)如果两个复数都是实数,可以比较大小,否则是不能比较大小的.【补偿训练】1.实数x,y满足(1+i)x+(1-i)y=2,则xy的值是 ( )
A.1 B.2 C.-2 D.-1【解析】选A.若实数x,y满足式子(1+i)x+(1-i)y=2,
则式子里的虚部为0,所以方程组
所以x=y=1,所以xy=1.2.已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x,y∈R,i为虚数单位.求实数x,y的值.【解析】根据复数相等的充要条件,
由(2x-1)+i=y-(3-y)i,
得 解得
即x= ,y=4.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
(1)转化法,非标准的复数形式化为标准代数形式.
(2)方程思想,利用复数相等的意义,列方程(组)解决问题.课件59张PPT。3.1.2
复数的几何意义主题1 复数的几何意义
1.实数可以与数轴上的点一一对应,类比实数,复数z=a+bi(a,b∈R)与有序实数对(a,b)有怎样的对应关系?提示:复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R),因为它是由实部a和虚部b同时确定,即有顺序的两实数,不难想到有序实数a,b与有序实数对(a,b)一一对应.2.复数z=a+bi(a,b∈R)能否用直角坐标平面内的点表示?
提示:由1知,任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定.由于有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应,因此复数可以用平面直角坐标系中的点表示.3.复数能否用平面向量表示?
提示:每一个平面向量都可以用一个有序实数对表示,而复数也可用有序实数对表示,因此复数可用平面向量来表示.结论:
1.复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做_______.x轴
叫做_____,y轴叫做_____.实轴__轴上的点都表示
_____,除______外,虚轴__轴上的点都表示纯虚数.复平面实轴虚轴x实数(0,0)y2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R) 复平面内的点_______.
(2)复数z=a+bi(a,b∈R) 平面向量 .Z(a,b)【微思考】
如何作出复数在复平面内的对应点或向量?
提示:将复数化成代数形式a+bi(a,b∈R),从而确定
a,b,再作出Z(a,b)或 .主题2 复数的模
1.设Z(a,b),则向量 的模如何用a,b表示?
提示:2.复数可以用向量表示,那么向量的模是复数的什么?
提示:用文字语言描述:向量的模就是复数的模.
用符号语言描述: 结论:复数的模
复数z=a+bi(a,b∈R)对应向量 的模
记作复数z的模.用____或_______表示.|z||a+bi|【微思考】
计算复数的模时,应先找出复数的实部和虚部,再利用模的公式计算,那么对于两个复数z1和z2,是否存在z1>z2或|z1|>|z2|?
提示:复数不能比较大小,但模可以.【预习自测】
1.实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的
( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限【解析】选B.实部为-2,虚部为1的复数为-2+i,所对应点的坐标为(-2,1),在第二象限.2.在复平面内,复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,则a的值为 ( )
A.a=0或a=2 B.a=0
C.a≠1且a≠2 D.a≠1或a≠2
【解析】选A.因为复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,所以a2-2a=0,所以a=0或a=2.3.已知复数z=1-i,那么|z|等于 ( )
A.0 B.1 C. D.2
【解析】选C.|z|=|1-i|= 4.下面四个式子中,正确的是 ( )
A.3i>2i B.|2+3i|>|1-4i|
C.|2-i|>2i4 D.i2>-i【解析】选C.因为两个虚数不能比较大小,因此排除
选项A和D.
因为|2+3i|= ,|1-4i|= ,
所以|2+3i|<|1-4i|,选项B错误,
因为|2-i|= ,2i4=2,
所以|2-i|>2i4,选项C正确.5.已知复数z=1+2i(i为虚数单位),则|z|=________.
【解析】z=1+2i?|z|=|1+2i|= .
答案:【备选训练】已知复数z=(a2-4)+(a+2)i(a∈R).
(1)若z为纯虚数,求实数a的值.
(2)若z在复平面上对应的点在直线x+2y+1=0上,求实数a的值.【解题指南】(1)纯虚数指的是实部为零,虚部不为零的复数,因此只需找到复数的实虚部,满足相应条件即可.(2)复数对应的点的坐标是由实部和虚部构成的.【解析】(1)若z为纯虚数,则a2-4=0且a+2≠0,得a=2.
(2)若z在复平面上对应的点在直线x+2y+1=0上,则a2-4+2(a+2)+1=0,得a=-1.类型一 复数与点的一一对应
【典例1】在复平面内,若复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i对应的点分别满足下列条件:
(1)在虚轴上 (2)在第二象限 (3)在x轴上方那么实数m的取值范围应分别是多少.【解题指南】由z=a+bi(a,b∈R)与点Z(a,b)一一对应知第(1)问要求实部为0;第(2)问要求实部小于0、虚部大于0;第(3)问要求虚部大于0.【解析】复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i在复平面内对
应的点为Z(m2-2m-8,m2+3m-10).
(1)点Z在虚轴上,则m2-2m-8=0,解得m=-2或m=4.
(2)点Z在第二象限内,
则 解得2则m2+3m-10>0,解得m>2或m<-5.【延伸探究】
1.若本例条件不变,求复数z表示的点在第二、四象限时实数m的范围.
【解析】由题意知,(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0,
所以2【解析】由已知得m2-2m-8=m2+3m-10,
所以m= .【方法总结】复数与点的对应关系及应用
(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是:复数的实部就是该点的横坐标,虚部就是该点的纵坐标.(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数的取值范围时,可根据复数与点的对应关系,建立复数的实部与虚部满足的条件构成的方程(组)或不等式(组),通过解方程(组)或不等式(组)得出结论.【补偿训练】已知i为虚数单位,a∈R,若a2-1+
(a+1)i为纯虚数,则复数z=a+(a-2)i在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限【解析】选D.因为i为虚数单位,a∈R,a2-1+(a+1)i
为纯虚数,所以 解得a=1,所以z=1-i,z=1-i
在复平面内对应的点的坐标为(1,-1),所以该点位于第
四象限.类型二 复数与向量的对应
【典例2】(1)已知平面直角坐标系中O是原点,向量
, 对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量
对应的复数是 ( )
A.-5+5i B.5-5i
C.5+5i D.-5-5i(2)已知向量 对应的复数是4+3i,点A关于实轴的对
称点为A1,将向量 平移,使其起点移动到A点,这时
终点为A2.
①求向量 对应的复数.
②求点A2对应的复数.【解题指南】(1)利用向量平移的特征可求出向量
对应的坐标,再利用其坐标确定其对应的复数.
(2)根据复数与点、复数与向量的对应关系求解.【解析】(1)选B.向量 , 对应的复数分别为2-
3i,-3+2i,根据复数与复平面内的点一一对应,可得向
量 =(2,-3), =(-3,2).
由向量减法的坐标运算可得向量 = -
=(2+3,-3-2)=(5,-5),根据复数与复平面内的点一一对应,可得向量 对应
的复数是5-5i.
(2)①因为向量 对应的复数是4+3i,
所以点A对应的复数也是4+3i,
因此点A坐标为(4,3),
所以点A关于实轴的对称点A1为(4,-3),故向量 对应的复数是4-3i.
②依题意知 = ,而 =(4,-3),
设A2(x,y),则有(4,-3)=(x-4,y-3),
所以x=8,y=0,即A2(8,0).
所以点A2对应的复数是8.【延伸探究】若将本例(2)中条件作如下改动:向量
对应的复数为-5+3i,将向量 向下平移1个
单位,向右平移2个单位得到向量 ,如何求①向量
对应的复数?②点A1对应的复数?【解析】如图,由于O为原点,
对应的复数为-5+3i,所以
A点坐标为(-5,3),向量
向下平移1个单位,向右平移2个单位后,点O1的坐标为(2,-1),点A1的坐标为(-3,2).①向量 对应的复数与 对应的复数相同,仍为
-5+3i.
②点A1对应的复数为-3+2i.【方法总结】复数与向量的对应关系的两个关注点
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)是与以原点为起点,Z(a,b)为
终点的向量 一一对应的.
(2)一个向量可以平移,其对应的复数不变,但是其起点
与终点所对应的复数可能改变.【巩固训练】在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别
为1,2+i,-1+2i.
(1)求向量 对应的复数.
(2)判定△ABC的形状.【解析】(1)由复数的几何意义知:
所以
所以 对应的复数分别为1+i,-2+2i,-3+i. (2)因为
所以
所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形.类型三 复数的模
【典例3】(1)已知i为虚数单位,复数z1=a+2i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,则实数a的值为 ( )
A.1 B.-1 C.1或-1 D.±1或0(2)(2017·杭州高二检测)设复数z1=a+2i,z2=-2+i,且|z1|<|z2|,则实数a的取值范围是 ( )
A.a<-1或a>1 B.-1C.a>1 D.a>0【解题指南】(1)先分别求出复数z1=a+2i,z2=2-i的模,再利用模相等求出对应的值.
(2)根据复数模的计算公式列不等式得出答案.【解析】(1)选C.根据题意可知a2+4=4+1,所以a=±1.
(2)选B.因为|z1|= ,|z2|=
所以 即a2+4<5,所以a2<1,即-1(1)计算复数的模时,应先确定复数的实部和虚部,再利用模的公式计算.虽然两个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小.(2)设出复数的代数形式,利用模的定义转化为实数问题求解.
提醒:复数的模表示该复数在复平面内的对应点到原点的距离,则任何一个复数的模都是非负数.【巩固训练】已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数a的取值范围.【解析】方法一:因为z=3+ai(a∈R),
所以|z|= ,
由已知得32+a2<42,
所以a2<7,所以a∈(- , ).方法二:利用复数的几何意义,由|z|<4知,z在复平面
内对应的点在以原点为圆心,以4为半径的圆内(不包
括边界),
由z=3+ai知z对应的点在直线x=3上,
所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合.
由图可知:- -yi=0(其中i是虚数单位),则|x+yi|=________.【解析】依题意可得x2+(2i-2)x+1-yi=0,即(x2-
2x+1)+(2x-y)i=0,x,y是实数,所以
所以 所以|x+yi|=|1+2i|= .
答案: 【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
(1)数形结合法:利用复数与复平面上的点、向量的一一对应研究复数.
(2)转化法:把复数问题转化为图形问题,把图形问题转化为复数问题.课件74张PPT。3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 主题1 复数的加法
1.设向量 分别表示复数z1,z2,那么向量
表示的复数应该是什么?
提示: 表示的复数是z1+z2.2.设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量
分别为 那么向量 的坐标分
别是什么?
提示:3.已知复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).类比多项式的加法法则想一想复数如何相加?
提示:用文字语言描述:两个复数相加就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加
用符号语言描述:z1=a+bi,z2=c+di,则(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i用几何语言描述:设 分别与复数a+bi,c+di
对应,则 =(a,b), =(c,d),由平面向量的坐标运
算,得 =(a+c,b+d).
故 对应的复数为a+c+(b+d)i.结论:
1.定义
对于复数z1=a+bi和z2=c+di,a,b,c,d∈R,
z1+z2=(a+bi)+(c+di)=_____________.(a+c)+(b+d)i2.几何意义
复数的和z1+z2与向量 的坐标对应.【微思考】
两个复数可以相加,那么两个以上的复数能相加吗?具体怎么运算?
提示:能相加,仍是实部相加、虚部相加.主题2 复数的减法
1.规定:复数的减法是加法的逆运算,若复数z=z1-z2,则复数z1等于什么?
提示:z1=z+z2.2.设复数z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),z=x+yi(x,y∈R),代入z1=z+z2,由复数相等的充要条件得x,y分别等于什么?
提示:x=a-c,y=b-d.3.根据上述分析,设复数z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),则z1-z2等于什么?
提示:z1-z2=(a-c)+(b-d)i.4.类比多项式的减法想一想复数如何相减?
提示:用文字语言描述:两个复数相减就是把实部与实
部、虚部与虚部分别相减用符号语言描述:z1=a+bi,
z2=c+di,a,b,c,d∈R,则(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i用几何语言描述:设 分别与复数a+bi,c+di对应,
则 =(a,b), =(c,d),由平面向量的坐标运算,得
=(a-c,b-d).这说明两个向量 与 的差
就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.结论:
1.定义
对于复数z1=a+bi,z2=c+di,z1-z2=(a+bi)-(c+di)
=_____________.(a-c)+(b-d)i2.几何意义
复数的差z1-z2与向量 的坐标对应.【微思考】
通过学习复数的加法,我们知道,可以把复数的代数式看成关于“i”的多项式进行运算.那么对于两个以上的复数能否进行减法运算?
提示:能运算,方法同加法.【预习自测】
1.一个实数与一个虚数的差 ( )
A.不可能是纯虚数 B.可能是实数
C.不可能是实数 D.无法确定是实数还是虚数【解析】选C.若实数0与纯虚数作差则得纯虚数,故A错.因虚数的虚部不为0,故一个实数与一个虚数的差一定不是实数.2.在复平面内,向量 对应的复数为3-4i,点B对应
的复数为-2+2i,则向量 对应的复数为 ( )
A.5-6i B.1-2i
C.-5+6i D.5-2i【解析】选B.由复数加法运算的几何意义知,
对应的复数即为(3-4i)+(-2+2i),即1-2i.3.设f(z)=z,z1=3+4i,z2=-2-i,则f(z1-z2)= ( )
A.1-3i B.-2+11i
C.-2+i D.5+5i【解析】选D.因为z1=3+4i,z2=-2-i,
所以z1-z2=(3+4i)-(-2-i)=5+5i.
又因为f(z)=z,
所以f(z1-z2)=z1-z2=5+5i.4.四边形ABCD是复平面内的平行四边形,A,B,C三点对应的复数分别是1+3i,-i,2+i,则点D对应的复数为________.【解析】在复平面内A,B,C对应的坐标分别为(1,3),
(0,-1),(2,1),设D的坐标为(x,y),由于
因此有(x-1,y-3)=(2,2),所以x-1=2,y-3=2,解得
x=3,y=5,故点D对应的复数为3+5i.
答案:3+5i5.计算:(1)(-1+ i)+(1+ i).
(2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R).【解析】(1)(-1+ i)+(1+ i)
=(-1+1)+( + )i=2 i.
(2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i
=(a-2a)+(b+3b-3)i=-a+(4b-3)i.类型一 复数代数形式的加、减运算
【典例1】(1)已知复数z=(-3-4i)+(2+i)-(1-5i),则复数z在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限(2)计算:
①(3-2i)-(10-5i)+(2+17i);
②(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+(2017-2018i)-(2018-2019i).【解题指南】(1)利用复数的加减运算求出z,再看z的实部和虚部判断对应点的位置.(2)多个复数相加减,将复数的实部和虚部分别相加减即可,所得结果分别作为实部和虚部.【解析】(1)选B.z=(-3+2-1)+(-4+1+5)i=-2+2i.
对应点为(-2,2),在第二象限.
(2)①原式=(3-10+2)+(-2+5+17)i=-5+20i.
②方法一:原式=(1-2+3-4+…+2017-2018)+(-2+3-
4+5+…-2018+2019)i=-1009+1009i.方法二:(1-2i)-(2-3i)=-1+i,
(3-4i)-(4-5i)=-1+i,…,
(2017-2018i)-(2018-2019i)=-1+i,
将上列1009个式子累加可得1009(-1+i)=-1009+1009i.【方法总结】复数代数形式的加、减法运算技巧
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部.(2)算式中若出现字母,首先确定其是否为实数,再确定复数的实部与虚部,最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减.
(3)复数的运算可以类比多项式的运算:若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到右依次进行计算.【巩固训练】计算:(2-3i)+(-4+2i)=________.
【解析】(2-3i)+(-4+2i)=(2-4)+(-3+2)i=-2-i.
答案:-2-i【补偿训练】(1)若f(z)=z+1-i,z1=3+4i,z2=-2+i,求
f(z1-z2).
(2)z1=2cosθ-i,z2=- +i2sinθ(0≤θ≤2π),且
z1+z2对应的点位于复平面的第二象限,求θ的范围.【解析】(1)z1-z2=(3+4i)-(-2+i)=5+3i.
f(z1-z2)=(5+3i)+1-i=6+2i.
(2)z1+z2=(2cosθ- )+(2sinθ-1)i,
则
又θ∈[0,2π],故θ∈ .类型二 复数加减运算的几何意义
【典例2】(1)A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的
点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是
( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形(2)已知平行四边形的三个顶点分别对应复数2i,4-4i,2+6i.求第四个顶点对应的复数.【解题指南】(1)利用复数加法、减法几何意义及向量的平行四边形法则与三角形法则,借助|z1+z2|=|z1-z2|确定三角形AOB的形状.
(2)根据题设条件可知,第四个顶点有3种不同情况,然后分情况利用复数加减法求解.【解析】(1)选B.根据复数加(减)法的几何意义,知以
为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此
平行四边形为矩形,故△OAB为直角三角形.
(2)如图,设这个平行四边形已知的三个顶点分别为
Z1,Z2,Z3,它们对应的复数分别是z1=2i,z2=4-
4i,z3=2+6i,第四个顶点所对应的复数为z4,则①当这个平行四边形是以Z1Z2和Z1Z3为一组邻边时,有
所以z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1),z4=(z2+z3)-z1=6.
②当这个平行四边形是以Z1Z2和Z2Z3为一组邻边时,有
所以z4-z2=(z1-z2)+(z3-z2).
所以z4=(z1+z3)-z2=-2+12i.
③当这个平行四边形是以Z3Z1和Z3Z2为一组邻边时,有
所以z4-z3=(z1-z3)+(z2-z3).
所以z4=(z1+z2)-z3=2-8i.
综上所述,这个平行四边形的第四个顶点对应的复数为6或-2+12i或2-8i.【延伸探究】若将本例(2)中条件改为“如图所示,平
行四边形ABCD的顶点A,B,D分别对应的复数为2i,4-
4i,2+6i”,求(1)对角线 对应的复数.(2)对角线
对应的复数.【解析】(1)因为 所以对角线 对应的
复数为(4-4i)-(2+6i)=2-10i.
(2)因为
所以对角线 对应的复数为2+6i-2i+4-4i-2i=6-2i.【方法总结】复数加减法的几何意义在复数运算中的应用
(1)复数加法、减法的几何意义与平面向量的平行四边形法则、三角形法则有关,因此在求解与平行四边形、三角形有关的复数问题时,主要应根据复数加、减运算的几何意义求解计算.(2)由于复数可用向量表示,因而可将复数问题转化为向量问题,利用向量的方法解决.【巩固训练】在平行四边形ABCD中,A,B,C三个顶点所对应的复数分别为3+3i,-5i,-2+i,求第四个顶点D对应的复数.【解析】因为
所以
所以
所以 对应的复数为3+3i-2+i+5i=1+9i.
所以第四个顶点D对应的复数为1+9i.类型三 复数模的最值问题
【典例3】(1)如果复数z满足|z+3i|+|z-3i|=6,那么
|z+1+i|的最小值是 ( )
A.1 B. C.2 D.
(2)若复数z满足|z+ +i|≤1,求|z|的最大值和最
小值.【解题指南】(1)先由|z+3i|+|z-3i|=6确定复数z所对
应的轨迹,再依据|z+1+i|的几何意义求最小值.
(2)明确满足条件|z+ +i|≤1的复数z的几何意义为:
圆心为(- ,-1),半径为1的圆内区域,包括边界,|z|
则表示圆面上一点到原点的距离.【解析】(1)选A.因为|z+3i|+|z-3i|=6所以点Z到点A(0,-3)与到点B(0,3)的距离之和为6.所以点Z的轨迹为线段AB.而|z+i+1|表示为点Z到点(-1,-1)的距离.数形结合,得最小距离为1.(2)如图所示:
所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1.【延伸探究】
1.若本例(2)条件改为已知|z|=1且z∈C,求|z-2-2i|(i为虚数单位)的最小值.【解析】因为|z|=1且z∈C,作图如图:
所以|z-2-2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上
的点P(2,2)的距离,所以|z-2-2i|的最小值为|OP|-1=
2 -1.2.若本例(2)中条件不变,求|z- |2+|z-2i|2的最大
值和最小值.
【解析】如图所示,在圆面上任取一点P,与复数
zA= ,zB=2i的对应点A,B相连,得向量
再以 为邻边作平行四边形.P为圆面上任一点,zP=z,
则
(平行四边形四条边的平方和等于对角线的平方和),所以
而
所以|z- |2+|z-2i|2的最大值为27+2 ,最小值为
27-2 .【方法总结】复数模的最值问题解法
(1)|z-z0|表示复数z,z0的对应点之间的距离,在应用时,要把绝对值号内变为两复数差的形式.
(2)|z-z0|=r表示以z0对应的点为圆心,r为半径的圆.(3)涉及复数模的最值问题,可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断,然后通过几何方法进行求解.拓展类型:复数中的轨迹问题及简单应用
【典例】(1)设z=bi(b∈R),若使|z-2+i|+|z-2+3i|的值最小,则b=______?
(2)已知复数z满足方程|2z-1+i|=|z+1|,求复数z对应点的轨迹.【解题指南】(1)利用复数的模及复数的几何意义判断.
(2)设出复数的代数形式,利用模的计算方法转化为轨迹方程.【解析】(1) 由复数的几何意义可知,
|z-2+i|表示z对应的点与点(2,-1)之
间的距离,|z-2+3i|表示z对应的点与
点(2,-3)之间的距离,结合图形知,要使距离的和最小,则z为虚轴上的点(0,-2),所以b=-2.
答案:-2(2)设z=x+yi(x,y∈R),则(2x-1)2+(2y+1)2=(x+1)2+y2,
整理得(x-1)2+ = .所以复数z对应点的轨迹
是以点 为圆心,以 为半径的圆.【方法总结】|z-z0|(z,z0∈C)几何意义的应用
(1)判断点的轨迹.
(2)利用几何知识解决代数问题.【巩固训练】1.M={z||z+1|=1},N={z||z+i|=|z-i|},则M∩N=________.【解析】利用复数的几何意义解决问题.在复平面
内,|z+1|=1的几何意义是以点(-1,0)为圆心,以1为半
径的圆.|z+i|=|z-i|的几何意义是到点A(0,1)和点
B(0,-1)距离相等的点的集合,是线段AB的垂直平分线,也就是x轴.M∩N的几何意义是x轴与圆的公共点对应的复数,故z=0或z=-2.所以M∩N={0,-2}.
答案:{0,-2}2.已知z∈C,指出下列等式所表示的几何图形.
(1)|z+1+i|=1.(2)|z-1|=|z+2i|.
(3)|z+1|+|z+1-i|=2.【解析】(1)表示以点(-1,-1)为圆心,以1为半径的圆.
(2)以点(1,0),(0,-2)为端点的线段的垂直平分线.
(3)以点(-1,0)和(-1,1)为焦点,长轴长为2的椭圆.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
(1)数形结合法:借助向量的加减运算理解复数的加减运算.
(2)公式法:利用复数的加减运算法则进行运算.课件67张PPT。3.2.2
复数代数形式的乘除运算主题1 复数的乘法
1.多项式(a+b)(c+d)的运算结果是什么?
提示:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.2.在研究复数的乘法时,我们注意到复数的形式就像
一个二项式,类比二项式乘二项式的法则,若z1=a+bi,
z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1·z2的结果是多少?
提示:复数的乘法可以按照多项式乘法的运算方式来
实施:z1·z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2
=(ac-bd)+(ad+bc)i.3.多个复数的乘积运算遵循怎样的运算法则?
提示:多个复数的乘积运算类似多项式相乘的规律,把复数逐一相乘,再分别合并实部、虚部.4.复数的乘法是否满足交换律、结合律?乘法对加法满足分配律吗?
提示:三个运算律都满足.结论:
1.复数的乘法法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1·z2=
_________________.(ac-bd)+(ad+bc)i2.复数乘法运算律
对任意复数z1,z2,z3∈C,有z2z1z1(z2z3)z1z2+z1z3【微思考】
复数的计算满足交换律、结合律等,那么指数幂的运算
在复数中还成立吗?
提示:成立.zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,
(z1·z2)m= .主题2 共轭复数及复数的除法
1.复数z1=a+bi与z2=a-bi(a,b∈R)中实部与虚部有什么关系?
提示:两复数实部相等,虚部互为相反数.2.试求z1=a+bi,z2=a-bi的积.
提示:z1z2=(a+bi)(a-bi)=a2+b2.3.如何将(1+2i)÷(3+4i)转化为两复数的乘积?
提示:(1+2i)÷(3+4i)=(1+2i)· =
(1+2i)· =(1+2i) =(1+2i) .结论:
1.共轭复数的定义
当两个复数实部_____,虚部互为_______时,这两个
复数互为共轭复数,复数z的共轭复数记作 且
z· =|z|2=| |2.相等相反数2.复数除法的法则
(a+bi)÷(c+di)= =
(c+di≠0).【微思考】
1.若z≠0且z+ =0,则z是否为纯虚数?
提示:是纯虚数,因为z≠0,又实数的共轭是它本身,则
由z≠0且z+ =0知z不是实数,设z=a+bi, =a-bi
(a,b∈R,b≠0)和z+ =2a=0,所以a=0,故z为纯虚数.利
用这个性质,可证明一个复数为纯虚数.2.复数共轭的共轭是否为复数本身?
提示:根据复数的概念,复数共轭的共轭是复数本身.【预习自测】
1.若z1=(x-2)+yi与z2=3x+i(x,y∈R)互为共轭复数,则z1对应的点在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限【解析】选C.由z1与z2互为共轭复数,得
解得
所以z1=(x-2)+yi=-3-i,
所以z1对应的点在第三象限.2.已知复数z1=4+8i,z2=6+9i,则(z1-z2)i的实部与虚部为 ( )
A.-2,1 B.-1,-2 C.-2,-1 D.1,-2
【解析】选D.z1-z2=(4+8i)-(6+9i)=-2-i,
所以(z1-z2)i=(-2-i)i=-2i-i2=1-2i.3.复数 等于 ( )
A.2-i B. + i
C.10-5i D. - I
【解析】选A. =2-i.4.复数(1+2i)i的实部为________.
【解析】由于(1+2i)i=i+2i2=-2+i,故知其实部为-2.
答案:-25.已知复数z=2-i(i为虚数单位),则z的共轭复数
为________.
【解析】复数的共轭复数与原复数实部相同,虚部互
为相反数,因此 =2+i.
答案:2+i类型一 复数的乘法与除法运算
【典例1】(1)(2016·天津高考)已知a,b∈R,i是虚数
单位,若(1+i)(1-bi)=a,则 =________.(2)已知z是复数,z+2i, 均为实数(i为虚数单位),
且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实
数a的取值范围.【解题指南】(1)利用复数乘法和相等求出a,b,再计
算 .
(2)设z=x+yi(x,y∈R),利用z+2i, 为实数求出
x和y,再利用(z+ai)2对应点在第一象限,即实部和
虚部都大于0,进行求解.【解析】(1)(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,所以
解得 所以 =2.
答案:2(2)设z=x+yi(x,y∈R),
因为z+2i=x+(y+2)i为实数,
所以y=-2.
因为
= (x-2i)(2+i)
= (2x+2)+ (x-4)i为实数,所以x=4,
所以z=4-2i.
因为(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,
根据条件,可知
解得2所以a的取值范围为(2,6).【方法总结】复数乘除运算的常用技巧
(1)按照复数的乘法法则,三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算,混合运算和实数的运算顺序一致,在计算时,若符合乘法公式,则可直接运用公式计算.(2)根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘以分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与实数中的“分母有理化”类似.(3)运算顺序:复数的运算顺序与实数的运算顺序相同,都是先进行高级运算(乘方、开方),再进行次级运算(乘、除),最后进行低级运算(加、减).如i的幂运算,先利用i的幂的周期性,将其次数降低,然后再进行四则运算.【巩固训练】(2017·全国甲卷) = ( )
A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-I
【解析】选D. =2-i.【补偿训练】若复数(1+ai)2(i为虚数单位)是纯虚 数,则实数a= ( )
A.1 B.-1 C.0 D.±1【解析】选D.因为复数(1+ai)2(i为虚数单位)是纯
虚数,且(1+ai)2=1-a2+2ai,所以 可得a=±1.类型二 共轭复数及其应用
【典例2】(1)(2016·山东高考)若复数z= ,其中
i为虚数单位,则 = ( )
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
(2)若f(z)=2z+ -3i,f( +i)=6-3i,求f(-z).【解题指南】(1)先去掉分母,再求其共轭复数.
(2)利用f(z)把f( +i)表示出来,设z=a+bi(a,b∈R),
再利用复数相等求出a和b,进而求出f(-z).【解析】(1)选B.z= =1+i,所以 =1-i.
(2)因为f(z)=2z+ -3i,
所以f( +i)=2( +i)+( )-3i
=2 +2i+z-i-3i=2 +z-2i.
又因为f( +i)=6-3i,
所以2 +z-2i=6-3i.设z=a+bi(a,b∈R),则 =a-bi,
所以2(a-bi)+(a+bi)=6-i,
即3a-bi=6-i.
由复数相等的定义,得
解得 所以z=2+i,
故f(-z)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.【方法总结】共轭复数的应用
(1)求一个复数的共轭复数时,必须先将这个复数化为标准的代数形式,得到其实部与虚部后再据定义求得其共轭复数.(2)进行复数除法运算时,主要采用分母实数化的方法,其实质就是将分式的分子、分母同乘以分母的共轭复数,根据公式z· =|z|2=| |2进行化简并计算.【巩固训练】已知z∈C,解方程z· -3i =1+3i.
【解析】设z=x+yi(x,y∈R),
将z=x+yi代入原方程,得
(x+yi)(x-yi)-3i(x-yi)=1+3i,
整理得:x2+y2-3y-3xi=1+3i,所以
由①得x=-1,
将x=-1代入②式得y=0或y=3,
所以z=-1或z=-1+3i.【补偿训练】如果复数z满足关系式z+| |=2+i,
那么z等于________.【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则 =a-bi,| |= ,
所以a+bi+ =2+i,所以得:
解得
所以z= +i.
答案: +i类型三 in的值的周期性及其应用
【典例3】(1)(2015·湖北高考)i为虚数单位,i607的共轭复数为 ( )
A.i B.-i C.1 D.-1(2)(2015·福建高考)若集合A={i,i2,i3,i4}(i是虚数
单位),B={1,-1},则A∩B等于 ( )
A.{-1} B.{1} C.{1,-1} D.?
(3)若复数z= ,求1+z+z2+…+z2018的值.【解题指南】(1)复数的四则运算;共轭复数的概念.
(2)利用复数的周期性及集合之间的运算求解.
(3)先化简z,再利用等比数列的求和公式求解.【解析】(1)选A.因为i607=(i2)303·i=-i,共轭复数
为i,所以应选A.
(2)选C.A={i,-1,-i,1},B={1,-1},A∩B={1,-1}.
(3)因为z=
所以1+z+z2+…+z2018=【方法总结】简化复数运算的常用结论
in(n∈N*)的周期性
计算复数的乘积要用到虚数单位i的乘方,in有如下性质:i1=i,i2=-1,i3=i·i2=-i,i4=i3·i=-i2=1,从而对于任何n∈N*,有i4n+1=i4n·i=(i4)n·i=i,
同理可证i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1,这就是说,如果n∈N*,那么有i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1.
注意:(1)上述公式中,说明in(n∈N*)具有周期性,且最小正周期是4.
(2)n可推广到整数集.(3)4k(k∈Z)是in(n∈N*)的周期.
显然in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*).
因为in(n∈N*)具有周期性,解题时要灵活运用,
或适当变形,创造条件转化为i的计算.一般地,有
(1±i)2=±2i,【巩固训练】计算 的结果为 ( )
A.i B.-i C.1 D.-1
【解析】选D. 拓展类型:复数的综合应用
【典例】(1)若等比数列{zn}中,z1=1,z2=a+bi,
z3=b+ai(a,b∈R且a>0).则a=________,b=________.
(2)设z是虚数,ω=z+ 是实数,且-1<ω<2,求|z|的
值及z的实部的取值范围.【解题指南】(1)根据等比数列的性质列等式,由复
数相等列方程组计算.
(2)按常规解法,设z=x+yi(x,y∈R),化简ω=z+ ,找
出实部、虚部可以列出的等量关系式求解.【解析】(1)因为z1,z2,z3成等比数列,
所以 =z1z3,即(a+bi)2=b+ai.
所以a2-b2+2abi=b+ai,
所以 (a>0), 解得
答案:(2)因为z是虚数,所以可设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0.
所以
因为ω是实数且y≠0,
所以 所以x2+y2=1,即|z|=1.此时ω=2x.
因为-1<ω<2,所以-1<2x<2,
从而有- 即z的实部的取值范围是 【延伸探究】
1.若本例(2)中条件不变,设u= ,证明u为纯虚数.
【证明】设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0,
因为x∈ ,y≠0,所以 ≠0,
所以u为纯虚数.2.若本例(2)中条件不变,求 的最小值.
【解析】设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0.
则 因为- 所以1+x>0.
于是ω- =2(x+1)+ -3
≥2 -3=1.
当且仅当2(x+1)= ,即x=0时等号成立.
所以ω- 的最小值为1,此时z=±i.【方法总结】复数运算的综合问题解决方法
在有关复数运算的综合问题中,常与集合、数列、
不等式、三角函数、函数、解析几何等内容结合在一
起,要解决此类问题常将复数设为x+yi(x,y∈R)的形式,
利用有关条件及复数相等转化为实数问题或利用复数的几何意义转化为点的坐标及向量问题进行解决.
提醒:复数问题实数化或根据几何意义利用数形结合法是解决复数问题的关键.【课堂小结】
1.知识总结2.方法总结
(1)转化法,复数问题实数化是解决复数除法的主要方法;
(2)数形结合,共轭复数对应点轴对称.课件2张PPT。阶段复习课
第三章