长春版小学语文六上第六组《蜀相》教案
图片预览
文档简介
长春版小学语文六年级上册《蜀相》教案
教材简介:
本诗是唐朝诗人的的名作。唐肃宗乾元二年（公元759年），自安史之乱以来就一直颠沛流离的诗人杜甫到了成都。第二年公元（760年）春天，他满怀实事兴衰之感和对三国诸葛武侯的景仰之情，到“锦官城”（成都）西北郊拜谒了始建于晋代的武侯祠庙。祠庙前那株相传为“孔明手植”的巨柏，历经沧桑，遒劲挺拔；，绿树丛中黄鹂百转千啼，自鸣得意。诗人面对年久失修，颓破败的祠堂，追念诸葛亮“鞠躬尽瘁，死而后已”的可贵精神和兢兢业绩，不由得触景生情，热泪满襟，于是写下了这首流传千古的七律《蜀相》。《蜀相》是杜甫的名篇之一，对于壮志未酬者它既是颂歌，又是挽歌。唐代诗人刘禹锡说“片言可以明百意，坐驰可以役万里，工于诗者能之”。《蜀相》一诗囊括历史，融汇古今，语言凝练内涵丰富。如果用刘禹锡的话来评《蜀相》杜甫是当之无愧的。21·cn·jy·com
教学目标：
认识3个生字，会认3个生词。
有感情的朗读并会背诵。
体会诗人对诸葛亮的“出师未捷身先死”的痛惜和对他为国为民鞠躬尽瘁死而后已精神的赞扬。
教学重点
结合历史背景，体会“老臣心”是怎样的一种情怀。
教学难点：
体会诗人对诸葛亮的“出师未捷身先死”的痛惜和对他为国为民鞠躬尽瘁死而后已精神的赞扬。
教学过程：
引入：
直接揭示课题，说说《蜀相》是什么意思?简介作者及背景。
学习古诗
初读这首诗，读准字音。
在要求的生字中，“蜀”“丞”是翘舌音，“祠”是平舌音。要求会写的“频”是左右结构的字，要写的左右匀称。
自由读诗，读准字音，注意停顿。
结合书下注释理解这首诗的大概意思。
品读古诗，领悟诗情。
指名读前四句，重点理解“祠堂”“锦官城”“森森”前两句交代了什么？（首联点出祠堂的地理位置和自然环境）“寻”反映了什么？21cnjy.com
看武侯祠图片，当年诗人来到武侯祠，这里是一番怎样的景象。边读边想象，当年的武侯祠是什么样的。指导学生朗读。【来源：21·世纪·教育·网】
用自己的话来说一说这几句是的意思。（诸葛丞相的祠堂到什么地方找寻？在成都城外，那柏树高大茂密的地方。掩映台阶的碧草空自展现着一派春色，藏在密叶间的黄鹂徒劳的婉转鸣唱。）2-1-c-n-j-y
体会“自”“空”两字的妙处，（“自”“空”二字极为传情；碧草映阶，不过自为春色-——因游人行踪难至；黄鹂隔叶，不过空作好音——因诗人无心倾听。一片诗心，全凝于二字，自然之恒久，与世事之多变、人生之不永暗相对照。）21*cnjy*com
颈联上下句的关键词分别是什么？为什么用这些词来概括诸葛亮的功绩？
明确：上联的“三顾”指刘备三顾茅庐，侧面映衬。下联的“开济”，“开”指刘备开国，“济”指辅佐刘婵继位。这表达出作者对他的敬仰。落脚点在“天下计”和“老臣心”。“天下计”说明他雄才大略。“老臣心”说明他对国忠心耿耿，无私报国。诗人借着两句表达了对诸葛亮的追慕之情。
尾联:“英雄”具体指的那些人？为什么诸葛亮的结局是“长使英雄泪满襟”？
明确：英雄指像诸葛亮一样壮志未酬而含恨终身的英雄人物。当然也包括杜甫自己，从小立志干一番大事业，却郁郁不得志，一生坎坷。因为许多人的经历与诸葛亮一样，壮志未酬，他们甚至还不如诸葛亮，如杜甫，尽管想当贤相，却不得中用，只有仰慕别人的份，因此必然会“泪满襟”。
小结：杜甫的咏史诗是有其特点的，这就是密切联系现实，密切联系自身。《蜀相》不是为了咏史而咏史，为歌颂诸葛亮而歌颂诸葛亮。而借诸葛亮的功业未遂，而感叹自己的壮志未酬。希望唐肃宗能像刘备那样，能够信任像郭子仪等那样忠心耿耿的老臣。2·1·c·n·j·y
课后作业：
背诵这首诗。
了解《三国演义》中诸葛亮的故事，准备三国故事会。
A级
1．(2017·贵州省适应性考试)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，c＝(2,3)，若a＋λb与c共线，则实数λ＝( )【来源：21cnj*y.co*m】
A. B．－
C. D．－
解析： a＋λb＝(2－λ，4＋λ)，c＝(2,3)，因为a＋λb与c共线，所以必定存在唯一实数μ，使得a＋λb＝μc，所以解得.【版权所有：21教育】
答案： B
2．(2017·安徽省两校阶段性测试)已知向量a＝(m,1)，b＝(m，－1)，且|a＋b|＝|a－b|，则|a|＝( )【出处：21教育名师】
A．1 B．
C. D．4
解析： ∵a＝(m,1)，b＝(m，－1)，∴a＋b＝(2m,0)，a－b＝(0,2)，又|a＋b|＝|a－b|，∴|2m|＝2，∴m＝±1，∴|a|＝＝.故选C.21教育名师原创作品
答案： C
3．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝( )21*cnjy*com
A．5 B．4
C．3 D．2
解析： 因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，所以·＝2×3＋(－1)×1＝5，故选A.www-2-1-cnjy-com
答案： A
4．(2017·江西八校联考(一))在△ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且AP＝AB，BQ＝BC.若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B．－a＋b
C.a－b D．－a－b
解析： ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A.
答案： A
5．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝5，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角的正切值为( )
A. B．
C．－ D．－
解析： a·(a＋b)＝5，即a2＋a·b＝5?a·b＝1，所以cos〈a，b〉＝＝，所以〈a，b〉＝，则向量a与b的夹角的正切值为，故选B.
答案： B
6．(2017·云南省第一次统一检测)在?ABCD中，||＝8，||＝6，N为DC的中点，＝2，则·＝( )
A．48 B．36
C．24 D．12
解析： ·＝(＋)·(＋)＝·＝2－2＝×82－×62＝24，故选C.
答案： C
7．(2017·西安市八校联考)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影是( )21教育网
A．－3 B．－
C．3 D．
解析： 依题意得，＝(－2，－1)，＝(5,5)，·＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，||＝，因此向量在方向上的投影是＝＝－3，选A.
答案： A
8．如图所示，下列结论正确的是( )
①＝a＋b；②＝a－b；
③＝a－b；④＝a＋b.
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
解析： ①根据向量的加法法则，得＝a＋b，故①正确；②根据向量的减法法则，得＝a－b，故②错误；③＝＋＝a＋b－2b＝a－b，故③正确；④＝＋＝a＋b－b＝a＋b，故④错误．故选C.21世纪教育网版权所有
答案： C
9．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝4，点P在AM上，且满足＝3，则·(＋)的值为( )
A．－4 B．6
C．－6 D．4
解析： 依题意得||＝||＝3，＋＝2＝－，·(＋)＝－2＝－×32＝－6，选C.
答案： C
10．(2017·惠州市第三次调研考试)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
解析： (－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0，∵－＝，∴(－)·(＋)＝0，即||＝||，∴△ABC是等腰三角形，故选A.
答案： A
11．已知向量a，b满足|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，则|b|的取值范围为( )
A．[1,2] B．[2,4]
C. D．
解析： 由题意知b≠0，设向量a，b的夹角为θ，因为(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝0，又|a|＝1，所以1－|b|cos θ－2|b|2＝0，所以|b|cos θ＝1－2|b|2，因为－1≤cos θ≤1，所以－|b|≤1－2|b|2≤|b|，所以≤|b|≤1，所以|b|的取值范围是.www.21-cn-jy.com
答案： D
12．(2017·宝鸡市质量检测(一))在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N(不与A，C重合)为AC边上的两个动点，且满足||＝，则·的取值范围为( )
A. B．
C. D．
解析： 以等腰直角三角形的直角边BC为x轴，BA为y轴，建立平面直角坐标系，如图，则B(0,0)，直线AC的方程为x＋y＝2.21·世纪*教育网
设M(a,2－a)，则0故·的取值范围为.
答案： C
13．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
解析： ∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，
∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)．
又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，
即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，
解得m＝7.
答案： 7
14．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
解析： 法一：|a＋2b|＝＝
＝＝＝2.
法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.
答案： 2
15．已知等边△ABC的边长为2，若＝3，＝，则·＝________.
解析： 如图所示，·＝(－)·(＋)＝·＝
·＝
2－2＝×4－×4＝－2.
答案： －2
16．(2017·天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________．
解析： 如图，由＝2得＝＋，
所以·＝·(λ－)＝λ·－2＋λ2－·，
又·＝3×2×cos 60°＝3，2＝9，2＝4，
所以·＝λ－3＋λ－2＝λ－5＝－4，解得λ＝.
答案：
B级
1．在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝( )
A.＋ B．＋
C.＋ D．＋
解析： 因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝(＋＋)＝＋，故选B.
答案： B
2．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,1)，c＝(x,4)，若(a－b)⊥c，则c·(a＋b)＝( )
A．(2,12) B．(－2,12)
C．14 D．10
解析： 由题意可得，a－b＝(－4,1)，由(a－b)⊥c，得(－4)×x＋1×4＝0，即－4x＋4＝0，解得x＝1，所以c＝(1,4)．而a＋b＝(2,3)，所以c·(a＋b)＝1×2＋4×3＝14.故选C.
答案： C
3．设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积的比值是( )
A. B．
C. D．
解析： ∵＝2，∴＝，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的高相等，
∴＝＝.
答案： B
4．已知向量a＝(1,3)，b＝(2，－5)．若向量c满足c⊥(a＋b)，且b∥(a－c)，则c＝( )
A. B．
C. D．
解析： 设c＝(x，y)，由c⊥(a＋b)，得c·(a＋b)＝(x，y)·(3，－2)＝3x－2y＝0，①
又b＝(2，－5)，a－c＝(1－x,3－y)，且b∥(a－c)，所以2(3－y)－(－5)×(1－x)＝0.②
联立①②，解得x＝，y＝，所以c＝.故选A.
答案： A
5．已知O为坐标原点，向量＝(3sin α，cos α)，＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈，且⊥，则tan α的值为( )
A．－ B．－
C. D．
解析： 由题意知6sin2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0，上述等式两边同时除以cos2α，得6tan2α＋5tan α－4＝0，由于α∈，则tan α<0，解得tan α＝－，故选A.
答案： A
6．(2017·成都市第二次诊断性检测)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝，则a＋2b与b的夹角是( )
A. B．
C. D．
解析： 法一：因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1××cos ＝3，所以|a＋2b|＝，又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1××cos＋2×＝＋＝，所以cos〈a＋2b，b〉＝＝＝，所以a＋2b与b的夹角为.故选A.
法二：设a＝(1,0)，b＝＝，则(a＋2b)·b＝·＝，|a＋2b|＝＝，所以cos〈a＋2b，b〉＝＝＝，所以a＋2b与b的夹角为，故选A.
答案： A
7．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝( )
A. B．
C. D．
解析： 以，为基向量，则·＝(＋λ)·(＋μ)＝μ2＋λ2＋(1＋λμ)·＝4(μ＋λ)－2(1＋λμ)＝1 ①.·＝(λ－1)·(μ－1)＝－2(λ－1)(μ－1)＝－ ②，由①②可得λ＋μ＝.
答案： C
8．(2017·东北四市高考模拟)已知向量＝(3,1)，＝(－1,3)，＝m－n(m>0，n>0)，若m＋n＝1，则||的最小值为( )
A. B．
C. D．
解析： 由＝(3,1)，＝(－1,3)得＝m－n＝(3m＋n，m－3n)，因为m＋n＝1(m>0，n>0)，所以n＝1－m且0答案： C
9．(2017·吉林三模)已知平面向量a，b的夹角为120°，且a·b＝－1，则|a－b|的最小值为( )
A. B．
C. D．1
解析： 由题意可知－1＝a·b＝|a|·|b|cos 120°，所以2＝|a|·|b|≤，即|a|2＋|b|2≥4，当且仅当|a|＝|b|时等号成立，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝a2＋b2＋2≥4＋2＝6，所以|a－b|≥，所以|a－b|的最小值为.
答案： A
10．(2017·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O.记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则( )
A．I1C．I3解析： 如图，建立直角坐标系，则
B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)．
设D(m，n)，
由AD＝2和CD＝3，
得
从而有n－m＝>0，∴n>m.
从而∠DBC>45°，又∠BCO＝45°，∴∠BOC为锐角．
从而∠AOB为钝角．故I1<0，I3<0，I2>0.
又OA故可设＝－λ1(λ1>1)，＝－λ2(λ2>1)，
从而I3＝·＝λ1λ2·＝λ1λ2I1，
又λ1λ2>1，I1<0，I3<0，
∴I3答案： C
11．已知Rt△AOB的面积为1，O为直角顶点，设向量a＝，b＝，＝a＋2b，则·的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析： 依题意，OA⊥OB，
∴·＝0，
又||||＝1，
∴||||＝2.
∵·＝·＝2||，
·＝·＝||，
2＝2
＝＋·＋＝5，
∴·＝(－)·(－)
＝·－(·＋·)＋2
＝5－2||－||≤5－2＝5－4＝1.
答案： A
12．如图，已知点D为△ABC的边BC上一点，＝3，En(n∈N*)为边AC上的列点，满足＝an＋1－(3an＋2)，其中实数列{an}中，an>0，a1＝1，则数列{an}的通项公式为an＝( )
A．3·2n－1－2 B．2n－1
C．3n－1 D．2·3n－1－1
解析： 因为＝3，所以＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋.设m＝，则由＝an＋1－(3an＋2)，得－＝0，即－m＝an＋1，m＝－(3an＋2)，所以an＋1＝(3an＋2)，所以an＋1＋1＝3(an＋1)．因为a1＋1＝2，所以数列{an＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以an＋1＝2·3n－1，所以an＝2·3n－1－1.
答案： D
13．(2017·北京卷)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则·的最大值为________．
解析： 法一：·表示在方向上的投影与||的乘积，当P在B点时，·有最大值，此时·＝2×3＝6.
法二：设P(x，y)，则·＝(2,0)·(x＋2，y)＝2x＋4，由题意知－1≤x≤1，∴x＝1时，·取最大值6，∴·的最大值为6.
答案： 6
14．在△ABC中，若(－2)⊥，(－2)⊥，则△ABC的形状为________．
解析： (－2)⊥?(－2)·＝0，即·－2·＝0.(－2)⊥，即(－2)·＝0，即·－2·＝0，所以·＝·＝2·，即||＝||，而cos A＝＝，所以∠A＝60°，所以△ABC为等边三角形．
答案： 等边三角形
15．如图，在等腰三角形ABC中，已知AB＝AC＝2，∠A＝120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且＝m，＝n，其中m，n∈(0,1)，若线段EF，BC的中点分别为M，N，且m＋2n＝1，则||的最小值是________．
解析： 连接AN，AM.因为＝－＝[(＋)－(＋)]＝[(＋)－(m＋n)]＝[(1－m)＋(1－n)]，
又AB＝AC＝2，∠A＝120°，·＝||·||·cos 120°＝2×2×＝－14，
所以||
＝＝.
因为m＋2n＝1，所以m＝1－2n，
所以||＝＝7，
因为n∈(0,1)，所以当n＝时，取得最小值，
所以||的最小值是7×＝.
答案：
16．定义平面向量的一种运算a⊙b＝|a＋b|×|a－b|×sin〈a，b〉，其中〈a，b〉是a与b 的夹角，给出下列命题：
①若〈a，b〉＝90°，则a⊙b＝a2＋b2；
②若|a|＝|b|，则(a＋b)⊙(a－b)＝4a·b；
③若|a|＝|b|，则a⊙b≤2|a|2；
④若a＝(1,2)，b＝(－2,2)，则(a＋b)⊙b＝.
其中真命题的序号是________．
解析： ①中，因为〈a，b〉＝90°，则a⊙b＝|a＋b|×|a－b|＝a2＋b2，所以①成立；
②中，因为|a||b|，所以〈(a＋b)，(a－b)〉＝90°，所以(a＋b)⊙(a－b)＝|2a|×|2b|＝4|a||b|，所以②不成立；
③中，因为|a|＝|b|，所以a⊙b＝|a＋b|×|a－b|×sin〈a，b〉≤|a＋b|×|a－b|≤＝2|a|2，所以③成立；
④中，因为a＝(1,2)，b＝(－2,2)，所以a＋b＝(－1,4)，sin〈(a〉，所以(a＋b)⊙b＝3××＝，所以④不成立．
答案： ①③
教材简介:
本诗是唐朝诗人的的名作。唐肃宗乾元二年（公元759年），自安史之乱以来就一直颠沛流离的诗人杜甫到了成都。第二年公元（760年）春天，他满怀实事兴衰之感和对三国诸葛武侯的景仰之情，到“锦官城”（成都）西北郊拜谒了始建于晋代的武侯祠庙。祠庙前那株相传为“孔明手植”的巨柏，历经沧桑，遒劲挺拔；，绿树丛中黄鹂百转千啼，自鸣得意。诗人面对年久失修，颓破败的祠堂，追念诸葛亮“鞠躬尽瘁，死而后已”的可贵精神和兢兢业绩，不由得触景生情，热泪满襟，于是写下了这首流传千古的七律《蜀相》。《蜀相》是杜甫的名篇之一，对于壮志未酬者它既是颂歌，又是挽歌。唐代诗人刘禹锡说“片言可以明百意，坐驰可以役万里，工于诗者能之”。《蜀相》一诗囊括历史，融汇古今，语言凝练内涵丰富。如果用刘禹锡的话来评《蜀相》杜甫是当之无愧的。21·cn·jy·com
教学目标：
认识3个生字，会认3个生词。
有感情的朗读并会背诵。
体会诗人对诸葛亮的“出师未捷身先死”的痛惜和对他为国为民鞠躬尽瘁死而后已精神的赞扬。
教学重点
结合历史背景，体会“老臣心”是怎样的一种情怀。
教学难点：
体会诗人对诸葛亮的“出师未捷身先死”的痛惜和对他为国为民鞠躬尽瘁死而后已精神的赞扬。
教学过程：
引入：
直接揭示课题，说说《蜀相》是什么意思?简介作者及背景。
学习古诗
初读这首诗，读准字音。
在要求的生字中，“蜀”“丞”是翘舌音，“祠”是平舌音。要求会写的“频”是左右结构的字，要写的左右匀称。
自由读诗，读准字音，注意停顿。
结合书下注释理解这首诗的大概意思。
品读古诗，领悟诗情。
指名读前四句，重点理解“祠堂”“锦官城”“森森”前两句交代了什么？（首联点出祠堂的地理位置和自然环境）“寻”反映了什么？21cnjy.com
看武侯祠图片，当年诗人来到武侯祠，这里是一番怎样的景象。边读边想象，当年的武侯祠是什么样的。指导学生朗读。【来源：21·世纪·教育·网】
用自己的话来说一说这几句是的意思。（诸葛丞相的祠堂到什么地方找寻？在成都城外，那柏树高大茂密的地方。掩映台阶的碧草空自展现着一派春色，藏在密叶间的黄鹂徒劳的婉转鸣唱。）2-1-c-n-j-y
体会“自”“空”两字的妙处，（“自”“空”二字极为传情；碧草映阶，不过自为春色-——因游人行踪难至；黄鹂隔叶，不过空作好音——因诗人无心倾听。一片诗心，全凝于二字，自然之恒久，与世事之多变、人生之不永暗相对照。）21*cnjy*com
颈联上下句的关键词分别是什么？为什么用这些词来概括诸葛亮的功绩？
明确：上联的“三顾”指刘备三顾茅庐，侧面映衬。下联的“开济”，“开”指刘备开国，“济”指辅佐刘婵继位。这表达出作者对他的敬仰。落脚点在“天下计”和“老臣心”。“天下计”说明他雄才大略。“老臣心”说明他对国忠心耿耿，无私报国。诗人借着两句表达了对诸葛亮的追慕之情。
尾联:“英雄”具体指的那些人？为什么诸葛亮的结局是“长使英雄泪满襟”？
明确：英雄指像诸葛亮一样壮志未酬而含恨终身的英雄人物。当然也包括杜甫自己，从小立志干一番大事业，却郁郁不得志，一生坎坷。因为许多人的经历与诸葛亮一样，壮志未酬，他们甚至还不如诸葛亮，如杜甫，尽管想当贤相，却不得中用，只有仰慕别人的份，因此必然会“泪满襟”。
小结：杜甫的咏史诗是有其特点的，这就是密切联系现实，密切联系自身。《蜀相》不是为了咏史而咏史，为歌颂诸葛亮而歌颂诸葛亮。而借诸葛亮的功业未遂，而感叹自己的壮志未酬。希望唐肃宗能像刘备那样，能够信任像郭子仪等那样忠心耿耿的老臣。2·1·c·n·j·y
课后作业：
背诵这首诗。
了解《三国演义》中诸葛亮的故事，准备三国故事会。
A级
1．(2017·贵州省适应性考试)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，c＝(2,3)，若a＋λb与c共线，则实数λ＝( )【来源：21cnj*y.co*m】
A. B．－
C. D．－
解析： a＋λb＝(2－λ，4＋λ)，c＝(2,3)，因为a＋λb与c共线，所以必定存在唯一实数μ，使得a＋λb＝μc，所以解得.【版权所有：21教育】
答案： B
2．(2017·安徽省两校阶段性测试)已知向量a＝(m,1)，b＝(m，－1)，且|a＋b|＝|a－b|，则|a|＝( )【出处：21教育名师】
A．1 B．
C. D．4
解析： ∵a＝(m,1)，b＝(m，－1)，∴a＋b＝(2m,0)，a－b＝(0,2)，又|a＋b|＝|a－b|，∴|2m|＝2，∴m＝±1，∴|a|＝＝.故选C.21教育名师原创作品
答案： C
3．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝( )21*cnjy*com
A．5 B．4
C．3 D．2
解析： 因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，所以·＝2×3＋(－1)×1＝5，故选A.www-2-1-cnjy-com
答案： A
4．(2017·江西八校联考(一))在△ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且AP＝AB，BQ＝BC.若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B．－a＋b
C.a－b D．－a－b
解析： ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A.
答案： A
5．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝5，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角的正切值为( )
A. B．
C．－ D．－
解析： a·(a＋b)＝5，即a2＋a·b＝5?a·b＝1，所以cos〈a，b〉＝＝，所以〈a，b〉＝，则向量a与b的夹角的正切值为，故选B.
答案： B
6．(2017·云南省第一次统一检测)在?ABCD中，||＝8，||＝6，N为DC的中点，＝2，则·＝( )
A．48 B．36
C．24 D．12
解析： ·＝(＋)·(＋)＝·＝2－2＝×82－×62＝24，故选C.
答案： C
7．(2017·西安市八校联考)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影是( )21教育网
A．－3 B．－
C．3 D．
解析： 依题意得，＝(－2，－1)，＝(5,5)，·＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，||＝，因此向量在方向上的投影是＝＝－3，选A.
答案： A
8．如图所示，下列结论正确的是( )
①＝a＋b；②＝a－b；
③＝a－b；④＝a＋b.
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
解析： ①根据向量的加法法则，得＝a＋b，故①正确；②根据向量的减法法则，得＝a－b，故②错误；③＝＋＝a＋b－2b＝a－b，故③正确；④＝＋＝a＋b－b＝a＋b，故④错误．故选C.21世纪教育网版权所有
答案： C
9．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝4，点P在AM上，且满足＝3，则·(＋)的值为( )
A．－4 B．6
C．－6 D．4
解析： 依题意得||＝||＝3，＋＝2＝－，·(＋)＝－2＝－×32＝－6，选C.
答案： C
10．(2017·惠州市第三次调研考试)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
解析： (－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0，∵－＝，∴(－)·(＋)＝0，即||＝||，∴△ABC是等腰三角形，故选A.
答案： A
11．已知向量a，b满足|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，则|b|的取值范围为( )
A．[1,2] B．[2,4]
C. D．
解析： 由题意知b≠0，设向量a，b的夹角为θ，因为(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝0，又|a|＝1，所以1－|b|cos θ－2|b|2＝0，所以|b|cos θ＝1－2|b|2，因为－1≤cos θ≤1，所以－|b|≤1－2|b|2≤|b|，所以≤|b|≤1，所以|b|的取值范围是.www.21-cn-jy.com
答案： D
12．(2017·宝鸡市质量检测(一))在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N(不与A，C重合)为AC边上的两个动点，且满足||＝，则·的取值范围为( )
A. B．
C. D．
解析： 以等腰直角三角形的直角边BC为x轴，BA为y轴，建立平面直角坐标系，如图，则B(0,0)，直线AC的方程为x＋y＝2.21·世纪*教育网
设M(a,2－a)，则0
答案： C
13．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
解析： ∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，
∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)．
又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，
即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，
解得m＝7.
答案： 7
14．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
解析： 法一：|a＋2b|＝＝
＝＝＝2.
法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.
答案： 2
15．已知等边△ABC的边长为2，若＝3，＝，则·＝________.
解析： 如图所示，·＝(－)·(＋)＝·＝
·＝
2－2＝×4－×4＝－2.
答案： －2
16．(2017·天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________．
解析： 如图，由＝2得＝＋，
所以·＝·(λ－)＝λ·－2＋λ2－·，
又·＝3×2×cos 60°＝3，2＝9，2＝4，
所以·＝λ－3＋λ－2＝λ－5＝－4，解得λ＝.
答案：
B级
1．在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝( )
A.＋ B．＋
C.＋ D．＋
解析： 因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝(＋＋)＝＋，故选B.
答案： B
2．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,1)，c＝(x,4)，若(a－b)⊥c，则c·(a＋b)＝( )
A．(2,12) B．(－2,12)
C．14 D．10
解析： 由题意可得，a－b＝(－4,1)，由(a－b)⊥c，得(－4)×x＋1×4＝0，即－4x＋4＝0，解得x＝1，所以c＝(1,4)．而a＋b＝(2,3)，所以c·(a＋b)＝1×2＋4×3＝14.故选C.
答案： C
3．设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积的比值是( )
A. B．
C. D．
解析： ∵＝2，∴＝，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的高相等，
∴＝＝.
答案： B
4．已知向量a＝(1,3)，b＝(2，－5)．若向量c满足c⊥(a＋b)，且b∥(a－c)，则c＝( )
A. B．
C. D．
解析： 设c＝(x，y)，由c⊥(a＋b)，得c·(a＋b)＝(x，y)·(3，－2)＝3x－2y＝0，①
又b＝(2，－5)，a－c＝(1－x,3－y)，且b∥(a－c)，所以2(3－y)－(－5)×(1－x)＝0.②
联立①②，解得x＝，y＝，所以c＝.故选A.
答案： A
5．已知O为坐标原点，向量＝(3sin α，cos α)，＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈，且⊥，则tan α的值为( )
A．－ B．－
C. D．
解析： 由题意知6sin2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0，上述等式两边同时除以cos2α，得6tan2α＋5tan α－4＝0，由于α∈，则tan α<0，解得tan α＝－，故选A.
答案： A
6．(2017·成都市第二次诊断性检测)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝，则a＋2b与b的夹角是( )
A. B．
C. D．
解析： 法一：因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1××cos ＝3，所以|a＋2b|＝，又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1××cos＋2×＝＋＝，所以cos〈a＋2b，b〉＝＝＝，所以a＋2b与b的夹角为.故选A.
法二：设a＝(1,0)，b＝＝，则(a＋2b)·b＝·＝，|a＋2b|＝＝，所以cos〈a＋2b，b〉＝＝＝，所以a＋2b与b的夹角为，故选A.
答案： A
7．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝( )
A. B．
C. D．
解析： 以，为基向量，则·＝(＋λ)·(＋μ)＝μ2＋λ2＋(1＋λμ)·＝4(μ＋λ)－2(1＋λμ)＝1 ①.·＝(λ－1)·(μ－1)＝－2(λ－1)(μ－1)＝－ ②，由①②可得λ＋μ＝.
答案： C
8．(2017·东北四市高考模拟)已知向量＝(3,1)，＝(－1,3)，＝m－n(m>0，n>0)，若m＋n＝1，则||的最小值为( )
A. B．
C. D．
解析： 由＝(3,1)，＝(－1,3)得＝m－n＝(3m＋n，m－3n)，因为m＋n＝1(m>0，n>0)，所以n＝1－m且0
9．(2017·吉林三模)已知平面向量a，b的夹角为120°，且a·b＝－1，则|a－b|的最小值为( )
A. B．
C. D．1
解析： 由题意可知－1＝a·b＝|a|·|b|cos 120°，所以2＝|a|·|b|≤，即|a|2＋|b|2≥4，当且仅当|a|＝|b|时等号成立，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝a2＋b2＋2≥4＋2＝6，所以|a－b|≥，所以|a－b|的最小值为.
答案： A
10．(2017·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O.记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则( )
A．I1
B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)．
设D(m，n)，
由AD＝2和CD＝3，
得
从而有n－m＝>0，∴n>m.
从而∠DBC>45°，又∠BCO＝45°，∴∠BOC为锐角．
从而∠AOB为钝角．故I1<0，I3<0，I2>0.
又OA
从而I3＝·＝λ1λ2·＝λ1λ2I1，
又λ1λ2>1，I1<0，I3<0，
∴I3
11．已知Rt△AOB的面积为1，O为直角顶点，设向量a＝，b＝，＝a＋2b，则·的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析： 依题意，OA⊥OB，
∴·＝0，
又||||＝1，
∴||||＝2.
∵·＝·＝2||，
·＝·＝||，
2＝2
＝＋·＋＝5，
∴·＝(－)·(－)
＝·－(·＋·)＋2
＝5－2||－||≤5－2＝5－4＝1.
答案： A
12．如图，已知点D为△ABC的边BC上一点，＝3，En(n∈N*)为边AC上的列点，满足＝an＋1－(3an＋2)，其中实数列{an}中，an>0，a1＝1，则数列{an}的通项公式为an＝( )
A．3·2n－1－2 B．2n－1
C．3n－1 D．2·3n－1－1
解析： 因为＝3，所以＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋.设m＝，则由＝an＋1－(3an＋2)，得－＝0，即－m＝an＋1，m＝－(3an＋2)，所以an＋1＝(3an＋2)，所以an＋1＋1＝3(an＋1)．因为a1＋1＝2，所以数列{an＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以an＋1＝2·3n－1，所以an＝2·3n－1－1.
答案： D
13．(2017·北京卷)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则·的最大值为________．
解析： 法一：·表示在方向上的投影与||的乘积，当P在B点时，·有最大值，此时·＝2×3＝6.
法二：设P(x，y)，则·＝(2,0)·(x＋2，y)＝2x＋4，由题意知－1≤x≤1，∴x＝1时，·取最大值6，∴·的最大值为6.
答案： 6
14．在△ABC中，若(－2)⊥，(－2)⊥，则△ABC的形状为________．
解析： (－2)⊥?(－2)·＝0，即·－2·＝0.(－2)⊥，即(－2)·＝0，即·－2·＝0，所以·＝·＝2·，即||＝||，而cos A＝＝，所以∠A＝60°，所以△ABC为等边三角形．
答案： 等边三角形
15．如图，在等腰三角形ABC中，已知AB＝AC＝2，∠A＝120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且＝m，＝n，其中m，n∈(0,1)，若线段EF，BC的中点分别为M，N，且m＋2n＝1，则||的最小值是________．
解析： 连接AN，AM.因为＝－＝[(＋)－(＋)]＝[(＋)－(m＋n)]＝[(1－m)＋(1－n)]，
又AB＝AC＝2，∠A＝120°，·＝||·||·cos 120°＝2×2×＝－14，
所以||
＝＝.
因为m＋2n＝1，所以m＝1－2n，
所以||＝＝7，
因为n∈(0,1)，所以当n＝时，取得最小值，
所以||的最小值是7×＝.
答案：
16．定义平面向量的一种运算a⊙b＝|a＋b|×|a－b|×sin〈a，b〉，其中〈a，b〉是a与b 的夹角，给出下列命题：
①若〈a，b〉＝90°，则a⊙b＝a2＋b2；
②若|a|＝|b|，则(a＋b)⊙(a－b)＝4a·b；
③若|a|＝|b|，则a⊙b≤2|a|2；
④若a＝(1,2)，b＝(－2,2)，则(a＋b)⊙b＝.
其中真命题的序号是________．
解析： ①中，因为〈a，b〉＝90°，则a⊙b＝|a＋b|×|a－b|＝a2＋b2，所以①成立；
②中，因为|a||b|，所以〈(a＋b)，(a－b)〉＝90°，所以(a＋b)⊙(a－b)＝|2a|×|2b|＝4|a||b|，所以②不成立；
③中，因为|a|＝|b|，所以a⊙b＝|a＋b|×|a－b|×sin〈a，b〉≤|a＋b|×|a－b|≤＝2|a|2，所以③成立；
④中，因为a＝(1,2)，b＝(－2,2)，所以a＋b＝(－1,4)，sin〈(a〉，所以(a＋b)⊙b＝3××＝，所以④不成立．
答案： ①③