课件30张PPT。第三章 §3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算学习目标
1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念.
2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 空间向量的概念思考 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.答案梳理(1)在空间，把具有 和 的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的 或 .
空间向量也用有向线段表示，有向线段的 表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作 ，其模记为 .长度大小方向长度模(2)几类特殊的空间向量零向量模为1相等相反相同相等同向等长知识点二 空间向量的加减运算及运算律思考1 下面给出了两个空间向量a、b，作出b＋a，b－a.如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面α内，以任意点O为
答案思考2 由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可；图1是三角形法则，图2是平行四边形法则.答案梳理(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.(2)空间向量加法交换律
a＋b＝ ，
空间向量加法结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).b＋a题型探究 类型一 有关空间向量的概念的理解例1 给出以下结论：
①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有
④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4答案解析两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；
若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则不一定能判断出a＝b，故②不正确；
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有 成立，故③正确；
④显然正确.故选B.在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反. A.1 B.2 C.3 D.4答案解析(2)如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：
①单位向量共有多少个？解答②试写出模为 的所有向量.解答③试写出与向量 相等的所有向量.解答④试写出向量 的所有相反向量.解答类型二 空间向量的加减运算例2 如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简
下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.解答解答结合加法运算
解答引申探究(3)空间向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算，即a－b＝a＋(－b).
(4)由于空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一个平面内的两个向量，而平面向量满足加法交换律，因此空间向量也满足加法交换律.所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
证明当堂训练1.下列命题中，假命题是
A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C.只有零向量的模等于0
D.空间中任意两个单位向量必相等√23451答案2.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，与向量 相等的向量共有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个√23451答案解析23451向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反.故D正确.3.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是
A.a＝b B.a＋b为实数0
C.a与b方向相同 D.|a|＝3√答案解析4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各式：4答案解析23451234510答案解析1.一些特殊向量的特性
(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的.
(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.
(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量.2.空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.课件35张PPT。第三章 §3.1 空间向量及其运算3.1.2 空间向量的数乘运算学习目标
1.掌握空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律.
2.了解平行(共线)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.
3.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 空间向量的数乘运算思考 实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？λ>0时，λa和a方向相同；λ<0时，λa和a方向相反；λa的长度是a的长度的|λ|倍.
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：
①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，
②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.答案梳理 (1)实数与向量的积
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：
①|λa|＝ .
②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向 ；当λ＝0时，λa＝0.
(2)空间向量数乘运算满足以下运算律
①λ(μa)＝ ；
②λ(a＋b)＝ ；
③(λ1＋λ2)a＝ (拓展).λ1a＋λ2a|λ||a|相反(λμ)aλa＋λb知识点二 共线向量与共面向量思考1 回顾平面向量中关于向量共线的知识，给出空间中共线向量的定义.如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.答案思考2 空间中任何两个向量都是共面向量，这个结论是否正确？正确.根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为共面向量.答案梳理 (1)平行(共线)向量平行或重合a＝λb方向向量(2)共面向量p＝xa＋yb惟一平面题型探究类型一 向量共线问题求证：E，F，B三点共线.证明判定向量a，b(b≠0)共线，只需利用已知条件找到x，使a＝xb即可.证明点共线，只需证明对应的向量共线.设AC中点为G，连接EG，FG，
解答类型二 空间向量的数乘运算及应用解答解答解答解答引申探究利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.解答类型三 空间向量共面问题证明
由于四边形ABCD是平行四边形，
由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面.(1)利用四点共面求参数
向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值.
(2)证明空间向量共面或四点共面的方法
①向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面.③用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行.解答证明求证：①A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；证明证明当堂训练23451∵2a－b＝2·a＋(－1)·b，
∴2a－b与a，b共面.1.对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是
A.共面向量 B.共线向量
C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量√答案解析√23451答案解析23451－8答案解析4.以下命题：
①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；
②共线的两个向量互相平行；
③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；
④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量.
其中正确命题的序号是______.②④答案解析根据共面与共线向量的定义判定，易知②④正确.2345123451
由共面向量定理的推论知，点P与点A，B，M共面.
∵3＋(－1)＋(－1)＝1，∴点B与点P，A，M共面，
即点P与点A，B，M共面.解答5.已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A，B，M是否共面.23451
∴点P与点A，B，M不共面.
∵4＋(－1)＋(－1)＝2≠1，∴点P与点A，B，M不共面.解答课件40张PPT。第三章 §3.1 空间向量及其运算3.1.3 空间向量的数量积运算学习目标
1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.
2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.
3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 空间向量数量积的概念思考1 答案
求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算.思考2 120°.答案梳理(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
(2)数量积的运算律a·b＋a·cλ(a·b)b·a(3)空间向量的夹角∠AOB②范围：〈a，b〉∈ .特别地：当〈a，b〉＝ 时，a⊥b.[0，π]知识点二 空间向量的数量积的性质|a|2a·b＝0|a|·|b|－|a|·|b|题型探究类型一 空间向量的数量积运算命题角度1 空间向量的数量积基本运算
例1 (1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明.
①p2·q2＝(p·q)2；解答此命题不正确.
∵p2·q2＝|p|2·|q|2，
而(p·q)2＝(|p|·|q|·cos〈p，q〉)2＝|p|2·|q|2·cos2〈p，q〉，
∴当且仅当p∥q时，p2·q2＝(p·q)2.②|p＋q|·|p－q|＝|p2－q2|；解答此命题不正确.
∵|p2－q2|＝|(p＋q)·(p－q)|＝|p＋q|·|p－q|·|cos〈p＋q，p－q〉|，
∴当且仅当(p＋q)∥(p－q)时，|p2－q2|＝|p＋q|·|p－q|.③若a与(a·b)·c－(a·c)·b均不为0，则它们垂直.解答此命题正确.
∵a·[(a·b)·c－(a·c)·b]＝a·(a·b)·c－a·(a·c)·b＝(a·b)(a·c)－(a·b)(a·c)＝0，
且a与(a·b)·c－(a·c)·b均为非零向量，
∴a与(a·b)·c－(a·c)·b垂直.(2)设θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4，求：
①a·b；解答∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，
∴a·b＝3×4×cos 120°＝－6.②(3a－2b)·(a＋2b).解答∵(3a－2b)·(a＋2b)＝3|a|2＋4a·b－4|b|2＝3|a|2＋4|a||b|cos 120°－4|b|2，
∴(3a－2b)·(a＋2b)＝3×9＋4×3×4×( )－4×16＝27－24－64＝－61.(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算.
(2)如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算. 跟踪训练1 已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于∵|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6×cos 60°＋9＝13，
∴|a＋3b|＝ .答案解析
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
命题角度2 利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题
例2 已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点.试计算：解答解答解答两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律.跟踪训练2 已知正四面体OABC的棱长为1，求：解答解答类型二 利用数量积求夹角或模命题角度1 利用数量积求夹角
例3 已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，?ABB1A1、?BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.解答
∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
又∵异面直线所成的角是锐角或直角，
∴异面直线BA1与AC所成的角为60°.利用向量求异面直线夹角的方法
因为PO⊥α，且l?α，所以l⊥PO，
跟踪训练3 已知：PO、PA分别是平面α的垂线、斜线，AO是PA在平面α内的射影，l?α，且l⊥OA.
求证：l⊥PA.证明命题角度2 利用数量积求模(或距离)
例4 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长.解答
因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝ 求解即可.跟踪训练4 如图，已知线段AB⊥平面α，BC?α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离.解答类型三 利用空间向量的数量积解决垂直问题因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，
所以△OAC≌△OAB，
所以∠AOC＝∠AOB.
例5 如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.证明(1)证明线线垂直的方法
证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直.
(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法
先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.跟踪训练5 已知向量a，b满足：|a|＝2，|b|＝ ，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为_____.45°答案解析∵a与2b－a垂直，∴a·(2b－a)＝0，
即2a·b－|a|2＝0.
∴2|a||b|·cos〈a，b〉－|a|2＝0，
又〈a，b〉∈[0°，180°]，∴a与b的夹角为45°.当堂训练23451|a－2b＋3c|2＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2－4a·b＋6a·c－12b·c＝14.1.已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|等于
A.14 B. C.4 D.2答案解析√
选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，
√23451答案解析2.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列向量的数量积一定不为0的是23451易知①②正确；
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：其中真命题的个数为
A.1 B.2 C.3 D.0√答案解析23451答案解析234515.已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为____.
＝12＋22＋12＋2×(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，
答案解析1.空间向量运算的两种方法
(1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算.
(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算.
2.在几何体中求空间向量数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积.
(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.课件35张PPT。第三章 §3.1 空间向量及其运算3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标
1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题；
2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念；
3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 空间向量基本定理思考1 平面向量基本定理的内容是什么？如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.答案思考2 平面向量的基底惟一确定吗？不惟一.答案梳理(1)空间向量基本定理(2)基底
条件：三个向量a，b，c .
结论： 叫做空间的一个基底.
基向量：基底中的向量a，b，c都叫做基向量.{a，b，c}不共面任一p＝xa＋yb＋zc不共面知识点二 空间向量的坐标表示思考1 平面向量的坐标是如何表示的？在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y惟一确定，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.
答案思考2 基底不同，向量的坐标相同吗？不同.答案梳理空间向量的正交分解及其坐标表示p＝(x，y，z)垂直单位e1，e2，e3题型探究类型一 基底的概念例1 若{a，b，c}是空间的一个基底.试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底？解答假设a＋b，b＋c，c＋a共面，
则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.
∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面.
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面.
∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底.基底判断的基本思路及方法
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底.
(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底.
②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底. 跟踪训练1 (1)已知a，b，c是不共面的三个非零向量，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是
A.2a B.2b C.2a＋3b D.2a＋5c答案(2)以下四个命题中正确的是______.
①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；
②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；
③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；
④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.②③答案解析因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；
由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以作基底，故③正确；
空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确.类型二 用基底表示向量解答连接AC，AD′.
解答解答解答用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.
(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.解答∵H为△OBC的重心，D为BC的中点，
类型三 空间向量的坐标表示解答解答解答引申探究用坐标表示空间向量的步骤∵OM＝2MA，点M在OA上，
答案解析当堂训练1.在以下三个命题中，真命题的个数是
①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；
②若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线；
③若a、b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ、μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底.
A.0 B.1 C.2 D.3①正确.基底的量必须不共面；②正确；
③不正确.a，b不共线，当c＝λa＋μb时，a、b、c共面，故只有①②正确.答案解析√234512.已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是
A.(12，14，10) B.(10，12，14)
C.(14，12，10) D.(4，3，2)设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12，14，10).√23451答案解析234513.若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d
＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ的值分别为____________.∵d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)
＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3＝e1＋2e2＋3e3，
答案解析23451答案解析(0，2，1)(2，2，1)23451答案解析1.基底中不能有零向量.因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量.
2.空间几何体中，欲得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标.
3.用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则.逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示.课件33张PPT。第三章 §3.1 空间向量及其运算3.1.5 空间向量运算的坐标表示学习目标
1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.
2.掌握空间向量的坐标运算规律，并会判断两个向量是否共线或垂直.
3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 空间向量的坐标运算思考 设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，那么m＋n，m－n，λm，m·n如何运算？m＋n＝(x1＋x2，y1＋y2)，m－n＝(x1－x2，y1－y2)，λm＝(λx1，λy1)，m·n＝x1x2＋y1y2.答案梳理空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
(λa1，λa2，λa3)
a1b1＋a2b2＋a3b3知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a1b1＋a2b2＋a3b3＝0题型探究 类型一 空间向量的坐标运算例1 已知a＝(1，－2，1)，a－b＝(－1，2，－1)，则b等于
A.(2，－4，2) B.(－2，4，－2)
C.(－2，0，－2) D.(2，1，－3)依题意，得b＝a－(－1，2，－1)＝a＋(1，－2，1)
＝2(1，－2，1)＝(2，－4，2).答案解析关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.
(2)由条件求向量或点的坐标
首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标.跟踪训练1 若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝___.2答案解析据题意，有c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，
故(c－a)·2b＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.类型二 空间向量平行、垂直的坐标表示
解得λ＝±1.即c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2).解答
所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4).
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0.
即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.解答由题意知ka－b＝(k＋1，k，－2)，ka＋2b＝(k－2，k，4)，
∵(ka－b)⊥(ka＋2b)，
∴(ka－b)·(ka＋2b)＝0，
引申探究
若将本例(2)中改为“若ka－b与ka＋2b互相垂直”，求k的值.解答(1)平行与垂直的判断
①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线.
②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.
(2)平行与垂直的应用
①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程.
②选择坐标形式，以达到简化运算的目的.跟踪训练2 在正方体AC1中，已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点.
证明：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；证明
∴A1G⊥DF，A1G⊥DE.
又DF∩DE＝D，∴A1G⊥平面EFD.证明(2)A1G⊥平面EFD.类型三 空间向量的夹角与长度的计算例3 棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.
(1)求证：EF⊥CF；证明解答(3)求CE的长.解答通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，
跟踪训练3 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.
(1)求四棱锥P－ABCD的体积；解答(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值.解答如图，以O为原点，OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
∵异面直线所成的角为锐角或直角，
当堂训练1.已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于
A.(16，0，4) B.(8，－16，4)
C.(8，16，4) D.(8，0，4)4a＋2b＝4(3，－2，1)＋2(－2，4，0)
＝(12，－8，4)＋(－4，8，0)＝(8，0，4).答案解析√234512.若a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，2，2)，则a·(b＋c)的值为
A.4 B.15 C.3 D.7∵b＋c＝(2，2，5)，∴a·(b＋c)＝4－6＋5＝3.√23451答案解析234513.已知a＝(2，－3，1)，则下列向量中与a平行的是
A.(1，1，1) B.(－4，6，－2)
C.(2，－3，5) D.(－2，－3，5)若b＝(－4，6，－2)，则b＝－2(2，－3，1)＝－2a，所以a∥b.√答案解析234514.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，
所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，
所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝ .√答案解析23451答案解析1.在空间直角坐标系中，已知点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 ＝
(x2－x1，y2－y1，z2－z1).一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标.
2.两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，3.空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围.课件38张PPT。§3.2 立体几何中的向量方法(一)
空间向量与平行关系学习目标
1.掌握空间点、线、面的向量表示.
2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.
3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 直线的方向向量与平面的法向量思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？答案(1)点：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量 来表示.我们把向量 称为点P的位置向量.
(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.
②对于直线l上的任一点P，存在实数t，使得 此方程称为直线的向量参数方程.
(3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定.对于平面α上的任一点P，a，b是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x，y)，使得 ＝xa＋yb.
②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示.梳理(1)用向量表示直线的位置一点方向向量位置(2)用向量表示平面的位置
①通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定：②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定：方向向量(3)直线的方向向量和平面的法向量方向向量n非零(4)空间中平行关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则μ＝kv(k∈R)a∥ba·μ＝0知识点二 利用空间向量处理平行问题思考 (1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量.若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系.由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2?v1∥v2?v1＝λv2(λ∈R).答案思考 (2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行.答案(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行.答案梳理利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.题型探究类型一 求直线的方向向量、平面的法向量例1 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝ ，试建立恰当的空间直角坐标系，
求平面ACE的一个法向量.解答因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直.
设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，引申探究
若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.解答
即直线PC的一个方向向量.
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z).
利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z).(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1).
(6)得结论：得到平面的一个法向量.跟踪训练1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形.∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的法向量.解答因为PA＝PB，F为AB的中点，所以PF⊥AB，
又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF?平面PAB.
所以PF⊥平面ABCD，因为AB＝BC，∠ABC＝60°，
所以△ABC是等边三角形，所以CF⊥AB.
以F为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图所示).
设平面DEF的法向量为m＝(x，y，z).
类型二 利用空间向量证明平行问题例2 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；证明建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，
则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，
C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，
令z1＝2，则y1＝－1，
所以n1＝(0，－1，2).
又因为FC1?平面ADE，
所以FC1∥平面ADE.
令z2＝2，得y2＝－1，
所以n2＝(0，－1，2)，
因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.(2)平面ADE∥平面B1C1F.证明利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.跟踪训练2 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝
BC＝ AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，
求出E点的位置；若不存在，请说明理由.解答分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
∴P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，
∴E是PD的中点，∴存在E点，当点E为PD中点时，CE∥平面PAB.当堂训练1.若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为
A.(1，2，3) B.(1，3，2)
C.(2，1，3) D.(3，2，1)答案解析√234512.已知直线l1的方向向量a＝(2，－3，5)，直线l2的方向向量b＝(－4，x，y)，若l1∥l2，则x，y的值分别是
A.6和－10 B.－6和10 C.－6和－10 D.6和10
所以x，y的值分别是6和－10.√23451答案解析234513.若μ＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是
A.(0，－3，1) B.(2，0，1)
C.(－2，－3，1) D.(－2，3，－1)能作为平面α的法向量的向量与μ＝(2，－3，1)共线，(－2，3，－1)＝－μ.√答案解析23451A.－4 B.－6 C.－8 D.8√答案解析234515.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为___________
____________.(1，1，1)(答案不惟一)答案解析不妨设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，
设平面ACD1的一个法向量a＝(x，y，z)，
(注：答案不惟一，只要与所给答案共线都对)234511.应用向量法证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.
(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示.即用平面向量基本定理证明线面平行.
2.证明面面平行的方法
设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β?n1∥n2?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R).课件38张PPT。§3.2 立体几何中的向量方法(二)
空间向量与垂直关系学习目标
1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.
2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.
3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 向量法判断线线垂直思考 若直线l1的方向向量为μ1＝(1，3，2)，直线l2的方向向量为μ2＝(1，－1，1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？答案l1与l2垂直，因为μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2，又μ1，μ2是两直线的方向向量，所以l1与l2垂直.
(2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直.梳理设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m? ? .a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a·b＝0知识点二 向量法判断线面垂直思考 答案垂直，因为μ1＝ μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l与平面α垂直.
判断直线与平面的位置关系的方法：
(1)直线l的方向向量与平面α的法向量共线?l⊥α.
(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直?直线与平面平行或直线在平面内.
(3)直线l的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直?l⊥α.梳理设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?a∥μ? .a＝kμ(k∈R)知识点三 向量法判断面面垂直思考 平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.答案梳理若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为ν＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?μ⊥ν?μ·ν＝0? .a1a2＋b1b2＋c1c2＝0题型探究类型一 证明线线垂直例1 已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，
N是侧棱CC1上的点，且CN＝ CC1.求证：AB1⊥MN.证明设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC、BC、C1C两两垂直.
如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别
为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，
跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.证明类型二 证明线面垂直例2 如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.
求证：AB1⊥平面A1BD.证明如图所示，取BC的中点O，连接AO.
因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，
所以AO⊥平面BCC1B1.
又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD.用坐标法证明线面垂直的方法及步骤
方法一：(1)建立空间直角坐标系.
(2)将直线的方向向量用坐标表示.
(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量.
(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.
方法二：(1)建立空间直角坐标系.
(2)将直线的方向向量用坐标表示.
(3)求出平面的法向量.
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.跟踪训练2 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点.求证：直线PB1⊥平面PAC.证明
又PA∩PC＝P，所以PB1⊥平面PAC.类型三 证明面面垂直例3 在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.证明
设平面AA1C1C的法向量为n1＝(x，y，z)，
令x＝1，得y＝1，故n1＝(1，1，0).设平面AEC1的法向量为n2＝(a，b，c)，
令c＝4，得a＝1，b＝－1，故n2＝(1，－1，4).
因为n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，
所以n1⊥n2.
所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.证明面面垂直的两种方法
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.
(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练3 在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.证明
设平面ABC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
∴n1＝(1，－1，0)为平面ABC的一个法向量.设n2＝(x2，y2，z2)为平面BEF的一个法向量，
同理可得n2＝(1，1，－ ).
∵n1·n2＝(1，－1，0)·(1，1，－ )＝0，
∴平面BEF⊥平面ABC.当堂训练1.下列命题中，正确命题的个数为
①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2?α∥β；
②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ? n1·n2＝0；
③若n是平面α的法向量，a与平面α平行，则n·a＝0；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直.
A.1 B.2 C.3 D.4①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知②③④正确.答案解析√234512.已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为
A.a＝(1，0，0)，b＝(－3，0，0)
B.a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)
C.a＝(0，1，－1)，b＝(0，－1，1)
D.a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)因为a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故选B.√23451答案解析234513.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为μ＝(－2，0，－4)，则
A.l∥α B.l⊥α C.l?α D.l与α斜交∵a∥μ，∴l⊥α.√答案解析234514.平面α的一个法向量为m＝(1，2，0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1，0)，则平面α与平面β的位置关系是
A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不能确定∵(1，2，0)·(2，－1，0)＝0，
∴两法向量垂直，从而两平面垂直.√答案解析234515.已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1，0，5)，ν＝(t，5，1)，则t的值为____.5∵平面α与平面β垂直，
∴平面α的法向量μ与平面β的法向量ν垂直，
∴μ·ν＝0，即(－1)×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.答案解析空间垂直关系的解决策略课件64张PPT。§3.2 立体几何中的向量方法(三)
向量法解决空间角和距离问题学习目标
1.理解直线与平面所成角、二面角的概念.
2.掌握向量法解决空间角和距离问题.
3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 利用空间向量求空间角思考1 空间角包括哪些角？线线角、线面角、二面角.答案思考2 求解空间角常用的方法有哪些？传统方法和向量法.答案梳理空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解.
(1)线线角：设两条直线的方向向量分别为a，b，且a与b的夹角为φ，两条
直线所成角为θ，则cos θ＝ ＝ .
(2)线面角：设n为平面α的一个法向量，a为直线a的方向向量，直线a与平面α所成的角为θ，则|cos φ|(3)二面角：
①转化为分别在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的方向向量的夹角(注意：要特别关注两个向量的方向).②先求出二面角一个面内一点到另一面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角.
如图所示，已知二面角α－l－β，在α内取一点P，过P作PO⊥β，PA⊥l，垂足分别为O，A，连接AO，则AO⊥l成立，所以∠PAO就是二面角的平面角.
③先求出二面角的两个半平面的法向量的夹角，然后结合图形与题意判断求出的是二面角的大小，还是它的补角的大小，从而确定二面角的大小.知识点二 利用空间向量求距离思考1 求点到直线距离的常用方法有哪些？(1)找垂线段，求其长度；
(2)利用等面积法；
(3)借助向量的模，利用数量积的几何意义求解.答案思考2 求点到平面的距离的常用方法有哪些？(1)确定垂线段法；
(2)等体积法；
(3)空间向量法.答案梳理(1)点到直线的距离(2)点到平面的距离
用空间向量法求点到平面的距离具体步骤如下：线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离，因此，只要掌握点到平面距离的求法，就可解决其他的距离问题.题型探究类型一 求两条异面直线所成的角例1 如图，在三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝ ，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小.解答在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解.但应用向量法时一定要注意向量所成角与异面直线所成角的区别.跟踪训练1 已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值.解答不妨设正方体棱长为2，分别取DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(1，0，2)，F(1，1，2)，
类型二 求直线和平面所成的角例2 已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为 a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角.解答
方法一 取A1B1的中点M，
则MC1⊥AB，MC1⊥AA1，
又AB∩AA1＝A，
∴MC1⊥平面ABB1A1.
∴∠C1AM是AC1与侧面ABB1A1所成的角.
又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内，
∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.
设侧面ABB1A1的法向量为n＝(λ，y，z)，
∴y＝z＝0.故n＝(λ，0，0).
又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内，
∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角.方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算.跟踪训练2 如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值.解答由题设条件知，以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示).
类型三 求二面角例3 在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角.解答方法一 如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
设PA＝AB＝a，AC＝b，连接BD与AC交于点O，取AD中点F，
∴D(b，－a，0)，P(0，0，a)，
∴∠EOF等于平面EAC与平面ABCD的夹角(或补角).
∴平面EAC与平面ABCD的夹角为45°.
方法二 建系如方法一，
∵PA⊥平面ABCD，
设平面AEC的法向量为m＝(x，y，z).
∴x＝0，y＝z.∴取m＝(0，1，1)，
∴平面AEC与平面ABCD的夹角为45°.(1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.
(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.跟踪训练3 若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ ，求二面角A－PB－C的余弦值.解答
设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，
设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，
令y′＝－1，则z′＝－1，故n＝(0，－1，－1)，
又∵二面角A－PB－C是钝二面角，
类型四 向量法解决距离问题命题角度1 点线距离
例4 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离.解答以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图.
用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)求直线的方向向量.
(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影.
(4)利用勾股定理求点到直线的距离.
另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.跟踪训练4 如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离.解答∵AB＝1，BC＝2，AA′＝3，
∴A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，
命题角度2 点面距离
例5 已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离.解答
设平面EFG的一个法向量为n＝(x，y，z).
取y＝1，则n＝(－1，1，－3).
利用向量法求点到平面的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)求出该平面的一个法向量.
(3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量.
(4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离.跟踪训练5 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2.
(1)求证：A1C∥平面AB1D；证明令z＝1，则y＝0，x＝2.∴n＝(2，0，1).
∵A1C?平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.(2)求点C1到平面AB1D的距离.解答命题角度3 线面距离与面面距离
例6 在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝ ，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离.解答
设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1，0，1).
(1)求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可.
(2)将两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可.跟踪训练6 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离.解答
设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1，1，1).
∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，
当堂训练1.在一个二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这个二面角的余弦值为答案解析√234512.已知三棱锥O－ABC，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，且OA＝1，OB＝2，OC＝2，则点A到直线BC的距离为以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意可知A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，
答案解析√23451234513.已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值是答案解析√23451
设AA1＝2AB＝2，
则B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，C1(0，1，2)，
设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，
23451令z＝1，则y＝－2，x＝2，
所以n＝(2，－2，1).
设直线CD与平面BDC1所成的角为θ，
234514.设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到
平面ABC的距离为 .答案解析设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z).
令z＝－2，则n＝(3，2，－2).
234515.在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝ ，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是 .30°
所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°，
所以斜线PC与平面ABCD所成角为30°.答案解析234511.向量法求角
(1)两条异面直线所成的角θ可以借助这两条直线的方向向量的夹角φ求得，即cos θ＝|cos φ|.
(2)直线与平面所成的角θ可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即sin θ＝|cos φ|或cos θ＝sin φ.
(3)二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角.2.向量法求距离(3)线面距离、面面距离均可转化为点面距离，利用(2)中的方法求解.课件44张PPT。第三章 空间向量与立体几何章末复习课学习目标
1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的运算法则及运算律.
2.掌握空间向量数量积的运算及其应用，会用数量积解决垂直问题、夹角问题.
3.理解空间向量基本定理，掌握空间向量的坐标表示.
4.会用基向量法、坐标法表示空间向量.
5.会用向量法解决立体几何问题.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识点一 空间中点、线、面位置关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则μ·v＝0a⊥μa·μ＝0μ＝kv，k∈Ra⊥ba·b＝0知识点二 用坐标法解决立体几何问题步骤如下：
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；
(3)进行相关坐标的运算；
(4)写出几何意义下的结论.关键点如下：
(1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程.
(2)点的坐标、向量的坐标的确定.将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题.
(3)几何问题与向量问题的转化.平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键.题型探究类型一 空间向量及其运算例1 如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：其中正确结论的序号是 .③④答案解析向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义.解答
由已知ABCD是平行四边形，
类型二 利用空间向量解决位置关系问题例2 四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：
(1)PC∥平面EBD.证明如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA，DP所在的直线为x轴，y轴，
z轴建立空间直角坐标系.
设平面EBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
(2)平面PBC⊥平面PCD.证明
设平面PBC的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量.
(2)证明线面平行的方法
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
②能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线.
③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.
(3)证明面面平行的方法
①转化为线线平行、线面平行处理.
②证明这两个平面的法向量是共线向量.(4)证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直.
(5)证明线面垂直的方法
①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量.
②证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直.
(6)证明面面垂直的方法
①转化为证明线面垂直.
②证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练2 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.证明如图，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体棱长为1，则
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的一个法向量，
令y1＝1，得m＝(0，1，－2).
令z2＝1，得n＝(0，2，1).
∵m·n＝(0，1，－2)·(0，2，1)＝0，
∴m⊥n，故平面AED⊥平面A1FD1.类型三 利用空间向量求角例3 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；解答交线围成的正方形EHGF如图所示，
(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.解答作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8.
因为EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.
设n＝(x，y，z)是平面EHGF的法向量，
用向量法求空间角的注意点
(1)异面直线所成角：两异面直线所成角范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解.
(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a的夹角的余弦cos〈n，a〉，再利用公式sin θ＝|cos〈n，a〉|，求θ.
(3)二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平
面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1
与n2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角.跟踪训练3 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点.
(1)求证：GF∥平面ADE；证明方法一 如图，取AE的中点H，连接HG，HD，
由四边形ABCD是矩形，
得AB∥CD，AB＝CD，
所以GH∥DF，且GH＝DF，
从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH.
又DH?平面ADE，GF?平面ADE，
所以GF∥平面ADE.方法二 如图，取AB中点M，连接MG，MF.
又G是BE的中点，可知GM∥AE.
又AE?平面ADE，GM?平面ADE，
所以GM∥平面ADE.
在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得MF∥AD.
又AD?平面ADE，MF?平面ADE.
所以MF∥平面ADE.
又因为GM∩MF＝M，GM?平面GMF，MF?平面GMF，
所以平面GMF∥平面ADE.
因为GF?平面GMF，所以GF∥平面ADE.(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.解答方法一 如图，在平面BEC内，过B点作BQ∥EC.
因为BE⊥CE，所以BQ⊥BE.
又因为AB⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ.
则A(0，0，2)，B(0，0，0)，E(2，0，0)，F(2，2，1).
设n＝(x，y，z)为平面AEF的法向量.
取z＝2，得n＝(2，－1，2).
方法二 同方法一.当堂训练23451在△BCD中，因为点G是CD的中点，
答案解析√234512.若a＝(0，1，－1)，b＝(1，1，0)，且(a＋λb)⊥a，则实数λ的值是
A.－1 B.0 C.1 D.－2a＋λb＝(λ，1＋λ，－1).
由(a＋λb)⊥a，知(a＋λb)·a＝0，
∴λ×0＋(1＋λ)×1＋(－1)×(－1)＝0，解得λ＝－2.答案解析√234513.已知向量a＝(4－2m，m－1，m－1)与b＝(4，2－2m，2－2m)平行，则m＝ .1或3当2－2m＝0，即m＝1时，a＝(2，0，0)，b＝(4，0，0)，满足a∥b；
当2－2m≠0，即m≠1时，
综上可知，m＝3或m＝1.答案解析234514.已知平面α经过点O(0，0，0)，且e＝(1，1，1)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是 .x＋y＋z＝0答案解析
∴m＝±1.∴c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2).解答23451∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，
∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1.
23451(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.解答解决立体几何中的问题，可用三种方法：几何法、基向量法、坐标法.几何法以逻辑推理作为工具解决问题；基向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题.坐标方法经常与向量运算结合起来使用.
