课件30张PPT。第一章 §1.1 命题及其关系1.1.1 命 题学习目标
1.理解命题的概念.
2.会判断命题的真假.
3.了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点一 命题的概念在初中，我们已经学习了命题的定义，它的内容是什么？对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题.答案思考2 依据上面命题的定义，判断下列说法中，哪些是命题，哪些不是命题.
①三角形外角和为360°；
②连接A、B两点；
③计算3－2的值；
④过点A作直线l的垂线；
⑤在三角形中，大边一定对的角也大吗？根据命题的定义，只有①为命题，其他说法都不是命题.答案梳理(1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以_____
的 叫做命题.
(2)命题定义中的两个要点：“可以 ”和“ ”.我们学习过的定理、推论都是命题.
(3)分类真
假判断真假陈述句判断真假陈述句思考1 知识点二 命题的结构在初中学习命题的定义的基础上，你还知道与命题有关的哪些知识？命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常可以写为“如果…，那么…”的形式，“如果”后面接题设，而“那么”后面接结论.答案完成下列题目：
(1)命题“等角的补角相等”：题设是___________，结论是_____.
(2)命题“实数的平方是非负数”可以改为“如果_____________，那么_________________”.等角的补角相等一个数是实数它的平方是非负数思考2 梳理(1)命题的一般形式为“若p，则q”.其中p叫做命题的 ，q叫做命题的 .
(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式.条件结论题型探究 例1 (1)下列语句为命题的是
A.x－1＝0 B.2＋3＝8
C.你会说英语吗？ D.这是一棵大树答案解析类型一 命题的判断A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断；
B中2＋3＝8是命题，且是假命题；
C不是陈述句，故不是命题；
D中“大”的标准不确定，无法判断真假.(2)下列语句为命题的有_____.
①一个数不是正数就是负数；
②梯形是不是平面图形呢？
③22 015是一个很大的数；
④4是集合{2，3，4}中的元素；
⑤作△ABC≌△A′B′C′.①④答案解析①是陈述句，且能判断真假；
②不是陈述句；
③不能断定真假；
④是陈述句且能判断真假；
⑤不是陈述句.判断一个语句是否是命题的三个关键点
(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.
(2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题.
(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题.跟踪训练1 给出下列语句，其中不是命题的有_______.
① 是无限循环小数；
②x2－3x＋2＝0；
③当x＝4时，2x>0；
④垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？
⑤一个数不是奇数就是偶数；
⑥2030年6月1日上海会下雨.②④⑥答案解析②⑥不是命题，因为该语句无法判断其真假；
④为疑问句，故④不是命题.例2 给定下列命题：
①若a>b，则2a>2b；
②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；类型二 命题真假的判断答案解析其中为真命题的是_______.①③④结合函数f(x)＝2x的单调性，知①为真命题；
引申探究解答直角答案解析一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一.欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可. 跟踪训练2 下列命题中假命题的个数为
①多边形的外角和与边数有关；
②如果数量积a·b＝0，那么向量a＝0或b＝0；
③二次方程a2x2＋2x－1＝0有两个不相等的实根；
④函数f(x)在区间[a，b]内有零点，则f(a)·f(b)<0.
A.1 B.2 C.3 D.4答案解析因为Δ＝4＋4a2>0，故③正确，而①②④都错误，均可举出反例.例3 将下列命题写成“若p，则q”的形式.
(1)末位数是0或5的整数，能被5整除；类型三 命题结构形式解读解答若一个整数的末位数字是0或5，则这个数能被5整除.(2)方程x2－x＋1＝0有两个实数根.解答若一个方程是x2－x＋1＝0，则它有两个实数根.把命题改写成“若p，则q”的形式，关键是找到命题的条件“p”和结论“q”，在有些命题的叙述中，条件、结论不是那么分明，但我们可以把它们改写成条件和结论分明的形式，这要求我们能够分清命题的条件和结论分别是什么.跟踪训练3 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假.
(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等；解答若一个多边形是正n边形，则这个正n边形的n个内角全相等.是真命题.(2)负数的立方是负数；解答若一个数是负数，则这个数的立方是负数.是真命题.(3)已知x，y为正整数，当y＝x－5时，y＝－3，x＝2.解答已知x，y为正整数，若y＝x－5，则y＝－3，x＝2.是假命题.当堂训练1.命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是
A.两个平面
B.一条直线
C.垂直
D.两个平面垂直于同一条直线√23451所给的命题可以改为“如果两个平面垂直于同一条直线，那么它们互相平行”，故选D.答案解析2.下列命题是真命题的为
选项B，令a＝b＝c＝0，此时显然不是等比数列；
选项D，若a＝b<0，则结论显然不成立，故选C.答案解析B.若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
C.若|x|
故a的取值范围为(－∞，0)∪(0，1).答案解析(－∞，0)∪(0，1)234514.命题“函数y＝log2(x2－mx＋4)的值域为R”为真命题，则实数m的取值范围为______________________.由题意可知，满足条件时，需方程x2－mx＋4＝0的判别式Δ≥0，
即(－m)2－4×4≥0，解得m≤－4或m≥4.答案解析(－∞，－4]∪[4，＋∞)234515.命题：3mx2＋mx＋1>0恒成立是真命题，求实数m的取值范围.“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论.
当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；
当m>0，且Δ＝m2－12m<0，
即00恒成立，
所以0综上所述，实数m的取值范围是0≤m<12.解答1.根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题.命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可.
2.任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中.课件42张PPT。1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系学习目标
1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.
2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.
3.会利用命题的等价性解决问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点一 四种命题的概念初中已学过命题与逆命题的知识，什么叫做命题的逆命题？在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题.答案思考2 除了命题与逆命题之外，是否还有其它形式的命题？有.答案梳理逆命题结论和条件否命题否定否定逆否命题结论的否定和条件的否定思考1 知识点二 四种命题间的相互关系命题与其逆命题之间是什么关系？互逆.答案思考2 原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间又是什么关系？原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系.答案梳理(1)四种命题间的关系(2)四种命题间的真假关系由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：
①两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 关系.真真假真真假假假没有相同知识点三 逆否证法与反证法1.逆否证法
由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，所以在直接证明某一命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接证明原命题为真命题.
2.反证法
(1)反证法的步骤：
①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立.(2)反证法导出结果的几种情况：
①导出綈p为真，即与原命题的条件矛盾；
②导出q为真，即与假设“綈q为真”矛盾；
③导出一个恒假命题，即与定义、公理、定理矛盾；
④导出自相矛盾的命题.
3.反证法与逆否证法的联系
(1)依据相同：都是利用原命题与其逆否命题的等价性.
(2)起步相同：都是从“綈q”(即否定结论)出发(入手)；
(3)思想相同：都是“正难则反”思想的具体体现.4.反证法与逆否证法的区别
(1)目的不同：反证法否定结论的目的是推出矛盾，而逆否证法否定结论的目的是推出“綈p”(即否定条件)；
(2)本质不同：逆否证法实质是证明一个新命题(逆否命题)成立，而反证法是把否定的结论作为新的条件连同原有的条件进行逻辑推理，直至推出矛盾，从而肯定原命题的结论.题型探究命题角度1 四种命题的写法
例1 把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.
(1)正数的平方根不等于0；解答类型一 四种命题的关系及真假判断原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.
逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数.
否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.
逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数.(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；解答原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.
逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.
否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.
逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.(3)对顶角相等.解答原命题：若两个角是对顶角，则它们相等.
逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角.
否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等.
逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角.由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论.跟踪训练1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题.
(1)实数的平方是非负数；解答逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数.
否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数.
逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数.(2)等底等高的两个三角形是全等三角形.解答逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高.
否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等.
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高.命题角度2 四种命题的真假判断
例2 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.
(1)若a>b，则ac2>bc2；解答逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题.
否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题.
逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题.(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形.解答逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补.真命题.
否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形.真命题.
逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补.真命题.若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题.
原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题.互为逆否命题的两个命题的真假性相同.
在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4. 跟踪训练2 下列命题中为真命题的是
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“正三角形都相似”的逆命题；
③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；
④“若x－ 是有理数，则x是无理数”的逆否命题.
A.①②③④ B.①③④ C.②③④ D.①④答案解析①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”.故为真命题.
②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”.故为假命题.
③原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”.
∵x不是无理数，∴x是有理数.
故正确的命题为①③④，故选B.例3 证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.类型二 等价命题的应用证明方法一 原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)若a＋b<0，则a<－b，b<－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)即原命题的逆否命题为真命题.
∴原命题为真命题.方法二 假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾，
因此假设不成立，故a＋b≥0.因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的.正确写出原命题的逆否命题是证题的关键，同时注意这种证明方法与反证法的区别.跟踪训练3 证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.证明“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”.∵a＝2b＋1，
∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1
＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.
∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题.
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证.类型三 反证法的应用证明假设a、b、c都不大于0，
即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0.
而a＋b＋c
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.
∵π－3>0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，
∴a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，
因此a、b、c中至少有一个大于0.(1)求解此类含有“至少”“至多”等命题，常利用反证法来证明.用反证法证明命题的一般步骤：①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
(2)常见的一些词语和它们的否定词语对照如下：跟踪训练4 设a，b，c∈R，且a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数.证明方法一 (逆否证法)依题意，就是证明命题“若a2＋b2＝c2，则a，b，c不可能都是奇数”为真命题.为此，只需证明其逆否命题“若a，b，c都是奇数，则a2＋b2≠c2”为真命题即可.
∵a，b，c都是奇数，∴a2，b2，c2都是奇数，
∴a2＋b2为偶数，而c2为奇数，∴a2＋b2≠c2.
∴原命题的逆否命题为真命题.
∴原命题也为真命题.方法二 (反证法)假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数.
∴a2＋b2为偶数.而c2为奇数，
∴a2＋b2≠c2，与a2＋b2＝c2矛盾.
∴假设不成立，原命题成立.当堂训练1.命题“若綈p，则q”的逆否命题为
A.若p，则綈q B.若綈q，则綈p
C.若綈q，则p D.若q，则p√23451答案2.下列命题为真命题的是
A.命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
B.命题“若x＝1，则x2>1”的否命题
C.命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D.命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题对A，即判断：若x>|y|，则x>y的真假，显然是真命题.答案解析√23451234513.命题“若x>1，则x>0”的逆命题是_____________，逆否命题是_______
_______.答案若x>0，则x>1若x≤0，则x≤1234514.在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为___.逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；
否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；
逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，
全为真命题.答案解析45.已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”.
(1)写出命题p的否命题；命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”.解答(2)判断命题p的否命题的真假.命题p的否命题是真命题.
判断如下：
因为ac<0，
所以－ac>0?Δ＝b2－4ac>0?二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根?ax2＋bx＋c>0有解，
所以该命题是真命题.解答23451写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误.
若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可.课件44张PPT。第一章 常用逻辑用语§1.2 充分条件与必要条件学习目标
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.
2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.
3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 充分条件与必要条件用恰当的语言表述下列语句的意义.
①一个人如果骄傲自满，那么就必然落后；如果不骄傲自满，那就可能不落后，也可能落后，骄傲自满是落后的充分条件.答案②只有同心协力，才能把事情办好.同心协力是办好事情的必要条件.答案梳理(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p?q，并且说p是q的 条件，q是p的_____条件.
(2)若p?q，但q?p，称p是q的 条件，若q?p，但p?q，称p是q的 条件.必要而不充分充分必要充分而不必要思考 知识点二 充要条件在△ABC中，角A、B、C为它的三个内角，则“A、B、C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？因为A、B、C成等差数列，故2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，故B＝60°，反之，亦成立，故“A、B、C成等差数列”是“B＝60°”的充分必要条件.答案梳理(1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q，此时，我们说，p是q的 条件，简称充要条件.
(2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p?q，那么p与q互为充要条件.充分必要(3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}.题型探究命题角度1 在常见数学问题中的判断
例1 下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；解答类型一 判断充分条件、必要条件、充要条件∵a＋b＝0?a2＋b2＝0；
a2＋b2＝0?a＋b＝0，
∴p是q的必要不充分条件.(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；解答∵四边形的对角线相等?四边形是矩形；
四边形是矩形?四边形的对角线相等，
∴p是q的必要不充分条件.解答(4)p：m<－1，q：x2－x－m＝0无实根；解答若方程x2－x－m＝0无实根，则Δ＝1＋4m<0，
∴p是q的充分不必要条件.(5)p：ab≠0，q：直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交.解答由ab≠0，即a≠0且b≠0，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0，即ab≠0，故p是q的充要条件.判断充分条件和必要条件的方法：一、定义法；二、等价命题法，原命题与其逆否命题是“同真同假”的等价命题，这一点在充要条件的判断中经常用到；三、集合法，P是Q的充分不必要条件?集合P?Q，P是Q的必要不充分条件?集合P?Q，P是Q的充要条件?集合P＝Q，P是Q的既不充分也不必要条件?集合P?Q，且P?Q；四、传递法，对于较复杂的关系，常用?，?，?等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度.跟踪训练1 指出下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：ax2＋ax＋1>0的解集是R，q：00满足题意；
故p是q的必要不充分条件.易知p：－1所以p是q的充要条件.解答(3)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B；解答因为A∪B＝A?A∩B＝B，所以p是q的充要条件.
所以q?p，所以p是q的充分不必要条件.解答命题角度2 在实际问题中的判断
例2 如图所示的电路图中，“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件？解答如题图(1)，闭合开关A或者闭合开关C都可能使灯泡B亮.反之，若要灯泡B亮，不一定非要闭合开关A.因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充分不必要条件.
如题图(2)，闭合开关A而不闭合开关C，灯泡B不亮.反之，若要灯泡B亮，则开关A必须闭合，说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的必要不充分条件.
如题图(3)，闭合开关A可使灯泡B亮，而灯泡B亮，开关A一定是闭合的，因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充要条件.
如题图(4)，闭合开关A但不闭合开关C，灯泡B不亮.反之，灯泡B亮也可不必闭合开关A，只要闭合开关C即可，说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.“充分”的含义是“有它即可”，“必要”的含义是“无它不可”.用日常生活中的现象来说明“条件”和“结论”之间的关系，更容易理解和接受.用“条件”和“结论”之间的关系来解释生活中的现象，更加明白、透彻. 跟踪训练2 俗语云“好人有好报”，“好人”是“有好报”的
A.充分条件 B.必要条件
C.既不充分也不必要条件 D.无法判断答案解析结合该俗语的文化背景，易得选项A符合人们的认识实际.命题角度1 充要条件的探求
例3 求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是什么？类型二 充要条件的探求与证明解答
(1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，即x＝ ，符合要求.
(2)当a≠0时，ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a≥0，∴a≤1.
综上所述，ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件?结论”和“结论?条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件.跟踪训练3 已知数列{an}的前n项和Sn＝(n＋1)2＋t(t为常数)，试问t＝－1是否为数列{an}是等差数列的充要条件？请说明理由.解答是充要条件.
(充分性)当t＝－1时，Sn＝(n＋1)2－1＝n2＋2n.
a1＝S1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1.
又a1＝3适合上式，
∴an＝2n＋1(n∈N*)，
又∵an＋1－an＝2(常数)，
∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列.故t＝－1是{an}为等差数列的充分条件.
(必要性)∵{an}为等差数列，
则2a2＝a1＋a3，解得t＝－1，
故t＝－1是{an}为等差数列的必要条件.
综上，t＝－1是数列{an}为等差数列的充要条件.命题角度2 充要条件的证明证明
∴点P在直线AB上，即点P在直线l上.
②必要性：设点P在直线l上，则由共线向量基本定理知，
证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件” ?“结论”，必要性需要证明“结论”?“条件”.跟踪训练4 已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件.证明①充分性：∵a＋b＝1，∴b＝1－a，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，
即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
②必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0.
∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2≠0.
∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件.类型三 利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围)(1)求A；要使f(x)有意义，则3－(x＋2)(2－x)≥0，
化简整理得(x＋1)(x－1)≥0，
解得x≤－1或x≥1，
∴A＝{x|x≤－1或x≥1}.解答(2)记p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.要使g(x)有意义，则(x－a－1)(2a－x)>0，即(x－a－1)(x－2a)<0，
又∵a<1，∴a＋1>2a，
∴B＝{x|2a∵p是q的必要不充分条件，
∴B?A，∴2a≥1或a＋1≤－1，
解答在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p和q转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从而求得参数的取值范围.
根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤
(1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；
(2)若p是q的充分不必要条件，则M?N，若p是q的必要不充分条件，则N?M，若p是q的充要条件，则M＝N；
(3)根据集合的关系列不等式(组)；
(4)求出参数的范围.答案解析当堂训练234511.人们常说“无功不受禄”，这句话表明“受禄”是“有功”的
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件无功不受禄可写为命题：若无功，则不受禄.逆否命题为：若受禄，则有功.显然“受禄”是“有功”的充分不必要条件，因为有功不一定受禄.答案解析√2.设命题p：x2－3x＋2<0，q： ≤0，则p是q的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件命题p：1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件根据方程得x2－4x－5＝0，解得x＝－1或x＝5，故“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的必要不充分条件，故选B. 答案解析√234514.记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为___________.由于A＝{x|x2＋x－6<0}＝{x|－3a}，而“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则有A?B，则有a≤－3.答案解析(－∞，－3]5.“a＝0”是“直线l1：x－2ay－1＝0与l2：2x－2ay－1＝0平行”的_____条件.(1)∵a＝0，∴l1：x－1＝0，l2：2x－1＝0，
∴l1∥l2，即a＝0?l1∥l2.
(2)若l1∥l2，当a≠0时，
当a＝0时，l1：x－1＝0，l2：2x－1＝0，显然l1∥l2.
∴a＝0是直线l1与l2平行的充要条件.充要答案解析23451充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法
(1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“p?q”及“q?p”的真假，根据定义下结论.
(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题.
(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断.课件34张PPT。1.3.1 且 (and)1.3.2 或 (or)学习目标
1.了解联结词“且”“或”的含义.
2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断其命题的真假.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 “且”观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？从集合的角度如何理解“且”的含义.命题③是将命题①，②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，表示“并且”，“同时”的意思.“且”作为逻辑联结词，与生活用语中“既…，又…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”“与”代替.答案梳理(1)定义：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“ ”.当p，q都是真命题时，p∧q是___命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是 命题.我们将命题p和命题q以及p∧q的真假情况绘制为命题“p∧q”的真值表如右：
命题“p∧q”的真值表可简单归纳为“同真则真”.假p且q真(2)“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词，对“且”的理解，可联系集合中“交集”的概念，A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中的“且”是指“x∈A”与“x∈B”这两个条件都要同时满足.
(3)我们也可以用串联电路来理解联结词“且”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开分别对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开对应命题p∧q的真与假.思考 知识点二 “或”观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2，它们之间有什么关系？从集合的角度谈谈对“或”的含义的理解.命题③是命题①，②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题.
“或”从集合的角度看，可设A＝{x│x满足命题p}，B＝{x│x满足命题q}，则“p∨q”对应于集合中的并集A∪B＝{x│x∈A或x∈B}. “或”作为逻辑联结词，与日常用语中的“或”意义有所不同，而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思.“p或q”有三层意思：要么只是p，要么只是q，要么是p和q，即两者中至少要有一个.答案梳理(1)定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“ ”.(2)判断用“或”联结的命题的真假：当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是 命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是 命题.
我们将命题p和命题q以及p∨q的真假情况绘制为命题“p∨q”的真值表如右：
命题“p∨q”的真值表可简单归纳为“假假才假”.假p或q真(3)对“或”的理解：我们可联系集合中“并集”的概念A∪B＝{x|x∈A或x∈B}中的“或”，它是指“x∈A”，“x∈B”中至少有一个是成立的，即可以是x∈A且x?B，也可以是x?A且x∈B，也可以是x∈A且x∈B.
(4)我们可以用并联电路来理解联结词“或”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p∨q的真与假.题型探究命题角度1 简单命题与复合命题的区分
例1 指出下列命题的形式及构成它的命题.
(1)向量既有大小又有方向；解答类型一 含有“且”“或”命题的构成是p∧q形式命题.
其中p：向量有大小，q：向量有方向.(2)矩形有外接圆或有内切圆；解答是p∨q形式命题.
其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆.(3)2≥2.解答是p∨q形式命题.
其中p：2>2，q：2＝2.不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或” “且”构成的命题是复合命题.
判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题.如“四边相等且四角相等的四边形是正方形”不是“且”联结的复合命题，它是真命题，而用“且”联结的命题“四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题.跟踪训练1 命题“菱形对角线垂直且平分”为_____形式复合命题.答案p∧q命题角度2 用逻辑联结词构造新命题
例2 分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题.
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；解答p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等.
p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等.(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.解答p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.
p且q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并.跟踪训练2 指出下列命题的构成形式及构成它的命题p，q.
(1)0≤2；解答此命题为“p∨q”形式的命题，其中
p：0<2；q：0＝2.(2)30是5的倍数，也是6的倍数.解答此命题为“p∧q”形式的命题，其中
p：30是5的倍数；
q：30是6的倍数.类型二 “p∧q”和“p∨q”形式命题的真假判断例3 分别指出“p∨q”“p∧q”的真假.
(1)p：函数y＝sin x是奇函数；q：函数y＝sin x在R上单调递增；解答∵p真，q假，∴“p∨q”为真，“p∧q”为假.(2)p：直线x＝1与圆x2＋y2＝1相切；q：直线x＝ 与圆x2＋y2＝1相交.解答∵p真，q真，∴“p∨q”为真，“p∧q”为真.形如p∨q，p∧q，命题的真假根据真值表判定.如：跟踪训练3 分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假.
(1)p： 是无理数，q：π不是无理数；解答∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假.(2)p：集合A＝A，q：A∪A＝A；解答∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真.(3)p：函数y＝x2＋3x＋4的图象与x轴有公共点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实数根.解答∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假.类型三 已知复合命题的真假求参数范围例4 设命题p：函数f(x)＝lg(ax2－x＋ )的定义域为R；命题q：关于x的不等式3x－9x(1)如果p是真命题，求实数a的取值范围；若命题p为真命题，
当a＝0时，－x>0，不合题意；
解答(2)如果命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围.
由x>0，得3x>1，∴y＝3x－9x的值域为(－∞，0).
若命题q为真命题，则a≥0.
由命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，得命题p，q一真一假.
当p真q假时，a不存在；当p假q真时，0≤a≤2.
∴满足条件的a的取值范围是{a|0≤a≤2}.解答解决此类问题的方法：首先化简所给的两个命题p，q，得到它们为真命题时，相应参数的取值范围；然后，结合复合命题的真假情形，确定参数的取值情况，常用分类讨论思想.跟踪训练4 已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1，1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围.解答对于命题p：由a2x2＋ax－2＝0，
得(ax＋2)(ax－1)＝0，
∴p为假时得|a|<1.
对于命题q：只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0，
即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，由Δ＝4a2－8a＝0，得a＝0或a＝2.
∴q为假时得a≠0且a≠2.
又命题“p或q”为假，即p与q都为假命题，
∴a的取值范围是(－1，0)∪(0，1).当堂训练234511.已知命题p、q，若p为真命题，则
A.p∧q必为真 B.p∧q必为假
C.p∨q必为真 D.p∨q必为假p∨q，见真则真，故必有p∨q为真.答案解析√234512.命题“xy≠0”是指
A.x≠0且y≠0 B.x≠0或y≠0
C.x、y至少有一个不为0 D.不都是0满足xy≠0，即x，y两个都不为0，故选A.答案解析√234513.已知p：函数y＝sin x的最小正周期为 ，q：函数y＝sin 2x的图象关于直
线x＝π对称，则p∧q是____命题.(填“真”或“假”)据题命题p为假命题，命题q也是假命题，故p∧q是假命题.答案解析假4.已知命题p：函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数；命题q：函数g(x)＝
x2＋ax在[1，2]上是增函数，若p∧q为真，则实数a的取值范围是________.命题p：由函数f(x)在R上为减函数得2a－1<0，解得a< ，
命题q：由函数g(x)＝x2＋ax在[1，2]上是增函数，
答案解析234515.已知命题p：函数f(x)＝(x＋m)(x＋4)为偶函数；命题q：方程x2＋(2m－1)x＋4－2m＝0的一个根大于2，一个根小于2，若p∧q为假，p∨q为真，求实数m的取值范围.若命题p为真，则由f(x)＝x2＋(m＋4)x＋4m，得m＋4＝0，解得m＝－4.
设g(x)＝x2＋(2m－1)x＋4－2m，其图象开口向上，
若命题q为真，则g(2)<0，即22＋(2m－1)×2＋4－2m<0，解得m<－3.
由p∧q为假，p∨q为真，得p假q真或p真q假.
若p假q真，则m<－3且m≠－4；
若p真q假，则m无解.
所以m的取值范围为(－∞，－4)∪(－4，－3).解答234511.判断不含有逻辑联结词的命题构成形式关键是：弄清构成它的命题条件、结论.
2.对用逻辑联结词联结的复合命题的真假进行判断时，首先找出构成复合命题的简单命题，判断简单命题的真假，然后分析构成形式，根据构成形式判断复合命题的真假.(1)“p∧q”形式的命题简记为：同真则真，一假则假；(2)“p∨q”形式的命题简记为：同假则假，一真则真.课件28张PPT。第一章 §1.3 简单的逻辑联结词1.3.3 非 (not)学习目标
1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题.
2.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的初步应用.
3.理解命题的否定与否命题的区别.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 逻辑联结词“非”观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？逻辑联结词“非”的含义是什么？
(1)p：5是25的算术平方根；q：5不是25的算术平方根.
(2)p：y＝tan x是偶函数；q：y＝tan x不是偶函数.两组命题中，命题q都是命题p的否定.
“非”与日常用语中的“非”含义一致，表示“否定”“不是”“问题的反面”等；也可以从集合的角度理解“非”：若命题p对应集合A，则綈p对应集合A在全集U中的补集?UA.答案梳理(1)命题的否定：一般地，对一个命题p ，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“ ”.
(2)命题綈p的真假：若p是真命题，则綈p必是 命题；若p是假命题，则綈p必是 命题.真全盘否定p的否定假知识点二 “p∧q”与“p∨q”的否定1.对复合命题“p∧q”的否定，除将简单命题p、q否定外，还需将“且”变为“ ”.对复合命题“p∨q”的否定，除将简单命题p、q否定外，还需将“或”变为“ ”.
复合命题的真假，主要利用真值表来判断，其步骤如下：
(1)确定复合命题的构成形式；
(2)判断其中各简单命题的真假；
(3)利用真值表判断复合命题的真假.且或a?A且a?Ba?A或a?B思考 知识点三 命题的否定与否命题已知命题p：平行四边形的对角线相等，分别写出命题p的否命题和命题p的否定，并结合本题说明一个命题的否命题与其否定有何区别？答案命题p的否命题：如果一个四边形不是平行四边形，那么它的对角线不相等；
命题p的否定：平行四边形的对角线不相等.
命题的否命题与命题的否定有着本质的区别，命题的否定只否定原命题的结论，不能否定原命题的条件，而否命题是对原命题的条件和结论都否定.梳理(1)命题的否定：“非”命题是对原命题结论的否定.
①“非p”是否定命题p的结论，不否定命题p的条件，这也是“非p”与否命题的区别；
②p与“非p”的真假必须相反；
③“非p”必须包含p的所有对立面.
(2)否命题：求一个命题的否命题时，要对原命题的条件和结论同时否定.题型探究例1 写出下列命题的否定形式.
(1)面积相等的三角形都是全等三角形；解答类型一 綈p命题及构成形式面积相等的三角形不都是全等三角形.(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n全为零；解答若m2＋n2＝0，则实数m、n不全为零.(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.解答若xy＝0，则x≠0且y≠0.綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p∧q”的否定是“綈p∨綈q”等.跟踪训练1 写出下列命题的否定形式.
(1)p：y ＝ sin x 是周期函数；解答綈p：y ＝ sin x不是周期函数.(2)p：3<2；解答綈p：3≥2.(3)p：空集是集合A的子集；解答綈p：空集不是集合A的子集.(4)p：5不是75的约数.解答綈p：5是75的约数.类型二 命题的否定的真假应用例2 已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若“p∨q”与“綈q”同时为真命题，求实数a的取值范围.解答命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于
命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，
所以0≤a<4.因为“p∨q”与“綈q”同时为真命题，即p真且q假，
故实数a的取值范围是(－∞，－1].由真值表可判断p∨q、p∧q、綈p命题的真假，反之，由p∨q，p∧q，綈p命题的真假也可判断p、q的真假情况.一般求满足p假成立的参数范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集.跟踪训练2 已知命题p：|x2－x|≤2，q：x∈Z，若“p∧q”与“綈p”同时为假命题，则x的取值范围为___________________.由p得－1≤x≤2，又q：x∈Z，得p∧q：x∈{－1，0，1，2}.
綈p：x<－1或x>2，因为“p∧q”与“綈p”同时为假，所以p真且q假，故－1A.(綈p)∨q B.p∧q
C.(綈p)∧(綈q) D.(綈p)∨(綈q)由于命题p为真命题，命题q为假命题，因此，命题綈p是假命题，命题綈q是真命题，从而(綈p)∨q，p∧q，(綈p)∧(綈q)都是假命题，(綈p)∨(綈q)为真命题.答案解析√234512.若p是真命题，q是假命题，则
A.p∧q是真命题 B.p∨q是假命题
C.綈p是真命题 D.綈q是真命题因为p是真命题，q是假命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题，綈q为真命题.故选D.答案解析√234513.“a≥5且b≥2”的否定是__________.“p或q”的否定是“綈p且綈q”，而“p且q”的否定为“綈p或綈q”.答案解析a<5或b<2234514.给出命题p：直线ax＋3y＋1＝0与直线2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行的充要条件是a＝－3，命题q：若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.关于以上两个命题，下列结论中正确的是______.
①命题“p且q”为真；②命题“p或q”为假；
③命题“p或綈q”为真；④命题“p且綈q”为真.据题知命题p为真命题；命题q为假命题.
故p∧q为假，p∨q为真，p∨(綈q)为真，p∧(綈q)亦为真，只有③④正确.答案解析③④5.分别指出下列各组命题的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的新命题的真假.
(1)p：2>2，q：2＝2；∵p：2>2，是假命题，q：2＝2，是真命题，
∴命题p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是真命题.解答23451(2)p：?是{0}的真子集，q：0∈?；∵p：?是{0}的真子集，是真命题，q：0∈?，是假命题，
∴命题p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是假命题.解答(3)p：函数y＝x2＋2x＋5的图象与x轴有公共点，q：方程x2＋2x＋5＝0没有实数根.∵p：函数y＝x2＋2x＋5的图象与x轴有公共点，是假命题，
q：方程x2＋2x＋5＝0没有实数根，是真命题，
∴命题p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是真命题.解答234511.若原命题为“若A，则B”，则其否定为“若A，则綈B”，条件不变，否定结论；其否命题为“若綈A，则綈B”，既要否定条件，又要否定结论.
2.带有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的否定，应注意对逻辑联结词进行否定，即“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”，“不是”的否定是“是”.
3.“否命题”与命题的“否定”的区别：对命题的否定(即非p)只是否定命题的结论，而否命题(“若p则q”形式的命题)既否定条件又否定结论.否命题与原命题的真假无必然联系，而命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假.课件33张PPT。1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词学习目标
1.理解全称量词与存在量词的含义.
2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.
3.能判定全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 全称量词、全称命题观察下面的两个语句，思考下列问题：
P：m≤5；Q：对所有的m∈R，m≤5.
(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分.答案(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个).常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给” “所有的”“凡是”等.答案梳理(1)概念
短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做 量词，并用符号“ ”表示.含有全称量词的命题，叫做 .
(2)表示
将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示.那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为____________，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.?x∈M，p(x)所有的任意一个全称?全称命题(3)全称命题的真假判定
要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可.知识点二 存在量词、特称命题思考 观察下面的两个语句，思考下列问题：
P：m>5；Q：存在一个m0∈Z，m0>5.
(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分.答案(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些” “有一个”“对某个”“有的”等.答案梳理(1)概念
短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做 量词，并用符号“ ”表示.含有存在量词的命题，叫做 .
(2)表示
特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为_________
，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”.
(3)特称命题真假判定
要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.存在一个至少有一个存在?特称命题?x0∈M，p(x0)题型探究命题角度1 全称命题与特称命题的不同表述
例1 设p(x)：2x是偶数，试用不同的表述方式写出下列命题：
(1)全称命题：?x∈N，p(x)；解答类型一 全称命题与特称命题的判断全称命题：
①对所有的自然数x，2x是偶数；
②对一切的自然数x，2x是偶数；
③对每一个自然数x，2x是偶数；
④任选一个自然数x，2x是偶数；
⑤凡自然数x，都有2x是偶数.(2)特称命题：?x0∈N，p(x0).解答特称命题：
①存在一个自然数x0，使得2x0是偶数；
②至少有一个自然数x0，使得2x0是偶数；
③对有些自然数x0，使得2x0是偶数；
④对某个自然数x0，使得2x0是偶数；
⑤有一个自然数x0，使得2x0是偶数.全称命题或特称命题的表述形式虽然很多，但是具体到一个问题时最为恰当的却只有一个，解题时注意理解.跟踪训练1 “有些整数是自然数”这一命题为______命题.(填“全称”或“特称”)依据特称命题的构成易得.答案解析特称命题角度2 全称命题与特称命题的识别
例2 判断下列命题是全称命题，还是特称命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；解答可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称命题.(2)有的向量方向不定；解答含有存在量词“有的”，故是特称命题.(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解答含有全称量词“任意”，故是全称命题.判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词.由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.跟踪训练2 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用符号“?”或“?”表示下列命题.
(1)自然数的平方大于或等于零；解答是全称命题，表示为?x∈N，x2≥0.(2)圆x2＋y2＝1上存在一个点到直线y＝x＋1的距离等于圆的半径；解答(3)有的函数既是奇函数又是增函数；解答是特称命题，?f(x)∈{函数}，f(x)既是奇函数又是增函数.解答类型二 全称命题与特称命题的真假的判断例3 判断下列命题的真假.
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；解答真命题.(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；解答真命题，如函数f(x)＝0，既是偶函数又是奇函数.(3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；解答假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为 ， 就不能用正有理数表示.(4)存在一个实数x0，使得等式 ＋x0＋8＝0成立；解答假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解.(5)?x∈R，x2－3x＋2＝0；解答假命题，只有x＝2或x＝1时，等式x2－3x＋2＝0才成立.(6)?x0∈R， －3x0＋2＝0.解答真命题，x0＝2或x0＝1，都能使等式 －3x0＋2＝0成立.要判定全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题.
要判定特称命题“?x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题.跟踪训练3 判断下列命题的真假：
(1)有一些奇函数的图象过原点；解答该命题中含有“有一些”，是特称命题.如y＝x是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题.(2)?x0∈R，2 ＋x0＋1<0；解答该命题是特称命题.
故该命题是假命题.(3)?x∈R，sin x＋cos x≤ .解答该命题是全称命题.
类型三 利用全称命题和特称命题求参数的值或取值范围例4 已知下列命题p(x)为真命题，求x的取值范围.
(1)命题p(x)：x＋1>x；解答∵x＋1>x，∴1>0(此式恒成立)，∴x∈R.(2)命题p(x)：x2－5x＋6>0；解答∵x2－5x＋6>0，∴(x－2)(x－3)>0，
∴x>3或x<2.(3)命题p(x)：sin x>cos x.解答已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查.解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路.
解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制.跟踪训练4 若方程x2＋ax＋1＝0，x2＋2ax＋2＝0，x2－ax＋4＝0中至少有一个方程有实根，求a的取值范围.由方程x2＋ax＋1＝0无实根，可知a2－4<0，即a2<4，即－2由方程x2－ax＋4＝0无实根，可知a2－16<0，即a2<16，即－4解答当堂训练234511.下列命题中，不是全称命题的是
A.任何一个实数乘以0都等于0
B.自然数都是正整数
C.每一个向量都有大小
D.一定存在没有最大值的二次函数D选项是特称命题.答案解析√234512.命题p：?x∈N，x3A.p假q真 B.p真q假
C.p假q假 D.p真q真∵x3f(x2)”为真命题，则下列结论一定成立的是
A.a≥0 B.a<0 C.b≤0 D.b>1函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示：
由图可知f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)
上为增函数，∴要满足存在x1，x2∈[a，b]且x1使得f(x1)>f(x2)为真命题，则必有a<0，故选B.答案解析√234514.特称命题“?x0∈R，|x0|＋2≤0”是____命题.(填“真”或“假”)不存在任何实数，使得|x|＋2≤0，所以是假命题.答案解析假234515.若命题“?x0∈R， ＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是_______.由已知得“?x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，则Δ＝m2－4×1×(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6，即实数m的取值范围是[2，6].答案解析[2，6]1.判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词.
2判定全称命题的真假的方法.定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假.
3.判定特称命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x0，使命题p(x0)为真，否则命题为假.课件30张PPT。第一章 §1.4 全称量词与存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定学习目标
1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.
2.会对含有一个量词的命题进行否定.
3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 全称命题的否定尝试写出下面含有一个量词的全称命题的否定，并归纳写全称命题否定的方法.
(1)所有矩形都是平行四边形；将量词“所有”换为：“存在一个”然后将结论否定，即“不是平行四边形”，所以原命题的否定为：“存在一个矩形不是平行四边形”；用同样的方法可得(2)(3)的否定：答案(2)每一个素数都是奇数；解答存在一个素数不是奇数；(3)?x∈R，x2－2x＋1≥0.解答?x0∈R， －2x0＋1<0.思考 梳理写全称命题的否定的方法：(1)更换量词，将全称量词换为存在量词；
(2)将结论否定.
对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：?x∈M，p(x)，它的否定綈p： .
全称命题的否定是 命题.?x0∈M，綈p(x0)特称知识点二 特称命题的否定思考 尝试写出下面含有一个量词的特称命题的否定，并归纳写特称命题否定的方法.
(1)有些实数的绝对值是正数；先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”，然后将结论“实数的绝对值是正数”否定，即“实数的绝对值不是正数，于是得原命题的否定为：“所有实数的绝对值都不是正数”；同理可得(2)(3)的否定：答案(2)某些平行四边形是菱形；解答所有平行四边形都不是菱形；(3)?x0∈R， ＋1<0.解答?x∈R，x2＋1≥0.思考 梳理写特称命题的否定的方法：(1)将存在量词改写为全称量词，(2)将结论否定.
对于含一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：
特称命题p：?x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：?x∈M，綈p(x).特称命题的否定是全称命题.题型探究类型一 全称命题的否定例1 写出下列全称命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；解答其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.(2)数列：1，2，3，4，5中的每一项都是偶数；解答其否定：数列：1，2，3，4，5中至少有一项不是偶数.(3)?a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解；解答其否定：?a，b∈R，使方程ax＝b的解不惟一或不存在.(4)可以被5整除的整数，末位是0.解答其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定.跟踪训练1 写出下列全称命题的否定：
(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；解答綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.(2)p：所有自然数的平方都是正数；解答綈p：有些自然数的平方不是正数.(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；解答綈p：存在实数x0不是方程5x0－12＝0的根.(4)p：对任意实数x，x2＋1≥0.解答綈p：存在实数x0，使得 ＋1<0.类型二 特称命题的否定例2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)p：?x0>1，使 －2x0－3＝0；解答綈p：?x>1，x2－2x－3≠0(假).(2)p：有些素数是奇数；解答綈p：所有的素数都不是奇数(假).(3)p：有些平行四边形不是矩形.解答綈p：所有的平行四边形都是矩形(假).特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p：?x0∈M，p(x0)成立?綈p：?x∈M，綈p(x)成立.跟踪训练2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)有些实数的绝对值是正数；解答命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.(2)某些平行四边形是菱形；解答命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.(3)?x0，y0∈Z，使得 x0＋y0＝3.解答命题的否定是“?x，y∈Z， x＋y≠3”.当x＝0，y＝3时， x＋y＝3，因此命题的否定是假命题.类型三 特称命题、全称命题的综合应用例3 已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；解答不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可.
故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围.解答不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，
∴f(x)min＝4，∴m>4.
∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞).对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素.一般地，对任意的实数x，a>f(x)恒成立，只要a>f(x)max；若存在一个实数x0，使a>f(x0)成立，只需a>f(x)min.跟踪训练3 已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R).
(1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0；当a＝－3时，f(x)＝－9x2＋6x－1，
∵Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，
∴对任意x∈R，都有f(x)≤0.证明(2)如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围.∵f(x)≤4x恒成立，
∴3ax2＋2x－1≤0恒成立，
解答当堂训练234511.已知a>0且a≠1，命题“?x0>1，logax0>0”的否定是
A.?x0≤1，logax0>0 B.?x0>1，logax0≤0
C.?x≤1，logax>0 D.?x>1，logax≤0a>0且a≠1，命题“?x0>1，logax0>0”的否定是“?x>1，logax≤0”.答案解析√234512.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：?x∈A，2x∈B，则
A.綈p：?x∈A，2x?B B.綈p：?x?A，2x?B
C.綈p：?x0?A，2x0∈B D.綈p：?x0∈A，2x0?B命题p：?x∈A，2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为?x0∈A，2x0?B.故选D.答案解析√234513.命题“对任意一个实数x，都有 >0”的否定是________________
______________.答案解析存在一个实数x0，使得2x0＋4≤0234514.由命题“?x0∈R， ＋2x0＋m≤0”是假命题，得实数m的取值范围是
(a，＋∞)，则实数a＝___.由题意得命题“?x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，所以Δ＝4－4m<0，即m>1，故实数m的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a的值为1.答案解析1234515.已知函数f(x)＝x2－mx＋1，命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”，命题q：“存在x0∈R，使 ＋m2<9”.若命题“綈p”与“q”均为真命题，求实数m的取值范围.由于命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”，所以綈p：“不等式f(x)≤0在实数集上有解”，故Δ＝m2－4≥0，得m≤－2或m≥2.又命题q：“存在x0∈R，使 ＋m2<9”，即不等式 <9－m2在实数集上有解，故9－m2 >0，所以－32.对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定.含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题.注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断.3.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，因此在书写时，要注意量词以及形式的变化，熟练掌握下列常见词语的否定形式：课件43张PPT。第一章 常用逻辑用语章末复习课学习目标
1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.
2.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的判定方法.
3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.
4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、特称命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识点一 命题及其关系1.判断一个语句是否为命题，关键是：
(1)为 ；
(2)能 .
2.互为逆否关系的两个命题的真假性 .相同陈述句判断真假3.四种命题之间的关系如图所示.知识点二 充分条件、必要条件和充要条件1.定义
一般地，若p则q为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p?q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.
一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.2.特征
充分条件与必要条件具有以下两个特征：
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的 条件；
(2)传递性：若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的 条件.即若p?q，q?r，则p?r.必要条件和充分条件一样具有传递性，但若p是q的充分条件，q是r的必要条件，则p与r的关系不能确定.充分必要知识点三 简单的逻辑联结词与量词1.常见的逻辑联结词有“ ”、“ ”、“ ”.
2.短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词，通常用符号“?x”表示“ ”.
3.短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词，通常用符号“?x”表示“ ”.
4.含有全称量词的命题叫做 命题，含有存在量词的命题叫做 命题.且或非对任意x存在x全称特称题型探究 类型一 充分条件与必要条件、充要条件的探究命题角度1 充分条件与必要条件的再探究
例1 设甲、乙、丙三个命题，若①甲是乙的充要条件；②丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，则
A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C.丙是甲的充要条件
D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件答案解析由①得甲?乙，②可以理解为丙是乙的充分条件，但不是乙的必然结果，即丙?乙，乙?丙.则丙是甲的充分条件，但不是甲的必然结果.若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，即q的充分条件是p，p的必要条件是q.
如果将“必要条件”理解为“必然结果”，则可认为p的必然结果是q，q是p的必然结果.
则p?q易表述为以下几种说法：
p是q的不充分条件，q的不充分条件是p；
q是p的不必要条件，p的不必要条件是q. 跟踪训练1 使a>b>0成立的一个充分不必要条件是
A.a2>b2>0 B.log a>log b>0
C.ln a>ln b>0 D.xa>xb且x>0.5答案解析设条件p符合条件，则p是a>b>0的充分条件，但不是a>b>0的必然结果，即有“p?a>b>0，a>b>0?p”.
A选项中，a2>b2>0?a>b>0，有可能是aB选项中，log a>log b>0?0b>0，故B不符合条件；
C选项中，ln a>ln b>0?a>b>1?a>b>0，而a>b>0?a>b>1，符合条件；
D选项中，xa>xb且x>0.5?0.51时a>b，无法得到a，b与0的大小关系，故D不符合条件.命题角度2 充要条件的再探究
例2 设数列{an}、{bn}、{cn}满足：bn＝an－an＋2，cn＝an＋2an＋1＋3an＋2 (n＝1，2，3，…)，证明：{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn＋1(n＝1，2，3，…).证明(必要性)设{an}是公差为d1的等差数列，
则bn＋1－bn＝(an＋1－an＋3)－(an－an＋2)＝(an＋1－an)－(an＋3－an＋2)＝d1－d1＝0，所以bn≤bn＋1(n＝1，2，3，…)成立.
又cn＋1－cn＝(an＋1－an)＋2(an＋2－an＋1)＋3(an＋3－an＋2)＝d1＋2d1＋3d1＝6d1(常数)(n＝1，2，3，…)，
∴数列{cn}为等差数列.
(充分性)设数列{cn}是公差为d2的等差数列，且bn≤bn＋1(n＝1，2，3，…).
∵cn＝an＋2an＋1＋3an＋2， ①
∴cn＋2＝an＋2＋2an＋3＋3an＋4. ②①－②得cn－cn＋2＝(an－an＋2)＋2(an＋1－an＋3)＋3(an＋2－an＋4)＝bn＋2bn＋1＋3bn＋2.
∵cn－cn＋2＝(cn－cn＋1)＋(cn＋1－cn＋2)＝－2d2，
∴bn＋2bn＋1＋3bn＋2＝－2d2， ③
同理有bn＋1＋2bn＋2＋3bn＋3＝－2d2. ④
④－③得
(bn＋1－bn)＋2(bn＋2－bn＋1)＋3(bn＋3－bn＋2)＝0. ⑤
∵bn＋1－bn≥0，bn＋2－bn＋1≥0，bn＋3－bn＋2≥0，
∴由⑤得bn＋1－bn＝0(n＝1，2，3，…).由此不妨设bn＝d3(n＝1，2，3，…)，则an－an＋2＝d3(常数).
由此cn＝an＋2an＋1＋3an＋2＝4an＋2an＋1－3d3，
从而cn＋1＝4an＋1＋2an＋2－3d3＝4an＋1＋2an－5d3.
两式相减得cn＋1－cn＝2(an＋1－an)－2d3，
∴数列{an}是等差数列.利用充要条件的定义证明问题时，需要从两个方面加以证明，切勿漏掉其中一个方面. 跟踪训练2 设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1，2，…)，则{An}为等比数列的充要条件是
A.{an}是等比数列
B.a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列
C.a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列
D.a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比
相同答案解析类型二 等价转化思想的应用例3 已知c>0，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：不等式x＋|x－2c|>1的解集为R.如果p和q有且仅有一个为真命题，求c的取值范围.解答函数y＝cx在R上单调递减?0不等式x＋|x－2c|>1的解集为R
?函数y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1.
∴函数y＝x＋|x－2c|在R上的最小值为2c，
等价转化思想是包含在化归思想中的一种比较具体的数学思想，本章主要体现在四种命题间的相互转化与集合之间的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化.跟踪训练3 已知命题p：(x＋1)(x－5)≤0，命题q：1－m≤x<1＋m(m>0).
(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；解答由命题p：(x＋1)(x－5)≤0，解得－1≤x≤5.
命题q：1－m≤x<1＋m(m>0).
∵p是q的充分条件，
∴[－1，5]?[1－m，1＋m)，
则实数m的取值范围为(4，＋∞).(2)若m＝5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围.解答∵m＝5，∴命题q：－4≤x<6.
∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，
∴命题p，q为一真一假.
解得－4≤x<－1或5因此x的取值范围是[－4，－1)∪(5，6).类型三 分类讨论思想的应用例4 已知关于x的方程(m∈Z)：
mx2－4x＋4＝0， ①
x2－4mx＋4m2－4m－5＝0， ②
求方程①和②的根都是整数的充要条件.解答当m＝0时，方程①的根为x＝1，
方程②化为x2－5＝0，无整数根，∴m≠0.
当m≠0时，方程①有实数根的充要条件是
Δ＝16－4×4m≥0?m≤1；
方程②有实数根的充要条件是
当m＝－1时，方程①为x2＋4x－4＝0，无整数根；
当m＝1时，方程①为x2－4x＋4＝0，
方程②为x2－4x－5＝0.
此时①和②均有整数根.
综上，方程①和②均有整数根的充要条件是m＝1.分类讨论思想是中学数学中常用的数学思想之一，利用分类讨论思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点.这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖较多的知识点，有利于对学生知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类讨论思想与技巧，因此有利于对能力的考查；其三，分类讨论问题常与实际问题和高等数学相联系.解决分类讨论问题的实质是：整体问题化为部分来解决，化成部分后，可以增加题设条件，这也是解分类讨论问题总的指导思想.跟踪训练4 已知p： ≥2；q：x2－ax≤x－a.若綈p是綈q的充分条件，
求实数a的取值范围.解答
又∵q：x2－ax≤x－a，∴x2－(a＋1)x＋a≤0.
①当a<1时，a≤x≤1；
②当a＝1时，x＝1；
③当a>1时，1≤x≤a.
设q对应的集合为A，p对应的集合为B，
∵綈p是綈q的充分条件.∴?RB??RA，即A?B.当a<1时，A?B，不合题意；
当a＝1时，A?B，符合题意；
当a>1时，1≤x≤a，要使A?B，则1综上，符合条件的a∈[1，3).当堂训练234511.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是
A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B.“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数.答案解析√234512.已知α，β是两个不同的平面，直线a?α，直线b?β，p：a与b无公共点，q：α∥β，则p是q的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件若α与β相交，设交线为c，若a∥c，b∥c，则a∥b，此时a与b无公共点，所以p?q；若α∥β，则a与b的位置关系是平行或异面，a与b无公共点，所以q?p.由此可知p是q的必要不充分条件，故选B.答案解析√234513.已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是______.当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题.
当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题.
由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题.答案解析②③234514.对任意x∈[－1，2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是_________.由x2－a≥0，得a≤x2，故a≤(x2)min，得a≤0.答案解析(－∞，0]234515.(1)若p：两条直线的斜率互为负倒数，q：两条直线互相垂直，则p是q的什么条件？∵两条直线的斜率互为负倒数，∴两条直线互相垂直，∴p?q.
又∵一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，两条直线也垂直，∴q?p.
∴p是q的充分不必要条件.解答23451(2)若p：|3x－4|>2，q： >0，则綈p是綈q的什么条件？
∴綈q：{x|－1≤x≤2}.
∴綈p是綈q的充分不必要条件.解答1.判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或”“且” “非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断.
2.判断命题真假的步骤3.命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断，如下表：4.含有一个量词的命题的否定注意：(1)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.
(2)命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念.对一个命题进行否定，就是要对其结论进行否定，而否命题是既否定条件又否定结论.