备考2018中考数学高频考点剖析
专题六 一元二次方程判别式问题
考点扫描☆聚焦中考
一元二次方程判别式问题，是各省各市地中考的必考内容之一，考查的知识点包括判断根的情况、判断所含字母的取值范围及其与其它知识点的综合运用等三个方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以判断所含字母取值范围并结合其它知识点综合考查为主。结合2017年全国各地中考的实例，我们从三方面进行一元二次方程判别式问题的探讨：21cnjy.com
（1）判断根的情况；
（2）判断所含字母取值范围；
（3）与其它知识综合应用．
考点剖析☆典型例题
例1（2017宁夏）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+3x﹣2=0有实数根，则a的取值范围是（ ）21·cn·jy·com
A． B． C．且a≠1 D．且a≠1
【分析】根据一元而次方程的定义和判别式的意义得到a≠1且△=32﹣4（a﹣1）（﹣2）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．2·1·c·n·j·y
【解答】解：根据题意得a≠1且△=32﹣4（a﹣1）（﹣2）≥0，
解得a≥﹣且a≠1．
故选D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．【来源：【出处：21教育名师】
例2（2017?益阳）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，那么下列结论一定成立的是（ ）
A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac=0 C．b2﹣4ac＜0 D．b2﹣4ac≤0
【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，确定出根的判别式的符号即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，
∴b2﹣4ac＞0，
故选A
【点评】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
例3（2017湖北荆州）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：
①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程；
②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；
③若关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；www-2-1-cnjy-com
④若点（m，n）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程．
上述结论中正确的有（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．②④·世纪*教育网
【分析】①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；
②设x2=2x1，得到x1?x2=2x12=2，得到当x1=1时，x2=2，当x1=﹣1时，x2=﹣2，于是得到结论；【来源：21cnj*y.co*m】
③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；
④若点（m，n）在反比例函数y=的图象上，得到mn=4，然后解方程mx2+5x+n=0即可得到正确的结论；【版权所有：21教育】
【解答】解：①由x2﹣2x﹣8=0，得
（x﹣4）（x+2）=0，
解得x1=4，x2=﹣2，
∵x1≠2x2，或x2≠2x1，
∴方程x2﹣2x﹣8=0不是倍根方程．
故①错误；
②关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，
∴设x2=2x1，
∴x1?x2=2x12=2，
∴x1=±1，
当x1=1时，x2=2，
当x1=﹣1时，x2=﹣2，
∴x1+x2=﹣a=±3，
∴a=±3，故②正确；
③关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，
∴x2=2x1，
∵抛物线y=ax2﹣6ax+c的对称轴是直线x=3，
∴抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），
故③正确；
④∵点（m，n）在反比例函数y=的图象上，
∴mn=4，
解mx2+5x+n=0得x1=﹣，x2=﹣，
∴x2=4x1，
∴关于x的方程mx2+5x+n=0不是倍根方程；
故选C．
例4（2017湖南岳阳）在△ABC中BC=2，AB=2，AC=b，且关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为 ．21世纪教育网版权所有
【分析】由根的判别式求出AC=b=4，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．2-1-c-n-j-y
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，
∴△=16﹣4b=0，
∴AC=b=4，
∵BC=2，AB=2，
∴BC2+AB2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，
∴AC边上的中线长=AC=2；
故答案为：2．
【点评】本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质；证明△ABC是直角三角形是解决问题的关键．21*cnjy*com
考点过关☆专项突破
类型一 判断根的情况
1. （2017贵州安顺）若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）21教育网
A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣3
2. （2017广西河池）若关于x的方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
3. （2017山东滨州）一元二次方程x2﹣2x=0根的判别式的值为（ ）
A．4 B．2 C．0 D．﹣4
4.. （2017年江苏扬州）一元二次方程x2﹣7x﹣2=0的实数根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
5. (2017湖北咸宁)已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（ ）www.21-cn-jy.com
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
6. （2017甘肃张掖）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是 ．【来源：21·世纪·教育·网】
类型二 判断所含字母取值范围
1.（2017呼和浩特）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】21教育名师原创作品
A．2 B．0 C．1 D．2或0
2．（2017齐齐哈尔）若关于x的方程kx2﹣3x﹣=0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k=0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1
3．（2017山东泰安）关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+（k2﹣1）=0无实数根，则k的取值范围为 ．21*cnjy*com
4（2017内蒙古赤峰）如果关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
5（2017?黄石）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2=0
（1）求证：该方程有两个不等的实根；
（2）若该方程的两个实数根x1、x2满足x1+2x2=9，求m的值．
类型三 根的判别式与其它知识点综合考查
1．（2017四川南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m=0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2=7，求m的值．
2．（2017绥化）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0
（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．
3．(2017?玉林）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（t﹣1）x+t﹣2=0．
（1）求证：对于任意实数t，方程都有实数根；
（2）当t为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由．
备考2018中考数学高频考点剖析
专题六 一元二次方程判别式问题
考点扫描☆聚焦中考
一元二次方程判别式问题，是各省各市地中考的必考内容之一，考查的知识点包括判断根的情况、判断所含字母的取值范围及其与其它知识点的综合运用等三个方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以判断所含字母取值范围并结合其它知识点综合考查为主。结合2017年全国各地中考的实例，我们从三方面进行一元二次方程判别式问题的探讨：
（1）判断根的情况；
（2）判断所含字母取值范围；
（3）与其它知识综合应用．
考点剖析☆典型例题
例1（2017宁夏）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+3x﹣2=0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．且a≠1 D．且a≠1
【分析】根据一元而次方程的定义和判别式的意义得到a≠1且△=32﹣4（a﹣1）（﹣2）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得a≠1且△=32﹣4（a﹣1）（﹣2）≥0，
解得a≥﹣且a≠1．
故选D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．【来源：
例2（2017?益阳）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，那么下列结论一定成立的是（ ）
A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac=0 C．b2﹣4ac＜0 D．b2﹣4ac≤0
【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，确定出根的判别式的符号即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，
∴b2﹣4ac＞0，
故选A
【点评】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
例3（2017湖北荆州）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：
①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程；
②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；
③若关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；21世纪教育网版权所有
④若点（m，n）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程．
上述结论中正确的有（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
【分析】①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；
②设x2=2x1，得到x1?x2=2x12=2，得到当x1=1时，x2=2，当x1=﹣1时，x2=﹣2，于是得到结论；
③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；
④若点（m，n）在反比例函数y=的图象上，得到mn=4，然后解方程mx2+5x+n=0即可得到正确的结论；
【解答】解：①由x2﹣2x﹣8=0，得
（x﹣4）（x+2）=0，
解得x1=4，x2=﹣2，
∵x1≠2x2，或x2≠2x1，
∴方程x2﹣2x﹣8=0不是倍根方程．
故①错误；
②关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，
∴设x2=2x1，
∴x1?x2=2x12=2，
∴x1=±1，
当x1=1时，x2=2，
当x1=﹣1时，x2=﹣2，
∴x1+x2=﹣a=±3，
∴a=±3，故②正确；
③关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，
∴x2=2x1，
∵抛物线y=ax2﹣6ax+c的对称轴是直线x=3，
∴抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），
故③正确；
④∵点（m，n）在反比例函数y=的图象上，
∴mn=4，
解mx2+5x+n=0得x1=﹣，x2=﹣，
∴x2=4x1，
∴关于x的方程mx2+5x+n=0不是倍根方程；
故选C．
例4（2017湖南岳阳）在△ABC中BC=2，AB=2，AC=b，且关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为 2 ．21cnjy.com
【分析】由根的判别式求出AC=b=4，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．21·世纪*教育网
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，
∴△=16﹣4b=0，
∴AC=b=4，
∵BC=2，AB=2，
∴BC2+AB2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，
∴AC边上的中线长=AC=2；
故答案为：2．
【点评】本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质；证明△ABC是直角三角形是解决问题的关键．www.21-cn-jy.com
考点过关☆专项突破
类型一 判断根的情况
1. （2017贵州安顺）若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣3
【考点】AA：根的判别式．
【分析】首先根据题意求得判别式△=m2﹣4＞0，然后根据△＞0?方程有两个不相等的实数根；求得答案．【出处：21教育名师】21*cnjy*com
【解答】解：∵a=1，b=m，c=1，
∴△=b2﹣4ac=m2﹣4×1×1=m2﹣4，
∵关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，
∴m2﹣4＞0，
则m的值可以是：﹣3，
故选：D．
2. （2017广西河池）若关于x的方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
【考点】AA：根的判别式．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式可得出关于a的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：∵方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，
∴△=22﹣4×1×（﹣a）=4+4a=0，
解得：a=﹣1．
故选A．
3. （2017山东滨州）一元二次方程x2﹣2x=0根的判别式的值为（ ）
A．4 B．2 C．0 D．﹣4
【分析】直接利用判别式的定义，计算△=b2﹣4ac即可．
【解答】解：△=（﹣2）2﹣4×1×0=4．[来
故选A．
4.（2017年江苏扬州）一元二次方程x2﹣7x﹣2=0的实数根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【考点】AA：根的判别式．
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵△=（﹣7）2﹣4×（﹣2）=57＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选A．
5. (2017湖北咸宁)已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（ ）【出处：21教育名师】
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【分析】先利用第二象限点的坐标特征得到ac＜0，则判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．21教育网
【解答】解：∵点P（a，c）在第二象限，
∴a＜0，c＞0，
∴ac＜0，
∴△=b2﹣4ac＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选B．
6. （2017甘肃张掖）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是 ．21教育名师原创作品
【分析】根据一元二次方程有实数根可得k﹣1≠0，且b2﹣4ac=16﹣4（k﹣1）≥0，解之即可．
【解答】解：∵一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，
∴k﹣1≠0，且b2﹣4ac=16﹣4（k﹣1）≥0，
解得：k≤5且k≠1，
故答案为：k≤5且k≠1．
类型二 判断所含字母取值范围
1. （2017呼和浩特）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】21*cnjy*com
A．2 B．0 C．1 D．2或0
【分析】设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，然后利用判别式的意义确定a的取值．2-1-c-n-j-y
【解答】解：设方程的两根为x1，x2，
根据题意得x1+x2=0，
所以a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，
当a=2时，方程化为x2+1=0，△=﹣4＜0，故a=2舍去，
所以a的值为0．
故选B．
2．（2017齐齐哈尔）若关于x的方程kx2﹣3x﹣=0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k=0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1
【分析】讨论：当k=0时，方程化为﹣3x﹣=0，方程有一个实数解；当k≠0时，△=（﹣3）2﹣4k?（﹣）≥0，然后求出两个中情况下的k的公共部分即可．
【解答】解：当k=0时，方程化为﹣3x﹣=0，解得x=；
当k≠0时，△=（﹣3）2﹣4k?（﹣）≥0，解得k≥﹣1，
所以k的范围为k≥﹣1．
故选C．
3．（2017山东泰安）关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+（k2﹣1）=0无实数根，则k的取值范围为 ．【来源：21·世纪·教育·网】
【分析】根据判别式的意义得到△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＜0，
解得k＞．
故答案为k＞．
4（2017内蒙古赤峰）如果关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=16﹣8m＞0，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，
∴△=（﹣4）2﹣4×2m=16﹣8m＞0，
解得：m＜2．
故答案为：m＜2．
5（2017?黄石）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2=0
（1）求证：该方程有两个不等的实根；
（2）若该方程的两个实数根x1、x2满足x1+2x2=9，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=16+4m2＞0，由此可证出该方程有两个不等的实根；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=4①、x1?x2=﹣m2②，结合x1+2x2=9③，可求出x1、x2的值，将其代入②中即可求出m的值．
【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣4x﹣m2=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m2）=16+4m2＞0，
∴该方程有两个不等的实根；
（2）解：∵该方程的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2=4①，x1?x2=﹣m2②．
∵x1+2x2=9③，
∴联立①③解之，得：x1=﹣1，x2=5，
∴x1?x2=﹣5=﹣m2，
解得：m=±．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）联立x1+x2=4①、x1+2x2=9③，求出x1、x2的值．
类型三 根的判别式与其它知识点综合考查
1．（2017四川南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m=0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2=7，求m的值．
【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的△的值大于0即可；
（2）根据根与系数的关系可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值．
【解答】（1）证明：∵x2﹣（m﹣3）x﹣m=0，
∴△=[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵x2﹣（m﹣3）x﹣m=0，方程的两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2=7，
∴，
∴（m﹣3）2﹣3×（﹣m）=7，
解得，m1=1，m2=2，
即m的值是1或2．
2．（2017绥化）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0
（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4m+17＞0，解之即可得出结论；
（2）设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据a+b=﹣2m﹣1＞0，即可确定m的值．21cnjy.com
【解答】解：（1）∵方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根，
∴△=（2m+1）2﹣4（m2﹣4）=4m+17＞0，
解得：m＞﹣．
∴当m＞﹣时，方程有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两根分别为a、b，
根据题意得：a+b=﹣2m﹣1，ab=m2﹣4．
∵2a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，
∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（﹣2m﹣1）2﹣2（m2﹣4）=2m2+4m+9=52=25，
解得：m=﹣4或m=2．
∵a＞0，b＞0，
∴a+b=﹣2m﹣1＞0，
∴m=﹣4．
若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为﹣4．
3．2017?玉林）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（t﹣1）x+t﹣2=0．
（1）求证：对于任意实数t，方程都有实数根；
（2）当t为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=（t﹣3）2≥0，由此可证出：对于任意实数t，方程都有实数根；21·cn·jy·com
（2）设方程的两根分别为m、n，由方程的两根为相反数结合根与系数的关系，即可得出m+n=t﹣1=0，解之即可得出结论．
【解答】（1）证明：在方程x2﹣（t﹣1）x+t﹣2=0中，△=[﹣（t﹣1）]2﹣4×1×（t﹣2）=t2﹣6t+9=（t﹣3）2≥0，【版权所有：21教育】
∴对于任意实数t，方程都有实数根；
（2）解：设方程的两根分别为m、n，
∵方程的两个根互为相反数，
∴m+n=t﹣1=0，
解得：t=1．
∴当t=1时，方程的两个根互为相反数．
【点评】本题考查了根的判别式、相反数以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）根据相反数的定义结合根与系数的关系，找出t﹣1=0．
