4.5 锐角三角函数
一、锐角三角函数
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b ，AB＝c
（1）正弦：∠A的对边与________的比值是∠A的正弦.
即：
（2）余弦：∠A的________与斜边的比值是∠A的余弦.
即：
（3）正切：∠A的________与________的比值是∠A的正切.
即：
2、锐角三角函数：锐角A的________、________、正切都叫做∠A的锐角三角函数
二、三角函数值
1、特殊角的三角函数值
a
30°
45°
60°
sina
________
cosa
________
tana]
1
________
2、各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系
sinA=________(90°—A)，cosA=________(90°—A)
tanA=________(90°—A)，cotA=________(90°—A)
（2）平方关系：________+________ =1
（3）倒数关系：tanA·tan(90°—A)=________（4）弦切关系：tanA=.
3、锐角三角函数的增减性
当角度在0°～90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的________（或________）而________（或________）；
（2）余弦值随着角度的________（或________）而________（或________）；
（3）正切值随着角度的________（或________）而________（或________）；；
（4）余切值随着角度的________（或________）而________（或________）.
三、解直角三角形
1、定义：在直角三角形中，由除直角外的已知元素求出其余________的过程，叫做解直角三角形.
2、解直角三角形的常用关系
（1）三边关系（勾股定理）：________＋b2＝________；
（2）两锐角关系（两锐角互余）：________＋________＝90°；
（3）边与角关系（锐角三角函数）：
，，，
3、解直角三角形类型：
（1）已知一边和一锐角；
（2）已知两边.
四、利用解直角三角形的知识解决实际问题
1、仰角和俯角：
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线________的角叫做仰角
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线________的角叫做俯角
2、方向(位)角：从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角.
如：下图中的目标方向线OA表示________60°.
3、坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的________叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝h：l
坡角：坡面与水平面的________叫做坡角，记作a，i＝＝tana
注意：坡度越大，a角越大，坡面越________.
考点一：锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，，，那么_______________；
【答案】
【解析】解：由Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，由勾股定理得
．
sinA==
【点评】利用勾股定理和正弦定义即可求解.
变式跟进1在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan∠B的值为_________
考点二：有关于特殊角的三角函数值的运算
计算：sin45°+6tan30°﹣2cos30°．
【答案】+1
【解析】解：原式=?+6×﹣2×=+1．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值,属于基础题,解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值.
变式跟进2计算： ．
考点三：锐角三角函数的增减性
三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（? ?? ）
A. sin30°＜cos16°＜cos43°? B. cos43°＜sin30°＜cos16°
C. sin30°＜cos43°＜cos16° D. sin16°＜cos30°＜cos43°
【答案】C
【解析】由锐角三角函数值知sin30°=cos60°，在三角函数中，若0°＜A＜90°，则sinA随着∠A的增大而增大，cosA随着∠A的增大而减小，所以cos60°＜cos43°＜cos16°，即：sin30°＜cos43°＜cos16°.2·1·c·n·j·y
故选：C.
【点评】此题首先要先把所有三角函数化为统一的类型，或者化为sinA，或者化为cosA，进而更加方便计算.www.21-cn-jy.com
变式跟进3如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（ ）21*cnjy*com
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
考点四：解直角三角形
如图， ， ， ，求BD的长.
【答案】
【解析】解：∵， ，AD＝20,
∴ ,
∴DC=16,AC= ,
又∵，
∴AB＝2AC＝24，
∴BC＝ ，
又∵BD＝BC－CD，
∴BD＝.
【点评】在Rt△ADC中求出CD的长度，在Rt△ABC中求出BC的长度，再根据BD＝BC－CD求值即可.
变式跟进4小红同学要测量A、C两地的距离，但A、C之间有一水池，不能直接测量，于是她在A、C同一水平面上选取了一点B，点B可直接到达A、C两地．她测量得到AB=80米，BC=20米，∠ABC=120°．请你帮助小红同学求出A、C两点之间的距离．（参考数据≈4.5， ≈4.6）
考点五：解直角三角形的应用
如图，其中、、三地在同一直线上， 地在地北偏东方向、在地北偏西方向． 地在地北偏东方向．且．从地到地的距离是（ ）．21教育网
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：过点作，
由题意可得，
，
， ，
∴，
∵，
∴， ，
∴，
在中， ， ， ，
∴，
在中， ， ，
∴．
故选：D.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，结合实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想.再解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的预交等知识转化为所需要的角.21世纪教育网版权所有
变式跟进5某度假村依山而建，大门A处，有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处测得度假村楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=60°，离B点8米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF=73.5°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD=5米．
（1）求斜坡AB的坡度i．
（2）求DC的长．（参考数据：sin73.5°≈0.96，con73.5°≈0.28，tan73.5°≈3.4， ≈1.7）
一、选择题
1、（2017?湖州）如图，已知在 中， ， ， ，则 的值是（?? ）
A、 B、 C、 D、
2、（2017?温州）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα= ，则小车上升的高度是（?? ）2-1-c-n-j-y
A、5米 B、6米 C、6.5米 D、12米
3、（2017?益阳）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（?? ）【来源：21cnj*y.co*m】
A、 B、 C、 D、h?cosα
4、（2017?河北）如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是（?? ）【版权所有：21教育】
A、北偏东55° B、北偏西55° C、北偏东35° D、北偏西35°
5、（2017?玉林）如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是（?? ）
A、15 海里 B、30海里 C、45海里 D、30 海里
6、（2017?百色）如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是（?? ）米/秒．
A、20（ +1） B、20（ ﹣1） C、200 D、300
7、（2017?绍兴）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米.则小巷的宽度为（??? ）
A、0.7米 B、1.5米 C、2.2米 D、2.4米
8、（2017?常德）如表是一个4×4（4行4列共16个“数”组成）的奇妙方阵，从这个方阵中选四个“数”，而且这四个“数”中的任何两个不在同一行，也不在同一列，有很多选法，把每次选出的四个“数”相加，其和是定值，则方阵中第三行三列的“数”是（?? ）
30
2 sin60°
22
﹣3
﹣2
﹣ sin45°
0
|﹣5|
6
23
（ ）﹣1
4
（ ）﹣1
A、5 B、6 C、7 D、8
二、填空题
9、（2017?广州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，tanA= ，则AB=________．
10、（2017?包头）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC=2BF，连接AE，EF．若AB=2，AD=3，则cos∠AEF的值是________．www-2-1-cnjy-com
11、（2015?宁波）如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度．站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是________ m（结果保留根号）
12、（2017?无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于________．
13、（2017?黑龙江）△ABC中，AB=12，AC= ，∠B=30°，则△ABC的面积是________．
14、（2017?天门）为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD=12 米，∠B=60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE= ，则CE的长为________米．
15、（2017?海南）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是________．
16、（2016?广东）如图，点P是四边形ABCD外接圆上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是⊙O的直径，AB=BC=CD．连接PA，PB，PC，若PA=a，则点A到PB和PC的距离之和AE+AF=________．
三、解答题
17、（2017?黄石）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中a=2sin60°﹣tan45°．
18、（2017?海南）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度BC．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）21教育名师原创作品
19、（2017·台州）如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由.（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
20、（2017·嘉兴）如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形 ）靠墙摆放，高 ，宽 ，小强身高 ，下半身 ，洗漱时下半身与地面成 （ ），身体前倾成 （ ），脚与洗漱台距离 （点 ， ， ， 在同一直线上）．
(1)此时小强头部 点与地面相距多少？
(2)小强希望他的头部 恰好在洗漱盆 的中点 的正上方，他应向前或后退多少？
（ ， ， ，结果精确到 ）
一、选择题
1、（2017衡阳县四校一模）如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l为（?? ）【来源：21·世纪·教育·网】
A、 B、 C、 D、h?sinα
2、（2017甘肃兰州校级模拟）sin60°的值等于（?? ）
A、 B、 C、 D、
3、（2017杭州大江东区一模）如图是一个3×2的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2倍，△ABC的顶点都是网格中的格点，则sin∠BAC的值（?? ）
A、 B、 C、 D、
4、（2017山东泰安一模）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是（?? ）
A、10 海里 B、10 海里 C、10 海里 D、20 海里
5、（2017济南历下区二模）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（?? ）【出处：21教育名师】
A、 B、 C、 D、
6、（2017济南槐荫区一模）已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是（?? ）21*cnjy*com
A、 B、
C、 D、
7、（2017江苏高邮一模）若锐角α的正弦值为0.58，则（?? ）
A、α=30° B、α=45° C、30°＜α＜45° D、45°＜α＜30°
8、（2017苏州一模）如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A、C两点测得该塔顶端F的仰角分别为45°和60°，矩形建筑物宽度AD=20m，高度DC=30m则信号发射塔顶端到地面的高度（即FG的长）为（?? ）21·世纪*教育网
A、（35 +55）m B、（25 +45）m C、（25 +75）m D、（50+20 ）m
9、（2017迁安中考一模）某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（?? ）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A、 B、 C、 D、
二、填空题
10、（2017临沂兰陵县二模）如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC= ，则对角线AC的长为________．
11、（2017江西鹰潭模拟）若 tan（x+10°）=1，则锐角x的度数为________．
12、（2017江苏连云港四模）如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan（α+β）________?tanα+tanβ．（填“＞”“=”“＜”）
13、（2017湖北天门经济开发区二模）如图，将一副直角三角板（含45°角的直角三角板ABC及含30°角的直角三角板DCB）按图示方式叠放，斜边交点为O，则△AOB与△COD的面积之比等于________．
14、（2017瑞安四校联考）小聪家对面新建了一幢图书大厦，他在A处测得点D的俯角α为30°，测得点C的俯角β为60°（如图所示），量得两幢楼之间的水平距离BC为30米，则图书大厦CD的高度为________米．
15、（2017浙江乐清模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB，BC上的点，且满足AC=DC=DE=BE=1，则tanA=________． 21cnjy.com
16、（2017上海奉贤区二模）在等腰三角形ABC中，当顶角A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也确定了，我们把这个比值记作T（A），即T（A）= = ．例：T（60°）=1，那么T（120°）=________．
三、解答题
17、（2017襄阳保康县模拟）先化简再求值： ，其中x=tan60°﹣1．
18、（2017广东东莞六校三模）如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°．由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm．温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26， ）．
19、（2017浙江杭州仿真）随着人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入到各个家庭．某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．如图，地面所在的直线ME与楼顶所在的直线AC是平行的，CD的厚度为0.5m，求出汽车通过坡道口的限高DF的长（结果精确到0.1m，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．
20、（2017宿州埇桥区模拟）如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，求该电线杆PQ的高度．21·cn·jy·com
4.5 锐角三角函数
一、锐角三角函数
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b ，AB＝c
（1）正弦：∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦.
即：
（2）余弦：∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦.
即：
（3）正切：∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切.
即：
2、锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数
二、三角函数值
1、特殊角的三角函数值
a
30°
45°
60°
sina
cosa
tana]
1
2、各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系
sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)
tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)
（2）平方关系：sin2A+cos2A =1
（3）倒数关系：tanA·tan(90°—A)=1
（4）弦切关系：tanA=.
3、锐角三角函数的增减性
当角度在0°～90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；；
（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）.
三、解直角三角形
1、定义：在直角三角形中，由除直角外的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.
2、解直角三角形的常用关系
（1）三边关系（勾股定理）：a2＋b2＝c2；
（2）两锐角关系（两锐角互余）：∠A＋∠B＝90°；
（3）边与角关系（锐角三角函数）：
，，，
3、解直角三角形类型：
（1）已知一边和一锐角；
（2）已知两边.
四、利用解直角三角形的知识解决实际问题
1、仰角和俯角：
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角
2、方向(位)角：从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角.
如：下图中的目标方向线OA表示北偏东60°.
3、坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝h：l
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，i＝＝tana
注意：坡度越大，a角越大，坡面越陡.
考点一：锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，，，那么_______________；
【答案】
【解析】解：由Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，由勾股定理得
．
sinA==
【点评】利用勾股定理和正弦定义即可求解.
变式跟进1在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan∠B的值为_________
【答案】1
【解析】解：如图所示：
tan∠B .
故答案是：1.
【点评】构造直角三角形，利用正切定义进行求解.
考点二：有关于特殊角的三角函数值的运算
计算：sin45°+6tan30°﹣2cos30°．
【答案】+1
【解析】解：原式=?+6×﹣2×=+1．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值,属于基础题,解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值.
变式跟进2计算： ．
【答案】
【解析】解：原式
．
【点评】将特殊角的三角函数值代入，同时注意零次幂和负整数指数幂的运算.
考点三：锐角三角函数的增减性
三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（? ?? ）
A. sin30°＜cos16°＜cos43°? B. cos43°＜sin30°＜cos16°
C. sin30°＜cos43°＜cos16° D. sin16°＜cos30°＜cos43°
【答案】C
【解析】由锐角三角函数值知sin30°=cos60°，在三角函数中，若0°＜A＜90°，则sinA随着∠A的增大而增大，cosA随着∠A的增大而减小，所以cos60°＜cos43°＜cos16°，即：sin30°＜cos43°＜cos16°.21cnjy.com
故选：C.
【点评】此题首先要先把所有三角函数化为统一的类型，或者化为sinA，或者化为cosA，进而更加方便计算.21·世纪*教育网
变式跟进3如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【答案】D
【解析】如图，连接BE， 根据圆周角定理，可得∠C=∠AEB， ∵∠AEB=∠D+∠DBE， ∴∠AEB>∠D， ∴∠C>∠D， 根据锐角三角形函数的增减性，可得， sin∠C>sin∠D，故①正确； cos∠Ctan∠D，故③正确； 故选：D．21·cn·jy·com
【点评】连接BE，根据圆周角定理，可得∠C=∠AEB，因为∠AEB=∠D+∠DBE，所以∠AEB>∠D，所以∠C>∠D，根据锐角三角形函数的增减性，即可判断．
考点四：解直角三角形
如图， ， ， ，求BD的长.
【答案】
【解析】解：∵， ，AD＝20,
∴ ,
∴DC=16,AC= ,
又∵，
∴AB＝2AC＝24，
∴BC＝ ，
又∵BD＝BC－CD，
∴BD＝.
【点评】在Rt△ADC中求出CD的长度，在Rt△ABC中求出BC的长度，再根据BD＝BC－CD求值即可.21世纪教育网版权所有
变式跟进4小红同学要测量A、C两地的距离，但A、C之间有一水池，不能直接测量，于是她在A、C同一水平面上选取了一点B，点B可直接到达A、C两地．她测量得到AB=80米，BC=20米，∠ABC=120°．请你帮助小红同学求出A、C两点之间的距离．（参考数据≈4.5， ≈4.6）21*cnjy*com
【答案】A、C两点之间的距离约为92米．
【解析】解：过C作CD⊥AB交AB延长线于点D，
∵∠ABC=120°，
∴∠CBD=60°，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°﹣∠CBD=30°，
∴BD=BC=×20=10（米），
∴CD=，
∴AD=AB+BD=80+10=90米，
在Rt△ACD中，AC=≈92（米），
答：A、C两点之间的距离约为92米．
【点评】首先过C作CD⊥AB交AB延长线于点D，然后可得∠BCD=30°，再根据直角三角形的性质可得BD=10米，然后利用勾股定理计算出CD长，再次利用勾股定理计算出AC长即可．
考点五：解直角三角形的应用
如图，其中、、三地在同一直线上， 地在地北偏东方向、在地北偏西方向． 地在地北偏东方向．且．从地到地的距离是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：过点作，
由题意可得，
，
， ，
∴，
∵，
∴， ，
∴，
在中， ， ， ，
∴，
在中， ， ，
∴．
故选：D.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，结合实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想.再解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的预交等知识转化为所需要的角.
变式跟进5某度假村依山而建，大门A处，有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处测得度假村楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=60°，离B点8米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF=73.5°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD=5米．
（1）求斜坡AB的坡度i．
（2）求DC的长．（参考数据：sin73.5°≈0.96，con73.5°≈0.28，tan73.5°≈3.4， ≈1.7）
【答案】（1）1：2.4；（2）34.4米．
【解析】解：（1）过B作BG⊥AD于G，
则四边形BGDF是矩形，
∴BG=DF=5米，
∵AB=13米，
∴AG==12米，
∴AB的坡度i==1：2.4；
（2）在Rt△BCF中，BF= ，
在Rt△CEF中，EF= ,
∵BF﹣EF=BE=8米，
∴CF﹣CF=8，
解得：CF≈29.35．
∴DC=CF+DF≈29.35+5≈34.4米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角和俯角问题，解直角三角形的应用—坡度和坡比问题，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.
一、选择题
1、（2017?湖州）如图，已知在 中， ， ， ，则 的值是（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】解：在Rt△ACB中，
∵AB=5,BC=3.
∴cosB==.
故答案为A.
【点评】根据余弦的定义即可得出答案.
2、（2017?温州）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα= ，则小车上升的高度是（?? ）
A、5米 B、6米 C、6.5米 D、12米
【答案】A
【解析】解：如图AC=13，作CB⊥AB，
∵cosα= = ，
∴AB=12，
∴BC= =132﹣122=5，
∴小车上升的高度是5m．
故选A．
【点评】在Rt△ABC中，先求出AB，再利用勾股定理求出BC即可．
3、（2017?益阳）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（?? ）21教育网
A、 B、 C、 D、h?cosα
【答案】B
【解析】解：∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠CAD=∠BCD，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD= ，
∴BC= = ，
故选：B．
【点评】根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，由os∠BCD= 知BC= = ．
4、（2017?河北）如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是（?? ）
A、北偏东55° B、北偏西55° C、北偏东35° D、北偏西35°
【答案】D
【解析】解：∵甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，
∴乙的航向不能是北偏西35°，
故选D．
【点评】根据已知条件即可得到结论．
5、（2017?玉林）如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是（?? ）【版权所有：21教育】
A、15 海里 B、30海里 C、45海里 D、30 海里
【答案】B
【解析】解：作BD⊥AP，垂足为D
．
根据题意，得∠BAD=30°，BD=15海里，
∴∠PBD=60°，
则∠DPB=30°，BP=15×2=30（海里），
故选：B．
【点评】作CD⊥AB，垂足为D．构建直角三角形后，根据30°的角对的直角边是斜边的一半，求出BP．
6、（2017?百色）如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是（?? ）米/秒．
A、20（ +1） B、20（ ﹣1） C、200 D、300
【答案】A
【解析】解：作BD⊥AC于点D．
∵在Rt△ABD中，∠ABD=60°，
∴AD=BD?tan∠ABD=200 （米），
同理，CD=BD=200（米）．
则AC=200+200 （米）．
则平均速度是 =20（ +1）米/秒．
故选A．
【点评】作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中利用三角函数求得AD的长，在Rt△BCD中，利用三角函数求得CD的长，则AC即可求得，进而求得速度．
7、（2017?绍兴）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米.则小巷的宽度为（??? ）
A、0.7米 B、1.5米 C、2.2米 D、2.4米
【答案】C
【解析】解：设梯子斜靠在右墙时，底端到右墙角的距离为x米，
由勾股定理可得
梯子的长度2=0.72+2.42=x2+22,
可解得x=1.5,
则小巷的宽度为0.7+1.5=2.2（米）.
故选C.
【点评】当梯子斜靠在右墙时，梯子的长度并不改变，而且墙与水平面是垂直的，则可运用勾股定理构造方程解出底端到右墙角的距离.再求小巷的宽度.
8、（2017?常德）如表是一个4×4（4行4列共16个“数”组成）的奇妙方阵，从这个方阵中选四个“数”，而且这四个“数”中的任何两个不在同一行，也不在同一列，有很多选法，把每次选出的四个“数”相加，其和是定值，则方阵中第三行三列的“数”是（?? ）
30
2 sin60°
22
﹣3
﹣2
﹣ sin45°
0
|﹣5|
6
23
（ ）﹣1
4
（ ）﹣1
A、5 B、6 C、7 D、8
【答案】C
【解析】解：∵第一行为1，2，3，4；第二行为﹣3，﹣2，﹣1，0；第四行为3，4，5，6 ∴第三行为5，6，7，8，【来源：21cnj*y.co*m】
∴方阵中第三行三列的“数”是7，
故选C．
【点评】分析可知第一行为1，2，3，4；第二行为﹣3，﹣2，﹣1，0；第三行为5，6，7，8，由此可得结果．21教育名师原创作品
二、填空题
9、（2017?广州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，tanA= ，则AB=________．
【答案】17
【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，BC=15， ∴ = ，
解得AC=8，
根据勾股定理得，AB= = =17．
故答案为：17．
【点评】根据∠A的正切求出AC，再利用勾股定理列式计算即可得解．
10、（2017?包头）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC=2BF，连接AE，EF．若AB=2，AD=3，则cos∠AEF的值是________．
【答案】
【解析】解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，CD=AB=2，BC=AD=3，
∵FC=2BF，
∴BF=1，FC=2，
∴AB=FC，
∵E是CD的中点，
∴CE= CD=1，
∴BF=CE，
在△ABF和△FCE中， ，
∴△ABF≌△FCE（SAS），
∴∠BAF=∠CFE，AF=FE，
∵∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠CFE+∠AFB=90°，
∴∠AFE=180°﹣90°=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AEF=45°，
∴ocs∠AEF= ；
故答案为： ．
【点评】接AF，由矩形的性质得出∠B=∠C=90°，CD=AB=2，BC=AD=3，证出AB=FC，BF=CE，由SAS证明△ABF≌△FCE，得出∠BAF=∠CFE，AF=FE，证△AEF是等腰直角三角形，得出∠AEF=45°，即可得出答案．
11、（2015?宁波）如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度．站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是________ m（结果保留根号）
【答案】 3 +9
【解析】解：在Rt△ACD中，
∵tan∠ACD= ，
∴tan30°= ，
∴ = ，
∴AD=3 m，
在Rt△BCD中，
∵∠BCD=45°，
∴BD=CD=9m，
∴AB=AD+BD=3 +9（m）．
故答案为：3 +9．
【点评】根据在Rt△ACD中，tan∠ACD= ，求出AD的值，再根据在Rt△BCD中，tan∠BCD= ，求出BD的值，最后根据AB=AD+BD，即可求出答案．
12、（2017?无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于________．
【答案】3
【解析】解：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示， 则∠BO′D′=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，
设每个小正方形的边长为a，
则O′B= ，O′D′= ，BD′=3a，
作BE⊥O′D′于点E，
则BE= ，
∴O′E= = ，
∴tanBO′E= ，
∴tan∠BOD=3，
故答案为：3．
【点评】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得tan∠BOD的值．，本题得以解决
13、（2017?黑龙江）△ABC中，AB=12，AC= ，∠B=30°，则△ABC的面积是________．
【答案】21 或15
【解析】解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D，
在Rt△ABD中，∵AB=12、∠B=30°，
∴AD= AB=6，BD=ABcosB=12× =6 ，
在Rt△ACD中，CD= = = ，
∴BC=BD+CD=6 + =7 ，
则S△ABC= ×BC×AD= ×7 ×6=21 ；②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D，
由①知，AD=6、BD=6 、CD= ，
则BC=BD﹣CD=5 ，
∴S△ABC= ×BC×AD= ×5 ×6=15 ，
故答案为：21 或15 ．
【点评】过A作AD⊥BC于D（或延长线于D），根据含30度角的直角三角形的性质得到AD的长，再根据勾股定理得到BD，CD的长，再分两种情况：如图1，当AD在△ABC内部时、如图2，当AD在△ABC外部时，进行讨论即可求解．
14、（2017?天门）为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD=12 米，∠B=60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE= ，则CE的长为________米．
【答案】8
【解析】解：分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，如图所示．
∵在Rt△ABF中，AB=12米，∠B=60°，
∴sin∠B= ，
∴AF=12× =6 ，
∴DG=6 ．
∵在Rt△DGC中，CD=12 ，DG=6 米，
∴GC= =18．
∵在Rt△DEG中，tanE= ，
∴ = ，
∴GE=26，
∴CE=GE﹣CG=26﹣18=8．
即CE的长为8米．
故答案为8．
【点评】分别过A、D作下底的垂线，设垂足为F、G．在Rt△ABF中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF的值，也就得到了DG的长；在Rt△CDG中，由勾股定理求CG的长，在Rt△DEG中，根据正切函数定义得到GE的长；根据CE=GE﹣CG即可求解．
15、（2017?海南）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是________．
【答案】
【解析】解：由翻转变换的性质可知，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5， ∴∠EFC+∠AFB=90°，
∵∠B=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠EFC=∠BAF，
cos∠BAF= = ，
∴cos∠EFC= ，
故答案为： ．
【点评】根据翻转变换的性质得到∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，根据矩形的性质得到∠EFC=∠BAF，根据余弦的概念计算即可．
16、（2016?广东）如图，点P是四边形ABCD外接圆上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是⊙O的直径，AB=BC=CD．连接PA，PB，PC，若PA=a，则点A到PB和PC的距离之和AE+AF=________．
【答案】a
【解析】解：如图，连接OB、OC．
∵AD是直径，AB=BC=CD，
∴ = = ，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，
∴∠APB= ∠AOB=30°，∠APC= ∠AOC=60°，
在Rt△APE中，∵∠AEP=90°，
∴AE=AP?sin30°= ?a，
在Rt△APF中，∵∠AFP=90°，
∴AF=AP?sin60°= ?a，
∴AE+AF= ?a．
故答案为 ?a．
【点评】如图，连接OB、OC．首先证明∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，推出∠APB= ∠AOB=30°，∠APC= ∠AOC=60°，根据AE=AP?sin30°，AF=AP?sin60°，即可解决问题．
三、解答题
17、（2017?黄石）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中a=2sin60°﹣tan45°．
【答案】，
【解析】解：原式=[ ﹣ ]?（a﹣1）
= ?（a﹣1）
=
当a=2sin60°﹣tan45°=2× ﹣1= ﹣1时，
原式= =
【点评】将原式括号内通分、将除法转化为乘法，再计算减法，最后约分即可化简原式，根据特殊锐角三角函数值求得a的值，代入即可．
18、（2017?海南）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度BC．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）
【答案】12米
【解析】解：设BC=x米，
在Rt△ABC中，
∠CAB=180°﹣∠EAC=50°，
AB= ≈ = = x，
在Rt△EBD中，
∵i=DB：EB=1：1，
∴BD=BE，
∴CD+BC=AE+AB，
即2+x=4+ x，
解得x=12，
即BC=12，
答：水坝原来的高度为12米
【点评】设BC=x米，用x表示出AB的长，利用坡度的定义得到BD=BE，进而列出x的方程，求出x的值即可．2-1-c-n-j-y
19、（2017·台州）如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由.（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
【答案】不会，理由见解析
【解析】解：过A作AC⊥OB于点C，
在Rt△AOC中，∠AOC=40°,
∴sin40°=,
又∵AO=1.2,
∴AC=OAsin40°=1.2×0.64=0.768（米）,
∵AC=0.768＜0.8,
∴车门不会碰到墙.
【点评】过A作AC⊥OB于点C，在Rt△AOC中，∠AOC=40°,AO=1.2,根据sin40°=,得出AC的长度，再与0.8比较大小即可得出判断.【出处：21教育名师】
20、（2017·嘉兴）如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形 ）靠墙摆放，高 ，宽 ，小强身高 ，下半身 ，洗漱时下半身与地面成 （ ），身体前倾成 （ ），脚与洗漱台距离 （点 ， ， ， 在同一直线上）．
(1)此时小强头部 点与地面相距多少？
(2)小强希望他的头部 恰好在洗漱盆 的中点 的正上方，他应向前或后退多少？
（ ， ， ，结果精确到 ）
【答案】（1）144.5cm；（2）向前10.5cm
【解析】（1）解：过点F作FN⊥DK于点N，过点E作EM⊥FN于点M，
∵EF+FG=166，FG=100，∴EF=66，
∵∠FGK=80°，∴FN=100sin80°≈98，
又∵∠EFG=125°，∴∠EFM=180°-125°-10°=45°，
∴FM=66cos45°=33≈46.53，
∴MN=FN+FM≈144.5.
∴他头部E点与地面DK相距约144.5cm.
?
（2）解：过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于点H.
∵AB=48，O为AB的中点，
∴AO=BO=24，
∵EM=66sin45°≈46.53，即PH≈46.53
GN=100cos80°≈1,8，CG=15，
∴OH=24+15+18==57
OP=OH-PH=57-46.53=10.47≈10.5，
∴他应向前10.5cm.
【点评】（1）过点F作FN⊥DK于点N，过点E作EM⊥FN于点M，他头部E点与地面DK的距离即为MN，由EF+FG=166，FG=100，则EF=66，由角的正弦值和余弦值即可解答；
（2）过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于点H，即求OP=OH-PH，而PH=EM，OH=OB+BH=OB+CG+GN，在Rt△EMF求出EM，在Rt△FGN求出GN即可.
一、选择题
1、（2017衡阳县四校一模）如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l为（?? ）
A、 B、 C、 D、h?sinα
【答案】A
【解析】解：由已知得：sinα= ，
∴l= ，
故选：A．
【点评】由已知转化为解直角三角形问题，角α的正弦等于对边比斜边求出滑梯长l．
2、（2017甘肃兰州校级模拟）sin60°的值等于（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】解：原式= × = ，
故选：C．
【点评】根据特殊角三角函数值，可得答案．
3、（2017杭州大江东区一模）如图是一个3×2的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2倍，△ABC的顶点都是网格中的格点，则sin∠BAC的值（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】解：如图
，
由图形知：AB= =5，AC= = ，
过C作CD⊥AB于D，
∵S△ABC= ×AB?CD= BC?AE，
CD=
∴sin∠BAC= = = ，
故选：A．
【点评】过C作CD⊥AB于D，首先根据勾股定理求出AC和AB的长，再根据三角形的面积为定值即可求出CD的长，进而求出sin∠BAC的值．
4、（2017山东泰安一模）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是（?? ）
A、10 海里 B、10 海里 C、10 海里 D、20 海里
【答案】C
【解析】解：作BD⊥AC于点D．
∵∠CBA=25°+50°=75°，
∴∠CAB=（90°﹣70°）+（90°﹣50°）=20°+40°=60°，
∠ABD=30°，
∴∠CBD=75°﹣30°=45°．
在直角△ABD中，BD=AB?sin∠CAB=20×sin60°=20× =10 ．
在直角△BCD中，∠CBD=45°，
则BC= BD=10 × =10 （海里）．
故选C．
【点评】作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中，利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中，利用三角函数即可求得BC的长．2·1·c·n·j·y
5、（2017济南历下区二模）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（?? ）www-2-1-cnjy-com
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】解：如图所示：
设BC=x，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴AC=2BC=2x，AB= BC= x，
根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB= x，
作EM⊥AD于M，则AM= AD= x，
在Rt△AEM中，cos∠EAD= = = ；
故选：B．
【点评】设BC=x，由含30°角的直角三角形的性质得出AC=2BC=2x，求出AB= BC= x，根据题意得出AD=BC=x，AE=DE=AB= x，作EM⊥AD于M，由等腰三角形的性质得出AM= AD= x，在Rt△AEM中，由三角函数的定义即可得出结果．
6、（2017济南槐荫区一模）已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是（?? ）
A、 B、
C、 D、
【答案】D
【解析】解：根据岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，故D符合．
故选：D．
【点评】根据方向角的定义，即可解答．
7、（2017江苏高邮一模）若锐角α的正弦值为0.58，则（?? ）
A、α=30° B、α=45° C、30°＜α＜45° D、45°＜α＜30°
【答案】C
【解析】解：∵锐角正弦函数为增函数，且 ＜sinα=0.58＜ ， ∴30°＜α＜45°，
故选C
【点评】由锐角三角函数为增函数，根据正弦值的范围确定出α的范围即可．
8、（2017苏州一模）如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A、C两点测得该塔顶端F的仰角分别为45°和60°，矩形建筑物宽度AD=20m，高度DC=30m则信号发射塔顶端到地面的高度（即FG的长）为（?? ）
A、（35 +55）m B、（25 +45）m C、（25 +75）m D、（50+20 ）m
【答案】C
【解析】解：设CG=xm，
由图可知：EF=（x+20）?tan45°，FG=x?tan60°，
则（x+20）tan45°+30=xtan60°，
解得x= =25（ +1），
则FG=x?tan60°=25（ +1）× =（75+25 ）m．
故选C．
【点评】将题目中所涉及到的仰角转换为直角三角形的内角，利用解直角三角形的知识表示出线段CG的长，根据三角函数值求得CG的长，代入FG=x?tanβ即可求得．
9、（2017迁安中考一模）某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（?? ）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A、 B、 C、 D、
【答案】 A
【解析】解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，
则∠EHG=∠HEF=90°，
∵∠AEF=143°，
∴∠AEH=∠AEF﹣∠HEF=53°，
∠EAH=37°，
在△EAH中，∠EHA=90°，∠EAH=37°，AE=1.2米，
∴EH=AE?sin∠EAH≈1.2×0.60=0.72（米），
∵AB=1.2米，
∴AB+EH≈1.2+0.72=1.92≈1.9米．
故选：A．
【点评】过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．先求出∠AEH=53°，则∠EAH=37°，然后在△EAH中，利用正弦函数的定义得出EH=AE?sin∠EAH，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可．
二、填空题
10、（2017临沂兰陵县二模）如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC= ，则对角线AC的长为________．
【答案】24
【解析】解：连接BD，交AC与点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中，
∵AB=15，sin∠BAC= ，
∴sin∠BAC= = ，
∴BO=9，
∴AB2=OB2+AO2 ，
∴AO= = =12，
∴AC=2AO=24，
故答案为24．
【点评】连接BD，交AC与点O，首先根据菱形的性质可知AC⊥BD，解三角形求出BO的长，利用勾股定理求出AO的长，即可求出AC的长．
11、（2017江西鹰潭模拟）若 tan（x+10°）=1，则锐角x的度数为________．
【答案】20°
【解析】解：∵ tan（x+10°）=1， ∴tan（x+10°）= = ，
∴x+10°=30°，
∴x=20°．
故答案为：20°．
【点评】利用特殊角的三角函数值得出x+10°的值进而求出即可．
12、（2017江苏连云港四模）如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan（α+β）________?tanα+tanβ．（填“＞”“=”“＜”）
【答案】＞
【解析】解：由正方形网格图可知，tanα= ，tanβ= ， 则tanα+tanβ= + = ，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴α+β=45°，
∴tan（α+β）=1，
∴tan（α+β）＞tanα+tanβ，
故答案为：＞．
【点评】根据正切的概念和正方形网格图求出tanα和tanβ，根据等腰直角三角形的性质和tan45°的值求出tan（α+β），比较即可．
13、（2017湖北天门经济开发区二模）如图，将一副直角三角板（含45°角的直角三角板ABC及含30°角的直角三角板DCB）按图示方式叠放，斜边交点为O，则△AOB与△COD的面积之比等于________．
【答案】1：3
【解析】解：∵直角三角板（含45°角的直角三角板ABC及含30°角的直角三角板DCB）按图示方式叠放 ∴∠D=30°，∠A=45°，AB∥CD
∴∠A=∠OCD，∠D=∠OBA
∴△AOB∽△COD
设BC=a
∴CD= a
∴S△AOB：S△COD=1：3
故答案为1：3
【点评】结合图形可推出△AOB∽△COD，只要求出AB与CD的比就可知道它们的面积比，我们可以设BC为a，则AB=a，根据直角三角函数，可知DC= a，即可得△AOB与△COD的面积之比
14、（2017瑞安四校联考）小聪家对面新建了一幢图书大厦，他在A处测得点D的俯角α为30°，测得点C的俯角β为60°（如图所示），量得两幢楼之间的水平距离BC为30米，则图书大厦CD的高度为________米．
【答案】20
【解析】解：作DH⊥AB于H，
则DH=BC=30，
在Rt△ADH中，AH=DH×tanα=10 ，
在Rt△ABC中，AB= =30 ，
则CD=AB﹣AH=20 （米），
故答案为：20 ．
【点评】作DH⊥AB于H，根据正切的概念分别求出AB、AH，计算即可．
15、（2017浙江乐清模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB，BC上的点，且满足AC=DC=DE=BE=1，则tanA=________．
【答案】+1
【解析】解：设∠B=x°， ∵BE=DE，
∴∠B=∠BDE=x°，
∴∠CED=2x°，
又∵DE=DC，
∴∠ECD=∠CED=2x°．
∴∠DCA=∠ACB﹣∠ECD=90°﹣2x°．
∵直角△ABC中，∠A=90°﹣∠A=90°﹣x°．
又∵CA=CD，
∴∠ADC=∠A=90°﹣x°．
∵△ACD中，∠ACD+∠A+∠ADC=180°，
∴（90﹣2x）+2（90﹣x）=180°，
解得x=22.5°，则∠CED=∠ECD=45°，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∴EC= CD= ，
∴BC= +1，
∴tanA= = +1．
故答案是： +1．
【点评】根据等腰三角形的性质：等边对等角以及三角形的内角和定理求得∠B的度数，证明△ECD是等腰直角三角形，则EC的长度即可求得，则∠A的正切值即可求解．
16、（2017上海奉贤区二模）在等腰三角形ABC中，当顶角A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也确定了，我们把这个比值记作T（A），即T（A）= = ．例：T（60°）=1，那么T（120°）=________．
【答案】
【解析】解：∠BAC=90°，AB=AC，作AD⊥BC于D，则∠BAD=60°， ∴BD= AB，
∴BC= AB，
∴T（120°）= ．
故答案是： ．
【点评】根据T（A）的定义解答即可．
三、解答题
17、（2017襄阳保康县模拟）先化简再求值： ，其中x=tan60°﹣1．
【答案】-，﹣1
【解析】解：
= ?
=﹣，
当x=tan60°﹣1= ﹣1时，
原式=﹣ =﹣ = ﹣1．
【点评】首先利用分式的混合运算，将原分式化简，再代入求值即可．
18、（2017广东东莞六校三模）如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°．由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm．温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26， ）．
【答案】67.3cm
【解析】解：在直角三角形ACO中，
sin75°= = ≈0.97，
解得OC≈38.8，
在直角三角形BCO中，tan30°= = ≈ ，
解得BC≈67.3．
答：该台灯照亮水平面的宽度BC大约是67.3cm．
【点评】根据sin75°= = ，求出OC的长，根据tan30°= ，再求出BC的长，即可求解．www.21-cn-jy.com
19、（2017浙江杭州仿真）随着人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入到各个家庭．某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．如图，地面所在的直线ME与楼顶所在的直线AC是平行的，CD的厚度为0.5m，求出汽车通过坡道口的限高DF的长（结果精确到0.1m，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．
【答案】3.8m
【解析】解：∵AC//ME，∴∠CAB=∠AEM， 在Rt△ABC中，∠CAB=28°，AC=9m，
∴BC=ACtan28°≈9×0.53=4.77（m），
∴BD=BC﹣CD=4.77﹣0.5=4.27（m），
在Rt△BDF中，∠BDF+∠FBD=90°，
在Rt△ABC中，∠CAB+∠FBC=90°，
∴∠BDF=∠CAB=28°，
∴DF=BDcos28°≈4.27×0.88=3.7576≈3.8 （m），
答：坡道口的限高DF的长是3.8m
【点评】首先根据AC//ME，可得∠CAB=∠AE28°，再根据三角函数计算出BC的长，进而得到BD的长，进而求出DF即可．21*cnjy*com
20、（2017宿州埇桥区模拟）如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，求该电线杆PQ的高度．
【答案】（6+2 ）米
【解析】解：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米．
在直角△APE中，∠A=45°，
则AE=PE=x米；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，BE= PE= x米，
∵AB=AE﹣BE=6米，
则x﹣ x=6，
解得：x=9+3 ．
则BE=（3 +3）米．
在直角△BEQ中，QE= BE= （3 +3）=（3+ ）米．
∴PQ=PE﹣QE=9+3 ﹣（3+ ）=6+2 （米）．
答：电线杆PQ的高度是（6+2 ）米．
【点评】延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE﹣BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．【来源：21·世纪·教育·网】
