4.3 特殊三角形
一、等腰三角形
1、等腰三角形的性质:等腰三角形的两个底角________（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线________底边并且________于底边.即等腰三角形的顶角平分线、________、________重合.（三线合一）【出处：21教育名师】
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于________.
2、等腰三角形的判定:如果一个三角形有两个角________，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）.
推论1：三个角都相等的三角形是________三角形
推论2：有一个角是60°的________三角形是等边三角形.
二、等边三角形
1、定义:三条边都________的三角形是等边三角形.
2、性质：等边三角形的各角都________，并且每一个角都等于________
3、判定:（1）三个角都________的三角形是等边三角形；
（2）有一个角等于________的等腰三角形是等边三角形.
三、直角三角形
1、定义：有一个角是________的三角形叫作直角三角形
2、性质：（1）直角三角形两锐角________.
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于________的一半；
（3）在直角三角形中，斜边上的________等于斜边的一半.
3、判定：（1）两个内角________的三角形是直角三角形.
（2）三角形一边上的中线等于这条边的________，那么这个三角形是直角三角形.[来源:学科网ZXXK]
四、勾股定理及逆定理
1、勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的________等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2;
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：________，那么这个三角形是直角三角形.21cnjy.com
五、互逆命题、互逆定理
1、互逆命题：如果一个命题的题设和________是另一个命题的结论和________，我们把风这两个命题叫做互逆命题.把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
2、互逆定理：若一个定理的逆命题是________的，那么它就是这个定理的逆定理，称这两个定理为互逆定理.21*cnjy*com
考点一：等腰三角形的性质及判定
如图，在△ABC中，AB=AC=6，D是BC上的点，DF∥AB交AC于点F，DE∥AC交AB于E，那么四边形AFDE的周长为（ ）【版权所有：21教育】
A. 6 B. 12 C. 24 D. 48
【答案】B
【解析】解：∵AB=AC=6，∴∠B=∠C.
∵DF∥AB, ∴∠CDF＝∠B, ∴∠CDF＝∠C, ∴DF＝CF.
同理可求：DE＝BD.
∴四边形AFDE的周长：AE+DE+DF+AF=AE+BE+AF+CF=AB+AC=6+6=12.
故选B.
【点评】利用等腰三角形的判定及性质即可求解.
变式跟进1等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15 cm和6 cm两部分．求等腰三角形的底边长．
考点二：等边三角形的性质及判定
如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=．将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至矩形AB′C′D′，使得点B′恰好落在对角线BD上，连接DD′，则DD′的长度为（ ）
A. B. C. +1 D. 2
【答案】A
【解析】解：∵矩形ABCD中，AB=1，BC=，
∴AD=BC=，
∴tan∠ABD==，
∴∠ABD=60°，
∵AB=AB′，
∴△ABB′是等边三角形，
∴∠BAB′=60°，
∴∠DAD′=60°，
∵AD=AD′，
∴△ADD′是等边三角形，
∴DD′=AD=BC=，
故选A．
【点评】先求出∠ABD′=60°，利用旋转的性质即可得到AB=AB′，进而得到△ABB′是等边三角形，于是得到∠BAB′=60°，再次利用旋转的性质得到∠DAD′=60°，结合AD=AD′，可得到△ADD′是等边三角形，最后得到DD′的长度．21教育网
变式跟进2如图，线段， 为线段上的一个动点，以、为边作等边和等边，⊙外接于，则⊙半径的最小值为__________．
考点三：等腰三角形中的多解问题
如图1，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=4 cm，E为CD中点．点P从A点出发，沿A—B—C的方向在矩形边上匀速运动，速度为1 cm /s，运动到C点停止.设点P运动的时间为t s.（图2为备用图）
（1）当P在AB上，t为何值时，△APE的面积是矩形ABCD面积的？
（2）在整个运动过程中，t为何值时，△APE为等腰三角形？
【答案】（1）4；（2）或5或6.
【解析】解：（1）设t秒后，△APE的面积为长方形面积的
根据题意得：AP=t，∴△APE的面积=AP?AD=，解得：t=4
∴4秒后，△APE的面积为长方形面积的
（2）①当P在AE垂直平分线上时，AP=EP
∴AP2=EP2
∴
解得：
②当EA=EB时，AP=6，∴t=6
③当AE=AP时，∴t=5
∴当t=或5或6时，△APE是等腰三角形.
【点评】（1）求出矩形的面积，即可得出关于t的方程，求出方程的解即可； （2）当P在AB上时，分为AP=AE，AP=PE，AE=PE三种情况，画出图形，根据等腰三角形的性质得出即可；当P在BC上时，根据AP、AE、PE的长度大小得出即可．
变式跟进3如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=20，BC=15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．
（1）当t=2时，CD=_________，AD=_________；（请直接写出答案）
（2）当t=_________时，△CBD是直角三角形；（请直接写出答案）
（3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．
考点四： 直角三角形斜边上的中线问题
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB的中点，CD=6cm，则AB的长为_______ cm．
【答案】12.
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴线段CD是斜边AB上的中线；
又∵CD=6cm，
∴AB=2CD=12cm．
【点评】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
变式跟进4在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是________．
考点五：勾股定理及其逆定理
如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形A′BC′D′．若边A′B交线段CD于H，且BH=DH，则DH的值是（ ）
A. B. 8-2 C. D. 6
【答案】C
【解析】解：设DH=x,
在 中，
故选 .
【点评】设DH=x，利用勾股定理列出方程即可.
变式跟进5如图，已知∠ADC=90°，AD=8，CD=6，AB=26，BC=24．
（1）试说明：△ABC是直角三角形．
（2）请求图中阴影部分的面积．
一、选择题
1、（2017?包头）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（?? ）
A、2cm B、4cm C、6cm D、8cm
2、（2017?烟台）某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为（?? ）
A、48° B、40° C、30° D、24°
3、（2017?营口）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（?? ）
A、4 B、5 C、6 D、7
4、（2017?营口）如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（?? ）
A、∠ECD=112.5° B、DE平分∠FDC C、∠DEC=30° D、AB= CD
5、（2017?黄石）如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB=2，AC=1，DE= ，则∠CDE+∠ACD=（?? ）
A、60° B、75° C、90° D、105°
6、（2017?株洲）如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard? point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle? 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard?? 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（?? ）
A、5 B、4 C、 D、
7、（2017?河池）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（?? ）
A、3 B、4 C、8 D、9
8、（2017·武汉）如图，在中，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）
A．4 B．5 C． 6 D．7
9、（2017?湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是小明用如图所示的七巧板拼成的，则不是小明拼成的那副图是（?? ）
A、 B、C、 D、
10、（2017?济宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为 ，则图中阴影部分的面积是（?? ）
A、 B、 C、﹣ D、
二、填空题
11、（2015?赤峰）如图，M、N分别是正方形ABCD边DC、AB的中点，分别以AE、BF为折痕，使点D、点C落在MN的点G处，则△ABG是?________三角形.
12、（2017?绥化）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD= BC，则△ABC的顶角的度数为________．
13、（2017?六盘水）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB=________度．
14、（2017?青岛）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为________度．
15、（2016?武汉）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=5 ，则BD的长为________．
16、（2017?齐齐哈尔）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为________．
三、解答题
17、（2017?恩施州）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于点P．求证：∠AOB=60°．www-2-1-cnjy-com
18、（2016?广东）如图，Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E=30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI=90°．若AC=a，求CI的长．
19、（2017·台州）如图，已知等腰直角△ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径
(1)求证：△APE是等腰直角三角形；
(2)若⊙O的直径为2，求 的值
20、（2015?牡丹江）在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=30°，以AC为一边作等边△ACD，连接BD．请画出图形，并直接写出△BCD的面积．
一、选择题
1、（2017南京秦淮区一模）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（?? ）
A、2，3，3 B、2，3，4 C、2，3，5 D、3，4，5
2、（2017三门峡一模）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（?? ）
A、2 B、 C、 D、
3、（2017南阳唐河县一模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（?? ）
A、7 B、8 C、9 D、10
4、（2017乐清模拟）如图，等边△AOB中，点B在x轴正半轴上，点A坐标为（1， ），将△AOB绕点O逆时针旋转30°，此时点A对应点A′的坐标是（?? ）
A、（0， ） B、（2，0） C、（0，2） D、（ ，1）
5、（2017内江资中县二模）如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP， 其中正确的个数是（?? ）
A、1 B、2 C、3 D、4
6、（2017菏泽市曹县二模）如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（?? ）
A、1：3 B、2：3 C、：2 D、：3
7、（2017石家市裕华区一模）如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（?? ）
A、B、C、D、
8、（2017苏州校级模拟）一辆拖拉机沿着公路l以20km/h的速度前行，幼儿园R距离公路l大约3km，拖拉机产生的噪音能够影响周围5km的区域，则幼儿园学生受拖拉机噪音影响持续的时间约为（ ）www.21-cn-jy.com
A、0.4h B、0.8h C、1.2h D、1.5h
9、（2016西安校级模拟）如图，已知△ACB与△DFE是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为18 cm，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图①所示的形状，使点B，C，F，D在同一条直线上，且点C与点F重合，将图①中的△ACB绕点C顺时针方向旋转到图②的位置，点E在AB边上，AC交DE于点G，则线段FG的长为( )
A、cm B、cm C、cm D、9cm
10、（2017枣庄薛城模拟）如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（?? ）2·1·c·n·j·y
A、 B、2 C、 D、10﹣5
二、填空题
11、（2017山西百校联考）“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为________尺．
12、（2017盘锦一模）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为________．
13、（2017哈尔滨香坊区一模）已知等边三角形ABC的边长为8，P是BC边上一点，连接AP，若AP=7，则BP的长为________．2-1-c-n-j-y
14、（2017绍兴校级模拟）一个大的等腰三角形能被分割为两个小等腰三角形，则该大等腰三角形顶角的度数是________．【来源：21cnj*y.co*m】
15、（2016贵阳模拟）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，如果AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形ABCD的面积等于________．21教育名师原创作品
16、（2017唐山滦县一模）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=30°，点A坐标为（2，0），过A作AA1⊥OB，垂足为点A1；过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2；再过点A2作A2A3⊥OB，垂足为点A3；则A2A3=________；再过点A3作A3A4⊥x轴，垂足为点A4…；这样一直作下去，则A2017的纵坐标为________．21*cnjy*com
三、解答题
17、（2016海口校级模拟）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
18、（2016西安校级模拟）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？（参考数据： =1.41， =1.73）21·世纪*教育网
19、（2017嘉兴联考）如图，在Rt△ABC中，∠B=Rt∠,直角边AB、BC的长(AB＜BC)是方程x2－7x＋12＝0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t(秒)．
(1)求AB与BC的长；
(2)当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为 时运动时间t的值；
(3)点P在运动的过程中，是否存在点P，使△ABP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．【来源：21·世纪·教育·网】
20、（2016绥化校级模拟）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形.
(1)如图1，△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E.
求证：AE是△ABC的一条特异线.
(2)如图2，已知BD是△ABC的一条特异线，其中∠A= ，∠ABC为钝角，求出所有可能的∠ABC的度数.
(3)如图3，△ABC是一个腰长为2的等腰锐角三角形，且它是特异三角形，若它的顶角度数为整数，请求出其特异线的长度；若它的顶角度数不是整数，请直接写出顶角度数.
4.3 特殊三角形
一、等腰三角形
1、等腰三角形的性质:等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.（三线合一）
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°.
2、等腰三角形的判定:如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）.
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
二、等边三角形
1、定义:三条边都相等的三角形是等边三角形.
2、性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
3、判定:（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
三、直角三角形
1、定义：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
2、性质：（1）直角三角形两锐角互余.
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
3、判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
四、勾股定理及逆定理
1、勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2;
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.21世纪教育网版权所有
五、互逆命题、互逆定理
1、互逆命题：如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，我们把风这两个命题叫做互逆命题.把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
2、互逆定理：若一个定理的逆命题是正确的，那么它就是这个定理的逆定理，称这两个定理为互逆定理.
考点一：等腰三角形的性质及判定
如图，在△ABC中，AB=AC=6，D是BC上的点，DF∥AB交AC于点F，DE∥AC交AB于E，那么四边形AFDE的周长为（ ）21cnjy.com
A. 6 B. 12 C. 24 D. 48
【答案】B
【解析】解：∵AB=AC=6，∴∠B=∠C.
∵DF∥AB, ∴∠CDF＝∠B, ∴∠CDF＝∠C, ∴DF＝CF.
同理可求：DE＝BD.
∴四边形AFDE的周长：AE+DE+DF+AF=AE+BE+AF+CF=AB+AC=6+6=12.
故选B.
【点评】利用等腰三角形的判定及性质即可求解.
变式跟进1等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15 cm和6 cm两部分．求等腰三角形的底边长．
【答案】1cm
【解析】解：∵等腰三角形的周长是15cm+6cm=21cm，
设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm,ycm,
由题意得或 ，
解得或 (不符舍去)，
∴等腰三角形的底边长为1cm..
【点评】设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具休是哪部分的长为15，故应该列两个方程组求解．
考点二：等边三角形的性质及判定
如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=．将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至矩形AB′C′D′，使得点B′恰好落在对角线BD上，连接DD′，则DD′的长度为（ ）
A. B. C. +1 D. 2
【答案】A
【解析】解：∵矩形ABCD中，AB=1，BC=，
∴AD=BC=，
∴tan∠ABD==，
∴∠ABD=60°，
∵AB=AB′，
∴△ABB′是等边三角形，
∴∠BAB′=60°，
∴∠DAD′=60°，
∵AD=AD′，
∴△ADD′是等边三角形，
∴DD′=AD=BC=，
故选A．
【点评】先求出∠ABD′=60°，利用旋转的性质即可得到AB=AB′，进而得到△ABB′是等边三角形，于是得到∠BAB′=60°，再次利用旋转的性质得到∠DAD′=60°，结合AD=AD′，可得到△ADD′是等边三角形，最后得到DD′的长度．
变式跟进2如图，线段， 为线段上的一个动点，以、为边作等边和等边，⊙外接于，则⊙半径的最小值为__________．
【答案】
【解析】如图，分别作、的角平分线，交点为，
∴、为等边三角形，
∴、为、中垂线，
∵⊙的圆心在、中垂线上．
∴点与点重合，
连接，若半径最短，则，
∵， ，
∴，
∴，
∴在中， ，
∴，
．
【点评】本题考查了圆的综合题.需要掌握等边三角形的“是那先合一”的性质，三角形的外接圆圆心为三角形的垂心，点到直线的距离垂线段最短以及解直角三角形等知识点.难度不大，注意数形结合数学思想的应用.
考点三：等腰三角形中的多解问题
如图1，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=4 cm，E为CD中点．点P从A点出发，沿A—B—C的方向在矩形边上匀速运动，速度为1 cm /s，运动到C点停止.设点P运动的时间为t s.（图2为备用图）
（1）当P在AB上，t为何值时，△APE的面积是矩形ABCD面积的？
（2）在整个运动过程中，t为何值时，△APE为等腰三角形？
【答案】（1）4；（2）或5或6.
【解析】解：（1）设t秒后，△APE的面积为长方形面积的
根据题意得：AP=t，∴△APE的面积=AP?AD=，解得：t=4
∴4秒后，△APE的面积为长方形面积的
（2）①当P在AE垂直平分线上时，AP=EP
∴AP2=EP2
∴
解得：
②当EA=EB时，AP=6，∴t=6
③当AE=AP时，∴t=5
∴当t=或5或6时，△APE是等腰三角形.
【点评】（1）求出矩形的面积，即可得出关于t的方程，求出方程的解即可； （2）当P在AB上时，分为AP=AE，AP=PE，AE=PE三种情况，画出图形，根据等腰三角形的性质得出即可；当P在BC上时，根据AP、AE、PE的长度大小得出即可．
变式跟进3如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=20，BC=15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．
（1）当t=2时，CD= ，AD= ；（请直接写出答案）
（2）当t= 时，△CBD是直角三角形；（请直接写出答案）
（3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．
【答案】（1）4，21；（2）4.5或12.5秒；（3）t=6.25或7.5或9秒时，△CBD是等腰三角形．
【解析】解：(1)t=2时，CD=2×2=4，
∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15，
∴AC==25，
AD=AC?CD=25?4=21；
(2)①∠CDB=90°时,S△ABC=AC?BD=AB?BC，
即×25?BD=×20×15，
解得BD=12，
所以CD==9，
t=9÷2=4.5(秒)；
②∠CBD=90°时，点D和点A重合，
t=25÷2=12.5(秒)，
综上所述，t=4.5或12.5秒；
故答案为：（1）4，21；（2）4.5或12.5秒；
（3）①CD=BD时，如图1，
过点D作DE⊥BC于E，
则CE=BE，
CD=AD=AC=×25=12.5，（或利用余角的性质说明CD=BD=AD）
t=12.5÷2=6.25；
②CD=BC时，CD=15，t=15÷2=7.5；
③BD=BC时，如图2，
过点B作BF⊥AC于F，
则CF=9，
CD=2CF=9×2=18，
t=18÷2=9，
综上所述，t=6.25或7.5或9秒时，△CBD是等腰三角形．
【点评】（1）根据CD=速度×时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根据AD=AC-CD代入数据进行计算即可得解；（2）分①∠CDB=90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间=路程÷速度计算；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解；（3）分①CD=BD时，过点D作DE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=BE，从而得到CD=AD；②CD=BC时，CD=6；③BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF，再由（2）的结论解答．
考点四： 直角三角形斜边上的中线问题
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB的中点，CD=6cm，则AB的长为 cm．
【答案】12.
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴线段CD是斜边AB上的中线；
又∵CD=6cm，
∴AB=2CD=12cm．
【点评】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
变式跟进4在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是________．
【答案】或
【解析】解：①如图所示：
连接CD，则
．
∵D为AB的中点，
∴．
②如图所示：
【点评】先根据题意画出图形．此题要分两种情况，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可求出斜边的长．
考点五：勾股定理及其逆定理
如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形A′BC′D′．若边A′B交线段CD于H，且BH=DH，则DH的值是（ ）
A. B. 8-2 C. D. 6
【答案】C
【解析】解：设DH=x,
在 中，
故选 .
【点评】设DH=x，利用勾股定理列出方程即可.
变式跟进5如图，已知∠ADC=90°，AD=8，CD=6，AB=26，BC=24．
（1）试说明：△ABC是直角三角形．
（2）请求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）S阴影=96.
【解析】解：（1）∵在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=8，CD=6，
∴AC2=AD2+CD2=82+62=100，
∴AC=10（取正值）．
在△ABC中，∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形；
（2）S阴影=SRt△ABC﹣SRt△ACD
=×10×24﹣×8×6=96．
【点评】（1）先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可证明△ABC为直角三角形；（2）根据S阴影=SRt△ABC-SRt△ACD，利用三角形的面积公式计算即可求解．
一、选择题
1、（2017?包头）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（?? ）21*cnjy*com
A、2cm B、4cm C、6cm D、8cm
【答案】A
【解析】解：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣2﹣2=6（cm），2+2＜6，不符合三角形的三边关系； 若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2=4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；
故选A．
【点评】分为两种情况：2cm是等腰三角形的腰或2cm是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
2、（2017?烟台）某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为（?? ）
A、48° B、40° C、30° D、24°
【答案】D
【解析】解：∵AB∥CD， ∴∠1=∠BAE=48°，
∵∠1=∠C+∠E，
∵CF=EF，
∴∠C=∠E，
∴∠C= ∠1= ×48°=24°．
故选D．
【点评】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠1=∠BAE=45°，然后根据三角形外角性质计算∠C的度数．
3、（2017?营口）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（?? ）
A、4 B、5 C、6 D、7
【答案】B
【解析】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP． 此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．
∵DC=1，BC=4，
∴BD=3，
连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，
∴∠CBC′=90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，
∴BC=BC′=4，
根据勾股定理可得DC′= = =5．
故选B．
【点评】过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP，此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．由DC=1，BC=4，得到BD=3，连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，于是得到∠CBC′=90°，然后根据勾股定理即可得到结论．
4、（2017?营口）如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（?? ）
A、∠ECD=112.5° B、DE平分∠FDC C、∠DEC=30° D、AB= CD
【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，∠CAB=45°， ∴∠B=∠ACB=67.5°．
∵Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，
∴∠ACD=45°，AD=DC，
∴∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，故A正确，不符合题意；
∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴FE= AB，FE∥AB，
∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°．
∵F是AC的中点，∠ADC=90°，AD=DC，
∴FD= AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，
∵AB=AC，
∴FE=FD，
∴∠FDE=∠FED= （180°﹣∠EFD）= （180°﹣135°）=22.5°，
∴∠FDE= ∠FDC，
∴DE平分∠FDC，故B正确，不符合题意；
∵∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，
∴∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，故C错误，符合题意；
∵Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=DC，
∴AC= CD，
∵AB=AC，
∴AB= CD，故D正确，不符合题意．
故选C．
【点评】由AB=AC，∠CAB=45°，根据等边对等角及三角形内角和定理求出∠B=∠ACB=67.5°．由Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，根据三角形内角和定理求出∠ACD=45°，根据等角对等边得出AD=DC，那么∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，从而判断A正确；www.21-cn-jy.com
根据三角形的中位线定理得到FE= AB，FE∥AB，根据平行线的性质得出∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°．根据直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得到FD= AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，等量代换得到FE=FD，再求出∠FDE=∠FED=22.5°，进而判断B正确；
由∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，求出∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，从而判断C错误；
在等腰Rt△ADC中利用勾股定理求出AC= CD，又AB=AC，等量代换得到AB= CD，从而判断D正确．
5、（2017?黄石）如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB=2，AC=1，DE= ，则∠CDE+∠ACD=（?? ）
A、60° B、75° C、90° D、105°
【答案】C
【解析】解：∵CD⊥AB，E为BC边的中点， ∴BC=2CE= ，
∵AB=2，AC=1，
∴AC2+BC2=12+（ ）2=4=22=AB2 ，
∴∠ACB=90°，
∵tan∠A= = ，
∴∠A=60°，
∴∠ACD=∠B=30°，
∴∠DCE=60°，
∵DE=CE，
∴∠CDE=60°，
∴∠CDE+∠ACD=90°，
故选C．
【点评】根据直角三角形的性质得到BC=2CE= ，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据三角函数的定义得到∠A=60°，求得∠ACD=∠B=30°，得到∠DCE=60°，于是得到结论．
6、（2017?株洲）如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard? point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle? 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard?? 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（?? ）
A、5 B、4 C、 D、
【答案】D
【解析】解：如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，
∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，
∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3，
∴△DQF∽△FQE，
∴ = = = ，
∵DQ=1，
∴FQ= ，EQ=2，
∴EQ+FQ=2+ ，
故选D
【点评】由△DQF∽△FQE，推出 = = = ，由此求出EQ、FQ即可解决问题．
7、（2017?河池）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（?? ）
A、3 B、4 C、8 D、9
【答案】C
【解析】解：如图，
设BD=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB，
∴∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，
∴BF=2x，
∴CF=12﹣2x，
∴CE=2CF=24﹣4x，
∴AE=12﹣CE=4x﹣12，
∴AD=2AE=8x﹣24，
∵AD+BD=AB，
∴8x﹣24+x=12，
∴x=4，
∴AD=8x﹣24=32﹣24=8．
故选C．
【点评】设BD=x，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定义得到∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，解直角三角形即可得到结论．
8、（2017·武汉）如图，在中，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）
A．4 B．5 C． 6 D．7
【答案】C
【解析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形； ②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形； ③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形； ④作AC的垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形； ⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形； ⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI是等腰三角形．
故选C.
【点评】根据等腰三角形的定义，利用分类讨论思想即可画出相应的等腰三角形.
9、（2017?湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是小明用如图所示的七巧板拼成的，则不是小明拼成的那副图是（?? ）
A、 B、C、 D、
【答案】C
【解析】解：设正方形的边长为2，从而可知①②都是直角边为的等腰直角三角形；?③⑥都是直角边为的等腰直角三角形； ④是两边长分别为1和的平行四边形；⑤是边长为的正方形；⑦是 直角边为1的等腰直角三角形；根据重叠的长要相等从而可以得出答案为C。
【点评】根据勾股定理，可判断边长之间的关系，从而知道构不成C图案.
10、（2017?济宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为 ，则图中阴影部分的面积是（?? ）
A、 B、 C、﹣ D、
【答案】A
【解析】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=1， ∴AB= ，
∴S扇形ABD= = .
又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，
∴Rt△ADE≌Rt△ACB，
∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD= .
故选：A.
【点评】先根据勾股定理得到AB= ，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD ， 由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD.
二、填空题
11、（2015?赤峰）如图，M、N分别是正方形ABCD边DC、AB的中点，分别以AE、BF为折痕，使点D、点C落在MN的点G处，则△ABG是?________三角形.
【答案】等边
【解析】解：由折叠的性质可知AG=AD，BG=BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC．
∴AG=AB=BG．
∴△ABG是等边三角形．
故答案为：等边．
【点评】由折叠的性质可知AG=AD，BG=BC，然后根据正方形的性质可知：AD=AB=BC，从而可知：AG=AB=BG．21教育网
12、（2017?绥化）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD= BC，则△ABC的顶角的度数为________．
【答案】30°或150°或90°
【解析】解：①BC为腰，
∵AD⊥BC于点D，AD= BC，
∴∠ACD=30°，
如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，
如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，
②BC为底，如图3，
∵AD⊥BC于点D，AD= BC，
∴AD=BD=CD，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∴∠BAD+∠CAD= ×180°=90°，
∴顶角∠BAC=90°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．
故答案为：30°或150°或90°．
【点评】分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．
13、（2017?六盘水）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB=________度．
【答案】75
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF=（90°﹣60°）÷2=15°，
∴∠AEB=75°，
故答案为75．
【点评】只要证明△ABE≌△ADF，可得∠BAE=∠DAF=（90°﹣60°）÷2=15°，即可解决问题．
14、（2017?青岛）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为________度．
【答案】32
【解析】解：∵∠ABC=∠ADC=90°， ∴点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，
∵∠BAD=58°，
∴∠DEB=116°，
∵DE=BE= AC，
∴∠EBD=∠EDB=32°，
故答案为：32．
【点评】根据已知条件得到点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，根据圆周角定理得到∠DEB=116°，根据直角三角形的性质得到DE=BE= AC，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
15、（2016?武汉）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=5 ，则BD的长为________．
【答案】 2
【解析】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，如图所示：
则∠M=90°，
∴∠DCM+∠CDM=90°，
∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC2=AB2+BC2=25，
∵CD=10，AD=5 ，
∴AC2+CD2=AD2 ，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠DCM=90°，
∴∠ACB=∠CDM，
∵∠ABC=∠M=90°，
∴△ABC∽△CMD，
∴ = ，
∴CM=2AB=6，DM=2BC=8，
∴BM=BC+CM=10，
∴BD= = =2 ，
故答案为：2
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形是解决问题的关键．作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，由勾股定理得出AC2=AB2+BC2=25，求出AC2+CD2=AD2 ， 由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，证出∠ACB=∠CDM，得出△ABC∽△CMD，由相似三角形的对应边成比例求出CM=2AB=6，DM=2BC=8，得出BM=BC+CM=10，再由勾股定理求出BD即可．
16、（2017?齐齐哈尔）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为________．
【答案】113°或92°
【解析】解：∵△BCD∽△BAC，
∴∠BCD=∠A=46°，
∵△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD，
∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，①当AC=AD时，∠ACD=∠ADC= （180°﹣46°）=67°，
∴∠ACB=67°+46°=113°，②当DA=DC时，∠ACD=∠A=46°，
∴∠ACB=46°+46°=92°，
故答案为113°或92°．
【点评】由△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD，推出∠ADC＞∠A，即AC≠CD，分两种情形讨论①当AC=AD时，②当DA=DC时，分别求解即可．
三、解答题
17、（2017?恩施州）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于点P．求证：∠AOB=60°．
【答案】证明见解析
【解析】解：∵△ABC和△ECD都是等边三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中， ，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠APO=∠BPC，
∴∠AOP=∠BCP=60°，即∠AOB=60°．
【点评】利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，可得∠CAD=∠CBE，然后求出∠OAB+∠OBA=120°，再根据“八字型”证明∠AOP=∠PCB=60°即可．
18、（2016?广东）如图，Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E=30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI=90°．若AC=a，求CI的长．
【答案】
【解析】解：在Rt△ACB中，∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠A=90°﹣30°=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=30°，
在Rt△ACD中，AC=a，
∴AD= a，
由勾股定理得：CD= = ，
同理得：FC= × = ，CH= × = ，
在Rt△HCI中，∠I=30°，
∴HI=2HC= ，
由勾股定理得：CI= = ，
答：CI的长为 ．
【点评】在Rt△ACD中，利用30度角的性质和勾股定理求CD的长；同理在Rt△ECD中求FC的长，在Rt△FCG中求CH的长；最后在Rt△HCI中，利用30度角的性质和勾股定理求CI的长．
19、（2017·台州）如图，已知等腰直角△ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径
(1)求证：△APE是等腰直角三角形；
(2)若⊙O的直径为2，求 的值
【答案】（1）证明见解析；（2）4
【解析】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=∠ABC=45°,
∴∠PEA=∠ABC=45°
又∵PE是⊙O的直径，
∴∠PAE=90°,
∴∠PEA=∠APE=45°,
∴ △APE是等腰直角三角形.
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=AB,
同理AP=AE,
又∵∠CAB=∠PAE=90°,
∴∠CAP=∠BAE,
∴△CPA≌△BAE,
∴CP=BE,
在Rt△BPE中，∠PBE=90°,PE=2,
∴PB2+BE2=PE2,
∴CP2+PB2=PE2=4.
【点评】（1）根据等腰直角三角形性质得出∠C=∠ABC=∠PEA=45°，再由PE是⊙O的直径，得出∠PAE=90°,∠PEA=∠APE=45°,从而得证.（2）根据题意可知，AC=AB,AP=AE,再证△CPA≌△BAE,得出CP=BE,依勾股定理即可得证.
20、（2015?牡丹江）在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=30°，以AC为一边作等边△ACD，连接BD．请画出图形，并直接写出△BCD的面积．
【答案】答案见解析
【解析】解：如图所示：
过点D作DE⊥BC延长线于点E，
∵AB=AC=4，∠BAC=30°，以AC为一边作等边△ACD，
∴∠BAD=90°，∠ABC=∠ACB=75°，AB=AD=DC=4，
∴∠ABD=∠ADB=45°，∠DBE=30°，∠DCE=45°，
∴DB=4，则DE=EC=2，BE=BDcos30°=2，
则BC=BE﹣EC=2﹣2
则△BCD的面积为：×2（2﹣2）=4﹣4．
如图所示：过点D作DE⊥BC延长线于点E，
∵∠BAC=30°，△ACD是等边三角形，
∴∠DAB=30°，
∴AB垂直平分DC，
∴∠DBA=∠ABC=75°，BD=BC，
∴∠DBE=30°，
∴DE=BD，
∴由（1）得：△BCD的面积为：×（2﹣2）（2﹣2）=8﹣4．
【点评】此题考查了直角三角形和三角函数的应用以及等腰三角形的性质. 根据题意画出图形，进而利用勾股定理以及锐角三角函数关系求出BC的长，进而求出答案．
一、选择题
1、（2017南京秦淮区一模）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（?? ）
A、2，3，3 B、2，3，4 C、2，3，5 D、3，4，5
【答案】A
【解析】解：A、∵ = ＞3，2+3＞3，∴能组成锐角三角形； B、∵ = ＜4，2+3＞4，∴不能组成锐角三角形；
C、∵2+3=5，∴不能组成三角形；
D、∵ =5，是直角三角形，∴不能组成锐角三角形．
故选：A．
【点评】根据勾股定理求出以较短的两条边为直角边的三角形的斜边的长度，然后与较长的边进行比较作出判断即可．
2、（2017三门峡一模）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（?? ）
A、2 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°， ∴∠AOP=∠COP=30°，
∵CP∥OA，
∴∠AOP=∠CPO，
∴∠COP=∠CPO，
∴OC=CP=2，
∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB，
∴∠CPE=30°，
∴CE= CP=1，
∴PE= = ，
∴OP=2PE=2 ，
∵PD⊥OA，点M是OP的中点，
∴DM= OP= ．
故选：C．
【点评】由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．
3、（2017南阳唐河县一模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（?? ）
A、7 B、8 C、9 D、10
【答案】B
【解析】解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6， ∴AC= = =10，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DF∥BM，DE= BC=3，
∴∠EFC=∠FCM，
∵∠FCE=∠FCM，
∴∠EFC=∠ECF，
∴EC=EF= AC=5，
∴DF=DE+EF=3+5=8．
故选B．
【点评】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF= AC，由此即可解决问题．
4、（2017乐清模拟）如图，等边△AOB中，点B在x轴正半轴上，点A坐标为（1， ），将△AOB绕点O逆时针旋转30°，此时点A对应点A′的坐标是（?? ）
A、（0， ） B、（2，0） C、（0，2） D、（ ，1）
【答案】C
【解析】解：∵点A坐标为（1， ），
∴OA= =2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵△AOB绕点O逆时针旋转30°，
∴旋转后点A对应点A′在y轴正半轴，
∴点A′的坐标为（0，2）．
故选C．
【点评】根据点A的坐标求出OA的长度，根据等边三角形的性质可得∠AOB=60°，再判断出点A′在y轴正半轴上，然后写出点A′坐标的即可．
5、（2017内江资中县二模）如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP ， 其中正确的个数是（?? ）
A、1 B、2 C、3 D、4
【答案】D
【解析】解：如图1，连接OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD= ∠BAC= ×120°=60°，
∴OB=OC，∠ABC=90°﹣∠BAD=30°
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；
故①正确；
∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°﹣（∠OPC+∠OCP）=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形；
故②正确；
如图2，在AC上截取AE=PA，
∵∠PAE=180°﹣∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP；
故③正确；
如图3，过点C作CH⊥AB于H，
∵∠PAC=∠DAC=60°，AD⊥BC，
∴CH=CD，
∴S△ABC= AB?CH，
S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC= AP?CH+ OA?CD= AP?CH+ OA?CH= CH?（AP+OA）= CH?AC，21·cn·jy·com
∴S△ABC=S四边形AOCP；
故④正确．
故选D．
【点评】①利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；2·1·c·n·j·y
②证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形；
③首先证明△OPA≌△CPE，则AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP．
④过点C作CH⊥AB于H，根据S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC ， 利用三角形的面积公式即可求解．【来源：21cnj*y.co*m】
6、（2017菏泽市曹县二模）如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（?? ）
A、1：3 B、2：3 C、：2 D、：3
【答案】A
【解析】解：∵△ABC是正三角形， ∴∠B=∠C=∠A=60°，
∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，
∴∠AFE=∠CED=∠BDF=90°，
∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°，
∴∠DFE=∠FED=∠EDF=60°， = ，
∴△DEF是正三角形，
∴BD：DF=1： ①，BD：AB=1：3②，△DEF∽△ABC，
①÷②， = ，
∴DF：AB=1： ，
∴△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1：3．
故选：A．
【点评】首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可证得△DEF是正三角形，又由直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF：AB=1： ，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．【出处：21教育名师】
7、（2017石家市裕华区一模）如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（?? ）
A、B、C、D、
【答案】B
【解析】解：A、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；
B、如图所示，△ABC不能够分成两个等腰三角形；
C、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；
D、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；
故选：B．
【点评】如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，据此进行判断即可．
8、（2017苏州校级模拟）一辆拖拉机沿着公路l以20km/h的速度前行，幼儿园R距离公路l大约3km，拖拉机产生的噪音能够影响周围5km的区域，则幼儿园学生受拖拉机噪音影响持续的时间约为（ ）
A、0.4h B、0.8h C、1.2h D、1.5h
【答案】 A
【解析】解：如图所示：过点R作RB⊥AC，
由题意可得，RB=3km，AR=RC=5km，则AB=BC=4km，
则幼儿园学生受拖拉机噪音影响持续的时间约为：8÷20=0.4（h），
故选：A．
【点评】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB，BC的长，进而求出答案．
9、（2016西安校级模拟）如图，已知△ACB与△DFE是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为18 cm，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图①所示的形状，使点B，C，F，D在同一条直线上，且点C与点F重合，将图①中的△ACB绕点C顺时针方向旋转到图②的位置，点E在AB边上，AC交DE于点G，则线段FG的长为( )
A、cm B、cm C、cm D、9cm
【答案】 A
【解析】解：由题意知，在Rt△ABC中，
∠A=30°，∠B=60°，
由旋转的性质知图（2)中，CB=CE，
∴△BCE为等边三角形．
∴∠ECB=60°，∠ECG=30°．
而∠FED=60°．
∴∠EGC=90°，∠ECG=30°，
∴EG=EC=ED=×10=，
FG=．
故选择：A
【点评】△ACB与△DFE是两个全等的直角三角形，已知斜边DE=10，∠D=30°，可求CE；利用旋转60°可求∠ECG=30°，∠CEG=60°，从而可证∠CGE=90°．用勾股定理解直角△CEG即可．
10、（2017枣庄薛城模拟）如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（?? ）
A、 B、2 C、 D、10﹣5
【答案】B
【解析】解：如图，延长BG交CH于点E，
在△ABG和△CDH中，
，
∴△ABG≌△CDH（SSS），
AG2+BG2=AB2 ，
∴∠1=∠5，∠2=∠6，∠AGB=∠CHD=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°，
又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，
∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，
在△ABG和△BCE中，
，
∴△ABG≌△BCE（ASA），
∴BE=AG=8，CE=BG=6，∠BEC=∠AGB=90°，
∴GE=BE﹣BG=8﹣6=2，
同理可得HE=2，
在RT△GHE中，GH= = =2 ，
故选：B．
【点评】延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE=BE﹣BG=2、HE=CH﹣CE=2、∠HEG=90°，由勾股定理可得GH的长．
二、填空题
11、（2017山西百校联考）“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为________尺．
【答案】 4.2
【解析】解：设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得： x2+42=（10﹣x）2 ，
解得：x=4.2，
答：折断处离地面的高度OA是4.2尺．
故答案为：4.2．
【点评】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
12、（2017盘锦一模）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为________．
【答案】3
【解析】解：∵AF⊥BF， ∴∠AFB=90°，
∵AB=10，D为AB中点，
∴DF= AB=AD=BD=5，
∴∠ABF=∠BFD，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠CBF=∠DFB，
∴DE∥BC，
∴AE=EC，
∴DE= BC=8，
∴EF=DE﹣DF=3，
【点评】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF= AB=AD=BD=5且∠ABF=∠BFD，结合角平分线可得∠CBF=∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE=8，由EF=DE﹣DF可得答案．【来源：21·世纪·教育·网】
13、（2017哈尔滨香坊区一模）已知等边三角形ABC的边长为8，P是BC边上一点，连接AP，若AP=7，则BP的长为________．
【答案】3或5
【解析】解：如图1所示，
过点A作AD⊥BC，
设DP=x，
∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，
∴BD= =4，
在Rt△ABD中，
AD2=AB2﹣BD2=82﹣42=48，
在Rt△APD中，
DP2=AP2﹣AD2=72﹣48=1，
∴DP=1，
∴BP=5；
当点P在AD的左侧时，如图2所示，
同理可得，BP=BD﹣PD=4﹣1=3，
综上所述，BP的长为3或5，
故答案为：3或5．
【点评】根据题意画出图形，利用勾股定理分类讨论可得结果．
14、（2017绍兴校级模拟）一个大的等腰三角形能被分割为两个小等腰三角形，则该大等腰三角形顶角的度数是________．
【答案】
【解析】解：（1）如图，
在△ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD，求∠BAC的度数．
∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，
∴∠B=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD，
∵∠CDA=2∠B，
∴∠CAB=3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
∴∠BAC=108°．
2）如图，
在△ABC中，AB=AC，AD=BD=CD，求∠BAC的度数．
∵AB=AC，AD=BD=CD，
∴∠B=∠C=∠DAC=∠DAB
∴∠BAC=2∠B
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴4∠B=180°，
∴∠B=45°，
∴∠BAC=90°．
3）如图，
在△ABC中，AB=AC，BD=AD=BC，求∠A的度数．
∵AB=AC，BD=AD=BC，
∴∠ABC=∠C，∠A=∠ABD，∠BDC=∠C
∵∠BDC=2∠A，
∴∠C=2∠A=∠B，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴5∠A=180°，
∴∠A=36°．
4）如图，
在△ABC中，AB=AC，BD=AD，CD=BC，求∠A的度数．
假设∠A=x°，∵AD=BD，
∴∠DBA=x°，
∵AB=AC，
∴∠C= ，
∵CD=BC，
∴∠BDC=2x°=∠DBC= -x°，
即2x°= -x°，
解得：x°= ．
∴∠A= ．
故答案为 .
【点评】对分成的两个等腰三角形的“哪两对边分别相等”，再由“等边对等对角”和“三角形的外角性”“三角形内角和”求得大等腰三角形的顶角度数.www-2-1-cnjy-com
15、（2016贵阳模拟）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，如果AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形ABCD的面积等于________．2-1-c-n-j-y
【答案】
【解析】解：设正方形的边长为x，BE的长为a
∵∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠CEF=90°
∴∠BAE=∠CEF
∵∠B=∠C
∴△ABE∽△ECF
∴ = ，即 =
解得x=4a①
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2
∴x2+a2=42②
将①代入②，可得：a=
∴正方形ABCD的面积为：x2=16a2= ．
【点评】根据△ABE∽△ECF，可将AB与BE之间的关系式表示出来，在Rt△ABE中，根据勾股定理AB2+BE2=AC2 ， 可将正方形ABCD的边长AB求出，进而可将正方形ABCD的面积求出．【版权所有：21教育】
16、（2017唐山滦县一模）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=30°，点A坐标为（2，0），过A作AA1⊥OB，垂足为点A1；过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2；再过点A2作A2A3⊥OB，垂足为点A3；则A2A3=________；再过点A3作A3A4⊥x轴，垂足为点A4…；这样一直作下去，则A2017的纵坐标为________．21教育名师原创作品
【答案】 ；
【解析】解：∵∠AOB=30°，点A坐标为（2，0）， ∴OA=2，
∴OA1= OA= ，OA2= OA1═ ，OA3= OA2═ ，OA4= OA3═ ，…，
∴OAn= OA=2 ．
∵∠AOB=30°，
∴A2A3= OA2= ，
∴A2017A2018= OA2017= ．
故答案为： ； ．
【点评】根据含30°的直角三角形的性质结合图形即可得到规律“OAn= OA=2 ”，依此规律即可解决问题．
三、解答题
17、（2016海口校级模拟）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）等腰三角形，理由见解析；（2）直角三角形，理由见解析
【解析】 解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴△=（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2 ，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】（1）根据方程解的定义把x=﹣1代入方程得到（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，整理得a﹣b=0，即a=b，于是根据等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；（2）根据判别式的意义得到△=（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，整理得a2=b2+c2 ， 然后根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形．21*cnjy*com
18、（2016西安校级模拟）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？（参考数据： =1.41， =1.73）
【答案】超过每小时80千米的限制速度
【解析】解：由题意知：PO=100米，∠APO=60°，∠BPO=45°，
在直角三角形BPO中，
∵∠BPO=45°，
∴BO=PO=100m
在直角三角形APO中，
∵∠APO=60°，
∴AO=PO?tan60°=100 ∴AB=AO﹣BO=（100 ﹣100）≈73米，
∵从A处行驶到B处所用的时间为3秒，
∴速度为73÷3≈24.3米/秒=87.6千米/时＞80千米/时，
∴此车超过每小时80千米的限制速度．
【点评】首先利用两个直角三角形求得AB的长，然后除以时间即可得到速度．
19、（2017嘉兴联考）如图，在Rt△ABC中，∠B=Rt∠,直角边AB、BC的长(AB＜BC)是方程x2－7x＋12＝0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t(秒)．21·世纪*教育网
(1)求AB与BC的长；
(2)当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为 时运动时间t的值；
(3)点P在运动的过程中，是否存在点P，使△ABP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）AB＝3，BC＝4；（2）4；（3）9秒或9.5秒或6(秒或秒
【解析】（1）∵x2－7x＋12＝(x－3)(x－4)＝0? ∴x1＝3或x2＝4．则AB＝3，BC＝4.
（2）由题意得AB2+BP2=AP2 ， 则32+（t-3）2=10,
解得t1=4,t2=2（舍）.
即t=4时，AP=.
（3）存在点P，使△ABP是等腰三角形.
①当AP＝AB＝3时，P在CC，则 t=3+4+5-3=9(秒).
②当BP＝BA＝3时，当P在AC上时， t=(秒)，
当P在BC上时， t=3+3=6 (秒)，
③当BP=AP (即P为AC中点)时，?? ∴t＝3+4+2.5=9.5(秒).
可知当t为9秒或9.5秒或6 (秒)或(秒)时，△ABP是等腰三角形.
【点评】（1）运用因式分解法求；
（2）由勾股定理构造方程，解出t的值；
（3）分类讨论：①当AP＝AB＝3时，②当BP＝BA＝3时，③当BP=AP.
20、（2016绥化校级模拟）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形.
(1)如图1，△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E.
求证：AE是△ABC的一条特异线.
(2)如图2，已知BD是△ABC的一条特异线，其中∠A= ，∠ABC为钝角，求出所有可能的∠ABC的度数.
(3)如图3，△ABC是一个腰长为2的等腰锐角三角形，且它是特异三角形，若它的顶角度数为整数，请求出其特异线的长度；若它的顶角度数不是整数，请直接写出顶角度数.
【答案】 （1）证明见解析；（2）135°或112.5°；（3）答案见解析
【解析】（1）证明：∵DE是线段AC的垂直平分线,
∴EA=EC，即△EAC是等腰三角形,
∴∠EAC=∠C,
∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C,
∵∠B=2∠C,
∴∠AEB=∠B，即△EAB是等腰三角形,
∴AE是△ABC的一条特异线 ,
（2）解：若∠A=∠ADB=30°，∠ABD=120°
等腰△BCD中，∠C=∠CBD=15°
∴∠ABC=135°
若∠ABD=∠ADB=75°
等腰△BCD中，∠C=∠CBD=37.5°
∴∠ABC=112.5°
若∠A=∠DBA=30°
则等腰△BCD中，∠CDB=∠C=∠CBD=60°
∴∠ABC=90°(舍去)
∴∠ABC=135°，或112.5°
（3）解：如图1中，设顶角∠A=x，则x+2x+2x=180°，
解得：x=36°，即顶角∠A=36°;
此时△BCD∽△ABC， , ， 解得特异线BD= -1;
如图2中，7x=180°， x= °，即顶角∠A=°
【点评】（1）只要证明△ABE, △AEC是等腰三角形即可；（2）如图2中，当BD是特异线时，分三种情况讨论；如图3中，当AD是特异线时，AB=BD,AD=DC,根据等腰三角形性质即可；当CD为特异线时，不合题意.（3）如图3中，当BD是特异线时，分两种情况讨论即可；当AD是特异线时，不合题意.
