2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程学案（打包12套）新人教A版选修2_1

2.1.1　曲线与方程
学习目标　1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.
知识点一　曲线与方程的概念
思考1　设平面内有一动点P，属于下列集合的点组成什么图形？
(1){P|PA＝PB}(A，B是两个定点)；
(2){P|PO＝3 cm}(O为定点).
答案　(1)线段AB的垂直平分线；
(2)以O为圆心，3 cm为半径的圆.
思考2　到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？
答案　y＝±x.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等.
梳理　一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.
知识点二　曲线的方程与方程的曲线解读
思考1　曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？试举例说明.
答案　不能.还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线上.例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与“方程x2＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4.
思考2　方程－＝0 能否表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线？方程x－y＝0呢？
答案　方程－＝0不能表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线.因为第一、三象限角平分线上的点不全是方程－＝0的解.例如，点A(－2，－2)不满足方程，但点A是第一、三象限角平分线上的点.方程x－y＝0能够表示第一、三象限的角平分线.
梳理　(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法.曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上.定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏.
(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质.
类型一　曲线与方程的概念理解与应用
命题角度1　曲线与方程的判定
例1　命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是(　　)
A.方程f(x，y)＝0的曲线是C
B.方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C
C.f(x，y)＝0是曲线C的方程
D.以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
答案　B
解析　不论方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，还是曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以A、C、D错误.举例如下：曲线C：一、三象限角平分线，方程为|x|＝|y|，显然满足已知条件，但A、C、D错.
反思与感悟　解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可.
判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程.
跟踪训练1　设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是(　　)
A.坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上
B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0
C.坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上
D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0
答案　D
解析　“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A、C错，B显然错.
命题角度2　曲线与方程的概念应用
例2　证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.
证明　①如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点.
因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|·|y0|＝k，
即(x0，y0)是方程xy＝±k的解.
②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，
则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.
而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点.由①②可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程.
反思与感悟　解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.
跟踪训练2　写出方程(x＋y－1)＝0表示的曲线.
解　由方程(x＋y－1)＝0可得或＝0.
即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1，
∴方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1).
类型二　曲线与方程关系的应用
例3　已知方程x2＋(y－1)2＝10.
(1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；
(2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值.
解　(1)∵12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10，
∴P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，Q(，3)不在此曲线上.
(2)∵M在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，∴2＋(－m－1)2＝10.解得m＝2或m＝－.
反思与感悟　判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断.
跟踪训练3　若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围.
解　∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，
∴a2＋a2＋2a＋k＝0.
∴k＝－2a2－2a＝－22＋.
∴k≤，
∴k的取值范围是.
1.曲线f(x，y)＝0关于直线x－y－3＝0对称的曲线方程为(　　)
A.f(x－3，y)＝0 B.f(y＋3，x)＝0
C.f(y－3，x＋3)＝0 D.f(y＋3，x－3)＝0
答案　D
解析　由对称轴x－y－3＝0得x＝y＋3，y＝x－3可知D正确.
2.方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线(　　)
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线x－y＝0对称
答案　C
解析　同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称.
3.方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形为________.
答案　两条相交直线
解析　原方程可化为(2x－y)(2x＋y＋3)＝0，即2x－y＝0或2x＋y＋3＝0，∴原方程表示直线2x－y＝0和直线2x＋y＋3＝0.
4.若曲线ax2＋by2＝4过点A(0，－2)，B(，)，则a＝________，b＝________.
答案　4　1
解析　∵曲线过A(0，－2)，B(，)两点，
∴∴
5.方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是________.
答案　4个点
解析　由题意，得
∴或或或
∴方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是4个点.
1.判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上.
2.已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.
40分钟课时作业
一、选择题
1.“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　结合曲线方程的定义易得.
2.曲线C的方程为y＝2x－1(1A. (0，0) B.(7，15) C.(2，3) D.(4，4)
答案　C
解析　由y＝2x－1(13.方程|x|＋|y|＝|xy|＋1表示的曲线是(　　)
A.一条直线 B.一个正方形
C.一个圆 D.四条直线
答案　D
解析　由|x|＋|y|＝|xy|＋1得(|x|－1)(|y|－1)＝0，即x＝±1或y＝±1，因此该方程表示四条直线.
4.下列方程对应的曲线是同一条曲线的是(　　)
①y＝；②y＝；③y＝logaax；④y＝.
A.①② B.③④ C.②④ D.①③
答案　B
解析　由y＝logaax＝x，y＝＝x，得③④表示同一条曲线.
5.过坐标原点O作单位圆x2＋y2＝1的两条互相垂直的半径OA、OB，若在该圆上存在一点C，使得＝a＋b(a，b∈R)，则以下说法正确的是(　　)
A.点P(a，b)一定在单位圆内
B.点P(a，b)一定在单位圆上
C.点P(a，b)一定在单位圆外
D.当且仅当ab＝0时，点P(a，b)在单位圆上
答案　B
解析　∵2＝(a＋b)2，且⊥，∴a2＋b2＋2ab·＝a2＋b2＝1，因此点P(a，b)一定在单位圆上，故选B.
6.方程|x|－|y|＝0表示的图形是下图中的(　　)
答案　C
解析　由|x|－|y|＝0知y＝±x，即表示一、三象限角平分线或二、四象限角平分线.
7.已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，若动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围的面积为(　　)
A.9π B.8π C.4π D.π
答案　C
解析　设P(x，y)，∵|PA|＝2|PB|，
∴(x＋2)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2，
∴(x－2)2＋y2＝4.
∴点P的轨迹为以(2，0)为圆心，以2为半径的圆，
∴所围成的面积S＝π·22＝4π.
二、填空题
8.设命题甲：点P的坐标适合方程f(x，y)＝0，命题乙：点P在曲线C上，命题丙：点Q坐标不适合f(x，y)＝0，命题丁：点Q不在曲线C上，已知甲是乙的必要条件，但不是充分条件，那么丙是丁的________条件.
答案　充分不必要
解析　依题意可知，曲线C上的点都满足方程，但以满足方程f(x，y)＝0的解为坐标的点不一定都在曲线C上，那么逆否命题为不满足方程的解为坐标的点一定不在曲线C上，从而丙是丁的充分条件，但不是必要条件.
9.方程(x－1)2＋＝0表示的是____________.
答案　点(1，2)
解析　由(x－1)2＋＝0，知(x－1)2＝0且＝0即x＝1且y＝2，所以(x－1)2＋＝0表示的是点(1，2).
10.在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________.
答案　(x－1)2＋y2＝2
解析　直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，
由题意，得半径最大的圆的半径r＝＝.
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
三、解答题
11.直线y＝x－2与曲线y2＝2x相交于A，B两点，求证：OA⊥OB.
证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y并整理，得x2－6x＋4＝0，
由x1＋x2＝6，x1x2＝4，
从而有y1·y2＝(x1－2)(x2－2)＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＝4－12＋4＝－4.
又＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，
∴·＝x1x2＋y1y2＝4－4＝0，
∴⊥，即OA⊥OB.
12.已知曲线C的方程为x＝，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积.
解　由x＝，得x2＋y2＝4.
又x≥0，∴方程x＝表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积S＝π·4＝2π.
所以所求图形的面积为2π.
13.已知两曲线f(x，y)＝0与g(x，y)＝0的一个交点为P(x0，y0).求证：点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上.
证明　因为P(x0，y0)是两曲线的交点，
所以点P的坐标既满足方程f(x，y)＝0，又满足方程g(x，y)＝0，
即f(x0，y0)＝0且g(x0，y0)＝0，
故f(x0，y0)＋λg(x0，y0)＝0，所以P(x0，y0)的坐标是方程f(x0，y0)＋λg(x0，y0)＝0的解，
故点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上.
2.1.2　求曲线的方程
学习目标　1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点，感受曲线的实际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的概念.
知识点一　坐标法的思想
思考1　怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？
答案　只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题.
思考2　依据一个给定的平面图形，选取的坐标系惟一吗？
答案　不惟一，常以得到的曲线方程最简单为标准.
梳理　(1)坐标法：借助于坐标系，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法.
(2)解析几何研究的主要问题：
①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出表示曲线的方程.
②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究曲线的性质.
知识点二　求曲线的方程的步骤
类型一　直接法求曲线的方程
例1　一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍.求动点P的轨迹方程.
解　设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.
则|8－x|＝2，
化简，得3x2＋4y2＝48，
故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.
引申探究
若本例中的直线改为“y＝8”，求动点P的轨迹方程.
解　据题设P(x，y)，
则P到直线y＝8的距离d＝|y－8|，
又|PA|＝，
故|y－8|＝2，
化简，得4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.
故动点P的轨迹方程为4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.
反思与感悟　直接法求动点轨迹的关键及方法
(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件.
(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明.
特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.
跟踪训练1　已知两点M(－1，0)，N(1，0)，且点P使·，·，·成公差小于零的等差数列.求点P的轨迹方程.
解　设点P(x，y)，由M(－1，0)，N(1，0)，
得＝－＝(－1－x，－y)，
＝－＝(1－x，－y)，
＝－＝(2，0).
∴·＝2(x＋1)，·＝x2＋y2－1，
·＝2(1－x).
于是，·，·，·成公差小于零的等差数列等价于
即
∴点P的轨迹方程为x2＋y2＝3(x>0).
类型二　代入法求解曲线的方程
例2　动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程.
解　设P(x，y)，M(x0，y0)，
因为P为MB的中点，
所以即
又因为M在曲线x2＋y2＝1上，
所以(2x－3)2＋4y2＝1.
所以P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
反思与感悟　代入法求解轨迹方程的步骤
(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0).
(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系
(3)代入相关动点的轨迹方程.
(4)化简、整理，得所求轨迹方程.
跟踪训练2　△ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条定直线移动，求△ABC外心的轨迹方程.
解　如图所示，以BC所在的定直线为x轴，以过A点与x轴垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则A点的坐标为(0，b).设△ABC的外心为M(x，y)，
作MN⊥BC于N，则MN是BC的垂直平分线.
∵|BC|＝2a，∴|BN|＝a，|MN|＝|y|.
又M是△ABC的外心，∴M∈{M||MA|＝|MB|}.
而|MA|＝，
|MB|＝＝，
∴＝，
化简，得所求轨迹方程为x2－2by＋b2－a2＝0.
类型三　根据曲线的方程求两曲线的交点
例3　过点M(1，2)的直线与曲线y＝(a≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求a的取值范围.
解　当过M点的直线斜率为零或斜率不存在时，
不可能与曲线有两个公共点.
设直线方程为y－2＝k(x－1)(k≠0)，
联立曲线方程，得
消去x，得y2－(2－k)y－ka＝0. ①
当此方程有两个不同的根，
即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点.
∴Δ＝(2－k)2＋4ka>0.
设方程①的两根分别为y1，y2，
由根与系数的关系，得y1＋y2＝2－k.
又∵y1＋y2＝a，
∴k＝2－a，
代入Δ>0中，
得a2＋4a(2－a)>0，
解得0又∵k≠0，
∴2－a≠0，即a≠2.
∴a的取值范围是(0，2)∪(2，).
反思与感悟　结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.即两曲线C1和C2的方程分别为F(x，y)＝0和G(x，y)＝0，则它们的交点坐标由方程组的解来确定.
跟踪训练3　直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程.
解　设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5，0)，
再由OM⊥MP，得|OP|2＝|OM|2＋|MP|2，
∴x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25，
整理得(x－)2＋y2＝.
∵点M应在圆内，
∴所求的轨迹为圆内的部分.
解方程组
得两曲线交点的横坐标为x＝，
故所求轨迹方程为(x－)2＋y2＝(0≤x<).
1.曲线y＝与xy＝2的交点是(　　)
A.(1，1)
B.(2，2)
C.直角坐标系内的任意一点
D.不存在
答案　D
解析　联立方程组无解.
2.方程x2＋y2＝1(xy<0)表示的曲线是(　　)
答案　D
解析　∵xy<0，当x>0时，y<0，曲线应在第四象限；当x<0时，y>0，曲线应在第二象限，且与坐标轴均无交点.
3.直线＋＝1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是________________.
答案　x＋y－1＝0(x≠0，x≠1)
解析　设直线＋＝1与x，y轴交点为A(a，0)，B(0，2－a)，A，B中点为M(x，y)，
则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1.
∵a≠0，a≠2，∴x≠0，x≠1.
4.已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________.
答案　x＝
解析　设动点P(x，y)，则＝，化简整理得x＝.
5.M为直线l：2x－y＋3＝0上的一动点，A(4，2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且AP∶PM＝3，求动点P的轨迹方程.
解　设点M，P的坐标分别为M(x0，y0)，P(x，y)，由题设及向量共线条件可得所以
因为点M(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
所以2×－＋3＝0，
即8x－4y＋3＝0，
从而点P的轨迹方程为8x－4y＋3＝0.
求解轨迹方程常用方法
(1)直接法：直接根据题目中给定的条件进行确定方程.
(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程.
(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.
(4)参数法：将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.
(5)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数.
40分钟课时作业
一、选择题
1.下列各组方程中表示相同曲线的是(　　)
A.y＝x，＝1 B.y＝x，y＝
C.|y|＝|x|，＝ D.|y|＝|x|，y2＝x2
答案　D
解析　A中y＝x表示一条直线，而＝1表示直线y＝x，除去点(0，0)；B中y＝x表示一条直线，而y＝表示一条折线；C中|y|＝|x|表示两条直线，而＝表示一条射线；D中|y|＝|x|和y2＝x2均表示两条相交直线.故选D.
2.如图所示的图象对应的方程是(　　)
A.|x|－y＝0 B.－1＝0
C.x－|y|＝0 D.－1＝0
答案　C
解析　据图，当x>0，y>0时，y＝x；
当x>0，y<0时，y＝－x，
只有选项C符合要求，故选C.
3.已知0≤α<2π，点P(cos α，sin α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为(　　)
A. B.π
C.或π D.或
答案　C
解析　由(cos α－2)2＋sin2α＝3，得cos α＝.
又因为0≤α<2π，
所以α＝或α＝π.
4.已知点A(－1，0)，B(1，0)，且·＝0，则动点M的轨迹方程是(　　)
A.x2＋y2＝1 B.x2＋y2＝2
C.x2＋y2＝1(x≠±1) D.x2＋y2＝2(x≠±)
答案　A
解析　设动点M(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y). 由·＝0，
得(－1－x)(1－x)＋(－y)·(－y)＝0， 即x2＋y2＝1.
5.过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|等于(　　)
A.2 B.8 C.4 D.10
答案　C
解析　由已知，得＝(3，－1)，＝(－3，－9)，则·＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以⊥，即AB⊥BC，故过三点A、B、C的圆以AC为直径，得其方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－2，y2＝－2＋2，所以|MN|＝|y1－y2|＝4，选C.
6.已知两点A(，0)，B(－，0)，点P为平面内一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，且·＝22，则动点P的轨迹方程为(　　)
A.x2＋y2＝2 B.y2－x2＝2
C.x2－2y2＝1 D.2x2－y2＝1
答案　B
解析　设动点P的坐标为(x，y)，
则点Q的坐标为(0，y)，
＝(－x，0)，＝(－x，－y)，
＝(－－x，－y)，
·＝x2－2＋y2.
由·＝22，
得x2－2＋y2＝2x2，
所以所求动点P的轨迹方程为y2－x2＝2.
二、填空题
7.已知定点A(0，1)，直线l1：y＝－1，记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C.则动点C的轨迹E的方程为________.
答案　x2＝4y
解析　设动点C(x，y)，根据题意可知，点C到点A的距离与到直线l1：y＝－1的距离相等，所以＝|y＋1|，两边平方整理得x2＝4y.
8.点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________.
答案　5
解析　由题意可知点(1，－2)是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一组解，即1＋4－2a＋5＝0，
解得a＝5.
9.过点P(0，1)的直线与曲线|x|－1＝相交于A，B两点，则线段AB长度的取值范围是____________.
答案　[2，4]
解析　曲线|x|－1＝可化为x≥1，(x－1)2＋(y－1)2＝1，或x<－1，(x＋1)2＋(y－1)2＝1，图象如图所示，线段AB长度的取值范围是[2，4].
10.已知点F(1，0)，直线l：x＝－1，P为平面上的一动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且·＝·.则动点P的轨迹C的方程是________.
答案　y2＝4x(x≥0)
解析　设点P(x，y)，则Q(－1，y).
由·＝·，
得(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，
所以2(x＋1)＝－2(x－1)＋y2，
化简得y2＝4x(x≥0).
三、解答题
11.在平面直角坐标系中，已知点F(0，2)，一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到F的距离减去到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.
解　设点M(x，y)是所求曲线上任意一点，
因为曲线在x轴的上方，
所以y>0.
过点M作MB⊥x轴，垂足是点B，则|MF|－|MB|＝2，
即－y＝2，
整理得x2＋(y－2)2＝(y＋2)2，
化简得y＝x2，
所以所求曲线的方程是y＝x2(x≠0).
12.已知线段AB，B点的坐标为(6，0)，A点在曲线y＝x2＋3上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解　设线段AB的中点M的坐标为(x，y)，点A(x1，y1)，
则得
由题知点A(x1，y1)在曲线y＝x2＋3上，
所以2y＝(2x－6)2＋3，
所以线段AB的中点M的轨迹方程为y＝2(x－3)2＋.
13.已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆O：x2＋y2＝1，M为直角坐标平面内一动点，过点M作圆O的切线，切点为N，若|MN|和|MQ|的比值等于常数λ(λ>0)，求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.
解　连接ON，OM，易知ON⊥MN，设M(x，y).
∵圆的半径是1，
∴|MN|2＝|OM|2－|ON|2＝|OM|2－1.
由题意，＝λ，
∴|MN|＝λ|MQ|，
即＝λ，
整理得(λ2－1)(x2＋y2)－4λ2x＋(1＋4λ2)＝0.
∵λ>0，∴当λ＝1时，方程化为x＝，
该方程表示一条直线；
当λ≠1时，方程化为(x－)2＋y2＝，
该方程表示以(，0)为圆心，以为半径的圆.
2.2.1　椭圆及其标准方程(一)
学习目标　1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.
知识点一　椭圆的定义
思考1　给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？
答案　在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆.
思考2　在上述画椭圆过程中，笔尖移动需满足哪些条件？如果改变这些条件，笔尖运动时形成的轨迹是否还为椭圆？
答案　笔尖到两图钉的距离之和不变，等于绳长.绳长大于两图钉间的距离.若在移动过程中绳长发生变化，即到两定点的距离不是定值，则轨迹就不是椭圆.若绳长不大于两图钉间的距离，轨迹也不是椭圆.
梳理　(1)我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：
P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a>|F1F2|}.
(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：
条件
结论
2a>|F1F2|
动点的轨迹是椭圆
2a＝|F1F2|
动点的轨迹是线段F1F2
2a<|F1F2|
动点不存在，因此轨迹不存在
知识点二　椭圆的标准方程
思考1　在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？
答案　不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定.
思考2　若两定点A、B间的距离为6，动点P到两定点的距离之和为10，如何求出点P的轨迹方程？
答案　以两定点的中点为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0).设P(x，y)，依题意得|PA|＋|PB|＝10，所以＋＝10，即点P的轨迹方程为＋＝1.
梳理　(1)椭圆标准方程的两种形式
焦点位置
标准方程
焦点
焦距
焦点在x轴上
＋＝1(a>b>0)
F1(－c，0)，F2(c，0)
2c
焦点在y轴上
＋＝1(a>b>0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
2c
(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系
椭圆在坐标系中的位置
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
焦点坐标
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
b2＝a2－c2
(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标.
判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”.如方程为＋＝1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标F1(0，－1)，F2(0，1)，焦距|F1F2|＝2.
类型一　椭圆的定义解读
例1　点P(－3，0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹.
解　方程x2＋y2－6x－55＝0化标准形式为：(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3，0)，半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆.
引申探究
若将本例中圆C的方程改为：x2＋y2－6x＝0且点P(－3，0)为其外一定点，动圆M与已知圆C相外切且过P点，求动圆圆心M的轨迹方程.
解　设M(x，y)，据题，圆C：(x－3)2＋y2＝9，
圆心C(3，0)，半径r＝3.
由|MC|＝|MP|＋r，故|MC|－|MP|＝r＝3，
即－＝3，
整理得－＝1(x<0).
反思与感悟　椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视.
定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.
常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.
跟踪训练1　下列命题是真命题的是________.(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点F1(－1，0)，F2(1，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆；
②已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；
③到定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.
答案　②
解析　①<2，故点P的轨迹不存在；②因为2a＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴).
类型二　求椭圆的标准方程
命题角度1　用待定系数法求椭圆的标准方程
例2　求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P(，)，Q(0，－)的椭圆的标准方程.
解　方法一　①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
依题意有
解得
由a>b>0知不合题意，故舍去.
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0).
依题意有
解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).
则解得
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
引申探究
求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆方程.
解　据题可设其方程为＋＝1(λ>－9)，
又椭圆过点(3，)，将此点代入椭圆方程，得λ＝11(λ＝－21舍去)，
故所求的椭圆方程为＋＝1.
反思与感悟　(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0).
(2)与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a>b>0，b2>－λ)，与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a>b>0，b2>－λ).
跟踪训练2　求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－4，0)，F2(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；
(2)椭圆过点(3，2)，(5，1)；
(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).
解　(1)设其标准方程为＋＝1(a>b>0).
据题2a＝10，c＝4，故b2＝a2－c2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，
则解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
由解得
∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
命题角度2　用定义法求椭圆的标准方程
例3　已知一动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心M的轨迹方程.
解　据题C1(－3，0)，r1＝1，C2(3，0)，r2＝9，
设M(x，y)，半径为R，则|MC1|＝1＋R，|MC2|＝9－R，
故|MC1|＋|MC2|＝10，
据椭圆定义知，点M的轨迹是一个以C1，C2为焦点的椭圆，且a＝5，c＝3，
故b2＝a2－c2＝16.故所求动圆圆心M的轨迹方程为＋＝1.
反思与感悟　用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a，b的值.
跟踪训练3　已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过点P作长轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.
解　设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，
不妨取|PF1|＝，|PF2|＝，
由椭圆的定义，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2.
即a＝.
由|PF1|>|PF2|知，PF2垂直于长轴.
在Rt△PF2F1中，4c2＝|PF1|2－|PF2|2＝，
∴c2＝，
∴b2＝a2－c2＝.
又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，
故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
类型三　椭圆中焦点三角形问题
例4　(1)已知P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积.
(2)已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上.若|PF1|＝4，求∠F1PF2的大小.
解　(1)由椭圆的标准方程，知a＝，b＝2，
∴c＝＝1，∴|F1F2|＝2.
又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2.
在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，
即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 30°，
即4＝20－(2＋)|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝16(2－).
∴＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝×16(2－)×＝8－4.
(2)由＋＝1，知a＝3，b＝，∴c＝，
∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，
∴cos∠F1PF2＝＝－，
∴∠F1PF2＝120°.
反思与感悟　在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形.这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数.
在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解.
跟踪训练4　(1)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点三角形PF1F2中，∠F1PF2＝α，点P的坐标为(x0，y0)，求证：△PF1F2的面积＝c|y0|＝b2tan.
证明　＝|F1F2||y0|＝c|y0|.
在△PF1F2中，根据椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a.
两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝4a2. ①
根据余弦定理，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos α＝4c2. ②
①－②，得(1＋cos α)|PF1||PF2|＝2b2，
所以|PF1||PF2|＝.
根据三角形的面积公式，得＝|PF1||PF2|sin α＝··sin α＝b2·.
又因为＝＝＝tan，
所以＝b2tan.
(2)已知椭圆的方程为＋＝1，椭圆上有一点P满足∠PF1F2＝90°(如图).求△PF1F2的面积.
解　由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝1.
从而|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由勾股定理可得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4.
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2＝4，
所以|PF2|＝4－|PF1|.
从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4.
解得|PF1|＝.
所以△PF1F2的面积S＝|PF1|·|F1F2|＝××2＝，
即△PF1F2的面积是.
1.已知A(－5，0)，B(5，0).动点C满足|AC|＋|BC|＝10，则点C的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.直线 C.线段 D.点
答案　C
解析　因为|AC|＋|BC|＝10＝|AB|，
所以点C的轨迹是线段AB，故选C.
2.若方程3x2＋ky2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则k的可能取值为(　　)
A.1 B.3 C.0 D.－2
答案　A
解析　当k＝1时，原方程可化为＋＝1，它表示焦点在y轴上的椭圆，其他选项不合题意.
3.已知椭圆C：＋＝1内有一点M(2，3)，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上一点，则|PM|＋|PF1|的最大值为________，最小值为________.
答案　10＋　10－
解析　由椭圆的定义，得|PF1|＝2a－|PF2|，
即|PF1|＝10－|PF2|，
所以|PF1|＋|PM|＝10＋|PM|－|PF2|.
由三角形中“两边之差小于第三边”可知，
当P，M，F2三点共线时，|PM|－|PF2|取得最大值|MF2|，最小值－|MF2|.
由椭圆的标准方程＋＝1可得点F2(3，0).
又|MF2|＝＝，
所以|PF1|＋|PM|取得最大值10＋，最小值10－.
4.椭圆8x2＋3y2＝24的焦点坐标为________________.
答案　(0，－)，(0，)
解析　据题知＋＝1，它的焦点位于y轴上，
且c＝，故两焦点分别为(0，－)，(0，).
5.求经过两点(2，－)，(－1，)的椭圆的标准方程.
解　方法一　若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
同理得a2＝4，b2＝8，此时a2综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二　设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B).
将两点(2，－)，(－1，)的坐标分别代入，得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
1.椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|).在解题过程中将|PF1|＋|PF2|看成一个整体，可简化运算.
2.椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决.
3.凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a(M为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标M(x0，y0)适合椭圆的方程，然后再进行代数运算.
40分钟课时作业
一、选择题
1.已知椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则P到另一个焦点的距离为(　　)
A.1 B.4 C.3 D.2－2
答案　B
解析　由椭圆的定义知P到两焦点的距离之和等于2a＝6，故所求距离为6－2＝4，故选B.
2.已知椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点坐标是(0，2)，那么k的值为(　　)
A.－1 B.1 C. D.－
答案　B
解析　原方程可化简为x2＋＝1，由c2＝－1＝4，得k＝1.
3.已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.x2＋＝1 D.＋＝1
答案　D
解析　由题意知a2－2＝4，∴a2＝6，∴所求椭圆的方程为＋＝1.
4.“1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　当方程＋＝1表示椭圆时，必有所以1当m＝2时，方程变为x2＋y2＝1，它表示一个圆.
5.设α∈(0，)，方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围为(　　)
A.(0，] B.(，)
C.(0，) D.[，)
答案　C
解析　由题意知，cos α>sin α>0，∴tan α<1，
∵α∈(0，)，∴0<α<.故选C.
6.过椭圆9x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的三角形ABF2的周长是(　　)
A. B.4 C.8 D.2
答案　B
解析　方程可化为＋y2＝1，∴焦点在y轴上，且a2＝1，∴a＝1.
∴△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF2|＋|BF1|＝2a＋2a＝4a＝4.故选B.
二、填空题
7.设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左，右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________.
答案　15
解析　由椭圆定义知|PM|＋|PF1|＝|PM|＋2×5－|PF2|，
而|PM|－|PF2|≤|MF2|＝5，
所以|PM|＋|PF1|≤2×5＋5＝15.
8.已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
答案　8
解析　由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，
|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，
∴|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝20.
又∵|F2A|＋|F2B|＝12，∴|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝8.
9.已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________.
答案　4
解析　设椭圆的另一个焦点为E，则|MF|＋|ME|＝10，
∴|ME|＝8，又ON为△MEF的中位线，
∴|ON|＝|ME|＝4.
10.若椭圆＋＝1的焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是________.
答案　
解析　由已知得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，
|F1F2|＝2c＝12.由余弦定理，知(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°，
即144＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝，
∴＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝.
三、解答题
11.已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程.
解　如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B，
∴|PB|＝r.
又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，
∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，
即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|＝6).
∴圆心P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆.
∴2a＝10，2c＝|AB|＝6.
∴a＝5，c＝3，
∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
∴圆心P的轨迹方程为＋＝1.
12.点A在椭圆＋＝1上运动，B(－4，0)，C(4，0)，求△ABC的重心G的轨迹方程.
解　设G(x，y)，A(x′，y′)，
则即
又点A在椭圆＋＝1上，
∴＋＝1.
故所求的轨迹方程为＋＝1(y≠0).
13.已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3).若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程.
解　设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0).
∵F1A⊥F2A， ∴·＝0，
而＝(－4＋c，3)，＝(－4－c，3)，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，
∴c2＝25，即c＝5.
∴F1(－5，0)，F2(5，0).
∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝＋＝4.
∴a＝2，
∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
2.2.1　椭圆及其标准方程(二)
学习目标　加深理解椭圆定义及标准方程，能够熟练求解与椭圆有关的轨迹问题.
知识点　椭圆标准方程的认识与推导
思考1　椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么？
答案　标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上.
标准方程的代数特征：方程右边为1，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正值.
思考2　依据椭圆方程，如何确定其焦点位置？
答案　把方程化为标准形式，与x2，y2相对应的分母哪个大，焦点就在相应的轴上.
思考3　观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解 过程.
答案　(1)如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.
(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0).
(3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF2|＝2a列方程，并将其坐标化为＋＝2a. ①
(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，为使方程简单、对称、便于记忆，引入字母b，令b2＝a2－c2，可得椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0). ②
(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(－c，0)，F2(c，0)的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上.由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程.
梳理　(1)椭圆的标准方程的形式
焦点位置
形状、大小
焦点坐标
标准方程
焦点在x轴上
形状、大小相同a>b>0，b2＝a2－c2，焦距为2c
F1(－c，0)，F2(c，0)
＋＝1(a>b>0)
焦点在y轴上
F1(0，－c)，F2(0，c)
＋＝1(a>b>0)
(2)方程Ax2＋By2＝1表示椭圆的充要条件是A>0，B>0且A≠B.
(3)椭圆方程中参数a，b，c之间的关系为a2＝b2＋c2.
类型一　椭圆标准方程的确定
例1　求焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点的椭圆的标准方程.
解　方法一　(1)当焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意有解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)当焦点在y轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意有解得
此时不符合a>b>0，所以方程组无解.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二　设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0且A≠B)，
依题意有解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
反思与感悟　求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置.
跟踪训练1　求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点(－，)；
(2)焦点在y轴上，且经过两点(0，2)和(1，0).
解　(1)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).
由椭圆的定义知：
2a＝ ＋ ＝2，即a＝.
又c＝2，∴b2＝a2－c2＝6.
∴所求的椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).
又椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
∴∴
∴所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1.
类型二　相关点法在求解椭圆方程中的应用
例2　如图，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹.
解　设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，
则x＝x0，y＝.因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
所以x＋y＝4. ①
把x0＝x，y0＝2y代入方程①，
得x2＋4y2＝4，即＋y2＝1.
所以点M的轨迹是一个焦点在x轴上的椭圆.
引申探究
若本例中“过点P作x轴的垂线段PD”，改为“过点P作y轴的垂线段PD”.那么线段PD的中点M的轨迹又是什么？
解　设M(x，y)，P(x0，y0)，
则x＋y＝4，(*)
代入(*)式得＋x2＝1.
故点M的轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆.
反思与感悟　如果一个动点P随着另一个在已知曲线上运动的动点Q而运动，则求P点的轨迹方程时一般用转代法来求解.基本步骤为
(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P(x，y)，已知曲线上动点坐标为Q(x1，y1).
(2)求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标，即得关系式
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可.
跟踪训练2　如图所示，B点坐标为(2，0)，P是以O为圆心的单位圆上的动点，∠POB的平分线交直线PB于点Q，求点Q的轨迹方程.
解　由三角形角平分线性质得＝＝2.
∴＝2.
设Q(x，y)，P(x0，y0)，则(x－2，y)＝2(x0－x，y0－y)，
∴∴
又∵点P在单位圆x2＋y2＝1上.
∴()2＋(y)2＝1.
∴点Q的轨迹方程为＋y2＝1.
1.方程＋y2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为(　　)
A.(1，＋∞) B.(，＋∞) C.[1，＋∞) D.(－∞，1)
答案　A
解析　因为焦点在x轴上，故m>1，故选A.
2.设B(－4，0)，C(4，0)，且△ABC的周长等于18，则动点A的轨迹方程为(　　)
A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
答案　A
解析　由已知|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10.由椭圆的定义可知，点A的轨迹是椭圆的一部分，且2a＝10，2c＝8，即a＝5，c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9，则椭圆方程为＋＝1.当点A在直线BC上，即y＝0时，A，B，C三点不能构成三角形.因此，顶点A的轨迹方程是＋＝1(y≠0).
3.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为____________.
答案　＋＝1
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①－②得＋＝0，
∴kAB＝＝－，
由题意，得x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴kAB＝，
又kAB＝＝，∴＝，
又c2＝a2－b2＝9，∴b2＝9，a2＝18，
∴椭圆E的方程为＋＝1.
4.在椭圆＋y2＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F1，再次被椭圆反射后又回到F2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为_______.
答案　4
解析　把粒子运动轨迹表示出来，可知整个路程为4a，即4.
5.△ABC的三边长a，b，c成等差数列，且b＝6，求顶点B的轨迹方程.
解　以直线AC为x轴，AC的中点为原点，建立直角坐标系，
设A(－3，0)，C(3，0)，B(x，y)，
则|BC|＋|AB|＝a＋c＝2b＝2|AC|＝12，
∴B点的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，
且a′＝6，c′＝3，b′2＝27.
故所求的轨迹方程为＋＝1(y≠0).
1.两种形式的椭圆的标准方程的比较如下表：
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
不同点
图形
焦点坐标
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
相同点
定义
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹
a、b、c的关系
a2＝b2＋c2
2.所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在＋＝1与＋＝1这两个标准方程中，都有a>b>0的要求，如方程＋＝1(m>0，n>0，m≠n)就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式＋＝1类比，如＋＝1中，由于a>b，所以在x轴上的“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看x2，y2分母的大小).
要区别a2＝b2＋c2与习惯思维下的勾股定理c2＝a2＋b2.
40分钟课时作业
一、选择题
1.“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　C
解析　方程mx2＋ny2＝1，即＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆的充要条件为
即m>n>0.故选C.
2.到两定点F1(－2，0)和F2(2，0)的距离之和为4的点M的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.线段 C.圆 D.以上都不对
答案　B
解析　∵|MF1|＋|MF2|＝4＝|F1F2|，
∴M的轨迹是以F1，F2为端点的线段，故选B.
3.椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于(　　)
A. B. C. D.4
答案　C
解析　不妨设F1的坐标为(，0)，P点坐标为(x0，y0)，
∵PF1与x轴垂直，∴x0＝.
把x0＝代入椭圆方程＋y2＝1，得y＝.
∴|PF1|＝.∴|PF2|＝4－|PF1|＝.
4.已知椭圆＋＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　)
A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线
答案　B
解析　由题意知|PO|＝|MF2|，|PF1|＝|MF1|，
又|MF1|＋|MF2|＝2a，所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c，故由椭圆的定义知P点的轨迹是椭圆.
5.如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)
A.a>3 B.a<－2
C.a>3或a<－2 D.a>3或－6答案　D
解析　焦点在x轴上，则标准方程中x2项的分母应大于y2项的分母，即a2>a＋6，解得a>3或a<－2，且x2，y2项分母应分别大于0，综上，a>3或－66.已知椭圆＋＝1上有一点P，F1，F2是椭圆的左，右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有(　　)
A.3个 B.4个 C.6个 D.8个
答案　C
解析　当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个.故符合要求的点P有6个.
二、填空题
7.已知椭圆＋＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点的距离为7，则m＝________.
答案　25
解析　由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
∴a＝5，
∴a2＝25，即m＝25.
8.设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是________.
答案　6
解析　将P，Q两点间的最大距离转化为圆心到椭圆上点的最大距离加上圆的半径，设Q(x，y)，则圆心(0，6)到椭圆上点的距离d＝＝＝≤5，所以P，Q两点间的最大距离为6.
9.设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________.
答案　(0，±1)
解析　根据题意设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(c，d).
F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，
其坐标分别为(－，0)，(，0)，
可得＝(m＋，n)，＝(c－，d).
∵＝5，∴c＝，d＝.
∵点A，B都在椭圆上，∴＋n2＝1，＋()2＝1.
解得m＝0，n＝±1，故点A坐标为(0，±1).
10.若点O和点F分别为椭圆＋y2＝1的中心和右焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2＋|PF|2的最小值为________.
答案　2
解析　由题意可知，O(0，0)，F(1，0)，
设P(cos α，sin α)，
则|OP|2＋|PF|2＝2cos2α＋sin2α＋(cos α－1)2＋sin2α
＝2cos2α－2cos α＋3＝2(cos α－)2＋2，
所以当cos α＝时，|OP|2＋|PF|2取得最小值2.
三、解答题
11.已知方程＋＝1表示椭圆，求实数m的取值范围.
解　(1)当方程表示焦点在x轴上的椭圆时，
则有5－2m>m＋1>0，解得－1(2)当方程表示焦点在y轴上的椭圆时，
则有m＋1>5－2m>0，解得综上，m的取值范围为(－1，)∪(，).
12.点M(x，y)与定点F(2，0)的距离和它到定直线x＝8的距离的比是1∶2，求点M的轨迹 方程.
解　设d是点M到直线x＝8的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P＝，
由此得＝.
将上式两边平方，并化简，得3x2＋4y2＝48，
即点M的轨迹方程为＋＝1.
13.已知x轴上一定点A(1，0)，Q为椭圆＋y2＝1上任一点，求线段AQ中点M的轨迹方程.
解　设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0).
利用中点坐标公式，得
∴
∵Q(x0，y0)在椭圆＋y2＝1上，∴＋y＝1.
将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，
得＋(2y)2＝1.
故所求AQ的中点M的轨迹方程是(x－)2＋4y2＝1.
2.2.2　椭圆的简单几何性质(一)
学习目标　1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形.
知识点一　椭圆的范围、对称性和顶点坐标
思考1　观察椭圆＋＝1(a>b>0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
答案　(1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；
(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；
(3)特殊点：顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b).
思考2　在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？
答案　在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b).
梳理　椭圆的简单几何性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
(±c，0)
(0，±c)
对称性
关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称
顶点坐标
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
长轴、短轴
长轴A1A2长为2a，短轴B1B2长为2b
知识点二　椭圆的离心率
思考　如何刻画椭圆的扁圆程度？
答案　用离心率刻画扁圆程度，e越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁.
梳理　(1)椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.
(2)对于＋＝1，b越小，对应的椭圆越扁，反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a＝b时，c＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x2＋y2＝a2.(如图)
类型一　由椭圆方程研究其简单几何性质
例1　求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.
解　已知方程化成标准方程为＋＝1，
于是a＝4，b＝3，c＝＝，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，
离心率e＝＝，又知焦点在x轴上，
∴两个焦点坐标分别是(－，0)和(，0)，
四个顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)和(0，3).
引申探究
本例中若把椭圆方程改为“9x2＋16y2＝1”求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.
解　由已知得椭圆标准方程为＋＝1，
于是a＝，b＝，c＝＝.
∴长轴长2a＝，短轴长2b＝，
离心率e＝＝.
焦点坐标(－，0)和(，0)，
顶点坐标(±，0)，(0，±).
反思与感悟　解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量.
跟踪训练1　求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.
解　椭圆的标准方程为＋＝1，则a＝9，b＝3，c＝＝6，长轴长2a＝18; 短轴长2b＝6；
焦点坐标(0，6)，(0，－6)；
顶点坐标(0，9)，(0，－9)，(3，0)，(－3，0).
离心率e＝＝.
类型二　椭圆的几何性质简单应用
命题角度1　依据椭圆的几何性质求标准方程
例2　如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为－，求这个椭圆的方程.
解　依题意，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
由椭圆的对称性知|B1F|＝|B2F|，
又B1F⊥B2F，∴△B1FB2为等腰直角三角形，
∴|OB2|＝|OF|，即b＝c，|FA|＝－，
即a－c＝－，且a2＝b2＋c2，
将上面三式联立，得
解得
∴所求椭圆方程为＋＝1.
反思与感悟　此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置.
跟踪训练2　根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：
(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.
解　(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0).
依题意有解得
∴椭圆方程为＋＝1.
同样地可求出当焦点在y轴上时，
椭圆方程为＋＝1.
故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意有
∴b＝c＝6，∴a2＝b2＋c2＝72，
∴所求的椭圆方程为＋＝1.
命题角度2　对称性问题
例3　讨论方程x3y＋x2y2＋xy3＝1所表示的曲线关于x轴，y轴，原点的对称性.
解　用“－y”代替方程x3y＋x2y2＋xy3＝1中的“y”，得－x3y＋x2y2－xy3＝1，它改变了原方程，因此方程x3y＋x2y2＋xy3＝1所表示的曲线不关于x轴对称.
同理，方程x3y＋x2y2＋xy3＝1所表示的曲线也不关于y轴对称.
而用“－x”代替原方程中的“x”，用“－y”代替原方程中的“y”，得(－x)3(－y)＋(－x)2(－y)2＋(－x)(－y)3＝1，即x3y＋x2y2＋xy3＝1，故方程x3y＋x2y2＋xy3＝1所表示的曲线关于原点对称.
反思与感悟　研究曲线关于x轴，y轴，原点的对称性，只需用“－y”代替方程中“y”，用“－x”代替方程中的“x”，同时代替，若方程不变，则得到相应的对称性.
跟踪训练3　曲线x2－2y＋1＝0的对称轴为(　　)
A.x轴 B.y轴 C.直线y＝x D.无法确定
答案　B
解析　保持y不变，以“－x”代替方程中“x”，方程不变，故该曲线关于y轴对称.
命题角度3　最值问题
例4　椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P(0，)到椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程.
解　设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0).
∵＝＝＝，∴a＝2b.
∴椭圆方程为＋＝1.
设椭圆上点M(x，y)到点P(0，)的距离为d，
则d2＝x2＋(y－)2＝4b2(1－)＋y2－3y＋＝－3(y＋)2＋4b2＋3.(*)
(1)当－b≤－，即b≥时，
d＝f(－)＝4b2＋3＝7，
解得b＝1，∴椭圆方程为＋y2＝1.
(2)当－<－b，即b<时，d＝f(－b)＝7，
解得b＝－>，与b<矛盾.
综上所述，所求椭圆方程为＋y2＝1.
反思与感悟　求解椭圆的最值问题的基本方法有两种
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解；
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值.常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等.
跟踪训练4　已知椭圆＋＝1(3≤m≤5)，过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右依次为A，B，C，D，记f(m)＝||AB|－|CD||.
(1)求f(m)的解析式；
(2)求f(m)的最大值和最小值.
解　(1)设点A，B，C，D在x轴上的射影分别为A′(x1，0)，B′(x2，0)，C′(x3，0)，D′(x4，0)，
则|AB|＝|x2－x1|，|CD|＝|x4－x3|.
又∵x1＋x4＝0，且x1∴||AB|－|CD||＝||x2－x1|－|x4－x3||＝|(x2－x1)－(x4－x3)|＝|x2＋x3|.
将直线y＝x＋1代入椭圆方程，
整理得[2(m2－2m)－1]·x2＋2(m2－2m)x＋2(m2－2m)－(m2－2m)2＝0，
∴x2＋x3＝－，
∴f(m)＝＝＋，m∈[3，5].
(2)∵f(m)在[3，5]上是减函数，
∴f(m)的最大值为f(3)＝，最小值为f(5)＝.
类型三　椭圆的离心率的求解
例5　已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的交点为A，B，与y轴的交点为C，且B为线段CF1的中点，若|k|≤，求椭圆离心率e的取值范围.
解　依题意得F1(－c，0)，直线l：y＝k(x＋c)，
则C(0，kc).
因为点B为CF1的中点，所以B(－，).
因为点B在椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1.
所以＋＝1，
所以k2＝.
由|k|≤，得k2≤，
即≤，
所以2e4－17e2＋8≤0.
解得≤e2≤8.因为0所以≤e2<1，即≤e<1.
反思与感悟　求e的取值范围有以下几个步骤：
(1)切入点：已知|k|≤，求e的取值范围，需建立关于e的不等式.(2)思考点：①e与k有什么关系？②建立e与k的等量关系式；③利用B在椭圆上且为CF1的中点，构建关于e与k的等式；④如何求e的范围？先用e表示k，再利用|k|≤，求e的取值范围.(3)解题流程：先写出l的方程，求出B点的坐标，由点B在椭圆上，建立e与k的关系式，再求e的范围.
跟踪训练5　已知点P(m，4)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆的半径为，则此椭圆的离心率为________.
答案　
解析　一方面△PF1F2的面积为(2a＋2c)·r；
另一方面△PF1F2的面积为|yp|·2c，
∵(2a＋2c)·r＝|yp|·2c，
∴(a＋c)·r＝|yp|·c，
∴＝.
∴＋1＝，
又yp＝4，∴＝－1＝－1＝，
∴椭圆的离心率为e＝＝.
1.已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由2x2＋3y2＝m(m>0)，得＋＝1，
∴c2＝－＝，∴e2＝，∴e＝.
2.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是(　　)
A.＋＝1 B.x2＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
答案　B
解析　由已知c＝，b＝1，故椭圆的标准方程为＋x2＝1.
3.若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3，0)，则此椭圆的标准方程为________.
答案　＋＝1
解析　据题意a＝5，c＝3，故b＝＝4，又焦点在x轴上，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
4.已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是________________.
答案　[4－2，4＋2]
解析　因为点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆＋＝1上，
所以点(m，n)满足椭圆的范围|x|≤，|y|≤2，
因此|m|≤，即－≤m≤，所以2m＋4∈[4－2，4＋2].
5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为________.
答案　(0，±)
解析　由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，±).
1.可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题.而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理.
2.椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|·|PF2|看成一个整体灵活应用.
3.利用正弦、余弦定理处理△PF1F2的有关问题.
4.椭圆上的点到一焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.
40分钟课时作业
一、选择题
1.椭圆4x2＋49y2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)
A.7，2， B.14，4，
C.7，2， D.14，4，－
答案　B
解析　先将椭圆方程化为标准形式：＋＝1，
其中b＝2，a＝7，c＝3.
2.焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　依题意得c＝2， a＋b＝10 ，又a2＝b2＋c2从而解得a＝6，b＝4.
3.若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　∵a2＝2，b2＝m，e＝＝ ＝ ＝，∴m＝.
4.椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是(　　)
A. B.
C. D.－
答案　C
解析　椭圆方程可简化为＋＝1，
由题意知m>0，∴<，∴a＝，
∴椭圆的长轴长2a＝.
5.已知椭圆的方程＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，离心率e＝，则椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　C
解析　因为|F1F2|＝2，离心率e＝，所以c＝1，a＝2，所以b2＝3，椭圆方程为＋＝1.
6.设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设直线x＝与x轴交于点M，则∠PF2M＝60°，
在Rt△PF2M中，|PF2|＝|F1F2|＝2c，|F2M|＝－c，
故cos 60°＝＝＝，
解得＝，故离心率e＝.
二、填空题
7.已知椭圆C的上，下顶点分别为B1，B2，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形B1F1B2F2是正方形，则此椭圆的离心率e＝________.
答案　
解析　因为四边形B1F1B2F2是正方形，所以b＝c，
所以a2＝b2＋c2＝2c2，所以e＝＝.
8.若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点(1，)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是____________.
答案　＋＝1
解析　∵x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线.
∴椭圆的右焦点为(1，0)，即c＝1.
设P(1，)，则kOP＝，∵OP⊥AB，∴kAB＝－2，则直线AB的方程为y＝－2(x－1)，它与y轴的交点为(0，2).∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5，故椭圆的方程为＋＝1.
9.若椭圆长轴长是短轴长的2倍，且焦距为2，则此椭圆的标准方程为____________.
答案　＋＝1或＋＝1
解析　由题意可知a＝2b，c＝1，
所以1＋b2＝4b2，故b2＝，a2＝，
则此椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
10.已知P点是椭圆＋＝1(a>b>0)上异于顶点的任一点，且∠F1PF2＝60°，则这样的点P有________个.
答案　4
解析　依据椭圆的对称性知，四个象限内各有一个符合要求的点.
三、解答题
11.已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质.
解　(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，
短半轴长为8，焦点坐标(6，0)，(－6，0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：＋＝1，性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)，焦点坐标(0，6)，(0，－6)；④离心率：e＝.
12.若椭圆＋＝1(k>－2)的离心率为e＝，求k的值.
解　当焦点在x轴上时，a2＝k＋2，b2＝4，c2＝k－2，
∴e2＝＝＝，∴k＝.
当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝k＋2，c2＝2－k，
∴e2＝＝＝，∴k＝，
故k＝或k＝.
13.已知椭圆C以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A(5，0)，求此椭圆的标准方程.
解　方法一　若椭圆的焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意，得
解得故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
若椭圆的焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意，得解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
方法二　设椭圆方程为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，
由题意，得或
解得或故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
2.2.2　椭圆的简单几何性质(二)
学习目标　1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.
知识点一　点与椭圆的位置关系
思考1　判断点P(1，2)与椭圆＋y2＝1的位置关系.
答案　当x＝1时，得y2＝，故y＝±，而2>，故点在椭圆外.
思考2　类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？
答案　当P在椭圆外时，＋>1；
当P在椭圆上时，＋＝1；
当P在椭圆内时，＋<1.
梳理　设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：
位置关系
满足条件
P在椭圆外
＋>1
P在椭圆上
＋＝1
P在椭圆内
＋<1
知识点二　直线与椭圆的位置关系
思考1　直线与椭圆有几种位置关系？
答案　有三种位置关系，分别有相交、相切、相离.
思考2　如何判断y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系？
答案　联立消去y得关于x的一元二次方程
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ＝0
相离
无解
Δ<0
梳理　(1)判断直线和椭圆位置关系的方法
将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离.
(2)根与系数的关系及弦长公式
设直线l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆＋＝1(a>b>0)相交，两个交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫做弦长.下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得|AB|＝，将y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m代入上式，得|AB|＝＝＝|x1－x2|，而|x1－x2|＝，所以|AB|＝·，其中x1＋x2与x1x2均可由根与系数的关系得到.
(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用Δ>0.
例如，直线l：y＝k(x－2)＋1和椭圆＋＝1.无论k取何值，直线l恒过定点(2，1)，而定点(2，1)在椭圆内部，所以直线l必与椭圆相交.
类型一　点、直线与椭圆位置关系的判断
命题角度1　点与椭圆位置关系的判断
例1　已知点P(k，1)，椭圆＋＝1，点在椭圆外，则实数k的取值范围为________.
答案　(－∞，－)∪(，＋∞)
解析　据题知＋>1，
解得k<－或k>.
引申探究
若将本例中P点坐标改为“P(1，k)”呢？
答案　(－∞，－)∪(，＋∞)
解析　依题＋>1，解得k2>，
即k<－或k>.
反思与感悟　处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性.
跟踪训练1　已知点(3，2)在椭圆＋＝1(a>b>0)上，则(　　)
A.点(－3，－2)不在椭圆上 B.点(3，－2)不在椭圆上
C.点(－3，2)在椭圆上 D.以上都不正确
答案　C
解析　由已知得＋＝1，只有选项C符合该条件.
命题角度2　直线与椭圆位置关系的判断
例2　(1)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
答案　A
解析　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交.
(2)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围.
解　由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.整理得x2＋2kx＋1＝0.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，解得k<－或k>.
即k的取值范围为∪.
反思与感悟　直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程
(1)Δ>0?直线与椭圆相交?有两个公共点.
(2)Δ＝0?直线与椭圆相切?有且只有一个公共点.
(3)Δ<0?直线与椭圆相离?无公共点.
跟踪训练2　(1)已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为(　　)
A.1 B.1或2 C.2 D.0
(2)若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　)
A. B.－ C.± D.±
答案　(1)C　(2)C
解析　(1)因为直线过定点(3，－1)且＋<1，
所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点.
(2)把y＝kx＋2代入＋＝1得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，由于Δ＝0，
∴k2＝，∴k＝±.
类型二　弦长及中点问题
例3　已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，求直线AB的方程.
解　方法一　根与系数的关系、中点坐标公式法
由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y－1＝k(x－2).
将其代入椭圆方程并整理，
得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，
于是x1＋x2＝.
又M为线段AB的中点，
∴＝＝2，解得k＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法二　点差法
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2.
∵M(2，1)为线段AB的中点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B两点在椭圆上，
则x＋4y＝16，x＋4y＝16，
两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴＝－＝－＝－，
即kAB＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法三　对称点法(或共线法)
设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，
由于点M(2，1)为线段AB的中点，
则另一个交点为B(4－x，2－y).
∵A，B两点都在椭圆上，
∴
①－②，得x＋2y－4＝0.
即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
引申探究
在本例中求弦AB的长.
解　由上例得直线AB方程为x＋2y－4＝0.
联立方程组消去y并整理，得
x(x－4)＝0，得x＝0或x＝4，
得两交点坐标A(0，2)，B(4，0)，
故|AB|＝＝2.
反思与感悟　直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题，一般应用弦长公式.而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程.
跟踪训练3　已知椭圆＋＝1和点P(4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点.
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
(2)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程.
解　(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，即y＝x.
由消去y可得x2－18＝0，
若设A(x1，y1)，B(x2，y2).
则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是|AB|＝＝
＝＝×6＝3.
所以线段AB的长度为3.
(2)方法一　设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4).
联立消去y得
(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
由于AB的中点恰好为P(4，2)，
所以＝＝4，
解得k＝－，且满足Δ>0.
这时直线的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
两式相减得＋＝0，
整理得kAB＝＝－
由于P(4，2)是AB的中点，
∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
于是kAB＝－＝－，
于是直线AB的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
类型三　椭圆中的最值(或范围)问题
例4　已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.
解　(1)由得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由(1)知：5x2＋2mx＋m2－1＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)，
所以|AB|＝＝＝
＝＝.
所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x.
反思与感悟　求最值问题的基本策略
(1)求解形如|PA|＋|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA|＋|PB|取得最值.
(2)求解形如|PA|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围.
(3)求解形如ax＋by的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决.
(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围.
跟踪训练4　已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若点A的坐标为(3，0)，||＝1，且·＝0，求||的最小值.
解　由||＝1，A(3，0)，知点M在以A(3，0)为圆心，
1为半径的圆上运动，
∵·＝0且P在椭圆上运动，
∴PM⊥AM，即PM为⊙A的切线，连接PA(如图)，
则||＝＝，
∴当||min＝a－c＝5－3＝2时，||min＝.
1.点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是(　　)
A.－
C.－2答案　A
解析　由题意知＋<1，解得－2.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　　)
A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交
答案　C
解析　把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，
得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.
∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，
∴直线与椭圆相离.
3.已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________.
答案　2
解析　由题意可设椭圆的方程为＋＝1(a>2)，与直线方程x＋y＋4＝0联立，
得4(a2－3)y2＋8·(a2－4)y＋(16－a2)(a2－4)＝0，由Δ＝0，得a＝，
所以椭圆的长轴长为2.
4.若直线y＝kx＋b与椭圆＋＝1恒有两个公共点，则b的取值范围为________.
答案　(－2，2)
解析　∵直线y＝kx＋b恒过定点(0，b)，
且直线y＝kx＋b与椭圆＋＝1恒有两个公共点，
∴点(0，b)在椭圆＋＝1内部，
∴－25.直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，且|MN|＝，求直线l的方程.
解　设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由消去y并化简，
得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝0.
由|MN|＝，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，
所以(1＋k2)(x1－x2)2＝，
所以(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝，
即(1＋k2)(－)2＝，
化简得k4＋k2－2＝0，
所以k2＝1，所以k＝±1.
所以所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.
1.直线与椭圆相交弦长的有关问题
(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长.
(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式.设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有|AB|＝＝
＝· ＝
＝· (k为直线斜率).
(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况.
2.解决椭圆中点弦问题的三种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.
(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P(x0，y0)，设其一交点为A(x，y)，
则另一交点为B(2x0－x，2y0－y)，
则
两式作差即得所求直线方程.
特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错.
40分钟课时作业
一、选择题
1.若直线l：2x＋by＋3＝0过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个焦点，则b的值是(　　)
A.－1 B. C.－1或1 D.－或
答案　C
解析　因为椭圆x2＋＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，
所以b＝1或－1.
2.已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M(1，1)为中点的弦所在直线的方程是(　　)
A.x＋2y－3＝0 B.2x＋y－3＝0
C.x－2y＋3＝0 D.2x－y＋3＝0
答案　A
解析　易知所求直线的斜率存在，设过点M(1，1)的方程为y＝k(x－1)＋1，即y＝kx＋1－k.
由消去y，
得(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋2k2－4k－2＝0，
所以＝×＝1，
解得k＝－，所以所求直线方程为y＝－x＋，
即x＋2y－3＝0.
3.椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为(　　)
A. B.± C. D.±
答案　B
解析　根据椭圆的离心率为，得＝.
由x0＝b，得y＝b2(1－)＝，
∴y0＝±，∴k＝＝±＝±.
4.已知F1，F2是椭圆＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1|·|PF2|取最大值的点P为(　　)
A.(－2，0) B.(0，1) C.(2，0) D.(0，1)或(0，－1)
答案　D
解析　由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
∴|PF1|·|PF2|≤()2＝4，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2，
即P(0，－1)或(0，1)时，取“＝”.
5.已知椭圆：＋＝1(0A.1 B. C. D.
答案　D
解析　由题意知a＝2，所以|BF2|＋|AF2|＋|AB|＝4a＝8，因为|BF2|＋|AF2|的最大值为5，所以|AB|的最小值为3，当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A，B，代入椭圆方程得＋＝1，又c2＝a2－b2＝4－b2，所以＋＝1，即1－＋＝1，所以＝，解得b2＝3，所以b＝.
6.已知圆C1：x2＋2cx＋y2＝0，圆C2：x2－2cx＋y2＝0，c>0，椭圆C：＋＝1(a>b>0)，且c2＝a2－b2.若圆C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A.[，1) B.(0，] C.[，1) D.(0，]
答案　B
解析　圆C1，C2都在椭圆内等价于圆C2的右顶点(2c，0)，上顶点(c，c)在椭圆内部，
∴只需可得
结合e∈(0，1)，可得0二、填空题
7.椭圆＋＝1上的点到直线l：x＋y－9＝0的距离的最小值为________.
答案　2
解析　在椭圆上任取一点P，设P(4cos θ，3sin θ)，
则点P到直线l的距离d＝
＝|5sin(θ＋φ)－9|≥2(其中tan φ＝).
故dmin＝2.
8.人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面p千米，远地点距地面q千米，若地球半径为r千米，则运行轨迹的短轴长为____________.
答案　2
解析　∵
∴b2＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝(q＋r)(p＋r)，
∴2b＝2.
9.若直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为________.
答案　2
解析　因为直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，
所以>2，所以m2＋n2<4，
即点P(m，n)在以原点为圆心，以2为半径的圆内，故过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1有两个交点.
10.设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与线段AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.若＝6，则k的值为________.
答案　或
解析　依题意得椭圆的方程为＋y2＝1，
直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k>0).
如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，
其中x1故x2＝－x1＝.
由＝6知x0－x1＝6(x2－x0)，
得x0＝(6x2＋x1)＝x2＝.
由D在直线AB上知，x0＋2kx0＝2，x0＝，
所以＝，
化简得24k2－25k＋6＝0，
由此解得k＝或k＝.
三、解答题
11.设直线l：y＝x＋m与椭圆C：＋＝1(a>1)相交于A，B两点，且l过椭圆C的右焦点，若以AB为直径的圆经过椭圆的左焦点，试求椭圆C的方程.
解　由椭圆C：＋＝1(a>1)得c＝＝1，
∴椭圆的两个焦点为F1(－1，0)，F2(1，0).
又∵l经过点F2，∴m＝－1，
即直线l的方程为y＝x－1，
代入＋＝1(a>1)得
(2a2－1)x2－2a2x＋2a2－a4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝.
又∵以AB为直径的圆过点F1，∴AF1⊥BF1.
∴kAF1·kBF1＝－1，即·＝－1，
∴y1y2＋(x1＋1)·(x2＋1)＝0.
∵y1＝x1－1，y2＝x2－1，
∴(x1－1)(x2－1)＋(x1＋1)(x2＋1)＝0，
即x1x2＝－1，∴＝－1，
解得a2＝2±.
又∵a2>1，∴a2＝2＋，即a2－1＝1＋.
故所求椭圆的方程为＋＝1.
12.椭圆＋＝1(a>b>0)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且⊥(O为坐标原点).
(1)求证：＋等于定值；
(2)若椭圆的离心率e∈[，]，求椭圆长轴长的取值范围.
(1)证明　椭圆的方程可化为b2x2＋a2y2－a2b2＝0.
由
消去y得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.
由Δ＝4a4－4(a2＋b2)·a2·(1－b2)>0得a2＋b2>1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0.
∴x1x2＋(1－x1)·(1－x2)＝0.
∴2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
即－＋1＝0.
∴a2＋b2＝2a2b2，即＋＝2.
∴＋等于定值.
(2)解　∵e＝，∴b2＝a2－c2＝a2－a2e2.
又∵a2＋b2＝2a2b2，∴2－e2＝2a2(1－e2)，
即a2＝＝＋.
∵≤e≤，
∴≤a2≤，即≤a≤，
∴≤2a≤，即椭圆长轴长的取值范围是[，].
13.椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(1，)，离心率为，左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△F2AB的面积为时，求直线的方程.
解　(1)因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(1，)，
所以＋＝1. ①
又因为离心率为，所以＝，所以＝. ②
解①②得a2＝4，b2＝3.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当直线的倾斜角为时，
A(－1，)，B(－1，－)，
＝|AB|×|F1F2|＝×3×2＝3≠.
当直线的倾斜角不为时，设直线方程为y＝k(x＋1)，
代入＋＝1，得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以＝|y1－y2|·|F1F2|＝|k|
＝|k|＝＝，
所以17k4＋k2－18＝0，
解得k2＝1(k2＝－舍去)，
所以k＝±1，
所以所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
2.3.1　双曲线及其标准方程
学习目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.
知识点一　双曲线的定义
思考　若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？
答案　如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线.
梳理　(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距；
(2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在.
(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支.
(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线.
知识点二　双曲线的标准方程
思考1　双曲线的标准方程的推导过程是什么？
答案　(1)建系：以直线F1F2为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系.
(2)设点：设M(x，y)是双曲线上任意一点，且双曲线的焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0).
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a，
可得－＝±2a. ①
(4)化简：移项，平方后可得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2).
令c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0). ②
(5)检验：从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c，0)，(c，0)的距离之差的绝对值为2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上，这样，就把方程②叫做双曲线的标准方程.(此步骤可省略)
思考2　双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？
答案　双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定.
梳理　(1)两种形式的标准方程
焦点所在的坐标轴
x轴
y轴
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
焦点坐标
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系式
a2＋b2＝c2
(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上.
(3)双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0).
(4)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里的b2＝c2－a2与椭圆中的b2＝a2－c2相区别.
类型一　双曲线的定义及应用
命题角度1　双曲线中焦点三角形面积问题
例1　已知双曲线－＝1的左，右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.
解　由－＝1，
得a＝3，b＝4，c＝5.
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
所以＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝×64×＝16.
引申探究
本例中若∠F1PF2＝90°，其他条件不变，求△F1PF2的面积.
解　由双曲线方程知a＝3，b＝4，c＝5，
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， ①
在Rt△F1PF2中，由勾股定理得
|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝100， ②
将②代入①得|PF1|·|PF2|＝32，
所以＝|PF1|·|PF2|＝16.
反思与感悟　求双曲线中焦点三角形面积的方法
(1)方法一：
①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积.
(2)方法二：
利用公式＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积.
特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系.
跟踪训练1　如图所示，已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左，右焦点，点M为双曲线上一点，并且∠F1MF2＝θ，求△MF1F2的面积.
解　在△MF1F2中，由余弦定理，
得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|·cos θ. ①
∵|F1F2|2＝4c2，|MF1|2＋|MF2|2＝(|MF1|－|MF2|)2＋2|MF1|·|MF2|＝4a2＋2|MF1|·|MF2|，
∴①式化为4c2＝4a2＋2|MF1|·|MF2|(1－cos θ)，
∴|MF1|·|MF2|＝，
∴＝|MF1|·|MF2|·sin θ＝＝＝.
命题角度2　利用双曲线定义求其标准方程
例2　(1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　)
A.|PF1|－|PF2|＝±3 B.|PF1|－|PF2|＝±4
C.|PF1|－|PF2|＝±5 D.|PF1|2－|PF2|2＝±4
(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________.
答案　(1)A　(2)x2－＝1(x≤－1)
解析　(1)当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，满足双曲线定义， P点的轨迹是双曲线.
(2)如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，
根据两圆外切的条件 |MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝2，表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2.
根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).
反思与感悟　双曲线定义的两种应用
(1)根据双曲线的定义判断动点轨迹时，一定要注意双曲线定义中的各个条件，不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数，就认为其轨迹是双曲线，还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大于零，否则就不是双曲线.
(2)巧妙利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程，可以使运算量大大减小，同时提高解题速度和质量. 其基本步骤为
①寻求动点M 与定点F1，F2 之间的关系.
②根据题目的条件计算是否满足||MF1|－|MF2||＝2a(常数，a>0).
③判断：若2a<2c＝|F1F2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c＝|F1F2|，b2＝c2－a2，进而求出相应a，b，c.
④根据F1，F2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程.
跟踪训练2　下列命题是真命题的是________.(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点F1(－1，0)，F2(1，0)，则满足|PF1|－|PF2|＝的点P的轨迹为双曲线；
②已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足||PF1|－|PF2||＝4的点P的轨迹为两条射线；
③到定点F1(－3，0)，F2(3，0)距离之差的绝对值等于7的点P的轨迹为双曲线；
④若点P到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离的差的绝对值等于点M(1，2)到点N(－3，－1)的距离，则点P的轨迹为双曲线.
答案　②④
解析　①<2，故点P的轨迹是双曲线的一支；②因为2a＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；③到定点F1(－3，0)，F2(3，0)距离之差的绝对值等于7，而7>6，故点P的轨迹不存在；④点M(1，2)到点N(－3，－1)的距离为＝5<8，故点P的轨迹是以F1(－4，0)，F2(4，0)为焦点的双曲线.
类型二　待定系数法求双曲线的标准方程
例3　(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－4)和，求双曲线的标准方程；
(2)求与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程.
解　(1)设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)方法一　设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意易求得c＝2.
又双曲线过点(3，2)，
∴－＝1.
又∵a2＋b2＝(2)2，
∴a2＝12，b2＝8.
故所求双曲线方程为－＝1.
方法二　设双曲线方程为－＝1(－4将点(3，2)代入得k＝4，
∴所求双曲线方程为－＝1.
反思与感悟　待定系数法求方程的步骤
(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，
①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0).
②与双曲线－＝1(a>0，b>0)共焦点的双曲线的标准方程可设为－＝1(－b2(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值.
(4)结论：写出双曲线的标准方程.
跟踪训练3　根据条件求双曲线的标准方程.
(1)c＝，经过点A(－5，2)，焦点在x轴上；
(2)经过点P(3，)，Q(－，5)；
(3)与椭圆＋＝1共焦点且过点(3，).
解　(1)设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
∵c＝，∴b2＝c2－a2＝6－a2.
由题意知－＝1，∴－＝1，
解得a2＝5或a2＝30(舍).
∴b2＝1.∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
(2)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
∵P(3，)，Q(－，5)均在双曲线上，
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)椭圆＋＝1的焦点坐标为(2，0)，(－2，0).依题意，则所求双曲线焦点在x轴上，可以设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝20.
又∵双曲线过点(3，)，∴－＝1.
∴a2＝20－2，b2＝2.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
类型三　双曲线定义的综合运用
例4　已知椭圆＋＝1与双曲线－＝1有交点P，且有公共的焦点，且∠F1PF2＝2α，求证：tan α＝.
证明　如图所示，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c，
则在△PF1F2中，对于双曲线有|r2－r1|＝2m，
∴cos 2α＝＝＝＝＋1，
∴1－cos 2α＝.
∴sin α＝.
则在△PF1F2中，对于椭圆有r1＋r2＝2a，
cos 2α＝＝＝＝－1，
∴1＋cos 2α＝，∴cos α＝ ，∴tan α＝.
反思与感悟　(1)结合双曲线的定义，解决综合问题，诸如：实际应用题，焦点三角形问题等，要充分利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理等，利用化归思想，重点考查综合运用能力与求解能力.
(2)双曲线与椭圆的比较如下表：
曲线
椭圆
双曲线
定义
|PF1|＋|PF2|＝2a(|F1F2|＝2c，2a>2c)
|PF1|－|PF2|＝±2a(|F1F2|＝2c，2a<2c)
标准方程
＋＝1或＋＝1(a>b>0)
－＝1或－＝1(a>0，b>0)
图形特征
封闭的连续曲线
分两支，不封闭，不连续
根据标准方程确定a，b的方法
以大小分a，b(如＋＝1中，9>4，则a2＝9，b2＝4)
以正负分a，b(如－＝1中，4>0，－9<0，则a2＝4，b2＝9)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2(a最大)
c2＝a2＋b2(c最大)
利用双曲线与椭圆的关系，可类比椭圆得到双曲线的有关结论，或用类似方法解决双曲线的有关问题，以及双曲线与椭圆的综合问题.
跟踪训练4　(1)已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)，求双曲线的方程.
解　椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0，3)，
故可设双曲线的方程为－＝1.
由题意，知解得
故双曲线的方程为－＝1.
(2)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，设直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线C：－＝1写出具有类似特殊的性质，并加以 证明.
解　类似的性质如下：
若M，N为双曲线－＝1上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，设直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.
其证明过程如下：
设P(x，y)，M(m，n)，则N(－m，－n)，
其中－＝1，即n2＝(m2－a2).
∴kPM＝，kPN＝.
又－＝1，即y2＝(x2－a2)，
∴y2－n2＝(x2－m2).
∴kPM·kPN＝＝.
故kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.
1.若双曲线E：－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)
A.11 B.9 C.5 D.3
答案　B
解析　由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
即|3－|PF2||＝6，解得|PF2|＝9(负值舍去)，故选B.
2.设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左，右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)
A.4 B.8 C.24 D.48
答案　C
解析　由题意得解得
又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，
则＝|PF1||PF2|＝24.
3.已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为________.
答案　－＝1
解析　令x＝0，得y2－4y＋8＝0，方程无解，即该圆与y轴无交点.
令y＝0，得x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4，
则符合条件的双曲线中a＝2，c＝4，
∴b2＝c2－a2＝16－4＝12，且焦点在x轴上，
∴双曲线的方程为－＝1.
4.已知双曲线2x2－y2＝k(k≠0)的焦距为6，则k的值为________.
答案　－6或6
解析　由题易知，k≠0.当k>0时，方程化为－＝1，
∴c2＝＋k＝k，∴2×＝6，解得k＝6.
当k<0时，方程化为－＝1，
∴c2＝－k，∴2×＝6，解得k＝－6.
综上，k＝－6或k＝6.
5.已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为5，则点M到左焦点的距离是________.
答案　
解析　由于双曲线－＝1的右焦点为F(5，0)，将xM＝5，代入双曲线方程可得|yM|＝，即为点M到右焦点的距离，由双曲线的定义知M到左焦点的距离为＋2×3＝.
1.双曲线定义的理解
(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支.设F1，F2表示双曲线的左，右焦点，
若|MF1|－|MF2|＝2a，则点M在右支上；
若|MF2|－|MF1|＝2a，则点M在左支上.
(2)双曲线定义的双向运用：
①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线.
②若动点M在双曲线上，则||MF1|－|MF2||＝2a.
2.求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式.
(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解.
特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，为简单起见，常标明条件mn<0.
40分钟课时作业
一、选择题
1.双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)
A.2 B.2 C.4 D.4
答案　C
解析　双曲线方程可化为－＝1，
所以a2＝4，得a＝2，所以2a＝4.
2.若k∈R，则“k>5”是“方程－＝1表示双曲线”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　当k>5时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，k>5或k<2.故选A.
3.已知双曲线－＝1的一个焦点是(0，2)，则实数m的值是(　　)
A.1 B.－1 C.－ D.
答案　B
解析　由焦点坐标知，焦点在y轴上，∴m<0，
∴双曲线的标准方程为－＝1，
∴－m－3m＝4，∴m＝－1.
4.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点的坐标为(0，2)，则此双曲线的方程是(　　)
A.－y2＝1 B.x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1
答案　B
解析　据已知条件得焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则a2＋b2＝5. ①
∵线段PF1的中点的坐标为(0，2)，
∴点P的坐标为(，4)，将其代入双曲线的方程，
得－＝1. ②
由①②解得a2＝1，b2＝4，∴双曲线的方程为x2－＝1.
5.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由双曲线定义知，
|PF1|－|PF2|＝2，
又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF2|＝2，|PF1|＝4，|F1F2|＝2c＝2 ＝4.
∴cos∠F1PF2＝＝＝＝.
6.已知双曲线－＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A，B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为(　　)
A.8 B.9 C.16 D.20
答案　B
解析　△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20，
∵|AB|＝4，∴|AF2|＋|BF2|＝16.
根据双曲线定义知，
2a＝|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|，
∴4a＝(|AF2|＋|BF2|)－(|AF1|＋|BF1|)＝16－4＝12，
∴a＝3，∴m＝a2＝9.故选B.
二、填空题
7.已知双曲线－＝1的一个焦点坐标为(3，0)，则m＝________.
答案　5
解析　因为c＝＝3，故解得m＝5.
8.与圆A：(x＋5)2＋y2＝49和圆B：(x－5)2＋y2＝1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为_____.
答案　－＝1(x>0)
解析　设动圆P的半径为R，且P(x，y)，
则|PA|＝R＋7，|PB|＝R＋1，
∴|PA|－|PB|＝6<10＝|AB|，
∴点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，
a＝3，c＝5，∴b2＝16.故方程为－＝1(x>0).
9.已知双曲线－＝1上一点P到F(3，0)的距离为6，O为坐标原点，若＝(＋)，则||的值为________.
答案　1或5
解析　由题意得Q为PF的中点，
设左焦点为F′，其坐标为(－3，0)，
∴|OQ|＝|PF′|.
若P在双曲线的左支上，
则|OQ|＝|PF′|＝(|PF|－2a)＝×(6－2×2)＝1；
若P在双曲线的右支上，
则|OQ|＝|PF′|＝(|PF|＋2a)＝(6＋2×2)＝5.
综上，||＝1或5.
10.已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其左，右焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________.
答案　2
解析　设P在双曲线的右支上，|PF1|＝2＋x，|PF2|＝x(x>0)，因为PF1⊥PF2，
所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，
所以x＝－1，x＋2＝＋1，
所以|PF2|＋|PF1|＝－1＋＋1＝2.
三、解答题
11.设F1，F2是双曲线－＝1(a>0)的两个焦点，若点P在双曲线上，且·＝0，
||·||＝2，求双曲线的方程.
解　∵·＝0，∴⊥，
∴||2＋||2＝||2＝20a. ①
又|||－|||＝4. ②
①－②2，得2||·||＝4a.
∵||·||＝2，∴a＝1.
∴双曲线的方程为－y2＝1.
12.已知双曲线－＝1的左，右焦点为F1，F2.
(1)若点M在双曲线上，且·＝0，求M点到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程.
解　(1)如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，·＝0，
则MF1⊥MF2，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线定义知，m－n＝2a＝8， ①
又m2＋n2＝(2c)2＝80， ②
由①②得m·n＝8，
∴mn＝4＝|F1F2|·h，∴h＝.
(2)设所求双曲线C的方程为－＝1(－4<λ<16)，
由于双曲线C过点(3，2)，
∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去).
∴所求双曲线C的方程为－＝1.
13.已知双曲线C：－y2＝1，P为C上的任意点，设点A的坐标为(3，0)，求|PA|的最小值.
解　设P点的坐标为(x，y)，
则|PA|2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋－1＝(x－)2＋，
根据双曲线的范围知|x|≥2，
∴当x＝时，|PA|2的最小值为，
即|PA|的最小值为.
2.3.2　双曲线的简单几何性质
学习目标　1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a，b，c，e 间的关系.4.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.
知识点一　双曲线的范围、对称性
思考　观察下面的图形：(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？
(2)是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？
答案　(1)有限制，因为≥1，即x2≥a2，所以x≥a或x≤－a.
(2)关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心.
梳理　(1)双曲线－＝1(a>0，b>0)中要求x∈(－∞，－a]∪[a，＋∞)，y∈R.双曲线－＝1(a>0，b>0)中要求x∈R，y∈(－∞，－a]∪[a，＋∞).
(2)双曲线的对称轴为x轴、y轴，对称中心为原点.
知识点二　双曲线的顶点
思考　 (1)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，你认为对吗？为什么？
(2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线的顶点和焦点能在虚轴上吗？
答案　(1)不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点.
(2)是，只有两个顶点.双曲线的顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上.
梳理　双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点坐标为(－a，0)，(a，0)；双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点坐标为(0，－a)，(0，a).
知识点三　渐近线与离心率
思考1　能否和椭圆一样，用a，b表示双曲线的离心率？
答案　能，离心率e＝＝＝.
思考2　离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？
答案　有影响，因为e＝＝＝，故当的值越大，渐近线y＝x的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大.
梳理　(1)渐近线：直线y＝±x叫做双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线.
(2)离心率：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率，用e表示(e>1).
(3)双曲线的几何性质见下表：
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0)
顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
类型一　已知双曲线的标准方程求其简单几何性质
例1　求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
解　把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，
由此可知，实半轴长a＝，
虚半轴长b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
所以渐近线方程为y＝± x，
即y＝±x.
引申探究
将本例改为“求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程”，请给出解答.
解　将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1，
所以a＝3，b＝2，c＝，
因此顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，
离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x＝±x.
反思与感悟　由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
跟踪训练1　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
解　把方程9y2－16x2＝144化为标准方程－＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；
c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0，5)；
离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.
类型二　由双曲线的几何性质确定标准方程
例2　求下列双曲线的标准方程.
(1)与椭圆＋＝1有公共焦点，且过点(－2，)；
(2)过点(3，9)，离心率e＝.
解　(1)方法一　椭圆＋＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有
解得
故所求双曲线的方程为－＝1.
方法二　由椭圆方程＋＝1知焦点在y轴上，
设所求双曲线方程为－＝1(16<λ<25).
∵双曲线过点(－2，)，∴－＝1，
解得λ＝20或λ＝7(舍去)，
故所求双曲线的方程为－＝1.
(2)由e2＝，得＝，设a2＝9k(k>0)，
则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.
于是，设所求双曲线方程为
－＝1， ①
或－＝1， ②
把(3，9)代入①，得k＝－161与k>0矛盾，无解；
把(3，9)代入②，得k＝9，
故所求双曲线方程为－＝1.
反思与感悟　(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式.
(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧
①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0).
②焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0).
③与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ④与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0).
⑤渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0).
⑥渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
跟踪训练2　(1)求与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点M(3，－2)的双曲线的标准方程.
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a，0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程.
解　(1)设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0).
∵点M(3，－2)在双曲线上，
∴－＝λ，即λ＝－2.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)∵e＝，∴＝，∴＝，
∴a2＝3b2. ①
又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0，
∴d＝＝，即4a2b2＝3(a2＋b2). ②
解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1.
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
类型三　共轭双曲线与等轴双曲线
命题角度1　共轭双曲线
例3　已知双曲线E与双曲线－＝1共渐近线，且过点A(2，－3).若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程.
解　由题意，设双曲线E的方程为－＝t(t≠0).
∵点A(2，－3)在双曲线上，∴－＝t，
∴t＝－，∴双曲线E的标准方程为－＝1.
又双曲线M与双曲线E互为共轭双曲线，
故双曲线M的标准方程为－＝1.
反思与感悟　双曲线－＝1(a>0，b>0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)互为共轭双曲线，两者：(1)有共同的渐近线.(2)四个焦点共圆.(3)它们的离心率不同，设它们的离心率分别为e1，e2，则＋＝1.(4)焦点所在坐标轴不同，一个在x轴上，另一个在y轴上.
跟踪训练3　与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3，2)的双曲线的共轭双曲线的方程为________.
答案　－＝1
解析　设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0).
将点(－3，2)的坐标代入，得λ＝，
所以双曲线的方程为－＝，即－＝1.
故其共轭双曲线为－＝1.
命题角度2　等轴双曲线
例4　已知等轴双曲线的焦点在x轴上，且焦点到渐近线的距离是，求此双曲线的方程.
解　设双曲线方程为x2－y2＝a2(a>0)，
则它的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为(a，0)，(－a，0)，
∴＝，∴a＝，∴双曲线的方程为x2－y2＝2.
反思与感悟　(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
(2)等轴双曲线的性质：①渐近线方程为y＝±x；②渐近线互相垂直；③离心率e＝.
(3)等轴双曲线的特征是a＝b，等轴双曲线的方程可以设为x2－y2＝λ(λ≠0).当λ>0时，双曲线的焦点在x轴上；当λ<0时，双曲线的焦点在y轴上.
跟踪训练4　若双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率e为(　　)
A. B.2 C. D.
答案　A
解析　依据等轴双曲线的性质，得e＝.
类型四　直线与双曲线的位置关系
命题角度1　直线与双曲线位置关系的判定与交点问题
例5　已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4.
(1)若直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围；
(2)若直线与双曲线有两个公共点，求k的取值范围；
(3)若直线与双曲线只有一个公共点，求k的值.
解　由
得(1－k2)x2＋2kx－5＝0. ①
(1)直线与双曲线没有公共点，则①式方程无解.
∴
解得k>或k<－，
则k的取值范围为k>或k<－.
(2)直线与双曲线有两个公共点，则①式方程有两个不相等的根.
∴
解得－(3)直线与双曲线只有一个公共点，则①式方程只有一解.
当1－k2＝0，即k＝±1时，①式方程只有一解；
当1－k2≠0时，应满足Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0，
解得k＝±，
故k的值为±1或±.
反思与感悟　研究直线与双曲线的位置关系，一般通过解直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断.
①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线交于一点.
当b2－a2k2≠0，即k≠±时，
Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2).
Δ>0?直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交；
Δ＝0?直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切；
Δ<0?直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离.
通过几何图形也可判定直线与双曲线的位置关系，一般通过直线与渐近线的位置关系进行判断(图中α为渐近线倾斜角，θ为直线l倾斜角).
如图①，θ＝α时，直线l只与双曲线一支相交，交点只有一个；
如图②，θ>α时，直线l只与双曲线一支相交，交点有两个；
如图③，θ<α时，直线l与双曲线两支都相交，交点有两个.
跟踪训练5　(1)设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于A，B两个不同的点.
①求双曲线的离心率e的取值范围；
②设直线l与y轴的交点为P，且＝，求a的值.
解　①由得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0， ①
由题易得得0又双曲线的离心率e＝＝ ，
∴e>且e≠.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知P(0，1)，
∵＝，
∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)，故x1＝x2.
又x1，x2是方程①的两个根，
∴x2＝－，x＝－.
又a>0，∴a＝.
(2)已知过点P(1，1)的直线l与双曲线x2－＝1只有一个公共点，试探究直线l的斜率k的取值.
解　设直线l的斜率为k，则l：y＝k(x－1)＋1，
代入双曲线方程得
(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.
若4－k2＝0，即k＝±2，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；
若4－k2≠0，则Δ＝(2k－2k2)2－4(4－k2)(－k2＋2k－5)＝0，解得k＝.
综上可得，直线l的斜率k的取值为或±2.
命题角度2　直线与双曲线的相交弦及弦长问题
例6　(1)求直线y＝x＋1被双曲线x2－＝1截得的弦长.
(2)求过定点(0，1)的直线被双曲线x2－＝1截得的弦中点的轨迹方程.
解　(1)由得4x2－(x＋1)2－4＝0.
化简得3x2－2x－5＝0.
设此方程的解为x1，x2，则有x1＋x2＝，x1x2＝－.
故所截得的弦长d＝·|x1－x2|＝·＝·＝.
(2)方法一　∵该直线的斜率不存在时，直线与双曲线无交点，故可设直线的方程为y＝kx＋1，它被双曲线截得的弦AB对应的中点为P(x，y).
由得(4－k2)x2－2kx－5＝0.
设此方程的解为x1，x2，则4－k2≠0，
Δ＝4k2＋20(4－k2)>0，
∴16k2<80，即|k|<，k≠±2，
且x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴x＝(x1＋x2)＝，
y＝(y1＋y2)＝(x1＋x2)＋1＝.
由消去k，得4x2－y2＋y＝0(y<－4或y≥1).
方法二　设弦的两个端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦的中点为P(x，y)，
则
①－②，得4(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)，
∴＝，
即＝＝(k为直线AB的斜率)，
整理得4x2－y2＋y＝0(y<－4或y≥1).
反思与感悟　(1)利用弦长公式|AB|＝|xA－xB|＝·，求解的关键是正确应用根与系数的关系，整理时要始终保持两根之和、两根之积的形式.
(2)涉及弦长的中点问题，常用“点差法”，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系.
其具体解题思路如下
设直线与双曲线相交所得弦AB端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，则|AB|＝|x1－x2|＝·.涉及弦长的问题，常常设而不求.
中点弦问题：设A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为线段AB的中点，则两式相减可得·＝，即kAB·＝.
跟踪训练6　已知双曲线的方程为2x2－y2＝2.
(1)过定点P(2，1)作直线交双曲线于P1，P2两点，当点P(2，1)是弦P1P2的中点时，求此直线方程；
(2)过定点Q(1，1)能否作直线l，使l与此双曲线相交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.
解　(1)若直线斜率不存在，即P1P2垂直于x轴，则由双曲线的对称性知弦P1P2的中点在x轴上，不可能是点P(2，1)，所以直线l斜率存在.
故可设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，
即y＝kx－2k＋1.
由消去y并化简，
得(2－k2)x2＋2k(2k－1)x－4k2＋4k－3＝0.
设直线l与双曲线的交点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).
当2－k2≠0，即k2≠2时，有x1＋x2＝－.
又点P(2，1)是弦P1P2的中点，
∴－＝4，解得k＝4.
当k＝4时，Δ＝4k2(2k－1)2－4(2－k2)(－4k2＋4k－3)＝56×5>0.
当k2＝2，即k＝±时，此时与渐近线的斜率相等，
即k＝±的直线l与双曲线不可能有两个交点.
综上可知，所求直线的方程为4x－y－7＝0.
(2)假设这样的直线l存在，设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，
则有＝1，＝1，
∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且
两式相减，得(2x－2x)－(y－y)＝0，
∴2(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0，
∴2(x1－x2)－(y1－y2)＝0.
若直线Q1Q2垂直于x轴，
则线段Q1Q2中点不可能是点Q(1，1)，
∴直线Q1Q2斜率存在，于是k＝＝2，
∴直线Q1Q2的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
由得2x2－(2x－1)2＝2，
即2x2－4x＋3＝0，∴Δ＝16－24<0.
∴直线l与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在.
1.设双曲线＋＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)
A.－4 B.－3 C.2 D.1
答案　A
解析　∵方程表示双曲线，
∴a<0，标准方程为－＝1，
∴渐近线方程为y＝± x，
∴＝，解得a＝－4.
2.已知双曲线－＝1(a>0)的右焦点为(3，0)，则双曲线的离心率等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意知a2＋5＝9， 解得a＝2，e＝＝.
3.等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0)，则其标准方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
答案　D
解析　∵等轴双曲线的焦点为(－6，0)，∴c＝6，
∴2a2＝36，a2＝18.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
4.若双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是________.
答案　(±，0)
解析　由渐近线方程为y＝±x＝±x，
得m＝3，c＝，且焦点在x轴上.
5.设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为____.
答案　y＝±x
解析　由条件知2b＝2，2c＝2，
∴b＝1，c＝，a2＝c2－b2＝2，
即a＝，
∴双曲线方程为－y2＝1，
因此其渐近线方程为y＝±x.
双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力.
(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解.
(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.
40分钟课时作业
一、选择题
1.下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是(　　)
A.x2－＝1 B.－y2＝1 C.x2－＝1 D.－y2＝1
答案　A
解析　由双曲线性质知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±2x，故选A.
2.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围是(　　)
A.(－2，2) B.(－1，1) C.(0，2) D.(－2，0)
答案　A
解析　易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－23.直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是(　　)
A.(1，2) B.(－2，－1) C.(－1，－2) D.(2，1)
答案　C
解析　将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为＝＝－1.故选C.
4.过双曲线x2―y2＝4的右焦点且平行于虚轴的弦长是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　D
解析　设弦与双曲线交点为A，B(A点在B点上方)，由AB⊥x轴且过右焦点，可得A，B两点横坐标为2，代入双曲线方程得A(2，2)，B(2，－2)，故|AB|＝4.
5.已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为(　　)
A.x2－y2＝6 B.x2－y2＝9 C.x2－y2＝16 D.x2－y2＝25
答案　B
解析　设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a>0)，与y＝x联立，得x2＝a2，
∴|AB|＝×a＝2，
∴a＝3，故选B.
6.设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F且斜率为－1的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A、B两点，若＝－3，则双曲线C的离心率e等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　设F(c，0)，则过双曲线：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为－1的直线l的方程为y＝－(x－c)，
而渐近线方程是y＝±x，
由得B(，－)，
由得A(，)，
＝(，－)，
＝(，－)，
由＝－3，
得(，－)＝－3(，－)，
则＝－3·，
即b＝a，
则c＝＝a，
则e＝＝，故选D.
二、填空题
7.过点A(3，－1)且被A点平分的双曲线－y2＝1的弦所在的直线方程是________.
答案　3x＋4y－5＝0
解析　易知所求直线的斜率存在，设为k，设该直线的方程为y＋1＝k(x－3)，代入－y2＝1，消去y得关于x的一元二次方程(1－4k2)x2＋(24k2＋8k)x－36k2－24k－8＝0，
∴－＝6，∴k＝－，
∴所求直线方程为3x＋4y－5＝0.
8.已知(2，0)是双曲线x2－＝1(b>0)的一个焦点，则b＝________.
答案　
解析　由题意知c＝2，a＝1，由c2＝a2＋b2，得b2＝4－1＝3，所以b＝.
9.已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0，6).当△APF周长最小时，该三角形的面积为________.
答案　12
解析　设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，
∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF周长最小即为|AP|＋|PF1|最小，当A、P、F1在一条直线上时最小，过AF1的直线方程为＋＝1.与x2－＝1联立，解得P点坐标为(－2，2)，此时S＝＝12.
10.已知双曲线－＝1(b>0)的离心率为2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为________.
答案　2
解析　由双曲线方程知a＝2，又e＝＝2，所以c＝4，
所以b＝＝＝2.
所以双曲线的一条渐近线方程为y＝x＝x，一个焦点为F(4，0).
焦点F到渐近线y＝x的距离d＝＝2.
三、解答题
11.已知双曲线的中心为坐标原点，右顶点为A(1，0)，点P在双曲线的右支上，点M(m，0)到直线AP的距离为1.若直线AP的斜率为k，且|k|∈[，]，求实数m的取值范围.
解　由条件得直线AP的方程为y＝k(x－1)，
即kx－y－k＝0.
因为点M到直线AP的距离为1，即＝1，
所以|m－1|＝＝.
因为|k|∈[，]，所以≤|m－1|≤2，
解得＋1≤m≤3或－1≤m≤1－，
所以实数m的取值范围是[－1，1－]∪[1＋，3].
12.设双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，离心率为2.
(1)求此双曲线的渐近线l1，l2的方程.
(2)若A，B分别为l1，l2上的点，且2|AB|＝5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解　(1)∵e＝2，∴c2＝4a2.
∵c2＝a2＋3，∴a＝1，c＝2.
∴双曲线方程为y2－＝1，渐近线方程为y＝±x.
∴l1的方程为y＝x，l2的方程为y＝－x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x，y).
∵2|AB|＝5|F1F2|＝5×2c＝20，∴|AB|＝10，
∴＝10，
即(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝100.
∵y1＝x1，y2＝－x2，x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，
∴y1＋y2＝(x1－x2)，y1－y2＝(x1＋x2)，
∴y＝(x1－x2)，y1－y2＝x，
代入(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝100，
得3×(2y)2＋(2x)2＝100，整理得＋＝1.
13.已知直线l：x＋y＝1与双曲线C：－y2＝1(a>0).
(1)若a＝，求l与C相交所得的弦长.
(2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围.
解　(1)当a＝时，双曲线C的方程为4x2－y2＝1，
联立消去y，得3x2＋2x－2＝0.
设两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
于是|AB|＝＝
＝·＝×＝.
(2)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，
所以解得0又双曲线的离心率e＝＝，
所以e>且e≠，
即离心率e的取值范围是∪(，＋∞).
2.4.1　抛物线及其标准方程
学习目标　1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导. 3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题.
知识点一　抛物线的定义
思考1　平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？
答案　连接两定点所得线段的垂直平分线.
思考2　平面内，到两个确定平行直线l1，l2距离相等的点的轨迹是什么？
答案　一条直线.
思考3　到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是什么？
答案　抛物线.
梳理　(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1).
知识点二　抛物线的标准方程
思考　抛物线的标准方程有何特点？
答案　(1)以方程的解为坐标的点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于.
梳理　由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：
y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0).
现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
(，0)
x＝－
y2＝－2px(p>0)
(－，0)
x＝
x2＝2py(p>0)
(0，)
y＝－
x2＝－2py(p>0)
(0，－)
y＝
类型一　抛物线的定义及理解
例1　(1)动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上都不对
(2)已知点P(x，y)在以原点为圆心的单位圆x2＋y2＝1上运动，则点Q(x＋y，xy)的轨迹所在的曲线是________.(在圆、抛物线、椭圆、双曲线中选择一个作答)
答案　(1)C　(2)抛物线
解析　(1)把方程5＝|3x＋4y－12|转化为＝，
设动点M(x，y)，上式可看作动点M到原点的距离等于动点M到直线3x＋4y－12＝0的距离，所以动点M的轨迹是以原点为焦点，以直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线.
(2)设动点Q(x′，y′)，则有x′＝x＋y， y′＝xy，又有x2＋y2＝1，即(x＋y)2－2xy＝1，所以x′2－2y′＝1，故Q(x＋y，xy)的轨迹所在的曲线是抛物线.
反思与感悟　抛物线的判断方法
(1)可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离.
(2)求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程.
跟踪训练1　平面上动点P到定点F(1，0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程.
解　方法一　设点P的坐标为(x，y)，
则有＝|x|＋1，
两边平方并化简得y2＝2x＋2|x|.
∴y2＝
即点P的轨迹方程为y2＝
方法二　由题意，动点P到定点F(1，0)的距离比到y轴的距离大1，
由于点F(1，0)到y轴的距离为1，
故当x<0时，直线y＝0上的点适合条件；
当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1，0)与到直线x＝－1的距离相等，
故点P的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线，
方程为y2＝4x.
故所求动点P的轨迹方程为y2＝
类型二　抛物线标准方程及求解
命题角度1　抛物线的焦点坐标或准线方程的求解
例2　抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　)
A. B. C.1 D.
答案　B
解析　因为抛物线的焦点坐标为(1，0)，而双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以所求距离为.
反思与感悟　根据抛物线方程求准线方程或焦点坐标时，应先把抛物线的方程化为标准方程，即等式左端是二次项且系数是1，等式右端是一次项，这样才能准确写出抛物线的准线方程.
跟踪训练2　(1)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1，0)，则p＝_____；准线方程为_____.
答案　2　x＝－1
解析　因为抛物线的焦点坐标为(1，0)，
所以＝1，p＝2，准线方程为x＝－＝－1.
(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
①y2＝40x；②4x2＝y；③3y2＝5x；④6y2＋11x＝0.
解　①焦点坐标为(10，0)，准线方程为x＝－10.
②由4x2＝y得x2＝y.∵2p＝，∴p＝.
∴焦点坐标为(0，)，准线方程为y＝－.
③由3y2＝5x，得y2＝x.∵2p＝，∴p＝.
∴焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－.
④由6y2＋11x＝0，得y2＝－x，故焦点坐标为(－，0)，准线方程为y＝.
命题角度2　求解抛物线的标准方程
例3　根据下列条件分别求抛物线的标准方程.
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.
解　(1)双曲线方程可化为－＝1，
左顶点为(－3，0)，
由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且＝－3，
∴p＝6，∴抛物线的方程为y2＝－12x.
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，
由抛物线定义得5＝|AF|＝.
又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
反思与感悟　抛物线标准方程的求法
(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程.
(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值.
跟踪训练3　已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程.
解　设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
则焦点F，由题意，
得
解得或
故所求的抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2.
抛物线的焦点坐标为(－2，0)，准线方程为x＝2.
类型三　抛物线在实际生活中的应用
例4　河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m、高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
解　如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航.
反思与感悟　涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.
跟踪训练4　喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？
解　如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
因为点C(5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p·(－5)，因此2p＝5，
所以抛物线的方程为x2＝－5y，点A(－4，y0)在抛物线上，
所以16＝－5y0，即y0＝－，
所以OA的长为5－＝1.8(m).
所以管柱OA的长为1.8 m.
1.抛物线y＝x2的准线方程是(　　)
A.y＝－1 B.y＝－2 C.x＝－1 D.x＝－2
答案　A
解析　由y＝x2，得x2＝4y，则抛物线的焦点在y轴正半轴上，且2p＝4，即p＝2，因此准线方程为y＝－＝－1.
2.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为(　　)
A.4 B.－2 C.4或－4 D.12或－2
答案　C
解析　由题可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，由定义知点P到准线的距离为4，
故＋2＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将点P的坐标代入x2＝－8y，得m＝±4.
3.若抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝________.
答案　2
解析　因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离，所以抛物线上的动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即＝1，p＝2.
4.若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________.
答案　2
解析　抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－，
所以抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点F1(－，0)，
所以－＝－，解得p＝2.
5.已知M为抛物线y2＝4x上一动点，F为抛物线的焦点，定点N(2，3)，则|MN|＋|MF|的最小值为________.
答案　
解析　将x＝2代入抛物线方程，得y＝±2.
∵3>2，∴点N在抛物线的外部.
|MN|＋|MF|≥|NF|，而易得F(1，0)，则|NF|＝＝，
∴|MN|＋|MF|≥，当N，M，F三点共线时有最小值，最小值为.
1.焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx(m≠0)，此时焦点为F(，0)，准线方程为x＝－；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my(m≠0)，此时焦点为F(0，)，准线方程为y＝－.
2.设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径.若M(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|＝x0＋.
3.对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题.
40分钟课时作业
一、选择题
1.对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是(　　)
A.开口向上，焦点为(0，1)
B.开口向上，焦点为
C.开口向右，焦点为(1，0)
D.开口向右，焦点为
答案　B
解析　由y＝4x2得x2＝y，∴开口向上，焦点坐标为.
2.已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为(　　)
A.(－1，0) B.(1，0) C.(0，－1) D.(0，1)
答案　B
解析　抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，由题设知－＝－1，即p＝2，故焦点坐标为.故选B.
3.已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为(　　)
A. B.1 C.2 D.4
答案　C
解析　抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，它与圆相切，所以必有3－＝4，p＝2.
4.已知抛物线C1：y＝2x2与抛物线C2关于直线y＝x对称，则C2的准线方程是(　　)
A.x＝ B.x＝ C.x＝－ D.x＝－
答案　C
解析　y＝2x2关于y＝x对称的曲线为抛物线y2＝x，其准线方程为x＝－.
5.若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值是(　　)
A.－1 B.－1 C.2 D.－1
答案　D
解析　设圆(x－3)2＋y2＝1的圆心为O′(3，0)，
要求|PQ|的最小值，只需求|PO′|的最小值.
设点P坐标为(y，y0)，
则|PO′|＝＝＝，
∴|PO′|的最小值为，
从而|PQ|的最小值为－1.故选D.
6.已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是(　　)
A. B. C. D.25
答案　A
解析　抛物线的焦点F坐标为(2，0)，直线l的方程为y＝(x－2).
由得B点的坐标为(，－2).
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝2＋8＋2＋＝.
∴AB的中点到准线的距离为.
二、填空题
7.以坐标原点为顶点，(－1，0)为焦点的抛物线的方程为____________________.
答案　y2＝－4x
解析　由题意可设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)，
则有－＝－1，得p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝－4x.
8.以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________.
答案　y2＝16x
解析　∵双曲线的方程为－＝1，∴右顶点为(4，0).
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，
则＝4，即p＝8，∴抛物线的标准方程为y2＝16x.
9.已知抛物线y2＝2x上一点P(m，2)，则m＝________，点P到抛物线的焦点F的距离为________.
答案　2　
解析　将(m，2)代入抛物线中得4＝2m，
得m＝2，
由抛物线的定义可知点P到抛物线的焦点F的距离为2＋＝.
10.设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2).若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为________.
答案　
解析　如图所示，由已知，得点B的纵坐标为1，横坐标为，即B(，1).将其代入y2＝2px，得1＝2p×，解得p＝，故点B到准线的距离为＋＝p＝.
三、解答题
11.已知抛物线的顶点在原点，它的准线过－＝1的一个焦点，而且与x轴垂直.又抛物线与此双曲线交于点，求抛物线和双曲线的方程.
解　因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，将点代入方程得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.准线方程为x＝－1，由此可知双曲线方程中c＝1，焦点为(－1，0)，(1，0)，点到两焦点距离之差2a＝1，所以双曲线的标准方程为－＝1.
12.某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如图所示，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米.现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部分中央船体高5米，宽16米，且该货船在现在状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米，若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？请说明理由.
解　如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为y＝ax2，
则A(10，－2)在抛物线上，即－2＝(10)2a，
∴a＝－，即抛物线的方程为y＝－x2.
让货船沿正中央航行，船宽16米，
而当x＝8时，y＝－×82＝－1.28(米).
又船体在x＝±8之间通过，即B(8，－1.28)，
此时B点离水面高度为6＋(－1.28)＝4.72(米)，
而船体水面高度为5米，所以无法直接通过.
又5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，
而150×7＝1 050(吨)，又1 050>1 000，
所以用多装货物的方法也无法通过，只好等待水位下降.
13.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6，0)，求抛物线的方程.
解　设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)， 则其准线方程为x＝－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵|AF|＋|BF|＝8，
∴x1＋＋x2＋＝8，
即x1＋x2＝8－p.
∵Q(6，0)在线段AB的中垂线上， ∴|QA|＝|QB|，
即＝，
又y＝2px1，y＝2px2，
∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.
∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2.
故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，
即p＝4.
从而抛物线方程为y2＝8x.
2.4.2　抛物线的简单几何性质
学习目标　1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.
知识点一　抛物线的范围
思考　观察下列图形，思考以下问题：
(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？
(2)根据图形及抛物线方程y2＝2px(p>0)如何确定横坐标x的范围？
答案　(1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心.
(2)由抛物线y2＝2px(p>0)有所以x≥0.所以抛物线x的范围为x≥0.抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
梳理　抛物线y2＝2px(p>0)中，x∈[0，＋∞)，y∈(－∞，＋∞).
抛物线y2＝－2px(p>0)中，x∈(－∞，0]，y∈(－∞，＋∞).
抛物线x2＝2py(p>0)中，x∈(－∞，＋∞)，y∈[0，＋∞).
抛物线x2＝－2py(p>0)中，x∈(－∞，＋∞)，y∈(－∞，0].
知识点二　四种形式的抛物线的几何性质
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点
F(，0)
F(－，0)
F(0，)
F(0，－)
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
顶点坐标
O(0，0)
离心率
e＝1
通径长
2p
知识点三　直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数.
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线没有公共点.
当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点.
类型一　依据抛物线的几何性质求标准方程
例1　抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程.
解　椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，
∴抛物线的对称轴为x轴，
∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3，∴p＝6.
∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，
其准线方程分别为x＝－3或x＝3.
引申探究
将本例改为“若抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4”，求此抛物线的标准方程.
解　由题意，设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，
焦点F(，0)，直线l：x＝，
所以A，B两点坐标为(，m)，(，－m)，
所以|AB|＝2|m|.
因为△OAB的面积为4，
所以·||·2|m|＝4，所以m＝±2.
所以抛物线的标准方程为y2＝±4x.
反思与感悟　用待定系数法求抛物线方程的步骤
跟踪训练1　已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2，求抛物线方程.
解　由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上.
故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).
设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2).
∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，
∴点A与B关于x轴对称，
∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2，
∴|y1|＝|y2|＝，代入圆x2＋y2＝4，
得x2＋3＝4，∴x＝±1，
∴A(±1，)或A(±1，－)，代入抛物线方程，
得()2＝±a，∴a＝±3.
∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x.
类型二　抛物线的焦半径和焦点弦问题
例2　(1)过抛物线y2＝8x的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为________.
(2) 直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为________________.
(3)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________________.
答案　(1)16　(2)x＋y－1＝0或x－y－1＝0　(3)
解析　(1)由抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，得直线的方程为y＝x－2，代入y2＝8x得(x－2)2＝8x即x2－12x＋4＝0.所以x1＋x2＝12，弦长为x1＋x2＋p＝12＋4＝16.
(2)∵抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，
若l与x轴垂直，则|AB|＝4，不符合题意，
∴可设所求直线l的方程为y＝k(x－1).
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
则由根与系数的关系，得x1＋x2＝.
又AB过焦点，由抛物线的定义可知|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，
∴＝6，解得k＝±1.∴所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
(3)抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为，又准线方程为x＝－1，因此点M到抛物线准线的距离为 ＋1＝.
反思与感悟　(1)抛物线上任一点P(x0，y0)与焦点F的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为：
①抛物线y2＝2px(p>0)，|PF|＝|x0＋|＝＋x0；
②抛物线y2＝－2px(p>0)，|PF|＝|x0－|＝－x0；
③抛物线x2＝2py(p>0)，|PF|＝|y0＋|＝＋y0；
④抛物线x2＝－2py(p>0)，|PF|＝|y0－|＝－y0.
(2)已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
①y1·y2＝－p2，x1·x2＝；
②|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)；
③S△ABO＝(θ为直线AB的倾斜角)；
④＋＝；
⑤以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
(3)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.
跟踪训练2　已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.
解　(1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝.
又F，所以直线l的方程为y＝.
联立消去y得x2－5x＋＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，
所以x1＋x2＝6.于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－，
所以M到准线的距离等于3＋＝.
类型三　抛物线综合问题
命题角度1　与抛物线有关的最值问题
例3　抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A(－1，0)，求的最小值.
解　抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
如图，过点P作PN垂直x＝－1于点N，
由抛物线的定义可知|PF|＝|PN|，
连接PA，在Rt△PAN中，sin∠PAN＝，
当＝最小时，sin∠PAN最小，
即∠PAN最小，即∠PAF最大，
此时，PA为抛物线的切线，
设PA的方程为y＝k(x＋1)，联立
得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，
所以Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0，
解得k＝±1，
所以∠PAF＝∠NPA＝45°，＝＝cos∠NPA＝.
反思与感悟　(1)若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点.
(2)以上问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决.
跟踪训练3　已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)
A.2 B.3 C. D.
答案　A
解析　由题意知，直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线.由抛物线的定义知，点P到直线l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1，0)的距离.故所求最值可转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得点P到点F(1，0)和到直线l1的距离之和最小，最小值为F(1，0)到直线 l1：4x－3y＋6＝0的距离，即d＝＝2.
命题角度2　定值或定点问题
例4　抛物线y2＝2px(p>0)上有两动点A，B及一个定点M，F为抛物线的焦点，若|AF|，|MF|，|BF|成等差数列.
(1)求证：线段AB的垂直平分线过定点Q.
(2)若|MF|＝4，|OQ|＝6(O为坐标原点)，求抛物线的方程.
(1)证明　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
则|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，|MF|＝x0＋，x0为已知值.
由题意得x0＝，
∴线段AB的中点坐标可设为(x0，t)，
其中t＝≠0(否则|AF|＝|MF|＝|BF|?p＝0).
而kAB＝＝＝＝，
故线段AB的垂直平分线的方程为y－t＝－(x－x0)，
即t(x－x0－p)＋yp＝0，可知线段AB的垂直平分线过定点Q(x0＋p，0).
(2)解　由(1)知|MF|＝4，|OQ|＝6，得x0＋＝4，x0＋p＝6，联立解得p＝4，x0＝2.
∴抛物线方程为y2＝8x.
反思与感悟　在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数关系的利用、焦半径的转化等.
跟踪训练4　在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点，·＝－4，求证：直线l必过一定点.
证明　设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，
消去x得y2－4ty－4b＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.
又∵·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，
又∵·＝－4，∴b2－4b＝－4，
解得b＝2，故直线过定点(2，0).
1.已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)
A.－ B.－1 C.－ D.－
答案　C
解析　因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，且点A(－2，3)在准线上，故－＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为(2，0)，这时直线AF的斜率kAF＝＝－.
2.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　)
A. B.3 C. D.
答案　A
解析　抛物线y2＝2x的焦点为F(，0)，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0，2)的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0，2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形(图略)不难得出相应的最小值等于焦点F到点(0，2)的距离，因此所求距离之和的最小值为＝.
3.过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|＝________.
答案　8
解析　易知抛物线的准线方程为x＝－1，则线段AB的中点到准线的距离为3－(－1)＝4.由抛物线的定义易得|AB|＝8.
4.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
答案　2
解析　设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
易知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，
且倾斜角为45°的直线的方程为y＝x－，
把x＝y＋代入y2＝2px，得y2－2py－p2＝0，
∴y1＋y2＝2p，y1y2＝－p2.
∵|AB|＝8，∴|y1－y2|＝4，
∴(y1＋y2)2－4y1y2＝(4)2，
即(2p)2－4×(－p2)＝32.
又p>0，∴p＝2.
5.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为________.
答案　8
解析　易知F(2，0)，K(－2，0)，过点A作AM垂直准线于点M，则|AM|＝|AF|，
∴|AK|＝|AM|，∴△AMK为等腰直角三角形.
设A(m2，2m)(m>0)，
则△AFK的面积S＝4×2m×＝4m.
又由|AK|＝|AM|，得(m2＋2)2＋8m2＝2(m2＋2)2，
解得m＝，∴△AFK的面积S＝4m＝8.
1.抛物线的中点弦问题用点差法较简便.
2.轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系.
3.在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化.
40分钟课时作业
一、选择题
1.已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为(　　)
A.2 B.1 C. D.
答案　A
解析　曲线的标准方程为(x－2)2＋y2＝9，其表示圆心为(2，0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x＝－，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋＝3，解得p＝2.
2.抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p的值为(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
答案　D
解析　∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.
∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6.
又圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，
∴＋＝6，∴p＝8.
3.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是(　　)
A. B. C. D.3
答案　A
解析　设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为，当m＝时，取得最小值为.
4.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其上的三个点A，B，C的横坐标之比为3∶4∶5，则以|FA|，|FB|，|FC|为边长的三角形(　　)
A.不存在 B.必是锐角三角形
C.必是钝角三角形 D.必是直角三角形
答案　B
解析　设A，B，C三点的横坐标分别为x1，x2，x3，x1＝3k，x2＝4k，x3＝5k(k>0)，由抛物线定义得|FA|＝＋3k，|FB|＝＋4k，|FC|＝＋5k，易知三者能构成三角形，|FC|所对角为最大角，由余弦定理可证该角的余弦值为正数，故该三角形必是锐角三角形.
5.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是(　　)
A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2
答案　B
解析　因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.
由方程组
得或
所以易得A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，－2p).
所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.
6.已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.0
答案　B
解析　因为点(x，y)在抛物线y2＝4x上，所以x≥0，
因为z＝x2＋y2＋3＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，
所以当x＝0时，z最小，其值为3.
二、填空题
7.当x>1时，直线y＝ax－a恒在抛物线y＝x2的下方，则a的取值范围是________.
答案　(－∞，4)
解析　由题可知，联立整理可得x2－ax＋a＝0，当Δ＝a2－4a＝0时，
解得a＝0或a＝4，此时直线与抛物线相切.因为直线恒过定点(1，0)，
所以结合图形(图略)可知a∈(－∞，4).
8.已知抛物线y2＝8x，过动点M(a，0)，且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若|AB|≤8，则实数a的取值范围是________.
答案　(－2，－1]
解析　将l的方程y＝x－a代入y2＝8x，
得x2－2(a＋4)x＋a2＝0，
则Δ＝4(a＋4)2－4a2>0，∴a>－2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2(a＋4)，x1x2＝a2，
∴|AB|＝＝≤8，
即≤1.又|AB|>0，∴－29.已知直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且与抛物线相交，其中一交点为(2p，2p)，则其焦点弦的长度为________.
答案　
解析　由题意知直线l过(，0)和(2p，2p)，
所以l：y＝(x－).
联立整理得8x2－17px＋2p2＝0.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝，
所以焦点弦的长度为x1＋x2＋p＝.
10.已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________.
答案　y2＝4x
解析　设抛物线方程为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，得x2－kx＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝k.
又∵P(2，2)为AB的中点，∴＝2.
∴k＝4.∴y2＝4x.
三、解答题
11.已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线截直线x－2y－1＝0所得的弦长为，求此抛物线的方程.
解　设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，
由方程组消去y，得2x2－ax＋a＝0.
∵直线与抛物线有两个交点，
∴Δ＝(－a)2－4×2×a>0，即a<0或a>8.
设两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝＝＝.
∵|AB|＝，∴＝，
即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12，
∴所求抛物线的方程为x2＝－4y或x2＝12y.
12.已知过点A(－4，0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py (p>0)相交于B，C两点.当直线l的斜率是时，＝4.
(1)求抛物线G的方程；
(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围.
解　(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
由题意知直线l的方程为x＝2y－4.
由得2y2－(8＋p)y＋8＝0，
∴
又∵＝4，
∴y2＝4y1， ③
由①，②，③及p>0
得y1＝1，y2＝4，p＝2，
则抛物线G的方程为x2＝4y.
(2)设l：y＝k(x＋4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，
由
得x2－4kx－16k＝0， ④
∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.
∴线段BC的中垂线方程为y－2k2－4k＝－(x－2k)，
∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，
对于方程④，
由Δ＝16k2＋64k>0，得k>0或k<－4.
∴b∈(2，＋∞).
13.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则称AB为抛物线的焦点弦.
求证：(1)y1y2＝－p2；x1x2＝；
(2)＋＝；
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
证明　(1)如图所示.
抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，准线方程：x＝－.
设直线AB的方程为x＝ky＋，把它代入y2＝2px，
化简，得y2－2pky－p2＝0.∴y1y2＝－p2，
∴x1x2＝·＝＝＝.
(2)根据抛物线定义知
|FA|＝|AA1|＝x1＋，|FB|＝|BB1|＝x2＋，
∴＋＝＋＝＋＝
＝＝＝.
(3)设AB中点为C(x0，y0)，过A，B，C分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，C1.
则|CC1|＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.
∴以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
第二章 圆锥曲线与方程
1　利用椭圆的定义解题
椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质.有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明.
1.求最值
例1　线段|AB|＝4，|PA|＋|PB|＝6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是(　　)
A.2 B. C. D.5
解析　由于|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为原点，A、B为焦点的椭圆，且a＝3，c＝2，∴b＝＝.于是PM的长度的最小值是b＝.
答案　C
2.求动点坐标
例2　椭圆＋＝1上到两个焦点F1，F2的距离之积最大的点的坐标是________.
解析　设椭圆上的动点为P，由椭圆的定义可知
|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
所以|PF1|·|PF2|≤2＝2＝25，
当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号.
由解得|PF1|＝|PF2|＝5＝a，
此时点P恰好是椭圆短轴的两端点，
即所求点的坐标为(±3，0).
答案　(±3，0)
点评　由椭圆的定义可得“|PF1|＋|PF2|＝10”，即两个正数|PF1|，|PF2|的和为定值，结合基本不等式可求|PF1|，|PF2|积的最大值，结合图形可得所求点P的坐标.
3.求焦点三角形面积
例3　如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积.
解　由已知，得a＝2，b＝，
所以c＝＝1，|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|， ①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|. ②
将②代入①，得|PF1|＝.
所以＝|PF1|·|F1F2|·sin 120°＝××2×＝，
即△PF1F2的面积是.
点评　在△PF1F2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于|PF1|，|PF2|的方程组，消去|PF2|可求|PF1|.
从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解.
2　如何求椭圆的离心率
1.由椭圆的定义求离心率
例1　以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________.
解析　如图所示，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c，由题意知∠F1AF2＝90°，∠AF2F1＝60°.
∴|AF2|＝c，|AF1|＝2c·sin 60°＝c.
∴|AF1|＋|AF2|＝2a＝(＋1)c.
∴e＝＝＝－1.
答案　－1
点评　本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决.
2.解方程(组)求离心率
例2　椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－c，0)，A(－a，0)、B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，则椭圆的离心率e＝________.
解析　如图所示，直线AB的方程为＋＝1，
即bx－ay＋ab＝0.
∵点F1(－c，0)到直线AB的距离为，∴＝，
∴|a－c|＝，即7a2－14ac＋7c2＝a2＋b2.
又∵b2＝a2－c2，整理，得5a2－14ac＋8c2＝0.
两边同除以a2并由e＝知，8e2－14e＋5＝0，
解得e＝或e＝(舍去).
答案　
3.利用数形结合求离心率
例3　在平面直角坐标系中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，圆O的半径为a，过点P作圆O的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率e＝________.
解析　如图所示，切线PA、PB互相垂直，PA＝PB.
又OA⊥PA，OB⊥PB，OA＝OB，
则四边形OAPB是正方形，
故OP＝OA，
即＝a，∴e＝＝.
答案　
4.综合类
例4　设M为椭圆＋＝1上一点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，如果∠MF1F2＝75°，∠MF2F1＝15°，求椭圆的离心率.
解　由正弦定理得＝＝＝＝，
∴e＝＝＝＝.
点评　此题可推广为若∠MF1F2＝α，∠MF2F1＝β，则椭圆的离心率e＝.
3　活用双曲线定义妙解题
在解双曲线中的有关求动点轨迹、离心率、最值等问题时，若能灵活应用双曲线的定义，能把大题化为小题，起到事半功倍的作用.下面举例说明.
1.求动点轨迹
例1　一动圆C与两定圆C1：x2＋(y－5)2＝1和圆C2：x2＋(y＋5)2＝16都外切，求动圆圆心C的轨迹方程.
解　设动圆圆心为C(x，y)，半径为r，
因为动圆C与两定圆相外切，
所以
即|CC2|－|CC1|＝3<|C1C2|＝10，
所以点C的轨迹是以C1(0，5)，C2(0，－5)为焦点的双曲线的上支，且a＝，c＝5，
所以b2＝.
故动圆圆心C的轨迹方程为－＝1(y≥).
点评　依据动圆与两定圆外切建立关系式，易得到|CC2|－|CC1|＝3<|C1C2|，从而判断出C的轨迹是双曲线的一支，最后求出a，b即可写出轨迹方程，这里一定要注意所求的轨迹是双曲线的一支还是两支.
2.求焦点三角形的周长
例2　过双曲线－＝1左焦点F1的直线与左支交于A、B两点，且弦AB长为6，则△ABF2(F2为右焦点)的周长是________.
解析　由双曲线的定义知|AF2|－|AF1|＝8，|BF2|－|BF1|＝8，
两式相加得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝|AF2|＋|BF2|－|AB|＝16，
从而有|AF2|＋|BF2|＝16＋6＝22，
所以△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝22＋6＝28.
答案　28
点评　与焦点有关的三角形周长问题，常借助双曲线的定义解决，注意解决问题时的拼凑技巧.
3.最值问题
例3　已知F是双曲线－y2＝1的右焦点，P是双曲线右支上一动点，定点M(4，2)，求|PM|＋|PF|的最小值.
解　设双曲线的左焦点为F′，
则F′(－2，0)，
由双曲线的定义知：|PF′|－|PF|＝2a＝2，
所以|PF|＝|PF′|－2，
所以|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PF′|－2，
要使|PM|＋|PF|取得最小值，只需|PM|＋|PF′|取得最小值，由图可知，当P、F′、M三点共线时，|PM|＋|PF′|最小，此时|MF′|＝2，
故|PM|＋|PF|的最小值为2－2.
点评　本题利用双曲线的定义对F的位置进行转换，然后再根据共线易求得最小值.另外同学们不妨思考一下：(1)若将M坐标改为M(1，1)，其他条件不变，如何求解呢？(2)若P是双曲线左支上一动点，如何求解呢？
4.求离心率范围
例4　已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，试求该双曲线离心率的取值范围.
解　因为|PF1|＝4|PF2|，点P在双曲线的右支上，
所以设|PF2|＝m，则|PF1|＝4m，
由双曲线的定义，则|PF1|－|PF2|＝4m－m＝2a，
所以m＝a.
又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，
即4m＋m≥2c，
所以m≥c，即a≥c，所以e＝≤.
又e>1，所以双曲线离心率的取值范围为1点评　本题利用双曲线的定义及三角形的两边之和与第三边之间的关系建立了关于双曲线基本量a，c的不等关系，使问题得以巧妙地转化、获解.
4　抛物线的焦点弦
例1　如图所示，AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，过A、M、B分别向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为A1、M1、B1，则有以下重要结论：
(1)以AB为直径的圆必与准线相切；
(2)|AB|＝2(x0＋)(焦点弦长与中点坐标的关系)；
(3)|AB|＝x1＋x2＋p；
(4)A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值，即x1x2＝，y1y2＝－p2；
(5)A1F⊥B1F；
(6)A、O、B1三点共线；
(7)＋＝.
以下以第(7)条结论为例证明：
证明　当直线AB的斜率不存在，
即与x轴垂直时，|FA|＝|FB|＝p，
∴＋＝＋＝.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k，并代入y2＝2px，
∴2＝2px，
即k2x2－p(2＋k2)x＋＝0.
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
则xA＋xB＝，xAxB＝.
∵|FA|＝xA＋，|FB|＝xB＋，
∴|FA|＋|FB|＝xA＋xB＋p，
|FA|·|FB|＝＝xAxB＋(xA＋xB)＋＝(xA＋xB＋p).
∴|FA|＋|FB|＝|FA|·|FB|·，
即＋＝.
点评　该结论是抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质，解题时，不可忽视AB⊥x轴的情况.
例2　设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则 ||＋||＋||＝________.
解析　设A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，又F(1，0).
由＋＋＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，
即x1＋x2＋x3＝3，
||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝6.
答案　6
5　求曲线方程的常用方法
曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考点.求曲线方程时，应根据曲线的不同背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法，才能简捷明快地解决问题.下面对其求法进行探究.
1.定义法
求曲线方程时，如果动点轨迹满足已知曲线的定义，则可根据题设条件和图形的特点，恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系，再由曲线定义直接写出方程，这种方法叫做定义法.
例1　如图，点A为圆形纸片内不同于圆心C的定点，动点M在圆周上，将纸片折起，使点M与点A重合，设折痕m交线段CM于点N.现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy中，设圆C：(x＋1)2＋y2＝4a2 (a>1)，A(1，0)，记点N的轨迹为曲线E.
(1)证明曲线E是椭圆，并写出当a＝2时该椭圆的标准方程；
(2)设直线l过点C和椭圆E的上顶点B，点A关于直线l的对称点为点Q，若椭圆E的离心率e∈，求点Q的纵坐标的取值范围.
解　(1)依题意，直线m为线段AM的垂直平分线，
∴|NA|＝|NM|.
∴|NC|＋|NA|＝|NC|＋|NM|＝|CM|＝2a>2，
∴N的轨迹是以C、A为焦点，长轴长为2a，焦距为2的椭圆.
当a＝2时，长轴长为2a＝4，焦距为2c＝2，
∴b2＝a2－c2＝3.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
由(1)知：a2－b2＝1.又C(－1，0)，B(0，b)，
∴直线l的方程为＋＝1，即bx－y＋b＝0.
设Q(x，y)，∵点Q与点A(1，0)关于直线l对称，
∴消去x得y＝.
∵离心率e∈，∴≤e2≤，
即≤≤，∴≤a2≤4.
∴≤b2＋1≤4，即≤b≤，
∵y＝＝≤2，当且仅当b＝1时取等号.
又当b＝时，y＝；当b＝时，y＝.∴≤y≤2.
∴点Q的纵坐标的取值范围是[，2].
2.直接法
若题设条件有明显的等量关系，或者可运用平面几何的知识推导出等量关系，则可通过“建系、设点、列式、化简、检验”五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种“五步法”可称为直接法.
例2　已知直线l1：2x－3y＋2＝0，l2：3x－2y＋3＝0.有一动圆M(圆心和半径都在变动)与l1，l2都相交，并且l1，l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24.求圆心M的轨迹方程.
解　如图，设M(x，y)，圆半径为r，M到l1，l2的距离分别是d1，d2，
则d＋132＝r2，d＋122＝r2，
∴d－d＝25，
即2－2＝25，化简得圆心M的轨迹方程是(x＋1)2－y2＝65.
点评　若动点运动的规律是一些几何量的等量关系，则常用直接法求解，即将这些关系直接转化成含有动点坐标x，y的方程即可.
3.待定系数法
若已知曲线(轨迹)的形状，求曲线(轨迹)的方程时，可由待定系数法求解.
例3　已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA＝，求椭圆的方程.
解　椭圆的长轴长为6，cos∠OFA＝，
所以点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点，
所以|OF|＝c，|AF|＝＝＝a＝3，＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
故椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
4.相关点法(或代入法)
如果点P的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P与点Q的坐标之间可以建立某种关系，借助于点P的运动轨迹便可得到点Q的运动轨迹.
例4　如图所示，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线l：x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程.
分析　设P(x，y)，因为P是QN的中点，为此需用P点的坐标表示Q点的坐标，然后代入双曲线方程即可.
解　设P点坐标为(x，y)，双曲线上点Q的坐标为(x0，y0)，
∵点P是线段QN的中点，
∴N点的坐标为(2x－x0，2y－y0).
又点N在直线x＋y＝2上，∴2x－x0＋2y－y0＝2，
即x0＋y0＝2x＋2y－2. ①
又QN⊥l，∴kQN＝＝1，
即x0－y0＝x－y. ②
由①②，得x0＝(3x＋y－2)，y0＝(x＋3y－2).
又∵点Q在双曲线上，
∴(3x＋y－2)2－(x＋3y－2)2＝1.
化简，得2－2＝.
∴线段QN的中点P的轨迹方程为2－2＝.
点评　本题中动点P与点Q相关，而Q点的轨迹确定，所以解决这类问题的关键是找出P、Q两点坐标间的关系，用相关点法求解.
5.参数法
有时求动点满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点的坐标(x，y)中的x，y分别随另一个变量的变化而变化，我们可以设这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法.
例5　已知点P在直线x＝2上移动，直线l通过原点且与OP垂直，通过点A(1，0)及点P的直线m和直线l交于点Q，求点Q的轨迹方程.
解　如图，设OP的斜率为k，
则P(2，2k).当k≠0时，
直线l的方程：y＝－x； ①
直线m的方程：y＝2k(x－1). ②
联立①②消去k得2x2＋y2－2x＝0 (x≠1).
当k＝0时，点Q的坐标(0，0)也满足上式，故点Q的轨迹方程为2x2＋y2－2x＝0(x≠1).
6　解析几何中的定值与最值问题
1.定点、定值问题
对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口.
例1　已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，＋与a＝(3，－1)共线.设M为椭圆上任意一点，且＝λ＋μ (λ，μ∈R)，求证：λ2＋μ2为定值.
证明　∵M是椭圆上任意一点，若M与A重合，
则＝，此时λ＝1，μ＝0，
∴λ2＋μ2＝1，现在需要证明λ2＋μ2为定值1.
设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为N(x0，y0)，
∴
①－②得＋＝0，
即＝－＝－，
又∵kAB＝＝1，∴y0＝－x0.
∴直线ON的方向向量为＝，
∵∥a，∴＝.
∵a2＝3b2，∴椭圆方程为x2＋3y2＝3b2，
又直线方程为y＝x－c.
联立得4x2－6cx＋3c2－3b2＝0.
∵x1＋x2＝c，x1x2＝＝c2.
又设M(x，y)，则由＝λ＋μ，
得代入椭圆方程整理得
λ2(x＋3y)＋μ2(x＋3y)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2.
又∵x＋3y＝3b2，x＋3y＝3b2，
x1x2＋3y1y2＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2＝c2－c2＋3c2＝0，
∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值.
例2　已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足＝λ1，＝λ2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点.
解　(1)设椭圆的焦距为2c，
由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，
又a2＝b2＋c2，∴a2＝3.∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由题意设P(0，m)，Q(x0，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
设l方程为x＝t(y－m)，
由＝λ1知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)，
∴y1－m＝－y1λ1，由题意y1≠0，∴λ1＝－1.
同理由＝λ2知λ2＝－1.
∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0， ①
联立得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，
∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0， ②
且有y1＋y2＝，y1y2＝， ③
③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，∴(mt)2＝1，
由题意mt<0，∴mt＝－1，满足②，
得l方程为x＝ty＋1，过定点(1，0)，即Q为定点.
2.最值问题
解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值.
例3　已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________.
解析　设右焦点为F′，由题意可知F′坐标为(4，0)，根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝4，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|，∴要使|PF|＋|PA|最小，只需|PF′|＋|PA|最小即可，|PF′|＋|PA|最小需P、F′、A三点共线，最小值即4＋|F′A|＝4＋＝4＋5＝9.
答案　9
点评　“化曲为直”求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法.
例4　已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求·的最小值.
解　设动点P的坐标为(x，y)，
由题意有－|x|＝1.
化简得y2＝2x＋2|x|.
当x≥0时，y2＝4x；当x<0时，y＝0.
所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0 (x<0).
如图，由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1).
由
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是上述方程的两个实根，
于是x1＋x2＝2＋，x1x2＝1.
因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－.
设D(x3，y3)，E(x4，y4)，
则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.
故·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝||·||＋||·||
＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)
＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1
＝1＋＋1＋1＋(2＋4k2)＋1
＝8＋4≥8＋4×2＝16.
当且仅当k2＝，
即k＝±1时，·取得最小值16.
7　圆锥曲线中存在探索型问题
存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱.圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题.本节仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开，帮助复习.
1.常数存在型问题
例1　直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，是否存在这样的实数a，使A，B关于直线y＝2x对称？请说明理由.
分析　先假设实数a存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论.
解　设存在实数a，使A，B关于直线l：y＝2x对称，并设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点坐标为.
依题设有＝2·，即y1＋y2＝2(x1＋x2)， ①
又A，B在直线y＝ax＋1上，∴y1＝ax1＋1，y2＝ax2＋1，
∴y1＋y2＝a(x1＋x2)＋2， ②
由①②，得2(x1＋x2)＝a(x1＋x2)＋2，
即(2－a)(x1＋x2)＝2， ③
联立得(3－a2)x2－2ax－2＝0，
∴x1＋x2＝， ④
把④代入③，得(2－a)·＝2，
解得a＝，经检验符合题意，
∴kAB＝，而kl＝2，
∴kAB·kl＝×2＝3≠－1.
故不存在满足题意的实数a.
2.点存在型问题
例2　在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆与直线y＝x相切于原点O，椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C的方程；
(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
分析　假设满足条件的点Q存在，根据其满足的几何性质，求出Q的坐标，则点Q存在，若求不出Q的坐标，则点Q就不存在.
解　(1)由题意知圆心在y＝－x上，
设圆心的坐标是(－p，p)(p>0)，
则圆的方程可设为(x＋p)2＋(y－p)2＝8，
由于O(0，0)在圆上，∴p2＋p2＝8，解得p＝2，
∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，由椭圆的定义知2a＝10，a＝5，
∴椭圆右焦点为F(4，0).
假设存在异于原点的点Q(m，n)使|QF|＝|OF|，
则有且m2＋n2≠0，
解得故圆C上存在满足条件的点Q.
3.直线存在型问题
例3　试问是否能找到一条斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆＋y2＝1交于两个不同的点M，N，且使M，N到点A(0，1)的距离相等，若存在，试求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.
分析　假设满足条件的直线l存在，由平面解析几何的相关知识求解.
解　设直线l：y＝kx＋m为满足条件的直线，再设P为MN的中点，欲满足条件，只要AP⊥MN即可.
由得(1＋3k2)x2＋6mkx＋3m2－3＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则xP＝＝－，yP＝kxP＋m＝，
∴kAP＝.
∵AP⊥MN，
∴＝－(k≠0)，故m＝－.
由Δ＝36m2k2－4(1＋3k2)(3m2－3)＝9(1＋3k2)(1－k2)>0，得－1故当k∈(－1，0)∪(0，1)时，存在满足条件的直线l.
8　圆锥曲线中的易错点剖析
1.求轨迹方程时，动点坐标设法不当而致误
例1　长为a的线段AB，两端点分别在两坐标轴上移动，求线段AB中点P的轨迹方程.
错解　如图所示，设A(0，y)，B(x，0).由中点坐标公式可得P点坐标为，连接OP，由直角三角形斜边上的中线性质有|OP|＝|AB|＝a.
故2＋2＝2，
即所求的轨迹方程为x2＋y2＝a2.
错因分析　求轨迹方程，即求轨迹上任意一点的坐标所满足的方程，并检验以方程的解为坐标的点是否都是轨迹上的点，因此，应设轨迹上任意一点的坐标为(x，y(.上述解法是因为动点坐标设的不对，即运用方法不当而导致错误.
正解　设中点P(x，y)，A(0，m)，B(n，0)，
则m2＋n2＝a2，x＝，y＝，
于是所求轨迹方程为x2＋y2＝a2.
2.忽视定义中的条件而致误
例2　平面内一点M到两定点F1(0，－4)，F2(0，4)的距离之和为8，则点M的轨迹为(　　)
A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段
错解　根据椭圆的定义，点M的轨迹为椭圆，故选A.
错因分析　在椭圆的定义中，点M到两定点F1，F2的距离之和必须大于两定点的距离，即|MF1|＋|MF2|>|F1F2|，亦即2a>2c.而本题中|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹不是椭圆，而是线段F1F2.
正解　因为点M到两定点F1，F2的距离之和为|F1F2|，所以点M的轨迹是线段F1F2.
答案　D
3.忽视标准方程的特征而致误
例3　设抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程.
错解　抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线方程为y＝－.
又与直线y＝1的距离为3的直线为y＝－2或y＝4.
故－＝－2或－＝4.∴m＝8或m＝－16.
所以抛物线的标准方程为y＝8x2或y＝－16x2.
错因分析　错解忽视了抛物线标准方程中的系数，应位于一次项前这个特征，故本题应先化为x2＝y的形式，再求解.
正解　由于y＝mx2 (m≠0)可化为x2＝y，
其准线方程为y＝－.由题意知－＝－2或－＝4，解得m＝或m＝－.
则所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.
4.涉及弦长问题时，忽视判别式Δ>0这一隐含条件而致误
例4　正方形ABCD的A，B两点在抛物线y＝x2上，另两点C，D在直线y＝x－4上，求正方形的边长.
错解　∵AB与直线y＝x－4平行，∴设AB的直线方程为y＝x＋b，A(x1，x)，B(x2，x)，
则由?x2－x－b＝0，
|AB|2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2(1＋4b).
∵AB与直线y＝x－4间的距离为d＝，
∴2(1＋4b)＝，即b2－8b＋12＝0，
解得b＝2或b＝6，∴|AB|＝3或|AB|＝5.
错因分析　在考虑直线AB与抛物线相交时，必须有方程x2－x－b＝0的判别式Δ>0，以此来限制b的取舍.
正解　∵AB与直线y＝x－4平行，∴设AB的直线方程为y＝x＋b，A(x1，x)，B(x2，x)，
则由?x2－x－b＝0，
|AB|2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2(1＋4b).
∵AB与直线y＝x－4间的距离为d＝，
∴2(1＋4b)＝，即b2－8b＋12＝0，
解得b＝2或b＝6，∵Δ＝1＋4b>0，∴b>－.
∴b＝2或b＝6都满足Δ>0，∴b＝2或b＝6.
∴|AB|＝3或|AB|＝5.
5.求解抛物线标准方程时，忽略对焦点位置讨论致误
例5　抛物线的焦点F在x轴上，点A(m，－3)在抛物线上，且|AF|＝5，求抛物线的标准方程.
错解一　因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，－3)在抛物线上，
所以抛物线方程可设为y2＝2px(p>0).
设点A到准线的距离为d，则d＝|AF|＝＋m，
所以
解得或
所以抛物线方程为y2＝2x或y2＝18x.
错解二　因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，－3)在抛物线上，
所以当m>0时，点A在第四象限，抛物线方程可设为y2＝2px(p>0).
设点A到准线的距离为d，则d＝|AF|＝＋m，
所以解得或
所以抛物线方程为y2＝2x或y2＝18x.
当m<0时，点A在第三象限，
抛物线方程可设为y2＝－2px(p>0)，
设点A到准线的距离为d，则d＝|AF|＝＋m，
所以
解得或(舍去).
所以抛物线方程为y2＝－2(5＋)x.
综上所述，抛物线方程为y2＝－2(5＋)x或y2＝2x或y2＝18x.
正解　因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，－3)在抛物线上，
所以当m>0时，点A在第四象限，抛物线方程可设为y2＝2px(p>0)，设点A到准线的距离为d，
则d＝|AF|＝＋m，所以
解得或
所以抛物线方程为y2＝2x或y2＝18x.
当m<0时，点A在第三象限，抛物线的方程可设为y2＝－2px(p>0)，
设A到准线的距离为d，则d＝|AF|＝－m，
所以解得或
所以抛物线方程为y2＝－2x或y2＝－18x.
综上所述，抛物线方程为y2＝－2x或y2＝－18x或y2＝2x或y2＝18x.
9　圆锥曲线中的数学思想方法
1.方程思想
方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或解方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.本章中，方程思想的应用最为广泛.
例1　已知直线y＝－x＋2和椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，且a＝2b，若|AB|＝2，求椭圆的方程.
解　由消去y并整理得x2－4x＋8－2b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由根与系数的关系得x1＋x2＝4，x1x2＝8－2b2.
∵|AB|＝2，∴·＝2，
即·＝2，
解得b2＝4，故a2＝4b2＝16.∴所求椭圆的方程为＋＝1.
2.函数思想
很多与圆锥曲线有关的问题中的各个数量在运动变化时，都是相互联系、相互制约的，它们之间构成函数关系.这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路，会有很好的效果.一些最值问题常用函数思想，运用根与系数的关系求弦的中点和弦长问题，是经常使用的方法.
例2　若点(x，y)在＋＝1(b>0)上运动，求x2＋2y的最大值.
解　∵＋＝1(b>0)，∴x2＝4≥0，
即－b≤y≤b.∴x2＋2y＝4＋2y＝－＋2y＋4＝－2＋4＋.
当≤b，即0b，即b>4时，若y＝b，则x2＋2y取得最大值，其最大值为2b.
综上所述，x2＋2y的最大值为
3.转化和化归思想
在解决圆锥曲线的综合问题时，经常利用转化和化归思想.转化题中的已知条件和所求，真正化归为直线和圆锥曲线的基本问题.这里的转化和化归非常关键，没有转化和化归，就很难找到解决问题的途径和方法.
例3　如图所示，已知椭圆＋＝1，直线l：x＝12，P是l上任意一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在线段OP上，且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上运动时，求点Q的轨迹方程.
解　设P(12，yP)，R(xR，yR)，Q(x，y)，∠POx＝α.
∵|OR|2＝|OQ|·|OP|，∴2＝·.
由题意知xR>0，x>0，∴x＝x·12. ①
又∵O，Q，R三点共线，∴kOQ＝kOR，即＝. ②
由①②得y＝. ③
∵点R(xR，yR)在椭圆＋＝1上，∴＋＝1. ④
由①③④得2(x－1)2＋3y2＝2(x>0)，
∴点Q的轨迹方程是2(x－1)2＋3y2＝2(x>0).
4.分类讨论思想
本章中，涉及的字母参数较多，同时圆锥曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以必须要注意分类讨论.
例4　求与双曲线－y2＝1有共同的渐近线且焦距为10的双曲线的方程.
分析　由题意可设所求双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)，将λ分为λ>0，λ<0两种情况进行讨论.
解　由题意可设所求双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)，
即－＝1(λ≠0).
当λ>0时，c2＝4λ＋λ＝5λ＝25，即λ＝5，
∴所求双曲线的方程为－＝1.
当λ<0时，c2＝(－4λ)＋(－λ)＝－5λ＝25，即λ＝－5，
∴所求双曲线的方程为－＝1.
综上所述，所求双曲线的方程为－＝1或－＝1.
5.数形结合思想
利用数形结合思想，可以解决某些最值、轨迹、参数范围等问题.
例5　在△ABC中，BC边固定，顶点A在移动，设|BC|＝m，当三个角满足条件|sin C－sin B|＝|sin A|时，求顶点A的轨迹方程.
解　以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，如图所示.
则B，C.
设点A坐标(x，y)，由题设，
得|sin C－sin B|＝|sin A|.
根据正弦定理，得||AB|－|AC||＝.
可知点A在以B、C为焦点的双曲线上.
2a＝，∴a＝.
又c＝，∴b2＝c2－a2＝－＝m2.
故所求点A的轨迹方程为－＝1(y≠0).
第二章 圆锥曲线与方程
学习目标　1.理解曲线方程的概念，掌握求曲线方程的常用方法.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义法求标准方程.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.4.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.5.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法.
知识点一　三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质
椭圆
双曲线
抛物线
定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹
标准方程
＋＝1(a>b>0)
－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
关系式
a2－b2＝c2
a2＋b2＝c2
图形
封闭图形
无限延展，有渐近线
无限延展，没有渐近线
对称性
对称中心为原点
无对称中心
两条对称轴
一条对称轴
顶点
四个
两个
一个
离心率
0e>1
准线方程
x＝－
决定形状的因素
e决定扁平程度
e决定开口大小
2p决定开口大小
知识点二　待定系数法求圆锥曲线标准方程
1.椭圆、双曲线的标准方程
求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数.当焦点位置不确定时，要分情况讨论.也可将椭圆方程设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，其中当>时，焦点在x轴上，当<时，焦点在y轴上；双曲线方程可设为Ax2＋By2＝1(AB<0)，当<0时，焦点在y轴上，当<0时，焦点在x轴上.
另外，与已知双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0).
2.抛物线的标准方程
求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小.当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出参数p的值.
知识点三　直线与圆锥曲线有关的问题
1.直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0?直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0?直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0?直线与圆锥曲线无交点.
2.直线l截圆锥曲线所得的弦长|AB|＝或，其中k是直线l的斜率，(x1，y1)，(x2，y2)是直线与圆锥曲线的两个交点A，B的坐标，且(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，x1＋x2，x1x2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出.
类型一　圆锥曲线定义的应用
例1　已知点M(2，1)，点C是椭圆＋＝1的右焦点，点A是椭圆上的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是________.
答案　8－
解析　如图，设点B为椭圆的左焦点，点M(2，1)在椭圆内，
那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，
所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，
而a＝4，
|BM|＝＝，
所以(|AM|＋|AC|)最小值＝8－.
反思与感悟　应用定义解决问题时，需紧扣其内涵，注意限制条件是否成立，然后得到相应的结论.
跟踪训练1　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与到直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是(　　)
A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线
答案　D
解析　∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴D1C1⊥侧面BCC1B1.∴D1C1⊥PC1.
∴PC1为P到直线D1C1的距离.
∵P到直线BC与到直线C1D1的距离相等，
∴PC1等于P到直线BC的距离，
∴点P到点C1的距离等于P到直线BC的距离，
由圆锥曲线的定义知，动点P的轨迹所在的曲线是抛物线.
类型二　圆锥曲线性质的应用
例2　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.
答案　
解析　如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，
由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离.
于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，
显然，连接AF与抛物线相交得的点即为满足题意的点，
此时最小值为＝.
反思与感悟　圆锥曲线的性质综合性强，需弄清每个性质的真正内涵，然后正确地应用到解题中去.
跟踪训练2　双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是(　　)
A.2 B. C. D.
答案　C
解析　双曲线－＝1的两条渐近线方程为y＝±x，依题意·＝－1，
故＝1，所以＝1，
即e2＝2，所以双曲线的离心率e＝.
类型三　直线与圆锥曲线的位置关系问题
例3　已知定点C(－1，0)及椭圆x2＋3y2＝5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M，使·为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
解　假设在x轴上存在点M(m，0)，使·为常数.
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
①当直线AB与x轴不垂直时，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，将y＝k(x＋1)代入椭圆方程x2＋3y2＝5，消去y整理，得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.
则
所以·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2
＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1)
＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2.
将上式整理，得·＝＋m2
＝＋m2＝m2＋2m－－.
注意到·是与k无关的常数，
从而有6m＋14＝0，解得m＝－，
此时·＝.
②当直线AB与x轴垂直时，
此时点A，B的坐标分别为A(－1，)，B(－1，－)，
当m＝－时，亦有·＝.
综上，在x轴上存在定点M(－，0)，
使·为常数.
反思与感悟　解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解.
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围.
跟踪训练3　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P在C上且其横坐标为1，以F为圆心、|FP|为半径的圆与C的准线l相切.
(1)求p的值；
(2)设l与x轴交点为E，过点E作一条直线与抛物线C交于A，B两点，求线段AB的垂直平分线在x轴上的截距的取值范围.
解　(1)因为以F为圆心、|FP|为半径的圆与C的准线l相切，
所以圆的半径为p，即|FP|＝p，
所以FP⊥x轴，又点P的横坐标为1，
所以焦点F的坐标为(1，0)，从而p＝2.
(2)由(1)知抛物线C的方程为y2＝4x，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
线段AB的垂直平分线与x轴的交点D(x0，0)，
则由|DA|＝|DB|，y＝4x1，y＝4x2，
得(x1－x0)2＋y＝(x2－x0)2＋y，
化简得x0＝＋2， ①
设直线AB的方程为x＝my－1，代入抛物线C的方程，
得y2－4my＋4＝0，由Δ>0得m2>1，
由根与系数的关系得y1＋y2＝4m，
所以x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝4m2－2，
代入①得x0＝2m2＋1>3，
故线段AB的垂直平分线在x轴上的截距的取值范围是(3，＋∞).
1.下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是(　　)
A.y＝与y2＝x B.y＝x与＝1
C.y2－x2＝0与|y|＝|x| D.y＝lg x2与y＝2lg x
答案　C
解析　A项y＝(y≥0)，y2＝x，y∈R.B项y＝x中y∈R；＝1中y≠0.D项，y＝lg x2中，x≠0.y＝2lg x中x>0.∴A、B选项中两函数值域不同，D选项中两函数定义域不同，故选C.
2.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　∵两焦点恰好将长轴三等分，2a＝18，
∴2c＝×2a＝6，∴c＝3，b2＝a2－c2＝72，
故椭圆的方程为＋＝1.
3.设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
答案　B
解析　∵y2＝8x的焦点为(2，0)，
∴＋＝1的右焦点为(2，0)，
∴m>n且c＝2.又e＝＝，∴m＝4.
∵c2＝m2－n2＝4，∴n2＝12.
∴椭圆的方程为＋＝1.
4.点P(8，1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是__________.
答案　2x－y－15＝0
解析　设弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x－4y＝4，x－4y＝4，
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
因为线段AB的中点为P(8，1)，
所以x1＋x2＝16，y1＋y2＝2.
所以＝＝2.
所以直线AB的方程为y－1＝2(x－8)，
代入x2－4y2＝4满足Δ>0.
即直线方程为2x－y－15＝0.
5.直线y＝x＋3与曲线－＝1交点的个数为________.
答案　3
解析　当x>0时，双曲线－＝1的渐近线为y＝±x，而直线y＝x＋3斜率为1，1<，
∴y＝x＋3与x轴上半部分的一支双曲线有一个交点.
当x≤0时，曲线＋＝1为椭圆，
又∵直线y＝x＋3过椭圆顶点，
∴直线y＝x＋3与椭圆左半部分有两个交点，共计3个交点.
1.离心率的几种求法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法.
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出离心率，这是求离心率十分重要的方法.
(3)几何法：与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质、椭圆(双曲线)的几何性质和定义，建立参数之间的关系.
2.圆锥曲线中的有关最值问题
在解决与圆锥曲线有关的最值问题时，通常的处理策略
(1)若具备定义的最值问题，可用定义将其转化为几何问题来处理.
(2)一般问题可由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解.如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性，亦可利用基本不等式等求解.
40分钟课时作业
一、选择题
1.到定点(3，5)与直线2x＋3y－21＝0的距离相等的点的轨迹是(　　)
A.圆 B.抛物线 C.线段 D.直线
答案　D
解析　因为定点(3，5)在直线上，
所以点的轨迹是直线.
2.方程＋＝1所表示的曲线是(　　)
A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的椭圆
C.焦点在x轴上的双曲线 D.焦点在y轴上的双曲线
答案　D
解析　∵sin θ－1<0，2sin θ＋3>0，
∴方程表示焦点在y轴上的双曲线.
3.设椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋y2＝1 D.＋y2＝1
答案　A
解析　∵|BF2|＝|F1F2|＝2，∴a＝2c＝2，
∴a＝2，c＝1，∴b＝，∴椭圆的方程为＋＝1.
4.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为P(3，4)，则此双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
答案　C
解析　由已知条件，得2r＝|F1F2|＝2c，
即r＝c，而r＝|OP|＝5.
渐近线方程为y＝±x，
点P(3，4)在直线y＝x上，
所以解得
所以双曲线方程为－＝1.
5.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　依题意有(2b)2＝2a·2c，即4b2＝4ac，
∴b2＝ac.
又b2＝a2－c2，∴a2－c2＝ac.
两边同除以a2并整理得1－()2－＝0，
即有e2＋e－1＝0，
解得e＝或e＝(舍去).
6.设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　)
A.(0，2) B.[0，2] C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)
答案　C
解析　圆心到抛物线准线的距离为p，即4，根据已知只要|FM|>4即可.根据抛物线定义，
|FM|＝y0＋2，由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞).
二、填空题
7.过定点P(0，2)作直线l，使l与曲线y2＝4x有且仅有一个公共点，这样的直线l共有__条.
答案　3
解析　直线l斜率不存在的时候有一条.斜率存在时，一条交线，一条切线.
8.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1(－2，0)，右焦点F2(2，0)，离心率e＝.若点P为双曲线C右支上一点，则|PF1|－|PF2|＝________.
答案　8
解析　由题意得c＝2，e＝＝，
∴a＝4，|PF1|－|PF2|＝2a＝8.
9.在平面直角坐标系xOy中，过双曲线C：x2－＝1的右焦点F作x轴的垂线l，则l与双曲线C的两条渐近线所围成的三角形的面积是________.
答案　4
解析　由题意可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，F(2，0)，
那么直线l的方程为x＝2，
把x＝2代入渐近线方程可得y＝±2，
故所求的三角形的面积为S＝×4×2＝4.
10.已知A为椭圆＋＝1上的动点，MN为圆(x－1)2＋y2＝1的一条直径，则·的最大值为________.
答案　15
解析　由题意得圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1，0)，
那么·＝(－)·(－)
＝·－·(＋)＋2＝－1＋2，
显然A取(－3，0)时2取得最大值16，
此时·的最大值为－1＋16＝15.
三、解答题
11.已知直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，过O作OD⊥AB于点D，点D的坐标为(2，1)，求抛物线的方程.
解　由题意得kOD＝，∵AB⊥OD，∴kAB＝－2，
又直线AB过点D(2，1)，
∴直线AB的方程为y＝－2x＋5，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵以AB为直径的圆过点O，∴·＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，由
得4x2－(2p＋20)x＋25＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴y1y2＝(－2x1＋5)(－2x2＋5)＝4x1x2－10(x1＋x2)＋25＝25－5p－50＋25＝－5p，
∴＋(－5p)＝0，∴p＝，
∴抛物线的方程为y2＝x.
12.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左顶点A与上顶点B的距离为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过原点O的动直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P、Q两点，直线PA、QA分别与 y轴交于M、N两点，问以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论.
解　(1)由题意得解得a＝2，b＝，
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)以MN为直径的圆过定点F(±，0).
设P(x0，y0)，则Q(－x0，－y0)，
且＋＝1，
即x＋2y＝4，
∵A(－2，0)，∴直线PA的方程为y＝(x＋2)，
∴M(0，)，
∴直线QA的方程为y＝(x＋2)，
∴N(0，).
以MN为直径的圆为(x－0)(x－0)＋(y－)(y－)＝0，
即x2＋y2－y＋＝0，
∵x－4＝－2y，∴x2＋y2＋y－2＝0，
令y＝0，得x2－2＝0，解得x＝±，
∴以MN为直径的圆过定点F(±，0).
13.如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
解　(1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，
即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，
而|AF1|＋|AF2|＝|F1B|＋|BF2|＝2a，
所以4a＝8，解得a＝2.
又e＝＝，所以c＝a＝1，
所以b2＝a2－c2＝3.
故所求椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由消去y，
整理得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，
所以m≠0，
Δ＝64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，
即4k2－m2＋3＝0. ①
此时x0＝－＝－，y0＝，故P(－，).
由得Q(4，4k＋m).
假设在坐标平面内存在定点M满足条件，由图形的对称性知，点M必在x轴上.
设M(x1，0)，则·＝0对满足①式的m，k恒成立.
因为＝(－－x1，)，＝(4－x1，4k＋m)，
所以由·＝0，
得－＋－4x1＋x＋＋3＝0，
即(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0. ②
由②式对满足①式的m，k恒成立，
所以有得x1＝1.
故存在定点M(1，0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.