4.4 相似三角形
一、比例线段
1、线段的比：两条线段长度的________，叫作这两条线段的比.
2、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外________线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.当比例中两个比例内项相等，即比例a：b=b：c时，我们把b叫做a和d的________.【来源：21cnj*y.co*m】
3、比例的性质
（1）
（2）
（3）
4、黄金分割：把一条线段AB分割成两条线段，使其中较长线段AC是原线段AB与较短线BC的比例________，即，这种线段分割叫作黄金分割. 一条线段的黄金分割点有________个.21世纪教育网版权所有
注意： .
5、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成________.
二、相似
1、相似三角形：对应角________、对应边________的三角形叫做相似三角形.相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的________．www.21-cn-jy.com
2、相似三角形的判定
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形________；
（2）三边对应________或两边对应成比例且夹角________或两角对应________的两个三角形相似；
（3）两个直角三角形的斜边和一条直角边对应________，两直角三角形相似；
注意：直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形和________相似．
3、相似三角形性质：相似三角形的对应角________，对应边________，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于________，周长比等于________，________等于相似比的平方．
4．相似多边形的性质
（1）相似多边形________相等，对应边________．
（2）相似多边形周长之比等于________，面积之比等于相似比的________．
三、位似图形
1、定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于________，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似________．21教育网
2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的________等于位似比．
考点一：比例的性质
若x、y为非零线段的长，则下列说法错误的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若2x﹣5y=0，则
C. 若线段a：b=c：d,，则 D. 若线段a：b=c：d,则
【答案】D
【解析】解：
A. 若,则,∴,,∴，故此选项正确；
B. 若2x﹣5y=0，则 ，代入 ，故此选项正确；
C. ∵，∴ ，∴，故此选项正确；
D. 由，得不到故此选项错误；
故选D.
【点评】利用比例的性质进行判断即可.
变式跟进1在比例尺为1：20000的地图上，测得一个多边形地块的面积为30，则这个多边形地块的实际面积是_______ (结果用科学记数法表示)．21cnjy.com
考点二：平行线分线段成比例定理
如图， ，直线 与分别相交于点和点，若， ,则的长是（ ）
A. B. C. 6 D. 10
【答案】A
【解析】解：∵，
∴=，
即=，
解得：EF= .
故选：A.
【点评】利用平行线分线段成比例定理进行求解.
变式跟进2如图所示，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE=4，CF=3，AE=BC，则 的值是_____．【来源：21·世纪·教育·网】
考点三：相似的判定和性质
如图，DE是△ABC的中位线，DC、BE相交于点O，OE＝2．则BE的长为____．
【答案】6．
【解析】解：根据中位线的性质可得：DE∥BC，DE=BC，则△DOE∽△COB，则，解得：OB=2OE=4，则BE=OB+OE=4+2=6.21教育名师原创作品
【点评】本题主要考查的就是三角形相似的判定与应用以及三角形中位线的性质，解决本题的关键就是根据中位线的性质得出三角形相似.三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
变式跟进3如图．在等边△ABC中，AC＝4，点D、E、F分别在三边AB、BC、AC上，且AF＝1，FD⊥DE，∠DFE＝60°，则AD的长为_____________．2·1·c·n·j·y
考点四：相似三角形的应用
如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=16cm,AC=12cm,点P从点B出发,沿BC以2cm/s的速度向点C移动,点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点A移动,若点P、Q分别从点B、C同时出发,设运动时间为ts,当t=________时,△CPQ与△CBA相似．
【答案】或4.8
【解析】解：当CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以，
即，
解得t=4.8；
当CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以，
即，
解得t=．
综上所述，当t=4.8秒或秒时，△CPQ与△CBA相似．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于分情况讨论．分CP和CB是对应边，CP和CA是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．21*cnjy*com
变式跟进4如图四边形ABCD中，AD=DC，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DF⊥AC，垂足为F．DF与AB相交于E．设AB=15，BC=9，P是射线DF上的动点．当△BCP的周长最小时，DP的长为________．
考点五：位似
如图，以O为位似中心，把五边形ABCDE的面积扩大为原来的4倍，得五边形，则_________ ．21·cn·jy·com
【答案】
【解析】解∵以O为位似中心,把五边形ABCDE的面积扩大为原来的4倍,得五边形，
则OD:OD1=1:2，
故答案为：1:2.
【点评】本题考查了位似变换.根据面积的比等于相似比的平方是解决问题的关键.
变式跟进5如图，△ABO缩小后变为△,其中A、B的对应点分别为、 ，点A、B、、均在图中格点上，若线段AB上有一点P(m，n)，则点P在上的对应点的坐标为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．(，n) B．(m，n) C．(m， ) D．(， )
一、单选题
1、（2017?兰州）已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（?? ）
A、= B、= C、= D、=
2、（2017?成都）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′=2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（?? ） 2-1-c-n-j-y
A、4：9 B、2：5 C、2：3 D、：
3、（2017?连云港）如图，已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则下列等式一定成立的是（?? ） 【出处：21教育名师】
A、=
B、=
C、=
D、=
4、（2017?枣庄）如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（??? ）
A、 B、
C、 D、
5、（2016?黔西南州）如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于E，则下列结论不正确的是（? ）
A、BC=3DE B、 =
C、△ADE～△ABC D、S△ADE= S△ABC
6、（2017?重庆）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（?? ）
A、1：4 B、4：1 C、1：2 D、2：1
7、（2017?六盘水）矩形的两边长分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（?? ）
A、a=4，b= +2 B、a=4，b= ﹣2 C、a=2，b= +1 D、a=2，b= ﹣1
8、（2017?湖州）如图，已知在 中， ， ， ，点 是 的重心，则点 到 所在直线的距离等于（?? ）
A、 B、 C、 D、
9、（2017?通辽）志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（?? ）
A、540元 B、1080元 C、1620元 D、1800元
二、填空题
10、（2015?大庆）已知=，则的值为 ________
11、（2017?临沂）已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若 = ，AD=10，则AO=________．
12、（2016?常州）在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm，则该道路的实际长度是________km．
13、（2017?随州）在△ABC在，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE=________时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
14、（2016?宿迁）若两个相似三角形的面积比为1：4，则这两个相似三角形的周长比是________．
15、（2017?包头）如图，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点D在AB上，点E与点C在AB的两侧，连接BE，CD，点M、N分别是BE、CD的中点，连接MN，AM，AN． 下列结论：①△ACD≌△ABE；②△ABC∽△AMN；③△AMN是等边三角形；④若点D是AB的中点，则S△ABC=2S△ABE ．其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号）
16、（2015?葫芦岛）如图，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1 ， 以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1 ， …，按此规律继续下去，则矩形ABnCnCn﹣1的面积为________ .
三、解答题
17、（2016·柳州）如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB与△OCD的相似比．21·世纪*教育网
18、（2017?株洲）如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．【版权所有：21教育】
①求证：△DAE≌△DCF；
②求证：△ABG∽△CFG．
19、（2015·镇江）某兴趣小组开展课外活动．如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C，E，G在一条直线上）．
（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；
（2）求小明原来的速度．
20、某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．
如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．
一、单选题
1、（2016扬州校级模拟）下列判断不正确的是（ ）
A、所有等腰直角三角形都相似 B、所有直角三角形都相似
C、所有正六边形都相似 D、所有等边三角形都相似
2、（2017济南市中区三模）图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（?? ）
A、点P B、点O C、点M D、点N
3、（2017港港港南区二模）已知 ，则 的值是（?? ）
A、 B、 C、 D、
4、（2017潍坊二模）如图，矩形ABCD中，AB= ，BC= ，点E在对角线BD上，且BE=1.8，连接AE并延长交DC于F，则 等于（?? ）
A、 B、 C、 D、
5、（2017石家庄二模）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中正确的是（?? ）
A、= B、= C、= D、=
6、（2017威海模拟）如图所示，在下列给出的条件中，不能够判定△ABC∽△ACD的是（?? ）
A、∠B=∠ACD B、∠ADC=∠ACB C、AC2=AD?AB D、=
7、（2017北京丰台区一模）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（?? ）
A、7.2 cm B、5.4 cm C、3.6 cm D、0.6 cm
8、（2017济宁金乡县模拟）宽与长的比是 （约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（?? ）
A、矩形ABFE B、矩形EFCD C、矩形EFGH D、矩形DCGH
9、（2017台州校级模拟）如图，Rt△AOB∽△DOC，∠AOB=∠COD=90°，M为OA的中点，OA=6，OB=8，将△COD绕O点旋转，连接AD，CB交于P点，连接MP，则MP的最大值（? ）21*cnjy*com
A、7 B、8 C、9 D、10
10、（2017济宁金乡县一模）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（?? ）
A、两人都对 B、两人都不对 C、甲对，乙不对 D、甲不对，乙对
二、填空题
11、（2016深圳福田区二模）如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________m．
12、（2017揭阳一模）如图，要拼出和图中的菱形相似的较长对角线为88cm的大菱形（如图）需要图1中的菱形的个数为________．
13、（2017三门峡一模）如图所示，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE=4，CF=3，AE=BC，则 的值是________．
14、（2017上海徐汇区二模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交边BC于点D，BD=AD，AB=3，AC=2，那么AD的长是________．
15、（2017宜春模拟）如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是________．
16、（2017杭州大江东区一模）已知三个数1， ，2，请再添上一个数，使它们构成一个比例式，满足这样条件的数是________．
三、解答题
17、（2016景德镇市三模）如图，已知在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD、BC相交于点E．求证：AC?DE=BD?CE．
18、（2017福田区调研）深圳市民中心广场上有旗杆如图①所示,某学校数学兴趣小组测量了该旗杆的高度.如图②,某一时刻,旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上,测得落在平台上的影长BC为16米,落在斜坡上的影长CD为8米,AB⊥BC;同一时刻,太阳光线与水平面的夹角为 45°,1米的标杆EF竖立在斜坡上的影长FG为2米,求旗杆的高度.
19、（2017扬州宝应县二模）如图，一种拉杆式旅行箱的示意图，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=30cm，（点A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A，其直径为10cm，⊙A与水平地面切于点D，过A作AE∥DM．当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面（40 +5）cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角∠CAE的大小及点B到水平地面的距离．
20、（2017阳泉盂县二模）阅读下面材料： 小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．
小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图 2）．
请回答：求∠ACE的度数，AC的长．
参考小腾思考问题的方法，解决问题：
如图 3，在四边形 ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．
4.4 相似三角形
一、比例线段
1、线段的比：两条线段长度的比，叫作这两条线段的比.
2、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.当比例中两个比例内项相等，即比例a：b=b：c时，我们把b叫做a和d的比例中项.
3、比例的性质
（1）
（2）
（3）
4、黄金分割：把一条线段AB分割成两条线段，使其中较长线段AC是原线段AB与较短线BC的比例中项，即，这种线段分割叫作黄金分割. 一条线段的黄金分割点有两个.
注意： .
5、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
二、相似
1、相似三角形：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比．
2、相似三角形的判定
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；
（2）三边对应成比例或两边对应成比例且夹角相等或两角对应相等的两个三角形相似；
（3）两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；
注意：直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形和原三角形相似．
3、相似三角形性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
4．相似多边形的性质
（1）相似多边形对应角相等，对应边成比例．
（2）相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
三、位似图形
1、定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．
2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
考点一：比例的性质
若x、y为非零线段的长，则下列说法错误的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若2x﹣5y=0，则
C. 若线段a：b=c：d,，则 D. 若线段a：b=c：d,则
【答案】D
【解析】解：
A. 若,则,∴,,∴，故此选项正确；
B. 若2x﹣5y=0，则 ，代入 ，故此选项正确；
C. ∵，∴ ，∴，故此选项正确；
D. 由，得不到故此选项错误；
故选D.
【点评】利用比例的性质进行判断即可.
变式跟进1在比例尺为1：20000的地图上，测得一个多边形地块的面积为30，则这个多边形地块的实际面积是_______ (结果用科学记数法表示)．21·世纪*教育网
【答案】1.2×106
【解析】解：设这个多边形地块的实际面积是x，
∵30=0.003，
∴()2=，
∴x=1200000.
用科学记数法表示为：1.2×106
故答案为：1.2×106.
【点评】利用比例尺进行求解，要注意相似图形面积比等于相似比的平方.
考点二：平行线分线段成比例定理
如图， ，直线 与分别相交于点和点，若， ,则的长是（ ）
A. B. C. 6 D. 10
【答案】A
【解析】解：∵，
∴=，
即=，
解得：EF= .
故选：A.
【点评】利用平行线分线段成比例定理进行求解.
变式跟进2如图所示，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE=4，CF=3，AE=BC，则 的值是_____．【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】
【解析】解：∵AB∥EF，∴，
∵CE=4，CF=3，AE=BC，
∴，解得AE=12，
∵AB∥CD，
∴．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例定理的应用，先利用AB∥EF得到，求得AE=12，然后利用AB∥CD，根据定理可即求出的值．
考点三：相似的判定和性质
如图，DE是△ABC的中位线，DC、BE相交于点O，OE＝2．则BE的长为____．
【答案】6．
【解析】解：根据中位线的性质可得：DE∥BC，DE=BC，则△DOE∽△COB，则，解得：OB=2OE=4，则BE=OB+OE=4+2=6.21教育网
【点评】本题主要考查的就是三角形相似的判定与应用以及三角形中位线的性质，解决本题的关键就是根据中位线的性质得出三角形相似.三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
变式跟进3如图．在等边△ABC中，AC＝4，点D、E、F分别在三边AB、BC、AC上，且AF＝1，FD⊥DE，∠DFE＝60°，则AD的长为_____________．
【答案】1.5
【解析】解：如图所示，
∵∠DFE=60°，
∴∠1+∠2+60°=180°，
∴∠2=120°?∠1，
在等边△ABC中,∠A=∠C=60°，
∴∠A+∠1+∠3=180°,
∴∠3=180°?∠A?∠1=120°?∠1，
∴∠2=∠3，
又∵∠A=∠C，
∴△ADF∽△CFE，
∴AD:CF=DF:EF，
∵FD⊥DE,∠DFE=60°，
∴∠DEF=90°?60°=30°，
∴DF=EF，
又∵AF=1，AC=4，
∴CF=4?1=3，
∴=，
解得AD=1.5.
故答案为：1.5.
【点评】根据三角形的内角和定理列式求出∠2=∠3，再根据等边三角形的三个角都是60°求出∠A=∠C，然后根据两组角对应相等的两个三角形相似求出△ADF和△CFE相似，根据相似三角形对应边成比例可得AD：CF=DF：EF，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出EF的长，然后代入数据进行计算即可得解．【来源：21cnj*y.co*m】
考点四：相似三角形的应用
如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=16cm,AC=12cm,点P从点B出发,沿BC以2cm/s的速度向点C移动,点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点A移动,若点P、Q分别从点B、C同时出发,设运动时间为ts,当t=________时,△CPQ与△CBA相似．
【答案】或4.8
【解析】解：当CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以，
即，
解得t=4.8；
当CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以，
即，
解得t=．
综上所述，当t=4.8秒或秒时，△CPQ与△CBA相似．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于分情况讨论．分CP和CB是对应边，CP和CA是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
变式跟进4如图四边形ABCD中，AD=DC，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DF⊥AC，垂足为F．DF与AB相交于E．设AB=15，BC=9，P是射线DF上的动点．当△BCP的周长最小时，DP的长为__．
【答案】
【解析】解：∵∠ACB=90°，AB=15，BC=9，
∴AC=，
∵AD=DC，DF⊥AC，
∴AF=CF=AC=6，
∴点C关于DE的对称点是A，故E点与P点重合时△BCP的周长最小，
∴DP=DE，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，即，解得AE=，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ABC，
∵∠DAB=∠ACB=90°，
∴Rt△AED∽Rt△CBA，
∴，即
解得DE==12.5，即DP=12.5．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，综合运用相似三角形的判定和性质是解题的关键.
考点五：位似
如图，以O为位似中心，把五边形ABCDE的面积扩大为原来的4倍，得五边形，则_________ ．
【答案】
【解析】解∵以O为位似中心,把五边形ABCDE的面积扩大为原来的4倍,得五边形，
则OD:OD1=1:2，
故答案为：1:2.
【点评】本题考查了位似变换.根据面积的比等于相似比的平方是解决问题的关键.
变式跟进5如图，△ABO缩小后变为△,其中A、B的对应点分别为、 ，点A、B、、均在图中格点上，若线段AB上有一点P(m，n)，则点P在上的对应点的坐标为（ ）
A．(，n) B．(m，n) C．(m， ) D．(， )
【答案】D
【解析】解：∵△ABO缩小后变为△A′B′O,其中A.?B的对应点分别为A′、B′点A. B.?A′、B′均在图中在格点上，
即A点坐标为：(4,6),B点坐标为：(6,2),A′点坐标为：(2,3),B′点坐标为：(3,1)，
∴线段AB上有一点P(m,n),则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为：(， ).
故选C.
【点评】本题考查了位似变换的性质.利用图形关于原点进行位似变换的特点求对应点的坐标是解题的切入点.
一、单选题
1、（2017?兰州）已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（?? ）
A、= B、= C、= D、=
【答案】A
【解析】解：A、两边都除以2y，得 = ，故A符合题意； B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；
C、两边都除以2y，得 = ，故C不符合题意；
D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】根据等式的性质，可得答案．
2、（2017?成都）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′=2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（?? ）
A、4：9 B、2：5 C、2：3 D、：
【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′=2：3， ∴DA：D′A′=OA：OA′=2：3，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：（ ）2= ，
故选：A．
【点评】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．
3、（2017?连云港）如图，已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则下列等式一定成立的是（?? ）
A、=
B、=
C、=
D、=
【答案】D
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，
∴ = ，A不一定成立；
=1，B不成立；
= ，C不成立；
= ，D成立，
故选：D．
【点评】根据相似三角形的性质判断即可．
4、（2017?枣庄）如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（??? ） 21*cnjy*com
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选C．
【点评】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
5、（2016?黔西南州）如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于E，则下列结论不正确的是（? ）21教育名师原创作品
A、BC=3DE B、 = C、△ADE～△ABC D、S△ADE= S△ABC
【答案】 D
【解析】解：∵BD=2AD，
∴AB=3AD，
∵DE∥BC，
∴ = = ，
∴BC=3DE，A结论正确；
∵DE∥BC，
∴ = ，B结论正确；
∵DE∥BC，
∴△ADE～△ABC，C结论正确；
∵DE∥BC，AB=3AD，
∴S△ADE= S△ABC ， D结论错误，
故选：D．
【点评】根据平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质解答即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，灵活运用平行线分线段成比例定理、掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
6、（2017?重庆）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（?? ）
A、1：4 B、4：1 C、1：2 D、2：1
【答案】A
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2， ∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故选A
【点评】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．
7、（2017?六盘水）矩形的两边长分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（?? ）
A、a=4，b= +2 B、a=4，b= ﹣2 C、a=2，b= +1 D、a=2，b= ﹣1
【答案】D
【解析】解：∵宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形，
∴ = ，
∴a=2，b= ﹣1，
故选D．
【点评】根据黄金矩形的定义判断即可．
8、（2017?湖州）如图，已知在 中， ， ， ，点 是 的重心，则点 到 所在直线的距离等于（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】解：如图，连接CP并延长交AB于D,连接BP交AC于E，并延长到F,使EF=PE,
∵∠C=90°，AC=BC,AB=6,
∴AC=BC=3，
又∵P为△ABC的重心，
∴CD=AB=3.∠CDB=90°
在△AEF和△CEP中，
∵
∴△AEF≌△CEP.
∴∠FAD=90°,CP=AF=3-DP.
又∵CD‖FA,
∴△BPD∽△BFA.
∴=.
∴=.
∴PD=1.
故答案为A.
【点评】如图，根据三角形的重心是三条中线的交点，根据等腰直角三角形可知CD=3，可连接CP并延长交AB于D,则∠FAD=90°，连接BP交AC于E， 并延长到F,使EF=PE,然后可知△A，可得EF≌△CEP，∠FAD=90°,CP=AF=3-DP，因此可根据两角对应相等的两三角形相似，可得 △BPD∽△BFA.即可求出PD.www-2-1-cnjy-com
9、（2017?通辽）志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（?? ）
A、540元 B、1080元 C、1620元 D、1800元
【答案】C
【解析】解：∵一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，
∴每平方厘米的广告费为：180÷50= 元，
∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为：30×15× =1620元
故选C
【点评】根据题意可知版面的边长都扩大为原来的3倍后的面积，然后根据每平方厘米的广告费即可求出答案．
二、填空题
10、（2015?大庆）已知=，则的值为 ________
【答案】 -
【解析】解：∵=，
∴设x=k，y=3k，
∴==-，
故答案为：﹣．
【点评】根据已知设x=k，y=3k，代入求出即可．
11、（2017?临沂）已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若 = ，AD=10，则AO=________．
【答案】4
【解析】解：∵AB∥CD， ∴ = = ，即 = ，
解得，AO=4，
故答案为：4．
【点评】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
12、（2016?常州）在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm，则该道路的实际长度是________km．
【答案】2.8
【解析】解：设这条道路的实际长度为x，则： ，
解得x=280000cm=2.8km．
∴这条道路的实际长度为2.8km．
故答案为：2.8
【点评】根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．
13、（2017?随州）在△ABC在，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE=________时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
【答案】或
【解析】解：当 = 时，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
此时AE= = = ；
当 = 时，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
此时AE= = = ；
故答案为： 或 ．
【点评】若A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，则 = 或 = ，分情况进行讨论后即可求出AE的长度．
14、（2016?宿迁）若两个相似三角形的面积比为1：4，则这两个相似三角形的周长比是________．
【答案】 12
【解析】解：∵两个相似三角形的面积比为1：4， ∴这两个相似三角形的相似比为1：2，
∴这两个相似三角形的周长比是1：2，
故答案为：1：2．
【点评】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据似三角形周长的比等于相似比得到答案．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．2-1-c-n-j-y
15、（2017?包头）如图，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点D在AB上，点E与点C在AB的两侧，连接BE，CD，点M、N分别是BE、CD的中点，连接MN，AM，AN． 下列结论：①△ACD≌△ABE；②△ABC∽△AMN；③△AMN是等边三角形；④若点D是AB的中点，则S△ABC=2S△ABE ．其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】解：①在△ACD和△ABE中，
∵ ，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
所以①正确；②∵△ACD≌△ABE，
∴CD=BE，∠NCA=∠MBA，
又∵M，N分别为BE，CD的中点，
∴CN=BM，
在△ACN和△ABM中，
∵ ，
∴△ACN≌△ABM，
∴AN=AM，∠CAN∠BAM，
∴∠BAC=∠MAN，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠ABC∠AMN，
∴△ABC∽△AMN，
所以②正确；③∵AN=AM，
∴△AMN为等腰三角形，
所以③不正确；④∵△ACN≌△ABM，
∴S△ACN=S△ABM ，
∵点M、N分别是BE、CD的中点，
∴S△ACD=2S△ACN ， S△ABE=2S△ABM ，
∴S△ACD=S△ABE ，
∵D是AB的中点，
∴S△ABC=2S△ACD=2S△ABE ，
所以④正确；
本题正确的结论有：①②④；
故答案为：①②④．
【点评】①根据SAS证明△ACD≌△ABE；②先证明△ACN≌△ABM，得△AMN也是等腰三角形，且顶角与△ABC的顶角相等，所以△ABC∽△AMN；③由AN=AM，可得△AMN为等腰三角形；④根据三角形的中线将三角形面积平分得：S△ACD=2S△ACN ， S△ABE=2S△ABM ， 则S△ABC=2S△ACD=2S△ABE ．21世纪教育网版权所有
16、（2015?葫芦岛）如图，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1 ， 以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1 ， …，按此规律继续下去，则矩形ABnCnCn﹣1的面积为________ .
【答案】
【解析】解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥DC，
∴AC===，
∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，
∴矩形AB1C1C的边长和矩形ABCD的边长的比为：2
∴矩形AB1C1C的面积和矩形ABCD的面积的比5：4，
∵矩形ABCD的面积=2×1=2，
∴矩形AB1C1C的面积=，
依此类推，矩形AB2C2C1的面积和矩形AB1C1C的面积的比5：4
∴矩形AB2C2C1的面积=
∴矩形AB3C3C2的面积=，
按此规律第n个矩形的面积为：
故答案为：?．
【点评】根据已知和矩形的性质可分别求得AC，AC1 ， AC2的长，从而可发现规律，根据规律即可求得第n个矩形的面积．
三、解答题
17、（2016·柳州）如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB与△OCD的相似比．
【答案】
【解析】解：∵点B的坐标是（4，0），点D的坐标是（6，0）， ∴OB=4，OD=6，
∴ = = ，
∵△OAB与△OCD关于点O位似，
∴△OAB与△OCD的相似比
【点评】根据点B的坐标和点D的坐标，求出OB=4，OD=6，得出 = ，再根据△OAB与△OCD关于点O位似，从而求出△OAB与△OCD的相似比．
18、（2017?株洲）如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．www.21-cn-jy.com
①求证：△DAE≌△DCF；
②求证：△ABG∽△CFG．
【答案】证明见解析
【解析】证明：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF， ∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF，【出处：21教育名师】
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF；
②延长BA到M，交ED于点M，
∵△ADE≌△CDF，
∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF，
∵∠MAD=∠BCD=90°，
∴∠EAM=∠BCF，
∵∠EAM=∠BAG，
∴∠BAG=∠BCF，
∵∠AGB=∠CGF，
∴△ABG∽△CFG．
【点评】①由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证；②由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到∠BAG=∠BCF，再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证．
19、（2015·镇江）某兴趣小组开展课外活动．如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C，E，G在一条直线上）．
（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；
（2）求小明原来的速度．
【答案】（1）作图见试题解析；（2）1.5m/s．
【解析】（1）利用中心投影的定义作图；
（2）设小明原来的速度为xm/s，则CE=2xm，AM=（4x﹣1.2）m，EG=3xm，BM=13.2﹣4x，由△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，得到，即代入解方程即可．
解：（1）如图，
（2）设小明原来的速度为xm/s，则CE=2xm，AM=AF﹣MF=（4x﹣1.2）m，EG=2×1.5x=3xm，BM=AB﹣AM=12﹣（4x﹣1.2）=13.2﹣4x，∵点C，E，G在一条直线上，CG∥AB，∴△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，∴，，∴，即，解得x=1.5，经检验x=1.5为方程的解，∴小明原来的速度为1.5m/s．
答：小明原来的速度为1.5m/s．
【点评】本题主要考查相似的判定和性质.按题意画出图形，并利用三角形相似的判定和性质是解题的关键.
20、某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．
如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．
【答案】99．
【解析】首先根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH；
再利用相似三角形的对应边成比例得出AB：ED=BC：DC，AB：GF=BF：FH，结合已知的长度即可求出AB的长.
解：由题意可得：∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°，
∠ACB=∠ECD，∠AFB=∠GHF，
故△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，
则AB：ED=BC：DC，AB：GF=BF：FH，
即AB：1.5=BC：2，AB：1.65=（BC+18）：2.5，
解得：AB=99.
答：望月阁的高AB的长度为99m.
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确利用已知得出相似三角形是解题关键；
一、单选题
1、（2016扬州校级模拟）下列判断不正确的是（ ）
A、所有等腰直角三角形都相似 B、所有直角三角形都相似
C、所有正六边形都相似 D、所有等边三角形都相似
【答案】 B
【解析】解：A、所有等腰直角三角形对应边成比例，对应角相等，所以都相似，故本选项错误；
B、所有直角三角形对应边不一定成比例，对应角不一定相等，所以不一定相似，故本选项正确；
C、所有正六边形对应边成比例，对应角相等，所以都相似，故本选项错误；
D、所有等边三角形对应边成比例，对应角相等，所以都相似，故本选项错误．
故选B．
【点评】根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项分析判断即可得解．
2、（2017济南市中区三模）图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（?? ）
A、点P B、点O C、点M D、点N
【答案】A
【解析】解：点P在对应点M和点N所在直线上，故选A．
【点评】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．21·cn·jy·com
3、（2017港港港南区二模）已知 ，则 的值是（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】解：由 ，得 a= b，
= =﹣ ，
故选：D．
【点评】根据等式的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．
4、（2017潍坊二模）如图，矩形ABCD中，AB= ，BC= ，点E在对角线BD上，且BE=1.8，连接AE并延长交DC于F，则 等于（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°，又AB= ，BC= ，
∴BD= =3，
∵BE=1.8，
∴DE=3﹣1.8=1.2，
∵AB∥CD，
∴ = ，即 = ，
解得，DF= ，
则CF=CD﹣DF= ，
∴ = = ，
故选A．
【点评】根据勾股定理求出BD，得到DE的长，根据相似三角形的性质得到比例式，代入计算即可求出DF的长，求出CF，计算即可．
5、（2017石家庄二模）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中正确的是（?? ）
A、= B、= C、= D、=
【答案】C
【解析】解：∵AB∥CD∥EF， ∴ = ，A错误；
= ，B错误；
= ，
∴ = ，C正确；
= ，D错误，
故选：C．
【点评】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．
6、（2017威海模拟）如图所示，在下列给出的条件中，不能够判定△ABC∽△ACD的是（?? ）
A、∠B=∠ACD B、∠ADC=∠ACB C、AC2=AD?AB D、=
【答案】D
【解析】解：A、有两个角相等的三角形相似，故A不符合题意； B、有两个角相等的三角形相似，故B不符合题意；
C、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形，故C不符合题意；
D、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形，故D符合题意；
故选：D．
【点评】根据相似三角形的判定，可得答案．
7、（2017北京丰台区一模）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（?? ）
A、7.2 cm B、5.4 cm C、3.6 cm D、0.6 cm
【答案】B
【解析】解：∵OA=3OC，OB=3OD， ∴OA：OC=OB：OD=3：1，∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△COD，
∴ = = ，
∴AB=3CD=3×1.8=5.4（cm）．
故选B．
【点评】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解．
8、（2017济宁金乡县模拟）宽与长的比是 （约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（?? ）
A、矩形ABFE B、矩形EFCD C、矩形EFGH D、矩形DCGH
【答案】D
【解析】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1 在直角三角形DCF中，DF= =
∴FG=
∴CG= ﹣1
∴ =
∴矩形DCGH为黄金矩形
故选D．
【点评】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．
9、（2017台州校级模拟）如图，Rt△AOB∽△DOC，∠AOB=∠COD=90°，M为OA的中点，OA=6，OB=8，将△COD绕O点旋转，连接AD，CB交于P点，连接MP，则MP的最大值（? ）
A、7 B、8 C、9 D、10
【答案】C
【解析】解：取AB的中点S，连接MS、PS，
?
则PM≤MS+PS，
∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，
∴AB=10，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠COB=∠DOA，
∵△AOB∽△DOC，
∴，
∴△COB∽△DOA，
∴∠OBC=∠OAD，
∴∠OBP+∠OAD=180°，
∴∠APB=∠AOB=90°，又S是AB的中点，
∴PS=AB=5，
∵M为OA的中点，S是AB的中点，
∴MS=OB=4，
∴MP的最大值是4+5=9，
故选：C．
【点评】取AB的中点S，连接MS，PS，则当M,S,P共线时，MP的值最大，易得MS为三角形ABO的中位线，可求得MS的长；.根据已知相似的条件，推出△COB∽△DOA，则∠OBC=∠OAD，∠OBP+∠OAD=180°，从而得∠APB=∠AOB=90°，则可求得PS的长度.
10、（2017济宁金乡县一模）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（?? ）
A、两人都对 B、两人都不对 C、甲对，乙不对 D、甲不对，乙对
【答案】A
【解析】解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′， ∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴甲说法正确；
乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，
∴ ， ，
∴ ，
∴新矩形与原矩形不相似．
∴乙说法正确．
故选：A．
【点评】甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即可证得∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得△ABC∽△A′B′C′；
乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，则可得 ，即新矩形与原矩形不相似．
二、填空题
11、（2016深圳福田区二模）如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________m．
【答案】4
【解析】解：如图：过点C作CD⊥EF，
由题意得：△EFC是直角三角形，∠ECF=90°，
∴∠EDC=∠CDF=90°，
∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°，
∴∠E=∠DCF，
∴Rt△EDC∽Rt△CDF，
有 ；即DC2=ED?FD，
代入数据可得DC2=16，
DC=4；
故答案为：4．
【点评】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△CDF，进而可得 ；即DC2=ED?FD，代入数据可得答案．
12、（2017揭阳一模）如图，要拼出和图中的菱形相似的较长对角线为88cm的大菱形（如图）需要图1中的菱形的个数为________．
【答案】121
【解析】解：小菱形的对角线长为8，大菱形的对角线长为88，相似比为8：88=1：11， 设小菱形的面积为单位1，则大菱形的面积为112=121个单位．菱形的个数为121．
【点评】大小菱形相似，又面积比等于相似比的平方，利用大菱形的面积除以小菱形的面积就可以得到小菱形的个数．
13、（2017三门峡一模）如图所示，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE=4，CF=3，AE=BC，则 的值是________．
【答案】
【解析】解：∵AB∥EF， ∴ = ，
∵CE=4，CF=3，AE=BC，
∴ = ，解得AE=12，
∵AB∥CD，
∴ = = = ．
故答案为 ．
【点评】先利用AB∥EF得到 = ，则可求出解得AE=12，然后利用AB∥CD，根据平行线分线段成比例定理可求出 的值．
14、（2017上海徐汇区二模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交边BC于点D，BD=AD，AB=3，AC=2，那么AD的长是________．
【答案】
【解析】解：∵在△ABC中，AD平分∠BAC交边BC于点D，BD=AD， ∴∠BAD=∠CAD，∠BAD=∠ABD，
∴∠ABC=∠CAD，
又∵∠ACD=∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴ ，
∵BD=AD，AB=3，AC=2，
∴ ，
解得，AD= ，CD= ，
故答案为： ．
【点评】根据题意得到△ACD∽△BCA，然后根据题目中的数据即可求得AD的长．
15、（2017宜春模拟）如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是________．
【答案】（0，3）、（4，0）、（ ，0）
【解析】解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，
由点C是AB的中点，可得P为OB的中点，
此时P点坐标为（0，3）；
当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，
由点C是AB的中点，可得P为OA的中点，
此时P点坐标为（4，0）；
当PC⊥AB时，如图，
∵∠CAP=∠OAB，
∴Rt△APC∽Rt△ABC，
∴ = ，
∵点A（8，0）和点B（0，6），
∴AB= =10，
∵点C是AB的中点，
∴AC=5，
∴ = ，
∴AP= ，
∴OP=OA﹣AP=8﹣ = ，
此时P点坐标为（ ，0），
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）、（4，0）、（ ，0）．
故答案为：（0，3）、（4，0）、（ ，0）
【点评】分类讨论：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，易得P点坐标为（0，3）；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，易得P点坐标为（4，0）；当PC⊥AB时，如图，由于∠CAP=∠OAB，则Rt△APC∽Rt△ABC，计算出AB、AC，则可利用比例式计算出AP，于是可得到OP的长，从而得到P点坐标．2·1·c·n·j·y
16、（2017杭州大江东区一模）已知三个数1， ，2，请再添上一个数，使它们构成一个比例式，满足这样条件的数是________．21*cnjy*com
【答案】， ，2
【解析】解： ：1=2： ； ：2= ：1， ：1=2 ：2， 故答案为： ， ，2 ．
【点评】根据比例的性质，可得答案．
三、解答题
17、（2016景德镇市三模）如图，已知在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD、BC相交于点E．求证：AC?DE=BD?CE．
【答案】 证明见解析
【解析】证明：∵∠ADB=∠ACB， ∴∠EDB=∠ECA．
又∠E=∠E，
∴△ECA∽△EDB，
∴ ，
即AC?DE=BD?CE
【点评】根据邻补角的定义得到∠BDE=∠ACE，又因为又∠E=∠E，所以可证明△ECA∽△EDB由相似三角形的性质即可得到结论．
18、（2017福田区调研）深圳市民中心广场上有旗杆如图①所示,某学校数学兴趣小组测量了该旗杆的高度.如图②,某一时刻,旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上,测得落在平台上的影长BC为16米,落在斜坡上的影长CD为8米,AB⊥BC;同一时刻,太阳光线与水平面的夹角为 45°,1米的标杆EF竖立在斜坡上的影长FG为2米,求旗杆的高度.
【答案】 20 米
【解析】解：过点C作PC⊥BC，交AD于点P，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，
∵△PCD∽△EFG，
∴ ，
∴ ,
∴PC=4（米），
∵四边形PQBC为矩形，
∴PQ=BC=16（米），BQ=PC=4（米），
∵在Rt△APQ中，∠APQ=45°，
∴AQ=PQ=16（米），
∴AB=AQ+BQ=16+4=20（米）．
答：旗杆的高度为 20 米．
【点评】由同一时间内，太阳光线照射的影长，都是成比例的，所以可过点C作PC⊥BC，交AD于点P，则△PCD∽△EFG，则可求出PC的长；由太阳光线与水平面的夹角为45°,可过点P作PQ⊥AB，可解得AQ=PQ=BC=16米，从而解出答案.【版权所有：21教育】
19、（2017扬州宝应县二模）如图，一种拉杆式旅行箱的示意图，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=30cm，（点A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A，其直径为10cm，⊙A与水平地面切于点D，过A作AE∥DM．当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面（40 +5）cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角∠CAE的大小及点B到水平地面的距离．
【答案】∠CAF=60°，点B到水地面的距离为（25+5）cm
【解析】解：CF=40 +5﹣5=40 （m）． 则sin∠CAF= = ，
则∠CAF=60°，
如图，
作BH⊥AF于点G，交DM于点H．
则BG∥CF，
∴△ABG∽△ACF．
，
即 ，
解得：BG=25，
点B到水地面的距离为（25+5）cm
【点评】先用三角函数求出∠CAF，再用相似三角形得出比例式求出BG，即可．
20、（2017阳泉盂县二模）阅读下面材料： 小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．
小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图 2）．
请回答：求∠ACE的度数，AC的长．
参考小腾思考问题的方法，解决问题：
如图 3，在四边形 ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．
【答案】答案见解析
【解析】解：∠ABC+∠ACB=∠ECD+∠ACB=∠ACE=180°﹣75°﹣30°=75°， ∠E=75°，BD=2DC，
∴AD=2DE，
AE=AD+DE=3，
∴AC=AE=3，
∠ACE=75°，AC的长为3．
过点D作DF⊥AC于点F．
∵∠BAC=90°=∠DFA，
∴AB∥DF，
∴△ABE∽△FDE，
∴ =2，
∴EF=1，AB=2DF．
在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°，
∴∠ACD=75°，AC=AD．
∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°，
在△AFD中，AF=2+1=3，∠FAD=30°，
∴DF=AFtan30°= ，AD=2DF=2 ．
∴AC=AD=2 ，AB=2DF=2 ．
∴BC= =2 ．
【点评】根据相似的三角形的判定与性质，可得 =2，根据等腰三角形的判定，可得AE=AC，根据正切函数，可得DF的长，根据直角三角形的性质，可得AB与DF的关系，根据勾股定理，可得答案．21cnjy.com
