课件26张PPT。3.1.1 随机现象 3.1.2 事件与基本事件空间一、随机现象
【问题思考】
1.今天早上,乌云密布,燕子低飞,那可知今天一定下雨,你觉得这种分析对吗?
提示:不对.今天下雨是一种随机现象,但考虑到乌云密布,燕子低飞,只能说今天下雨的可能性很大而已.
2.填空:
(1)在一定条件下必然发生某种结果的现象称为必然现象.
(2)当在相同的条件下多次观察同一现象,每次观察到的结果不一定相同,事先很难预料哪一种结果会出现,这一类现象称为随机现象.
(3)观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验,把观察结果或实验结果称为试验的结果.3.随机现象需要满足的条件有哪些?
提示:随机现象要满足以下三个条件:
(1)在相同的条件下可以重复进行;
(2)所有可能结果是预先知道的,且不止一个;
(3)每做一次试验总会出现可能结果中的一个,但在试验之前,不能预料会出现哪个结果.
4.做一做:以下现象是随机现象的是( )
A.过了冬天就是春天
B.物体只在重力作用下自由下落
C.不共线的三点能确定一个平面
D.下一届奥运会中国获得金牌的数量
答案:D二、事件与基本事件空间
【问题思考】
1.填空:
(1)在同样的条件下重复进行试验时,有的结果始终不会发生,它称为不可能事件;有的结果在每次试验中一定会发生,它称为必然事件.在试验中可能发生,也可能不发生的结果称为随机事件.随机事件可简称为事件,通常用大写的英文字母A,B,C,…来表示.
(2)在一次试验中,所有可能发生的基本结果,是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来描绘,这样的事件称为基本事件,所有基本事件构成的集合称为基本事件空间,基本事件空间常用大写希腊字母Ω表示.2.从集合的角度,你是如何理解随机事件的?举例说明.
提示:我们可以把随机事件理解为基本事件空间的子集.
如掷一枚骰子观察掷出点数的试验中,基本事件空间Ω={1,2,3,4,5,6}.若设A={2,4,6},则A?Ω,A是Ω的一个子集,事件A表示“掷出偶数点”这一结果.若设B={5,6},则B?Ω,B也是Ω的一个子集,事件B表示“掷出点数大于4”.
3.事件的分类是确定的吗?
提示:事件的分类是相对于条件来讲的,在不同的条件下,必然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化.4.做一做:在下列事件中,不可能事件是( )
A.三角形的内角和为180°
B.三角形中大角对大边,小角对小边
C.锐角三角形中两内角和小于90°
D.三角形中任两边之和大于第三边
解析:锐角三角形中两内角和大于90°.
答案:C
5.做一做:投掷两枚骰子,点数之和为8所含的基本事件有 种.
解析:基本事件为(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2).
答案:5思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)实系数一元一次方程必有一实根是随机现象.( )
(2)随机现象是一种杂乱无章的现象. ( )
(3)从数字1,2,3,4中任意取出两个不同的数字,共有12个基本事件. ( )
(4)先后掷两枚质地均匀的硬币,出现的结果为(正,正),(正,反),(反,反)三种. ( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)×探究一探究二探究三易错辨析【例1】 判断下列现象是必然现象还是随机现象:
(1)掷一枚质地均匀的硬币的结果;
(2)行人在十字路口看到的交通信号灯的颜色;
(3)在10个同类产品中,有8个正品、2个次品,从中任意抽出3个检验的结果;
(4)质地均匀的10个黄球放入不透明的包装盒中,把球搅匀,随机从盒中取出1个球结果是黄球.
思路分析:根据随机现象、必然现象的定义进行判断.探究一探究二探究三易错辨析解:(1)掷一枚质地均匀的硬币其结果有可能出现正面,也有可能出现反面,不能确定,因此是随机现象.
(2)行人在十字路口看到交通信号灯的颜色可能是红色,可能是黄色,也可能是绿色,故是随机现象.
(3)抽出的3个产品中有可能全部都是正品,也有可能是两个正品一个次品,还有可能是一个正品两个次品,故此现象为随机现象.
(4)取出的球只有黄球,不可能取出其他颜色的球,故是必然现象.
反思感悟判断是必然现象还是随机现象关键是看给定条件下的结果是否一定发生,若一定发生,则为必然现象,若不确定,则为随机现象.即随机现象事先难以预料,而必然现象事先就能知道结果.探究一探究二探究三易错辨析变式训练1一个口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球,则“从口袋中任意摸出一个球,得到球的颜色”这个现象是( )
A.必然现象 B.随机现象
C.不可能事件 D.不能确定
解析:从口袋中任意摸出一个球,可能是白球,也可能是黑球.故选B.
答案:B探究一探究二探究三易错辨析【例2】 下列事件中,哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是随机事件?
(1)如果a,b都是实数,那么a+b=b+a;
(2)从分别标有1,2,3,4,5,6的六张号签中任取一张,得到4号签;
(3)没有水分,种子也会发芽;
(4)某电话总机在60秒内接到至少15次传呼;
(5)在标准大气压下,水的温度达到50 ℃时沸腾;
(6)同性电荷相互排斥.
思路分析:根据随机事件、必然事件和不可能事件的概念进行判断.
解:由定义知(1)(6)是必然事件;(3)(5)是不可能事件;(2)(4)是随机事件.探究一探究二探究三易错辨析反思感悟判断事件的随机性或确定性,主要依据定义进行,在一定条件下确定不发生的就是不可能事件,确定发生的就是必然事件,可能发生也可能不发生的就是随机事件.但在一定条件下,事件发生与否是对这个条件而言的,对于一个事件,一定要先叙述清楚条件,再进行判断,否则容易导致不同的理解.探究一探究二探究三易错辨析变式训练2指出下列事件是必然事件,不可能事件,还是随机事件.
(1)长度为3,4,5的三条线段可以构成一个三角形;
(2)长度为2,3,4的三条线段可以构成一个直角三角形;
(3)在乒乓球比赛中,运动员小张获胜;
(4)在2020年东京奥运会中国队获取60枚金牌;
(5)常温下,焊锡熔化.
解:(1)长度为3,4,5的三条线段可以构成三角形,是必然事件.
(2)长度为2,3,4的三条线段只能构成一般的三角形,不能构成直角三角形,因此是不可能事件.
(3)在乒乓球比赛中,运动员小张是否获胜是不确定的,因此是随机事件.
(4)2020年东京奥运会还未举行,中国队将获取多少枚金牌是不确定的,因此是随机事件.
(5)常温下,焊锡熔化是不可能事件.探究一探究二探究三易错辨析【例3】 (1)一个家庭有两个小孩,则基本事件空间Ω是( )
A.{(男,女),(男,男),(女,女)}
B.{(男,女),(女,男)}
C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}
D.{(男,男),(女,女)}
解析:两个小孩有大、小之分,所以(男,女)与(女,男)是不同的基本事件.故选C.
答案:C探究一探究二探究三易错辨析(2)同时转动如图所示的两个转盘,记转盘甲得到的数为x,转盘乙得到的数为y,结果为(x,y).
①写出这个试验的基本事件空间.
②求这个试验的基本事件的总数.
③“x+y=5”这一事件包含哪几个基本事件?“x<3,且y>1”呢?
④“xy=4”这一事件包含哪几个基本事件?“x=y”呢?
思路分析:解答本题要根据日常生活的经验,有条不紊地逐个列出所要求的结果.探究一探究二探究三易错辨析解:①Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2), (3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
②基本事件的总数为16.
③“x+y=5”包含以下4个基本事件:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1).
“x<3,且y>1”包含以下6个基本事件:(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).
④“xy=4”包含以下3个基本事件:(1,4),(2,2),(4,1).
“x=y”包含以下4个基本事件:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).
反思感悟1.随机事件的结果是相对于条件而言的,要确定基本事件空间,(1)必须明确事件发生的条件;(2)根据题意,按一定的次序列出所有基本事件.特别要注意结果出现的机会是均等的,按规律去写,要做到既不重复也不遗漏.
2.试验中当试验的结果不唯一时,一定要将各种可能都要考虑到,尤其是有顺序和无顺序的情况最易出错.探究一探究二探究三易错辨析1.将例3(2)中条件不变,改为求“x+y是偶数”这一事件包含哪些基本事件?
解: “x+y是偶数”包括两种情况,①x,y都是奇数;②x,y都是偶数,故“x+y是偶数”这一事件包含以下8个基本事件:(1,1),(1,3),(3,1),(3,3), (2,2),(2,4),(4,2),(4,4).
2.在例3(2)的条件下,“xy是偶数”这一事件是必然事件吗?
解:当x,y均是奇数时,xy是奇数;当x,y中至少有一个是偶数时,xy是偶数,故“xy是偶数”这一事件是随机事件,而不是必然事件.探究一探究二探究三易错辨析因没理清“放回”与“不放回”而致误
【典例】 从含有两件合格品a1,a2和一件次品b1的三件产品中每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.
(1)写出这个试验的基本事件空间;
(2)求“取出的两件产品中恰有一件次品”这一事件所包含的基本事件.
错解(1)基本事件空间是Ω={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b1)}.
(2)“取出的两件产品中恰有一件次品”这一事件包含的基本事件有4个,分别是(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2).
正解(1)基本事件空间是Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.
(2)“取出的两件产品中恰有一件次品”这一事件包含的基本事件有4个,分别是(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2).探究一探究二探究三易错辨析防范措施1.解决此类问题一定要弄清题意中是“放回”还是“不放回”抽取.若判别不清,则会得出错误的基本事件空间.还要注意不放回抽取2次和直接任意抽取2个也是不一样的,前者与顺序有关,而后者可以不考虑顺序.
2.对于本题错因就是把不放回的抽取看成有放回的抽取.从而导致基本事件空间错误.探究一探究二探究三易错辨析变式训练袋中装有红、白、黄、黑除颜色外其他方面都相同的四个小球,从中任取一球的基本事件空间Ω1= ,从中任取两球的基本事件空间Ω2= .?
解析:从中任取一球有4种可能,分别为红、白、黄、黑,构成的基本事件空间为{红,白,黄,黑}.
从中任取两球有6种可能,分别为(红,白),(红,黄),(红,黑),(白,黄), (白,黑),(黄,黑),构成的基本事件空间为{(红,白),(红,黄),(红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑)}.
答案:{红,白,黄,黑} {(红,白),(红,黄),(红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑)}123451.下列现象:①连续掷一枚硬币两次,两次都出现正面向上;②异性电荷,相互吸引; ③标准大气压下,水在1 ℃时结冰.其中随机现象有( )
A.① B.② C.③ D.①③
解析:②是必然现象,③是不可能现象.
答案:A123452.下列事件是不可能事件的是( )
A.三聚氰胺可有效提高婴幼儿奶粉的品质
B.金融危机影响汽车工业的发展
C.夏季的某一天,北京的气温超过33 ℃
D.立春过后,某地下起了大雪
答案:A123453.同时投掷两枚大小相同的骰子,用(x,y)表示结果,记A为“所得点数之和小于5”,则事件A包含的基本事件数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:事件A包含(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)共6个基本事件.
答案:D123454.从1,2,3,…,10中任意选一个数,这个试验的基本事件空间为 ,“它是偶数”这一事件包含的基本事件个数为 .?
答案:{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 5123455.一套分上、中、下三册的选集,随机地放到书架上.
(1)写出这个试验的基本事件空间;
(2)求这个试验基本事件的总数;
(3)写出“上册在三册中的最左边”这一事件所包含的基本事件.
解:(1)基本事件空间Ω={(上,中,下),(上,下,中),(中,上,下),(中,下,上), (下,中,上),(下,上,中)}.
(2)这个试验的基本事件共有6个.
(3)“上册在三册中的最左边”这一事件包含下列2个基本事件:(上,中,下),(上,下,中).课件21张PPT。3.1.3 频率与概率一、概率
【问题思考】
1.填空:
(1)定义
一般地,在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率 ,当n很大时,总是在某个常数附近摆动,随着n的增加,摆动幅度越来越小,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A).
(2)性质
随机事件A的概率P(A)满足0≤P(A)≤1.
特别地:①当A是必然事件时,P(A)=1;
②当A是不可能事件时,P(A)=0.2.做一做:下列说法:
①必然事件的概率为1;
②不可能事件的概率为0;
③任意事件A发生的概率P(A)总满足0
④若事件A的概率趋近于0,则A是不可能事件.
其中正确的个数为 .?
解析:①②正确,③④不正确.
答案:2二、概率和频率之间的联系
【问题思考】
1.“某彩票的中奖概率为 ”是否意味着买1 000张彩票就一定能中奖?
提示:买1 000张彩票相当于做1 000次试验,结果可能是一次奖也没中,或多次中奖,所以“彩票中奖概率为 ”并不意味着买1 000张彩票就一定能中奖,这一数据只是一个理论上的可能性的大小.
2.填空:
在多次重复试验中,同一事件发生的频率在某一个数值附近摆动,事件的频率是概率的一个近似值.随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率.3.频率与概率的区别与联系如何?
提示:根据它们的概念可知,频率因试验次数的不同而不同,而概率不因试验次数的不同而改变.若随机事件A在n次重复试验中发生了m次,则称事件A出现的比例fn(A)= 为事件A出现的频率.若随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数P(A)附近,则称P(A)为事件A发生的概率.
概率是随机事件发生的可能性大小的度量,是随机事件自身的一个属性.频率是通过反复试验“测量”出来的,当试验次数相当大时,频率就会“靠近”概率.解析:当试验次数很大时,频率就稳定在某个常数附近,此时就可以用频率的值估计概率的值.
答案:A思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的频率 就是事件的概率. ( )
(2)频率和概率的取值范围均是(0,1). ( )
(3)频率是概率的近似值,而概率是频率的稳定值. ( )
(4)本城市明天降雨的概率是95%的含义是“本城市明天将会有95%的地区降雨”. ( )
(5)同一个随机事件在相同条件下,在每次试验中发生的概率是一样的. ( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√探究一探究二【例1】 (1)任取一个由50名同学组成的班级(称为一个标准班),至少有两位同学的生日在同一天(记为事件A)的概率是0.97.据此我们知道( )
A.取定一个标准班,A发生的可能性是97%
B.取定一个标准班,A发生的概率大概是0.97
C.任意取定10 000个标准班,其中大约9 700个班A发生
D.随着抽取的标准班数n不断增大,A发生的频率逐渐稳定在0.97,在它附近摆动
解析:对于给定的一个标准班来说,A发生的可能性不是0就是1,故A与B均不对;对于任意取定10 000个标准班,在极端情况下,事件A有可能都不发生,故C也不对;请注意:本题中A,B,C选项中错误的关键原因是“取定”这两个字,表示“明确了结果,结果是确定的”.
答案:D探究一探究二(2)解释下列概率的含义:
①某厂生产产品合格的概率为0.9.
②一次抽奖活动中,中奖的概率为0.2.
解:①说明该厂产品合格的可能性为90%,也就是说,100件该厂的产品中大约有90件是合格品.
②说明参加抽奖的人中有20%的人可能中奖,也就是说,若有100人参加抽奖,约有20人中奖.探究一探究二反思感悟1.概率是对随机事件发生可能性大小的度量,是随机事件A的本质属性,大量重复试验中事件A发生的频率是随机事件A发生的概率的近似值.
2.由概率的定义可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率就是其规律性在数量上的反映.
3.正确理解概率的意义,要清楚概率与频率的区别与联系.对具体的问题要从全局和整体上去看待,而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.探究一探究二变式训练在抛掷骰子的游戏中,将一枚质地均匀的骰子抛掷6次,对于点数4的出现有下列说法:答案:③ 探究一探究二【例2】 下面是某批乒乓球质量检查结果表:(1)在上表中填上优等品出现的频率.
(2)估计该批乒乓球优等品的概率.解: (2)从表中数据可以看出,这批乒乓球优等品的概率是0.95. 探究一探究二反思感悟频率与概率的认识
1.理论依据:频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性的大小,在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率.3.得出概率:从频率估计出概率. 探究一探究二1.例2中若抽取乒乓球的数量为1 700只,则优等品的数量大约为多少?
解:由优等品的概率为0.95,可知抽取1 700只乒乓球时,优等品数量大约为1 700×0.95=1 615.
2.例2中若检验得到优等品数量为1 700只,则抽取数量大约为多少?
解:由优等品概率为0.95,可知抽取数量大约为1 700÷0.95≈1 789.12341.给出下列三个命题,其中正确命题的个数是( )
①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;
②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:在试验中,随机事件发生的频率 不是常数,但具有稳定性,当n很大时,总是趋近于某一个常数,在其附近摆动,这个常数叫概率,所以随机事件发生的频率和它的概率是不同的.
答案:A12342.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果见表:则取到号码为奇数的频率为 .? 答案:0.53 12343.盒中只装有4只白球,5只黑球,从中任意取出一只球.
(1)“取出的球是黄球”是什么事件?它的概率是多少?
(2)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件?它的概率是多少?
解:(1)“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生,因此它是不可能事件,它的概率是0.
(2)“取出的球是白球或是黑球”在题设条件下必然发生,因此它是必然事件,它的概率为1.12344.李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学,下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布:经济学院一年级的学生王小慧下学期将修李老师的高等数学课,用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位):
(1)90分以上(包括90分);
(2)[60,70)分范围内.1234解:根据公式可计算出这3年修李老师的高等数学课的总人数为43+182+260+90+62+8=645.用已有的信息可以估计出王小慧下学期修李老师的高等数学课,得分的概率如下:
(1)“90分以上(包括90分)”记为事件A,则P(A)≈0.067.
(2)“[60,70)分范围内”记为事件B,则P(B)≈0.140.课件21张PPT。3.1.4 概率的加法公式互斥事件、事件的并、对立事件
【问题思考】
1.填空:一般地,如果事件A1,A2,…,An两两互斥,那么事件“A1∪A2∪…∪An”发生(是指事件A1,A2,…,An中至少有一个发生)的概率,等于这n个事件分别发生的概率和,即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).2.如何从集合的角度理解互斥事件、对立事件?
提示:A和B互斥是指这两个事件所含的结果组成的集合不相交,即A∩B=?,也就是没有公共部分的基本事件,如图甲所示.易知,必然事件与不可能事件是互斥的.如果事件A1,A2,…,An中的任何两个都是互斥事件,那么我们就说,事件A1,A2,…,An彼此互斥.从集合角度看,n个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此不相交.例如,从一堆产品(其中正品和次品都多于2个)中任取2件,其中:①“恰有一件次品和恰有两件次品”就是互斥事件;②“至少一件次品和全是次品”就不是互斥事件;③“至少有一件次品和全是正品”也是互斥事件.
事件A与事件B对立是指由事件B所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集,即满足条件A∩B=?,且A∪B=U,如图乙所示.3.做一做:1人在打靶中连续射击2次,事件“至少有1次中靶”的对立事件是( )
A.至多有1次中靶
B.2次都中靶
C.2次都不中靶
D.只有1次中靶
答案:C
4.做一做:某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品.若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则抽查一件产品,抽得正品的概率为 .?
解析:由题意抽得正品的概率为1-0.03-0.01=0.96.
答案:0.96思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若A,B为两个事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B). ( )
(2)若A,B,C三个事件两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1. ( )
(3)事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件. ( )
(4)在同一试验中,设A,B是两个随机事件,若A∩B=?,则事件A与B是两个对立事件. ( )
(5)若A,B为两个随机事件,则一定有P(A∪B)>P(A),且P(A∪B)>P(B)成立. ( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×探究一探究二【例1】 (1)在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是( )
A.A∪B与C是互斥事件,也是对立事件
B.B∪C与D是互斥事件,也是对立事件
C.A∪C与B∪D是互斥事件,但不是对立事件
D.A与B∪C∪D是互斥事件,也是对立事件
解析:∵P(B∪C∪D)=0.8,P(A)=0.2,且A,B,C,D彼此互斥,
∴B∪C∪D= .故选D.
答案:D探究一探究二(2)判断下列给出的每对事件,是否为互斥事件,是否为对立事件.
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张)中,任取一张.
①“抽出红桃”与“抽出黑桃”;
②“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;
③“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
思路分析:判断两个事件是否互斥,就是研究代表两个事件的集合有无公共部分,若有,则一定不互斥;若没有,则一定互斥.互斥是对立的前提,若两个事件互斥,且它们的集合互为补集,则两个事件是对立事件;若两个事件不是互斥事件,则它们一定不是对立事件.
解:①是互斥事件,不是对立事件.
②既是互斥事件,又是对立事件.
③不是互斥事件,也不是对立事件.探究一探究二反思感悟1.互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之中必须有一个发生.因此,对立事件是互斥事件,是互斥事件中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件.
2.可以从集合的角度来判断(必要时可画出维恩图)
设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A,B.
(1)若事件A与B互斥,则集合A∩B=?;
(2)若事件A与B对立,则集合A∩B=?,且A∪B=Ω.探究一探究二变式训练从1~9这9个数中任取2个数,
①“恰有1个是奇数”与“恰有1个是偶数”;
②“至少有1个是奇数”与“2个都是奇数”;
③“至少有1个是奇数”与“2个都是偶数”;
④“至少有1个是奇数”与“至少有1个是偶数”.
其中是对立事件的有( )
A.① B.②和④ C.③ D.①和③
解析:至少有1个奇数表示一奇一偶或两奇,因而与“2个都是偶数”互斥且对立.
答案:C探究一探究二【例2】 (1)由经验得知,在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下:则至多有2人排队的概率是 .? 解析:至多有2人排队包含没有人排队或仅有1人排队或仅有2人排队,则至多有2人排队的概率是0.10+0.16+0.30=0.56.
答案:0.56探究一探究二探究一探究二反思感悟在应用互斥事件的概率加法公式时要注意如下两点:
(1)在求某些稍复杂的事件的概率时,可先将其分解成一些概率较易求的彼此互斥的事件,再用互斥事件的概率加法公式运算.
(2)应用互斥事件的概率加法公式的前提条件是各事件彼此互斥.运用互斥事件的概率公式时,一定要首先确定各事件是否彼此互斥,然后求出各事件分别发生的概率,再求和.探究一探究二将例2(2)中条件不变,若求取出球的颜色是红或黑或白的概率,则结果如何?12345答案:B 6123452.一箱灯泡有50个,合格率为90%,从中任意拿一个,它是次品的概率是( )
A.10% B.90%
C.20% D.100%
解析:从中任意拿一个,不是合格品就是次品,两者必有一个发生,而且也只能有一个发生,符合对立事件的概念,因此运用对立事件的概率加法公式得P(次品)=1-P(合格)=1-90%=10%.
答案:A6123453.在第3,6,16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车),有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里,他可乘3路或6路公共汽车到达.已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60,则该乘客在5分钟内能乘上所需车的概率为( )
A.0.20 B.0.60 C.0.80 D.0.12
解析:乘客乘3路车或6路车彼此互斥,
因此所求的概率为P=0.20+0.60=0.80.
答案:C6123454.若A,B是互斥事件,P(A)=0.4,P(A∪B)=0.7,则P(B)= .?
解析:∵A,B是互斥事件,∴P(A∪B)=P(A)+P(B),
∴P(B)=0.7-0.4=0.3.
答案:0.36123455.抛掷一枚骰子,用图形画出下列每对事件所含结果所形成的集合之间的关系,并说明二者之间是否构成对立事件.
(1)“朝上的一面出现奇数”与“朝上的一面出现偶数”;
(2)“朝上的一面数字不大于4”与“朝上的一面数字大于4”.
解:(1)根据题意作出下图(如图①所示).
从图中可以看到:“朝上的一面出现奇数”与“朝上的一面出现偶数”各自所含结果组成的集合互为补集,因此它们构成对立事件.
?
(2)根据题意作出上图(如图②所示).
由图可以看到:“朝上的一面数字不大于4”与“朝上的一面数字大于4”各自所含结果组成的集合互为补集,它们构成对立事件.6123456课件36张PPT。3.2 古典概型一、古典概型的概念
【问题思考】
1.填空:
具有以下两个特征的试验称为古典概型:
(1)有限性:在一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即只有 有限个不同的基本事件.
(2)等可能性:每个基本事件发生的可能性是均等的.
2.如何理解古典概型中每个基本事件的等可能性?
提示:就是试验的每种结果出现的可能性是均等的.例如先后抛掷两枚均匀的硬币,共出现“正、正”“正、反”“反、正”“反、反”这四种等可能的结果.如果认为只有“两个正面”“两个反面”“一正一反”这三种结果,那么显然这三种结果不是等可能的.3.做一做:下列对古典概型的说法,正确的是( )
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个事件出现的可能性相等;③每个基本事件出现的可能性相等;④基本事件总数为n,随机事件A中若包含k个基本事件,则P(A)= .
A.②④ B.①③④ C.①④ D.③④
解析:正确理解古典概型的特点,即基本事件的有限性与等可能性.
答案:B二、古典概型的概率公式
【问题思考】
1.填空:2.如何从集合的角度理解古典概型的概率公式?3.古典概型的概率公式与频率计算公式有何区别?解析:易知扑克牌中共有8张A或K, 答案:A 三、概率的一般加法公式(选学)
【问题思考】
1.填空:
我们把由事件A和B同时发生所构成的事件D称为事件A与B的 交(或积),记作D=A∩B(或D=AB).
概率的一般加法公式是P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
2.在概率的一般加法公式中,事件A与事件B一定互斥吗?
提示:不一定.在概率的一般加法公式中,若事件A,B不互斥,则A∩B≠?;若事件A,B互斥,则A∩B=?,即互斥事件的概率加法公式是概率的一般加法公式的一种特殊情况.思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为基本事件,这属于古典概型. ( )
(2)在区间[0,100]上任取一个数,这个数恰为2的概率为 ,这个概率模型属于古典概型. ( )
(3)若事件A,B满足P(A∪B)≠P(A)+P(B),则A,B这两个事件不是互斥事件. ( )
(4)若事件A,B满足A∩B≠?,则一定有P(A∩B)≠0. ( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析【例1】 下列试验:①在地球上,抛掷一个石子,观察它是否落地;②从规格直径为40 mm±0.5 mm的产品中,任意抽一根,测量其直径d;③抛掷一枚骰子,观察其出现的点数;④某人射击,中靶或不中靶;⑤从装有大小和形状都相同的3个黑球、4个白球的不透明的口袋中任取两个球.
其中是古典概型的有 .?
解析:试验①④中,虽然基本事件都只有两个,但是两个基本事件发生的可能性不相同,故不是古典概型;试验②中,所有可能出现的基本事件有无数个,故不是古典概型.试验③⑤是古典概型.
答案:③⑤探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析反思感悟判断一个试验是不是古典概型,关键看该试验是否具备古典概型的两大特征:
(1)有限性.例如,从自然数集中任选一个数,把它和5比较大小.因为所有可能的结果有无限个,所以该试验不是古典概型.
(2)等可能性.例如,在适宜的条件下种下一粒种子观察它是否发芽,这个试验的结果只有“发芽”和“不发芽”两种,但这两种结果出现的可能性一般不是均等的.所以该试验也不是古典概型.探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析变式训练1下列试验是古典概型的是( )
A.在一个批次的产品中任选一件产品,检验它是否合格
B.在不透明的口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取一球
C.向一个圆面内随机地投一个点,该点落在圆内的位置
D.射击运动员向一靶心进行射击,试验结果为命中10环,命中9环,…,命中0环
解析:选项A,D中的试验每个基本事件发生的可能性是不相同的;选项C中的试验,基本事件有无限个.
答案:B探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析解析:把5名同学依次编号为甲、乙、丙、丁、戊,基本事件空间Ω={甲乙,甲丙,甲丁,甲戊,乙丙,乙丁,乙戊,丙丁,丙戊,丁戊},包含基本事件总数n=10.设A表示事件“甲被选中”,则A={甲乙,甲丙,甲丁,甲戊},包含基本事件数m=4.所以概率为
答案:B探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析 (2)用三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色,且每个矩形只涂一种颜色,求3个矩形颜色都相同的概率.解:用三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色,基本事件共有27个,如图所示.记“3个矩形颜色都相同”为事件A,由图可知,事件A包含的基本事件有3个,故探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析反思感悟1.利用古典概型的计算公式首先要判断试验是否为古典概型,其次求出公式P(A)= 中m与n的值是关键;再者要将基本事件尽量全部列出,这样避免重复和遗漏.
2.若所求的事件是包含了两个或多个互斥的子事件,则要分别求出各个子事件的概率,再利用互斥事件概率的加法公式求所求事件的概率;若所求事件直接求的情况比较多,则可以先求其对立事件的概率.探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析变式训练2箱子里有3双不同的手套,随机拿出2只,记事件A表示“拿出的手套配不成对”;事件B表示“拿出的都是同一只手上的手套”;事件C表示“拿出的手套一只是左手的,一只是右手的,但配不成对”.
(1)请列出所有的基本事件.
(2)分别求事件A、事件B、事件C的概率.
解:(1)分别设3双手套为a1a2,b1b2,c1c2,a1,b1,c1分别代表左手手套,a2,b2,c2分别代表右手手套.
从箱子里的3双不同的手套中,随机拿出2只,所有的基本事件是: (a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a2,c2),(b1,b2), (b1,c1),(b1,c2),(b2,c1),(b2,c2),(c1,c2),共15个基本事件.探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析【例3】 口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球,求:
(1)从中任意摸出两个小球,摸出的是红球和白球的概率.
(2)从袋中摸出一个后放回,再摸出一个,两次摸出的球是一红一白的概率.反思感悟“放回”与“不放回”问题的区别
对于某一次试验,若采用“放回”抽样,则同一个个体可以被重复抽取,而采用“不放回”抽样,则同一个个体不可能被重复抽取.探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析1.将本例条件不变,求从袋中摸出一个后放回,再摸出一个,第一次摸出红球,第二次摸出白球的概率.
解:有放回地取球.基本事件空间为{(红,红),(红,白),(红,黄),(白,白),(白,红),(白,黄),(黄,红),(黄,黄),(黄,白)}.第一次摸出红球,第二次摸出白球,只包含(红,白)一个基本事件,所以概率为
2.将本例条件不变,求从袋中依次无放回地摸出两球,第一次摸出红球,第二次摸出白球的概率.
解:基本事件空间为{(红,白),(红,黄),(白,红),(白,黄),(黄,红),(黄,白)},所以先摸出红球,再摸出白球的概率是探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析【例4】 (2017北京房山高三模拟)教育资源的不均衡是触发“择校热”的主要因素之一,“择校热”也是教育行政部门一直着力解决的问题.某社会调查机构为了调查学生家长对解决“择校热”方案的满意程度,从A,B,C,D四个不同区域内分别选择一部分学生家长进行调查,每个区域选出的人数如条形图所示.为了了解学生家长的满意程度,对每位家长都进行了问卷调查,然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计,统计结果如下表所示.探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析(1)若家长甲来自A区域,求家长甲的调查问卷被选中的概率;
(2)若想从调查问卷被选中且填写不满意的家长中再选出两人进行面谈,求这两人中至少有一人来自D区域的概率.探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析解:(1)由条形图可得,来自A,B,C,D四个区域的家长共有200人,其中来自A区域的家长有40人,由分层抽样可得从A区域家长的调查问卷中抽取了20× =4(份).
设事件M表示“家长甲的调查问卷被选中”,
则P(M)= =0.1.
(2)易知来自A,B,C,D四个区域的家长的调查问卷被选中且填写不满意的人数分别为1,1,0,2.
记来自A区域填写不满意的家长是a;来自B区域填写不满意的家长是b;来自D区域填写不满意的家长分别是c,d.
设事件N表示“从填写不满意的家长中选出两人,至少有一人来自D区域”,从填写不满意的家长中选出两人有:(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共6个基本事件,而事件N包含(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5个基本事件,故P(N)= .探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析反思感悟对于古典概型与统计的综合问题,一般先处理统计问题(如抽样、频率分布、数字特征等),做好铺垫后就化归为古典概型问题了.因此知识点的逐步转化是解决此类问题的关键.探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析变式训练3海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A,B,C各地区商品的数量;
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析【例5】 从1,2,3,…,10中任选一个数,求下列事件的概率.
(1)它是偶数;
(2)它能被3整除;
(3)它是偶数且能被3整除;
(4)它是偶数或能被3整除.
思路分析:解答本题可先由古典概型求得(1)(2)(3)问,再由概率的一般加法公式解决第(4)问.探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析反思感悟概率的一般加法公式同概率的加法公式在限制条件上的区别:
(1)在公式P(A∪B)=P(A)+P(B)中,事件A,B是互斥事件.
(2)在公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中,事件A,B可以是互斥事件,也可以不是互斥事件.探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析因没弄清问题是否与顺序有关而致误
【典例】 甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5道不同的题目,其中选择题3道,填空题2道,甲、乙两人依次各抽取一道题,求甲抽到选择题,乙抽到填空题的概率.
错解设这3道选择题分别为A,B,C,2道填空题分别为D,E,甲、乙两人依次各抽取一道题的情况有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C), (B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10种.甲抽到选择题,乙抽到填空题的情况有(A,D),(A,E),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E)6种,故所求概率为
正解设3道选择题分别为A,B,C,2道填空题分别为D,E,甲、乙两人依次各抽取一道题的情况有(A,B),(B,A),(A,C),(C,A),(A,D),(D,A), (A,E),(E,A),(B,C),(C,B),(B,D),(D,B),(B,E),(E,B),(C,D),(D,C),(C,E), (E,C),(D,E),(E,D)20种,甲抽到选择题,乙抽到填空题的情况有(A,D),(A,E),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),共6种,故所求概率为探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析防范措施1.解决此类问题的关键是弄清问题是否与顺序有关,正确地写出基本事件空间.
2.错解产生的根本原因是把“甲、乙两人依次各抽取一道题”理解为了“甲、乙共抽两道题”,要注意前者与顺序有关,后者与顺序无关,因此解决此类问题要注意审清题意,并正确写出所有基本事件.探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析变式训练有1号、2号、3号3个信箱和A,B,C,D 4封信,若4封信可以任意投入信箱,投完为止,其中A信恰好投入1号或2号信箱的概率是多少?
解:由于每封信可以任意投入信箱,对于A信投入各个信箱的可能性是相等的,一共有3种不同的结果.投入1号信箱或2号信箱出现了2种结果,所以所求概率为123451.不透明的袋中有2个红球,2个白球,2个黑球,从里面任意摸两个小球,其中不是基本事件的是( )
A.P1={正好2个红球} B.P2={正好2个黑球}
C.P3={正好2个白球} D.P4={至少1个红球}
解析:注意事件和基本事件的区别,基本事件可以理解为基本事件空间不能再分解的最小元素,而一个事件可以由若干个基本事件组成.
答案:D123452.新学期开始,数学老师要从甲、乙、丙三位同学中任选两人作为课代表,甲未被选中的概率为( )答案:B 123453.已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中任取一个元素,则它是集合A∩B中的元素的概率是( )解析:A∪B={2,3,4,5,6,7,9},A∩B={2,3,6},所以由古典概型的概率公式得,所求的概率是 .
答案:C123454.一个电路板上装有甲、乙两根熔丝,甲熔断的概率为0.85,乙熔断的概率为0.74,两根同时熔断的概率为0.63,则至少有一根熔断的概率是 .?
解析:P=0.85+0.74-0.63=0.96.
答案:0.96123455.掷一颗骰子,观察掷出的点数.
(1)求掷得点数为3的倍数的概率.
(2)求掷得点数不大于4的概率.课件34张PPT。3.3 随机数的含义与应用一、几何概型的定义
【问题思考】
1.填空:
事件A理解为区域Ω的某一子区域A,A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与A的位置和形状无关,满足以上条件的试验称为几何概型.2.几何概型与古典概型有何异同?
提示:古典概型与几何概型都是概率类型的一种,它们的区别在于:古典概型的基本事件数为有限个,而几何概型的基本事件数为无限个;共同点在于:两个概型都必须具备等可能性,即每个结果发生的可能性都相等.
判断一次试验是不是古典概型,有两个标准来衡量:一是试验结果的有限性,二是试验结果的等可能性,如果这两个标准都符合,则这次试验是古典概型,否则不是古典概型;判断一次试验是不是几何概型有三个标准:一是试验结果的无限性,二是试验结果的等可能性,三是可以转化为求某个几何度量的问题.如果一次试验符合这三个标准,则这次试验是几何概型.这两种概率模型的本质区别是试验结果的个数是否有限.3.做一做:下列概率模型中,几何概型的个数为 ( )
①从区间[-10,10]内任取出一个数,求取到1的概率;
②从区间[-10,10]内任取出一个数,求取到绝对值不大于1的数的概率;
③从区间[-10,10]内任取出一个整数,求取到大于1而小于2的数的概率;
④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P,求点P离中心不超过1 cm的概率.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案:B二、几何概型概率公式
【问题思考】
1.填空:
在几何概型中,事件A的概率定义为__________,其中μΩ表示区域Ω的几何度量,μA表示子区域A的几何度量.
2.做一做:如图所示,在一个边长为3 cm的正方形内部画一个边长为2 cm的正方形,向大正方形内随机投点,则所投的点落在小正解析:由题意所求的概率为小正方形的面积与大正方形的面积之比,为 .
答案:B三、随机数
【问题思考】
1.随机数主要通过什么方法产生?
提示:主要是通过计算器或计算机软件来产生随机数.
2.填空:
随机数就是在一定范围内随机产生的数,并且得到这个范围内的每一个数的机会一样,它有很广阔的应用,可以帮助我们安排和模拟一些试验,这样可以代替我们自己做大量重复的试验.
3.做一做:将[0,1]内的均匀随机数转化为[-2,6]内的均匀随机数,需实施的变换为( )
A.rand()* 8 B.rand()* 8+2
C.rand()* 8-2 D.rand()* 6
答案:C思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)几何概型的概率计算与构成事件的区域形状是有关的. ( )
(2)概率为0的事件一定是不可能事件,概率为1的事件一定是必然事件. ( )
(3)用随机模拟的方法估计概率时,其准确程度决定于产生的随机数的大小. ( )
答案:(1)× (2)× (3)×探究一探究二探究三探究四探究五思想方法【例1】 (1)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为 .?探究一探究二探究三探究四探究五思想方法(2)某公共汽车站每隔15 min有1辆汽车到达,乘客到达车站的时刻是任意的,求1个乘客到达车站后候车时间大于10 min的概率.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法反思感悟在求解与长度有关的几何概型时,首先找到几何区域D,这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段,然后找到事件A发生对应的区域d.在找d的过程中,确定边界点是问题的关键,但边界点是否取到却不影响事件A的概率.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法变式训练1在长为12 cm的线段AB上任取一点C.若作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于32 cm2的概率为( )解析:设其中一段AC长为x cm,
则另一段BC长为(12-x)cm,其中0由题意x(12-x)<32?0则点C的取值长度4+4=8 cm,故概率为
答案:C探究一探究二探究三探究四探究五思想方法【例2】 如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是( )答案:A 探究一探究二探究三探究四探究五思想方法反思感悟解与面积有关的几何概型要注意:
(1)根据题意确认是不是与面积有关的几何概型问题.
(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的几何特征计算相关面积.
(3)套用公式,从而求得随机事件的概率.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法答案:B 探究一探究二探究三探究四探究五思想方法【例3】 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为 ( )解析:在正方体内到底面中心O的距离小于或等于1的点在以底面中心O为球心,1为半径的半球内(含半球面),所以点P到点O的距离大于1的概率为
答案:B探究一探究二探究三探究四探究五思想方法反思感悟1.如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量,我们要结合问题的背景,选择好观察角度,准确找出基本事件所占的体积及事件A占的体积.其概率的计算公式为:
2.解决此类问题一定要注意几何概型的条件,并且要特别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关,不要将二者混淆.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法探究一探究二探究三探究四探究五思想方法答案:B 探究一探究二探究三探究四探究五思想方法反思感悟1.若试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度表示,则其概率计算公式为2.解决此类问题的关键是事件A在区域内是均匀的,即基本事件的发生是等可能的.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法探究一探究二探究三探究四探究五思想方法【例5】 利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y=2-2x-x2与x轴围成的图形)的面积.
思路分析:解答本题可先计算矩形的面积,再由几何概型的概率进行面积估计.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法解:(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数,a1,b1.
(2)经过平移和伸缩变换,a=4a1-3,b=3b1,得到一组[-3,1],一组[0,3]上的均匀随机数.
(3)统计试验总次数N和落在阴影部分的点数N1(满足条件b<2-2a-a2的点(a,b)的个数).探究一探究二探究三探究四探究五思想方法探究一探究二探究三探究四探究五思想方法生活中的几何概型度量区域的构建
【典例】 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一个人一刻钟,到时即可离去,求两人能会面的概率.
思路导引:甲、乙两人中每人到达会面地点的时刻都是6时到7时之间的任一时刻,如果在平面直角坐标系内用x轴表示甲到达会面地点的时间,y轴表示乙到达会面地点的时间,用0分到60分表示6时到7时的时间段,则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中,任一点的坐标(x,y)就表示甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间,而能会面的时间由|x-y|≤15所对应的图形区域表示.由于每人到达的时间都是随机的,所以正方形内每个点都是等可能被取到的(即基本事件等可能发生),所以两人能会面的概率问题可以转化成与面积有关的几何概型问题.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法探究一探究二探究三探究四探究五思想方法方法提炼1.将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解问题,构造出随机事件对应的几何图形,利用几何图形的度量来求随机事件的概率,根据实际问题的具体情况,合理设置参数,建立适当的坐标系,在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的点,便可构造出度量区域.
2.对于本题,解决的关键是把两个时间分别用x,y两个坐标轴表示,构成平面内的点(x,y),从而把时间这个一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题,转化成面积型几何概型问题,这种方法是解决这类问题的常用手法,不失为一种好方法.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法变式训练甲、乙两人约定上午7:00到8:00之间到某个汽车站乘车,在这段时间内有3班公共汽车,开车的时刻分别为7:20,7:40,8:00,如果他们约定,见车就乘,则甲、乙两人乘同一班车的概率为( )解析:设甲到达汽车站的时刻为x,乙到达汽车站的时刻为y,则7≤x≤8,7≤y≤8,即甲、乙两人到达汽车站的时刻(x,y)所对应的区域在平面直角坐标系中是大正方形(图略).答案:C 123451.下面关于几何概型的说法错误的是( )
A.几何概型也是古典概型的一种
B.几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关
C.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限个
D.几何概型中每个基本事件的发生具有等可能性
解析:本题考查几何概型的概念及特征,根据几何概型的概念可作出判断.几何概型的基本事件的个数是无限的,而古典概型要求基本事件的个数为有限个,故几何概型不是古典概型.
答案:A6123452.在400毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察,则发现大肠杆菌的概率为( )
A.0.008 B.0.004
C.0.002 D.0.005
解析:将问题转化为与体积有关的几何概型求解,概率为
答案:D612345解析:将问题转化为与长度有关的几何概型求解,当x0∈[-1,2]时,f(x0)≤0,因此
答案:C6123454.在圆心角为90°的扇形中,以圆心O为起点作射线OC,使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为 .?解析:作∠AOE=∠BOD=30°,如图所示,随机试验中,射线OC可能落在扇面AOB内任意一条射线上,而要使∠AOC和∠BOC都不小于30°(记为事件A),则OC落在扇形DOE内,即μΩ=90°,μA=30°,6123456123456课件32张PPT。3.4 概率的应用概率的应用
【问题思考】
1.概率在我们的现实生活中有很多应用.比如说,利用投硬币出现正面和反面的概率一样来决定足球比赛两队谁先开球或谁先选场地,用摇号的方法决定中奖号码,等等.实际上,概率的应用已涉及很多领域,如本节课介绍的程序设计、密码技术、社会调查、估计整体,等等.2.处理有关概率应用问题时需要注意哪些方面?
提示:(1)处理概率的应用题要抓住关键词语,转化为数学问题.
(2)用古典概型的观点求随机事件的概率时,首先是保证在试验中出现的结果的可能性是相等的,其次是通过一个比值的计算来确定随机事件的概率.
(3)在处理较复杂的问题时要注意事件的互斥性,合理运用概率的加法公式.
(4)几何概型的问题解决的关键是要构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的几何度量来求随机事件的概率.3.做一做:为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量,调查人员某天逮到这种动物1 200只作上标记后放回,经过一星期后,又逮到这种动物1 000只,其中有作过标记的100只,按概率方法估算,该保护区内大约有多少只这种动物?解:设该保护区内这种动物有x只,
?
即该保护区内约有这种动物12 000只.思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.答案:(1)× (2)√ 探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析答案:A 探究一探究二探究三易错辨析(2)某城市各种血型的人所占的比例如表: 已知同种血型的人可以输血,O型血可以输给任一种血型的人,其他不同血型的人不能互相输血,小明是B型血,若小明因病需要输血,求在该城市任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少?
解:在该城市对任找一个人,其血型为A,B,AB,O型血的事件分别记为A',B',C',D',它们是互斥的,由已知,有P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35.
因为B,O型血可以输血给小明,故“可以输血给小明”为事件B'∪D'.
根据互斥事件的加法公式有P(B'∪D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64.探究一探究二探究三易错辨析反思感悟1.随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机中蕴含着规律性,而概率恰是这种规律性在数量上的反映,认识了这种随机中的规律性,可以帮助我们预测事件发生的可能性的大小.
2.对一定数量的试验来说,事件发生的频率并不一定与概率完全相等.概率是频率的科学抽象,要通过大量重复试验来求得其近似值,因而概率是一个客观常数,它反映了随机事件的属性,如果一个事件是随机事件,即使该事件的概率再大,那么,在一次试验中,它可能发生,也可能不发生.
3.在实际应用中,要先分析问题是对应古典概型,还是几何概型,再用合理的方法解决问题,古典概型中要避免结果的疏漏,几何概型要分清是哪种几何度量(面积、长度、角度、体积等)的比.探究一探究二探究三易错辨析1.若例1(2)中条件不变,问任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?
解:由于A,AB型血不能输血给小明,故“不能输血给小明”为事件A'∪C',且P(A'∪C')=P(A')+P(C')=0.28+0.08=0.36.
2.例1(2)中若将条件改为“若小明是O型血”,则任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少?
解:因为小明是O型血,所以只有O型血可以输给小明,故“可以输血给小明”的概率为P(D')=0.35.探究一探究二探究三易错辨析【例2】 (1)一只蚂蚁在三边边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行,某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为 .?
(2)如图所示,沿田字形路线从A往N走,且只能向右或向下走,随机地选一种走法,则经过点C的概率为 .?探究一探究二探究三易错辨析解析:(1)如图所示,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,则△ABC的周长为3+4+5=12.探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析变式训练1(1)由人类的血型遗传分析得知,IA与IB为显性基因,不同血型的基因组成如下:一个男孩的血型为O型,母亲的血型为A型,父亲的血型为B型,问这个男孩的妹妹和他血型一样的概率是 .?
(2)如图所示,在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为 .?探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析【例3】 深夜,一辆出租车被牵涉进一起交通事故,该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司,其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%.据现场目击证人说,事故现场的出租车是红色的,并对证人的辨别能力作了测试,测得他辨认的正确率为80%,于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑.请问警察的认定对红色出租车公平吗?试说明理由.探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析反思感悟1.概率反映了随机事件发生的可能性的大小,概率是频率的近似值与稳定值,所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率.
2.在实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等.探究一探究二探究三易错辨析变式训练2小明、小英、小强三个同学进行某种游戏时需要确定做游戏的先后顺序,他们商定:将两枚质地均匀的一元硬币同时向上抛出,落地后,如果两个都是正面向上,小明先做;如果两个都是反面向上,小英先做;如果两个一正一反,小强先做.确定了第一以后(不妨设小强已确定为第一),再将一枚硬币向上抛出,落地后,如果正面向上,小明第二,小英第三;如果反面向上,小英第二,小明第三.
请你思考一下,他们用这样的办法来确定做游戏的先后顺序是否合理?每个人取得第一、第二和第三的机会是否均等?为什么?探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析不理解概率的本质而致误
【典例】 经统计,某篮球运动员的投篮命中率为90%.对此有人解释为其投篮100次一定有90次命中,10次不中,你认为正确吗?
错解正确.
正解这种解释显然是不正确的.因为“投篮命中”是一个随机事件,90%是指“投篮命中”这个事件发生的概率,是事件发生的可能情况,所以这种解释是错误的.探究一探究二探究三易错辨析防范措施1.要知道对一定数量的试验来说,事件发生的频率并不一定与概率完全相等.概率是频率的科学抽象,概率是一个客观常数,它反映了随机事件的属性,如果一个事件是随机事件,即使该事件的概率再大,那么,在一次试验中,它可能发生,也可能不发生.
2.对于本典例投篮命中率为90%,仅是指该运动员投篮命中的概率,是一种可能,90%也是概率意义下的数值,是一个抽象的理论值,但不能理解成投篮100次就一定命中90次,这是典型的未区分好频率与概率的区别问题.123451.某单位电话总机室内有2部外线电话:T1和T2,在同一时间内,T1打入电话的概率是0.4,T2打入电话的概率是0.5,两部同时打入电话的概率是0.2,则至少有一部电话打入的概率是( )
A.0.9 B.0.7 C.0.6 D.0.5
解析:所求的概率为0.4+0.5-0.2=0.7.
答案:B6123452.先将一个棱长为3的正方体木块的六个面分别都涂上颜色,再将该正方体均匀切割成棱长为1的小正方体,现从切好的小正方体中任取一块,所得小正方体的六个面均恰有一面涂有颜色的概率是( )解析:棱长为3的正方体均匀切割成棱长为1的小正方体,一共有27块.∵小正方体的一面涂色,分别位于大正方体的各个面的中心,有6块.∴所得小正方体的六个面均恰有一面涂有颜色的概率是答案:A 6123453.经临床验证,一种新药对某种疾病的治愈率为54%,显效率为22%,有效率为12%,其余均无效,则某人患该病后使用此药无效的概率为 .?
解析:无效的概率P=1-54%-22%-12%=12%.
答案:12%6123454.一个袋子中有5个红球,3个白球,4个绿球,8个黑球,如果随机地摸出一个球,记A={摸出黑球},B={摸出白球},C={摸出绿球},D={摸出红球},则P(A)= ;P(B)= ;P(C∪D)= .?6123455.如图所示,在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板,上面画了小、中、大三个同心圆,半径分别为2 cm,4 cm,6 cm,某人站在3 m之外向此板投镖.投镖击中线上或没有投中木板时都不算,可重投,问:
(1)投中大圆内的概率是多少?
(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少?
(3)投中大圆之外的概率是多少?612345解:整个正方形木板的面积,即基本事件所占的区域总面积为μΩ=16×16=256(cm2).
记“投中大圆内”为事件A,“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B,“投中大圆之外”为事件C,则
事件A所占区域面积为μA=π×62=36π(cm2);
事件B所占区域面积为
μB=π×42-π×22=16π-4π=12π(cm2);
事件C所占区域面积为μC=μΩ-μA=(256-36π)(cm2).
由几何概型的概率公式得61234566.在生活中,我们有时要用抽签的方法决定一件事情,例如在5张票中有1张奖票,5个人按照顺序从中各抽1张以决定谁得到其中的奖票,那么,先抽还是后抽(后抽的人不知道先抽的人抽出的结果),对每个人来说公平吗?也就是说,每个人抽到奖票的概率相等吗?课件60张PPT。第3课时 概率知识网络要点梳理思考辨析概
率 知识网络要点梳理思考辨析1.事件的分类:事件包括:必然事件、不可能事件和随机事件.
2.在n次重复进行的试验中,事件A发生的次数为m,则事件A发生的频率为
3.随机事件A发生的概率的范围为0≤P(A)≤1.特别地,当A是必然事件时,P(A)=1;当A是不可能事件时,P(A)=0.
4.若事件A,B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).
5.若事件A与B是对立事件,则P(A)+P(B)=1.6.古典概型的概率公式是_________________________.
7.几何概型的概率公式是_________________________.知识网络要点梳理思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)随机事件和随机试验是一回事. ( )
(2)事件发生的频率与概率是相同的. ( )
(3)若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)=1. ( )
(4)掷一枚质地均匀的硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三种结果是等可能事件. ( )
(5)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率. ( )
(6)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的. ( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)×知识网络要点梳理思考辨析(7)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关. ( )
(8)在一次试验中,其基本事件的发生一定是等可能的. ( )
(9)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生. ( )
(10)在古典概型中,如果事件A中基本事件构成集合A,所有的基本事件构成集合I,那么事件A的概率为 . ( )答案: (7)× (8)× (9)√ (10)√ 专题归纳高考体验专题一 互斥事件、对立事件及其概率的求法
【例1】 某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅,记事件A为“只订甲报”,事件B为“至少订一种报”,事件C为“至多订一种报”,事件D为“不订甲报”,事件E为“一种报也不订”,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.
(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E.
思路分析:利用互斥事件、对立事件的定义并结合具体情况,要先弄清楚基本事件空间中所有可能的结果为只订甲,只订乙,订甲、乙两种,甲、乙都不订.专题归纳高考体验解:(1)由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.
(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件,由于事件B发生可导致事件E一定不发生,且事件E发生会导致事件B一定不发生,故B与E还是对立事件.
(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报,即有可能不订甲报,即事件B发生时,事件D也可能发生,故B与D不是互斥事件.
(4)事件B“至少订一种报”中有这些可能:“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”,事件C“至多订一种报”中有这些可能:“什么也不订”“只订甲报”“只订乙报”.由于这两个事件可能同时发生,故B与C不是互斥事件.
(5)由(4)的分析知,事件E“一种报也不订”只是事件C的一种可能,事件C与事件E有可能同时发生,故C与E不互斥.专题归纳高考体验反思感悟1.互斥事件与对立事件的联系与区别:
(1)不可能同时发生的两个事件称为互斥事件.
(2)对立事件则要同时满足两个条件:一是不可能同时发生;二是必有一个发生.
(3)在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能只有一个发生,而两个对立事件则必有一个发生且不可能同时发生.
(4)对立事件一定是互斥事件,而互斥事件不一定是对立事件.
2.互斥事件与对立事件的概率计算:
(1)若事件A1,A2,…,An彼此互斥,则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).专题归纳高考体验3.求复杂事件的概率通常有两种方法:
(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和.
(2)先求其对立事件的概率,然后再应用公式P(A)=1- 求解.专题归纳高考体验变式训练1从四双不同的鞋中任意摸出4只,事件“4只全部成对”的对立事件是( )
A.至多有两只不成对 B.恰有两只不成对
C.4只全部不成对 D.至少有两只不成对
解析:从四双不同的鞋中任意摸出4只,可能的结果为“恰有2只成对”“4只全部成对”“4只都不成对”,
∴事件{4只全部成对}的对立事件是{恰有2只成对}+{4只都不成对}={至少有两只不成对},故选D.
答案:D专题归纳高考体验【例2】 现有8名数理化成绩优秀者,其中A1,A2,A3数学成绩优秀,B1,B2,B3物理成绩优秀,C1,C2化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛.求:
(1)C1被选中的概率;
(2)A1和B1不全被选中的概率.
解:(1)从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2), (A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2), (A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2), (A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)}.由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等.因此这些基本事件的发生是等可能的.专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题二 古典概型
【例3】 如果有两组牌,它们的牌面数字分别为1,2,3,那么从每组牌中摸出一张牌,两张牌的牌面数字和等于4的概率是多少呢?两张牌的牌面数字和为多少时概率最大?
思路分析:解古典概型问题的关键在于选择正确的基本事件,并能正确地数出基本事件的个数.数事件的个数可以通过列表、树形图、建坐标系等使问题变得形象直观.专题归纳高考体验专题归纳高考体验反思感悟古典概型的解题方法主要有以下两种:
(1)采取适当的方法,按照一定的顺序,把试验的所有结果一一列举出来,正确理解基本事件与事件A的关系.应用公式 计算概率.
(2)若所求概率的事件比较复杂,可把它分解成若干个互斥的事件,利用概率的加法公式求解;或利用求其对立事件,利用对立事件的概率求解.专题归纳高考体验变式训练2有A,B,C,D四位贵宾,应分别坐在a,b,c,d四个席位上,现在这四人均未留意,在四个席位上随便坐下时求:
(1)这四人恰好都坐在自己的席位上的概率;
(2)这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率;
(3)这四人恰有1位坐在自己的席位上的概率.专题归纳高考体验解:将A,B,C,D四位贵宾就座情况用下图的图形表示出来(座位依次是a,b,c,d):专题归纳高考体验专题归纳高考体验专题三 几何概型
【例4】 如图所示,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 ( )专题归纳高考体验解析:如图所示:
不妨设扇形的半径为2a,记两块白色区域的面积分别为S1,S2,两块阴影部分的面积分别为S3,S4,答案:A 专题归纳高考体验【例5】 某人从甲地去乙地共走了500 m,途经一条宽为x m的河流,该人不小心把一件物品丢在途中,若物品掉在河里就找不到;若物品不掉在河里,则能找到.已知该物品能被找到的概率为 ,则河宽为 m.?答案:100 专题归纳高考体验反思感悟几何概型的解题方法主要有以下两种:
(1)解决几何概型问题的关键是借助相关的公式计算出相关长度、面积、体积的值.
(2)解几何概型问题时,常常需要寻找不等关系.要找不等关系,需先找等量关系,再借助图形分析寻找不等关系,最后利用公式计算.专题归纳高考体验答案:A 专题归纳高考体验专题四 概率在现实中的应用
【例6】 我们来看一种在国外颇为盛行的赌博——“碰运气游戏”.它的规则如下:每个参加者每次先付赌金1元,然后将三枚骰子一起掷出.他可以猜某一个点数,譬如赌“1”点.如果三枚骰子中出现一个“1”点,庄家除把赌金1元返还外,再奖1元;如果出现两个“1”点,除返还赌金外,再奖2元;如果全是“1”点,那么除返还赌金外,再奖3元.专题归纳高考体验解:我们来计算一下,三枚骰子一起掷,会出现怎样的情况?第一枚有6种可能,而对于它的每一种结果,第二枚又有6种可能,第三枚也是如此,所以一共有216种.在这216种可能结果中,三枚点数各不相同的可能就有120种.三枚点数完全相同的可能只有6种,即都是“1”“2”…“6”.余下的有216-120-6=90(种)可能,就是三枚中有两枚点数相同的情况.
一个参加者,假设他总是赌“1”点,如果猜了216次,那么他能有几次获奖呢?先来看只有一枚出现“1”点的情况:出现“1”点的骰子可能是第一枚,也可能是第二或第三枚,共有三种可能;而其余两枚不出现“1”点的可能性有25种,所以共有75种可能.这75种可能出现时,他可获2元,那么总共可获75×2=150(元).再来看出现两枚“1”点的可能性:可以出现在第一和第二枚,也可以是第一和第三枚,还可以是第二和第三枚,也是三种可能;而另一枚骰子不出现“1”点只有5种可能,所以共有15种可能.这时,每次他可获3元,共45元.最后,三枚都出现“1”点的只有一种可能,这时,他可获4元. 专题归纳高考体验这样,216次,他共获150+45+4=199(元).但每次先付1元,他共付了216元.所以,一般来说,他会输216-199=17(元).
我们再来看看庄家的情况.假设有6人参加赌博,每人分别赌“1”“2”…“6”点,并且假定进行了216次.庄家每次收进了6元赌金,216次共收了6×216=1 296(元).那么他会付出多少元呢?
从前面的分析中我们已经知道,在216次中有120次结果是三枚骰子点数各不相同的.譬如,出现了“1”“2”“3”,于是赌“4”“5”“6”点的三位参加者就输了.庄家要付给赢的三家每人2元,共6元,120次,共计6×120=720(元).另外有90次是有两枚骰子点数相同的,譬如“1”“1”“2”,那么,赌“3”“4”“5”“6”点的就输了,赌“2”点的可得2元,赌“1”点的可得3元,庄家每次付出5元,90次共计5×90=450(元).最后,还有6次是三枚骰子点数完全相同的,譬如都是“1”,这时,只有赌“1”点的赢,可得4元,共24元.
所以,庄家一共付出720+450+24=1 194(元),于是庄家净赚1 296-1 194=102(元),约占总金额的7.9%.专题归纳高考体验反思感悟所谓“机会型”赌博,一般认为胜败完全靠运气,它容易引诱青少年上当,因为表面上看起来机会是均等的,甚至有利于参加者,事实上,几乎所有的“机会型”赌博,机会不是均等的,总是利于庄家的.因此,赌博是没有好处的,千万不要参加赌博.专题归纳高考体验考点一 古典概型
1.(2017全国2,文11)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )专题归纳高考体验解析:由题意可得抽取两张卡片上的数的所有情况如下表所示(表中点的横坐标表示第一次取到的数,纵坐标表示第二次取到的数):答案:D 专题归纳高考体验2.(2016全国1,文3)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )解析:总的基本事件是:红黄,白紫;红白,黄紫;红紫,黄白,共3种.满足条件的基本事件是:红黄,白紫;红白,黄紫,共2种.故所求事件的概率为
答案:C专题归纳高考体验3.(2016全国3,文5)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )解析:密码的前两位共有15种可能,其中只有1种是正确的密码,因此所求概率为 .故选C.
答案:C专题归纳高考体验4.(2015全国1,文4)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( )解析:从1,2,3,4,5中任取3个数共有10种不同的取法,其中的勾股数只有3,4,5,因此3个数构成一组勾股数的取法只有一种,故所求概率为
答案:C专题归纳高考体验5.(2016四川,文13)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是 .?
解析:从2,3,8,9中任取两个数记为a,b,作为对数的底数与真数,共有3×4=12个不同的基本事件,其中为整数的只有log28,log39两个基本事件,所以其概率专题归纳高考体验6.(2016江苏,7)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 .?专题归纳高考体验考点二 几何概型
7.(2017全国1,理2)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )答案:B 专题归纳高考体验8.(2016全国2,文8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )解析:因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 ,故选B.
答案:B专题归纳高考体验9.(2016全国1,理4)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )答案:B 专题归纳高考体验10.(2016全国2,理10)从区间{0,1}随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…, yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )答案:C 专题归纳高考体验答案:B 解析:设点P的坐标为(x,y),由题意x,y∈[0,1],所以点P在正方形OABC内,S正方形OABC=1×1=1.专题归纳高考体验12.(2016山东,理14)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为 .?专题归纳高考体验13.(2015重庆,文15)在区间[0,5]上随机地选择一个数p,则方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为 .?解析:当方程x2+2px+3p-2=0有两个负根x1和x2时,专题归纳高考体验考点三 频率和概率、概率加法公式的应用
14.(2016全国甲,文18)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:专题归纳高考体验(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;
(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.专题归纳高考体验专题归纳高考体验15.(2015北京,文17)某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;
(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?专题归纳高考体验专题归纳高考体验16.(2014四川,文16)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;
(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.专题归纳高考体验解:(1)由题意,(a,b,c)所有的可能为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1), (1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1), (2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1), (3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.
设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,
则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种.专题归纳高考体验考点四 概率、统计、抽样调查问题
17.(2017全国3,文18)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:专题归纳高考体验以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.专题归纳高考体验解:(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为 ,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,
若最高气温不低于25,
则Y=6×450-4×450=900;
若最高气温位于区间[20,25),
则Y=6×300+2(450-300)-4×450=300;
若最高气温低于20,
则Y=6×200+2(450-200)-4×450=-100.
所以,Y的所有可能值为900,300,-100.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为 ,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.专题归纳高考体验18.(2015福建,文18)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标.根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示.(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研,求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率;
(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.专题归纳高考体验解法一:(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1,A2,A3;融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1,B2.
从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是:
{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2}, {A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共10个.
其中,至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},共9个.专题归纳高考体验解法二:(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1,A2,A3;
融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1,B2.
从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有的基本事件是:
{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},
{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共10个.
其中,没有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是{B1,B2},共1个.(2)同解法一. 专题归纳高考体验19.(2015天津,文15)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;
(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.
①用所给编号列出所有可能的结果;
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.专题归纳高考体验解:(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4}, {A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.
②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5}, {A4,A6},{A5,A6},共9种.因此,事件A发生的概率专题归纳高考体验20.(2015安徽,文17)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].
?
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;
(3)从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人,求此2人的评分都在[40,50)的概率.专题归纳高考体验解:(1)因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,所以a=0.006.
(2)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022+0.018)×10=0.4,
所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.
(3)受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10=3(人),记为A1,A2,A3;
受访职工中评分在[40,50)的有50×0.004×10=2(人),记为B1,B2.
从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,它们是{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2}, {A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种,即{B1,B2},故所求的概率为专题归纳高考体验21.(2014全国2,文19)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了50位市民.根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高),绘制茎叶图如下:
?
(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数;
(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率;
(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.专题归纳高考体验解:(1)由所给茎叶图知,50位市民对甲部门的评分由小到大排序,排在第25,26位的是75,75,故样本中位数为75,所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.(3)由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数,而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差,说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致,对乙部门的评价较低,评价差异较大.(注:利用其他统计量进行分析,结论合理的也可).