4.2全等三角形
一、全等形
1、全等形的概念：能够完全________的两个图形叫做全等形.
2、全等三角形：能够完全重合的两个________叫做全等三角形.
注意：平移、________、________前后的两个图形全等.
二、全等三角形的性质
全等三角形的________相等、全等三角形的对应角________.
三、三角形全等的判定
（1）边边边定理：三边对应________的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）
（2）边角边定理：两边和它们的________对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（3）角边角定理：两角和它们的________对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（4）角角边定理：两角分别相等且其中一组等角的________相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）
（5）斜边、直角边定理：________和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）www-2-1-cnjy-com
考点一：全等三角形的识别
如图所示，把△ABC沿直线BC翻折180°到△DBC，那么△ABC和△DBC_____ 全等图形（填“是”或“不是”）；若△ABC的面积为2，那么△BDC的面积为__________.
【答案】是，2
【解析】解：由题意得，△ABC和△DBC是全等图形，则△BDC的面积为2.
【点评】本题考查的是全等三角形的定义，根据全等三角形的定义即可得到结果.
变式跟进1如图所示，已知AB∥CD，AD∥BC，那么图中共有全等三角形 （ ）
A. 1对 B. 2对 C. 4对 D. 8对
考点二：全等三角形的性质
如图所示，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M，N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其中线段_________的长度．21·世纪*教育网
【答案】PQ
【解析】∵△PQO≌△NMO，
∴PQ=MN，
∴求得MN的长，只需求得线段PQ的长，
故答案为：PQ.
【点评】本题考查了全等三角形的性质，利用全等三角形的对应边相等即可得出结论.
变式跟进2如图，Rt△ABC≌Rt△CED，点B、C、E在同一直线上，则结论：①AC=CD，②AC⊥CD，③BE=AB+DE，④AB∥ED，其中成立的有（ ）2-1-c-n-j-y
A. ① B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④
考点三：全等三角形的判定
如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带__去玻璃店．【出处：21教育名师】
【答案】③
【解析】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故答案为：③．
【点评】本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
变式跟进3如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是( )
A. PC⊥OA，PD⊥OB B. OC=OD C.∠OPC=∠OPD D. PC=PD
考点四：全等三角形与平移、旋转、轴对称
如图（1）所示，把△ABC沿直线BC移动线段BC那样长的距离可以变到△ECD的位置；如图（2）所示，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图（3）所示，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置，像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换.
问题：如图（4），△ABC≌△DEF，B和E、C和F是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角.
【答案】见解析
【解析】解：把△DEF沿EF翻折180°，再将翻转后的三角形沿CB（向左）方向平移，使E与B点重合，则△ABC与△DEF重合.
相等的边为：AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF.
相等的角为：∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边、对应角相等即得判断.
变式跟进4全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形(如图1)，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°(如图3)，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是( )【来源：21·世纪·教育·网】
考点五：全等三角形与角平分线定理、线段垂直平分线定理
如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中， ，
∴△POE≌△POF，
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中， ，
∴△PEM≌△PFN，
∴EM=NF，PM=PN，故（1）正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故（3）正确，
∵OM+ON=OE+ME+OF﹣NF=2OE=定值，故（2）正确，
MN的长度是变化的，故（4）错误，
故选B．
【点评】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．www.21-cn-jy.com
变式跟进5如图，已知在△ABC中，∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN垂直于AB于点N，PM垂直于AC于点M，BN和CM有什么数量关系？请说明理由．
考点六：全等三角形的综合运用
如图，正方形ABCD，AB=6，点E在边CD上，CE=2DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③EG=DE+BG；④AG∥CF；⑤S△FCA=3.6，其中正确结论是_____．21*cnjy*com
【答案】①②③④⑤．
【解析】解：∵正方形ABCD的边长为6，CE=2DE，
∴DE=2，EC=4，
∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，
∴AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，AB=AE，AG=AG，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴GB=GF，∠BAG=∠FAG，
∴∠GAE=∠FAE+∠FAG=∠BAD=45°，所以①正确；
设BG=x，则GF=x，C=BC﹣BG=6﹣x，
在Rt△CGE中，GE=x+2，EC=4，CG=6﹣x，
∵CG2+CE2=GE2，
∴（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3，
∴BG=3，CG=6﹣3=3
∴BG=CG，所以②正确；
∵EF=ED，GB=GF，
∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正确；
∵GF=GC，
∴∠GFC=∠GCF，
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB=∠AGF，
而∠BGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠GCF，
∴CF∥AG，所以④正确；
过F作FH⊥DC
∵BC⊥DH，
∴FH∥GC，
∴△EFH∽△EGC，
∴=，
EF=DE=2，GF=3，
∴EG=5，
∴△EFH∽△EGC，
∴相似比为： =，
∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=×3×4﹣×4×（×3）==3.6，
连接AC，
∵CF∥AG，
∴S△FCA=S△FGC=3.6，
所以⑤正确．
故正确的有①②③④⑤，
故答案为：①②③④⑤．
【点评】先计算出DE=2，EC=4，再根据折叠的性质AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，然后根据“HL”可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，则GB=GF，∠BAG=∠FAG，所以∠GAE=∠BAD=45°；GE=GF+EF=BG+DE；设BG=x，则GF=x，CG=BC﹣BG=6﹣x，在Rt△CGE中，根据勾股定理得（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3，则BG=CG=3，则点G为BC的中点；同时得到GF=GC，根据等腰三角形的性质得∠GFC=∠GCF，再由Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠AGB=∠AGF，然后根据三角形外角性质得∠BGF=∠GFC+∠GCF，易得∠AGB=∠GCF，根据平行线的判定方法得到CF∥AG；过F作FH⊥DC，则△EFH∽△EGC，△EFH∽△EGC，由相似比为，可计算S△FGC．根据同底等高的三角形的面积相等即可得到结论．21*cnjy*com
变式跟进6如图，等边三角形ABC中，点D、E、F、分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC动点，△DMN为等边三角形
（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？
（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立请说明理由；
（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由．
一、选择题
1、（2016?怀化）如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（ ）
PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD
2、（2015?宁波）如图，?ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（?? ）
A、BE=DF B、BF=DE C、AE=CF D、∠1=∠2
3、（2016?黔西南州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（? ）
A、AB=DE B、AC=DF C、∠A=∠D D、BF=EC
4、（2016?黔东南州）如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，点O是AB的中点，且AB= ，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD+CE=（? ）
A、 B、 C、2 D、
5、（2015?泰安）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（ ）
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
6. (2017·山东滨州)如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立，（2）OM＋ON的值不变，（3）四边形PMON的面积不变，（4）MN的长不变，其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
7、（2017?黑龙江）如图，BC//EF，AC//DF，添加一个条件________，使得△ABC≌△DEF．
8、（2016?成都）如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=________．
9、（2017?达州）△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是________．
10. (2017·湖南湘潭)如图，在中，，平分交于点，垂直平分，垂足为点，请任意写出一组相等的线段 ．
11、（2017?新疆）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中： ①∠ABC=∠ADC；
②AC与BD相互平分；
③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；
④四边形ABCD的面积S= AC?BD．
正确的是________（填写所有正确结论的序号）
三、解答题
12、（2016?福州）一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．
13、（2017·湖南怀化）如图，点在一条直线上，，．写出与之间的关系，并证明你的结论．
14.（2017·四川泸州）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，已知AF=DC，∠A=∠D，BC∥EF，求证：AB=DE．
15.(2017·四川宜宾) 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC∥DF．求证：BE=CF．21教育名师原创作品
16. （2017·郴州市）已知中，，点分别为边的中点，求证：.
17、（2017?益阳）如图，四边形ABCD为平行四边形，F是CD的中点，连接AF并延长与BC的延长线交于点E．求证：BC=CE．
18、（2017?大连）如图，在?ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC，垂足F在AC的延长线上，求证：AE=CF．
19、（2016?泉州）如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB．21cnjy.com
20、（2017·衢州）
问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形。
类比研究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）。【来源：21cnj*y.co*m】
(1)△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；
(2)△DEF是否为正三角形？请说明理由；
(3)进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设 ， ， ，请探索 ， ， 满足的等量关系。
一、选择题
1、（2017虬津片区一模）在△ABC中，∠B=∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（?? ）
A、∠A B、∠B C、∠C D、∠B或∠C
2、（2017苏州押题）如图，△AOC≌△BOD，∠A和∠B，∠C和∠D是对应角，下列几组边中是对应边的是（?? ）
A、AC与BD B、AO与OD C、OC与OB D、OC与BD
3、（2017南阳新野县二模）用尺规作图法作已知角∠AOB的平分线的步骤如下： ①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OB于点D，交OA于点E；
②分别以点D，E为圆心，以大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
③作射线OC．
则射线OC为∠AOB的平分线．
由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是（?? ）
A、SAS B、ASA C、AAS D、SSS
4、（2017泰安东平县二模）如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（?? ）
A、 B、 C、 D、
5、（2017贵港港南区二模）如图，将一个等腰Rt△ABC对折，使∠A与∠B重合，展开后得折痕CD，再将∠A折叠，使C落在AB上的点F处，展开后，折痕AE交CD于点P，连接PF、EF，下列结论：①tan∠CAE= ﹣1；②图中共有4对全等三角形；③若将△PEF沿PF翻折，则点E一定落在AB上；④PC=EC；⑤S四边形DFEP=S△APF ． 正确的个数是（?? ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
二、填空题
6、（2017南京六区联考）如图，∠A=∠C，只需补充一个条件：________，就可得△ABD≌△CDB．21·cn·jy·com
7、（2017诸城期末）已知△ABC≌△ADE，如果∠BAE=135°，∠BAD=40°，那么∠BAC=______．
8、（2017北京通州区二模）如图，Rt△ABC≌Rt△DCB，两斜边交于点O，如果AC=3，那么OD的长为________．
9、（2017泰州海陵区一模）如图，在边长为3cm的正方形ABCD中，点E为BC边上的任意一点，AF⊥AE，AF交CD的延长线于F，则四边形AFCE的面积为________?cm2 ．
10、（2017高邮一模）如图，正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D正好分别在四条平行线l1、l3、l4、l2上．若从上到下每两条平行线间的距离都是2cm，则正方形ABCD的面积为________?cm2 ．21教育网
11、（2017杭州上城区校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是________．
12、（2017包头校级期中）如图所示，在△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于点D，给出下列结论：①∠EAB=∠FAC；②AF=AC；③∠C=∠EFA；④AD=AC，其中正确的结论是_____（填写所有正确结论的序号）．
三、解答题
13、（2017济南槐荫区二模）如图，点E、F在AC上，AB//CD，AB=CD，AE=CF，求证：△ABF≌△CDE．
14、（2017年衡阳县四校一模）已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E． 求证：AD=AE．2·1·c·n·j·y
15、（2017北京石景山一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是CB的中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F． 求证：AB=FC．
16、（2017合肥期末）已知：如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA＝BD．求证：AE＝AC．
17、（2017包头校级期中）如图，已知△ABC中，AB=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D为AB的中点．若点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．21世纪教育网版权所有
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
18、（2017邵阳校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，延长AB至E，使AE=AC，过E作EF⊥AC于F，EF交BC于G．
（1）求证：AG平分∠BAC；
（2）若∠E=40°，求∠AGB的度数．
19、（2017沈阳校级模拟）如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB.E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α.
(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上.
①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE CF；
②如图2，若0°＜∠BCA<180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ，使①中的结论仍然成立，并说明理由；
(2)如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想： .
20、（2016景德镇三模）如图1，ABCD为正方形，直线MN分别过AD边与BC边的中点，点P为直线MN上任意一点，连接PB、PC分别与AD边交于E、F两点，PC与BD交于点K，连接AK与PB交于点G．【版权所有：21教育】
(1)探索发现
当点P落在AD边上时，如图2，试探究PB与AK的位置关系以及PB、PK、AK三者的数量关系（直接写出无需证明）；
(2)延伸拓展
当点P落在正方形外，如图1，以上两个结论是否仍然成立？如果成立请给出证明，如果不成立请说明你的理由；
(3)应用推广
如图3，在等腰Rt△ABD中，其中∠BAD=90°，腰长为3，M、N分别为AD边与BD边的中点，K为线段DN中点，F为AD边上靠近于D的三等分点．连接KF并延长与直线MN交于点P，连接PB分别与AD、AK交于点E、G．试求四边形EFKG的周长及面积．
4.2全等三角形
一、全等形
1、全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形.
2、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
注意：平移、翻折、旋转前后的两个图形全等.
二、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等.
三、三角形全等的判定
（1）边边边定理：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）
（2）边角边定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（3）角边角定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（4）角角边定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）
（5）斜边、直角边定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
考点一：全等三角形的识别
如图所示，把△ABC沿直线BC翻折180°到△DBC，那么△ABC和△DBC_____ 全等图形（填“是”或“不是”）；若△ABC的面积为2，那么△BDC的面积为__________.
【答案】是，2
【解析】解：由题意得，△ABC和△DBC是全等图形，则△BDC的面积为2.
【点评】本题考查的是全等三角形的定义，根据全等三角形的定义即可得到结果.
变式跟进1如图所示，已知AB∥CD，AD∥BC，那么图中共有全等三角形 （ ）
A. 1对 B. 2对 C. 4对 D. 8对
【答案】C
【解析】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠BDA=∠DBC，∠BAC=∠DCA，∠ABD=∠CDB，
又∵AC、BD为公共边，
∴△ACD≌△CAB、△BAD≌△DCB（ASA）；
∴AD=BC，AB=CD，
∴△AOD≌△COB、△AOB≌△COD（ASA）．
所以全等三角形有：△AOD≌△COB、△AOB≌△COD、△ACD≌△CAB、△BAD≌△DCB，共4对；故选B．
【点评】根据AB∥CD，AD∥BC可得到相等的角，再根据公共边AC、BD易证得：△ACD≌△CAB、△BAD≌△DCB（ASA）；由上可得AD=BC、AB=CD，再根据平行线确定的角相等可证得：△AOD≌△COB、△AOB≌△COD（ASA）．
考点二：全等三角形的性质
如图所示，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M，N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其中线段_________的长度．
【答案】PQ
【解析】∵△PQO≌△NMO，
∴PQ=MN，
∴求得MN的长，只需求得线段PQ的长，
故答案为：PQ.
【点评】本题考查了全等三角形的性质，利用全等三角形的对应边相等即可得出结论.
变式跟进2如图，Rt△ABC≌Rt△CED，点B、C、E在同一直线上，则结论：①AC=CD，②AC⊥CD，③BE=AB+DE，④AB∥ED，其中成立的有（ ）
A. ① B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④
【答案】D
【解析】解：∵Rt△ABC≌Rt△CED，
∴AC=CD，①成立；
∵Rt△ABC≌Rt△CED，
∴∠1=∠D，
又∠2+∠D=90°，
∴∠2+∠1=90°，
即∠ACD=90°，
∴AC⊥DC，②成立；
∵Rt△ABC≌Rt△CED，
∴AB=EC，BC=ED，
又BE=BC+EC，
∴BE=AB+ED，③成立；
∵∠B+∠E=180°，
∴AB∥DE，④成立，
故选D．
【点评】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等对各个选项进行判断即可．
考点三：全等三角形的判定
如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带__去玻璃店．
【答案】③
【解析】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故答案为：③．
【点评】本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
变式跟进3如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是( )
A. PC⊥OA，PD⊥OB B. OC=OD C.∠OPC=∠OPD D. PC=PD
【答案】D
【解析】试题分析：对于A，由PC⊥OA，PD⊥OB得出∠PCO=∠PDO=90°，根据AAS判定定理可以判定△POC≌△POD；对于B OC=OD，根据SAS判定定理可以判定△POC≌△POD；对于C，∠OPC=∠OPD，根据ASA判定定理可以判定△POC≌△POD；，对于D，PC=PD，无法判定△POC≌△POD，故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定.
考点四：全等三角形与平移、旋转、轴对称
如图（1）所示，把△ABC沿直线BC移动线段BC那样长的距离可以变到△ECD的位置；如图（2）所示，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图（3）所示，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置，像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换.
问题：如图（4），△ABC≌△DEF，B和E、C和F是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角.
【答案】见解析
【解析】解：把△DEF沿EF翻折180°，再将翻转后的三角形沿CB（向左）方向平移，使E与B点重合，则△ABC与△DEF重合.
相等的边为：AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF.
相等的角为：∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边、对应角相等即得判断.
变式跟进4全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形(如图1)，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°(如图3)，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是( )
【答案】B
【解析】解：由题意知真正合同三角形和镜面合同三角形的特点，可判断要使选项B的两个三角形重合必须将其中的一个翻转180°；
而其A、C、D的全等三角形可以在平面内通过平移或旋转使它们重合．
故选B．
【点评】理解真正合同三角形和镜面合同三角形的定义，然后根据各自的定义或特点进行解答．
考点五：全等三角形与角平分线定理、线段垂直平分线定理
如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中， ，
∴△POE≌△POF，
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中， ，
∴△PEM≌△PFN，
∴EM=NF，PM=PN，故（1）正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故（3）正确，
∵OM+ON=OE+ME+OF﹣NF=2OE=定值，故（2）正确，
MN的长度是变化的，故（4）错误，
故选B．
【点评】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．21cnjy.com
变式跟进5如图，已知在△ABC中，∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN垂直于AB于点N，PM垂直于AC于点M，BN和CM有什么数量关系？请说明理由．
【答案】BN=CM，理由见解析.
【解析】试题分析：连接PB，PC，根据角平分线性质求出PM=PN，根据线段垂直平分线求出PB=PC，根据HL证Rt△PMC≌Rt△PNB，即可得出答案．
试题解析：BN=CM，理由如下：
如图，连接PB，PC，
∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，
∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，
∵P在BC的垂直平分线上，
∴PC=PB，
在Rt△PMC和Rt△PNB中， ，
∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），
∴BN=CM．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，角平分线性质等知识点，能正确地添加辅助线是解题的关键.21*cnjy*com
考点六：全等三角形的综合运用
如图，正方形ABCD，AB=6，点E在边CD上，CE=2DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③EG=DE+BG；④AG∥CF；⑤S△FCA=3.6，其中正确结论是_____．
【答案】①②③④⑤．
【解析】解：∵正方形ABCD的边长为6，CE=2DE，
∴DE=2，EC=4，
∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，
∴AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，AB=AE，AG=AG，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴GB=GF，∠BAG=∠FAG，
∴∠GAE=∠FAE+∠FAG=∠BAD=45°，所以①正确；
设BG=x，则GF=x，C=BC﹣BG=6﹣x，
在Rt△CGE中，GE=x+2，EC=4，CG=6﹣x，
∵CG2+CE2=GE2，
∴（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3，
∴BG=3，CG=6﹣3=3
∴BG=CG，所以②正确；
∵EF=ED，GB=GF，
∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正确；
∵GF=GC，
∴∠GFC=∠GCF，
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB=∠AGF，
而∠BGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠GCF，
∴CF∥AG，所以④正确；
过F作FH⊥DC
∵BC⊥DH，
∴FH∥GC，
∴△EFH∽△EGC，
∴=，
EF=DE=2，GF=3，
∴EG=5，
∴△EFH∽△EGC，
∴相似比为： =，
∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=×3×4﹣×4×（×3）==3.6，
连接AC，
∵CF∥AG，
∴S△FCA=S△FGC=3.6，
所以⑤正确．
故正确的有①②③④⑤，
故答案为：①②③④⑤．
【点评】先计算出DE=2，EC=4，再根据折叠的性质AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，然后根据“HL”可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，则GB=GF，∠BAG=∠FAG，所以∠GAE=∠BAD=45°；GE=GF+EF=BG+DE；设BG=x，则GF=x，CG=BC﹣BG=6﹣x，在Rt△CGE中，根据勾股定理得（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3，则BG=CG=3，则点G为BC的中点；同时得到GF=GC，根据等腰三角形的性质得∠GFC=∠GCF，再由Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠AGB=∠AGF，然后根据三角形外角性质得∠BGF=∠GFC+∠GCF，易得∠AGB=∠GCF，根据平行线的判定方法得到CF∥AG；过F作FH⊥DC，则△EFH∽△EGC，△EFH∽△EGC，由相似比为，可计算S△FGC．根据同底等高的三角形的面积相等即可得到结论．21教育网
变式跟进6如图，等边三角形ABC中，点D、E、F、分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC动点，△DMN为等边三角形【来源：21cnj*y.co*m】
（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？
（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立请说明理由；
（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由．
【答案】（1）EN=MF； （2）成立，理由件解析；（3）MF与EN相等的结论仍然成立，理由件解析．www-2-1-cnjy-com
【解析】解：（1）EN与MF相等，
证明：连接DE、DF，
∵△ABC和△DMN为等边三角形，
∴DM=DN，∠MDN=60°，
∵点D、E、F、分别为边AB，AC，BC的中点，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠MDF=∠NDE，
在△DMF和△DNE中，
，
∴△DMF≌△DNE，
∴EN=MF；
（2）成立，
证明：连结DE，DF，EF．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC．
∵D，E，F是三边的中点，
∴DE，DF，EF为三角形的中位线．
∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．
又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，
∴∠MDF=∠NDE．
在△DMF和△DNE中，
，
∴△DMF≌△DNE，
∴MF=NE；
（3）画出图形如图③所示：
MF与EN相等的结论仍然成立．
由（2）得，△DMF≌△DNE，
∴MF=NE．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定与性质定理、等边三角形的性质是解题的关键.21世纪教育网版权所有
一、选择题
1、（2016?怀化）如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（ ）
PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD
【答案】B.
【解析】
∵OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C.?D，
∴PC=PD，故A正确；
在Rt△OCP与Rt△ODP中，
，
∴△OCP≌△ODP，
∴∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C.?D正确.
不能得出∠CPD=∠DOP，故B错误.
故选B.
【点评】先根据角平分线的性质得出PC=PD，再利用HL证明△OCP≌△ODP，根据全等三角形的性质得出∠CPO=∠DPO，OC=OD．
2、（2015?宁波）如图，?ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（?? ）
A、BE=DF B、BF=DE C、AE=CF D、∠1=∠2
【答案】C
【解析】解：A、当BE=FD， ∵平行四边形ABCD中，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；
C、当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；
B、当BF=ED，
∴BE=DF，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；
D、当∠1=∠2，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），故此选项错误；
故选C．
【点评】利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别得出三角形全等，再进行选择即可．
3、（2016?黔西南州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（? ）
A、AB=DE B、AC=DF C、∠A=∠D D、BF=EC
【答案】C
【解析】解：选项A、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项C、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；
选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．
故选C．
【点评】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．
4、（2016?黔东南州）如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，点O是AB的中点，且AB= ，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD+CE=（? ）
A、 B、 C、2 D、
【答案】B
【解析】解：连接OC，
∵等腰直角△ABC中，AB= ，
∴∠B=45°，
∴cos∠B= ，
∴BC= ×cos45°= × = ，
∵点O是AB的中点，
∴OC= AB=OB，OC⊥AB，
∴∠COB=90°，
∵∠DOC+∠COE=90°，∠COE+∠EOB=90°，
∴∠DOC=∠EOB，
同理得∠ACO=∠B，
∴△ODC≌△OEB，
∴DC=BE，
∴CD+CE=BE+CE=BC= ，
故选B．
【点评】本题考查了全等三角形和等腰直角三角形的性质和判定，对于求线段的和或差时，想办法把线段利用相等关系放到同一条线段中去，再计算和或差；本题是利用三角形全等将CD转化为BE，使问题得以解决．连接OC构建全等三角形，证明△ODC≌△OEB，得DC=BE；把CD+CE转化到同一条线段上，即求BC的长；通过等腰直角△ABC中斜边AB的长就可以求出BC= ，则CD+CE=AB= ．2-1-c-n-j-y
5、（2015?泰安）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（ ）
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
【答案】 A
【解析】解：∵BF∥AC，
∴∠C=∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC=∠CBF，
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE与△DBF中，
，
∴△CDE≌△DBF，
∴DE=DF，CE=BF，故①正确；
∵AE=2BF，
∴AC=3BF，故④正确．
故选A．
【点评】根据等腰三角形的性质三线合一得到BD=CD，AD⊥BC，故②③正确；通过△CDE≌△DBF，得到DE=DF，CE=BF，故①④正确．21·cn·jy·com
6. (2017·山东滨州)如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立，（2）OM＋ON的值不变，（3）四边形PMON的面积不变，（4）MN的长不变，其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B.
【解析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF，
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN，
∴EM=NF,PM=PN,故(1)正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值,故(3)正确，
∵OM+ON=OE+ME+OF?NF=2OE=定值,故(2)正确，
MN的长度是变化的,故(4)错误，
故选B.
【点评】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
二、填空题
7、（2017?黑龙江）如图，BC//EF，AC//DF，添加一个条件________，使得△ABC≌△DEF．
【答案】AB=DE或BC=EF或AC=DF
【解析】解：∵BC//EF，
∴∠ABC=∠E，
∵AC//DF，
∴∠A=∠EDF，
∵在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF，
同理，BC=EF或AC=DF也可求证△ABC≌△DEF．
故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF均可．
【点评】本题要判定△ABC≌△DEF，易证∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加AB=DE、BC=EF或AC=DF根据ASA、AAS即可解题．
8、（2016?成都）如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=________．
【答案】 120°
【解析】解：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C=∠C′=24°，
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠B=120°，
故答案为：120°．
【点评】根据全等三角形的性质求出∠C的度数，根据三角形内角和定理计算即可．本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
9、（2017?达州）△ABC中，AB=5，AC=3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是________．
【答案】1＜m＜4
【解析】解：延长AD至E，使AD=DE，连接CE，则AE=2m，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ADB和△EDC中，
∵ ，
∴△ADB≌△EDC，
∴EC=AB=5，
在△AEC中，EC﹣AC＜AE＜AC+EC，
即5﹣3＜2m＜5+3，
∴1＜m＜4，
故答案为：1＜m＜4．
【点评】作辅助线，构建△AEC，根据三角形三边关系得：EC﹣AC＜AE＜AC+EC，即5﹣3＜2m＜5+3，所以1＜m＜4．
10. (2017·湖南湘潭)如图，在中，，平分交于点，垂直平分，垂足为点，请任意写出一组相等的线段 ．
【答案】BC=BE或DC=DE
【解析】已知，平分，垂直平分，利用角平分线性质定理可知DC=DE；根据已知条件易证≌，根据全等三角形的性质可得BC=BE.
【点评】根据线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质并结合全等三角形的性质即可解答．
11、（2017?新疆）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中： ①∠ABC=∠ADC；【来源：21·世纪·教育·网】
②AC与BD相互平分；
③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；
④四边形ABCD的面积S= AC?BD．
正确的是________（填写所有正确结论的序号）
【答案】①④
【解析】解：①在△ABC和△ADC中，
∵ ，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠ABC=∠ADC，
故①结论正确；
②∵△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB=AD，
∴OB=OD，AC⊥BD，
而AB与BC不一定相等，所以AO与OC不一定相等，
故②结论不正确；
③由②可知：AC平分四边形ABCD的∠BAD、∠BCD，
而AB与BC不一定相等，所以BD不一定平分四边形ABCD的对角；
故③结论不正确；
④∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD= BD?AO+ BD?CO= BD?（AO+CO）= AC?BD．
故④结论正确；
所以正确的有：①④；
故答案为：①④．
【点评】①证明△ABC≌△ADC，可作判断；
②③由于AB与BC不一定相等，则可知此两个选项不一定正确；
④根据面积和求四边形的面积即可．
三、解答题
12、（2016?福州）一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．
【答案】证明见解析
【解析】证明：在△ABC和△ADC中，有
，
所以△ABC≌△ADC（SSS），
所以∠BAC=∠DAC．
【点评】在△ABC和△ADC中，由三组对边分别相等可通过全等三角形的判定定理（SSS）证得△ABC≌△ADC，再由全等三角形的性质即可得出结论．本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出△ABC≌△ADC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等是关键．
13、（2017·湖南怀化）如图，点在一条直线上，，．写出与之间的关系，并证明你的结论．
【答案】证明见解析：
【解析】
解：CD与AB之间的关系是：CD=AB，且CD∥AB
证明：∵CE=BF，∴CF=BE
在ΔCDF和ΔBAE中
∴ΔCDF≌ΔBAE
∴CD=BA，∠C=∠B
∴CD∥BA
【解析】本题主要考查全等三角形的性质. 通过证明ΔCDF≌ΔABE，即可得出结论.
14.（2017·四川泸州）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，已知AF=DC，∠A=∠D，BC∥EF，求证：AB=DE．
【答案】证明见解析.
【解析】
欲证明AB=DE，只要证明△ABC≌△DEF即可．
证明：
∵AF=CD,
∴AC=DF,
∵BC//EF,
∴,
在ΔABC与ΔDEF中,
∴ΔABC≌ΔDEF（ASA）
∴AB=DE.
【解析】本题考查全等三角形的判定和性质. 找出证明ΔABC与ΔDEF全等的条件是解题的关键.
15.(2017·四川宜宾) 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC∥DF．求证：BE=CF．
【答案】证明见解析
【解析】欲证BE=CF，则证明两三角形全等，已经有两个条件，只要再有一个条件就可以了，而AC∥DF可以得出∠ACB=∠F，条件找到，全等可证．根据全等三角形对应边相等可得BC=EF，都减去一段EC即可得证．
解：∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠F，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
∴BC=EF，
∴BC﹣CE=EF﹣CE，
即BE=CF．
【解析】本题考查全等三角形的判定和性质.解题的关键在于找出两三角形全等的条件.
16. （2017·郴州市）已知中，，点分别为边的中点，求证：.
【答案】证明见解析.
【解析】由∠ABC=∠ACB可得AB=AC，又点D、E分别是AB、AC的中点．得到AD=AE，通过△ABE≌△ACD，即可得到结果．21*cnjy*com
试题解析：
证明：∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵点D、E分别是AB、AC的中点．
∴AD=AE，
在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD，
∴BE=CD．
【解析】本题考查全等三角形的判定及性质.解题的关键在于根据已知条件和图形找出两三角形全等的条件.
17、（2017?益阳）如图，四边形ABCD为平行四边形，F是CD的中点，连接AF并延长与BC的延长线交于点E．求证：BC=CE．
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，
又∵F是CD的中点，即DF=CF，
∴△ADF≌△ECF，
∴AD=CE，
∴BC=CE．
【点评】根据平行四边形的对边平行且相等可得AD=BC，AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，根据线段中点的定义可得DF=CF，然后利用“角角边”证明△ADF≌△ECF，根据全等三角形对应边相等可得AD=CE，从而得证．
18、（2017?大连）如图，在?ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC，垂足F在AC的延长线上，求证：AE=CF．
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∴180°﹣∠BAC=180°﹣∠DCA，
∴∠EAB=∠FAD，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA=∠DFC=90°，
在△BEA和△DFC中，
，
∴△BEA≌△DFC（AAS），
∴AE=CF
【点评】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，由平行线的性质得出得出∠BAC=∠DCA，证出∠EAB=∠FAD，∠BEA=∠DFC=90°，由AAS证明△BEA≌△DFC，即可得出结论．
19、（2016?泉州）如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB．
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴CE=CD，BC=AC，
∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE，
∴∠ECB=∠DCA，
在△CDA与△CEB中
，
∴△CDA≌△CEB．
【点评】根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD，BC=AC，再利用全等三角形的判定证明即可．本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记等腰直角三角形的性质是解题的关键．
20、（2017·衢州）
问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形。
类比研究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）。
(1)△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；
(2)△DEF是否为正三角形？请说明理由；
(3)进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设 ， ， ，请探索 ， ， 满足的等量关系。
【答案】（1）全等，证明见解析；（2）是；理由见解析；（3）∴c2=a2+ab+b2
【解析】（1）△ABD≌△BCE≌△CAF.
证明： ∵正△ABC中,
∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC,
∵∠ABD=∠ABC-∠2,∠BCE=∠ACB-∠3,又∠2=∠3
∴∠ABD=∠BCE,
又∵∠1=∠2，
∴△ABD≌△BCE（ASA）.
（2）△DEF是正三角形.
证明：∵△ABD≌△BCE≌△CAF，
∴∠ADB=∠BEC=∠CFA,
∴∠FDE=∠DEF=∠EFD,
∴△DEF是正三角形.
（3）解：作AG⊥BD，交BD延长线于点G.
由△DEF是正三角形得到∠ADG=60°（或者∠ADG=∠1+∠ABD=∠2+∠ABD=60°.）
∴在Rt△ADG中，DG=b,AG=b.
∴在Rt△ABG中，c2=+,
∴c2=a2+ab+b2
【点评】（1）由正△AB得出∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC,再通过等量代换得出∠1=∠2，从而得出△ABD≌△BCE（ASA）.2·1·c·n·j·y
（2）由（1）中△ABD≌△BCE≌△CAF，得出∠ADB=∠BEC=∠CFA,∠FDE=∠DEF=∠EFD,从而得出△DEF是正三角形.【版权所有：21教育】
（3）作AG⊥BD，交BD延长线于点G.由△DEF是正三角形得到∠ADG=60°（或者∠ADG=∠1+∠ABD=∠2+∠ABD=60°.）从而在Rt△ADG中，21教育名师原创作品
DG=b,AG=b；在Rt△ABG中，c2=+,最后得出c2=a2+ab+b2
一、选择题
1、（2017虬津片区一模）在△ABC中，∠B=∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（?? ）
A、∠A B、∠B C、∠C D、∠B或∠C
【答案】A
【解析】解：在△ABC中，∵∠B=∠C， ∴∠B、∠C不能等于100°，
∴与△ABC全等的三角形的100°的角的对应角是∠A．
故选：A．
【点评】根据三角形的内角和等于180°可知，相等的两个角∠B与∠C不能是100°，再根据全等三角形的对应角相等解答．
2、（2017苏州押题）如图，△AOC≌△BOD，∠A和∠B，∠C和∠D是对应角，下列几组边中是对应边的是（?? ）
A、AC与BD B、AO与OD C、OC与OB D、OC与BD
【答案】A
【解析】由全等三角形的性质可知，AC与BD是对应边，OA与OB是对应边，OC与OD是对应边，故选A.
【点评】写全等三角形时的形式为△AOC≌△BOD，每个字母应一一对应.
3、（2017南阳新野县二模）用尺规作图法作已知角∠AOB的平分线的步骤如下： ①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OB于点D，交OA于点E；
②分别以点D，E为圆心，以大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
③作射线OC．
则射线OC为∠AOB的平分线．
由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是（?? ）
A、SAS B、ASA C、AAS D、SSS
【答案】D
【解析】解：在△OEC和△ODC中，
∵ ，
∴△OEC≌△ODC（SSS），
故选D．
【点评】根据作图得出符合全等三角形的判定定理SSS，即可得出答案．
4、（2017泰安东平县二模）如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】解：根据题意BE=CF=t，CE=8﹣t，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，
∵在△OBE和△OCF中
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴S△OBE=S△OCF ，
∴S四边形OECF=S△OBC= ×82=16，
∴S=S四边形OECF﹣S△CEF=16﹣ （8﹣t）?t= t2﹣4t+16= （t﹣4）2+8（0≤t≤8），
∴s（cm2）与t（s）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t≤8．
故选：B．
【点评】由点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，得到BE=CF=t，则CE=8﹣t，再根据正方形的性质得OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，然后根据“SAS”可判断△OBE≌△OCF，所以S△OBE=S△OCF ， 这样S四边形OECF=S△OBC=16，于是S=S四边形OECF﹣S△CEF=16﹣ （8﹣t）?t，然后配方得到S= （t﹣4）2+8（0≤t≤8），最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断．
5、（2017贵港港南区二模）如图，将一个等腰Rt△ABC对折，使∠A与∠B重合，展开后得折痕CD，再将∠A折叠，使C落在AB上的点F处，展开后，折痕AE交CD于点P，连接PF、EF，下列结论：①tan∠CAE= ﹣1；②图中共有4对全等三角形；③若将△PEF沿PF翻折，则点E一定落在AB上；④PC=EC；⑤S四边形DFEP=S△APF ． 正确的个数是（?? ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
【答案】D
【解析】解：①正确．作EM∥AB交AC于M． ∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵∠CAE=∠BAE= ∠CAB=22.5°，
∴∠MEA=∠EAB=22.5°，
∴∠CME=45°=∠CEM，设CM=CE=a，则ME=AM= a，
∴tan∠CAE= = = ﹣1，故①正确，②正确．△CDA≌△CDB，△AEC≌△AEF，△APC≌△APF，△PEC≌△PEF，故②正确，③正确．∵△PEC≌△PEF，
∴∠PCE=∠PFE=45°，
∵∠EFA=∠ACE=90°，
∴∠PFA=∠PFE=45°，
∴若将△PEF沿PF翻折，则点E一定落在AB上，故③正确．④正确．∵∠CPE=∠CAE+∠ACP=67.5°，∠CEP=90°﹣∠CAE=67.5°，
∴∠CPE=∠CEP，
∴CP=CE，故④正确，⑤错误．∵△APC≌△APF，
∴S△APC=S△APF ，
假设S△APF=S四边形DFPE ， 则S△APC=S四边形DFPE ，
∴S△ACD=S△AEF ，
∵S△ACD= S△ABC ， S△AEF=S△AEC≠ S△ABC ，
∴矛盾，假设不成立．
故⑤错误．
【点评】①正确．作EM∥AB交AC于M．设CM=CE=a，则ME=AM= a，根据tan∠CAE= 即可判断．②正确．根据△CDA≌△CDB，△AEC≌△AEF，△APC≌△APF，△PEC≌△PEF即可判断．③正确．由△PEC≌△PEF得到∠PFA=∠PFE=45°，由此即可判断．④正确．只要证明∠CPE=∠CEP=67.5°，⑤错误．假设结论成立，推出矛盾即可．
二、填空题
6、（2017南京六区联考）如图，∠A=∠C，只需补充一个条件：________，就可得△ABD≌△CDB．
【答案】∠ADB=∠CBD
【解析】解：∠ADB=∠CBD， 理由是：∵在△ABD和△CDB中
∴△ABD≌△CDB，
故答案为：∠ADB=∠CBD．
【点评】添加条件∠ADB=∠CBD，根据AAS推出即可．
7、（2017诸城期末）已知△ABC≌△ADE，如果∠BAE=135°，∠BAD=40°，那么∠BAC=______．
【答案】95°．
【解析】解：∵∠BAE=135°，∠BAD=40°，∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=95°。
∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC=∠DAE=95°。故答案为：95°．
【解析】本题考查了全等三角形的性质的应用，能根据全等三角形的性质求出∠BAC=∠DAE是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．【出处：21教育名师】
8、（2017北京通州区二模）如图，Rt△ABC≌Rt△DCB，两斜边交于点O，如果AC=3，那么OD的长为________．
【答案】1.5
【解析】解：如图，连接AD，
∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ABC=∠BCD=90°，且AB=CD，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴OD= BD= AC=1.5，
故答案为：1.5
【点评】先根据条件判定四边形ABCD是矩形，再根据矩形的性质可得OD= BD= AC=1.5，
9、（2017泰州海陵区一模）如图，在边长为3cm的正方形ABCD中，点E为BC边上的任意一点，AF⊥AE，AF交CD的延长线于F，则四边形AFCE的面积为________?cm2 ．
【答案】9
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠ADF=∠DAB=∠B=90°，
∴∠BAE+∠DAE=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠DAF+∠DAE=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
在△BAE和△DAF中，
，
∴△BAE≌△DAF（ASA），
∴S△BAE=S△DAF ，
∴S四边形AFCE=S△DAF+S四边形ADCE=S△BAE+S四边形ADCE=S正方形=3×3=9（cm2）．
故答案为：9．
【点评】由正方形ABCD中，AF⊥AE，易证得△BAE≌△DAF，即可得四边形AFCE的面积=正方形ABCD的面积，继而求得答案．
10、（2017高邮一模）如图，正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D正好分别在四条平行线l1、l3、l4、l2上．若从上到下每两条平行线间的距离都是2cm，则正方形ABCD的面积为________?cm2 ．
【答案】20
【解析】解：作EF⊥l2 ， 交l1于E点，交l4于F点．
∵l1∥l2∥l3∥l4 ， EF⊥l2 ，
∴EF⊥l1 ， EF⊥l4 ，
即∠AED=∠DFC=90°．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC=90°．
∴∠ADE+∠CDF=90°．
又∵∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠CDF=∠DAE，
在△ADE与△DCF中， ，
∴△ADE≌△DCF，
∴CF=DE=2．
∵DF=4，
∴CD2=22+42=20，
即正方形ABCD的面积为20cm2 ．
故答案为：20．
【点评】过D点作直线EF与平行线垂直，与l1交于点E，与l4交于点F．易证△ADE≌△DFC，得CF=1，DF=2．根据勾股定理可求CD2得正方形的面积．
11、（2017杭州上城区校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是________．
【答案】 7
【解析】解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB=8， ∴CG=DG= ×8=4，
在△DEG和△CFG中，
，
∴△DEG≌△CFG（ASA），
∴DE=CF，EG=FG，
设DE=x，
则BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x，
在Rt△DEG中，EG= = ，
∴EF=2 ，
∵FH垂直平分BE，
∴BF=EF，
∴4+2x=2 ，
解得x=3，
∴AD=AE+DE=4+3=7，
∴BC=AD=7．
故答案为：7．
【点评】根据线段中点的定义可得CG=DG，然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=CF，EG=FG，设DE=x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF=EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC=AD．
12、（2017包头校级期中）如图所示，在△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于点D，给出下列结论：①∠EAB=∠FAC；②AF=AC；③∠C=∠EFA；④AD=AC，其中正确的结论是_____（填写所有正确结论的序号）．www.21-cn-jy.com
【答案】①②③
【解析】解：在△AEF和△ABC中，∵AB=AE，∠B=∠E，BC=EF，∴△AEF≌△ABC（SAS），∴∠EAF=∠BAC，AF=AC，∠C=∠EFA，∴∠EAB=∠FAC，故①②③正确，④A错误；
所以答案为：①②③．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
三、解答题
13、（2017济南槐荫区二模）如图，点E、F在AC上，AB//CD，AB=CD，AE=CF，求证：△ABF≌△CDE．
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
∵AB//CD，
∴∠A=∠C，
在△ABF与△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS）
【点评】根据等式性质得出AF=CE，再利用平行线的性质得出∠A=∠C，最后利用SAS证明三角形全等即可．
14、（2017年衡阳县四校一模）已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E． 求证：AD=AE．
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵AB=AC，点D是BC的中点， ∴∠ADB=90°，
∵AE⊥EB，
∴∠E=∠ADB=90°，
∵AB平分∠DAE，
∴∠1=∠2；
在△ADB和△AEB中，
，
∴△ADB≌△AEB（AAS），
∴AD=AE．
【点评】求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，结合本题，证△ADB≌△AEB即可．
15、（2017北京石景山一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是CB的中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F． 求证：AB=FC．
【答案】证明见解析
【解析】解：证明：
∵AB∥DC，
∴∠1=∠F，∠B=∠2，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△AEB和△FEC中，
∴△AEB≌△FEC，
∴AB=FC．
【点评】欲证明AB=CF只要证明△AEB≌△FEC即可；
16、（2017合肥期末）已知：如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA＝BD．求证：AE＝AC．
【答案】证明见解析．
【解析】证明：延长至点，使，连结，
∵是的中线，
∴≌（SAS），
是的中线，
又，
∴≌（SAS），
即
【点评】首先根据题意延长至点，使，连结，根据三角形中线的性质得到，然后利用SAS判定≌（SAS），再根据全等三角形的性质得到 利用外角性质及等式的性质得到，利用SAS得到≌，利用全等三角形的对应边相等得到，由，等量代换即可得证.
17、（2017包头校级期中）如图，已知△ABC中，AB=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D为AB的中点．若点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
【答案】（1）全等（2）vQ=1.5cm/s
【解析】（1）根据时间和速度分别求得两个三角形中BP、CQ和BD、PC边的长，根据SAS判定两个三角形全等．
（2）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；
解：（1）全等，理由如下：
∵t=1秒，∴BP=CQ=1×1=1厘米，∵AB=6cm，点D为AB的中点，∴BD=3cm．
又∵PC=BC﹣BP，BC=4cm，∴PC=4﹣1=3cm，∴PC=BD．
∵∠B=∠C，∴△BPD≌△CPQ；
（2）∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，则BP=CP=2，BD=CQ=3，∴点P，点Q运动的时间为：t=2秒，∴vQ=1.5cm/s；
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、路程=速度×时间的公式，熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系是解决问题的关键．
18、（2017邵阳校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，延长AB至E，使AE=AC，过E作EF⊥AC于F，EF交BC于G．
（1）求证：AG平分∠BAC；
（2）若∠E=40°，求∠AGB的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）65°．
【解析】（1）首先证明△ABC≌△AFE，推出AB=AF，再证明Rt△AGF≌Rt△AGB，推出∠GAF=∠GAB，即可解决问题．（2）在Rt△BEG中，∠BGE=90°﹣∠E=50°，推出∠BGF=130°，由Rt△AGF≌Rt△AGB，推出∠AGB=∠AGF=∠BGF即可解决问题．
解：（1）∵EF⊥AC， ∴∠ABC=∠AFE=90°．在△ABC和△AFE中，∵∠BAC=∠EAF，∠ABC=∠AFE，AC=AE，∴△ABC≌△AFE，∴AB=AF．在Rt△AGF和Rt△AGB中，∵AG=AG，AF=AB，∴Rt△AGF≌Rt△AGB，∴∠GAF=∠GAB，∴AG平分∠BAC；
（2）在Rt△BEG中，∠BGE=90°﹣∠E=50°， ∴∠BGF=130°，∵Rt△AGF≌Rt△AGB，∴∠AGB=∠AGF= ∠BGF=65°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
19、（2017沈阳校级模拟）如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB.E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α.
(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上.
①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE CF；
②如图2，若0°＜∠BCA<180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ，使①中的结论仍然成立，并说明理由；
(2)如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想： .
【答案】(1)①＝；②∠BCA＝180°－∠α；(2 )EF＝BE＋AF.
【解析】（1）①由∠BCA=90°，∠α=90°可得∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，可推得∠CBE=∠ACD，且已知CA=CB，∠BEC=∠CFA，所以△BEC≌△CDA，可得BE=CF；
②只有满足△BEC≌△CDA，才有①中的结论，即∠BCE=∠CAF，∠CBE=∠FCA；由三角形内角和等于180°，可知∠α+∠BCE+∠CBE=180°，即∠α+∠BCE+∠FCA=180°，即可得到∠BCA=180°-∠α；
（2）只要通过条件证明△BEC≌△CFA（可通过ASA证得），可得BE=CF，EC=AF，即可得到EF=EC+CF=BE+AF．
解：（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，
∴∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CBE=∠ACD，
在△BEC与△CDA中，
∵ ，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴BE=CF
故答案为：=；
②∠α与∠BCA应满足的关系是∠BCA=180°-∠α，理由为：
∵∠α+∠BCA=180°，
∴∠α+∠BCE+∠FCA=180°，
∵∠α+∠BCE+∠CBE=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠CBE=∠ACD，
又∵∠BEC=∠CFA，CA=CB，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴BE=CF，
则∠α与∠BCA应满足的关系是∠BCA=180°-∠α；
（2）探究结论：EF=BE+AF，
∵∠1+∠2+∠BCA=180°，∠2+∠3+∠CFA=180°，
又∵∠BCA=∠α=∠CFA，
∴∠1=∠3；
又∵∠BEC=∠CFA=∠α，CB=CA，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴BE=CF，EC=FA，
∴EF=EC+CF=BE+AF．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定，涉及到三角形内角和定理，线段比较长短等知识点，仔细阅读，弄清题意是解题的关键.
20、（2016景德镇三模）如图1，ABCD为正方形，直线MN分别过AD边与BC边的中点，点P为直线MN上任意一点，连接PB、PC分别与AD边交于E、F两点，PC与BD交于点K，连接AK与PB交于点G．
(1)探索发现
当点P落在AD边上时，如图2，试探究PB与AK的位置关系以及PB、PK、AK三者的数量关系（直接写出无需证明）；
(2)延伸拓展
当点P落在正方形外，如图1，以上两个结论是否仍然成立？如果成立请给出证明，如果不成立请说明你的理由；
(3)应用推广
如图3，在等腰Rt△ABD中，其中∠BAD=90°，腰长为3，M、N分别为AD边与BD边的中点，K为线段DN中点，F为AD边上靠近于D的三等分点．连接KF并延长与直线MN交于点P，连接PB分别与AD、AK交于点E、G．试求四边形EFKG的周长及面积．
【答案】（1）PB⊥AK，PB=PK+AK；（2）成立，证明见解析；（3）周长，面积
【解析】（1）解：PB⊥AK，PB=PK+AK；
理由：如图2中，
∵点P在MN上，根据对称性易得∠PBC=∠2且PB=PC，
又∠ABK=∠CBK=45°，
在△BKA和△BKC中，
∴△ABK≌△CBK，
∴∠2=∠3且AK=CK，
∴∠PBC=∠3．
又∠PBC+∠4=90°，
∴∠3+∠4=90°，
即PB⊥AK．
∴PB=PC=PK+CK=PK+AK．
（2）以上两个结论仍然成立，
理由如下：如图1中，
∵点P在MN上，根据对称性易得∠PBC=∠2且PB=PC，
又∠ABK=∠CBK=45°，
在△BKA和△BKC中，
∴△ABK≌△CBK，
∴∠2=∠3且AK=CK，
∴∠PBC=∠3．
又∠PBC+∠4=90°，
∴∠3+∠4=90°，
即PB⊥AK．
∴PB=PC=PK+CK=PK+AK．
（3）如图3中，过点B作AD的平行线交PK延长线与点C，连接CD．
∵FD∥BD，
∴△FDK∽△CBK．
又DK：BK=1：3，
∴FD：BC=1：3．
∵FD：AD=1：3，
∴BC=AD．
∵BC∥AD且AB⊥AD且AB=AD，
∴四边形ABCD为正方形．
∵PB=PK+AK，
即（PE+BE）=（PF+FK）+AK，又PE=PF，
∴BE=FK+AK．
在Rt△EAB中，∵AE=1，AB=3，
∴BE= = ．
∵AG⊥BE（上一问结论），
∵Rt△AGE∽Rt△BGA，且相似比为1：3，
设EG=t，AG=3t，BG=9t，
∴BE=10t= ，
∴ ．
∴四边形EFKG的周长=EF+FK+GK+EG=EF+（FK+AK）﹣AG+EG
=EF+BE﹣AG+EG=1+10t﹣3t+t=1+8t= ．
过点K作AD垂线，垂足为H，
∵HK∥AB且DK：DB=1：4，
∴KH= AB= ，
∴S四边形EFGH=S△AFK﹣S△AEG= ?AF?KH﹣ ?AG?EG= ?2? ﹣ ?3t?t= ．
【点评】探索发现： PB⊥AK，PB=PK+AK，只要证明∠3=∠4=90°即可证明PB⊥AK，由△ABK≌△CBK，结合PB=PC即可解决问题．21·世纪*教育网
延伸拓展： 以上两个结论仍然成立，证明方法类似上面．
应用推广：如图3中，过点B作AD的平行线交PK延长线与点C，连接CD，利用上面结论结合条件即可解决问题．
