3.1.1 随机现象
3.1.2 事件与基本事件空间
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1.在1,2,3,…,10这10个数字中,任取3个数字,则“这3个数字之和大于6”这一事件是( )
A.必然事件 B.不可能事件
C.随机事件 D.以上选项均不正确
解析:因为1+2+3=6,故3个数字之和大于6是随机事件.
答案:C
2.为了丰富高一学生们的课外生活,某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组,小明要选报其中的2个,则基本事件有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析:基本事件有(数学,计算机),(数学,航空模型),(计算机,航空模型),共3个.
答案:C
3.从12个同类产品(其中有10个正品,2个次品)中任意抽取3个,下列是必然事件的是( )
A.3个都是正品 B.至少有1个次品
C.3个都是次品 D.至少有1个是正品
解析:12个产品中只有2个次品,故从中抽取3个至少有1个正品.
答案:D
4.先后抛掷2枚质地均匀的1分、2分的硬币,观察落地后硬币的正反面情况,则下列事件包含3个基本事件的是( )
A.“至少一枚硬币正面向上”
B.“只有一枚硬币正面向上”
C.“两枚硬币都是正面向上”
D.“两枚硬币中一枚正面向上,另一枚反面向上”
解析:“至少一枚硬币正面向上”包括“1分正面向上,2分正面向上”“1分正面向上,2分正面向下”“1分正面向下,2分正面向上”3个基本事件.
答案:A
5.导学号17504040已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},从集合A中选取不相同的两个数,构成平面直角坐标系上的点,观察点的位置,则事件“点落在x轴上”包含的基本事件共有( )
A.7个 B.8个
C.9个 D.10个
解析:点落在x轴上所包含的基本事件的特征是(x,0),又依题意,x≠0,且A中有9个非零常数,故共包含9个基本事件.
答案:C
6.①某人射击一次,中靶;②从一副牌中抽到红桃A;③种下一粒种子发芽;④掷一枚骰子,出现6点.其中是随机现象的是 .
答案:①②③④
7.(1)“从自然数中任取两数,其中一个是偶数”,这是 事件;
(2)“从自然数中任取连续两数,乘积是偶数”,这是 事件;
(3)“从自然数中任取两数,差为”,这是 事件.
答案:(1)随机 (2)必然 (3)不可能
8.若P(x,y)是坐标平面内的一点,其中x,y分别取1,2,3,4,5中的两个不同值.
(1)写出点P坐标的基本事件空间.
(2)其中“点P落在圆x2+y2=12内”包括哪几个基本事件
解:(1)基本事件空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)}.
(2)包括(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)4个基本事件.
9.导学号17504041将数字1,2,3,4任意排列,组成一个四位数,试写出该试验的基本事件空间,并指出事件“得到偶数”包含多少个基本事件.
解:这个试验的基本事件空间Ω={1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3124,3142,3214,3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321}.
其基本事件总数是24.事件“得到偶数”包含12个基本事件,这12个基本事件为:1234,1324,1342,1432,2134,2314,3124,3142,3214,3412,4132,4312.
10.导学号17504042设有一列单程北上的火车,已知停靠的站点由南至北分别为S1,S2,…,S10十站.若甲在S3站买票,乙在S6站买票.设基本事件空间Ω表示火车所有可能停靠的站,令A表示甲可能到达的站的集合,B表示乙可能到达的站的集合.
(1)写出该事件的基本事件空间Ω;
(2)写出事件A、事件B包含的基本事件;
(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票
解:(1)Ω={S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10}.
(2)A={S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10},B={S7,S8,S9,S10}.
(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种,从S2站发车的车票共计8种,……,从S9站发车的车票1种,合计共9+8+…+2+1=45(种).3.1.3 频率与概率
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1.设某厂产品的次品率为2%,估算该厂8 000件产品中合格品的件数大约为( )
A.160 B.7 840
C.7 998 D.7 800
解析:8 000×(1-2%)=7 840(件).
答案:B
2.下列结论正确的是( )
A.对事件A的概率P(A)必有0
B.若事件A的概率P(A)=0.999,则事件A是必然事件
C.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗,结果有380人有明显的疗效,现有胃溃疡的病人服用此药,则估计其会有明显疗效可能性为76%
D.某奖券中奖率为50%,则某人购买此奖券10张,一定有5张中奖
解析:A中,0≤P(A)≤1;B中,若A为必然事件,则P(A)=1;D中,某人购买此奖券10张,有可能都没中奖,也有可能有1张、2张等中奖.故选C.
答案:C
3.某市的天气预报中,有“降水概率预报”,例如预报“明天降水概率为90%”,这是指( )
A.明天该地区约有90%的地方会降水,其余地方不降水
B.明天该地区约90%的时间会降水,其余时间不降水
C.气象台的专家中,有90%认为明天会降水,其余的专家认为不降水
D.明天该地区降水的可能性为90%
解析:概率是对随机事件发生可能性大小的度量.故选D.
答案:D
4.导学号17504043抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别写有1,2,3,4,5,6),若前3次连续抛到“6点朝上”,则对于第4次抛掷结果的预测,下列说法中正确的是( )
A.一定出现“6点朝上”
B.出现“6点朝上”的概率大于
C.出现“6点朝上”的概率等于
D.无法预测“6点朝上”的概率
解析:随机事件具有不确定性,与前面的试验结果无关.由于正方体骰子的质地是均匀的,故它出现哪一个面朝上的可能性都是相等的.
答案:C
5.某人抛掷一枚硬币100次,结果正面朝上53次,设正面朝上为事件A,则事件A出现的频数为 ,事件A出现的频率为 .
答案:53 0.53
6.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000辆汽车,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600辆汽车的挡风玻璃破碎,则一辆汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率近似为 .
解析:频率是概率的近似值,故其概率近似等于=0.03.
答案:0.03
7.有人说:“掷一枚骰子一次得到的点数是2的概率是,这说明掷一枚骰子6次会出现一次点数是2.”
对此说法,同学中出现了两种不同的看法:
一些同学认为这种说法是正确的.他们的理由是:因为掷一枚骰子一次得到点数是2的概率是,所以掷一枚骰子6次得到一次点数是2的概率P=×6=1,即“掷一枚骰子6次会出现一次点数是2”是必然事件,一定发生.
还有一些同学觉得这种说法是错误的,但是他们却讲不出是什么理由来.
你认为这种说法对吗 请说出你的理由.
解:这种说法是错误的.上述认为说法正确的同学,其计算概率的方法自然也是错误的.
为了弄清这个问题,我们不妨用类比法,即把问题变换一下说法.
原题中所说的问题,类似于“在一个不透明的盒子里放有6个标有数字1,2,3,4,5,6的同样大小的球,从盒中摸一个球恰好摸到2号球的概率是.那么摸6次球是否一定会摸到一次2号球呢 ”
在这个摸球问题中,显然还缺少一个摸球的规则,即每次摸到的球是否需要放回盒子里 显然,如果摸到后不放回,那么摸6次球一定会摸到一次2号球.如果摸到球后需要放回,那么摸6次球就不一定会摸到一次2号球了.
由此看来,我们先要弄清这个摸球问题与上面的掷骰子问题是否完全类同,是否应当有每次摸到的球还要放回盒子里的要求.我们先看看上面掷骰子问题中的规则,在掷骰子问题中,表面上好像没写着什么规则,但实际上却藏有一个自然的规则,即第一次如果掷得某个数(如3),那么后面还允许继续掷得这个相同的数.于是摸球问题要想与掷骰子问题中的规则相同,显然每次摸到的球必须要放回盒子里才妥当.那么摸6次球就不一定会摸到一次2号球了.
8.导学号17504044某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力,出了10个智力题,每个题10分.然后作了统计,下表是统计结果:
贫困地区:
参加测试的人数 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人数 16 27 52 104 265 402
得60分以上的频率
发达地区:
参加测试的人数 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人数 17 29 56 111 276 440
得60分以上的频率
(1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率(精确到千分位);
(2)分析贫富差距为什么会带来人的智力的差别.
解:(1)贫困地区:
参加测试的人数 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人数 16 27 52 104 265 402
得60分以上的频率 0.533 0.540 0.520 0.520 0.530 0.503
发达地区:
参加测试的人数 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人数 17 29 56 111 276 440
得60分以上的频率 0.567 0.580 0.560 0.555 0.552 0.550
(2)经济上的贫困导致该地区生活水平落后,儿童的健康和发育会受到一定的影响;另外经济落后也会使教育事业发展落后,这都是贫富不同带来的智力差别的原因.
9.导学号17504051随机抽取往年的一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴
日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨
(1)在今年4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;
(2)西安市某学校拟从今年4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.
解: (1)在容量为30的样本中,从表格中得不下雨的天数是26,以频率估计概率,4月份任选一天,西安市不下雨的概率是.
(2)称相邻两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日,2日与3日等),这样在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16对,其中后一天不下雨的有14对,所以晴天的第二天不下雨的频率为,以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为.3.1.4 概率的加法公式
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1.一组试验仅有四个互斥的结果A,B,C,D,则下面各组概率可能成立的是( )
A.P(A)=0.31,P(B)=0.27,P(C)=0.28,P(D)=0.35
B.P(A)=0.32,P(B)=0.27,P(C)=0.06,P(D)=0.47
C.P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=
D.P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=
解析:由已知得P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1,故只有D满足.
答案:D
2.下列叙述错误的是( )
A.若事件A发生的概率为P(A),则0≤P(A)≤1
B.互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件
C.两个对立事件的概率之和为1
D.对于任意两个事件A和B,都有P(A∪B)=P(A)+P(B)
解析:概率的加法公式的适用条件是事件A,B必须是互斥的,故选D.
答案:D
3.若事件A和B是互斥事件,且P(A)=0.1,则P(B)的取值范围是( )
A.[0,0.9] B.[0.1,0.9]
C.(0,0.9] D.[0,1]
解析:本题主要考查互斥事件的概率关系.由于事件A和B是互斥事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+P(B),又0≤P(A∪B)≤1,所以0≤0.1+P(B)≤1,所以0≤P(B)≤0.9,故选A.
答案:A
4.从一批乒乓球产品中任取一个,如果其质量小于4.8克的概率是0.3,质量不小于4.85克的概率是0.32,则质量在[4.8,4.85)克范围内的概率是( )
A.0.62 B.0.38
C.0.7 D.0.68
解析:根据互斥事件的概率公式得1-0.3-0.32=0.38.
答案:B
5.从装有两个红球和三个白球的不透明的口袋中任取两个球,则下列各组中互为对立事件的是( )
A.至少一个白球;都是白球
B.至少一个红球;至少一个白球
C.恰有两个白球;至少一个红球
D.恰有一个白球;至少一个红球
解析:A中至少有一个白球包含两个都是白球;B中至少一个红球与至少一个白球都包含恰有一个红球一个白球;D中至少一个红球包含恰有一个白球的情形.故选C.
答案:C
6.导学号17504052某家庭电话,打进的电话响第一声时被接的概率为,响第二声时被接的概率为,响第三声时被接的概率为,响第四声时被接的概率为,则电话在响前四声内被接的概率为( )
A. B. C. D.
解析:设“电话响第一声被接”为事件A,“电话响第二声被接”为事件B,“电话响第三声被接”为事件C,“电话响第四声被接”为事件D,则A,B,C,D两两互斥,从而P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=.
答案:B
7.已知事件A,B满足A∩B= ,A∪B=Ω,若P(A)=0.3,则P(B)= .
解析:由A∩B= ,且A∪B=Ω知事件A,B为对立事件,∴P(B)=1-P(A)=1-0.3=0.7.
答案:0.7
8.在不透明的盒子中有大小、形状相同的一些黑球、白球和黄球,从中摸出一个球,摸出黑球的概率为0.42,摸出黄球的概率为0.18,则摸出的球是白球的概率为 ,摸出的球不是黄球的概率为 ,摸出的球是黄球或者是黑球的概率为 .
解析:摸出白球的概率为1-0.42-0.18=0.4;不是黄球的概率为1-0.18=0.82;摸出的球是黄球或黑球的概率为1-0.4=0.6.
答案:0.4 0.82 0.6
9.100件产品中有10件次品,从中任取7件,至少有5件次品的概率可以看成三个互斥事件的概率和,则这三个互斥事件分别是 , 和 .
答案:恰有5件次品 恰有6件次品 全部都是次品
10.甲射击一次,中靶概率是P1,乙射击一次,中靶概率是P2,已知是方程x2-5x+6=0的根,且P1满足方程x2-x+=0.则甲射击一次,不中靶概率为 ;乙射击一次,不中靶概率为 .
解析:由P1满足方程x2-x+=0知,-P1+=0,解得P1=.因为是方程x2-5x+6=0的根,所以=6,解得P2=,因此甲射击一次,不中靶概率为1-,乙射击一次,不中靶概率为1-.
答案:
11.导学号17504053根据协定,包括汽车在内的进口商品将最多五年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平,其中有21%的进口商品恰好5年关税达到要求,18%的进口商品恰好4年关税达到要求,其余的进口商品将在3年或3年内关税达到要求,求进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求的概率.
解:(方法一)设“进口汽车恰好4年关税达到要求”为事件A,“不到4年关税达到要求”为事件B,则“进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求”就是事件A+B,显然A与B是互斥事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.18+(1-0.21-0.18)=0.79.
(方法二)设“进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求”为事件M,“进口汽车恰好5年关税达到要求”为事件N,所以P(M)=1-P(N)=1-0.21=0.79.
12.导学号17504054猎人在相距100 m处射击一野兔,命中的概率为,若第一次未击中,则猎人进行第二次射击,但距离已是150 m,若又未击中,则猎人进行第三次射击,但距离已是200 m,已知此猎人命中的概率与距离的平方成反比,求射击不超过三次击中野兔的概率.
解:设距离为d,命中的概率为P,则有P=,则d=100,P=代入,得k=Pd2=5 000,所以P=.
设第一、二、三次击中野兔分别为事件A1,A2,A3,
则P(A1)=,P(A2)=,
P(A3)=.
所以P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=.
故射击不超过三次击中野兔的概率为.3.2 古典概型
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A组
1.下列试验中,属于古典概型的是( )
A.种下一粒种子,观察它是否发芽
B.从规格直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根,测量其直径d
C.抛一枚硬币,观察其出现正面或反面
D.某人射击中靶或不中靶
答案:C
2.从装有2个白球和1个红球的不透明袋中不放回地摸2个球,则摸出的2个球中恰有1个红球的概率为( )
A. B. C. D.
解析:不放回地摸球共有3种情况,即(白1,红),(白2,红),(白1,白2),而恰有1个红球的结果有2个,
故P=.
答案:B
3.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的点数分别为x,y,则log2xy=1的概率为( )
A. B. C. D.
解析:由log2xy=1 2x=y,x∈{1,2,3,4,5,6},y∈{1,2,3,4,5,6}.
∴共三种.
∴P=.
答案:C
4.若以连续掷两枚骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐标,则点P落在x2+y2=9内的概率为( )
A. B. C. D.
解析:掷骰子共有36个结果,而落在圆x2+y2=9内的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)这4种,
∴P=.
答案:D
5.(2017江苏泰州高三模拟)袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球,从中任取两个球,这两个球颜色相同的概率为 .
解析:设两个不同的红球为红1,红2,两个不同的白球为白1,白2,则从中任取两个球,其基本事件有:(红1,红2),(红1,白1),(红1,白2),(红2,白1),(红2,白2),(白1,白2),共6个,其中两个球颜色相同的事件为(红1,红2),(白1,白2),则所求事件的概率为P=.
答案:
6.一栋楼有6个单元,小王和小李均住在此楼内,他们住在同一单元的概率为 .
解析:两人所有的居住方式有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36种,而住同一单元的只有6种:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),故所求概率为.
答案:
7.从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 .
解析:从四条线段中任取三条的所有可能是2,3,4;2,3,5;2,4,5;3,4,5,可构成三角形的有2,3,4;2,4,5;3,4,5,故可以构成三角形的概率为.
答案:
8.将一枚骰子先后抛掷两次.
(1)一共有多少种不同的结果
(2)其中向上的数之和是5的结果有多少种
(3)向上的数之和是5的概率是多少
解:(1)先将骰子抛掷一次,它落地时,向上的数有1,2,3,…,6这6种结果,每种结果又对应着第二次抛掷时的6种可能情况,所以一共有36种不同的结果.
(2)在(1)的所有结果中向上的数之和为5的结果有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)这4种,其中括号内的前后2个数分别为第一、二次抛掷后向上的数,如图所示,其中坐标平面内的数表示相应两次抛掷后向上的数的和.
(3)所有36种结果是等可能出现的,其中向上的数之和是5的结果(记为事件A)有4种,
因此所求概率P(A)=.
9.甲、乙两人各射击一次,命中率分别为0.8和0.5,两人同时命中的概率为0.4,求甲、乙两人至少有一人命中的概率.
解:设事件A为“甲命中”,事件B为“乙命中”,则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件A∪B,∴P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.8+0.5-0.4=0.9.
10.导学号17504055在不透明的袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现依次有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球.
(1)试问:一共有多少种不同的结果 请列出所有可能的结果.
(2)若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,求3次摸球所得总分数为5的概率.
解:(1)一共有8种不同的结果,列举如下:
(红、红、红),(红、红、黑),(红、黑、红),(红、黑、黑),(黑、红、红),(黑、红、黑),(黑、黑、红),(黑、黑、黑).
(2)记“3次摸球所得总分数为5”为事件A.
事件A包含的基本事件:(红、红、黑),(红、黑、红),(黑、红、红),事件A包含的基本事件数为3.
由(1)可知,基本事件总数为8,所以事件A的概率为P(A)=.
B组
1.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是( )
A. B. C. D.
解析:在个位数与十位数之和为奇数的两位数中:
(1)当个位数是偶数时,这样的数共25个;
(2)当个位数是奇数时,这样的数共20个.
又满足条件的基本事件有5个(有10,30,50,70,90),故概率P=.
答案:D
2.把一根长度为7的铁丝截成3段,如果3段的长度均为正整数,那么能构成三角形的概率为( )
A. B. C. D.
解析:所有的“3段铁丝的长度”的情况为:(1,1,5),(1,2,4),(1,3,3),(2,2,3),共4种.
其中能构成三角形的有两种情况:(1,3,3),和(2,2,3),则所求的概率是P=.故选A.
答案:A
3.将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为a,b,则直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2无公共点的概率为( )
A. B. C. D.
解析:直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2无公共点,则有 a>b,满足该条件的基本事件有15种,基本事件总数是36种,故所求概率为P=.故选B.
答案:B
4.“序数”指每个数字比其左边的数字大的自然数(如1 246),在两位的“序数”中任取一个数,比36大的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:十位是1的两位的“序数”有8个;十位是2的有7个,依此类推,十位分别是3,4,5,6,7,8的各有6,5,4,3,2,1个,故两位的“序数”共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).
比36大的:十位是3的有3个;十位是4的有5个,依此类推,十位分别是5,6,7,8的各有4,3,2,1个,
∴比36大的两位的“序数”有3+5+4+3+2+1=18(个).
∴所求概率P=,故选A.
答案:A
5.甲、乙、丙三人互相传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过4次传球后,球仍回到甲手中的概率为 .
解析:本题可用树形图去求基本事件空间及满足条件的基本事件的个数.
从图中可以得到:基本事件总数为16,回到甲手中的基本事件为6个,所以满足条件的概率为P=.
答案:
6.导学号17504056某灾情过后志愿者纷纷前往灾区救援,现从四男三女共7名志愿者中任选2名(每名志愿者被选中的机会相等),则2名都是女志愿者的概率为 .
解析:从7人中选2人有21种情况,选出2名女志愿者的情况有3种,所以概率为.
答案:
7.田忌和齐王赛马是历史上有名的故事,设齐王的三匹马分别为A1,A2,A3;田忌的三匹马分别为B1,B2,B3;三匹马各比赛一次,胜两场者获胜,双方均不知对方的马出场顺序.
(1)若这六匹马比赛优、劣程度可以用不等式表示:A1>B1>A2>B2>A3>B3,则田忌获胜的概率是多大
(2)若这六匹马比赛优、劣程度可以用不等式表示:A1>B1>A2>B2>B3>A3,则田忌获胜的概率是多大
分析:双方马的出场顺序都可以变动,不妨固定一方的出场顺序考虑.
解:不妨设齐王的三匹马出场次序定为A1A2A3,则田忌的马出场次序的基本事件空间:{B1B2B3,B1B3B2,B2B1B3,B2B3B1,B3B1B2,B3B2B1}.
(1)田忌赢齐王的三匹马的出场次序为B3B1B2,则田忌获胜的概率是.
(2)田忌赢齐王的三匹马的出场次序为B3B1B2,B2B1B3,则田忌获胜的概率是.
8.为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7个工厂进行调查.已知A,B,C区中分别有18,27,18个工厂.
(1)求从A,B,C区中应分别抽取的工厂个数;
(2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比,用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率.
解:(1)工厂总数为18+27+18=63,样本容量与总体中的个体总数比为,
所以从A,B,C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.
(2)设A1,A2为在A区中抽得的2个工厂,B1,B2,B3为在B区中抽得的3个工厂,C1,C2为在C区中抽得的2个工厂.在这7个工厂中随机抽取2个,全部可能的结果有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(A2,C2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B1,C2),(B2,B3),(B2,C1),(B2,C2),(B3,C1),(B3,C2),(C1,C2),共有21种.
随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区的结果(记为事件X)有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(A2,C2),共有11种.所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)=.
9.导学号17504057从1,2,3,4,…,30这30个自然数中任选1个数,求下列事件的概率:
(1)取出的数为偶数;
(2)取出的数能被3整除;
(3)取出的数能被5整除;
(4)取出的数大于8;
(5)取出的数大于8或是偶数;
(6)取出的数能被3或5整除;
(7)取出的数是能被3整除的偶数;
(8)取出的数是偶数或能被5整除.
解:基本事件空间中含30个基本事件.
(1)事件A=“取出的数为偶数”中含15个基本事件,∴P(A)=.
(2)由1≤3x≤30得≤x≤10,x∈N+,事件B=“取出的数能被3整除”中含10个基本事件,
∴P(B)=.
(3)由1≤5x≤30得≤x≤6,∵x∈N+,
∴事件C=“取出的数能被5整除”中含6个基本事件,∴P(C)=.
(4)事件D=“取出的数大于8”中含22个基本事件,∴P(D)=.
(5)(方法一)由8<2x≤30,得4∴P(D∩A)=,
∴事件E=“取出的数大于8或是偶数”的概率
P(E)=P(D∪A)=P(D)+P(A)-P(D∩A)
=.
(方法二)大于8的数有22个,小于9的偶数有4个,∴事件E含26个基本事件,
∴P(E)=.
(6)既能被3整除,又能被5整除的数能被15整除,1到30中能被15整除的数有2个,
∴P(B∩C)=.
∴事件F=“取出的数能被3或5整除”的概率为
P(F)=P(B∪C)=P(B)+P(C)-P(B∩C)=.
(7)能被3整除的偶数即能被6整除的数,
由1≤6x≤30,得≤x≤5,
∵x∈N+,
∴其概率为P=.
(8)取出的数既是偶数又能被5整除时,一定能被10整除,∴有10,20,30,共3个.
∴P(A∩C)=.
∴事件G=“取出的数是偶数或能被5整除”的概率P(G)=P(A∪C)=P(A)+P(C)-P(A∩C)=.3.3 随机数的含义与应用
课后篇巩固探究
A组
1.某人睡午觉醒来后,发现表停了,他打开收音机想听电台整点报时,则他等待小于10 min的概率为( )
A. B. C. D.
答案:A
2.在长为10 cm的线段AB上任取一点G,以AG为半径作圆,则圆的面积介于36π~64π cm2的概率是( )
A. B. C. D.
解析:如图,以AG为半径作圆,圆面积介于36π~64π cm2,则AG的长度应介于6~8 cm之间.
所以所求概率=.
答案:D
3.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P,则△PBC的面积大于的概率是( )
A. B. C. D.
解析:如图,在AB边取点P',使,则P只能在AP'上(不包括点P'),则概率为.
答案:C
4.
如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为,则阴影区域的面积为( )
A. B. C. D.无法计算
解析:利用几何概型的概率计算公式知,
∴S阴=S正方形=.
答案:B
5.在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“-1≤lo≤1”发生的概率为( )
A. B. C. D.
解析:由-1≤lo≤1,得lo2≤lo≤lo≤x+≤2,0≤x≤,所以由几何概型概率的计算公式,得P=,故选A.
答案:A
6.一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体六个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )
A. B. C. D.
解析:本试验所有结果对应的几何区域为棱长是4的正方体.“安全飞行”对应的区域为棱长是2的正方体.由几何概型概率公式得P=.
答案:A
7.
如图所示,在等腰直角三角形ABC中,在斜边AB上取一点M,则AM的长小于AC的概率为 .
解析:如图,在AB上截取AC'=AC,于是P(AM即AM的长小于AC的长的概率为.
答案:
8.设有一个正方形网格,其中每个小正方形的边长都等于6 cm.现用直径等于2 cm的硬币投掷到此网格上,则硬币落下后与格线有公共点的概率是 .
解析:硬币的直径为2 cm,所以半径为1 cm.硬币的圆心距正方形各边的距离都大于1 cm时,也就是硬币的圆心落在一个边长为4 cm的正方形内,硬币与格线没有公共交点,所以硬币与格线有公共点的概率为1-.
答案:
9.
向图中所示正方形内随机地投掷飞镖,求飞镖落在阴影部分的概率.
解:因为随机地投掷飞镖,飞镖落在正方形内每一个点的机会是等可能的,所以符合几何概型的条件.
S阴影=,S正方形=22=4,
则P=.
10.导学号17504061设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.
(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数,b是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
解:设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.
当a>0,b>0时,方程x2+2ax+b2=0有实根的等价条件为Δ=4a2-4b2=4(a2-b2)≥0,即a≥b.
(1)基本事件共12个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2).其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.
事件A中包含9个基本事件,事件A发生的概率为P(A)=.
(2)试验的所有基本事件所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},其中构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.所以所求的概率为.
B组
1.在区间[-1,1]上任取两数x和y,组成有序实数对(x,y),记事件A为“x2+y2≤1”,则P(A)为( )
A. B. C.π D.2π
解析:如图,集合S={(x,y)|-1≤x≤1,-1≤y≤1},则S中每个元素与随机事件的结果一一对应,而事件A所对应的事件(x,y)与圆面x2+y2≤1内的点一一对应,
∴P(A)=.
答案:A
2.如图,矩形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(1,0),且点C与点D在函数f(x)=的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点,则该点取自阴影部分的概率等于( )
A. B. C. D.
解析:由已知得A(-2,0),B(1,0),C(1,2),D(-2,2),F(0,1).
则矩形ABCD的面积为3×2=6,阴影部分面积的为×3×1=,故该点取自阴影部分的概率为.
答案:B
3.已知P是△ABC所在平面内一点,+2=0,现将一粒黄豆随机撒在△ABC内,则黄豆落在△PBC内的概率是( )
A. B. C. D.
解析:由+2=0,得=-2,设边BC中点为D,则=-,P为AD中点,
∴,∴黄豆落在△PBC内的概率是.故选D.
答案:D
4.已知正三棱锥S-ABC的底面边长为a,高为h,在正三棱锥内取点M,则点M到底面的距离小于的概率为 .
解析:分别取SA,SB,SC的中点A1,B1,C1,则当点M位于平面ABC和平面A1B1C1之间时,点M到底面的距离小于.
设△ABC的面积为S,由△ABC∽△A1B1C1,且相似比为2,得△A1B1C1的面积为.
由题意,区域D的体积为Sh, 区域d的体积为
Sh-Sh·.
∴P=.
∴点M到底面的距离小于的概率为.
答案:
5.在边长为2的正三角形ABC内任取一点P,则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是 .
解析:以A,B,C为圆心,以1为半径作圆,与△ABC交出三个扇形,当P落在其内时符合要求.
∴P=.
答案:
6.如图,∠AOB=60°,OA=2,OB=5,在线段OB上任取一点C,试求:
(1)△AOC为钝角三角形的概率;
(2)△AOC为锐角三角形的概率.
解:如图,由平面几何知识:
当AD⊥OB时,OD=1;
当OA⊥AE时,OE=4,BE=1.
(1)当且仅当点C在线段OD或BE上时,△AOC为钝角三角形,
记“△AOC为钝角三角形”为事件M,
则P(M)==0.4.
即△AOC为钝角三角形的概率为0.4.
(2)当且仅当点C在线段DE上时,△AOC为锐角三角形,记“△AOC为锐角三角形”为事件N,则P(N)==0.6,即△AOC为锐角三角形的概率为0.6.
7.导学号17504062在0~1之间随机选择两个数,这两个数对应的点将长度为1的线段分成三条,试求这三条线段能构成三角形的概率.
解:设三条线段的长度分别为x,y,1-x-y,
则
在平面上建立如图所示的直角坐标系,围成三角形区域G,每对(x,y)对应着G内的点(x,y),由题意知,每一个试验结果出现的可能性相等,因此,试验属于几何概型.
记事件A={三条线段能构成三角形},则事件A发生当且仅当因此图中的阴影区域g就表示“三条线段能构成三角形”,即事件A发生.容易求得g的面积为,G的面积为,
则P(A)=.
8.导学号17504063小明一家订阅的晚报会在下午5:30~6:30之间的任何一个时间随机地被送到,小明一家人在下午6:00~7:00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.
(1)你认为晚报在晚餐开始之前被送到和晚餐开始之后被送到哪一种可能性更大
(2)晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少
解:建立如图所示的坐标系.
图中直线x=6,x=7,y=5.5,y=6.5围成一个正方形区域G,该试验的所有结果与区域G内的点(x,y)一一对应.由题意知,每次结果出现的可能性是相同的,是几何概型.
(1)作射线y=x(x>0).晚报在晚餐前送达即y(2)易求G的面积为1,而g的面积为,由几何概型的概率公式可得P(A)=.3.4 概率的应用
课后篇巩固探究
1.取一根长度为3 m的绳子,拉直后在任意位置剪断,则剪得两段的长都不小于1 m的概率是( )
A. B. C. D.不能确定
解析:记剪得两段绳长都不小于1 m为事件A,把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的,则事件A发生的概率P(A)=.
答案:B
2.四边形ABCD为长方形,AB=2,BC=1,O为AB的中点,在长方形ABCD内随机取一点,取到的点到O的距离大于1的概率为( )
A. B.1- C. D.1-
解析:以O为圆心,1为半径作圆,则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O的距离小于或等于1,故所求事件的概率为P==1-.
答案:B
3.若3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A. B. C. D.
解析:从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法,其中的勾股数只有3,4,5,故3个数构成一组勾股数的取法只有1种,故所求概率为,故选C.
答案:C
4.张明与张华两人做游戏,下列游戏中不公平的是( )
①抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则张华获胜;
②同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则张华获胜;
③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则张华获胜;
④张明、张华两人各写一个数字6或8,如果两人写的数字相同张明获胜,否则张华获胜.
A.①② B.② C.②③④ D.①②③④
解析:②中,恰有一枚正面向上包括(正,反),(反,正)两种情况,而两枚都正面向上仅为(正,正),因此②中游戏不公平.
答案:B
5.导学号17504065从12件同类产品中(其中10件正品,2件次品),任意抽取6件产品,下列说法中正确的是( )
A.抽出的6件产品必有5件正品,1件次品
B.抽出的6件产品中可能有5件正品,1件次品
C.抽取6件产品时,逐个不放回地抽取,前5件是正品,第6件必是次品
D.抽取6件产品时,不可能抽得5件正品,1件次品
解析:从12件中任抽6件,产品情况是随机的,构成随机事件.对于A,C,D来说,所下结论不符合随机事件的特点.
答案:B
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取点,则该点落在三棱锥A1-ABC内的概率是 .
解析:本题为体积型几何概型问题,P=.
答案:
7.现有一游戏规则如下:盒中有3张分别标有1,2,3的卡片.从盒中随机抽取一张记下号码后放回,再随机抽取一张记下号码,则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数则玩摩天轮,否则去划船,则去玩摩天轮的概率为 .
解析:对立事件:两次抽取的卡片号码都为奇数,共有4种抽法.而有放回的两次抽取卡片共有9个基本事件,因此所求事件概率为1-.
答案:
8.导学号17504066某班委会由4名男生与3名女生组成.现从中选出2人担任正、副组长,其中至少有1名女生当选的概率是 .(用分数作答)
解析:从7名学生中选出2人,所有基本事件数为21个,从4名男生中选出2人,有6个基本事件,则至少有1名女生包含15个基本事件.所以概率为.
答案:
9.甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张.
(1)设(i,j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字,写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况.
(2)若甲抽到红桃3,则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少
(3)甲、乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜;若甲抽到的牌的牌面数字比乙小,则乙胜.你认为此游戏是否公平 说明你的理由.
解:(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(红桃2、红桃3、红桃4分别用2,3,4表示,方片4用4'表示)为(2,3),(2,4),(2,4'),(3,2),(3,4),(3,4'),(4,2),(4,3),(4,4'),(4',2),(4',3),(4',4),共12种.
(2)甲抽到红桃3,乙抽到的牌的牌面数字只能是2,4,4',因此乙抽到的牌面数字大于3的概率为.
(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大有5种情况:(3,2),(4,2),(4,3),(4',2),(4',3),数字相等有2种情况:(4,4'),(4',4).
故甲胜的概率P1=,乙胜的概率P2=.所以此游戏公平.
10.导学号17504067街道旁边有一游戏:在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上,掷一枚半径为1 cm的小圆板,规则如下:每掷一次交5角钱,若小圆板压在正方形的边上,可重掷一次;若掷在正方形内,须再交5角钱可玩一次;若掷在或压在塑料板的顶点上,可获得一元钱,试问:
(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少
(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少
解:小圆板中心用O表示,考察O落在正方形ABCD的哪个范围时,能使圆板与塑料板ABCD的边相交接,O落在哪个范围时能使圆板与塑料板ABCD的顶点相交接.
(1)如图①所示.因为O落在正方形ABCD内任何位置是等可能的,圆板与正方形塑料板ABCD的边相交接是在圆板的中心O到与它靠近的边的距离不超过1 cm时,所以O落在图中阴影部分时,小圆板就能与塑料板ABCD的边相交.
因此,区域Ω是边长为9 cm的正方形,图中阴影部分表示事件A:“小圆板压在塑料板的边上”.
于是μΩ=9×9=81(cm2),μA=9×9-7×7=32(cm2).故所求概率P(A)=.
(2)小圆板与正方形的顶点相交接是在中心O与正方形的顶点的距离不超过圆板的半径1 cm时,如图②所示的阴影部分,图中阴影部分表示事件B:“小圆板压在塑料板顶点上”.于是μΩ=9×9=81(cm2),μB=π·12=π(cm2).故所求的概率P(B)=.第3课时 概率
课后篇巩固探究
A组
1.下列事件是随机事件的个数是( )
①异种电荷,互相排斥;②明天天晴;③自由下落的物体做匀速直线运动;④函数y=logax(a>0,且a≠1)在定义域上是增函数.
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:②④是随机事件;①是必然事件;③是不可能事件.
答案:C
2.从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于40的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:可以构成的两位数的总数为20种,因为是“任取”两个数,所以每个数被取到的概率相同,可以采用古典概型公式求解,其中大于40的两位数有以4开头的:41,42,43,45共4种;以5开头的:51,52,53,54共4种.所以所求概率为.
答案:B
3.利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品,其中一等品为20件,合格品有70件,其余为不合格品,现在这个工厂随机抽查一件产品,设事件A=“是一等品”,B=“是合格品”,C=“是不合格品”,则下列结果错误的是( )
A.P(B)=
B.P(A∪B)=
C.P(A∩B)=0
D.P(A∪B)=P(C)
解析:根据事件的关系及运算求解,A,B,C为互斥事件,故C项正确,又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件,则A,B两项正确,D项错误.
答案:D
4.如图,分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆,重叠部分如图中阴影区域,若向该正方形内随机投一点,则该点落在阴影区域的概率为( )
A. B.
C. D.
解析:由题意知本题是一个几何概型,设正方形ABCD的边长为2.
∵试验发生包含的所有事件是正方形面积S=2×2=4,空白区域的面积是2(4-π)=8-2π,
∴阴影区域的面积为4-(8-2π)=2π-4,
∴由几何概型概率公式得到P=,故选B.
答案:B
5.若以连续两次掷骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐标(m,n),则点P在圆x2+y2=25外的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:本题中涉及两个变量的平方和,类似于两变量的和或积的情况,可以用列表法(如图),使x2+y2>25的次数与总试验次数的比就近似为本题结果,即.
答案:B
6.在一次教师联欢会上,到会的女教师比男教师多12人.从这些教师中随机挑选一人表演节目,若选到男教师的概率为,则参加联欢会的教师共有 人.
解析:本题为古典概型概率题目,设参加联欢会的男教师为x名,女教师为(12+x)名,因为男教师被挑选出一人的概率为.所以,则x=54,即参加联欢会的教师共有120人.
答案:120
7.有以下说法:
①一年按365天计算,两名学生的生日相同的概率是;②买彩票中奖的概率为0.001,那么买1 000张彩票就一定能中奖;③乒乓球赛前,决定谁先发球,抽签方法是从1~10共10个数字中各抽取1个,再比较大小,这种抽签方法是公平的;④昨天没有下雨,则说明“昨天气象局的天气预报降水概率是90%”是错误的.
根据我们所学的概率知识,其中说法正确的序号是 .
解析:根据“概率的意义”求解,买彩票中奖的概率0.001,并不意味着买1 000张彩票一定能中奖,只有当买彩票的数量非常大时,我们可以看成大量买彩票的重复试验,中奖的次数为;昨天气象局的天气预报降水概率是90%,是指可能性非常大,并不一定会下雨.
答案:①③
8.甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,求选出的2名教师性别相同的概率.
(2)若从报名的6名教师中任选2名,求选出的2名教师来自同一学校的概率.
解:甲校两男教师分别用A,B表示,女教师用C表示;乙校男教师用D表示,两女教师分别用E,F表示.
(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为:(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),共9种.从中选出的2名教师性别相同的结果为:(A,D),(B,D),(C,E),(C,F),共4种.所以选出的2名教师性别相同的概率为.
(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种.
从中选出的2名教师来自同一学校的结果为:(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F),共6种.所以选出的2名教师来自同一学校的概率为.
9.已知|x|≤2,|y|≤2,点P的坐标为(x,y).
(1)求当x,y∈R时,P满足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率.
(2)求当x,y∈Z时,P满足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率.
解:(1)如图,点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界),满足(x-2)2+(y-2)2≤4的点的区域是以(2,2)为圆心,2为半径的圆面(含边界).
所以所求的概率P1=.
(2)满足x,y∈Z,且|x|≤2,|y|≤2的点有25个,满足x,y∈Z,且(x-2)2+(y-2)2≤4的点有6个,所以所求的概率P2=.
10.导学号1750408120名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下:
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数;
(3)从成绩在[50,70)的学生中任选2人,求此2人的成绩都在[60,70)中的概率.
解:(1)由频率分布直方图知,组距=10,由(2a+3a+6a+7a+2a)×10=1,解得a==0.005.
(2)成绩落在[50,60)中的学生人数为2×0.005×10×20=2.
成绩落在[60,70)中的学生人数为3×0.005×10×20=3.
(3)记成绩落在[50,60)中的2人为A1,A2,成绩落在[60,70)中的3人为B1,B2,B3,则从成绩在[50,70)的学生中任选2人的基本事件共有10个:
(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3).
其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有3个:(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),故所求概率为P=.
B组
1.若在区间[-5,5]内任取一个实数a,则使直线x+y+a=0与圆(x-1)2+(y+2)2=2有公共点的概率为( )
A. B.
C. D.
解析:若直线与圆有公共点,则圆心到直线的距离d=,
解得-1≤a≤3.
又a∈[-5,5],故所求概率为.
答案:B
2.(2017湖北七市高三联考)如图,已知AB是半圆O的直径,AB=8,M,N,P是将半圆圆周四等分的三个分点,从A,B,M,N,P这5个点中任取3个点,则这3个点组成直角三角形的概率为( )
A. B.
C. D.
解析:从A,B,M,N,P这5个点中任取3个点,一共可以组成10个三角形:△ABM,△ABN,△ABP,△AMN,△AMP,△ANP,△BMN,△BMP,△BNP△MNP,其中是直角三角形的只有△ABM,△ABN,△ABP,共3个,所以这3个点组成直角三角形的概率P=,故选C.
答案:C
3.节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x,y,则由题意可得,0≤x≤4,0≤y≤4;而所求事件“两串彩灯同时通电后,第一次闪亮相差不超过2秒”={(x,y)||x-y|≤2},由图示得,该事件概率P=.
答案:C
4.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是 .
解析:甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙也从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,所得的直线共有36对,而相互垂直的有10对,故根据古典概型概率公式得P=.
答案:
5.为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量,调查人员逮到这种动物1 200只作过标记后放回,一星期后,调查人员再次逮到该种动物1 000只,其中作过标记的有100只,估算保护区有这种动物 只.
解析:设保护区内有这种动物x只,每只动物被逮到的概率是相同的,
∴,
解得x=12 000.
答案:12 000
6.导学号17504082为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某校6名学生进行问卷调查,6人得分情况为:5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体.
(1)求该总体的平均数;
(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
解:(1)总体平均数为×(5+6+7+8+9+10)=7.5.
(2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”.
从总体中抽取2个个体,全部可能的基本结果有:(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10),共15个基本结果.
事件A包含的基本结果有:(5,9),(5,10),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),共有7个基本结果.
∴所求的概率为P(A)=.
7.已知函数f(x)=ax+b,x∈[-1,1],a,b∈R,且是常数.
(1)若a是从-2,-1,0,1,2五个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求函数y=f(x)为奇函数的概率;
(2)若a是从区间[-2,2]中任取的一个数,b是从区间[0,2]中任取的一个数,求函数y=f(x)有零点的概率.
解:(1)函数f(x)=ax+b,x∈[-1,1]为奇函数,当且仅当任取x∈[-1,1],f(-x)=-f(x),即b=0,基本事件共15个:(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.
设事件A为“函数f(x)=ax+b,x∈[-1,1]为奇函数”,包含的基本事件有5个:(-2,0),(-1,0),(0,0),(1,0),(2,0),事件A发生的概率为P(A)=.
(2)设事件B为“函数y=f(x)有零点”,试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|-2≤a≤2,0≤b≤2},区域面积为4×2=8.构成事件B的区域为{(a,b)|a=b=0}∪{(a,b)|-2≤a≤2,0≤b≤2,a≠0,且(a+b)(b-a)<0},即{(a,b)|a=b=0}∪(a,b)|-2≤a≤2,0≤b≤2,a≠0,且-1<<1,区域面积为×4×2=4,事件B发生的概率为P(B)=.