课件28张PPT。第二章 §2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程学习目标
1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.
2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.
3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点一 曲线与方程的概念设平面内有一动点P，属于下列集合的点组成什么图形？
(1){P|PA＝PB}(A，B是两个定点)；线段AB的垂直平分线；答案(2){P|PO＝3 cm}(O为定点).以O为圆心，3 cm为半径的圆.答案到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？解答y＝±x.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等.思考2 梳理一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1) 都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是 上的点，
那么，这个方程叫做 ；这条曲线叫做 .方程的曲线曲线上点的坐标曲线曲线的方程知识点二 曲线的方程与方程的曲线解读思考1 曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？试举例说明.不能.还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线上.例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与“方程x2＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4.答案方程 ＝0 能否表示直角坐标系中的第一、三象限的角平
分线？方程x－y＝0呢？解答方程 ＝0不能表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线.因为第一、三象限角平分线上的点不全是方程 ＝0的解.例如，点A(－2，－2)不满足方程，但点A是第一、三象限角平分线上的点.方程x－y＝0能够表示第一、三象限的角平分线.思考2 梳理(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法.曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上.定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏.
(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了 关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质.一一对应题型探究类型一 曲线与方程的概念理解与应用 命题角度1 曲线与方程的判定
例1 命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是
A.方程f(x，y)＝0的曲线是C
B.方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C
C.f(x，y)＝0是曲线C的方程
D.以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上答案解析不论方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，还是曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以A、C、D错误.
举例如下：曲线C：一、三象限角平分线，方程为|x|＝|y|，显然满足已知条件，但A、C、D错.解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可.
判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程.反思与感悟 跟踪训练1 设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是
A.坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上
B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0
C.坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上
D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0答案解析“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A、C错，B显然错.命题角度2 曲线与方程的概念应用
例2 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.证明①如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点.
因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，
所以|x0|·|y0|＝k，即(x0，y0)是方程xy＝±k的解.
②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，
则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.
而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点.由①②可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程.解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.反思与感悟跟踪训练2 写出方程(x＋y－1) ＝0表示的曲线.解答
即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1，
∴方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1).类型二 曲线与方程关系的应用例3 已知方程x2＋(y－1)2＝10.
(1)判断点P(1，－2)，Q( ，3)是否在此方程表示的曲线上；解答∵12＋(－2－1)2＝10，( )2＋(3－1)2＝6≠10，
∴P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，Q( ，3)不在此曲线上.解答判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断.反思与感悟跟踪训练3 若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围.解答∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，
∴a2＋a2＋2a＋k＝0.
当堂训练234511.曲线f(x，y)＝0关于直线x－y－3＝0对称的曲线方程为
A.f(x－3，y)＝0 B.f(y＋3，x)＝0
C.f(y－3，x＋3)＝0 D.f(y＋3，x－3)＝0由对称轴x－y－3＝0得x＝y＋3，y＝x－3可知D正确.答案解析√234512.方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线x－y＝0对称同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称.答案解析√234513.方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形为_____________.原方程可化为(2x－y)(2x＋y＋3)＝0，即2x－y＝0或2x＋y＋3＝0，∴原方程表示直线2x－y＝0和直线2x＋y＋3＝0.答案解析两条相交直线234514.若曲线ax2＋by2＝4过点A(0，－2)， 则a＝___，b＝___.答案解析41234515.方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是_______.
∴方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是4个点.答案解析4个点规律与方法1.判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上.
2.已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.课件32张PPT。第二章 §2.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程学习目标
1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点，感受曲线的实际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用.
2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.
3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的概念. 题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点一 坐标法的思想怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题.答案思考2 依据一个给定的平面图形，选取的坐标系惟一吗？不惟一，常以得到的曲线方程最简单为标准.答案梳理(1)坐标法：借助于 ，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法.
(2)解析几何研究的主要问题：
①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出 .
②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究 .曲线的性质坐标系表示曲线的方程知识点二 求曲线的方程的步骤有序实数对(x，y)P＝{M|p(M)}p(M)f(x，y)＝0f(x，y)＝0方程的解题型探究类型一 直接法求曲线的方程例1 一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍.求动点P的轨迹方程.解答设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.
化简，得3x2＋4y2＝48，
故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.引申探究
若本例中的直线改为“y＝8”，求动点P的轨迹方程.解答据题设P(x，y)，
则P到直线y＝8的距离d＝|y－8|，
化简，得4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.
故动点P的轨迹方程为4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.直接法求动点轨迹的关键及方法
(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件.
(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明.
特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.反思与感悟解答设点P(x，y)，由M(－1，0)，N(1，0)，
∴点P的轨迹方程为x2＋y2＝3(x>0).类型二 代入法求解曲线的方程例2 动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程.设P(x，y)，M(x0，y0)，
又因为M在曲线x2＋y2＝1上，
所以(2x－3)2＋4y2＝1.
所以P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.解答代入法求解轨迹方程的步骤
(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0).反思与感悟(3)代入相关动点的轨迹方程.
(4)化简、整理，得所求轨迹方程.跟踪训练2 △ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条定直线移动，求△ABC外心的轨迹方程.解答如图所示，以BC所在的定直线为x轴，以过A点与x轴垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则A点的坐标为(0，b).设△ABC的外心为M(x，y)，
作MN⊥BC于N，则MN是BC的垂直平分线.
∵|BC|＝2a，∴|BN|＝a，|MN|＝|y|.
又M是△ABC的外心，∴M∈{M||MA|＝|MB|}.
化简，得所求轨迹方程为x2－2by＋b2－a2＝0.类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点例3 过点M(1，2)的直线与曲线y＝ (a≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求a的取值范围.解答当过M点的直线斜率为零或斜率不存在时，
不可能与曲线有两个公共点.
设直线方程为y－2＝k(x－1)(k≠0)，
消去x，得y2－(2－k)y－ka＝0. ①
当此方程有两个不同的根，
即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点.
∴Δ＝(2－k)2＋4ka>0.设方程①的两根分别为y1，y2，
由根与系数的关系，得y1＋y2＝2－k.
又∵y1＋y2＝a，
∴k＝2－a，
代入Δ>0中，得a2＋4a(2－a)>0，
又∵k≠0，
∴2－a≠0，即a≠2.
结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.即两曲线C1和C2的方
程分别为F(x，y)＝0和G(x，y)＝0，则它们的交点坐标由方程组
的解来确定.反思与感悟跟踪训练3 直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程.解答设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5，0)，
再由OM⊥MP，
得|OP|2＝|OM|2＋|MP|2，
∴x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25，
∵点M应在圆内，
∴所求的轨迹为圆内的部分.当堂训练234511.曲线y＝ 与xy＝2的交点是
A.(1，1)
B.(2，2)
C.直角坐标系内的任意一点
D.不存在联立方程组无解.答案解析√234512.方程x2＋y2＝1(xy<0)表示的曲线是∵xy<0，当x>0时，y<0，曲线应在第四象限；当x<0时，y>0，曲线应在第二象限，且与坐标轴均无交点.答案解析√23451答案解析x＋y－1＝0(x≠0，x≠1)234514.已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是
______.答案解析5.M为直线l：2x－y＋3＝0上的一动点，A(4，2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且AP∶PM＝3，求动点P的轨迹方程.
因为点M(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
从而点P的轨迹方程为8x－4y＋3＝0.解析23451规律与方法求解轨迹方程常用方法
(1)直接法：直接根据题目中给定的条件进行确定方程.
(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程.
(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.(4)参数法：将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.
(5)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数.课件50张PPT。第二章 §2.2 椭圆2.2.1 椭圆及其标准方程(一)学习目标
1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.
2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点一 椭圆的定义给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆.答案思考2 在上述画椭圆过程中，笔尖移动需满足哪些条件？如果改变这些条件，笔尖运动时形成的轨迹是否还为椭圆？笔尖到两图钉的距离之和不变，等于绳长.绳长大于两图钉间的距离.若在移动过程中绳长发生变化，即到两定点的距离不是定值，则轨迹就不是椭圆.若绳长不大于两图钉间的距离，轨迹也不是椭圆.答案梳理(1)我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 .这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 .
(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：
P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a>|F1F2|}.焦距常数椭圆焦点(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：知识点二 椭圆的标准方程思考1 在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定.答案思考2 若两定点A、B间的距离为6，动点P到两定点的距离之和为10，如何求出点P的轨迹方程？答案梳理(1)椭圆标准方程的两种形式(c，0)(0，－c)(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标.题型探究类型一 椭圆的定义解读例1 点P(－3，0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹.解答方程x2＋y2－6x－55＝0化标准形式为：(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3，0)，半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆.引申探究
若将本例中圆C的方程改为：x2＋y2－6x＝0且点P(－3，0)为其外一定点，动圆M与已知圆C相外切且过P点，求动圆圆心M的轨迹方程.解答设M(x，y)，据题，圆C：(x－3)2＋y2＝9，
圆心C(3，0)，半径r＝3.
由|MC|＝|MP|＋r，故|MC|－|MP|＝r＝3，
椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视.
定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.
常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.反思与感悟跟踪训练1 下列命题是真命题的是____.(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点F1(－1，0)，F2(1，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝ 的点P的轨迹为椭圆；
②已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；
③到定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.① <2，故点P的轨迹不存在；②因为2a＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴).答案解析②类型二 求椭圆的标准方程命题角度1 用待定系数法求椭圆的标准方程解答
由a>b>0知不合题意，故舍去.方法二 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
引申探究解答(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0).反思与感悟跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－4，0)，F2(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；
据题2a＝10，c＝4，故b2＝a2－c2＝9，
解答(2)椭圆过点(3，2)，(5，1)；设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，
解答(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).解答命题角度2 用定义法求椭圆的标准方程
例3 已知一动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心M的轨迹方程.据题C1(－3，0)，r1＝1，C2(3，0)，r2＝9，
设M(x，y)，半径为R，
则|MC1|＝1＋R，|MC2|＝9－R，
故|MC1|＋|MC2|＝10，
据椭圆定义知，点M的轨迹是一个以C1，C2为焦点的椭圆，且a＝5，c＝3，故b2＝a2－c2＝16.
解答用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a，b的值.反思与感悟解答设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，
由|PF1|>|PF2|知，PF2垂直于长轴.
又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，
类型三 椭圆中焦点三角形问题例4 (1)已知P是椭圆 ＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积.解答
在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，
即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 30°，
∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，
∴∠F1PF2＝120°.解答在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形.这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数.
在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解.反思与感悟证明
在△PF1F2中，根据椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a.
两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝4a2. ①
根据余弦定理，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos α＝4c2. ②
①－②，得(1＋cos α)|PF1||PF2|＝2b2，
解答
从而|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由勾股定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4.
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2＝4，
所以|PF2|＝4－|PF1|.
当堂训练234511.已知A(－5，0)，B(5，0).动点C满足|AC|＋|BC|＝10，则点C的轨迹是
A.椭圆 B.直线 C.线段 D.点因为|AC|＋|BC|＝10＝|AB|，
所以点C的轨迹是线段AB，故选C.答案解析√234512.若方程3x2＋ky2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则k的可能取值为
A.1 B.3 C.0 D.－2答案解析√23451答案解析由椭圆的定义，得|PF1|＝2a－|PF2|，
即|PF1|＝10－|PF2|，
所以|PF1|＋|PM|＝10＋|PM|－|PF2|.
由三角形中“两边之差小于第三边”可知，
当P，M，F2三点共线时，|PM|－|PF2|取得最大值|MF2|，最小值－|MF2|.
23451234514.椭圆8x2＋3y2＝24的焦点坐标为__________________.答案解析23451解答
同理得a2＝4，b2＝8，此时a2
23451方法二 设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B).
23451规律与方法1.椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|).在解题过程中将|PF1|＋|PF2|看成一个整体，可简化运算.
2.椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决.
3.凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a(M为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标M(x0，y0)适合椭圆的方程，然后再进行代数运算.课件34张PPT。第二章 §2.2 椭圆2.2.1 椭圆及其标准方程(二)学习目标
加深理解椭圆定义及标准方程，能够熟练求解与椭圆有关的轨迹问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点 椭圆标准方程的认识与推导椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么？标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上.
答案思考2 依据椭圆方程，如何确定其焦点位置？把方程化为标准形式，与x2，y2相对应的分母哪个大，焦点就在相应的轴上.答案思考3 观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程.答案(1)如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，
线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.
(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的
焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0).
(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(－c，0)，F2(c，0)的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上.由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程.梳理(1)椭圆的标准方程的形式(2)方程Ax2＋By2＝1表示椭圆的充要条件是 .
(3)椭圆方程中参数a，b，c之间的关系为 .a2＝b2＋c2A>0，B>0且A≠B题型探究类型一 椭圆标准方程的确定解答方法一 (1)当焦点在x轴上时，
(2)当焦点在y轴上时，
此时不符合a>b>0，所以方程组无解.
方法二 设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0且A≠B)，
求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置.反思与感悟跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程.∵椭圆的焦点在y轴上，
又c＝2，∴b2＝a2－c2＝6.
解答(2)焦点在y轴上，且经过两点(0，2)和(1，0).∵椭圆的焦点在y轴上，
又椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
解答类型二 相关点法在求解椭圆方程中的应用例2 如图，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹.解答设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，
把x0＝x，y0＝2y代入方程①，
所以点M的轨迹是一个焦点在x轴上的椭圆.引申探究
若本例中“过点P作x轴的垂线段PD”，改为“过点P作y轴的垂线段PD”.那么线段PD的中点M的轨迹又是什么？设M(x，y)，P(x0，y0)，
故点M的轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆.解答如果一个动点P随着另一个在已知曲线上运动的动点Q而运动，则求P点的轨迹方程时一般用转代法来求解.基本步骤为
(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P(x，y)，已知曲线上动点坐标为Q(x1，y1).反思与感悟(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可.跟踪训练2 如图所示，B点坐标为(2，0)，P是以O为圆心的单位圆上的动点，∠POB的平分线交直线PB于点Q，求点Q的轨迹方程.解答
设Q(x，y)，P(x0，y0)，则(x－2，y)＝2(x0－x，y0－y)，
又∵点P在单位圆x2＋y2＝1上.
当堂训练23451因为焦点在x轴上，故m>1，故选A.答案解析√2.设B(－4，0)，C(4，0)，且△ABC的周长等于18，则动点A的轨迹方程为答案解析√2345123451答案解析23451
又c2＝a2－b2＝9，∴b2＝9，a2＝18，
2345123451答案解析5.△ABC的三边长a，b，c成等差数列，且b＝6，求顶点B的轨迹方程.解答以直线AC为x轴，AC的中点为原点，建立直角坐标系，设A(－3，0)，C(3，0)，B(x，y)，
则|BC|＋|AB|＝a＋c＝2b＝2|AC|＝12，
∴B点的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，
且a′＝6，c′＝3，b′2＝27.
23451规律与方法1.两种形式的椭圆的标准方程的比较如下表：要区别a2＝b2＋c2与习惯思维下的勾股定理c2＝a2＋b2.课件42张PPT。第二章 §2.2 椭圆2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)学习目标
1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.
2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点坐标(1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；
(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；
(3)特殊点：顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b).答案思考2 在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b).答案梳理椭圆的简单几何性质(±c，0)(0，±c)2a2babba知识点二 椭圆的离心率思考 如何刻画椭圆的扁圆程度？用离心率刻画扁圆程度，e越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁.答案梳理(1)椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率.扁题型探究类型一 由椭圆方程研究其简单几何性质例1 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，
四个顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)和(0，3).解答引申探究
本例中若把椭圆方程改为“9x2＋16y2＝1”求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.解答解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量.反思与感悟跟踪训练1 求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.
顶点坐标(0，9)，(0，－9)，(3，0)，(－3，0).
解答类型二 椭圆的几何性质简单应用命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程
例2 如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为 求这个椭圆的方程.解答
由椭圆的对称性知|B1F|＝|B2F|，
又B1F⊥B2F，∴△B1FB2为等腰直角三角形，
此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置.反思与感悟跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：
(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；解答(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.
∴b＝c＝6，∴a2＝b2＋c2＝72，
解答命题角度2 对称性问题
例3 讨论方程x3y＋x2y2＋xy3＝1所表示的曲线关于x轴，y轴，原点的对称性.用“－y”代替方程x3y＋x2y2＋xy3＝1中的“y”，得－x3y＋x2y2－xy3＝1，它改变了原方程，因此方程x3y＋x2y2＋xy3＝1所表示的曲线不关于x轴对称.
同理，方程x3y＋x2y2＋xy3＝1所表示的曲线也不关于y轴对称.
而用“－x”代替原方程中的“x”，用“－y”代替原方程中的“y”，得(－x)3(－y)＋(－x)2(－y)2＋(－x)(－y)3＝1，即x3y＋x2y2＋xy3＝1，故方程x3y＋x2y2＋xy3＝1所表示的曲线关于原点对称.解答研究曲线关于x轴，y轴，原点的对称性，只需用“－y”代替方程中“y”，用“－x”代替方程中的“x”，同时代替，若方程不变，则得到相应的对称性.反思与感悟 跟踪训练3 曲线x2－2y＋1＝0的对称轴为
A.x轴 B.y轴
C.直线y＝x D.无法确定答案解析保持y不变，以“－x”代替方程中“x”，方程不变，故该曲线关于y轴对称.命题角度3 最值问题解答求解椭圆的最值问题的基本方法有两种
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解；
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值.常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等.反思与感悟(1)求f(m)的解析式；解答设点A，B，C，D在x轴上的射影分别为A′(x1，0)，B′(x2，0)，C′(x3，0)，D′(x4，0)，
又∵x1＋x4＝0，且x1将直线y＝x＋1代入椭圆方程，整理得[2(m2－2m)－1]·x2＋2(m2－2m)x＋2(m2－2m)－(m2－2m)2＝0，
(2)求f(m)的最大值和最小值.∵f(m)在[3，5]上是减函数，
解答类型三 椭圆的离心率的求解解答依题意得F1(－c，0)，直线l：y＝k(x＋c)，则C(0，kc).
求e的取值范围有以下几个步骤：反思与感悟答案解析当堂训练23451答案解析√1.已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为2.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是答案解析√234513.若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3，0)，
则此椭圆的标准方程为__________.23451答案解析234514.已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是_________________.答案解析234515.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为__________.答案解析规律与方法1.可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题.而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理.
2.椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|·|PF2|看成一个整体灵活应用.
3.利用正弦、余弦定理处理△PF1F2的有关问题.
4.椭圆上的点到一焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.课件48张PPT。第二章 §2.2 椭圆2.2.2 椭圆的简单几何性质(二)学习目标
1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.
2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点一 点与椭圆的位置关系答案思考2 答案梳理知识点二 直线与椭圆的位置关系思考1 直线与椭圆有几种位置关系？有三种位置关系，分别有相交、相切、相离.答案思考2 答案梳理(1)判断直线和椭圆位置关系的方法
将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若Δ>0，则直线和椭圆 ；若Δ＝0，则直线和椭圆 ；若Δ<0，则直线和椭圆 .相离相交相切(2)根与系数的关系及弦长公式弦长(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用Δ>0.题型探究类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断命题角度1 点与椭圆位置关系的判断答案解析引申探究
若将本例中P点坐标改为“P(1，k)”呢？答案解析处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性.反思与感悟 A.点(－3，－2)不在椭圆上
B.点(3，－2)不在椭圆上
C.点(－3，2)在椭圆上
D.以上都不正确答案解析 A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交.答案解析命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断解答直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程
(1)Δ>0?直线与椭圆相交?有两个公共点.
(2)Δ＝0?直线与椭圆相切?有且只有一个公共点.
(3)Δ<0?直线与椭圆相离?无公共点.反思与感悟 A.1 B.1或2 C.2 D.0
所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点.答案解析 答案解析类型二 弦长及中点问题解答方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法
由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y－1＝k(x－2).
将其代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，
又M为线段AB的中点，
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.方法二 点差法
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2.
∵M(2，1)为线段AB的中点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B两点在椭圆上，
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.方法三 对称点法(或共线法)
设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，
由于点M(2，1)为线段AB的中点，
则另一个交点为B(4－x，2－y).
∵A，B两点都在椭圆上，
①－②，得x＋2y－4＝0.
即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.引申探究
在本例中求弦AB的长.由上例得直线AB方程为x＋2y－4＝0.
x(x－4)＝0，得x＝0或x＝4，
得两交点坐标A(0，2)，B(4，0)，
解答直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题，一般应用弦长公式.而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程.反思与感悟解答
若设A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
(2)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程.解答方法一 设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4).
(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.
由于AB的中点恰好为P(4，2)，
由于P(4，2)是AB的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
类型三 椭圆中的最值(或范围)问题例4 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；解答(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由(1)知：5x2＋2mx＋m2－1＝0，
所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x.解答求最值问题的基本策略
(1)求解形如|PA|＋|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA|＋|PB|取得最值.
(2)求解形如|PA|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围.
(3)求解形如ax＋by的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决.
(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围.反思与感悟解答
知点M在以A(3，0)为圆心，
1为半径的圆上运动，
∴PM⊥AM，即PM为⊙A的切线，连接PA(如图)，
当堂训练23451答案解析√C.－2C.相离 D.相切或相交
∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，
∴直线与椭圆相离.答案解析√234513.已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋ y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为_____.23451答案解析23451(－2，2)∵直线y＝kx＋b恒过定点(0，b)，
∴－223451
化简得k4＋k2－2＝0，
所以k2＝1，所以k＝±1.
所以所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.23451规律与方法1.直线与椭圆相交弦长的有关问题
(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长.(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况.2.解决椭圆中点弦问题的三种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.
(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P(x0，y0)，设其一交点为A(x，y)，
则另一交点为B(2x0－x，2y0－y)，两式作差即得所求直线方程.
特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错.课件52张PPT。第二章 §2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程学习目标
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.
2.掌握双曲线的标准方程及其求法.
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 双曲线的定义思考 若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；
如果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，
可得到另一条曲线.答案梳理(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线. 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的 ；
(2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的 (包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在.
(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的 .
(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是 .线段F1F2的中垂线绝对值这两个定点焦距两条射线一支知识点二 双曲线的标准方程思考1 双曲线的标准方程的推导过程是什么？答案(1)建系：以直线F1F2为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系.
(2)设点：设M(x，y)是双曲线上任意一点，且双曲线的焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0).
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a，
(4)化简：移项，平方后可得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2).
(5)检验：从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c，0)，(c，0)的距离之差的绝对值为2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上，这样，就把方程②叫做双曲线的标准方程.(此步骤可省略)思考2 双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定.答案梳理(1)两种形式的标准方程F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)a2＋b2＝c2(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在 上；若y2项的系数为正，那么焦点在 上.
(3)双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0).
(4)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里的b2＝ 与椭圆中的b2＝ 相区别.a2－c2x轴y轴c2－a2题型探究类型一 双曲线的定义及应用命题角度1 双曲线中焦点三角形面积问题解答
得a＝3，b＝4，c＝5.
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
引申探究
本例中若∠F1PF2＝90°，其他条件不变，求△F1PF2的面积.解答由双曲线方程知a＝3，b＝4，c＝5，
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， ①
在Rt△F1PF2中，由勾股定理得
|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝100， ②
将②代入①得|PF1|·|PF2|＝32，
求双曲线中焦点三角形面积的方法
(1)方法一：
①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；反思与感悟(2)方法二：特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系.解答在△MF1F2中，由余弦定理，
得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|·cos θ. ①
∵|F1F2|2＝4c2，|MF1|2＋|MF2|2＝(|MF1|－|MF2|)2＋2|MF1|·|MF2|＝4a2＋2|MF1|·|MF2|，
∴①式化为4c2＝4a2＋2|MF1|·|MF2|(1－cos θ)，
当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，满足双曲线定义， P点的轨迹是双曲线.命题角度2 利用双曲线定义求其标准方程
例2 (1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是
A.|PF1|－|PF2|＝±3 B.|PF1|－|PF2|＝±4
C.|PF1|－|PF2|＝±5 D.|PF1|2－|PF2|2＝±4答案解析(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_________________.答案解析如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A
和B，根据两圆外切的条件 |MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|， 因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝2，表明动点M与两定点C2，
C1的距离的差是常数2.
根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹
方程为x2－ ＝1(x≤－1).双曲线定义的两种应用
(1)根据双曲线的定义判断动点轨迹时，一定要注意双曲线定义中的各个条件，不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数，就认为其轨迹是双曲线，还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大于零，否则就不是双曲线.反思与感悟(2)巧妙利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程，可以使运算量大大减小，同时提高解题速度和质量. 其基本步骤为
①寻求动点M 与定点F1，F2 之间的关系.
②根据题目的条件计算是否满足||MF1|－|MF2||＝2a(常数，a>0).
③判断：若2a<2c＝|F1F2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c＝|F1F2|，b2＝c2－a2，进而求出相应a，b，c.
④根据F1，F2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程.跟踪训练2 下列命题是真命题的是_____.(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点F1(－1，0)，F2(1，0)，则满足|PF1|－|PF2|＝ 的点P的轨迹为双曲线；
②已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足||PF1|－|PF2||＝4的点P的轨迹为两条射线；
③到定点F1(－3，0)，F2(3，0)距离之差的绝对值等于7的点P的轨迹为双曲线；
④若点P到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离的差的绝对值等于点M(1，2)到点N(－3，－1)的距离，则点P的轨迹为双曲线.答案解析②④① <2，故点P的轨迹是双曲线的一支；
②因为2a＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；
③到定点F1(－3，0)，F2(3，0)距离之差的绝对值等于7，而7>6，故点P的轨迹不存在；
④点M(1，2)到点N(－3，－1)的距离为 ＝5<8，故点P的轨迹是以F1(－4，0)，F2(4，0)为焦点的双曲线.类型二 待定系数法求双曲线的标准方程解答解答
∴a2＝12，b2＝8.
待定系数法求方程的步骤
(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，
①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1 (AB<0).反思与感悟(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值.
(4)结论：写出双曲线的标准方程.跟踪训练3 根据条件求双曲线的标准方程.
(1)c＝ ，经过点A(－5，2)，焦点在x轴上；
解得a2＝5或a2＝30(舍).
解答设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
解答解答类型三 双曲线定义的综合运用证明如图所示，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c，则在△PF1F2中，对于双曲线有|r2－r1|＝2m，
则在△PF1F2中，对于椭圆有r1＋r2＝2a，
(1)结合双曲线的定义，解决综合问题，诸如：实际应用题，焦点三角形问题等，要充分利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理等，利用化归思想，重点考查综合运用能力与求解能力.
(2)双曲线与椭圆的比较如下表：反思与感悟利用双曲线与椭圆的关系，可类比椭圆得到双曲线的有关结论，或用类似方法解决双曲线的有关问题，以及双曲线与椭圆的综合问题.解答解答类似的性质如下：
其证明过程如下：
设P(x，y)，M(m，n)，则N(－m，－n)，
故kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.当堂训练23451由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
即|3－|PF2||＝6，解得|PF2|＝9(负值舍去)，故选B.答案解析A.11 B.9 C.5 D.3√
又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，
答案解析√234513.已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线
的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为_________.令x＝0，得y2－4y＋8＝0，方程无解，即该圆与y轴无交点.
令y＝0，得x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4，
则符合条件的双曲线中a＝2，c＝4，
∴b2＝c2－a2＝16－4＝12，且焦点在x轴上，
答案解析234514.已知双曲线2x2－y2＝k(k≠0)的焦距为6，则k的值为_______.23451－6或6答案解析由题易知，k≠0.
综上，k＝－6或k＝6.2345123451答案解析规律与方法1.双曲线定义的理解
(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支.设F1，F2表示双曲线的左，右焦点，
若|MF1|－|MF2|＝2a，则点M在右支上；
若|MF2|－|MF1|＝2a，则点M在左支上.
(2)双曲线定义的双向运用：
①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线.
②若动点M在双曲线上，则||MF1|－|MF2||＝2a.2.求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式.
(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解.
特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，为简单起见，常标明条件mn<0.课件66张PPT。第二章 §2.3 双曲线2.3.2 双曲线的简单几何性质学习目标
1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).
2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.
3.掌握标准方程中a，b，c，e 间的关系.
4.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 双曲线的范围、对称性思考 观察下面的图形：(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？有限制，因为 ≥1，即x2≥a2，所以x≥a或x≤－a.
答案思考 (2)是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心.答案梳理(2)双曲线的对称轴为 ，对称中心为 .(－∞，－a]∪[a，＋∞)(－∞，－a]∪[a，＋∞)原点x轴、y轴RR知识点二 双曲线的顶点思考 (1)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，你认为对吗？为什么？不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点.答案思考 (2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线的顶点和焦点能在虚轴上吗？是，只有两个顶点.双曲线的顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上.答案梳理(0，a)(－a，0)(a，0)(0，－a)知识点三 渐近线与离心率思考1 能否和椭圆一样，用a，b表示双曲线的离心率？答案思考2 离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？答案梳理(2)离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率，用e表示(e>1).(3)双曲线的几何性质见下表：题型探究类型一 已知双曲线的标准方程求其简单几何性质例1 求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.解答引申探究
将本例改为“求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程”，请给出解答.解答由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.反思与感悟跟踪训练1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.解答
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；
类型二 由双曲线的几何性质确定标准方程例2 求下列双曲线的标准方程.解答
解得λ＝20或λ＝7(舍去)，
解答
则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.
于是，设所求双曲线方程为
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式.
(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧反思与感悟⑤渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0).
⑥渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
∵点M(3，－2)在双曲线上，
解答
∴a2＝3b2. ①
又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0，
解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1.
解答类型三 共轭双曲线与等轴双曲线解答命题角度1 共轭双曲线
又双曲线M与双曲线E互为共轭双曲线，
反思与感悟答案解析命题角度2 等轴双曲线
例4 已知等轴双曲线的焦点在x轴上，且焦点到渐近线的距离是 ，求此双曲线的方程.解答反思与感悟(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
(2)等轴双曲线的性质：①渐近线方程为y＝±x；②渐近线互相垂直；③离心率e＝ .
(3)等轴双曲线的特征是a＝b，等轴双曲线的方程可以设为x2－y2＝λ(λ≠0).当λ>0时，双曲线的焦点在x轴上；当λ<0时，双曲线的焦点在y轴上. 答案解析依据等轴双曲线的性质，得e＝ .类型四 直线与双曲线的位置关系解答命题角度1 直线与双曲线位置关系的判定与交点问题
例5 已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4.
(1)若直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围；
得(1－k2)x2＋2kx－5＝0. ①
直线与双曲线没有公共点，则①式方程无解.
解答(2)若直线与双曲线有两个公共点，求k的取值范围；直线与双曲线有两个公共点，则①式方程有两个不相等的根.
解答(3)若直线与双曲线只有一个公共点，求k的值.直线与双曲线只有一个公共点，则①式方程只有一解.
当1－k2＝0，即k＝±1时，①式方程只有一解；
当1－k2≠0时，应满足Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0，
反思与感悟①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2).Δ>0?直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交；
Δ＝0?直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切；
Δ<0?直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离.
通过几何图形也可判定直线与双曲线的位置关系，一般通过直线与渐近线的位置关系进行判断(图中α为渐近线倾斜角，θ为直线l倾斜角).
如图①，θ＝α时，直线l只与双曲线一支相交，交点只有一个；
如图②，θ>α时，直线l只与双曲线一支相交，交点有两个；
如图③，θ<α时，直线l与双曲线两支都相交，交点有两个.①求双曲线的离心率e的取值范围；解答设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知P(0，1)，
又x1，x2是方程①的两个根，
解答设直线l的斜率为k，则l：y＝k(x－1)＋1，
代入双曲线方程得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.
若4－k2＝0，即k＝±2，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；
解答命题角度2 直线与双曲线的相交弦及弦长问题
化简得3x2－2x－5＝0.
解答解答方法一 ∵该直线的斜率不存在时，直线与双曲线无交点，故可设直线的方程为y＝kx＋1，它被双曲线截得的弦AB对应的中点为P(x，y).
设此方程的解为x1，x2，则4－k2≠0，
Δ＝4k2＋20(4－k2)>0，
方法二 设弦的两个端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦的中点为P(x，y)，
①－②，得4(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)，
整理得4x2－y2＋y＝0(y<－4或y≥1).反思与感悟(2)涉及弦长的中点问题，常用“点差法”，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系.
其具体解题思路如下跟踪训练6 已知双曲线的方程为2x2－y2＝2.
(1)过定点P(2，1)作直线交双曲线于P1，P2两点，当点P(2，1)是弦P1P2的中点时，求此直线方程；解答若直线斜率不存在，即P1P2垂直于x轴，则由双曲线的对称性知弦P1P2的中点在x轴上，不可能是点P(2，1)，所以直线l斜率存在.
故可设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，
即y＝kx－2k＋1.
得(2－k2)x2＋2k(2k－1)x－4k2＋4k－3＝0.
设直线l与双曲线的交点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).
又点P(2，1)是弦P1P2的中点，
当k＝4时，Δ＝4k2(2k－1)2－4(2－k2)(－4k2＋4k－3)＝56×5>0.
综上可知，所求直线的方程为4x－y－7＝0.(2)过定点Q(1，1)能否作直线l，使l与此双曲线相交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.解答假设这样的直线l存在，设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，
∴2(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0，
∴2(x1－x2)－(y1－y2)＝0.
若直线Q1Q2垂直于x轴，
则线段Q1Q2中点不可能是点Q(1，1)，
∴直线Q1Q2的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
即2x2－4x＋3＝0，∴Δ＝16－24<0.
∴直线l与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在.当堂训练∵方程表示双曲线，
答案解析A.－4 B.－3 C.2 D.1√23451答案解析√234513.等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0)，则其标准方程为23451∵等轴双曲线的焦点为(－6，0)，∴c＝6，
∴2a2＝36，a2＝18.
答案解析√23451答案解析答案解析23451规律与方法双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力.
(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解.
(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.课件38张PPT。第二章 §2.4 抛物线2.4.1 抛物线及其标准方程学习目标
1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.
2.掌握抛物线的标准方程及其推导.
3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 抛物线的定义思考1 平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？连接两定点所得线段的垂直平分线.答案思考2 平面内，到两个确定平行直线l1，l2距离相等的点的轨迹是什么？一条直线.答案思考3 到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是什么？抛物线.答案梳理(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 .
(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1).准线相等焦点知识点二 抛物线的标准方程思考 抛物线的标准方程有何特点？(1)以方程的解为坐标的点在抛物线上；
(2)对称轴为坐标轴；
(3)p为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；
(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；
(5)焦点、准线到原点的距离都等于 .答案梳理由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0).
现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：题型探究类型一 抛物线的定义及理解
设动点M(x，y)，上式可看作动点M到原点的距离等于动点M到直线3x＋4y－12＝0的距离，所以动点M的轨迹是以原点为焦点，以直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线.A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上都不对答案解析设动点Q(x′，y′)，则有x′＝x＋y，y′＝xy，又有x2＋y2＝1，即(x＋y)2－2xy＝1，所以x′2－2y′＝1，故Q(x＋y，xy)的轨迹所在的曲线是抛物线.(2)已知点P(x，y)在以原点为圆心的单位圆x2＋y2＝1上运动，则点Q(x＋y，xy)的轨迹所在的曲线是_______.(在圆、抛物线、椭圆、双曲线中选择一个作答)答案解析抛物线抛物线的判断方法
(1)可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离.
(2)求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程.反思与感悟跟踪训练1 平面上动点P到定点F(1，0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程.解答方法一 设点P的坐标为(x，y)，
两边平方并化简得y2＝2x＋2|x|.
方法二 由题意，动点P到定点F(1，0)的距离比到y轴的距离大1，
由于点F(1，0)到y轴的距离为1，
故当x<0时，直线y＝0上的点适合条件；
当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1，0)与到直线x＝－1的距离相等，
故点P的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线，方程为y2＝4x.
类型二 抛物线标准方程及求解命题角度1 抛物线的焦点坐标或准线方程的求解答案解析根据抛物线方程求准线方程或焦点坐标时，应先把抛物线的方程化为标准方程，即等式左端是二次项且系数是1，等式右端是一次项，这样才能准确写出抛物线的准线方程.反思与感悟因为抛物线的焦点坐标为(1，0)，
跟踪训练2 (1)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1，0)，则p＝___；准线方程为_______.2x＝－1答案解析焦点坐标为(10，0)，准线方程为x＝－10.(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
①y2＝40x；解答②4x2＝y；解答③3y2＝5x；解答④6y2＋11x＝0.解答
左顶点为(－3，0)，
∴p＝6，∴抛物线的方程为y2＝－12x.命题角度2 求解抛物线的标准方程
例3 根据下列条件分别求抛物线的标准方程.
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；解答设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，
又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.解答抛物线标准方程的求法
(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程.
(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值.反思与感悟设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
抛物线的焦点坐标为(－2，0)，准线方程为x＝2.跟踪训练3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程.解答类型三 抛物线在实际生活中的应用例4 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m、高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？解答反思与感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.跟踪训练4 喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？解答如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
因为点C(5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p·(－5)，因此2p＝5，所以抛物线的方程为x2＝－5y，点A(－4，y0)在抛物线上，
所以管柱OA的长为1.8 m.当堂训练答案解析A.y＝－1 B.y＝－2 C.x＝－1 D.x＝－2√234512.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为
A.4 B.－2 C.4或－4 D.12或－2由题可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，由定义知点P到准线的距
离为4，故 ＋2＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将点P的坐标代入x2＝－8y，
得m＝±4.答案解析√2345123451因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离，所以抛物线上
的动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即 ＝1，p＝2.
3.若抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝___.2答案解析4.若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝_____.23451答案解析5.已知M为抛物线y2＝4x上一动点，F为抛物线的焦点，定点N(2，3)，则|MN|＋|MF|的最小值为_____.答案解析23451规律与方法3.对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题.课件45张PPT。第二章 §2.4 抛物线2.4.2 抛物线的简单几何性质学习目标
1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.
2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 抛物线的范围思考 观察右侧图形，思考以
下问题：
(1)观察焦点在x轴的抛物
线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心.答案思考 (2)根据图形及抛物线方程y2＝2px(p>0)如何确定横坐标x的范围？由抛物线y2＝2px(p>0)有 所以x≥0.所以抛物线x的
范围为x≥0.抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.答案梳理抛物线y2＝2px(p>0)中，x∈ ，y∈ .
抛物线y2＝－2px(p>0)中，x∈ ，y∈ .
抛物线x2＝2py(p>0)中，x∈ ，y∈ .
抛物线x2＝－2py(p>0)中，x∈ ，y∈ .(－∞，0][0，＋∞)(－∞，＋∞)(－∞，0](－∞，＋∞)(－∞，＋∞)[0，＋∞)(－∞，＋∞)知识点二 四种形式的抛物线的几何性质知识点三 直线与抛物线的位置关系当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有 个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线 公共点.
当k＝0时，直线与抛物线的轴 ，此时直线与抛物线有 个公共点.1两一没有平行或重合题型探究类型一 依据抛物线的几何性质求标准方程
∴抛物线的对称轴为x轴，
∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0).
∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，
其准线方程分别为x＝－3或x＝3.例1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程.解答引申探究
将本例改为“若抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4”，求此抛物线的标准方程.解答由题意，设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，
所以|AB|＝2|m|.
因为△OAB的面积为4，
用待定系数法求抛物线方程的步骤反思与感悟跟踪训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝ ，求抛物线方程.解答由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上.
故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).
设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2).
∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，
∴点A与B关于x轴对称，
∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x.类型二 抛物线的焦半径和焦点弦问题由抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，得直线的方程为y＝x－2，代入y2＝8x得(x－2)2＝8x即x2－12x＋4＝0.所以x1＋x2＝12，弦长为x1＋x2＋p＝12＋4＝16.例2 (1)过抛物线y2＝8x的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为____.16答案解析(2) 直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为_______________________.x＋y－1＝0或x－y－1＝0答案解析∵抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，
若l与x轴垂直，则|AB|＝4，不符合题意，
∴可设所求直线l的方程为y＝k(x－1).
(3)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若
|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为___.答案解析(1)抛物线上任一点P(x0，y0)与焦点F的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为：反思与感悟(2)已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：⑤以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
(3)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.跟踪训练2 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；解答因为直线l的倾斜角为60°，
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.解答命题角度1 与抛物线有关的最值问题类型三 抛物线综合问题解答抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
如图，过点P作PN垂直x＝－1于点N，
由抛物线的定义可知|PF|＝|PN|，
即∠PAN最小，即∠PAF最大，
此时，PA为抛物线的切线，
得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，
所以Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0，
解得k＝±1，
(1)若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点.
(2)以上问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决.反思与感悟 跟踪训练3 已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是由题意知，直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线.由抛物线的定义知，点P到直线l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1，0)的距离.故所求最值可转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得点P到点F(1，0)和到直线l1的距离之和
最小，最小值为F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即d＝ ＝2.答案解析命题角度2 定值或定点问题
例4 抛物线y2＝2px(p>0)上有两动点A，B及一个定点M，F为抛物线的焦点，若|AF|，|MF|，|BF|成等差数列.
(1)求证：线段AB的垂直平分线过定点Q.证明设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
即t(x－x0－p)＋yp＝0，可知线段AB的垂直平分线过定点Q(x0＋p，0).(2)若|MF|＝4，|OQ|＝6(O为坐标原点)，求抛物线的方程.解答反思与感悟在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数关系的利用、焦半径的转化等.设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，
解得b＝2，故直线过定点(2，0).证明当堂训练答案解析1.已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为√234512.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为答案解析√234512345123451易知抛物线的准线方程为x＝－1，则线段AB的中点到准线的距离为3－(－1)＝4.由抛物线的定义易得|AB|＝8.3.过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|＝___.8答案解析4.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝___.234512答案解析设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
易知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，
∴y1＋y2＝2p，y1y2＝－p2.
即(2p)2－4×(－p2)＝32.
又p>0，∴p＝2.234515.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且|AK|＝ |AF|，则△AFK的面积为___.易知F(2，0)，K(－2，0)，过点A作AM垂直准线于点M，则|AM|＝|AF|，
8答案解析23451规律与方法1.抛物线的中点弦问题用点差法较简便.
2.轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系.
3.在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化.课件36张PPT。第二章 圆锥曲线与方程章末复习课学习目标
1.理解曲线方程的概念，掌握求曲线方程的常用方法.
2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义法求标准方程.
3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.
4.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.
5.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识点一 三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质知识点二 待定系数法求圆锥曲线标准方程1.椭圆、双曲线的标准方程2.抛物线的标准方程
求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小.当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出参数p的值.知识点三 直线与圆锥曲线有关的问题1.直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0?直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0?直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0?直线与圆锥曲线无交点.题型探究类型一 圆锥曲线定义的应用答案解析如图，设点B为椭圆的左焦点，点M(2，1)在椭圆内，
那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，
所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，
而a＝4，
应用定义解决问题时，需紧扣其内涵，注意限制条件是否成立，然后得到相应的结论.反思与感悟 跟踪训练1 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与到直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是
A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线答案解析∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴D1C1⊥侧面BCC1B1.∴D1C1⊥PC1.
∴PC1为P到直线D1C1的距离.
∵P到直线BC与到直线C1D1的距离相等，
∴PC1等于P到直线BC的距离，
∴点P到点C1的距离等于P到直线BC的距离，
由圆锥曲线的定义知，动点P的轨迹所在的曲线是抛物线. 类型二 圆锥曲线性质的应用例2 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为____.答案解析如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，
由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P
到F的距离.
于是，问题转化为在抛物线上求一点P，
使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，
显然，连接AF与抛物线相交得的点即为满足题意的点，
圆锥曲线的性质综合性强，需弄清每个性质的真正内涵，然后正确地应用到解题中去.反思与感悟 答案解析类型三 直线与圆锥曲线的位置关系问题解答
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
①当直线AB与x轴不垂直时，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，将y＝k(x＋1)代入椭圆方程x2＋3y2＝5，消去y整理，得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.
＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1)
＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2.
②当直线AB与x轴垂直时，
解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解.
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围.反思与感悟跟踪训练3 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P在C上且其横坐标为1，以F为圆心、|FP|为半径的圆与C的准线l相切.
(1)求p的值；因为以F为圆心、|FP|为半径的圆与C的准线l相切，
所以圆的半径为p，即|FP|＝p，
所以FP⊥x轴，又点P的横坐标为1，
所以焦点F的坐标为(1，0)，从而p＝2.解答(2)设l与x轴交点为E，过点E作一条直线与抛物线C交于A，B两点，求线段AB的垂直平分线在x轴上的截距的取值范围.解答由(1)知抛物线C的方程为y2＝4x，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
线段AB的垂直平分线与x轴的交点D(x0，0)，
设直线AB的方程为x＝my－1，代入抛物线C的方程，
得y2－4my＋4＝0，由Δ>0得m2>1，由根与系数的关系得y1＋y2＝4m，
所以x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝4m2－2，
代入①得x0＝2m2＋1>3，
故线段AB的垂直平分线在x轴上的截距的取值范围是(3，＋∞).当堂训练234511.下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是
D项，y＝lg x2中，x≠0.y＝2lg x中x>0.
∴A、B选项中两函数值域不同，D选项中两函数定义域不同，故选C.答案解析C.y2－x2＝0与|y|＝|x| D.y＝lg x2与y＝2lg x√234512.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是∵两焦点恰好将长轴三等分，2a＝18，
答案解析√23451答案解析√23451∵y2＝8x的焦点为(2，0)，
∵c2＝m2－n2＝4，∴n2＝12.
234514.点P(8，1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是_____________.答案解析2x－y－15＝0
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
因为线段AB的中点为P(8，1)，
所以x1＋x2＝16，y1＋y2＝2.
所以直线AB的方程为y－1＝2(x－8)，
代入x2－4y2＝4满足Δ>0.
即直线方程为2x－y－15＝0.23451
∴y＝x＋3与x轴上半部分的一支双曲线有一个交点.
又∵直线y＝x＋3过椭圆顶点，
∴直线y＝x＋3与椭圆左半部分有两个交点，共计3个交点.3答案解析23451规律与方法1.离心率的几种求法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝ ，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法.
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出离心率，这是求离心率十分重要的方法.
(3)几何法：与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质、椭圆(双曲线)的几何性质和定义，建立参数之间的关系.2.圆锥曲线中的有关最值问题
在解决与圆锥曲线有关的最值问题时，通常的处理策略
(1)若具备定义的最值问题，可用定义将其转化为几何问题来处理.
(2)一般问题可由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解.如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性，亦可利用基本不等式等求解.